（电磁场与微波技术专业论文）高阶局部修正的nystrom方法及其在电磁散射问题中应用的研究.pdf

硕 士论 文 高阶 局部 修正的ny引 r o m方法及其在电磁散射问 题中 应用的研究 ab 8 t i 8 c t n u m erical i nt eg rati o nm e t h o di s o ne o f th eb a s i c com p o ne nt s o f t he num er i c a l c o m p u t at i o n m et hod . hn oto n ly sets t h e b a s i s o f i nt e g r a t 1 ngse vera l k i n d s o f i nt egrati o n num e ri c a i l y， b utal sohas b eco m e t h e ab so i ut e l y n e c e s sa ryp arto f t h e num eric a i m et h o d s a s the num eric alm e t h o d s d eve l o p i ng d ayb y d a 犷 to so lve t h e i nt e g r at io n in the e l ectrom 吧n et i c fi e l d ， t h e m o stn o n 旧 a l w ayi s tou set h e mo mm et h o d w i t h l o w . o r d e r b a s i s fu nct i o n s，suc h ast h e m o st iy u s ed r wgb a s i s m et hod . the refo re， t h e se k i n d so fm et h o d shave g r e at l i m i t .s ore se arc h e r sd e vel o pm a n y h i g h 一 o r d erm et h o d s r e c e n t l 丫t h e a d v a nt a g e o f t hoseh i g 卜 o rd erm et hod s i s t o 脚 h i g h er p reci s i o nw it hfe w eradd i t i o n al co m p u t at i o nsp e nt . andthe l c n ( l o c al l y 一it e c t ed ny st rom ) m et h o d i s o neo f t he m o stpop u l aro nes a mo ng t h e m. in t h i sp aper we m a i n l ysea r c ha n dstud yo n eo f t h emo st popul ar h i gh o rder num erical i nt e g r a t i o nm et hod s i nt h e i nt e r n a t 1 o nal studi e 卜t h e loc al l y 一 c o rr e ct ed n y s t r o m met h o d . d 七 r i ng t h e study， we s p e ntmo sto n t h e stu衍 o f t he p 叭 o f l o c a l corr 。 改 1 0 几and p o i nt i nh o wto d e alw it hthe s 1 n g u 1 a ri t yi nt he k e r n e l of t h ei nt e g r a t i on. a ft er d e e p l y st u d y i n g o f t h e m et hod a n d the n at u r e o f t h e s i n g u 1 arity，we t h e n l ead t o t h e fo r r n u l a p rop er tod eve l o pt h e p r o gr am . f i n a l l yi m p i e m e ntt he l c nm e t h o d b y f 0 r t r a nl a n g ， a g e . w七 t h e n a p p l y t hem e t h o d tothe sc attering p r o b ie moft hesevera l k i n d s o f p l at e i n the 加e sp ace. w 七se l ect t h e el e ct ri c fi e l di nt e g r a i i o neq u at i o n( e f ie) t oan a ly z e t he p ro b l e m . u s i ng t he o u t p uto f r c s and currenid ens i t y o f t h e c gf ft m et h o d 俪the n o u gh p at c h e s a n du n k n o w n s ast he st a n d a r d ， compare t omo m， t h i s m et h o d c an reac hhi g h erp r e c 1 s i o n 胡dc o nve r g e n ce fa s t er俪t hl e s s u nknowns . furt h erm o 氏 we c an 即h i e v emu c hh i g h er p rec i s i o n b y i n c r e a s i n g t henum b ero f g aus s i a n p o i nt s . t h e num e ri cal re sul t s i l l u st rate t 恤 t h i s m et h o d i s a h i gh o r d eral g o ri t h mt h atcan be u sed con ven i e nt l y andh ash i g hp r eci s i o n . t h e r e for e，t h el c n m et h o dc an rep l a ce t h econ vent i o n al mo m e nt o f m et h o di nm a n y fi e l d s toa c h ieve h ig h erp rec i s i o n r e q u i rem e nt. k 盯w o r d s : m e th o d o f mo m e n t ( m o 峋l o c a lly 一 c o rrec te d n y stro m( l c 哟 m e th o ds i n 即a l it yd u 伪 tr an s fo rmat i o ne le c tr icfi e l dint e gr a ti o n e q l l a t i o n ( e f i e ) 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以 标注和致谢的部分外，不包含 其他人己经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己 在论文中作了明 确的说明。 研究生签名:年月日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门 或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。 对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名: 年月日 硕士论文 高 阶局部 修正的脚， tr o ln 方法及其在电磁散射问 题中 应用的研究 绪论 l l 电磁场数值方法的发展与应用 l l i 数值方法的发展 随 着近代科学技术的飞 速发展， 电 磁场有效控制 和利用问 题己 经日 益成为许多学 科、工程技术部门研究的课题。但是，由于实际电磁场问题的复杂性，相当长时间以 来， 从解析方法着手进行的分析进展不大， 难以获得满意的分析结果。 六十年代开始， 计算机和计算技术的飞速发展对科学、生产、生活等各个领域都产生了深刻的影响， 并为电磁场数值分析的广泛应用奠定了基础。由此各种数值计算方法， 例如有限差分 法、 有限元法、矩量法和模拟电荷法等相继应用于各类电磁场问题之中，是电磁场的 分析研究取得了前所未有的进展并获得了大量成果。 可以预期， 在电磁场理论的应用 研究中，电磁场数值分析这一分支今后将不断充实发展。 18 64年， maxwe ll 在前人理论和实验的 基础上建立了 统一的电 磁场理论， 并用数 学模 型揭示了自 然界 一切宏观电 磁现象所遵循的 普遍规律， 这就是m a xwell方程组， 这是研究电磁场问题的理论基础，也是电磁场数值分析的出发点。 通常，电磁场基本方程组的微分形 vx h= j 。 + 式表述为 日 d 次 v 、 云 = _ 竺 ( 1 . 1 . 1 . 1 ) v.b =0 v. d=p 电场与磁场各有关物理量之间的关系由所谓电磁场的辅助方程表征之， 对于各向 同性媒质，其关系是 含 = 毛 任 二 哩 l j 。 = 冷 ( 1 . 1 . 1 2 ) 在 11种可分离变量坐标系求解 ma r 胃 e n方程组或者其退化形式，得到解析解。 这种经典方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高， 但是适用范围太窄， 只能 求解具有规则边界的简单问题。 对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数 学技巧， 甚 至无法求得解析解。 在 理论上， 所有的宏 观电 磁问题都 可以 归结 为m axw ell 方程组在各 种边界条件下的求解问 题。 因此， 如何精 确的获得m a xwell程组在各种边 界条件下的解就成为对电磁场理论与工程问题进行分析的基础。 硕 士论 文高阶局部修正的nvst r o m方法及其在电磁散射问题中应用的研究 l l z 数值方法的 应用 2 0 世纪6 。 年代以 来， 利 用计 算机，采用数值算 法来解决电 磁场的问 题的方法得 到广 泛的 应用。 随着高速计算 机的发展与普及电 磁场 理论与 工程问 题的 处理方法逐步 走向 数值化 ， 数值计 算方 法发 挥了 更广泛的作 用。与 经典分 析方法相比 较，数值方法 在所能 处理的问 题的范围和复 杂程度上表 现出巨 大的 优越性。 因 此， 数值方法被广 泛 地应 用于电 磁领域的各个方面， 如微波于毫米波通讯、 雷达、 精确制导、 导航和地 质 勘探等。 1 .2 几种重要的电 磁场数值方法 电 磁学问 题的 数值求解方法可分为时域和频域两大类， 频域技术主要有矩量法、 有限 差分方法等， 时域法主要 有时域差分技术; 从求解方程的形式 看， 可以 分为积分 方 程法 ( ie)和微分方程法 ( d e)。 有限 元法和时域差分法是以微分 方程法求解m a xwe l l 方 程组的， 这种算法适合于物体建模，不连续性结构的应用，但是在建立开域空间时不 是很顺利。 矩量法是以积分方程法求解ma 芳 w e l l 方程组的， 它适用于解决空间辐射型 问题，但是在处理合成空间时，不是很方便。 l 3 电 磁场的边值问 题 l 3. 1 场域边值问 题 为便于分析计算， 在电磁 场问 题的分析中， 还引 入辅助 物理 量 动态向量 位汪 和动态标量位必 ， 作为待求场量。 一般情况下， 解得的电 磁场 场量 将既是空间的又 是 时间 的函数.因此，在时变 场范 畴中 ，为定解偏 微分方程组(l . 1 . 1 1) ，必须 给定相应 的 初始条件和 边界条 件; 只有当场量 系非时 变时， 或者它的变 化满足似稳条 件， 即 系 缓变场， 并且忽略其中媒质损 耗时， 则由 麦克 斯韦方程组出 发而得的场基本 方程将归 结为 泊松或拉 普拉 斯方 程。 以电 场问题为例， 若以 电位函 数俨 为 待求场量， 那么， 相 应的泊松方程可记为 v ， 少 = 一 丑( 1 3 1 ) e 而对p 二 0 的区域， 泊松方程( 1 3 . 1 ) 即归结为拉普 拉斯方程 v z 俨 = 0( 1 3 2 ) 这 时 ， 为 定 解 偏 微分 方 程 (l 3 . 1 . 1) 或 (l 3 .1 .2) ， 应 给 定 场 域的 边 界 条 件 ( 边 值 ) ， 构 成电磁场的边值问题。 硕 士 论 文高阶局部修正的n ” tr o m方法及其在电磁散射问 题中 应用的研究 就场域边值而论， 通常给定为下列 三种 情况: ( 1)给定的 是整个场域 边界上 的位函数值 尹 = f 伽 )( 1 3 . 1 3 ) 叹 p) 为 边 界 点p 的 点函 数 。 这 类 问 题 称为 第 一 类 边 值 问 题 或 第略 赫 利问 题 . (2 ) 给定的 是待求位函 数在边界上的法向 导数 值 a 尹_， 了 _ 、 二， j 、 1 户 ， 冲 互 ( 1 3 . 1 . 4 ) 称之为第二类边值问题或聂以曼问题。 (3 ) 给定的 是边界上的 位函 数与法向 导数的 线性组合 ， + ， 伽 )瓮 = 、 伽 ) ( 1 3 . 1 . 5 ) 称之为第三类边值问题。 1 :3不同媒质分界面上的边值问题 当电 磁场的 场域由 不同 媒质构成时， 在不同 媒质的 分界面上， 媒质的 特性系数e 、 产 、r 发生突变， 相应的场量一般也发生突变，这时，为定解对应于不同媒质( 如媒 质 1 和媒 质2) 的两个偏微分方 程组(l . 1 . 1 . 1) ， 还必须规定 分界面 上场量所应满 足的 关 系，这就是不同媒质分界面上的边界条件 城， 一 从， = j， 尽 ， =凡。 玛， = 凡r 几。 一 几。 = 口 ( 1 . 3 2 . 1 j口 人 2。 一 二 一 万 若以 位函数为 待求场量， 则对应于偏 微分 方程( 1 . 3 . 1 . 1) 或(l3 . 1 2) 所描述的电 场问 题，为定解引入的不同媒质分界面上的边界条件可表述为 码 二件 _ 刁 码 _日 仇_ _ 心， 一 c ，一 . 沙 助 雨 ( 1 .3 2 2 ) 而对于恒定磁 场问 题，则由向量 磁位a描 述的 不同 媒质分界面上的 边界 条件为 f上 (v 、 、 )， 一 止 (v 鸡 )，= 人 队热 ( 1 3 .2 3 ) 硕士论文 高阶局部 修正的n ， s tr 师 方法及其在电磁散射问 题中 应用的研究 l 4 类比法 在对电 磁场数 值问 题( 位场) 的 数值计算中， 根据其解答的唯一 性定理， 可采用 类 比法。 这就是说， 各种 物理场， 不论 它们对应物理量的 意义是否相同， 只要 它们具 有 相同的数学描 述， 即具 有相似的 微分方程和相 似的 边值， 则它们的 解答在形 式上必 完 全相似。因而， 在电 磁场数值分析的 基础 上， 我们就能 把某一位场的 分析计算结果， 推广到 其他相 似的 位场中去， 这将不仅意味着 静电 场、 磁场与恒定电 流 场之间的 类比 而且也 包含着电 磁场与热传导 场、重力 场、 流体场等 之间的 类比。 l s 本文所做的工 作 本 文 主要 探 索 并 研 究 了 当 前 国 际 上 十 分 热门 的 一 种高 阶 算 法一 一 l oc all y 一 co盯 e ct ednyst ro m ( l c n ) 方 法， 其中重点 研究了 局部修正 部分奇异性的处 理过程， 应 用du毋 变换等思想很 好的 去除了 积分核中的奇异 性， 最终推导出了 适合编程的 公 式，并 初步开发出了 这种 算法的f o rt r a n 程序。 之后我 们以自 由空间 一些平板结构的 散射为例， 选取e f i e 作为 求解公式， 对该 算法进行了验 证。 以较精 细剖分网格的c g 一f f t算法结果作为参照， 结果得出相对于矩量法而言， 这种算法在选取更少的未知 量的同时能够达到更高的精度， 同时计算结果还能取得更好的收敛性质。 而且我们可 以通过增加高斯点的数目以达到更高阶的精度。 之后我们又就该方法能够广泛的应用 于电磁场问题的任意形体散射问题做了一些探索， 主要研究了对物体表面用曲面四边 形进行高阶逼近， 以期在处理任意形体散射的问题时能够更好地维持该方法的高阶性 质。 实例证明了该算 法是一种应用方便，精 度更高 的高 阶算法。因 此l c n方法可以 用来在很多领域取代传统的矩量法，以达到更高的精度要求。 硕 士 论 文高阶局部修正的脚功叨1 方法及其 在电 磁散射问 题中 应用的 研究 2 理论基础 2. 1 数值积分 数 值积分 法是数值计算方法应 用中 的基本内容 之一， 它不仅奠定了 各种类型积分 表达式 数值求积的基础， 而且随着数 值计算 方法的日 益完善， 已 经成 为多种数值方 法 构造中必 不可少的组成部分。 在点磁 场的分析计 算中， 对于无限大、 均匀且各向 同性 的媒质， 当己 知 场源分布求场分布时， 基于库 伦定律或毕奥一沙伐定 律均可导出关于 场量、 位函 数的 积分表达式。 例如， 在极化 场和磁化场的分 析中， 即已 给出 相应的积 分表达 式。 而数值积分法就为获得 这些场量、 位函 数积分表达式的 精确解， 提供了 最 一般性的 计算方法和工具。 此外， 也正 是在这 样的基 础上， 数值积分 法可以 满足工 程 上由各种分布形态的场源所激励的场分布以及有关电磁参数、 能量和力等积分量计算 的需要， 并进而成为得出多种电磁场数值计算方法 ( 如模拟电荷法、 等参数有限元法 和边界元法等)数值解的必要基础。 我们考虑近似如下一个函数的积分 (f)= 户(x 冲 有 两 类 方 法 计 算 叹 f ) : 一 类 是 把 积 分 的 计 算 近 似 为 和 数 的 计 算; ( 2 . 1 . 1 ) 另一类是用基 本函 数 的 线 性 组 合 去 近似f ( x)， 然 后 再 计 算 这 些 线 性 组 合 的 基 本 函 数的 积 分 。 也 可 以二者并用。 不 管 使 用 哪 一 类 方 法， 我 们 对 叹 f ) 的 积 分 计 算 变 成 下 面 的 和 数j ( f ) 的 计 算 j ( f ) 二 艺凡 f ( 乓 )(2 . l 2) 式 中乓 称 为 结 点 ， 人称 为 求 积 系 数 ， 或权 系 数。 式 (2 . 1 2) 称 为 求 积 公 式 ( qu adra l u r e ru le ) . 结点可以 选成等 距的 或不等距的。 它们的 求积公式也不相同。 下面我们介绍几 种主要的求积公式。 2. l i 等距结点的求 积公 式 等 距结点 计算方便，所以最经常 使用. 当我们 采用 l a gr a n ge 插值多项式，并使 尺 ( 气 ) = f ( xk ) 时， 有 : 硕 士 论 文 高 阶局部 修正的哑s l r o m方法及其在电 磁散射问 题中应用的研 究 户(x 冲 f 以 加 = 娜昌厂 冲 =。 !: 身 黔 (2. 1 . 1 . 1) = 艺人 f ( 气 ) 若 令x 二 a 十 ht， 、二 a + 肋， h 二 ( b 一 “ )/n， 凡 =( 一 1 ) 讨h k !( n 一 k ) ! i0 ， ( 卜 ，) 二( 一 k 一 ， ) ( 一 k + ， ) (2. 1 . 1 2) ( 一 n ) dt= ( b 一 a ) 以 ” ) 式中 于是 以 ”) ( 一 1 ) 十 全 nk!( n 一 k ) ! f ， ( 卜 ， )( 一 k 一 ，) ( 一 k + ，) ( 21 1 . 3 ) ， .(t 一 n) 故 加加 = 户 (xly (” 一 a)g必(x0+、 (2. 1 . 1 4) 式 (2. 1 . 1 4) 称为等距内 插求积公式 ， 或称牛 顿一 柯 特斯公 式 困ewt 。 。 c ot esru le s) 。 系 数诊) 称 为 柯 特 斯 系 数。 下 面 举 几 个实 例 来 说明 . 当 n =1 时: 即= 一 丈 (t 一 1)dt = 1/2 则 f f ， ” 一 ，告 ， (xo 卜 告 ， (、 ) ( 2 . 1 . 1 5 ) 显然， 上式为众所周知的梯形公 式。 当n =2 时: 2，= 去 0: ( 一 ，)( 一 ， )dt = 叮 6 司 ， ) = 一 二 f ， ， ( ， 一 2 、 改 一 刃 6 2j 0 硕 士论 文 高阶局部修正的n ， ， r o in 方法及其在电 磁散射问 题中 应用的研究 谬 = 专 加一 1) 由 梯 形 公 式 算 出 的1 的 近 似 值为 乙; 由 柯 特 斯 公 式 算 出 的1 的 近似 值 为q ，由 截断误差公式 (2. 1 . 1 . 1 2) 得: 了 = 、 一 揣 宁 )f(4) 、 当 区间再分半时， 即分为z n = 4 m时， ， = 、 二 一 孺 宁 了 f() 、 假 定 厂 4) ( 约 在 a， b 内 变 化 不 大 ， 即 设 f( 4 ) ( 叭 ) = f( 叼 ( 仇 ) 。 于 是 上主月6 1 一 勾 或1 三 勾+ ( 凡 二 一 凡) / 1 5( 2 j l l 4 ) 同 样 ， 假 定 f ( 约 ， f( 司 ( 约 在 a， b 内 变 化 不 大 ， 也 可 得 到 类 似 公 式 1 兀 、 + ( 爪 、 一 吞)/3( 2 i j s ) 1 心+ ( q 二 一 q )/ ( ， 一 护 )( 2 川6 ) 从 梯 形 公 式出 发 ， la， b 不 分 割 算 得1 得 近 似 值为 不 : a， b 分 割 为 二 二 等 分 算 得 的 近似值为兀， “ “ 不 = ( b 一 a ) 了 ( a ) + 厂 ( b ) /2 ; 一 : : 班 互 二 丝 厂 。 + 鱼 困 ) 22 一 戈2 ) 。 = 告 。 一， 旱馨 ， (二 旱(! 一 )2，1 1一 ， 对于si m p so n 公式， 可以 验证有: ， = 击: 一 击: ， 、 = 去; 一 击: ， 硕士论文 高阶局部修正的n ， ， r o m方法及其在电磁散射问 题中 应用的研究 凡 = 击队 一 击马 ( 211 . 1 8 ) 同样，对于柯特斯公式，又可验证: c 二一 气 - 目，5. 一， 二 - - 况 4 一 1 一4 一 1 争么气 ，一 岩、 ( 2 . 1 . 11 9 ) 如果用柯特斯误差计算公式 (2. 1 . 1 . 16)的右边向量来估计1 ，并且记 凡 = 六: 一 六。 ， 、 = 么。 一 六cz， ( 2 . 11 2 0 ) ( 2 . 1 . 1 . 2 1 ) _护_1 _ 入. ，二一 ; 一，cj. 一- 二 尸 一 ，t 公 4 j 一 1个 压4 j 一 1 ( 2. 1 . 12 2) 那 么 ， 由(2.1 .1 22) 式 算 出 来的 尺 ， 凡， 凡， ” 称 为romberg 公 式. 用 它 来 估计1 具 有计算规律性， 不存储求积系 数和结点， 而且精 度较高等优点， 因而 常被应 用。 rom b e 唱公式有现成的 程序可以 调用，非常方便。 2 . 1 . 2不等距结点的高斯求 积公 式 在结点数 目固定的情况下，研究求积公式 f(x 、艺 、 (x*) ( 2 1 2 . 1 ) 的精确 度最高的问 题， 导致结点 不是等距分 布的。 为了 更一般起见， 考虑 带权函 数的求积公式，即 1 ， ( )， ( 、 、 全 、 ， (、 ) ( 2 . 1 . 2 2) 式中p(x)之 。 是固 定的 函数， 称为权函数。 当p( x)三 1 时， 上 式即 为 (2. 1 2 . 1)式。 现 在 的 问 题 是 求出 凡 及 系 数凡， 使 求 积 公 式 (2 .1 2 2) 对 任 一 不 高 于 zn一 1 次 的 多 项 硕士论文高阶局部修正的柳功叨， 方法及其在电磁散射问 题中应用的研究 式f ( x)都准确 地成为等式。对于n 个结点的 情况， 令 叫x)= (x一 xl )( x 一 气) (x一 气 ) ( 2 . 1 .2 3) 对任一次 数不高 于n 一 1 次的多 项式q( x)， 有 j ; (x ) ， (x )叫 x 冲= 0 ( 2 . 1 2 4) 、 = ， ( ) 一 二 丝 业 一 一 击 ( x 一 乓) 码( 气) ( 2 . 1 . z j) 式中 码 (xt) 二 (x. 一 气 x 气一 乓 ) (x， 一 x*-i x 、一 x+l ) (xk 一 气 )(2. 1 . 2 石 ) 则可证明 当f ( x)的次 数不高 于zn一 1 次的多项式时， 求积公 式 ( 2 . 1 . 2 2) 成为等 式 条 件 (2 . 1 .2 4) 称 为 叫x) 在la，习 上 与q ( x)带 权 正 交。 当f ( x)是次数不 超过n 一 1 次多项式时，f ( x)可写成: f ( x) 二 艺 叫x ) (x一 乓) 码( 毛) f ( 气) 于是 ) p(x) f(x )、 (x) = ! 客 吞 弩 粉f(xk 冲 = 客 aj (x，) 说明 (2. 1 . 2 2) 式准确地成为等式。 当f ( x)是次数 不高于zn一 1 次的多 项式时， 用诚x)除f ( x)得 f ( x)= 域x ) q ( x)+ y ( x ) ( 2 . 1 . 2 7) 式中q ( x)及/ ( x)都是次 数不超过n 一 1 次多 项式，从而 有 丁 ， ( x )了 ( 恤= 1 ， ( x ) 城 x ) ， ( x) + j ， ( x ) r ( x 冲 ( 2 . 12 _ 8) 由于 f ( 乓) = 叫凡 ) q ( xk ) + 2 ( xk ) 硕士论文高阶局部修正的n ”t r o n l 方法及其在电磁散射问题中应用的研究 ( 2 . 12 夕) 且 ( 212 4) ) p(x )r( 秘 = 加(x*) 式成立，故 ( 2 . 1 ，28) 式变成: i p(x) f( 秘 = 客 a，f (xk) ( 2 . 1 2 . 1 0 ) 但 当 f ( x)是zn次 多 项 式 时( 如取f ( x)= 似 ， ( x) (2 .1 2 .1)式就 不 是 精 确 的 等 式 了。因此，(2. 1 .2 .2) 式的最高代数精确度为zn一 1 次。 上 面的 讨论 中， 要 求以 结 点乓 为 根的诚 x)多 项 式 满足 与a(x) 带 权 正 交的 条件 (2 .1 .2 4). 但 并 没 有 求 出 结 点 xk 的 具 体 位 置 。 而 对 于 满 足(2 .1 ，2 4 ) 式 的 某 些 固 定 的 权函数p(x)及积分区 间， 有相应的正交多项式。 而这 些多项式的根， 就是被用作求 积 公 式中 的 结点 乓 。 这 种 求 积 公 式 称 为 高 斯 型 求 积 公 式 。 例如 ， 当p( x) 二 1 时， 且 在 区 间1一 1 ， 1 上， 勒 让 得( l eg en d re ) 多 项 式 几 ( x)与 任 一 不高 于n 一 1 次的多项式q ( x)正交。令 - ， 、 2 ( n ! ) 2 ; ， ， 、 口 气x ) =-不弋二下 气 气 x ) 叹 乙 n ) 三 ( 2 . 1 . 2 . 1 1 ) 式中及 (x)= = 牛 2 (n! ) 竺 ( x z 一 1 ) 改 ，. ( 21 _ 2 _ 1 2) 为l eg en dr e 多 项 式 . 显 然 ， 它是 个n 次 多 项 式， 因 而叫 x)也 是 一 个n 次 多 项 式. 令城 x)的 根 ， 也 就 是 众 ( x) 的 根 为 结 点 乓 ， 即(2 .1 2 3 ) 成 立。 又 因凡 ( x)与 气( x) 在 m n时正交，即 1 ( x ) ( x 冲= 0 ( 21 21 3 ) 而 任 一 次 数 不高 于 n 一 1 次 的 多 项 式 q ( x)可 化 为 纵( x) ( m n ) ， 即 q( x)与气 ( x) ( 即叫 x) 正 交 ， 满 足 ( 2 .1 2 3 ) 式 ， 按 ( 2 .1 2 4 ) 式 定ak， 即 、 一 = 票 典 )典 二 = 毕二兰弈 煞 二 1 气 x 一乓) 码t xk) 乌l x 一凡) 气1 气 乓) 硕 士论 文 高阶 局部 修正的n ”七 o m方法及其在电 磁散射问题中 应用的研究 ( 2 . 1 2 . 1 3 ) 式中 ln : ( xk ) = 网 ( 气 ) 。 那么， 对于 次数不高于zn一 1 次的多 项式f ( x)， (2. 1 2 2 ) 式精 确地成为等式。 即 if(x ) = 客 、 (x，) ( 21 . 2 . 1 4) 求 积公 式( 2 . 1 .2 .1 4) 的 结 点 乓 是 以 勒 让 德 多 项 式 共 ( x)的 根 为 结 点 的 ， 这 一 求 积 公 式 ， 称 为g 即 s s- l egend re公 式 或 高 斯公 式。 高斯公式最主要优点是精确度高。 但当改变n 时，系数和结点的位置都要改变并 占用较多的存储单元，这是它的主要缺点。 高斯型求积公式的优越性并不是用于计算一般积分， 而是用于解一些积分或微分 方程。 因为高 斯型求积公 式带有权函 数，能把复 杂的 积分化简。 2 . 1 . 3乘积的 积分 ( i n t e 盯a t i o no f pro d u c t s ) 所谓乘积的积分的 求积公 式就是研究带 权函 数的 求积公式 (2. 1 2 2) 式，即 ， (x )， ( 、 : 全 、 ， 、xk ) ( 2 . 1 2 2) 上面只是证明f ( x)为次 数不高 于zn一 1 次多 项式时 (2， 1 2 2 ) 式成为等 式，并为 对权函 数p(x)作深一步的讨论。我们至少 可用 两个原因说明为 什么对乘积的 积分感 兴 趣 。 首 先 是 当 我 。 研 究 函 数 fo ( x ) 的 数 值 积 分 1 认 ) 一 丁 儿 ( 他时 ， 若 遇 几 “ 不 佳 状 态” (b ad ly be haved) ， 例 如 fo 在 靠 近x 二 a 处 性 态 类 似(x 一 a) 一 112 ， 但 在 其 它 地 方 却 连 续 ， 则 我 们 可 以 找 到 一 个 连 续 函 数f ( x)， 使 得 fo ( x) = f ( x) /( x 一 a) l/2 。 我 们 项 式 一 。 一鲁 (一 f()一 xo ， ， 气 与 f (x)一 致 去 逼 近 f ( x)， 即 l fo (二、 = 1 (二 一 。 )一 、 (x)as (一 )一 ; (、 = 全 凡 ， (、 ) 硕 士论 文 高阶局部修正的n ” i r 0 ll l 方法及其在电 磁散 射问 题中应用的研究 式 中 、 = 全 井 n 井 今 “ ! “ ， x 一 “层几 “ 一 气 这 样 用几 ( x)去 逼 近 f ( x) 较 易， 而 用几 ( x)去 逼 近fo ( x) 则 较 难。 用 这 种 方 法 将函 数九 分 成 f 和 权 函 数p 之 积， 当 f 为 不 高 于zn+l次 多 项 式 时， 求 积公式 ( 8 一 5 6 ) 是准确的，称为高斯 型求积公式， 包括 有下列类型: ( l) a = 0 ，b = 二 ， p( x) 二 ex p( 一 x)， 称为 冶 u s s 一 aguerte 公 式 . ( 2 )a = 一 ， b = 叽夕 ( x ) = ex p ( 、2 ) ， 称为g a u s s 月e r n l i t e 公式. ( 3 )a = 一 1 ， 吞 = 1 ， p(x)= (l 一 x ， ) 一 ， 2 ， 称为g a u s s- c h e b y s hev 公式。 我们对乘 积的 积分 感兴趣的另一个原因是 它可以 用来解积 分方程。 当积分 方程含 积分 卜 1 k(s， t)f (l 冲 时 ， 固 定 ， ， 我 们 可 将 k(s，t) 一 p(t)看 成 权 函 数 ， 于 是 问 题 化 为 乘 积的积分。 我们举一个将乘积积分应用于解 f r e d hol m 第二种积分方程带弱奇异性核的例 子。设欲近似解积分方程: f (x) 一 “ f k ( x， ， )f 妙 冲= 9 ( x) ( 2 . 13 . 1 ) 式 中 k ( x， y)二 h ( x， y)/ 卜 一 到 “( 。 。 1)是 一 弱 奇 异 性 核 。 将【a， 习中 分 点 扣 = 几 石 ， 一 l 夕 一 1 ， y 一 1 ， a + 刀+ y + 兄 一 3( 2 2 27 ) 夕 0.才 一， a 0，b 0 ( 2 22. 8 ) 有一个不能处理的奇异性形式为 (二 里+哟 r j a 一 1 ， b 一 1 ， a一 3 ( 222夕) 然而，如果我们先用 (22 么2) 对函数进行变换，然后再用下面所讨论的方法进 行处理的话，其余的奇异性也可以解决。 更加一般的情况是立方体的其中一个顶点具有奇异性。 下面我们就以奇异性位于 坐标原点的一个单位立方体为例说明上面所说的一般奇异性的解决问题。 也就是说，为了求解下式 if = 丈 * 炙 咖 炙 (x ，y ，: ) ( 2221 0) 我们可以将立方体划为三块区域， 定义如下 0 x 1 ， x 少 ， x 2 ， 。 夕 又 y z， y x，o 2 1 ， 2 x， z y. (2立2 1 1) 这样的话，就化成了3 个顶点具有奇异性的锥形的情况。 我们就可以把 (2 2 2 . 1 0) 式转化为三个积分之和 if=买 dr f 咖 f (x， 润 十 买 咖 0y 叮(x， 润 + 买 可 f 护(x，2) ( 222 1 2) 把上述积分方程的 右边向 量后面两项变量 进行重新表示， 可以 化为 硕 士 论 文 高阶局部修正的脚劝。 m方法及其在电 磁散射问 题中应用的研究 乒买 可咖 jox 叮(x ， y，z ) ( 22_2. 1 3) 其中 f ( x， 又 2 ) = f ( x ，夕 ， 小f 。 ， : ， x ) + f ( 2 ， x， 夕 )( 2 2 2 .1 4 ) 这样的 话， 我们就把积分形式化成了 (22 2 . 1) 式的 情况，就可以用 (2么2 2 ) 的变换进行处理。 针对电 磁场场点和源点相互作用的 积分方程的形式， 我们对应用于电磁 场积分 方 程的duffy 变换形式作了 如下的 推导，以 便很好的应用。 我们 考虑二维情况， 首先将积分划分为 场点 处为分离的四 块形式， 即写 成如下形 式: 广 广 一 广 广 嘴广 + 广 睽 + c c 再写成场点源点距离的形式， 广 广 f (x ，y) = 犷 一” j: ， ( 一 二 + xo ，一 + yo 加 + 犷 一 “ 犷 讯 f (x + xo ， 一 * yo 冲 吹 + jo ， 犷 一” f ( 一 二 十 xo ， 少 十 yo ) 吞 吸 十 jon 一“ 犷 一 f (x 十 xo ， 十 yo ) 吞 乍 众 而根据du伪 变换，易 知对于下式 ， = 仃f( 、 夕 陋 然后分别用 y =u x ， x =v y 对于积分项中y ， x 进行替代。 可以得 到下式: ( 2 22 1 5) ( 2 22. 1 6 ) ( 222. 1 7 ) ( 222. 1 8 ) = joo 打 f (x， 。 冲j击 十 f i0f ， (， y 砷 咖 ( 2 2 2. 1 9 ) 将 ( 2 念2 . 19)应用到 (2 2 2 . 1 6) ，可得下式 广 户(x，h，= 0w声， (一 、 ，一 。 、 陋 + 犷 仍 joz， (一 vy + xo. 一 十 ” 廊 硕 士 论 文 高阶局部修正的n ” 廿 o m方法及其在电 磁散 射问 题中应用的研究 十 犷 一“ 声， (x+、 ，一 ， 十 yo 冲 、 十 jo 一” 声， (v， + 、 ，一 ， 十 yo .d 叻 + jon 一 声， (一 十 、 ，。 十 、 陋 十 犷 一 声， (一 vy + 、 ，少 + yo 加 、 + 扩 一“ 声， (x 十 、 ，。 + 、 冲 ， 十 犷 一” 声， (v. * 、 ， 十 yo v办 ( 22220) 即得到应用 于电 磁场积分方程的du伪 的 公式。l 5 2 . 3电磁散射积分方程 考虑一个时谐电磁波的散射，散射体为可穿透材料 ( 材料特性分段为常量) 和不 可 穿 透 导 体 的 合 成 物 假定 第1 个 区 域 定 义 为 体 积k ， 对 应 材 料 特 性 为 (e， 料 ) 。 分 隔 叱 和称 的 表 面 定 义 为5， ， ， 我 么 定 义5+ ， 为 在k 内 的 表 面， 5 一 ， 表 示 在代 内 的 表面 等价电流密度位于分隔各个区域的平面上，定义为: 天 ， = 乓 “ 、 ， “ :， = 、 、 ， ， :， = 、 ” 、 ， “ :， = 一 、 、 ( 2 3. 1 ) 其 中 衣 和气 分 别 是 指向 鱿 和代 的 单 位 法向 位 于 5，. ， 上 上 的 任 意 点 ， 乓 切向场连续，因此: 大 ， 二 一 人， = j， ， ， m二 ， = - 叼之 ， = 从， 在理想导体表面，只存在电流密度。因此: 衣 ， 且 ( 2 3 2 ) 大， 二 反 h ( 2 33) u 内 由 等 效 电 流 产 生 的 电 磁 场由 下 式 得 到 : 云 ( 吞风) = 私( 几 ) 一 式 队) 反 ( 瓜风) = 狱( 动一 ， 一 州城 ; ) 其