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中文摘要一关键词 切换系统的混杂控制 摘要 本论文主要研究了线性系统、切换组合时滞大系统的混杂控制问题。近年来，混杂 控制问题得到广泛注意，研究这一问题主要基于以下原因：连续动态反馈控制器有时是 由于过于复杂或造价太高，在工程实践中难以实现；在许多控制问题中，由于物质条件 和复杂性的限制，制约了控制器的选择，有时控制系统只能使用事先指定的控制器，而 每一个控制器都不能达到系统的要求。即控制行为只能由有限的控制器切换产生。同时 混杂控制能提供更强的鲁棒性能和其他性能，因此利用有限个控制器的切换使系统渐近 稳定和具有其他性能的研究具有较高的理论意义和实际意义。因此，本文对不确定切换 组合时滞大系统、线性系统，分别使用混杂控制及相应的切换策略，实现了闭环系统的 渐近稳定，并使线性系统的极点位于指定的圆盘内。主要采用李雅普诺夫函数方法及完 备性条件、凸组合技术，同时结合线性矩阵不等式( l m i ) 技术来处理切换系统的混杂控制 问题。 本文的安排如下： 第一章简单介绍了混杂系统概念、切换系统的研究现状、方法、应用领域及数学基 础知识和本文的研究内容、方法、理论与实际意义。 第二章主要探讨了一类不确定时滞切换组合大系统的鲁棒分散控制问题。在状态矩 阵和控制输入矩阵同时带有未知、时变但有界的不确定性的情况下，且大系统的关联项 具有一般性的情况下，利用完备性条件，得到了此类时滞切换组合大系统渐近稳定的充 分条件，并设计出了相应的切换策略。 第三章研究了一类线性系统的混杂控制问题，在有限个被选控制器的情况下，且每 一个控制器都不能使系统稳定，通过混杂控制，使系统极点位于指定的圆盘内，并设计 了相应的切换策略，从而使整个系统具有较好的性能。 第四章总结全文，提出了未来工作设想，以便更加深入地进行切换系统的研究。 关键词：切换系统，李雅普诺夫函数，线性矩阵不等式，混杂控制 h y b r i df e e d b a c k c o n t r o io fs w i t c h e ds y s t e m s a b s t r a c t h l “sd i s s e n a t i o n ，m ep r o b l e mo fh y b r i d 慨d b a c kc 0 i l t r o lf o rs 而t c h e ds y s t e m sa n d s w i t c h e dc o r l l l p o s i t el a 玛弓s c a l es y s t e m si sm a i l l l ys t u d i e d t h er e s e a “i ho fp r o b l e i l li sd o n e b e c a u s ec o i l s e c u t i v ed y n 锄i cf 的d b a c kc o n t r o l e r ss o m e t i m e si st o oh a r dt 0r e a l i z ei nm e r e a l i t y f o ri t sc o m p l e x c i t y 锄dh i g hp r i c e 6 m di nm 觚yc o n t r o lp r o b l e r i l s ，m ec h o i c eo fn l ec o n 乞r o l si s r e s t r i c t e db e c 哪eo fm a n 髓c 伽【d i t i o n s o m e t i m 懿c o n 臼r o ls y s t e m si s0 1 1 l yt 0u s em ec 0 n h 0 1 1 c r s m a ti th 鹊n o n ec o n t r 0 1 l e r sc 觚r l e e dm er e q u e s to fs y s t e m s t h ec o n l r 0 1 l e r sa r eo n l yt ob e u s e dt 0b ys w i t c l l h y b r i dc 0 曲o l sc 锄p r 0 v i d en l o r ep o w e r | n lr o b u s tp 蜘锄c c f o r 1 i s h y b r i dc o n l ：r o li sm e a i l i n g 向lt 0s t i | d y t h ed i s s e r t a t i o ni sf o c l l s e do nu n c e n a i ns w i t c h e d c 0 m p o s i t e dt i m e - d e l a y e ds y s t e m s ，1 i n e a r i t ys y s t e r l l sh y b r i d 触a c kc o n t r 0 1 1 e 璐锄ds w i t c h e d l a wa r ed 骼i 印e dt 0m a k em ec l o s e d l o o ps y s t e m s 加b u s ts t a _ b l e c o r r e s p l o n d i n ga d o p t o ds t i l d y m e n l o d sa r cl y 印u n o v 丘m c t i o nm e t l l o d ，c o m p l e t e i l e s st e c ：h n i q u e ，t 1 1 懿em e t l l o d sc o m b i n ew i 廿l l m it od e a lw i t ht t l ep r o b l 锄o nr o b u s ts t a b i l 娩a t i o n 锄dr o b u s tp e f f b m a i l c ef o rt l l es w i t c h e d s y s t e n l s t l l ea r r a n g 锄饥to f l i sd i s s e r t a t i o ni s 嬲f o l l o w s 1 1 1c h a p t e rl ，c o n c 印t i o no fh y b r i ds y s t e m sa i l dr e c c i l td e v e l o p m 铋t ，s t u d ym e t h o d s ， a p p l i c a t i o n6 e l d so fs w i t c h e ds y s t e m sa n dm ec o n c e p t i o no fh y b r i dc o n n o la n dr c c e n t d e v e l o p m e n t ，a i l dm e ns t u d yc o n t e n t s ，m e t l l o d s ，t l l e o r c t i c a la n dp r a c t i c a ls i g i l i f i c a n c eo fm e d i s s e r t a t i o n 砌ei n 订d d u c e db r i e n y i nc h a p t e r2 ，m ep r o b l e mo fr o b u s td e ( x 如仃a l i z 训o nc o n 包r 0 1f 0 f l c e r t a i n 鲫i r i t c h e d c o l n p o s i t e dt i m e - d e l a y e ds y s t 锄sw h o s es t a t ea n dc o n 仃o lm a t r c 髓、历t hu n c e r t a i n t i e s 觚d i n l 饼c 0 皿鳅i o n si sc 0 删：n o n b yl l s i i l g 1 ec 0 n d i t i o no f c o m p l e t 锄懿s ，as u 伍c i 锄tc o n d i t i o no f r o b u s td 。删协a t i o n 鼬i l i z 撕o nr ) r 岫c e r t a i ns w i t c h e dc o m p o s i 俄it i i n o - d e l a y e ds y s t 伽坞 i so b t a i n e d b 嬲c do nl m im e m o d r o h 哦h ) ，b r d 黜a c kc o n 缸d l l e 璐a n dag w i t c l l i n gl a wa 他 d e s i 印e d i i lc h a p t e r3 ，m ep r o b l 锄o fh y 嘶dc o f i t r o ls 切l b i l i z a t i o n 氨wl i n e 盯s y s t e mi sc o n s i d e r e do n m eb 嬲eo fs w i t c h e ds y s t 锄st l l e o r y b yu s i n gl y a l m r l 0 v 劬c t i o nt e d m i q u e ，l m im e t h o d ， 舳m c i e n tc o n d i t i o n so fr o b u s ts t a b i l 讫a t i o nm es y s t e m sa r eo b t a i n e d a m db yh y b d dc 0 咖l ， t l l ep o bo ft l l es y s t e i i l s1 i ei nt l l ed i s c 1 1 1 ec 0 r r e s p o n d i n gs 谢t c h e di a wa r ed e s i 印e d i f 恤 s y s t e m h 蠲b o u n d e du n c e n a i n t y ，w ec a i la l s ou s et h i sw a yt os o l v em e p r o b l e m i l lc h 印t c r4 ，m ew h o l ed i s s 甜a t i o ni s 黜a r i z c d w b r k 嬲s 啪p t i o ni i l l e 劬u r e 觚d l e d i r c c t i o no fc n d 朗v o ra r ep o i n t e do u t n k r e yw o r d s ：s w i t c h e ds y s t e m s ，l y a p u n o vf u n c t i o n ，n e a rm a t x i n e q u a _ ：y ；h y b n dc o n t r o i 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在导师的指导下取得的研究成果。据我 所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确说明并表示了谢意。 作者签名：卫星墼日期：如孑f 居 学位论文使用授权声明 本人授权沈阳师范大学研究生处，将本人硕士学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索；有权保留学位论文并向国家主管 部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，允许论文被查阅和借 阅：有权可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：j 已墨瞧日期： 一2 g 。反7 乡 切换系统的混杂控制 第一章绪论 一、切换系统综述 ( 一) 混杂系统简介 在现实世界中，大多数动态系统都具有混杂的特性，如受限机器人控制、汽 车引擎控制、化工过程控制以及计算机网络控制等，在这些复杂的控制系统中， 系统的状态将不再是单纯的连续变量或离散变量，而是同时包含两者。离散变量 也不仅是以往数字控制中由连续变量离散化得到的结果，还包含一些具有逻辑决 策性质的变量。将这类系统称为“混杂系统”。两个最早的混杂系统模型分别由 w i t s e n h a u s eh s 在1 9 6 6 年和t a v e r n i n i 2 1 在1 9 8 7 年提出。d e c a r l or 和 b r a n i c k ym s 口1 在2 0 0 0 年综述了混杂系统的稳定性和镇定问题。 迄今，混杂系统引起了控制界和国内外学者的普遍关注”“。这主要是由于一 方面混杂系统在工程实际中应用广泛( 如计算机网络控制系统和一些复杂的化学 反应过程等) 。另一方面，由于非线性系统理论的不断完善、计算机技术的飞速发 展，使得对这类复杂系统的研究成为可能。 ( 二) 切换系统描述 切换系统是混杂系统中颇具代表性的一类系统，也是混杂系统在理论上研究 的主要对象h h 7 6 ，7 7 1 。其连续动态由若干子系统单独运行描述；离散动态指切换策 略，决定某一时刻执行哪个子系统，它控制和协调整个系统的正常运行。即使每 个子系统均不稳定，通过构造切换策略，可以保证整个系统是稳定的；相反，即 使每个子系统均稳定，若切换策略选择不当，也可使整个系统不稳定。所以说这 个切换系统的进展情况受控于这条切换规则，也称切换律、切换信号或切换函数。 切换系统一个比较简单且直观的模型化定义如下： 定义1 ( 切换系统) 在数学模型中，由若干个子系统组成的切换系统通常用 下列微分方程来描述： j = 兀( 工) 其中：对v f m = 1 ，2 ，所) ，z 是尺”一r ”的光滑函数， 信号，它依赖于时间f 或状态x 或其它信号。 考虑如下的切换控制系统n 1 孟o ) = 厶( ，) ( 工( f ) ，甜o ) ，f ) ( 1 1 ) o ? 0 ，佃) 一m 是切换 ( 1 2 ) 其中：石r ”表示状态，o ( 工，f ) ：r 4 r + 专m = 1 ，2 ，朋) 是一个分段常值函数， 切换系统的混杂控制 它决定了系统如何切换，即决定了一个切换路径。 对于一个切换系统，切换律可分为几类h ： 1 ) o ( f ) 为任意切换，即它是任意右连续函数； 2 ) o ( f ) 能控，即它是可设计的右连续函数； 3 ) o ( f ) 是一个随机的( 一般为m 砒【0 v ) 过程，即它按随机( m a r k o v ) 过程演化； 4 ) o = o ( t f ) 依赖于状态，即它为一状态反馈切换律。 进一步可把系统( 1 2 ) 写为： j ( f ) = z ( 石( f ) ，掰( f ) ，f ) f = 1 ，2 ，m( 1 3 ) 定义2 ( 切换序列) 对于给定的切换系统( 1 ) 与任意的初始值而，在某一切 换律，记作s 下的切换序列可以用如下的形式定义： 并且设气小= 一气一i 表示在，。= 陬- l ，气) 的切换停留时间，且有等式o ( 工( f ) ，f ) = f ， 对于t ik i m 。 注：这里切换系统只考虑在有限时间内有穷次切换。 特别地，若各个子系统均是线性的，则得到下面的线性切换系统： 膏= 4 x + e ” ( 1 5 ) ( 三) 切换系统研究现状 近几十年来，切换系统的研究引起了许多研究系统控制理论学者们的兴趣。 尤其对切换系统的稳定性与能控性方面研究十分活跃n 7 。2 。一些优秀的综述性文 章d 一1 6 1 7 2 2 1 对切换系统在稳定性分析与控制设计方面进行了总结和评价，并指出 进一步的研究方向。 与切换系统的稳定性所取得的成果相比，有关切换系统其它性质的研究成果 相对来说要少很多。文 2 3 利用极点配置方法研究了线性切换系统基于观测器的 鲁棒镇定问题。文 2 4 2 7 讨论了切换系统的最优控制问题。文 2 8 3 1 研究了切 换系统的可控性和可达性问题。文 3 2 3 4 研究了切换系统的输出调节和输出跟踪 问题。文 3 5 使用b o d e 图给出了切换系统状态方程和输出方程的表示形式和图解 法。文 3 6 研究了切换系统的自适应控制问题。文 3 7 3 8 研究了切换系统的以控 2 d h v i“一 州q d 吐 一， “：， 一 阿卜 = 0k 七 切换系统的混杂控制 制问题。文 4 0 提出了切换系统的鲁棒容错控制问题。文 6 8 6 9 研究了脉冲切换 系统的鲁棒控制。文 7 5 7 6 研究组合大系统的分散控制。 ( 四) 切换系统研究方法 迄今，对于确保切换系统稳定的切换律的设计问题和切换律的存在条件这一 问题的研究主要采用单l y a p u n o v 函数和多l y a p u n o v 函数技术 4 2 】。由于切换 系统在任意切换下均渐近稳定的充分必要条件是它的子系统具有公共的 l y a p u n o v 函数h ，所以寻求公共的l y a p u n o v 函数的存在条件以及构造公共的 l y a p u n o v 函数使切换系统在任意切换下均稳定的研究中占据了相当的地位。线性 矩阵不等式( l m i ) 3 7 七9 4 3 3 方法的出现，使线性不确定系统的鲁棒镇定问题的研究 得到了更广泛的重视和应用。另外在研究切换系统在受限的切换律下的稳定性问 题和构造一个使切换系统渐近稳定的切换信号时也广泛使用凸组合技术 3 1 和线 性化技术 “4 5 。m o r s e ，h e s p a n h a 和m o r s e 分别给出停留时间方案删和平均停 留时间方案 4 7 1 得到了在稳定的线性子系统之问进行慢切换或平均意义上的慢切 换就能保证线性切换系统的稳定性。此外，还有扩张l a s a l l e 不变原理 4 引、自适 应镇定器【4 9 5 、微分包含5 2 】、基于观测器的镇定5 3 川及切换l y a p u n o v 函数 4 等 方法。 ( 五) 切换系统应用领域 切换系统在实践中应用十分广泛，因为许多自然、社会以及工程系统由于环 境的变化而表现出不同的模态。例如：输电系统：当发电机及大的用电设备进入 或撤出时，以及变电站的切换等d 4 j 5 】；飞行器队型、运动机器人、交通控制等 5 引； 汽车工业、车辆控制 57 j ；模糊系统分析，基于逻辑的切换控制b 6 5 别。另外，基于 不同控制器切换的控制技术，它大量用于自适应镇定控制和改进过度过程的响应， 例如：混杂系统多控制器监控 5 9 邡 ；基于多模态的自适应控制；环境驱动的切 换控制( 边界、相对阶病态点等) 6 2 6 3 】等许多实际系统中。 二、混杂控制的描述 混杂控制系统是指其被控对象或控制器中含有离散模型，并且与连续模型一 起来确定系统的性能。在实际控制中，经常出现用多个不同的控制器并且用某种 逻辑设备来实现不同控制器之间的切换，以使得系统获得更好的性能。在不同的 领域里，对于混杂控制系统处理方法各不相同，而且他们以不同的名称出现。使 用混杂控制的最重要的原因是可以获得比单个控制器更好的性能，并且可以解决 用传统控制器无法解决的问题。 3 切换系统的混杂控制 极点配置的研究意义 极点配置问题是如何使系统的闭环极点处于所希望的位置。精确的极点配置 是不现实的，只要系统的极点位于一定的区域内，系统就会具有较好的性质。闭 环系统极点的分布情况决定了系统的稳定性和动态品质，因此把系统的极点配置 在指定的区域，会使系统具有更好的性能。因此极点配置问题一直是一个热点问 题。 四、时滞的研究意义 时滞是指信号传输的延迟。在各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的，如 长管道进料或皮带传输、极缓慢的过程或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象。 此外，对许多大时间常数的系统，也常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似， 这都可以归结为时滞系统模型。一般地，一个系统中原料或信息的传输也往往导 致时滞现象的产生。因此，通信系统、传送系统、化工过程系统、冶金过程系统、 环境系统、电力系统等都是典型的时滞系统。实际中滞后主要是由下面等因素引 起的：( 1 ) 实际系统变量的测量；( 2 ) 用于实际系统中设备的物理性质；( 3 ) 物质及 信号的传递。时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时也往 往是系统不稳定和系统性能变差的根源。 以分为状态的单时滞和多时滞两种情况。 从研究对象看，状态时滞系统的研究可 从时滞因子对系统的影响看，时滞系统 的控制器设计以及稳定性分析也有两种情况：一种是时滞无关( 或时滞独立) ，所 设计的控制器增益以及系统的稳定性与时滞的大小无关；另一种时滞相关( 或时 滞依赖) ，系统的稳定性依赖于时滞的大小。一般来说，时滞独立的稳定性条件较 时滞依赖具有一定的保守性。但是时滞独立系统无须知道精确的时滞信息，而且 条件往往较时滞依赖系统更为简单。 五、数学基础知识 线性矩阵不等式是解决控制问题的重要工具，下面首先介绍线性矩阵不等式 的定义。 定义1 1 下面的线性矩阵不等式称为严格的线性矩阵不等式： j l ，( x ) = e ( 工) + 而正( 工) o 其中：x 尺”是未知变量，只= 曩7 r “”g = 0 ，1 m ) 是给定矩阵。，( z ) 0 表示 ，( 工) 是正定矩阵。对于任意非零向量1 ，尺”，都有1 ，7 ，( x ) ， 0 成立。若成立： - 苎l ，( 工) = 磊( 工) + 2 二薯只( x ) o 则称之为非严格线性矩阵不等式。 4 切换系统的混杂控制 利用s c h u r 引理可将非线性凸不等式转化为l m i 。下面介绍适合于严格l m i 和非 严格l m i 的s c h u r 引理。 引理1 2 如果l m i ： l 璺x ) s ( z i o 【- s r ( 功r ( z ) j 其中：q ( 石) = q r ( 力，r ( z ) = 尺r ( 力，s ( 工) 是x 的仿射函数，那么该l m i 等价于： r ( z ) o 且q ( 功一s ( z ) 尺叫( 力s r ( 功 0 。 此结论推广到非严格l m i 则有： 引理1 3 如果l m i ： 咒辫。i s 1 ( 功尺( x ) i 其中：q ( 力= ( z ) ，r ( 石) = 尺r ( x ) 则该l m i 等价于： r ( x ) o ，q ( 力一s ( x ) r - 1 ( z ) s 7 ( 砷o ，s ( z ) ( ，一尺( z ) r 一1 ( x ) ) = 0 ； 其中r 一1 ( 工) 表示尺( 工) 的m 0 0 r s e p e n r o s e 逆。 六、本文主要工作 ( 一) 研究的内容 本文主要研究了不确定时滞切换组合大系统的鲁棒分散控制问题。在状态矩 阵和控制输入矩阵同时带有未知、时变但有界的不确定性的情况下，利用凸组合 技术、李雅普诺夫函数等方法，得到了不确定时滞切换组合大系统鲁棒分散控制 镇定的充分条件。同时探讨了线性系统在有限个被选的控制器的基础上，通过混 杂控制使系统不仅镇定，且系统的极点位于指定的圆环内。 本文安排如下： 第一章主要介绍了切换系统的定义，研究方法和研究现状以及，同时简述混 杂控制和极点配置的有关概念。 第二章主要探讨了一类不确定时滞切换组合大系统的鲁棒分散控制问题。在 状态矩阵和控制输入矩阵同时带有未知、时变但有界的不确定性，且大系统的关 联项具有一般性的情况下，利用完备性条件，得到了此类切换组合大系统渐近稳 定的充分条件，并设计出了相应的切换策略。 切换系统的混杂控制 第三章研究了一类线性系统的混杂控制问题，在有限个被选控制器的情况下， 且每一个控制器都不能使系统稳定，通过混杂控制，使其极点位于指定的圆盘内， 并设计了相应的切换策略，从而使整个系统具有较好的性能。 第四章总结全文，提出了未来工作设想，以便更加深入地进行切换系统的研 究。 ( 二) 采用的方法 利用李雅普诺夫函数方法、完备性条件、凸组合技术，同时结合线性矩阵不 等式( l m i ) 技术来处理不确定切换组合时滞大系统分散控制问题及通过混杂控制 使系统渐近稳定，且使其极点位于指定的圆环内。通过仿真( s i 叫l a ti o n ) 技术验 证了所设计方法的可行性和有效性。 ( 三) 理论与实际意义 在理论上，得到不确定切换组合时滞大系统渐近稳定的充分条件，以及得到 了使系统极点位于指定圆盘的充分条件，并设计出相应的切换策略。在实际中， 解决了任何单一的控制器无法使系统镇定这样的问题，通过对大系统的混杂控制， 降低了控制成本。 6 切换系统的混杂控制 第二章一类不确定时滞切换组合大系统的鲁棒 分散控制 一、引言 切换组合大系统是一类重要的混杂系统，由于组合大系统的分散控制不需要 各个子系统之间信息的交换就可以通过各自的信息制定控制策略，有利于实现快 速决策和适时控制。本章研究了一类不确定时滞切换组合大系统的分散控制问题， 由于实际系统不可避免地存在含有不确定性及元件老化现象，所以时滞现象经常 发生，所以本文的研究有着广泛的应用前景。大系统的研究已经取得了一定的成 果。本章研究了具有一般形式关联项的切换组合时滞大系统，设计了分散状态反 馈控制器，和相应的切换策略使切换组合时滞大系统渐近稳定。 二、系统描述 考虑由个低维子系统互联而成的不确定切换组合时滞大系统 上 毫= ( + a 4 q ( f ) ) 五+ ( 钆+ ( f ) ) 五( f _ 4 ) + ( + 哦) + ( f 一畋) ， z t = c 活t x r ( 2 1 ) 其中：五( f ) 尺吩为第f 个子系统的状态向量。第f 个子系统经由下面t 个小子系统 间相互切换产生。 毫= ( 钆+ ( ，溉+ ( 毛+ 缸唧( f ) ) 五( 卜矾) + ( + 蝇q ) + 岛_ ( f 一畋) ， ，= l ，j 耐 刁= c _ 而， ( 2 2 ) q ：【o ，佃) 专后= 1 ，2 ，岛 f ：1 ，2 ， 对系统( 1 ) 作如下假定： 蚴= 岛乃弓，虿乃，峨= 毛弓毛，万元s ， 峨= 坞吗，碍吗， ( 2 3 ) 本文所研究的问题是如何设计分散状态反馈控制器和相应的分散切换策略， 使得对所有的允许不确定性时滞切换组合大系统都是渐近稳定的。 引理2 1 设x ，y 为任意二个相同维数的向量，g 为任意一个正常数，则 7 切换系统的混杂控制 2 工t y 占一1 x t 石+ g y t j ， 三、主要结果、 ( 2 4 ) 定理2 1 若存在正常数白，磊( 江1 ，2 ，= 1 ，2 ，) 及对称正定矩 阵只和矩阵k 驴使得 嘞【弓( 4 一岛毛) + ( 鸟一嘞) t 曰+ 暑q 1 只+ q 】 o ，扛1 ，2 ，( 2 5 ) ，l i 有解，则存在分散状态反馈控制器和分散切换策略 q ： o ，佃) 专后= 1 ，2 ，向 f = 1 ，2 ， 鲁棒镇定不确定切换时滞组合大系统( 2 1 ) 。 其中： = 1 ，= 一巧而， r q 。= 蠢e ，磁+ m ，m j + s ：鸡+ 瓦码+ 对h 。h ；， 户i ，耐 j q 2 = i e f l + s i 砖峨n k q + i j + s t 霞民+ 6 i ， = i 。，f 万= a r g 【( 鸣一岛巧) + ( 呜一岛巧) t 号+ 霉q 号+ q 2 】 a r g ) 表示括号内函数取最小值时下脚标f 的取值。 证明：构造李亚普诺夫函数 晰) ) 喜p 瓢+ l 和婊( 州叶，毫，l 岛枷蹦州小2 6 ) 则y ( x ( f ) ) 的导数 矿( z ( f ) ) = 2 # 号毫+ # 簖五一# o 一面) 簖五。一磊) + 岛# ( 乃( 仃) n n 一岛彳。一畋) 一。一畋) ， ( 2 7 ) f - i = i ，f nnn 2 # 醌= 珂曰【( 鸣+ 鸭) 一( 岛+ 峨) 如】+ 珥曰( 元+ 码) 玉( 卜吐) i 宣if = if = i 8 ， f 皇l | + f = l 切换系统的混杂控制 # 【曰( 4 一岛巧) + ( 4 f ，一岛巧) t 日】五+ 2 # # 玉+ 2 # 暑峨而 由引理( 2 1 ) 得 f = lf = l nn + 2 # 日瓴玉( f 一磊) + 2 # 曰_ o 一畋) ， ( 2 8 ) f 丘if = l ，l l ，f 2 # 号鹄= 2 # 娲乃弓而 扛if = lf = i 姬蕞蠢r e 4 战只x t + 瞻斌战f ， 2 # 曰蝇巧而= 2 # 掣 玛毛 j = lf = l f = io 盖x 1 e m 口m j 只x t + s 注醚心n 口k 4 x ， 2 # 号峨玉。一面) = 2 # 岛毛县毛。一面) f = i，= i f = l2 # 层弓五。一面) nn f = l ，= l 石1 # 毋自可只玉+ q ，# o d 。) 曰昂再。一面) 】， 【耐# 异毛刁取+ q 。# o 一面) 玉。一4 ) 】， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 2 # 墨乃。一吐) 露1 # 弓可曰五+ 岛巧l j f 一畋) t o 一吐) 】 f l = 1 ， f i i 令s i 。= i 。i + t ，式式 nn j 吐。j 越 【# 只靠1 可号焉+ 岛# o 一畋) _ o 一畋) 】，( 2 1 3 ) f - i ，一i ，耐 将( 2 8 ) 一( 2 1 3 ) 代入( 2 7 ) 式可以得到 矿( 工( f ) ) f = i ，= l ，耐 0 t 矗露f x t + 霹e m 。m j 肇t + s 矗醚峨n ，k ；x 、+ # 【霉( 鸣一岛巧) + ( 鸣 f = l 一嘞巧) t 曰】而+ 靠1 # 露岛霹铂 + 9 切换系统的混杂控制 f l 霉e 毳j 或只x + s 三毫只瓦码只黾+ 6 x 1 只h u 哦只x t + x 1 s f = llf - ij 啦0 e ；战+ 畦m 一；+ 礤+ 瓦码+ h ，h ：记+ 户i ，耐 u t l f ：f i 七t 2 磁峨n 口k g + e 。4 i + b 霹民七6 口i nx i 0 产l ，刮 由已知条件知矿( z ( f ) ) 0 ，所以系统渐近稳定。 四、致值买1 夕u 考虑= 2 时的切换组合时滞大系统，其参数分别为 4 。= l 三兰l ，4 ：= l 三；i ，马。= 【。t 】，e ：= 【1 。】， r o 1o r o 3 _ 0 4 r o 1 一o 2 一r o 1o 巨- 2k o 2i ，互：2io 州i ，m z 2 i o - o 3l 4 - 2 lo o 1l ， 珏l0 1 甜耻e 私：【o 舵删， 10 0 1 o 0 1i l o 0 1 0 0 2i 互i 。l - o 0 1 o 0 li ，互2 2 l o 0 1 卸0 3l ， 取q l = q 2 = 吃l = = o 5 ， 由引理1 5 2 将( 2 5 ) 式转化为l m i ，从而解出正定矩阵只， 毋：隰鬈裟斗蜀。：【o 0 0 2 3 9 0 5 6 2 】，墨：【8 0 0 2 3o 0 5 6 2 】 毋2 lo 0 0 9 6 o 4 4 5 9i ，蜀l2 【仉0 0 2 3 殳0 5 6 2 】，墨22 【& 0 0 2 3 n 0 5 6 2 j 从而可以证明系统在此切换策略下是渐近稳定的。 五、本章小结 组合时滞大系统的分散控制以其简单容易实现而倍受技术人员们的欢迎，运 用切换技术于组合时滞大系统使其渐近稳定是一种非常好的方法，另外镇定一个 组合时滞大系统，如果我们采用一个单一的控制器不一定能达到控制目的，即使 l o + 1 j 只 厂 砀 一 呜 ，l + 、，巧 乃 一 如 ，l 日# 鲥 o ，幺。一幺：鲥磁 o ，或者幺 o q 2 ：一醴鳊1 9 ： o 。 三、王要定理 假设系统满足在任意切换信号下，其解是右可微的，且在任何有限时间区间 【o ，丁】仅有有限次切换。 定理3 1如果线性矩阵不等式 善州( 一譬+ ，一) p + 詈剐f + 手4 p + 吾4 以，】 。 ( 3 4 ) 有对称正定解p ，那么一定存在切换律f ：【o ，佃) 寸 1 ，2 ，m ) 使得系统( 3 1 ) ， ( 3 2 ) 是稳定的，且系统的极点位于半径为，圆心在( _ g ，o ) 的圆内。 证明：对石足” o ) 有 喜矿 ( - 等肌等p 4 r + 等4 尸+ 吾4 聊b 。 令 q = 缸i x r 【一( 车+ ，2 ) p + 号p + 里4 p + 1 4 p k 0 ) ( 3 5 ) rrrr 朋 由( 3 5 ) 式知，我们取尺” o ) = u q ， f = l 令q l = q i ， q ：= q ：q l ，q 。= q ，u q ，则有r 。 o ) = u q ， f 薯lf = l q f n q ，= ，f j 。 切换律可设计为f ( x ) = f ，z ( f ) q ，此切换律可确保系统( 3 1 ) 的极点位于指定的 圆盘中。 1 3 切换系统的混杂控制 ( 一譬+ ，2 ) p + 詈以，+ 詈彳尸+ 吾4 群钏 c 3 6 ， 整理得 一护一( g p + 彳j 尸) ( 一九p ) - 1 ( g p + 户，重f ) o ( 3 7 ) 将其转化成线性矩阵不等式得 、 i 盎，之，i 枷 慨8 ， 、 + 叫 一，p j w 7 根据引理( 3 1 ) 得结论，系统的极点配置在原点在( 一g ，0 ) 半径为厂的圆盘中。到此 定理得以证明。 四、仿真实例 考虑下面的系统 膏= 血+ 召“ 一 y = c x 其中：彳= 言： ，口= ( 三? ) 设系统有两个被选的状态反馈控制器为 = ：1 1 毛= 二：二 工，取g = 3 ，= ，取q = 呸= 。5 解不等式： 一8 ，一8 尸+ 3 只铲+ 3 4 p + 4 只r o 可得 尸：1 1 2 1 9 o l l 00 0 9 2 4l 根据定理得系统的极点全部配置在以( 一3 ，0 ) 为圆心，= 1 为半径的圆形区域 内。下图为系统的在混杂控制器下的状态响应曲线 、 1 4 切换系统的混杂控制 五、本章小结 本文研究了一类线性系统在有限个被选控制器的情况下，每一个控制器都不 能使系统镇定，通过混杂控制使系统渐近稳定，且使系统的极点位于指定的圆盘 内的问题。本章利用切换技术、凸组合技术和l m i 方法。最后仿真实例验证了所 设计混杂控制器及相应的切换策略是正确有效的。 1 5 切换系统的混杂控制 第四章结束语及未来工作设想 一、结束语 本文主要研究了不确定时滞切换组合大系统的鲁棒分散控制问题。在状态矩 阵和控制输入矩阵同时带有未知、时变但有界的不确定性的情况下，利用凸组合 技术、李雅普诺夫函数等方法，得到了不确定时滞切换组合大系统的鲁棒可镇定 的充分条件。并利用s c h u r 补引理将此条件归结为求解线性矩阵不等式问题，从 而设计出相应的切换策略。同时探讨了一类线性系统的具有闭环极点约束的混杂 控制问题。 二、未来工作设想 由于切换系统是一个应用很广泛的研究领域，对它的研究正方兴未艾，许多 挑战性的问题还未解决。一些新的方向在未来可能更显重要，例如：最优控制， 切换是最优控制的一个有力工具，经典极大值原理导致的b a n g b a n g 控制就是切 换型的控制。切换系统优化控制的一些新结果可见文献 5 8 ，5 9 。 与复杂性相关的切换系统。利用自然界群集行为研究社会行为控制是系统与 控制的一个新方向，它是控制理论与复杂性科学的一个交叉点。这方面的工作可 见文献 6 0 ，6 1 。 其它方面如：可靠控制、能控性、能达性、输出调节、输出跟踪、解耦控制、 观测器设计、自适应控制等问题都是以后值得进一步研究的课题。 对于切换系统的鲁棒控制问题而言，在特定的条件下，切换策略的选取及控 制器的优化设计也是值得进一步考虑的领域之一。 1 6 参考文献 【2 】 【3 】 【4 】 【5 】 【6 】 【7 】 【8 】 【9 】 【l o 】 【1 2 】 【1 3 】 1 4 l 【1 5 】 【l6 】 参考文献 w i t s e l l l l 卸s 印hs ac l 鸽so fh y b d d s 讹c o n t i 肌0 1 州m ed y n 锄i cs y s t e m s 【j 】尼髓 7 k 船爿“幻m c d 刀加口，1 9 6 6 ， 1 1 ( 2 ) ：1 6 l 1 6 7 t a v 钮l i i l il d i 脏啪t i a l 卸t 0 i n a t a 龃d 血e i rd i s c 础es i 舢l a l i o r s 【j 】o 订砌阴，彳加， 砀p d 砂，朋匆咖d 凼，4 印正1 9 8 7 ，1 1 ( 6 ) ：6 6 5 - 6 8 3 d e c a l l or ， b 啪i c l c ) ，ms e ta 1 p e 鹞p e c t i v 髓锄dr 髑u l t s o nm es 伯k l 埘锄d s t a b i l i z d b i l 时o f h y “ds y s t 锄s 【a 】m c 矿历p z 髓研c 】2 0 0 0 ， 8 8 ( 7 ) ：1 0 6 9 一1 0 8 1 l i b e r z o nd 锄dm o r s eas b 嬲i cp r o b l 锄si i ls t a b i l 时锄dd c s i 印o f 刚t c h e ds y s t 朗鸠 【j 】脚ec d 肋，跏f 研墟朋矗g 口z 切p ， 1 9 9 9 ， 1 9 ( 5 ) ：5 9 7 0 y eh ，m i c k e ln ，h o ul s t a b i l 时五d rh y 研ds y s t e m s 【j 】脚z 幻埘4 “幼竹肋移， 1 9 9 8 ，4 3 ( 4 ) ：4 6 1 4 7 4 b 锄p o 玎a da ， g i 锄c 盯l ofta n dm o m r im 0 i b 鳓r v a b i l i t y 锄dc o n 由0 l la _ b i l i 哆0 f p i e c e w i s ea 伍n e 柚dh y 嘶ds ) r s t 伽培【a 】砌p r d c 3 舻z 聊c o 西d 括f d n 口以c d 腑1 d ， 【c 】p h o e n i ) 【，a 五z o n a ， u s a ，1 9 9 9 ，3 9 6 6 3 9 7 1 s 岫z l 啪d o n g ，z h 舶gd a z l l o n g o n 他a c h a b i l i t ya n ds t a b i l i z 撕o no fs v v i t c l l e dl i l l e 盯 s y s t e m s j 】脚砌瑚锄4 “棚口廊c d 疗肋，2 0 0 l ，4 6 ( 2 ) ：2 9 l - 2 9 5 b 娜i c k yms 锄dm i n e rska l g o r i 吐蚰sf o