（应用数学专业论文）双半环的结构和同余.pdf

摘要 本文给出了一般双半坏上的同余刻划，并讨论了幂等元双半环上的三个g r e e n 关系：然后利用双半环上的同余研究了双半环的一些结构主要内容如下： 第一章给出引言和预备知识 第二章第一部分主要给出了一般双半环上的同余刻划，并得到了某些双半环 上的最小双环同余和最小加法可逆双半环同余：其它三部分主要研究了幂等元双 半环上的g r e e n 璺关系、盈关系和f k 关系，给出了幂等元双半环上的元素满足 d a d n d 、r n r a r 和l n l n l 关系的充要条件，同时对它们为双半环上的同余 作了进一步刻划，并由此得出了相应双半环子簇的m a l c e v 积分解 第三章第一节主要研究了双半环簇的拟强分配格，得到了它的一种拟次直积 分解：第= 节则主要讨论了满足条件口+ 口6 + 口= 口和+ 施+ a = a 的加法左正规双 半环的结构，并得到了某种双半环的直积分解 第四章主要研究了双半环簇的拟强半格，其中第一节主要讨论了满足条件 a b a + b a b ：a + b 和a b a + b a b ：a + b 的乘法正规双半环的结构：第二节则讨论了满 足条件口6 + b a 。a + b 和曲+ b a = a 十b 的乘法左正规双半环的结构，并在此基础上 进一步得到了两类双半坏的直积分解 关键词：双半环同余：幂等元双半环：格林关系：双半环簇的拟强分配格；双半环簇 的拟强半格：力口法左正规双半环：乘法( 左) 正规双半环 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no ft h eb i s e m i r i n gc o n g r u e n c e sa n d d i s c u s st h r e eg r e e nr e l a t i o n so nt h ei d e m p o t e n tb i s e m i r i n g t h e nw es t u d ys o m e s t r u c t u r e so fb i s e m i r i n g st h r o u g hs o m eb i s e m i r i n gc o n g r u e n c e s t h em a i nr e s u l t sa r e g i v e n a sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fb i s e m i r i n gc o n g r u e n c e sa n dg e t t h el e a s tb i r i n gc o n g r u e n c ea n dt h el e a s ta d d i t i v ei n v e r s eb i s e m i r i n gc o n g r u e n c eo n s o m eb i s e m i r i n g si nt h ef i r s ts e c t i o n i no t h e rt h r e es e c t i o n sw es t u d yt h eg r e e n 9 ：r e l a t i o n ，g r e e n 舅r e l a t i o na n dg r e e ns r e l a t i o n ，a n dg e tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t 十 t c o n d i t i o n so f d n d n d r f - 1 r n ra n d l n l n lr e l a t i o n ss a t i s f i e db ye l e m e n t so f t h e i d e m p o t e n tb i s e m i r i n g s w ec h a r a c t e r i z et h e ma st h ec o n g r u e n c e so nt h ei d e m p o t e n t b i s e m i r i n g s f i n a l l yw eg e tt h em a l c e vp r o d u c td e c o m p o s i t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n g s u b v a r i e t i e s i nc h a p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yt h ep s e u d o s t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fb i s e m i r i n g v a r i e t i e sa n dg e tt h ep s e u d o s u b d i r e c tp r o d u c td e c o m p o s i t i o ni nt h ef i r s ts e c t i o n i nt h e s e c o n ds e c t i o nw ed i s c u s st h es t r u c t u r eo ft h ea d d i t i o ni e f tn o r m a lb i s e m i r i n g s w h i c h s a t i s f i e s t h e i d e n t i t i e s 口+ a b + a aa n d 口+ b a + n = 口a n d w eh a v e t h ed i r e c tp r o d u c t d e c o m p o s i t i o no fs o m eb i s e m i r i n g i nc h a p t e r4 t h ep s e u d o s t r o n gs e m i l a t t i c eo ft h eb i s e m i r i n gv a r i e t i e si ss t u d i e d w ed i s c u s st h es t r u c t u r eo ft h em u l t i p l i c a t i o nn o r m a lb i s e m i r i n g ，w h i c hs a t i s f i e st h e i d e n t i t i e s a b a + b a b = 口+ ba n d a b a 十b a b = a ；h bi nt h ef i r s ts e c t i o n a n di nt h es c c o n d s e c t i o nw ed i s c u s st h es t r u c t u r eo ft h em u l t i p l i c a t i o nl e f tn o r m a lb i s e m i r i n g s s a t i s f y i n g t h ei d e n t i t i e s 0 6 + 6 口，口+ ba n d a b b a = a # b b a s e do nt h e mw ef u r t h e rg e tt h ed i r e c t p r o d u c td e c o m p o s i t i o no ft w ok i n d so fb i s e m i r i n g s k e yw o r d s ：b i s e m i r i n gc o n g r u e n c e ；t h ei d e m p o t e n tb i s e m i r i n g ；g r e e nr e l a t i o n ； p s e u d o - s t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fb i s e m i r i n gv a r i e t i e s ；p s e u d o s t r o n gs e m i l a t t i c eo f b i s e m i r i n gv a r i e t i e s ；t h ea d d i t i o nl e f tn o r m a lb i s c m i r i n g ；t h em u l t i p l i c a t i o n ( 1 e f t ) n o r m a l b i s e m i r i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者鏊名： 磐中 签字日期：刁年，月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规是，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 侔和磁盘，允许论文被查阅移借阅。奉人授权汪西师范大掌研究生院 可以将学位论文的全都或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 堂位论文作者娩膨尹 签字量期：纠、年，月名。日 导师签名：汐2 签字i i l 期：明年厂月彳! i f i 双半环的结构和同余 1 1 引言 第一章绪论 半环是含有加法和乘法两个代数运算且满足结合律、分配律的代数系统，比 环更为广泛半环存在于我们周围的世界中，我们首先接触的自然数集就是一个 典型的半环例子另外，半环还广泛地出现在环论、非交换坏理论、组合数学、泛 函分析、几何学、拓扑学、图论以及计算机科学、最优化理论、自动机理论、形 式语言理论以及量子物理学中 历史上，半环最早是由d e d e k i n d 在1 8 9 4 年提出的( 见 2 2 ) ：后来 m a c a u l a y ，k r u l l ，n o e t h e r 等人在研究环的理想时也曾使用过半环及理想的概念 ( 见 2 3 、 2 4 和 2 5 ) 1 8 9 9 年h i l b e r t 及1 9 0 2 年h u n t i n g t o n 在讨论自然数公 理和非负有理数时( 见 2 7 、 2 8 ) ，也曾涉及到半环但是对半环的系统研究却仅 仅开始于v a n d i v e r ( 2 9 ) ，而将半环的代数理论作为代数学的一部分来研究的是 r e d e i 和c a s t e ( 见 3 0 、 3 1 3 ) 近年来半环理论已经有了很大发展，研究方法也 越来越多样化，其中研究半环理论最主要有两种方法：环的方法和半群的方 法1 9 9 2 年g o l a n 出版了半环理论在数学与理论计算机科学中的应用一书( 见 4 ) ，对半环理论作了系统的论述，从而使半环真正成为了一门科学 而双代数是一种新的代数系统，它包括双群胚、双群、双半群、双环、双半 环等结构有关双代数的研究直到近代才刚刚开始( 见 2 1 ) ，也取得了一些比较 好的结论( 见 9 ) ，但到目前为止还没有一本专门研究双代数结构的专著，对它的 研究一直也没有取得什么实质性的进展其中双半环是双代数的一种，它是一个 比半环和分配格序半群更一般的概念关于半环和格序半群早在5 0 年代就有很 多数学家作过深入地研究，研究它们的方法可以分别在环论和格序群中找到一些 对应的模式，而通过双半环的研究就可以把研究半环和格序半群的各自方法统一 起来同研究半环理论一样，双半环结构的研究也是一项很重要的内容，双半环的 同态、同余、理想同样是研究双半环结构的主要工具 本论文旨在通过研究双半环上的某些同余关系并结合半群的知识末研究某 些双半环的结构在第二章第一节中我们利用双半环上的加法半群对其上的同余 进行了刻划，得到了一些比较深刻的性质，在第二、三、四节中主要研究了幂等元 双半环上的g r e e n 少关系、一关系和，一关系第三章主要讨论了双半环簇拟强 分配格的拟次直积分解和某类加法庄币舰双半环的结构，同时得到了某种双半环 的直积分解第四章则主要研究了双半环簇的拟强半格，并讨论了某一类乘法币 胤和庄正规双半坏的结构，在此基础上进一步得到了两类双半环的直积分解 江西师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 1 2 预备知识 定义1 2 1 【1 1 称一非空集合s 为双半环，如果s 上定义有三个代数运算“+ ”， “”，“”，且满足： ( 1 ) 8 ，) ，( s ，+ ) ，( s ，+ ) 均为半群， ( 2 ) v a ，b ，c e s 有( i ) a ( b + c ) 一a b + a c ( 6 + c ) 4 ，b a + c a ： ( i i ) a ( b c ) 一a b * a c ( 占$ c ) 口= b a * c o ： ( i i i ) a + ( 6 c ) i ( a + 6 ) + ( n + c ) ( 6 c ) + 4 一( 6 + 口) $ ( c + a ) ： ( i v ) a p + c ) 1 0 女6 ) + ( a c )( 6 + c ) 4 _ p 十口) + ( c 口) 从定义中可看出岱，+ a ( s l $ ，+ + x $ ，+ ) 均为半环 如果设( s ， ，v ) 是一个分配格序半群，将“a ”看作“+ ”，将“v ”看作“”， 那么( s ， ，v ) 也是一个双半环，反之不然 着双半环( s ，+ ，) 还满足以下两个条件： ( v ) a , * b c 一( a 6 ) ( 口女c )b c d 一( 6 女d ) ( c ) ： ： ( v i ) 口+ b c i ( 口+ b ) ( 口+ c )，b c + a i ( p + d ) ( c + 口) ， 则称双半环( s ，+ ，屯) 是可分配双半环 例1 1 1 1 设z + 是包含0 的正整数集合，那么z + 关于普通乘法“”及以下定义 的“+ ”，“”运算构成双半环，其中口+ 6 = 0 ，口t 6 。m i n a ，舛o a ，b e z + ) 因为通过简单验证我们知道( z + ，l ( z + ，+ l 拓+ ，t ) 是半群，而且对“+ ”，“”， 来既，运算是可换的，又对v a ，b ，c z + ，也有：a ( b c ) ；a b + a c = 0 ， 口p $ c ) 一4 m i n , ，c = m i n t a b ，a t e - a b 口c ， a + ( 6 c ) 一0 一( a + 6 ) ( 4 斗c ) ， 口 ( 6 + c ) - a o 。0 。( a 6 ) + ( 口c ) 但是( z + ，+ + ) 关于这三种运算均不构成格序半群，因为( z + ，+ ) ，( z + ，s ) ， ( z ，+ ，；) 均不构成格，所以双半环是一个比分配格序半群更广泛的概念 例2 f 1 1 在例l 中如果将“+ ”改成定义为：a + 6 一m a x a ，舛( v a ，b z + ) ，则 z + ，+ ，+ j 是双半环，还是分配的格序半群。 定义1 2 2 若( s ，+ ) 是一个a b e l 群，则双半环临，+ ，) 称为双坏 定义1 2 3 称双半坏( s ，+ ，) 是交换双半环，如果( s ，+ ) ，( s ，) 均是交换半 群 定义1 2 4 t 1 。5 1 双半环的一个子集r 称为s 的一个理想，如果足满足： ( 1 ) 0 r ： ( 2 ) v x ，y r ，x + y r ： ( 3 ) r v s s ，x s s 上j r ： 双半环的结构和同余 ( 4 ) v x e r ，v s s ，船，船r 如果r 除满足以上四个条件外还满足： ( 5 ) v r e r 。r + r r ： ( 6 ) v s e s ，s + r r + s ，则称r 为s 的强理想 定义1 2 5 t 1 i 双半环$ ，+ ，) 的同余是指s 上的一个等价关系p ，且均为半 群( s ，+ ) ，( s ，) ，p ，) 上的同余 定义1 2 6 双半环岱，+ ，) 称为幂等元双半环，若s 满足：口+ 4 一a 4 一口， a 口；av a e s l 定义1 2 7 t 2 , 6 , s 1 设v 和矽是任意两个幂等元半环簇，我们用v 。w 表示所有 半环s 上的这样一种类，它满足若s 上存在一个同余关系p ，使s i p e w ，且每个 p 一类以e v ( v “s ) ，这种类v 。w 称为v 和缈的m a l c e v 积 定义1 2 8 设r ，s 为双半环，y 是由双半环r 到s 的映射，若映射y 满足以 下三个条件： ( 1 ) 对任意的，s e r ，有r ( r + j ) 一y ( ，) + y o ) ； ( 2 ) 对任意的r ，s e r ，有y p 女s ) 一。r ( r ) + y ( s ) ( 3 ) 对任意的，s e r ，有r ( r s ) 一r ( r ) y o ) ， 则称y 是由尺到s 的双半环同态 定义1 2 9 叫1 幂等元分配半坏( d ，+ ，) 称为分配格，若d 满足条件：x y = y x ， x + x y = x ，x + y 兰y + 石( 溉，y d ) ： 定义1 ，2 1 0 t 2 , $ , 1 2 1 ( s ，) 是带半群，若v a ，与，c e s 满足： ( 1 ) 动；妇，则称s 是半格： ( 2 ) a - a b a ，则称s 是矩形带： ( 3 ) a b c a a c b a ，则称s 是正规带： ( 4 ) a b c a c b ，( a b c - b a c ) ，则称s 是左( 右) 正规带： ( 5 ) a b = a ，( a b - 6 ) ，则称s 是左( 右) 零带 ( 6 ) a b c a = a b a c a ，则称s 是j 下则带： ( 7 ) a b = a b a ，( b a = a b a ) ，则称5 是左( 右) 正则带 注：半群( s ，+ ) 上的定义方法与半群( s ，) 相同 定义1 2 1 l 如果双半环p ，+ t ) 中半群 ，+ ) 是半格 正规带、左( 右) j 下舰 带、左( 右) 零带、矩形带 ，则称s 为加法半格 正规、左( 右) 币舰、左( 右) 零、 矩形 双半环 注：若半群( 5 ，) 也满足上述相应的条件，办可定义相类似的双半环 定义1 2 1 2 | 6 7 1 幂等元半尉：( s ，+ ，) l ：的g r e e n ，关系是指5 上的等价关系， 江西师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 在( s ，+ ) 上用d 表示，在( s ，) 上用d 表示，且n d b 口+ b + 口；口，b + a + 6 = b ： ? a d b a b a = a ，b a b = 6 ( v a ，6 s ) 定义1 2 1 3 t 8 1 幂等元半环( s ，+ ，) 上的g r e e n 劈关系是指5 上的等价关系， 在( s ，+ 1 上用r 表示，在( s ，) 上用r 表示，其中4 r b 8 曲= b ，b + 口= 口： a r b a b = b ，b a a ( v o ，6 s ) 定义1 2 。1 4 f 2 1 幂等元半环( s ，+ ，) 上的g r e e n 驴关系是指s 上的等价关系， 在( s ，+ ) 上用l 表示，在( s ，) 上用l 表示，其中口l b 4 + 6 ，4 ，b + a b ： a l b a b 。a ，b a b ( v 口，b e s ) 定义1 2 1 5 1 0 , 1 1 1 半环s 称为环簇s 。 d ) 的分配格当且仅当存在s 上的一 个同余p ，使得d s a 为一分配格，且有每一个p 一类s 。是s 的子环更一般的， 如果s 。是s 的子半环，则称s 为半环簇s 。 d ) 的分配格 双半环的结构和同余 第二章双半环上的同余 本章主要研究了双半环上的同余关系和幂等元双半环上的三个g r e e n 关系， 其中第一节我们主要利用双半环上的加法半群对其上的同余进行了刻划，同时证 明了某些双半环上的同余为最小双环同余和最小加法可逆双半环同余：第二、三、 四节中通过对幂等元双半环中三个幂等元半环上的g r e e n 关系交的讨论，给出了 幂等元双半环上的元素满足d a d a d 、r a r n r 和l n l n l 的充要条件，同时 对这三个g r e e n 关系的交是s 上的同余作了进一步刻划，并得出了相应双半环子 簇的m a l c e v 积分解 2 1 双半环上的同余刻划 引理2 1 1 【1 1 设( 5 ，+ ，) 为可换的双半环，如果尺为s 的理想，且0 e r ，那么 定义s x s 上的二元关系p 如下，p i 似y ) l 工，y e s ，3 , ，乏e r 使得工+ 一y + 如) ， 则p 是s 上的同余 引理2 j 1 2 设r 为双半环( s ，+ ，) 的强理想，且o r ，在s 上定义二元关系 o r 如下：盯i 0 ，_ ) ，) s s k + r = y + 埘，则o r 是s 上的同余 注：引理2 1 1 和引理2 1 2 的证明请参看文献 1 定义2 1 1 若双半环p ，+ ，) 中半群( s ，+ ) ，( s ，) ，( s ，) 均是逆半群( 即每个 元有唯一的逆元) ，则称( s ，+ ，+ ，) 为可逆双半环 定义2 1 2 设p 是双半环( s ，+ ，) 上的同余，如果s p 是双环( 或可逆双半 环) 则称p 是s 上的双环( 可逆双半环) 同余一 定理2 1 1 设( s ，+ ，+ ，) 为加法可逆的可换双半环，若o s ，则在s 上定义二 元关系p 如下p 一( o ，b ) e s s 3 e ，f e e 卜，口+ p 一6 + 厂 ，e 卜= 口s k + 口一口， 那么p 是s 上的最小双环同余 证明：先证e 【+ 】是s 的理想 显然( 1 ) 0 h ： ( 2 ) v x ，y e e 【+ j ，( 石+ y ) + 0 + y ) = 工+ 善+ y + y i 石+ y ，即x + y e 【+ o ： ( 3 ) 慨一+ 。，v s s ，蹦+ s x = 5 “+ x ) 一蹦，即科【+ 1 ，同理：鄹e t + 1 ： ( 4 ) v x 【+ 】，v s s ，伍j ) + 0 5 ) 1 0 + 工) 5 薯x s ，即x s 【+ l ， 同理：s 工e t “，则一+ j 是s 的理想，由引理2 1 1 可知p 是双半环se 的i 司余 下证p 是( s ，+ ) 卜的最小群同余，先证s p 是群 显然s p 是+ 卜群，且出己知口t 得每个几素均有加法逆元 江西师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 设v e ，e 【“，因为厂+ ( e + f ) = f + f + e = 厂+ g p + ( p + 厂) ，且p + 厂e f “ 所以e p ，即f 【+ j 中所有幂等元都在一个等价类中， 这样s i p 中有唯一的单位元( 即零元) ，则s i p 是群，即p 是群同余 下证p 是最小群同余 设d 是s 上的任一群同余，若a p b 3 e ，e 【+ 】，n + e = 6 + ， 在s o 中 有( a + e p i ( 6 + z ) o a o + p 盯；b a + ，盯 a g 一6 盯 a a b 4 p 仃 ( 厂口，e 盯是群剐中的幂等元，即零元) 由s 的可换性，( s ，+ ) p 是a b e l 群，又 ，) p ，( s ，) p 是半群，因此纠p 是双环，从 而p 是s 上的双环同余 最后证j d 是最小双环同余 设叩是s 上任一双环同余，因s 向是一双环，则 ，+ ) 叩是一个群，而p 是最小 群同余j p 叩，所以p 是5 上的最小双环同余 推论2 1 1 设( 5 ，+ ，) 为可换的双半环，且加法可逆，若o e s ，则定义在s 上的二元关系盯- ( 口，6 ) s s k + e 【+ l b + e t + j ) 为s 上的最小双环同余 证明：易证e h 是s 的强理想，由引理2 2 及定理2 1 1 的证明可知命题成 一 ? 卫 定义2 1 3 称双半环( s ，+ ，屯) 为o r t h o d o x 双半环，如果( s ，+ ) ，仁产l ( s ，) 是 o r t h o d o x 半群( 即正则半群s 的幂等元构成一子半群) 引理2 1 3 ：如果( s ，+ ) 是o r 研o d o x 半群，则，如果4 矿【+ 1 ) ，b7 y 【+ j ( b ) ，则 v a ，b s ，b + a 是a + 6 的一个逆元 引理2 1 4 设( s ，+ ) 是o r t h o d o x 半群，如果口s ，口矿【+ j ( a ) ，那么 v i + 1 0 ) ，e ( a + 口) + a + e ( a + d ) ( 符号e ( a ) 表示包含d 的一个矩形带) 注：引理2 1 3 和引理2 1 4 的证明请参看文献 3 中的相关证明 引理2 1 5 设( s ，+ ) 是o r t h o d o x 半群，则v a ，6 s ，若矿0 ) n 矿【+ 1 ( 6 ) - 币， 则矿( a ) ；v t + i ( b ) 证明：( s ，+ ) 是o r t h o d o x 半群，矿0 ) n 矿p ) ，m ，令x + ) c l v + 1 p ) ， 贝u 口，b 矿【+ “) ，从而a + 工+ a = 口，工+ a + 工= 石，b + 石+ b 富b , x + b + 并j 工 由引理2 1 3 可知：工+ a 的一个逆元为工+ b ， 所以( x + a ) + + b ) + ( 工+ a ) 写0 + a + z ) + 6 + 仁+ a ) i 石+ 6 + x + al x + a ， 同理：( z + b ) + 0 + a ) + 0 + 6 ) ；“+ 6 + z ) + a + ( 工+ 6 ) l 工+ a + 工+ 6i 工+ b ， 所以y + 1 ( 工+ 口) i y + 1 ( 聋+ 6 ) 号e ( x + 口) = e ( x + b ) ，n 理e ( a + 工) i e ( 6 + 石) ， 由弓f 理2 1 4 可得：矿i + ( 口) = e ( x + n ) + 工+ e ( a + 工) = e ( x + b ) + x + e ( b + 工) = v i + i ) 双半环的结构和同余 定理2 1 2 设( s ，+ ，) 是一加法d ，胁d ( f 似双半环，定义s 上的二元关系p 如 下：p 一 ( 口，6 ) s s v ( 口) 一y + 1 ( 6 ) ，则p 是s 上的最小加法可逆双半环同余 证明：显然p 是s 上的等价关系 - f i e p 是半群( s ，+ ) ，( s ，) ，p ，) 上的同余 ( 1 ) 设扣，6 ) p ，c s ，对任- - x e v 卜1 0 ) = 矿卜1 p ) ，e e v 卜1 ( c ) ， 由引理2 1 3 可得：工+ c 矿h ( c + 口) n v + j ( c + 6 ) ，t 中， 由引理2 1 5 即得：v h ( c + 口) = 矿h ( c + 6 ) ，同理：y h 0 + e ) 一y h ( 6 + c ) ， 所以( c + a , c + 6 ) p ，( a + c , b + c ) s p ( 2 ) 设x e v + 1 ( 4 ) i y 【+ l ( b ) ，s ，贝0 有a + z + 4 一a , x + 口+ z i 工， 因此e ai e 0 + 工+ 4 ) i e $ 口+ c 卑x + e 口， 同理：c x _ c z + c 4 + c x ，即c 工y 卜( c 口) 同理：c * x e v + 1 ( c 6 ) 则y f + ic * a ) 。y 卜e 6 ) ( c 4 ，c * b ) e p ，同理可证：( 4 c ，b c ) p ( 3 ) 同理可证：( a e ，b c ) e p ，( c a ，c b ) p 所以p 是半群( s ，+ ) ，p ，) ， ；) 上的同余，从而p 是双半环 ，+ ，) 上的同余 下证p 是加法逆半群同余，先证( s ，+ ) p 是逆半群 由文献 3 ：任何正则半群的同态像是正则的，因为s 正则，则( s ，+ ) p 是正则 的又$ ，+ ) p 的幂等元是e p 的形式，e e e 【+ j ，y e ，e 卜j ，则由文献 3 的结论有 v ( e + 、；e ( e + 、= e ( f 七e 、= v ( 斗曲 ， + e ) s p4e p + p = p + e p ， 即p ，+ ) p 中的幂等元可换，出文献 3 结论可得( s ，+ ) p 是逆半群，则p 是逆半群 同余，所以p 是加法可逆双半环同余 最后，同定理2 1 1 可证得的最小性 2 2 幂等元双半环上的g r e e n 丘p 关系 1 幂等元双半环上的g r e e n 旦关系 定义2 2 1 设( s ，+ ，气) 是幂等元双半环，s 上的g r e e n ，关系定义如下：半 群( s ，+ ) 和( s ，) 上的g r e e n0 关系同定义1 2 1 2 ，分别用d 和d 表示，半群 ( s ，) 上的g r e e n 乡关系定义如下：( v a ，6 5 ) a d b a $ 6 $ 口= a , b 口6 = b 定理2 2 1 若临，+ ，t ) 是幂等元双半环，则s 上的g r e e n 二，关系d ，d 均为s 卜的同余，若s 为可分配双半环，则d 也是s 上的同余，凡d ，d 和d 分别是半群 ( s ，i ( 5 ，+ i ( s ，) 上的最小半格同余 江西师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 证明：先证d 是s 上的同余 由定义可知自反性和对称性显然，下证传递性 若a d b d c ，贝4 a 6 a = a a 6 c 6 # d a 4 ( 口 6 c ) ( a 6 c ) 6 $ 口一a 等a 6 c 矗+ 6 c 6 a 矗a 辛a $ 6 $ c al a 同理可得：a c 6 + n = a 贝口皇a 4 - a c 6 a $ 口6 c $ 4 i a c $ 6 $ c 幸口一a c $ 4 。 同理可得：c 口 c c ，所以a d c 又因为( c + d ) ( c + 6 ) - ( c + a ) _ 【c + ( 口 6 ) 1 ( c + a ) lc + a 丰6 $ 口ic + 口， ( c + 6 ) ( c + 口) ( c 十6 ) 暑【c + ( 6 口) 】( c + 6 ) ，c + b a 6 i c + 6 ， 所以( c + a ) o ( c + 6 ) ，同理可得：0 + c ) d ( b + c ) ，c a d c b ，口c d b c ， 从而d 是半群$ ，x ( s ，+ ) 上的同余 下证d 是半群( s ，) 上的同余 v c s ，由a 6 口= a , b a 6 ，b 可得： ( 口木c ) ( 口6 c ) 0 c ) = ( c ) $ ( d 6 c ) 木( 4 + 6 d c ) = a + ( c $ 口十6 ) ( c t 口 6 ) ，( 口f ) 薯a ( c 牛4 6 ) c ) i ( 口c ) 0 孝6 $ a 年c ) 一( a c ) 0 $ c ) - 4 $ c 。 ( 口 6 $ c ) $ ( 口十c ) ( 口6 $ c ) l ( 4 $ 6 ) ( c 口) ( c 口) ( 占c ) i ( 口 6 ) $ ( c 幸4 ) 奉( 6 $ c ) = ( a 6 c ) ( 口$ b c ) = a 6 c 所以 十c ) d 0 6 c ) ： ； 又( p $ c ) ( a 6 c ) ( b c ) = ( 6 c ) ( a 6 $ e ) ；p n 6 c ) $ ( a 6 c ) 一b + ( 口 6 c ) ( a 6 c ) 一( 6 a 十6 ) c b ，c ( 口_ 6 c ) j ( b + c ) 女( a 6 c ) ，( a $ 6 c ) 女( 口 6 c ) 一a $ 6 $ c 所以( a + 6 十c ) d p $ c ) ，从而有( a + c ) d ( 6 c ) ， 同理：( c + a ) d ( c + 6 ) ，综上所述：d c 锄岱) ，同理可得：d c o n ( s ) 若s 是可分配双半环，且a d b ， 贝0 ( c + ) ( c + 6 ) ( c + a ) ；( c + a b ) ( c + 口) = c + a b a ic + 口寺( c + a ) d ( c + 6 ) ， 同理：( 口+ c ) o ( b + c ) ，a c d b $ c ，c a d c + 凸， 所以d 是$ ，+ l ( s ，+ ) 上二的同余，同理我们【包有：d 是( s ，) 上的同余， 综上所述可得：dc o n ( s ) 因为0 + y ) ( y 。x ) 0 + y ) ；工。y 。y + 工 x + y | x + y + 石+ y l 工+ y ： ( y + 工) ( z + y ) t ( y8 x ) i y4 工$ 艽4 y y + 工= y + 工+ y + x 暑y + x ， 即x + y d y4 j ，i 司，h ：“+ y ) o ( y + x ) x y d y x 所以d ，d 卡d 分剜地棚应半祥 的半洛同余 双半环的结构和同余 设p 是( s ，+ ) 上的任一半格同余，且有a d b ， 贝( a + 6 ) p ( 4 + 6 ) ( 口+ 6 + a ) p ( a + a + 6 ) a = ( a + 6 + a ) p ( a + 6 ) ；a p ( a + 6 ) ， 同理可得：0 + 6 ) 加，从而有a p t , ，故d p ，即d 是( s ，+ ) 上的最小半格同余 同理可证：d 和d 分别是$ 产l ，) 上的最小半格同余 结论：d 一x + y y + j ，d v x + y + 工m x ( 觇，y e s ) ( 多d ，a x y y x ，d v x y x * 石( v ，y s ) d a x * y y + 工，d = v 营x * y 。工一工( v x ，y e s ) d n dc o n ( s ) 引理2 2 1 若( s ，+ ，) 是幂等元半环，贝j j v a ，6 s ，4 b n b b 一( 3 u ，v s s ) 有 a _ v + v “) ( w f + l n ，)b - ( w f + “v ) 0 y + v u ) 证明：( 充分性) a + 6 + 4 - ( w + y 王1 ) ( i + “v ) + ( + “v ) v + v u ) + v + v u x v u + “v ) i u v u + u v + w + 删+ v u i ：+ + w + u v u + u v u + u v + v u + l p u v u v u + u v + 似+ 删+ 似+ u v + u v u + u v + 似+ i r u v 二u v ( i i i z + “d + v u ( v u + l f v ) + ( w f + v ) ( w f + u v ) + u v ( v u - + u v ) + r i d ( 1 2 u + “v ) _ ( u v - l - v u + v i i + t a r + i , i v + ) p “+ u v ) ；u v i + w ) ( y “+ u v ) 毒a a b a 一以v + v u ) ( v u + u v ) ( v u + u v ) ( u v + v “) ( “i + 1 w ) ( y “+ “v ) 。( “v + v u ) ( v u + u v ) 一a 同理：b + a + b 。b a d b ，b a b = b j a d b ；a d n d b ( 必要性) 若a d n d b 成立 ： 取u = ( a b + b a ) ( b a + a b ) ，y = ( h a + a b ) ( a b + b a ) ，贝0u v + v “) ( v “+ u v ) - 【( a b + b a ) ( b a + a b ) ( b a + a b ) ( a b + 6 d ) + ( b a + a b ) ( a b + 6 口x 目6 手b a ) ( b a + a b ) 】。 【( b a + a b ) ( a b + b a ) ( a b + b a ) ( b a + 口6 ) + ( a b + b a ) ( b a + a b ) ( b a + a b ) ( a b + 6 口) 】 令研一a b ，n b a ，贝u 有m t l m a b b a a b = a b a b a b ，h , 1 ，i 1 m n ；n ，即m d n 又口d b ，b d a 辛a b d b a 辛m d n 辛m + 仃+ 历= m ，玎+ m + 盯= n ，从而有 ( u v + v “) o “+ u v ) ；【( ，行+ 以) ( n + ，卵) ( 以+ ，玎) ( ，珂+ 胆) + ( n + ，珂) ( ，竹+ 厅) ( ，以+ 盯) ( 疗+ ，仃) 1 + 【0 + ，打) ( 打l + 盯) ( ，玎+ 盯) ( 盯+ 优) + ( m + 以) ( 九+ 研) ( 盯+ 肌) ( ，町+ ，1 ) 】 我们先计算：+ n ) o + 朋) o + 朋) 沏+ 月) 。 = ( m + 一) 0 + ，以) ) ( ，卵+ 玎) = ，押+ m n + t i m + n ；m + 行) 2 _ m + ，l ， 同理可得：0 + m ) 沏+ n ) 仰+ n ) 伽+ ) ；n + m ，则易得 ( u v + 埘) ( v “+ u v ) 薯( m + 盯+ n + ，订) ( 胛+ m + m + 盯) 暑( m + 以+ ，”) ( 盯+ ，卵+ 咒) = 1 1 1 1 1 - a b b a a b a = a 同理可得：b = ( v u + u v ) ( u v + v t l ) ，得证1 9 江西师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 推论2 2 1 若b ，+ ，) 是幂等元半环，则在s 上d a d ；当且仅当s 满足等 式：( u v + v u ) ( v u + u v ) = ( v u + “y ) ( “y + w ) ，其中“，p s 证明：由引理2 2 1 直接可得 推论2 2 2 若( s ，+ ，) 是幂等元半环，则在l s 上d r 3 d ；v 当且仅当 ( v x ，