（电路与系统专业论文）几类最佳离散信号的研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 摘要 最佳离散信号及其设计在现代通信、雷达、声纳、制导、空间测控，以及电子 对抗等有线和无线系统的优化设计中，扮演着越来越重要的角色。结构优良的信号 可以提高系统的抗干扰、抗噪声、抗截获、抗衰落等性能，可以增加系统的数据保 密性，可以实现码分多址通信和实现通信中的同步与捕捉等。因此，深入研究各种 最佳离散信号，在理论上和应用上都有非常重要的意义。在过去几十年研究中已取 得了大量的重要成果，目前仍在作更深入的研究。 最佳离散信号的研究主要包括循环相关、非循环相关、基于偶的相关信号等几 方面。本文主要对新近提出的基于偶的各种相关信号和最佳四元互补阵列进行了研 究。本文仅研究其理论问题，不讨论其工程应用。 在最佳二元阵列偶及差集偶的研究方面，证明了序列长度为4 的倍数时存在最 佳二元序列偶；提出并解决了最佳二元阵列偶的唯一性问题，该问题的解决方法可 以推广到其它基于偶的最佳离散信号上；根据差集偶与最佳二元阵列偶的等价关系， 进而深入研究差集偶并提出了差集偶的7 种构造方法；提出并证明了差集偶的第一、 第二乘子定理，可以判定某些差集偶的不存在性并构造新的差集偶，进而提出了计 算机搜索算法：把差集的乘子猜想理论引入差集偶中，提出差集偶的乘子猜想，并 改进了搜索算法，得出了几个长度在1 0 0 以内的目前未为所知的差集偶实例，进一 步证实了在差集偶中的乘子猜想的可行性。 在最佳四元阵列偶的研究方面，讨论了最佳四元阵列偶及其相关性质，建立了 最佳四元阵列偶与特征多项式的等价关系；提出了用阵列变换、递归、周期乘积、 最佳二元阵列偶等多种最佳四元阵列偶的构造方法，可以构造出大量的最佳四元阵 列偶。 在最佳互补二元序列偶的研究方面，给出了最佳互补二元序列偶的特征多项式 性质；提出了利用差集偶和有限域理论中的分圆类的方法来构造最佳互补二元序列 偶，这两种方法不仅可以方便、快捷的构造出大量的最佳互补二元序列偶，也初步 尝试了把现代数学理论应用于研究基于偶的最佳离散信号。 在最佳互补四元阵列的研究方面，建立了最佳互补四元阵列与相对差族的等价 关系，为最佳互补四元阵列的研究提供了新的数学工具；提出了用阵列变换、列正 交阵列、最佳四元阵列、周期乘积、互补侣、递归等多种方法构造最佳互补四元阵 燕山大学上学博士学位论文 列；最后提出了一类特殊的最佳互补四元阵列二维正定最佳互补四元阵列，该 阵列的构造不仅可以作为新的最佳互补四元阵列的构造方法，也可以利用该阵列构 造出新的最佳互补四元阵列。 在并元互补码偶族的研究方面，讨论了一类新的最佳离散信号并元互补码 偶族；给出了并元互补码偶族及并元等重互补码偶族存在的必要条件；提出了一种 新的区组设计概念并元加族偶，并建立了并元互补码偶族与并元加族偶的等价 关系；提出了用序列变换和并元互补码偶侣的方法来构造并元互补码偶族。 文中所提出的最佳离散信号构造方法，都通过计算机算法加以实现并给出示例 加以阐明。 关键词最佳离散信号；阵列偶；差集偶：循环相关；并元相关 i i a b s t r a c t t h ep e r f e c td i s c r e t es i g n a la n di t sd e s i g np l a y sa ni n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr o l ei n m o d e r nc o m m u n i c a t i o n s ，r a d a r ，s o n a r ，n a v i g a t i o n ，s p a c er a n g i n ga n dc o n t r o l l i n g ，a n d e l e c t r o n i c a l l yc o u n t e r m e a s u r e sd e s i g no p t i m i z a t i o no fo t h e rw i r e da n dw i r e l e s ss y s t e m s w e l l s t r u c t u r e ds i g n a l sc a ne n h a n c es y s t e m sp r o p e r t i e so fa n t i - i n t e r f e r e n c e ，a n t i - n o i s e ， a n t i - d o u b t s ，t h ed e c l i n eo f p e r f o r m a n c es u c ha sr e s i s t a n c et ot h es y s t e m , a n di n c r e a s ed a t a c o r t f i d e n t i a l i t y a n dc d m ac o m m u n i c a t i o n sa n ds y n c h r o n o u sc o m m u n i c a t i o na n d r a p t u r ec a nb ea c h i e v e d t h e r e f o r e ，a ni n - d e p t hs t u d yo ft h ep e r f e c td i s c r e t es i g n a l si so f v i t a li m p o r t a n c eb o t hi nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s o v e rt h ep a s td e c a d e s ，t h er e s e a r c hh a s m a d eg r e a ta c h i e v e m e n t sa n df u r t h e ri n - d e p t hs t u d yi su n d e r w a ya tp r e s e n t p e r f e c td i s c r e t es i g n a lr e s e a r c hi n c l u d e sp e r i o d - r e l a t e ds i g n a l ，a p e r i o d r e l a t e ds i g n a l ， r e l a t e ds i g n a lb a s e do np a i r sa n do t h e rs u c ha s p e c t s t h en e w l yp r o p o s e dp r i n c i p l eb a s e d o na l lr e l e v a n tp a i r - b a s e ds i g n a l sa n dp e r f e c tc o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y s i s d i s c u s s e di n t h i st h e s i s t h i st h e s i so n l ys t u d i e dt h et h e o r e t i c a li s s u e s r a t h e rt h a ni t s e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s i nt h er e s e a r c hi n t op e r f e c tb i n a r ya r r a y p a i r sa n dd i f f e r e n c es e tp a i r s ，i tw a sp r o v e d t h a tp e r f e c tb i n a r ya r r a yp a i r se x i s tw h e ns e q u e n c el e n g t hm u l t i p l i e rf o rf o u r ；q u e s t i o nt o t h eu n i q u e n e s so fp e r f e c tb i n a r ya r r a yp a k sw a sp r e s e n t e da n dp r o v e d t h em e t h o du s e d i nt h es o l u t i o nt ot h i sp r o b l e mc a nb ee x t e n d e dt oo t h e rp e r f e c ts i g n a lb a s e do np a i r s b a s e do nt h ee q u i v a l e n c er e l a t i o nb e t w e e nd i f f e r e n c es e tp a i r sa n dp e r f e c tb i n a r ya r r a y s p a k s ，a ni n - d e p t hr e s e a r c hi n t o d i f f e r e n c es e tp a k sw a sd o n ea n da sar e s u l t ，s e v e n c o n s t r u c t i o nm e t h o d so fd i f f e r e n c es e tp a i r sw e r eg i v e n t h ef i r s ta n ds e c o n dm u l t i p l i e r t h e o r e m sb a s e do nd i f f e r e n c es e tp a i r sw e r eg i v e na n dp r o v e d ，w h i c hc o u l df i n ds o m e d i f f e r e n c es e tp a i r sn o n - e x i s t e n ta n dc o u l dc o n s t r u c tn e wd i f f e r e n c es e tp a i r s c o m p u t e r s e a r c ha l g o r i t h mw a sp r e s e n t e d m u l t i p l i e rg u e s so fd i f f e r e n c es e t sw a si n t r o d u c e di n t o t h em u l t i p l i e rg u e s so f d i f f e r e n c es e tp a i r s a c c o r d i n g l y , s e a r c ha l g o r i t h mw a si m p r o v e d ， r e s u l t i n gi ns e v e r a le x a m p l e so fd i f f e r e n c e s e tp a i r su pt ot h er a n go f1 0 0u n s o w nt o a n y o n eu p t i l ln o wa n df i 1 r t h e rc o n f i r m e dt h ef e a s i b i l i t yo f m u l t i p l i e rg u e s s i nt h er e s e a r c hi n t op e r f e c tq u a t e r n a r ya r r a yp a i r s ，p e r f e c tq u a t e r n a r ya r r a yp a i r sa n d 燕山大学工学博士学位论文 i t sr e l a t e dc h a r a c t e r sw e r ed i s c u s s e d ；t h ee q u i v a l e n c er e l a t i o nb e t w e e np e r f e c tq u a t e r n a r y a r r a yp a i r sa n di t sp o l y n o m i a lc h a r a c t e rw a se s t a b l i s h e da n dt h ec o n s t r u c t i o nm e t h o d so f a l o to f p e r f e c tq u a t e r n a r ya r r a yp a i r sb yu s i n ga r r a y st r a n s f o r m , r e c u r s i o n , p e r i o dp r o d u c t ， p e r f e c tb i n a r ya r r a yp a i r sw e r ep r o p o s e d i nt h er e s e a r c ho fp e r f e c tc o m p l e m e n t a r yb i n a r y s e q u e n c ep a i r s ，p o l y n o m i a l c h a r a c t e ro fp e r f e c tc o m p l e m e n t a r yb i n a r ys e q u e n c ep a i r sw a sg i v e n ；t w oc o n s t r u c t i o n m e t h o d sb yu s i n gd i f f e r e n c es e tp a i r sa n df i n i t ef i e l dt h e o r yw e r ep r o p o s e d n l et w o m e t h o d sc a nc o n s t r u c tp e r f e c tc o m p l e m e n t a r yb i n a r ys e q u e n c ep a i r sc o n v e n i e n t l ya n d q u i c k l y ，a n dm e a n w h i l eap r e l i m i n a r ya t t e m p tt os t u d yp e r f e c ts i g n a l sb a s e do np a i r sb y u s i n gt h em o d e mm a t h e m a t i c a lt h e o r yw a s m a d ea sw e l l i nt h er e s e a r c ho fp e r f e c tc o m p l e m e n t a r y q u a t e r n a r ya r r a y s ，t h ee q u i v a l e n tr e l a t i o n s b e t w e e np e r f e c tc o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y sa n df a m i l yo fr e l a t i v ed i f f e r e n c es e t p a i r sw a se s t a b l i s h e d ，t h u sp r o v i d i n gp e r f e c tc o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y ss t u d i e s w i t hn e wm a t h e m a t i c a lt o o l s t h ec o n s t r u c t i o no fp e r f e c tc o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r y a r r a y sb yu s i n ga r r a yt r a n s f o r m , o r t h o g o n a la r r a y s ，p e r f e c tq u a t e r n a r ya r r a y s ，p e r i o d p r o d u c t ，p e r i o dp r o d u c tc o m p l e m e n t a r yc o m p a n i o na r r a y s ，b yr e c u r s i o na n do t h e r m e t h o d sw a sp r e s e n t e d a n df i n a l l yas p e c i a lc a t e g o r yo fp e r f e c tc o m p l e m e n t a r y q u a t e r n a r ya r r a y sa n dt w o - d i m e n s i o n a lc a n o n i c a lp e r f e c tc o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r y a r r a y sw a sp u tf o r w a r d ma r r a yc a nn o to n l yh eu s e da sc o n s t r u c t i n gm e t h o d sf o r p e r f e c tc o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y sb u t a l s oh ea b l et oc o n s t r u c tn e wp e r f e c t c o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y s i nt h er e s e a r c ho f f a m i l i e so f d y a d i cc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c e sp a i r s ，an e wc a t e g o r y o fp e r f e c ts i g n a l 一- f a m i h e so fd y a d i cc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c e sp a i r sw e r ed i s c u s s e d ； n e c e s s a r yc o n d i t i o n so ff a m i l i e so fd y a d i cc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c e sp a k sa n de q u a l w e i g h tf a m i l i e so fd y a d i cc o r a p l e m e n t a r ys e q u e n c e sp a k sw e r ep r o v i d e d ；an e wc o n c e p t o fc o m b i n a t i o nd e s i g n - - f a m i l yo fd y a d i ca d d i t i o ns e tp a k sw a sp r o p o s e d ，a n dt h e e q u i v a l e n c er e l a t i o n sb e t w e e nf i l m i i e $ o fd y a d i cc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i r sa n d f a m i l yo fd y a d i ca d d i t i o ns e tp a i r sw e r ee s t a b l i s h e d ；t h et w oc o n s t r u c t i o nm e t h o d sb y u s i n gs e q u e n c et r a n s f o r ma n dd y a d i cc o m p l e m e n t a r yc o m p a n i o ns e q u e n c ep a i r sw e r e p r e s e n t e d t v a b s l r a c t c o n s t r u c t i n gm e t h o d so fp e r f e c ts i g n a lp r o p o s e di nt h i st h e s i sa r ea c h i e v e dt h r o u g h c o m p u t e ra l g o r i t h m sa n dw i t he x a m p l e se l a b o r a t e d k e y w o r d sp e r f e c td i s c r e t es i g n a l ；a r r a yp a i r s ；d i f f e r e n c es e tp a i r s ；p e r i o dc o r r e l a t i o n ； d y a d i cc o r r e l a t i o n v 燕山大学博士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的博士学位论文几类最佳离散信号的研究， 是本人在导师指导下，在燕山大学攻读博士学位期间独立进行研究工作所取得的 成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式注明。 本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签字： 、敖素闱 日期；础r 月) 刁日 燕山大学博士学位论文使用授权书 几类最佳离散信号的研究系本人在燕山大学攻读博士学位期间在导师 指导下完成的博士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学所有，本人如需发表 将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完全了解燕山大学关于保存、 使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版 本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：嘘秀f 囝 日期：如。俘j 月) 口日 导师签名：许越，；塾 日期：扣彰年月却日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 最佳离散信号及其设计在现代通信、雷达、声纳、制导、空间测控，以及电子 对抗等有线和无线系统的优化设计中，扮演着越来越重要的角色 1 5 1 。结构优良的信 号可以提高系统的抗干扰、抗噪声、抗截获、抗衰落等性能，可以增加系统的数据 保密性，可以实现码分多址通信和实现通信中的同步与捕捉等【6 。4 1 。因此，深入研 究各种序列( 或阵列) 的性质，在理论上和应用上都有非常重要的意义。由于最佳离 散信号设计的广泛性和重要性，在过去的几十年里世界各国的科学家和工程技术人 员对此进行了长期的研究，并取得了大量的重要成果，目前仍要作更深入的研究。 最佳离散信号设计问题不仅对通信、电子工程的设计起着极其重要的作用，而 且该问题还与许多数学学科有着密切的联系。由于最佳离散信号设计的需要，已经 提出了许多新的数学问题，对这些数学问题的研究也推动了某些数学分支的发展； 反过来，数学的发展极大地促进了最佳离散信号设计理论的发展。 但是，最佳离散信号本身并无严格的数学定义，在各种不同的工程领域中，由 于实用背景的千差万别，对所用信号的需求标准也有差别。一般说来，能满足某项 工程的需求并使系统性能处于最优状态的信号，统称为最佳离散信号( 或称为最佳信 号) 。由此可见，某个信号是否最佳，仅是相对的，不是绝对的。实际上，当用一种 工程标准去衡量某类信号时，它可能是最佳的，但当用另一种工程标准去衡量时， 该一类信号可能就变成差的了。因为有些工程要求彼此之间本身就是相互抵触的， 所以可以断言：当前不存在、今后也几乎不可能找到一类信号在所有工程要求标准 下都是最佳的。 随着电子技术、通信技术和计算机技术的飞速发展，电子设各处理信号的能力 大幅度增加，各种电子系统功能愈来愈多，结构愈来愈复杂，对系统的各项性能指 标的要求愈来愈高，对所用信号也就提出了更高的要求。特别是计算机技术在通信 系统中的广泛应用，至使在通信中信号( 包括模拟信号和数字信号) 不仅可以采用电 路方式处理，而且可以采用各种计算机用数字方式( 程序) 处理，处理信号的手段更 加灵活。这就促使人们可以选用更为复杂的信号形式( 特别是新的序列相关方式以及 新的最佳信号形式) 来提高系统的性能。 燕山大学工学博士学位论文 综上所述，研究最佳信号设计理论不仅有重要的理论价值，而且有广泛的工程 应用前景。 现今对于信号最普遍的工程要求大约可分为卜9 1 5 1 8 】：伪随机性、循环相关性( 周 期相关性) 、非循环相关性( 非周期相关性) 、汉明相关性和线性复杂度等。在这些工 程标准要求下，已取得大量的、有重要理论价值和应用前景的成果。 1 2 循环相关信号的研究现状和发展趋势 循环相关是目前应用最广泛、研究最深入的最佳信号准则，它之所以成为判定 最佳信号的一个标准，是因为在通信工程问题中常常要求所处理的信号集至少具有 如下两个条件或其中之- - 1 3 , 1 轴1 6 】： ( 1 ) 信号集里的每一个信号都很容易与其自身的移位信号区分开来； ( 2 ) 信号集里的每一个信号都很容易与此信号集的其他信号以及它们的时延信 号区分开来。 条件( 1 ) 对诸如遥测系统、雷达系统和扩频通信系统来说是十分重要的；而对同 时遥测多个目标、多个终端系统识别和码分多址通信系统来说，条件( 2 ) 则更为重要。 在实用中，为了简化有关工程系统具体的实现过程，经常要求信号是周期性的。区 分信号的一个最常用和最有用的测度是所谓的最小均方差，即当两个信号之间的均 方差很大时，这两个信号就很容易彼此区分开来。从理论上已经严格证明 7 , 8 , 1 5 】：当 信号的采样序列具有良好的循环相关特性时，信号与信号之间以及与其时延信号的 之间的均方差就较大，从而可以利用带有相关接收机或匹配滤波器的导航和雷达系 统等接收设备准确地提取出所需要的信号或时延。这便是循环相关为什么可以作为 判别最佳信号的一个标准的工程背景。 循环相关函数定义如下1 9 a 5 1 ： 设x = ( x o ，一，h 一。) 和y = ( ，y l ，y n 一。) 是两个长有限序列，称函数： ? i - 1 r 。0 ) = z ，y j 。，0 f n - 1 ( 1 - 1 ) j 卸 为信号x 和y 之间的循环互相关函数，其中n + f = n + r ( m o d n ) ( 循环的含义就在于 此1 。当x = y 时，又称此函数为循环自相关函数。 当然，上述的循环相关的定义也可以推广到阵列的形式。 由式f 1 1 ) 可见，两个信号之间的循环相关函数值实际上就是一个信号与另一个 2 第1 苹绪论 信号循环移位的复数共轭之间的内积，这样，设计具有良好循环相关特性的信号集 的任务就变为找出由若干个周期序列组成的信号集，而这些序列要同时满足以下两 个条件或者满足其一； 1 ) 精集合孛魏每个净戮x = 毛 ，当o # 妄n - 1 时，异葙鑫稳美函数蘧 j 0 ) | 要尽可能地小，即自相关豳数要尽可能地接近于一个6 函数； ( 2 ) 集合中两个不同倍母之间的互相关函数的绝对值要尽可能地小，即对于一切 0 s f n 一1 ，工y ，信号x 和y 的互相关值i 0 ) i 要尽可能地小。 焱瀵去豹足年中，经霆痰癸学者不蘩逮努力，在这方蠢载褥了不少突玻瞧浅 就，藏功璇设计出许多类阍时具有良好循环自褶芙和互相关特性静序列和阵列 1 1 5 】， 特别魑从理论上给出了循环相关函数的性质和谒5 即- - 9 , 1 1 , 1 4 , 1 5 , 1 9 “2 7 ，这对于进一步研 究具有良好循环自相关和氨拥* 特性的序列和阵列有重要的指导意义。同时，由于 具有良好循环裙关特性的锻健序列或序列族往徒与一些著名的区缀设诗等价口，针，致 使对于羧佳菇号滓囊戆磷襄不毽有重要戆实辩懑义，瑟显还弯重要熬理论意义。 按照信号元素的取值，已有的循环相关离散信号可以分为两大类。 一类是复值或实值序列和阵列，这种序列的特点是它的元素取自复数域或实数 域中的任何一个部分。由于此类序列取值的复杂性，他们更常用于模拟通信系统中。 这类信譬浆主要成果有：m l t o p 彦魂器8 】、基予多矮式豹多元序列泌 3 0 】秘三角序翻郾】 等。 另一类是整数序列域阵列，其特点是元豢取值简单，例如，仪取十1 和一1 ；或 仅取0 和1 i 或仅从某个有限域中取值等。这擞信号的主要成果肖：移位寄存器序 列【1 3 , 1 1 - 1 3 、1 1 3 序列口3 , 6 1 3 , 1 7 , 1 8 】、g l o d 序n t 2 ，”、k a s a m i 序歹【j 9 - 1 、m 序y t l t 1 肌、b e n t 廖裂罄藏8 1 、g m w 序歹转，冀”, 3 2 1 、w a l 盘编码嘲、h a d a m a r d 编码 8 , 1 0 , 1 1 , 3 3 - 3 9 1 、平方黍l 余 码( 指数璐或l e g e n d e r 序y 0 1 7 , 9 】、辛格码啊、猿掰眈码 7 1 、霍可汔娼 7 1 、光正交码 8 1 、 f r a n k 序y 0 1 、g o l o m b 序n t g 、c h i r p 序列f 9 】、最佳二元阵列 4 0 - , 5 5 1 和几乎最佳二元阵 列5 6 制】、最佳多元阵列1 6 5 1 和几乎最佳多元阵列6 1 、周期互补序n ( 阵n ) t 9 , 6 7 州1 等。 这一部分的研究成果非常丰赛，在此不一一叙述。 铁矮谴离数意号豹蔽谤方法来羲，嚣裁舞窍戆主要方法舂： ( 1 ) 移位寄存器方法魏括线性移位寄存嚣方法和非线往移位寄存器方法，这是 工程中用得最多的方法。它的优点是结构简单、速度快、成本低、蒋适性强等。线 性移位镯存器是在1 7 世纪掇出的线性递归概念的基础上发展起来的，1 9 5 3 年g i b e r 燕山大学工学博士学位论文 首先用它来产生了最大长度的线性序列。由于代数理论的深入发展，后经w e l c h 和 z i e r l e r 等人的有效研究，发展形成了现在的现行伪随机序列理论。这部分序列主要 有m 序列、g o l d 序列、k a s a m i 序列等 2 , 6 , 7 1 1 , 1 2 , 1 5 , 1 7 , 1 8 。其中m 序列是最著名的一种， 它序列平衡，有最好的自相关特性，有低的互相关特性的优选序列关联集，有较好 的部分相关特性，是目前序列研究中理论最完备、应用最广泛的一种序列。但其缺 点是线性复杂度太小，在某些工程应用( 如扩频保密通信) 中受到限制。非线性寄存 器序列由w e l c h 和g o l o m b 等人发展起来，现已取得很多成果，主要成果有m 序列、 b e n t 疹翔、g m w 旁舞等黼越”s l 。与线往移霞毒蠢器枣魏鞠笼，l 线魏移建毒毒器 序列除基商线性移位寄存嚣侉捌约特点矫，还脊序列的复杂度大等能点。然丽，菲 线性移能寄存器序列理论仍然很不完善，目前遥存在大量的问题有待研究。 ( 2 ) 肖限域方法这是一种很先进的效果很好的设计方法，其唯一的缺点是它需 要有较深麴数学基础，一般工程技术人员难以掌撩苇鞋灵活使用。傻隧麓有限域理论 知谈懿逐疹酱及，今瑟毒袋壤方法将会在最佳售謦设诗蘧论孛发簿越来越大戆佟矮。 例如，遮函数现在就已经比较广泛地用于循环稠袋信号的工程设计中f 2 , 8 , 1 s l ，用有限 域方法成功地构造了一批c o s t a s 阵列( 一种非循环相关最佳阵列) 也怒一个很好的例 证【8 ，9 1 。 ( 3 ) 农零蹑数方法毒尔溱数是科研人员都缀熬短靛一释数学工兵，所戳，这一 方法豹絮掇纷值缀大。采藤器窳薮数方法莰诗懑的有良好特淫静簇繇捐关痔甍是著 名的b e n t ) 葶y d t 8 ；运用布尔函数方法解决存疑多年的高维h a d a m a r d 瓶阵猜想问题8 1 ， 也充分说明布尔函数在最佳倍号设计领域有着广阔的应用前景。 ( 4 ) 多项式方法最近发现刹用多项式，特别怒一些低阶多项式，可默设计出一 拯憩使弦疆基耱关和互穗关阏瓣这羁最佳状态秘窿刭集。铡妻羹，当敷广( 搿) 是一除多 项式，g ( 国是个二酚多项筑辩，由公式a ! 本= a f ( 砷+ 倨蝴，0 s n s 三一| 掰定义酶亭翻 集爿= b p ) = k 5 “，a f ”，貔( ，- ) i ) ：1 r l 一1 就怒一类满足s a r w a t e 上界的最佳循环 相关信母【9 。其中上是大于3 的素数，a 是三次单位复根。 ( 5 ) 缎会数学方法许多激佬信号已经与缱会数学中的区组设计建立了等价关 系，绸露：疆焦二元阵列与熬褰、最娃圈元箨捌奄程露蓑集、最佳纛蛰阵甏与差族 等，这黧镣价关系使组合数学的发展与最佳倍母避论的发展相辅稻成。在组合数学 的研究方法中差集p h 7 9 1 及其扩展形式( 例如：相对藏集 8 0 - 8 6 】、可分差集 9 6 , 8 7 、部分差 集【8 8 】等) m r 论占有十分重要的地位，几十年来已缀取得很大发展。 第1 章绪论 除了上述几种主要的最佳信号的构造方法外，常用的设计方法还有三角函数方 法、数论方法、矩阵方法、以及其他多种混合方法 1 “3 , 6 - 9 , 1 1 “1 4 l 。这些研究方法对于很 多类型的最佳信号的研究是非常有效的。 在循环相关函数中，信号的移位是循环移位。事实上，信号的移位还可以是 w a l s h 移位和并元移位等，这些移位形式类似于循环移位，但有着与循环移位不同 的工程背景。信号的并元自相关函数定义为信号与其并元移位序列的复数共轭之间 的内积。关于并元码现已取得大量的研究成果，其理论仍在不断完善 8 , 1 4 , 1 6 , 8 9 - 9 4 。 理论研究还表明，上述许多序列之间有着密切的联系。例如，高维h a d a m a r d 编码与最佳二元阵列之间、并元码与b e n t 函数之间、h a d a m a r d 编码和最佳二元阵 列等阵列编码与b e n t 函数之间，都有着非常密切的关系 8 , 9 , 1 4 , 3 9 】。深入研究各种序列 或阵列之间的关系，用已知最佳信号序列或阵列构造新的最佳信号是有重大的理论 和实际意义的。 下面仅对与本文有密切联系的最佳二元阵列理论进行详细论述。最佳二元阵列 是一种相关性能很好的伪噪声阵列，这种最佳阵列已应用于信道编码、同步信号处 理、图像编码、数据压缩、模式识别、密码学及组合分析中。它是d o m e n i c kc a l a b r o 和j a c kk w o l f 在考虑二维同步时，于1 9 6 8 年引入的m 】，其中有关定义如下： 设s = 陋g ，x ：，) 】是一个”维。：虬阶的矩阵，式中 0 s z 。m l ，0 i h ) ，如果高维矩阵s 满足： ( 1 ) 元素为1 ，即s ( x j ，x 2 ，x 。) = 1 ； ( 2 ) 异相自相关函数为0 ，即： s ( 葺，乇，靠) s ( 一+ ，屯+ 吒，矗+ ) = 0r l 旋, r 2 篙：2 0 m z ， l ，(，) ( o ，o ，) ” 则称s 是力维。：n 。阶最佳二元阵列。式中t + = b ，+ ) m o d f 。 最佳二元阵列s = p g 。，x ：，x 。) 】的体积e 和平衡性，定义为： e = n 1 n 2 。 ( 1 - 3 ) 以一1 s ( 五，恐，x n ) k 。o ( 1 4 ) 在6 0 年代末期最佳二元阵列刚刚出现时，由于它的良好相关特性，得到通信与 窆删 窆一 = 燕山大学工学博士学位论文 电子领域内众多学者的广泛重视。但是由于当时缺乏计算机的帮助，很快发现最佳 二元阵列虽然性能特别好，但是却难以寻找。在6 0 年代仅找到一个一维4 阶最佳二 元阵列、两个二维2 x 2 阶和4 4 阶最佳二元阵列【4 ，在此后的十几年间没有取得多 少进展。直到1 9 7 9 年才又发现6 6 和3 x 1 2 阶两个二维最佳二元阵列【4 “。总的来说， 从7 0 年代初到8 0 年代中期，各国学者就没有再认真研究过最佳二元阵列。到了8 0 年代末期，由于实际工程的需要，并借助于计算机，找到了若干体积较小的最佳二 元阵列，更由于发现了许多十分有效的构造最佳二元阵列的的新方法，从1 9 8 7 年开 始最佳二元阵列又成了国际学术界的一个热点研究对象，在此后短短的几年时间里 就发表了大量的有关论文 4 2 - 5 6 】。其主要研究成果如下： ( 1 ) 最佳二元阵列的体积e 必须满足e = 4 k 2 ，( k 为正整数) ，即e 仅可取 4 ，1 6 ，3 6 ，6 4 ，1 0 0 ，1 4 4 ，1 9 6 最佳二元阵列的平衡性，必须满足1 = 五= 2 七。由此可 以得到最佳二元阵列中元素“1 ”的个数是f e 旦1 2 ，元素“一1 ”的个数是 f e 千云1 ，2 。得到了最佳二元阵列的谱特性 s , 4 2 j 6 ，4 7 5 4 】； 、 ( 2 ) 证明了当体积e 1 2 1 0 0 时，仅存在4 长的一维最佳二元阵列1 ，1 ，1 ，1 1 8 , 5 ；“5 5 1 ， 并有大量的事实显示很可能不存在其它一维最佳二元阵列【8 翔，5 2 j 。这个命题与著名的 循环h a d a m a r d 矩阵猜想问题是等价的，也与偶数长度的b a r k e r 码的存在性问题有 密切关系 8 , 3 7 1 。几十年来，有许多学者( 包括数学家) 试图攻克这一世界难题，但至今 没有成功【3 4 枷, 4 3 , 5 1 5 3 ； ( 3 ) 发现了许多用已知的最佳二元阵列构造其它的最佳二元阵列的方法，包括构 造高维高阶二元阵列的构造方法。用已知的最佳二元阵列构造同阶同体积的最佳二 元阵列的方法有 s , 4 6 ，4 8 】：循环移位变换、负元变换、逆元变换、线性相关变换、对称 变换、完全采样变换等；可用阵列的折叠方法构造与己知的最佳二元阵列体积相等 的高维或低维最佳二元阵y u t s , 5 7 1 ；可用两个或多个己知的最佳二元阵列经复合生成构 造法( 也称周期乘积构造法) 构造高维高阶最佳二元阵列【8 】；可用准最佳二元阵列方法 构造同维高阶或高维高阶最佳二元阵列 8 , 4 5 - - 4 7 , 5 6 】； ( 4 ) 发现了最佳二元阵列与高维h a d a m a r d 矩阵之间的关系，并以此解决了著名 的高维h a d a m a r d 矩阵的构造问题8 ，3 9 】；发现了最佳二元阵列与循环差集理论等组合 理论之间的密切关系 s j 6 , 4 4 j ，使得这些理论互相促进发展； ( 5 谁 助计算机在寻找较小体积的最佳二元阵列方面取得若干进展。1 9 8 7 年以前 只找到了前述的5 个最佳二元阵列，从1 9 8 7 年开始，此方面的进展十分迅速，找到 6 第1 章绪论 了大量的最佳二元阵列 4 2 5 3 l 。 根据这些已知的最佳二元阵列，使用现有的各种最佳二元阵列的构造方法，就 可以构造出无穷多高维高阶最佳二元阵列，在一定的程度上满足了工程上对最佳二 元阵列的需求。但是，由于最佳二元阵列的存在性受到多种限制。使得在许多阶数 的二元阵列中，不存在最佳二元阵列，给工程应用带来诸多不便。因此，有必要研 究新的最佳阵列形式。 1 3 非循环相关信号的研究现状和发展趋势 非循环相关的主要工程背景是脉冲压缩雷达、声纳、通信同步等问题。非循环 相关准则与循环相关准则的唯一区别在于它的信号己不再是周期性的了。相应地， 此时仅考虑非循环移位，即在定义非循环相关函数时用非循环移位代替循环相关中 的循环移位。从工程角度来说，非循环相关更加接近实际，但因研究难度太大又缺 乏有效的研究工具，使得非循环相关信号设计难度很大，正处于等待突破的阶段。 非循环相关函数定义如下 1 , 9 , 1 5 】： 设x = ( ，x 1 ，一，x _ 1 ) 和y = o ，y l i 一y - 1 ) 是两个长有限序列，称 ) = x j y j n y j ， j = 0 0 0 f n 一1 1 一n f 0 ( 1 - 5 ) h n 为信号x 和y 之间的非循环互相关函数；当x = y 时，又称此函数为非循环自相关函 数。 此定义也可以直接推广到阵列的形式。 经过国内外专家几十年不断地研究，己取得一系列具有优良性能的非循环相关 特性的序列和阵列。主要研究成果包括：二元互补序列( g o l a y 序列) 和二元互补序列 族9 5 1 删、多值互补序列和多值互补序列族1 0 1 川6 1 、b a r k e r 码1 , 4 , 1 1 , 1 1 7 1 2 1 1 、广义b a r k e r 码 9 , 1 2 2 “1 3 3 】、c o s t a s 阵歹 j 8 , 9 , 1 6 1 、