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含时滞的反应扩散方程的全局吸引子 基础数学 研究生王小虎指导教师李树勇 论文摘要：本文研究含时滞的反应扩散方程全局吸引子存在性的问题在第一章中 首先介绍了全局吸引子和吸收集的概念，然后给出了全局吸引子的存在性定理；第 二章证明了生态学中一类含时滞的反应扩散方程全局吸引子的存在性，然后用数学 归纳法以及对该模型的细致分析又给出了全局吸引子的正则性估计；第三章中，通 过构造一个合适的l y a p u n o v 泛函，证明含时滞的f i t z h u g h n a g u m o 系统在一 定的条件下拥有一个全局吸引子最后在第四章中，利用矩阵分析和算子分解的技 巧，给出了含时滞的部分耗散反应扩散方程全局吸引子存在的一个充分条件 关键词：反应扩散方程；时滞；部分耗散；算子半群；吸收集；全局吸弓 子；正则性； 第i 页，共：j ? 页 g l o b a la t t r a c t o rf o rr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t h d e l a y s m a j o r ：f o u n d a t i o n a lm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：w a n gx i a o h us u p e r v i s o r ：l is h u y o n g a b s t r a c t ：t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rf o r r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hd e l a y si nc h a p t e ro n e ，f i r s t l y ，t h ei m p o r t a n t c o n c e p to fg l o b a la t t r a c t o ra n da b s o r b i n gs e t s a r eg i v e n ，a n dt h e n ，ag e n e r a l r e s u l tw h i c he n s u r e st h e e x i s t e n c e o fg l o b a la t t r a c t o ri sp r o v e n i nc h a p t e r l w o ，t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rf o rar e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t h d e l a y si ne c o l o g yi sp r o v e n ，t h e nu s i n gt h em a t h e m a t i c a li n d u c t i o na n dd e l i c a t e a n a l y s i sf o rt h i sm o d e l ，t h er e g u l a r i t yo ft h eg l o b a la t t r a c t o ri sd e m o n s t r a t e d i n 3 h a p t e rt h r e e ，t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rf o rf i t z - h u g h n a g u m os y s t e m s i t hd e l a y si sp r o v e n ，b yc o n s t r u c t i n gal y a p u n o vf u n c t i o n a l i nc h a p t e rf o u r ， h es u m c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rf o rp a r t l yd i s s i p a t i v e r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hd e l a y si so b t a i n e db ym a t r i xa n a l y s i sa n d i t t i n gt e c h n i q u e k e yw o r d s ：r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ；d e l a y ；p a r t l yd i s s i p a t i v e ；s e m i - g r o u p a b s o r b i n gs e t ；g l o b a la t t r a c t o r ；r e g u l a r i t y 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师指导下 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 引言 1 8 9 0 年h p o i n c a r 6 1 所作的“关于论述太阳系稳定性研究”的长达2 7 0 页 的论文，开创了动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 定性理论研究，奠定了动力系统 理论基础从此动力系统理论吸引了全世界数学家、物理学家的广泛关注它 常可以看作微分方程的化身粗略的说，常微分方程及其差分方程可以分别看 作是有限维连续和离散动力系统，泛函微分方程、偏泛函微分方程、偏微分方 程及其泛函差分方程可分别看作是无限维连续和离散动力系统，而拓扑和几何 中微分流形上的方程也可看作是微分流形上的动力系统 研究自然界中的物理现象，动力系统理论作为一种研究方法起着非常重要 的作用有限维动力系统的研究至少已有五十多年的历史至今，已经取得了许 多重要的结果，如稳定性理论、吸引子 2 - 4 等但是，动力系统问题远远不限于 有限维的情况，无限维动力系统具有更加广阔的研究背景，近年来，物理上已发 现一大批具有孤立子的非线性发展方程例如，k d v 方程、非线性s c h r s d i n g e r 方程、z a k h a r o v 方程等，在一定的耗散作用下从孤立子演化为混沌现象此外。 某些耗散的反应扩散方程、n a v i e r - s t o k e s 方程都具有类似现象这些都说明对 无穷维动力系统的研究势在必行这也是有限维动力系统的深入和发展 与有限维动力系统不同，无穷维动力系统具有某些新的重要特征：首先是 存在空间上的混沌现象，即在空间某个区域上存在产生混沌、湍流现象，而在另 一个区域则不出现流体力学中的绕流就是一个典型的例子其次，在空间的某 个部分可能产生奇性集如三维空间上的流体运动，速度的旋度可能在某个部 分区域变为无穷大因此，对无穷维动力系统的研究，将为湍流的研究开辟一条 新的道路，这也是当今许多物理、力学研究工作者热衷于此的原因 5 ，6 】 然而，由于无穷维动力系统相空间的无穷维特性，使得无穷维动力系统 研究更加困难至今对它的了解也很粗浅不过可喜的事，由于b m a n d e l b r o t ， r t e m a m ，j k h a l e 等大师的工作，在无穷维动力系统的吸引子的存在性，它们 的h a u s d r o 雠数、f r a c t a l 维数的上下界估计，惯性流形的存在性及其光滑性 正规双曲性，近似惯性流形的存在性及其数值逼近、收敛性吸引子的动态 第1 页，共3 7 页 引言 结构、惯性集等问题上取得了一系列重要的成果 7 - 1 0 1 特别值得一提的是， r t e m a m 6 1 等在上世纪八十年代建立的无穷维动力系统的吸引子和惯性流形 的理论，己得到普遍的认同其主要思想是对具耗散结构的偏微分方程研究其有 限维全局吸引子的存在性然后进一步讨论吸引子的结构、吸引子的局部化和 流形逼近，以及是否存在有限维具有指数吸引性的l 流形惯性流形等等 其目的是把无穷维动力系统问题约化为有限维惯性流形上的常微分方程，然后 利用已有的有限维动力系统理论及数值计算方法来研究其动力学行为运用这 一理论，无穷维动力系统的研究取得了许多重要的成果【5 ，6 1 近年来，起源于生物、化学、物理学等学科的偏泛函微分方程的研究有了 长足的发展偏泛函微分方程无论在理论上还是在应用上都富有发展前景自 从上世纪8 0 年代以来，众多学者利用半群理论、线性、非线性泛函分析理论， 借助于常微分方程、偏微分方程、泛函微分方程的方法研究偏泛函微分方程， 在以下九个方面取得了重大进展【1 1 一1 8 】： 1 线性系统的生成元和状态空间的分解； 2 非齐系统和线性化稳定性； 3 非线性系统的不变流形； 4 h o p f 分支； 5 小扩散性与大扩散性： 6 不变性，比较方法，上、下解； 7 收敛性，单调性和收缩矩阵； 8 指数增长和不变性原理； 9 行波解 然而，在众多的文献中涉及偏泛函微分方程吸引子的却很少咎其原因，主要是， 一方面由于时滞的引入，使得对于偏泛函微分方程吸引子的研究变得更加复杂， 另一方面研究偏泛函微分方程吸引子的方法不成熟然而，与偏微分方程一样， 偏泛函微分方程解的长时间性态是由吸引子所决定的，因此，对于偏泛函微分 方程吸引子的研究就显得更加重要近年来，一些学者致力于这方面的研究，取 得了不少可喜的成果 第2 页共3 7 页 引言 对于时滞强阻尼波动方程组 掣= 啦掣恤以，卅础) 州啡吖巩堂裂) c o - 1 ) 其中：z q ，t 0 ，i = 1 ，m ，在如下的d i r i c h l e t 边界条件下 u i ( x ，) i 。鼬= 0 ，t 一r ，( 0 - 2 ) 及初值条件 囊漓篓高，t 卟删 c o 。， 【景( ，g ) = 田( t ，z ) ， 【_ r ，o 】 文 1 9 将扇形算子以及解析半群理论运用于时滞偏微分方程中，通过构造相空阔 的等价范数并利用不等式性质证明了该方程组的解仍然具有耗散性，然后通过 讨论解的范数所构成的常微分不等式组，得到系统吸引子存在的一个充分条件 t o m 缸c a r a b a l l o ，j o s da l a n g a 和j a m e sc r o b i n s o n 运用随机动力系统 中的负向吸引子( p u l l b a c ka t t r a c t o r s ) 理论研究了非自治时滞微分方程【2 0 】 杀z ( t ) = f ( t ，z ( t ) ，0 一p ( t ) ) = 咖， ( 0 4 ) 负向吸引子的存在性t o m 矗sc a r a b a u o 还证明了含时滞的2 dn a v i e r - s t o k e s 方 程【2 1 】 i 警一v a u + a u + 碧= ，( t ) 一v p + g ( t ，饥) i n ( f ，+ 。o ) n ， l d i v u = 0i n ( v , + o o ) x q ， 1 仳：0o n ( t , 佃) xa q ， ( 晰) i “( 7 _ ，z ) = t 幻( z ) z q ， iu ( t ，z ) = o 一7 ，z ) ，t ( 下一h ，7 ) 负向吸引子的存在性特别的对于自治的时滞2 dn a v i e r - s t o k e s 方程其全局吸 引子也是同样的存在 韩天勇【2 2 】研究了含分布时滞的2 d - n a v i e r - s t o k e s 方程在非齐次条件下的全 局吸引子存在性问题利用b a c k g r o u n d 流函数将系统齐次化，证明了解半群的 渐近紧性 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就和 进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的精确化 往往是通过建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为所谓的反应扩 散方程 第3 页，共页 引言 近二十年来，反应扩散方程的研究日益得到重视这是因为反应扩散方程涉 及的大量闯题来自物理、化学和生物学中众多的数学模型，因丽有强烈的实际 背景；另一方面，在反应扩散方程的研究中，对数学也提出了许多挑战性的问题， 因此正引起愈来愈多的数学家、物理学家、化学家、生物学家和工程师的注 意 2 3 1 通常在数学上把以下半线性抛物型方程组 掣= d ( z ，u ) z x u + f ( z ，“，g r a c t u ) ( ( 2 ，t ) q r + ) ( 0 - 6 ) 称为反应扩散方程组，其中qc 舻，仃，m 1 ，z = ( z l ，z 。) ，让= ( u l ，) ，g r a d u = ( g r a d u l ，g r a d u m ) ，g r a d u l = ( 等，筹) ( i = 1 ，2 ，m ) ，d ( z ，“) = ( 奶( z ，) ) ( i ，歹= 1 ，2 ，m ) 根据不同的问题可以 研究初值问题，即q = 舻，满足初始条件 珏( 戤0 ) = u o ( x p )( o - 7 ) 也可以研究各种边值问题，即qcr “有界，a q 表示q 的边界，满足条件 u = g ( 。，t ) ，( $ ，t ) q r + ( d i r i c h l e t 条件) ，( o - 8 ) 或 嘉= g ( 印) ，( 印) q r + ( n e u m a n n 条件) ，( o - 9 ) 或 蒙+ k t = g ( 叫) ，( 训) qx 豫+ ( r o b i n 条件) ( o - t o ) 其中，p 6 ) 中的d 和，也可以依赖于t ，d ( x ，u ) a u 也可以替换为非线性抛物 算子，边界条件也可以是非线性的，也可以是一个泛函，等等 反应扩散方程研究中的基本问题是： ( 1 ) 行波解的存在唯一性及稳定性； ( 2 ) 初值问题、初边值问题的整体解( 包括周期解、概周期解) 的存在唯一性及 渐近性： ( 3 ) 平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及 平衡解的稳定性问题： ( 4 ) 当解没有整体解时解在有限时间内的爆炸( b l o wu p ) 问题，以及解的其它性 质，如熄灭区( d e a dr e g i o n ) 问题 第4 页 共0 7 页 引言 ( 5 ) 计算方法问题：解决( 1 ) ( 4 ) 中各种问题的计算问题有一些困难，需要发展一 些新的行之有效的计算方法 然而在反应扩散方程研究中除去上述五类基本问题外，近年来发展最快的， 受人们关注最广泛的研究课题是反应扩散方程吸引子的研究反应扩散方程的 吸引子的结构是非常复杂的，除了包括方程简单的平衡点外，还包括时间周期的 轨道，拟周期解的轨道，以及分形、奇异吸引子等，它可能不是光滑流形，且具 有非整数维数【5 】对于具有耗散性的无穷维动力系统，研究解的长时间性态是 数学物理中的一个重要问题通常解的长时阔性态由具有有限维特性的全局吸 引子所表现 6 1 因此，全局吸引子的存在性极其重要通常，吸引子的存在性依 赖于某些紧性条件对于有界区域上的发展方程，可以通过先验估计和s o b o l e v 紧嵌入得到所需的紧性条件由于在无界区域上s o b o l e v 嵌入不再是紧的了，所 以在此情况下想得到紧性结果是非常困难的为了解决这一问题，主要采取以 下两种方法：一是引入加权s o b o l e v 空间；二是证明系统所对应的算子半群是渐 近紧的应用这些理论，反应扩散方程吸引子的研究取得了重大的进展【2 4 - 2 8 】 近年来，一些学者致力于对含时滞反应扩散方程吸引子的研究，取得了不少 可喜的成果 徐道义【2 9 1 利用矩阵分析和不等式技巧，研究了如下的一类时滞反应扩散 方程的吸引子 1 鸨产= a a u ( t ，z ) 一b u ( t ，z ) + ，( 饥，u ) ( t ，z ) = 0 ，v t t o ，z a q( 0 - 1 1 ) iu ( t o + s ，卫) = 妒( s ，z ) ，一r s 0 ，z q 而后文 3 0 1 利用矩阵的h a d a m a r d 积的性质以及不等式的技巧，将文【2 9 】的结果推 广到含时滞的拟线性反应扩散方程 第5 页，共3 7 页 ，z ) + 五( z ) ) 0 ，q ，r 0 ( 0 - 1 2 ) 黧一 麓 引言 黄建华研究如下时滞反应扩散方程 3 l 】， l 玺= d a u 一 t u + 幻考+ ，( 啦( z ) ) ，z c 形，t 0 ， 1 爱= 0 ，z 弧 0 ，( 0 - 1 3 ) iu ( x ，s ) = 妒( z ，s ) ， 一r 5 0 ， 讨论当非线性项是连续而不是全局l i p s c h i t z 连续时，时滞反应扩散方程在分数 幂空间c 么= c ( 【_ r ，o 】，) 乇) 的整体吸引子 对于如下的半线性时滞抛物型方程 面d u + a u 硼，2 吒( 0 - 1 4 ) 【u ( o + 口) = 乱，( 口) ，占【一r ，o 】 7 l b o u t e td em o n v e l ，i d c h u e s h o v ，a v r e z o u n e n k o 3 2 利用l y a p u n o v - p e r r o n 方法在适当的谱间隙条件和适当小的时滞假设下，证明了( 0 - 1 4 ) 惯性流形的存在 性 对偏微分方程空间变量离散后解的性态的研究近期已引起人们极大的兴 趣对相应离散模型的研究有助于数值计算和数值分析，并可以得到无穷维 动力系统和相应的有限维离散模型的密切联系，例如在偏微分方程的长时间 计算方面，连续模型和离散模型的整体吸引子的维数估计及误差分析，近似惯 性流形近似等等而研究时滞反应扩散方程的空间离散系统离散整体吸引子 的文献就更少黄建华 3 3 】令尼n ，将区间f o ，1 1 进行珏等分，步长为是。我们 用( t ) = 钍( t ，i h ) 来近似代替函数缸( t ，z ) ，得到下面的的空间离散时滞反应扩散 方程 f 尘警堕= 矗阻2 一“1 】一b u l ( t ) + f c u ；) ，t t o ， j 查铲= 矗阻+ 1 2 u + u 1 - 1 一6 ( t ) + ，( 让i ) ， t2t o , i = 2 ，n 一1 ， l 生爱堕= 矗阻”一u - 1 一b u ”( t ) + ，( u ) ，t t o ， 【( t o + s ) = 咖( s ) ，一r 3 o ，j = 1 ，仃， ( 0 - 1 5 ) 通过引进离散l 2 内积及其相应的范数，利用离散p o i n c a r d 不等式证明了池1 5 ) 全 局吸引子的存在性 本文将引入无穷维动力系统中的非常重要的一个概念全局吸引子，叙 述经典的全局吸引子的存在定理然后针对不同的问题，运用不同的方法研究 第6 页，共： 7 页 引言 三类时滞的反应扩散方程全局吸引子的存在性第二章证明了生态学中一类 含时滞的反应扩散方程全局吸引子的存在性，然后用数学归纳法以及对该模型 的细致分析又给出了全局吸引子的正则性估计；第三章中，通过做一个合适的 l y a p u n o v 泛函，证明含时滞的f i t z - h u g h - n a g u m o 系统在一定的条件下拥有一 个全局吸引子最后在第四章中，利用矩阵分析和算子分解的技巧，给出了含时 滞的部分耗散反应扩散方程全局吸引子存在的一个充分条件 第7 页，共3 7 页 第一章准备知识 1 1 全局吸引子的存在定理 本章将引入无穷维动力系统中的非常重要的一个概念全局吸引予，叙 述经典的全局吸引子的存在定理 定义1 1 1 设e 为b a n a c h 空间，s ( t ) 为连续算子半群，即有s ( t ) ：e e ，s ( t4 - 丁) = s ( t ) s ( 7 _ ) ，v t ，7 0 ，s ( t ) = j ( 恒等算子) 如果紧集ce 满足： ( i ) 不变性：即在半群s ( t ) 作用下为不变集， s ( t ) = ；v t 0 ( 1 1 1 ) ( i i ) 吸引性：吸引e 中的一切有界集，即对任何有界集留ce 有 d i 8 ( s ( 。) 留，) 2 骝嚣旧( 。净一圳e _ o ，t - - - | 。o ( 1 工2 ) 特别地，当t o o 时，从1 1 , o 出发的一切轨线s ( o 乱。收敛于，即有 d i s t ( s ( t ) u o ，) 一0 ，t _ o o( 1 i 3 ) 那么，紧集称为半群s ( t ) 的全局吸引子 全局吸引子的结构是非常复杂的对于一个非线性演化方程的初值问题 掣：f ( ( z ) ) ， ( 1 - 1 4 )j 一、一、 、。， u ( o ) = ? 2 0 ( 1 - 1 5 ) 它所生成的半群s ( t ) 除了包括方程简单的平衡点( 可能是多重解) 外，还包括时 间周期的轨道，拟周期解的轨道，以及分形，奇异吸引子等，它可能不是光滑流 形且具有非整数维数 为了给出全局吸引子的存在定理，我们需要引入吸收集的概念 定义1 1 2 对于有界集留c 彩，使得对任何有界集编c 钐，如果存 在t o ( 玩) 0 ，有 s ( ) 善c 留，v t t o ( 留o )( 1 1 6 ) 则称为彩中的有界吸收集 第8 页，共： 7 页 第一章准备知识 引理l 1 1 1 5 ，6 】设e 为b a n a c h 空间，s ( ) ，t 之0 为算子半群，s ( t ) ：e e ，s ( t + 下) = s ( t ) s ( 7 - ) ，v t ，7 - 0 ，s ( t ) = j ( 衡等算予) 设s ( t ) 满足以下条件： ( i ) 半群算子s ( ) 在e 中一致有界，即对一切r 0 ，存在常数c ( r ) ，使得 当i l u l l e g ( 兄) 时，有 i i s ( t ) u l l e c ( r ) ，vt o ，+ o 。)( 1 1 7 ) ( i i ) 存在日中的有界吸收集留o ( i i i ) 当t o 时，s ( ) 为全连续算子 则半群s 0 ) 具有紧的全局吸引子 附注1 1 1 如果将条件( i i ) 中的有界吸收集改换为存在紧的吸收集童， 则条件( i i i ) 中s ( ) 的全连续性可改为s ( t ) 为连续算子，这时定理1 1 i 仍然成立 附注1 1 2 可以证明上述的全局吸弓l 子为吸收集劈的。极限集，即有 = u ( 留) = n u s ( t ) 留 ( 1 1 8 ) 1 2 0 t 5 其中闭包在e 上取 另个常用的吸引子的存在定理为： 引理1 1 2 【5 ，6 】设h 为b a n a c h 空间，半群s ( ) 是连续的设存在一个开 集彩ce 和彩的一个有界集力在彩中是吸收的又设满足条件： ( 1 ) 算子s ( ) 对充分大的t 是一致紧的，即对每个有界集留，存在= t 1 ( 留) ， 使得 u s ( z ) 留在日中是相对紧的( 1 1 9 ) t _ t x 或 ( 2 ) s c t ) = 岛( ) + 岛( t ) ，其中毋( ) 对充分大的t 是一致紧的，算子岛( t ) 为连 续映射，s 2 ( ) ：e e ，且对每个有界集bch ， r b ( = s u p | i 岛( 习钏e 一0 ，( 1 1 1 0 ) 1 则留的u 极限集= u ( 留) 是紧的吸引子，它吸引彩中有界集它是在彩中的最 大有界吸引子，且当彩既凸又连通时，是连通的 因此，要证明全局吸引子的存在性，就是要验证引理i i i 或引理i i 2 的假设 是否成立，最主要的是： 第9 页洪3 7 页 第一章准备知识 ( i ) 半群s c t ) 的存在性与连续性； ( i i ) 存在一个有界或紧的吸收集； ( i i i ) s ( t ) ( t20 ) 为全连续算子或满足条件( 1 1 9 ) ( 或( 1 1 1 0 ) ) 1 2 本文中的记号及泛函分析知识 本文中我们记：q 是舯中的有界区域，其边界a q 是光滑的，测度i q i 0 c ( x ，y ) ：表示从b a n a c h 空间x 至l j b a n a c h 空间) ，的连续映射的集合，特别地 记c 0 = c ( 【- r ，0 】q ，日) ，并赋予范数 l l t f l c =s u pl 让( + s ，z ) | i 席 这里日是- - b a n a c h 空间，怕表示日中的范数，r 是正常数 扩( q ) ：表示q 上的p 次可积的实l e b e s g u e 可测函数集，它在赋予范 数：b ( n ) = 【矗蚓一d z ；下是b a n 础空间，其中表示向量珏的欧氏范数 特别的，当p = 2 时，在不混淆的情况下，我们记l 2 ( q ) 的范数为i j c 铲( q ) ：表示g 。) 中支集为q 的紧子集的函数全体构成的集合 w k , 9 ) ：设k 为非负整数，p 1 ，q 是r n 中的开集我们称集合 札w ) ；d o 仳p ( q ) ，对满足i o i 七的任意口) 赋予范数 哪旷( 1 阢) i 。5l a l _ k 后得到的线性赋范空f e ：为s o b l e v 空间p ( q ) 可以证明，w k , p ( o ) 在上述范数下是一个b a n a c h 空问当p = 2 时，常 将w k , ( q ) 记作日( q ) 1 瞄巾( q ) ：c 铲( q ) 在w 毛9 ( n ) 的闭包 日1 ( q ) ：= t u l 2 ( q ) ，v u l 2 ( q ) ， 硪) ：表示g 酽) 在日1 ( q ) 的闭包，在赋予半范数：i l u l f = 厶i v 训2 d x t 是b a n a c h 空间 定义1 2 1 入h s l d e r 半范数 设缸( z ) 是定义于qc 舻上的函数，对于0 口 1 ，弓 = 芸y e u l 2 ：，警掣y l，z l z 一 “ 第1 0 页，共3 7 页 第一章准备知识 用俨( 豆) 表示q 上满足m 。；n + o 。的函数全体，并定义范数如下： m d ；n = l u l o ；n - 4 - m 。；n ， 其中o ；n 表示u ( z ) 在q 上的最大摸，即 i u l o ；n = s u pl 让( z ) | 现在介绍s o b l e v 空间理论中一个重要的定理嵌入定理，其证明可以参 见文献 3 a 1 引理1 2 1 ( 嵌入定理) 设qcr “为一有界区域，1 p + ( i ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = 扎时，有 w 1 护( q ) c ( q ) ，1 p + o 。， 而且对任意的u w 1 护( q ) 有 j i 训i 工一( n ) c ( n ，q ，q ) i l 训i t 一( n ) ， 1 p + o o ； 当p 7 , 时，有 1 p ( q ) c c 。( 丽) ，0 a 1 一兰， 而对任意的w 1 , 9 ( q ) 有 l 让j 。；n g ( q ，q ) jj t 二w ，一啦，0 a l 一兰 这里p 称为p 的s o b l e v 共轭指数，而称上述三个不等式中的常数c 为嵌入常数 引理1 2 2 ( 紧嵌入定理) 设qc p 为一有界区域，1sp + o o ( i ) 若q 满足一致内锥条件，则当psn 时，下列嵌入是紧的： w 1 护( q ) q ( q ) ， 1 g p ，p o ，p 1 ，窖 1 ，且；+ i 1 = 1 则有 。b 一a p + 竺 p g 特别地，当p = q = 2 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式 设e 0 ，在上述不等式中用e ；n 和f 一；6 代替d 和b ，可得 带e 的y o u n g 不等式 设o o ，b o ，e o ：p 1 ，q 1 ，且；+ i 1 = 1 则 有 一 凸b 竺生+ e - ；b q e a p + 一；泸 pg 特别地，当p = g = 2 时，它变为 曲i 舻+ 麦6 2 ， 称之为带e 的c a u c h y 不等式 h 6 l d e r 不等式设q c 础为一可测集，p 1 ，q 1 ，且；+ ；1 = 1 若， l 9 ( q ) ，g 工4 ( q ) ，贝u ，g l 1 ( n ) ，且 | f ( x ) g ( x ) i d x $ ) 怯( o ) l i g ( x ) l l l ( n ) 特别地，当p = q = 2 时，上述不等式称为s c h w a r z 不等式 p o i n c a r d 不等式设1 p t 。， 则 广毒 s ，( ) y ( t o ) e x p ( 9 ( r ) d 7 ) j t o 第1 2 页，共3 7 页 第一章准备知识 + ( s ) e x p ( 一g ( r ) d 1 - ) d s ，t t o ( 1 2 1 3 ) 一致g r o n w a l l 不等式【6 】设9 ( t ) ，九( ) ，y ( t ) o 是+ o o ) 上的局部可积 函数，并且分也在，+ c o ) 上的局部可积，满足 搴g ( ) y ( ) + ( ) ，v 2 。， 如果+ r g ( s ) d s k 1 ，+ r h ( s ) d s k 2 ，+ r y ( s ) d s 如，其中0 = 1 ，2 ，3 ) 为 正常数则 笋o + r ) ( 譬+ 如) e 七- ，v t 芒0 第1 3 页 共3 7 页 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程 的全局吸引子 2 1 背景 在生物界中存在两种群竞争( 或合作) ，此时每一种群的生长由于另一种群 的存在而减少( 增加) ，如果两种群之间的相互作用不是线性密度制约的关系，可 设环境的容纳量为【3 5 】：川( z ) = 尼魁( t ) 号等漂竺争一肚( t ) 】，( i ，歹= 1 ，2 ) 这 些研究都是在种群密度均匀分布情况下进行的然而在自然界中由于异质性， 种群密度分布是不均匀的，它不仅依赖于时间还依赖于空间，因此有必要研究 带扩散项问题： i 学= d a a u x ( t ，z ) + 乱1 ( 和) ( 譬搿一e l u l ( t ，z ) j j 挈= d 2 a u 2 ( t ，z ) - f - u 2 ( t ，z ) f t 坠l + 螋u l ( t j - ! 型，l , 。) 一e 2 u 2 ( t 瑚( o ，妁，z q ， i 口i = o ( i = 1 ，2 ) o a q ，t 0 ， iu i ( t ，石) = 庐i ( t ，z ) 0 = 1 ，2 ) ，t 【一r ，o 】，z q ， ( 2 1 1 ) 其中r = m a x 丁1 ，丁2 ) ；b i ，岛，盔，e i ( i = 1 ，2 ) 为正常数，q 是r n 中的有界开集，且 具有充分光滑的边界a q ，t 为任意正常数 对于问题( 2 1 1 ) 的解的存在唯一性，及解的渐近性态的研究已有大量的 结果，见【3 6 ，3 7 】然而对含时滞的反应扩散方程解的渐近行为研究却相对较少 【2 9 ，3 0 】本文将对生态系学中含时滞反应扩散系统( 2 1 1 ) 的长时间行为进行研 究，证明了该系统存在吸引子，并对其正则性进行估计 本章中，记l 晕( q ) = “l ( q ) ：u o ，d e z q ，其范数记为：i k 特 别的，日竺陋；( q ) 】2 ，v 竺【硪( q ) 】2n 日( 靖= e ( 一r ，o 】，) ，( x = g ( 【一no 】，v ) 其范数分别为：j | = s u pi 仳0 + s ，z ) t 8 印= s u pi l u ( t + 8 ，z ) 肌算 - r s _ o- r s 0 ，有i i 毋1 1 c 盯，i i l ，o l l c , 0 ，当o 时有l i 让( t ；0 ，咖) l i c 。 0 使得留c b ( 0 ，r ) 由( 2 2 3 ) 易知，当t t o = 甄1 丙m 虿r = 2 磊时 s ( ) 留c 占 ( 2 2 4 ) 从t 到t + h ( h o ) 积分( 2 1 1 ) 式得： z 2 + 6 ( o “( s ) 1 1 2 + i 2 d s + e ，+ “! ：札3 1 ( s ，+ 眈，。t t + h 2 d o 1 t , 2 ( s ) 1 1 ) d sx ) d z d s 上u 2 ( s ，z ) d x d s ( 0 “( s ) 1 1 2 + i 2 札s ， + e 2 u 2 ( s ， j tj j nj tj n 第1 5 页，共3 7 页 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程 的全局吸引子 c o h + l u l ( ，。) 1 2 + l z 乜( t ，x ) 1 2 ( 2 2 5 ) 对上述留，如果( 咖l ，2 ) 留，t 兰t o ，则由( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 得 2 d 0 ( i | z ( s ) 0 2 + f | 让2 ( s ) l f 2 ) 如+ ( e l u ；( s ，z ) + e 2 u 2 ( s ，x ) ) d x d s j tj tj n c o h + 席 ( 2 2 6 ) 又( 2 ，1 1 ) 分别与一a u l ，一a u 2 做乘积，在q 上积分且由h s l d e r 不等式整理得 杀( i i u 1 f f 2 + | f 2 f f 2 ) + d 0 ( 1 让1 1 2 + l u 2 1 2 ) ( 1 l u l l l 2 + l i “2 1 1 2 ) + p ( i 1 1 2 + i “2 1 2 ) ， ( 2 2 7 ) 其中z ，= 2 m a x o ，c 2 ) ，p = m a x f q 专竽，业亏竽) 如果( 1 ，妒2 ) 留，t t o ，注意到 fr “v d s ：v h 垒钆 + 6 卢( j 札1 1 2 + j “2 1 2 ) d s p 席垒a 2 ， ( 2 2 。8 ) 【r + “( | | 。( s ) i | 。+ o ：( s ) o 。) d s 坚甍砉篮垒n 。， 则( 2 , 2 7 ) 由一致g r o n w a u 不等式得 i l u l | 1 2 + i i u 2 1 1 2 ( 鲁+ a 2 ) e 口，全衍，vt t o + h ( 2 2 9 ) 从而g $ 1 = b c ，( 0 ，p 1 ) 是半群s ( t ) 在c 中的吸收集进一步，如果留是c 膏 中的任一有界集，则有： s ( t ) sc 历1 ，vt t o + h ( 2 2 1 0 ) 由于c v 到c _ 的嵌入是紧的，因此s ( t ) 在c _ 中是一致紧的，由引理1 1 1 知 s ( t ) 在c 日存在紧的，连通的全局吸引子，定理得证口 2 3 全局吸引子的正则性估计 本节我们将证明下面的正则性结果 定理2 3 。1 系统( 2 1 1 ) 所拥有全局吸引子在【l 筝( q ) 】2 中有界 为此，我们首先给出两个辅助引理 引理2 3 1 1 4 0 1 记墨( t ) = e - 地 = l ，2 ) 为算子a 生成的解析半群，则存 在常数k 0 使得 i ( ) 妒j l * ( n ) k t 一。e d 。i , p l l ，( n ) ，v 妒酽( q ) ， 第1 6 页，共3 7 页 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程 的全局吸引子 其中石= 嚣十e ，( o 0 ( 母l ，如) j t j n ( 2 3 1 ) k ( 2 3 2 h 其中( t 1 ，u z ) 是( 2 1 。1 ) 的解，m ( k ) 表示任意一个与惫有关的常数以下我们简 记m ( k ) 为m ，可能每行表示不同的与k 有关的常数 ( a ) 当七= 2 时，由定理2 2 1 的证明知( 2 3 1 ) 2 成立，对任意的( 砂- ，九) ， 由( 2 2 5 ) 知 ( e 1 前( s ，z ) + e 2 u a 2 ( s ，。) ) d z d s c o h + l u l ( t ，z ) 1 2 + i 让2 ( t ，1 2 m 即( 2 3 2 ) 2 成立 ( b ) 假设当k 3 时，( 2 3 1 ) 一1 及( 2 3 2 h 一1 成立 假设( 1 ，如) ( 2 1 1 ) 两边分别乘以t ，；，并在q 上积分有： 丢五dk 睦+ 也 一1 ) z 珏 1 v 让z 1 2 g 一詈k 阱k + z l ， 丢面di 。睦+ d 2 一1 ) 上! 一2 i v “。1 2 q 一警i z 倭辜i ， 其中g = ( 南) “( 萼) 。i q l ，l = 1 ，2 即 丢丢( 1 u - 瞠+ i 让：1 1 ) + 詈l 乱- 群i + 詈i u ：群j 伤垒g + q ( 2 3 1 ) 由归纳假设及一致g r o n w a l l 不等式得 l u l i ：+ i u 2 幢m ，t h ( 2 3 2 ) 即( 2 3 1 ) k 成立 进而( 2 3 3 ) 式在到t + h ( h 0 ) 间积分有 厂f e l u 1 t + 。乱。t + t d x d t _ 2 c 3 h + 罢( i 札。睦+ 。1 2 ) ， j t，。 i ； m ：v t 0 ( 2 3 3 ) 第1 7 页，共3 7 页 第二章生态学中一类含时滞反应扩散方程 的全局吸引子 又因为s ( ) 一故( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) k 成立口 定理2 3 1 的证明：由常数交易公式有 0 扎- = - ( 也+ z 。e t 一s ) - - e l 砰( s 0) + 札- 鱼 晕宅掰】d s ，( 2 3 4 ) 扎l = 1 ( t ) 也+ l 一 ) + t 1 = 三号；兰兰：j ! ；字】d s ，( 2 3 4 ) tu 2 、o 0 2 ，山， u 。= 。( ) 枕+ ( is 2(0 r,2(tjs)【一2遽(s)+“。垒晕宅矧11 】d s ( 2 3 5 ) u 2 = 2 ( ) 枕+ 一s ) 【一2 遽( s ) + “2 兰f 呈号兰萼兰；! 安2 】d s ( 2 3 5