（运筹学与控制论专业论文）volterra积分系统的minimax最优控制.pdf

yz 艿7 p 摘要 本文研究了终端约束的v o l t e r r a 积分系统的m i n i m a x 最优控制问题， 利用号望! ! 呈! 壅坌堕型和! 燮分的方法，得到了相臆的p o n t r y a g i n 最大值原理 ” 关键词v o l t e r r a 积分系统，m i n i m a x 最优控制，最大值原理 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r o b l e mo fm i n i m a xo p t i m a lc o n t r o l so f v o l t e r r ai n t e g r a ls y s t e m sw i t ht e r m i n a lb o u n d e d b ye k e l a n d sv a r i a t i o n p r i n c i p l ea n d t h et e c h n i q u eo f t r a j e c t o r yv a r i a t i o n ，w ed e r i v eap o n t r y a g i n t y p em a x i m u mp r i n c i p l e k e y w o r d s v o l t e r r a i n t e g r a ls y s t e m s ，m i n i m a xo p t i m a l c o n t r o l s m a x i m u m p r i n c i p l e v o l t e m 积分系统的m i n i m a x 最优控制 刘晓波 ( 复旦大学数学所，上海2 0 0 4 3 3 ) 提要 本文对v o l t e r r a 积分系统的m i n i m a x 最优控制问题，导出了相应的p o n t r y a g i n 最 大值原理 关键词v o l t e r r a 积分系统，r o a n i m a 。x 最优控制，最大值原理 1 引言 经典的最优控制理论是针对b o l z a 型目标泛函( 即m a y e r 型目标泛函与l a g r a n g e 型 目标泛函之和) 展开讨论的而当旋控者( 或决策者) 希望系统在所考虑的整个时间段上 都尽可能地接近事先设定的目标( 时间变量的某个函数) 时，便会提出所谓的m i n i m a x 最优控制问题，它不同于经典的b o l z a 最优控制问题众所周知：在经典的最优控制理 论中，p o n t r y a g i n 最大值原理与b e l l m a n 动态规划方法是求解最优控制问题和分析最 优控制的性质的有力工具人们自然会问：对m i n i m a x 最优控制问题，是否也可建立相 应的极值原理与动态规划方法? b a x r o n 等人研究了常微分系统的m i n i m a x 最优控制 问题，给出了相应的动态规划方法( ( 1 ) ，并试图建立相应的p o n t r y a g i n 最大值原理( 2 1 ) ， 但其推导有本质性错误，所获结论是平凡的后来，卢红改正了文 2 的错误，并将结 论推广到系统的状态函数在终止时刻之值受限的情形( 详见文【4 ，但作为其讨论之基础 的重要组成部分的引理5 1 与引理5 2 ，前者的证明有欠妥之处，后者可从积分方程的基 本理论直接推出) 工程实际中经常会遇到v o l t e r r a 积分方程描述的系统( 常微分系统亦 可视为一类特殊的v o l t e r r a 积分系统) ，迫切需要研究相应的m i n i m a x 最优控制问题 本文的目的是对状态函数在终止时刻之值受限的一般v o l t e r r a 积分系统的m i n i m a x 最 优控制问题，导出相应的p o n t r y a g i n 最大值原理在本节的其余部分中我们首先给出 本文所讨论的最优控制问题的数学表述，然后陈述本文的主要结果考虑v o l t e r r a 积分 系统 ，z ( 1 1 )z ( t ) = z 。( t ) + f ( t ，s ，z ( s ) ，“( s ) ) d s ， ( ) 矿( r “) ，口- e z p 。，t 1 ，t o 最大值型目标泛函 6 ， 1 ( 1 2 ) j ( “( ) ) _ 。罢警，m 2 ( 2 ) ) 和终端( 状态) 约束 ( 1 3 )z ( 1 ) q ( c r ”) ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 中： ( h 1 ) t o ，t 1 r 1 固定，t o t l ，u 是r ”中的非空有界闭集； ( h 2 ) x 0 ( ) g ( z o ，t lj ，r ”) ，c ( h r “i r ，i r ”) ，厶是i r 2 中一个包含厶：= ( t ，s ) r 2 lt o s tst 1 的开集，v ( t o ，8 0 ，z o ，u o ) r ”i r ”。，f ( t ，8 0 ，z ，u 0 ) 关于( t ，z ) 在 ( t o ，z o ) 处可微，且 ( t ，s ，z ，u ) ：r “u r ”与厶( t ，s ，。，札) ：x r ”xu r ” 连续，存在正常数三使得 ( 1 4 )i ，。( t ，3 ，z ，u ) l l ，v ( t ，s ，z ，u ) xr ”u v ( z o ，5 0 ，x 0 ，u 0 ) r “r ，a ( t o ，s 0 ，札o ) ( r e s p 厶( z ，8 0 ，x o ， t t 0 ) ) 关于x ( r e s p z ) 在 x 0 ( r e s p z o ) 处连续可微，且，t 。与丘t ：厶r ”xr 一r “连续； ( h 3 ) h c ( t o ，t l 】r ”，r 1 ) ，v t t o ，t 1 ，危( z ，) ：r ”一己1 连续可微，且( t ，。) 一 。( t ，z ) ： t o ，t 】 r ”一r “连续； ( h 4 ) q 是r ”中的非空凸闭集 记：= u ( ) ： t o ，t l 】一r ”l e b e s g u e 可测lu ( t ) u ，a , e t t o ，z 1 ，并记系统( 1 1 ) 对应于控制( 输入) u ( - ) ( 甜) 的状态函数在t ( e t o ，t 1 ) 处的值为z ( z ，u ( ) ) ( 由逐次逼近法 可知：当( h 1 ) ，( h 2 ) 成立时，对任一u ( ) “，( 1 1 ) 在爿：= g ( 1 0 ，t ，1 ，r ”) 中存在唯一与 u ( ) 相对应的状态函数) 我们的最优控制问题的数学表述为： ( p ) 求矗( ) 日使得 霉( t 1 ，砬( ) ) q ， ( 1 5 ) ，( 缸( ) ) = 。：= 。( ) i n f “。t ，( u ( ) ) ， 其中，玩d ：= u ( ) 纠lz ( t 1 ，u ( ) ) q ) 易知当( h i ) - ( h 2 ) 成立时 2 ( 1 6 ) 如i 蚓n o , x 。iz ( 2 ，u ( ) ) l m ：= 。m 鲫a x 。iz 。( 2 ) i + ( t l t o ) m 缸 l ，( z ，s ，0 ，让) | | ( t ，s ) 厶，u 矿 e l ( t l - t o ) v 仳( ) 甜 记n ：= lh ( t ，z ) | lt o t t 1 ，izi m ) ，则由( 1 6 ) 立知 ( 1 ，) 州- ) 赤业锚等业黼 0 ，u ( ) 甜，b ：= t t o ，t 1 h ( t ，。( ，u ( ) ) ) l q ，m e a s e a 6 t l t o 则存在面( ) 甜使得 ( 2 8 ) i z ( ，u ( ) ) 一z ( t ，矗( - ) ) i s2 p i e ( t l - - t o 6 ， 。( ，酬) sn + 风( 2 m 2 + e l t l - t o ) 5 + 风。( 2 6 ) + ( f 1 一枷水吼v 2 t 0 2 其中v r 0 ，+ o 。) ， 府：= m a x lf ( t ，s ，z ，u ) | | ( t ，s ) 厶，izl sm ，u u ， p z 。( r ) ：= s u p iz o ( t ) 一。( t ”) | | t ，t ”【t o ，t 1 ，1t 一t ”i r ) p ，( r ) ：= s u p if ( t ，s ，z ，u ) ，( t ”，s ”，z ”，u “) | | ( ，s ) ，( t ”，s “) 厶，lz f ，l 。l m “，就”u ，ft 一t ”f r ，fs s ”r z 一。”f r ，“一u f r ) ， 卢 ( r ) ：= 。s u p lh ( t ，。) 一危( ”，z ”) | | t ，t ” f o ，t l 】，iz ，iz ”l sm ，iz t f s r ， lz 一z ”1 sr ) ， 5 证由0 6 t 1 一t o ，可知总可取到正整数 与 t o ，t l 】的一个剖分t o = 3 0 s 1 s 女= t l 使得 ( 2 9 ) 6s s j s j 一1 2 6 ，j = 1 ，k 又因为m e a s 玩 6 ，所以 ( 2 1 0 )( 5 j 一1 ，8 j 1 e 。0 ，j = 1 ， 取q ( s j 一1 ，s j 】e 。，j = 1 ，并定义 ( 2 1 1 ) 则 i ft ( 【t o ，t l 】e 。) u o ) i f t ( s j 一1 ，5 】n 风 t iz ( ，u ( ) ) 一z ( t ，矗( ) ) i s if ( t ，s ，x ( s ，u ( ) ) ，u ( s ) ) 一f ( t ，s ，z ( s ，蠢( ) ) ，面( s ) ) id s j t 0 z o ，( t ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，”( s ) ) 一，( ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，矗( s ) ) f d s + ( i ”，叩u ( ) ) ，郦) ) 卅如，小，姒m ”| 如 f ，( ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，u ( s ) ) 一f ( t ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，矗( s ) ) ld s u ；：l ( ( s j 一1 ，q 】n e n ) ，t + 工lz ( s ，u ( ) ) 一。( s ，也( ) ) ld s j t 0 s2 庇m e a s ( u ；：。( ( s j 一1 ，s j n e 。) ) + 三iz ( s ，u ( ) ) 一。( s ，面( ) ) id s ，t j t o ，t = 2 正m e a s ( ( t o ，t x ne n ) + 三 x ( s ，u ( ) ) 一x ( s ，矗( ) ) jd s j t o ，t 2 府6 + l iz ( 3 ，( ) ) 一z ( s ，面( ) ) id s ，v t t o , t 1 】 j t 0 由上式和g r o n w a l l 引理，便知 6 ( 2 1 3 ) 。m 蚓a x ，u ( ) ) 一。( z ，) i 2 力洲”2 。 从而，当tg 玩时， jh ( t ，z ( t ，面( ) ) ) l h ( t ，z ( t ，西( ) ) ) 一h ( t ，z ( t ，u ( ) ) ) i + lh ( t ，。( ，u ( ) ) ) ( 2 1 4 )s 卢h ( iz ( z ，缸( ) ) 一z ( t ，u ( ) ) i ) + n 卢 ( 2 府e 。( t l - t o ) 6 ) + n ； 而当t ( , s j _ l ，5 ) 1 n e 。0 = 1 ，k ) 时， ( 2 1 5 ) i ( f ，z ( f ，也( ) ) ) l ih ( r j ，x ( r j ，u ( ) ) ) l + z h ( it r i + lz ( ，矗( ) ) 一。( o ，u ( ) ) f ) a + 卢危( 2 占+ iz ( z ，证( ) ) 一z ( t ，札( - ) ) | + iz ( t ，u ( ) ) 一。( r j ，珏( ) ) i ) o + 卢九( 2 m e l ( t 一2 。+ 1 】6 + jz ( z ，u ( ) ) 一z ( q ，札( ) ) j ) ， 但这时 ( 2 1 6 ) 。( f ，u ( ) ) 一。( o ，u ( ) ) i iz o ( z ) 一x o ( r j ) j + f ，( z ，s ，z ( s ，“( ) ) ，u ( s ) ) d s j t o r 7 一，( q s ，z ( s ，u ( 。) ) ，u ( s ) ) d s1 r fy ( t ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，u ( s ) ) 一，( r j ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，u ( s ) ) | d s ，t 0 f i ll ( t ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，u ( s ) ) 一，( r j ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，u ( s ) ) ld s + j ( 。j ，( r ，s ，z ( s ，u ( ) ) ，u ( s ) ) id s ，i f t 0 且 ( 2 2 6 )i ms0 。一3 e o ，= 1 ，2 由上式知存在 u m ( ) ) 墨，阮a 使得 ( 2 2 7 )如。( u b ( ) ) so p 。+ e o i 。一2 e o 记 ( 2 2 8 )e k ：= z t o ，t l ji ( t ，z ( t ，u k ( ) ) ) i 。一e o ，= 1 ，2 则 ( 2 2 9 )山。( u ( ) ) 【矗( t ，z ( t ，u ( ) ) ) “d t 者( i 。一e 。) ( m e a s e ) 壶，= 1 ，2 j e 9 由( 2 2 7 ) 与上式，立知 ( 2 3 0 ) 。e ks ( 墼些) m 。0 ( k 。) 口o 。一e 0 取足够大的正整数k o ，与 氏 墨( 0 ，t l t o ) ，6 k 当一o 。时严格单调下降趋于。 使得 ( 2 3 1 )m e a s e k 6 k ，= o ，k o + 1 则由上式和引理2 5 ，可知存在矗( ) 甜使得 ( 2 3 2 ) 。翟警，i z ( f ，u 一z ( t ，咐) ) l 2 m e 州1 咱6 ， 。懋。h ( t ，z ( z ，叫) ) ) i 。_ e 0 + 凤( 2 2 杨r 2 + e 1 吨m + 刚2 巩) + ( t 一蝴，( 2 圳 k = k o ，+ 1 ，一 由上式的第1 个不等式立知 ( 2 3 3 ) 幻m s t a s x 。i h ( ，z ( 。，云( ) ) ) 一危( 2 ，z ( t , u k ( ) ) ) p h ( 。m ! 。a ! x 。i 。( t , 7 2 k ( ) ) 一。( ，“k ( ) ) 1 ) 风( 2 砑e l ( t t - t o ) 巩) ， 取5 k t o ，t l l 使得 ( 2 3 4 ) t 。m ! t a ! x 。忍( 2 ，( 2 ，u ( 。) ) ) = h ( 3 ，。( 8 k ，u k ( ) ) ) ，= k o , k o + 1 则由( 2 3 3 ) 一( 2 3 4 ) ，即知有 ( 2 3 5 ) 。m ! t a ! x ：。h ( 。，z ( 。， ( ) ) ) 一t 。m ! t a s x “ ( 。，z ( 。，五k ( + ) ) ) s a k ，z ( s k ，“b ( ) ) ) 一 ( s k ，。( s k ，矗k ( ) ) ) p h ( 2 砑e 【t 1 _ 2 。) 6 k ) 1 0 k = 自o ，k o + 1 ， 上式( 显然) 蕴涵 ( 2 3 6 ) 。n 蚓l & x ，z ( t ，叫) ) ) i 。一风( 2 府e 卜如= 。，。+ 1 由上式和( 2 3 2 ) 的第2 个不等式，便可知 ( 2 3 7 ) o o 。一e o + 卢h ( 2 庇 2 + e l ( t x - t o ) 】6 k + 卢。( 2 占) + ( t 1 一t o ) f l ，( 2 6 ) ) i 。一卢h ( 2 厨e 2 - 一如6 k ) ，= k o ，o + 1 在上式中让一0 0 ，即得矛盾 ( 2 3 8 )i 。一e o 0 。 故反证假设( 2 2 5 ) 不成立 引理2 7 设 g k ( ) ) t - - ，是v o t o ，t - 中的强有界点列( 即 ( 2 3 9 )s u pv ：( 肌( ) ) + o 。 k 1 ) ，g ( ) 在 t o ，t - 上单调增加，k = l ，2 ，则必存在 t o ，t 1 的至多可列的子集e ， t o ，t 上的单调增加函数9 。( ) 碥 t o ，t 1 和 乳( - ) ) 墨，的某个子列 9 k 。( ) 罂，使得 ( 2 4 0 )v z ( ) c ( t o ，t l 】，r 1 ) ，1 i m z ( ) ( d g h ) ( ) = 4 0 ( 由。) ( t ) + o 。j t o ，t 1 j t o ，t l 】 ( 2 4 1 )v t t o ，t 1 e ，1 i mg k 。( t ) = g o 。( t ) 一 和vt o s 1s u p t 。 t 0 使当s ，s ”，t ，is 一s j 6 时iz ( s ) 一z ( s 引se 由于e ( 至多可列，因而) 是零测度集，故可取到 2 0 ，t l 】的剖分t o = s 。 s 1 s 一。 s _ ：t l 满足 ( 2 4 7 ) 于是我们有 ( 2 4 8 ) 从而 3 j t o ，t 1 e ，j = 1 ，一，n 一1 l5 一8 卜li 6 ，j = l ，一， z ( s 1 ) x m 。】( 3 ) + z ( s j ) x h j = 2 1 3 i z t o , t l lz 一l ，( 玩如) j 儿。】卜( s 卜p ( s 1 ) 川( s ) + z ( s 溉，一引( s ) jf ( d g + i 儿。】m 小) + 薹小撖旧一引( s ) 【( 妣f ) ( s ) - ( 氓m ) + 儿。】m 】( s ) + 薹z ( s j ) ) ( h 一引一珀 st g k ，( i t 0 ，z ， ) + ；。( 【t o ， ) 】+ lz ( s ，) b h ( 【z 。，s ，】) 一；。( i t 。，s 。 ) + z ( s ，) ( ( s 一，s j l ) 一；。( ( s h 一 ，= 2 se b 乜( 】) g k ，( t o ) + ；。( z 1 ) 一蚕。( z 。) 】 十 幻i t 。i 。a x 。，f z ( s ) | 】 | g k l ( s ，+ o ) 9 k r ( z 。) 一；。( s ，+ o ) + 蚕。( z 。) i i v 一1 + 慨( s ，+ o ) 一h l 十o ) 一；。o ( s ，+ o ) 十；。h l + o ) ，= 2 + g h ( t 1 ) 一9 。( s n 一1 + 0 ) = e b 乜( t 1 ) g z - 。( z 。) + 争。( 如) + 【m a x lz ( s ) “9 硒( 8 1 ) t o 0 ，里如( ) 2 。m 。a ! x “h ( 2 ，圳) = 。一 1 6 知 ( 3 5 ) l i m e 。= 0 根据e k e l a n d 变分原理( 引理2 2 ) ，知存在也p ( - ) 甜使得 ( 3 6 ) 记 ( 3 7 ) ( 矗，( ) ，矗( ) ) 石， v u ( ) 甜，一、7 弓( u ( ) ，也，( ) ) s ( u ( ) ) 一( 矗，( ) ) ( 矗p ( ) ) s ( 矗( ) ) 未p ( t ) ：= 。( t ，矗p ( ) ) ， 锁小= z 吣，引圳p d s ，虮p 0 “ 对任意取定的u ( ) 纠和a ( 0 ，1 ) ，由f 7 中第2 3 - 2 4 页上的系可知：存在l e b e s g u e 可 测集霹 t o ，z ， 使得 m e a s 霹= a ( t 1 一t o ) ， ( 3 引 。pi ( a t m ，) ，( t ，。，i ，( 。) ，。( 。) ) 一f ( t p ( 。) ，矗p ( 。) ) 胁i ： t o t s t lj t o j 【t o ，t 】n e j 令 ( 3 9 ) 记 ( 3 1 0 ) ：= j ， i ft 霹， i ft 【t o ，t 1 磅 z ；( ) ：= 七( f ，u ；( ) ) ， 。；，。( t ) ： ( 。，。；( 。) ) ，d 。， 。1 1z ；t 。( t ) ：= ( s ，。；( s ) ) ，d s ，r ”。1 j t 0 1 7 则( 注意到( 3 8 ) ) 不难算知 ( 3 1 1 ) z ；( ) = 壬p ( t ) + 妒p ( t ) + 6 ；( ) ， v t 【t o ，t l z ；0 ( t ) = ；( z ) + a 妒；( t ) + 霹m ( z ) ， i 器0 竺学 la 其中，妒，( ) 是( 线性v o l t e r r a ) 积分方程 f 3 1 2 ) 漏二( 加，啦小) 廊) 小) 蚺f m 啦p ( s ) ，小) ) - ，( 和，引“砬p ( 圳氓川t 】 之解， f 3 1 3 ) ，t 妒；( z ) ：= p ( 3 ，i p ( s ) ) ”h 。( s ，p ( s ) ) 妒p ( s ) 山，忱圳 j t o 从而( 注意到( 1 8 ) ) ( 3 1 4 ) l i 。墨! 望盟! ：生! 垒q ! ：l i 。! ! ! ! ! ! ! 塑! ! ! ! ! 望! ! ! ! ! ! ! 二! ；! ! ! ! ! 1 0 0 a = l 圳i m 灿l - ( f 1 僻o ( t 1 愀埘俐pm ) 】 卜忉蝴。) + 掣 = 知，声- 1 啪0 ) 换言之：若记 ( 3 1 5 ) 则有 ( 3 1 6 ) 霹：= 如( u ；( - ) ) 一如( 矗，( _ ) ) 一；i ；( t ，) ；妒；( t ，) ， 如( u ；( ) ) = 如( ( 1 ) ) + ；小o t ，_ v 1 - 1 o ( t ，) + 霹 l i m 辇；