（电路与系统专业论文）基于FRM方法的两通道滤波器组的优化设计研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

北京交通大学硕士学位论文 摘要 f i r 滤波器相对于i m 滤波器来说有很多优点，是设计者通常首 先考虑选用的。然而，当要求过渡带比较窄时，其阶数和算法复杂度 就变得非常高。解决这一矛盾的非常有效的方法之一是使用f 砌v i 方 法。这种方法是通过牺牲信号通过系统的延迟时间来实现的。也就是 说用稍微增加一点群延迟为代价来换取阶数和算法复杂度的有效降 低。本文研究使用h t m 技术方法来设计两通道最大抽取f m 滤波器 组，使用的正是f r m 技术。为更好的达到这一目的，本文介绍了一 类改进了的f r m 滤波器组。这些f r m 滤波器和一般意义的n t m 滤 波器的主要区别是前者具有非线性相位的响应，后者具有严格的线性 相位响应。本文提出的f r m 滤波器组可以被用作分解和重建滤波器， 适用于两种类型的两通道滤波器组。可以根据实际需要来选用。第一 类滤波器组是无混叠的，无相位失真的，但是允许存在微小的幅度失 真。第二种类型是用允许存在小的混叠误差来换取进一步的算法复杂 度的降低。对比于普通的0 m f 组，第一类滤波器组在分解和重建滤 波器的过渡带较窄的时候具有更低的算法复杂度，这种减小的代价就 是靠稍微牺牲一点整个系统的群延迟换取的。对于第二种类型，是用 允许存在小的混叠误差来换取进一步的算法复杂度的降低的。在本文 的第二章将首先回顾一下一般的f r m 方法及两通道最大抽取的滤波 器组，在本文的第三章设计两种类型两通道最大抽取f i r 滤波器组， 讨论基于使用适当的修正f r m 方法来降低两类两通道滤波器组的算 法复杂度。滤波器通阻带波动的优化是通过在极小极大意义上的最大 化阻带衰减来实现的，用来最小化整个两通道滤波器组的算法的复杂 度和波动。对于两种类型，决定有无混叠那部分的失真仅仅来自于幅 度失真。第一类是无混叠的，第二类是存在部分混叠失真的，为的是 进一步降低算法的复杂程度。本文的第四章将研究如何进一步降低第 三章提出的滤波器组的有效的方法。在第五章依据给定允许的幅度及 混叠误差，所提出的方法的高效性在m a t l a b 仿真环境下用例子作了 说明，并做了对比总结。 关键词f r m ：q m f ；两通道滤波器组；复杂度：优化 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e 丘e q u e n c y _ r e s p o n s em a s k i n g ( f r m ) 印p r o a c hh a sb e e ni n t r o d u c e d a s am e a n so fg e n e r a t i n gn a r r o wt r a n s i t i o nb a n d1 i n e a r - p h a s ef i n i t e i m p u l s er c s p o n s e ( f m ) f i l t e r sw i 血a1 0 wa i i t h m e t i cc o i n p l e x i t y t h i s p a p e rp r o p o s e sa i l 印p r o a c hf o rs y n m e s i z i n gt w o c h 咖e 1m a x i m a l l y d e c i m a t e df 皿f i l t e r b a i l k su t i l i z i n gm ef r m t e c h n i q u e f o rt h i sp u 甲o s e ， an e wc l a s so ff rm 矗l t e f si si n 捌u c e d f i l t 酆b e l o n 百n gt ot h i sc l a s s a r eu s e df o rs y n t h e s i z i n gn o n l i n e 盯_ p h a s ea n a l y s i sa 1 1 ds ”t h e s i sf i l t e r s f o r 柳ot y p e so f 似。一c h a n n e lm t e r b a n k s f o rt h cf i r s tt y p e ，t h e r ee x i s tn o p h a s ed i s t o r t i o na n da l i a s i n ge h o r s ，b u tt h i st y p es u f f b r si o mas m a l l 锄p l i t u d ed i s t o n i o na sf 研t h ew e l l l d l o w nq u a d m t u r em i r r o rm t e r ( q m f ) b a r l k s c o m p a r e dt oc o v e n t i o n a lq m ff i l t c rb a l l k s ，t l l ep r o p o s e db a i 出s 1 0 w e rs i 印m c a m l ym eo v e r a l l 撕m m c t i cc o l p l c x i t ya tn l ee x p e n s eo fa s o m e w h a ti n c r e a s e do v e r a hf i n e rb a n kd e l a ym 印p i i c a t i o n sd e m a n d i n g n a r r o wt r a n s i t i o nb a i 】d s f o r 廿1 es e c o n dt y p e ，t h c r ea r ea l s os m a l la l i a s i n g e 玎o r s ，a l l o w i n go n et or e d u c em e 撕t h n l e t i cc o m p l e x i t ye v e nf 1 1 r t h e r e m c i e n ts m l c t u sa r ei n 仃o d u c e df o ri m p l e m e n t i n gt h ep r o p o s e df i l t e r b a r l k s ，a n da l g o r i t h m s a r ed e s c r i b e df o r m a x i r n i z i n g t h e s t o p b a n d a t t e 叫a t i o n so ft h ea 工l a l y s i sa n ds y n m e s i sf i l t e r si nm ei i l i n i m a xs e s e s u b j e c tt ot h eg i v e na 1 1 0 w a b l ea m p l i t u d ea n d o ra l i a s i n ge r r o r s e x a m p l e s a r ei n c l u d e di n u s t r a t i n gm eb e n e f l t sp r o v i d e db ym ep r o p o s e dn l t e r b a i l k s k e yw o r d s ：f r m 印p m a c h ，q m f ，t w oc h a i l n e lf i l t e rb a n k s ， c o r 玎p l e x i t y ，o p t i m i z a t i o n 2 北京交通大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 多速率滤波器组和予带信号处理 在过去的2 0 几年中多速率滤波器组的理论和设计受到广泛的关 注，它在诸如语音编码，加密，图像编码，压缩，雷达，噪声消除以 及在不同带宽的信道内传输信号等许多领域都有广泛的应用。多速率 技术可以有效的降低信号的处理复杂度，数据的传输率和存储量。设 计好的多速率滤波器组，能有效的提高通信系统性能，达到较高的编 码增益。本文提出了基于f 1 t m 方法的两通道滤波器组的优化设计方 法。应用滤波器组的主要思想是系统能把所关心的信号在频域分开为 两个或多个信号或者把两个及多个信号合成为一个信号。前一种情况 对应于一个分解重建系统，要求在采用适当的编码算法以后信道内传 输的比特数或在存储器中存储的比特数会显著的减少第二种情况是 综合分解，或者是说几个信号在多路复用通道传输系统中通过一个信 道而被传输。 在两种情况中整体系统要求被设计成这样一种方式使得重建信 号或者是原始信号的延迟或者遭受可以忽略的信息损失。依据使用多 少通道来分解信号( 或者多少信号被要求在同一个信道内传输) 有两 类滤波器组m 通道滤波器组和两通道滤波器组。在前一类中，信号 被分为m 个不同的信道，在第二类中被分为两类信号。本文研究两 通道的这种类型滤波器组，通过使用树型结构，两通道滤波器组可以 用来构建m 通道的滤波器组。在生成2 ”个一组的滤波器组和离散时 问小波组是很有用的，本文研究那些两通道的滤波器组在分解重建滤 波器中都是有限长脉冲响应的滤波器进一步，滤波器组被假定为无混 叠的或略带混叠的。这样分解重建滤波器就有了对应的约束关系，我 们只需研究分解滤波器组这一部分就可以了解整个两通道滤波器组 的性能了。分类这些两通道滤波器组可阻有几种方法。首先，他们可 以被为理想重建的滤波器组和近似重建的滤波器组。近似重建的滤波 北京交通大学硕士学位论文 器组可以分为传统的分解滤波器是线性相位的积分镜像滤波器组和 低延迟的分解滤波器是非线性相位的积分镜像滤波器组完全重建的 滤波器组，可以被分为非线性相位滤波器的正交滤波器组及传统的线 性相位的正交滤波器组和低延迟的非线性相位的正交滤波器组。 1 2 子带滤波器组的研究发展史 子带信号处理从提出概念到今天大约有2 5 年的历史，其问经历 以下几个阶段： 1 2 1 提出概念阶段 子带数字信号处理概念最早源于2 0 世纪7 0 年代中期，主要应用 于多速率采样，信号的子带编码，减少计算复杂度以及减少传输数据 率和存储单元的需求；开始受到人们的关注时期是1 9 8 0 年，j o l l l l s t o n l s l 提出了一类两通道正交镜像滤波器组( q u a ( 1 r a t u r em i n d rf i l t e r ，简称 q m f ) 以后，1 9 8 1 年，n u s s n a u m e r l 6 】给出7 两带伪q m f 的设计方法， 1 9 8 4 一1 9 8 6 年，s m i 1 和b a m w e ui l l 和m i n t z e r 【8 ) 各自独立的提出了 两通道精确重构滤波器组的设计方法。在1 9 8 6 年，w o o d s ) 9 1 将二维 0 m f 成功应用于图像子带编码。 1 2 2 基本理论发展的初步阶段 在1 9 8 6 年，s m i t h 和b 姗w e l l l 提出共扼正交滤波器组 ( c o n j u g a t eq u a d r a t u r e m i r r o rf i l t e r ，简称c q f ) ，v a i d y a n a t h a i l p i l 在1 9 8 7 这是首次实现完全重构的滤波器组；v e t e r l i l 0 1 在1 9 8 6 年，年分别独 立研究了两通道子带滤波器组的完全重构条件。他们引入了多相位 ( p 0 1 y p h a s e ) 分量来分析滤波器组的方法使得滤波器组的设计和分析 大大简化，从而推动了这一学科的发展。特别是v a i d y a n a t h a l l 提出了 f r 无损( l o s t l e s s ) 系统的镜格( l a t i c e ) 结构，用于设计完全重构的正交 滤波器组，可以实现功率互补的滤波器组，简化了滤波器的优化设计， 2 北京交通大学硕士学位论文 这些都极大的推动了滤波器组的理论和应用的发展。 1 2 3 丰富和完善理论的阶段 2 0 世纪8 0 年代末到九十年代中期，小波分析研究成为热点。析 理论研究表明小波的多分辨分满足一定正则条件的滤波器组可以迭 代计算出小波，m a l e t 提出了双尺度方程以及塔式分解算法，这些成 果将滤波器组和小波紧密联系在一起，使得滤波器组与小波理论及设 计有了非常紧密的联系。人们开始重视利用滤波器组设计小波，以及 滤波器组自身理论的研究。在此期间，v a i d v a n a t h a l l 做出了重大贡献， 他系统地提出了两通道以及m 通道正交滤波器组的理论，并将当时 的研究成果汇集成册，成为当今从事此领域研究者的必读之书。1 9 8 9 年，h o a n g 和v a i d y a n a t h a i l 提出t 非均匀滤波器组的理论。1 9 9 1 年， n a y e b i 等人提出了非均匀滤波器组的时域设计方法。k o v a c e v i c 和 v e t e r i i 提出了数据率可以按有理数变化的非均匀滤波器组。1 9 9 2 年， v e t e r l i 研究了两通道滤波器组及小波基和多分辨分析的关系，n a y c b i 等人提出了滤波器组的时域设计方法和时变滤波器组。1 9 9 5 年， t s a t s a i l i s 和g i 锄a “s 提出了主分量滤波器组的理论，1 9 9 8 年， v a i d y a n a t h a l l 又提出了最优正交子带编码器的理论。在1 9 9 8 和2 0 0 0 年，v a i d v a n a i h a l l 和m o u l i n 等人提出自适应双正交滤波器组。 1 3 本文的研究目的及所做的工作 f 墩滤波器具有稳定，无相位失真和系数敏感性低等优点，由于 其实现复杂度与其过渡带宽成反比，实现窄过渡带宽f 皿滤波器的成 本过高。本文深入研究了一种基于f r m 方法的f 瓜滤波器设计方法， 适用于设计窄过渡带宽f 墩滤波器。其优点是( 1 ) 实现复杂度低( 2 ) 适用范围广，适用于低通高通带通等多种类型滤波器。3 通过与多速 率信号处理理论相结合，可高效地实现多速率滤波器。在宽带数字信 号处理系统中具有一定的应用参考价值。 本文的主要本文的具体章节安排及研究内容如下： 北京交通人学硕士学位论文 本文研究使用f r m 技术方法来设计两通道最大抽取f 承滤波器 组。为更好的达到这一目的，本文介绍了一类改进了的f r m 滤波器 组。这些f r m 滤波器和一般意义的f r m 滤波器的主要区别是前者 具有非线性相位的响应，后者具有严格的线性相位响应。本文提出的 f r m 滤波器组可以被用作分解和重建滤波器，适用于两种类型的两 通道滤波器组。可以根据实际需要来选用。第一类滤波器组是无混叠 的，无相位失真的，但是允许存在微小的幅度失真。第二种类型是用 允许存在小的混叠误差来换取进一步的算法复杂度的降低。 对比于普通的o m f 组，第一类滤波器组在分解和重建滤波器的 过渡带较窄的时候具有更低的算法复杂度，这种减小的代价就是靠稍 微牺牲一点整个系统的群延迟换取的。对于第二种类型，是用允许存 在小的混叠误差来换取进一步的算法复杂度的降低的。 接下来，在本文的第2 章将首先回顾一下一般的f r m 方法及两 通道最大抽取的滤波器组，在本文的第3 章介绍两种类型两通道最大 抽取f 皿滤波器组是基于使用适当的修正h t m 方法来降低两类两通 道滤波器组的算法复杂度的。对于两种类型，决定有无混叠那部分的 失真仅仅来自于幅度失真。第一类是无混叠的，第二类是存在部分混 叠失真的，为的是进一步降低算法的复杂程度。接着研究了实现提出 的滤波器组的有效的方法，研究了如何优化滤波器组来最小化整个两 通道滤波器组的算法的复杂度。优化是通过在极小极大意义上的最大 化阻带衰减来实现的。依据给定允许的幅度及混叠误差，第4 章研究 的是一种新的算法，用来进一步减少滤波器的系数，利用希尔伯特滤 波器幅频特性，作者提出了一种有效的原型滤波器确定方法。设计结 果证实了这种方法非常有效，同己有设计方法相比，滤波器的阶数得 以明显减小。所有提出的方法的高效性在第5 章用m a t l a b 仿真实验 作了说明，并做了对比总结。最后是结束语：说明下一步将要努力的 方向。 北京交通大学硕上学位论文 第2 章f i u 技术及两通道滤波器 组的基础理论 2 1 f r m 思想与f r mf i r 滤波器 2 1 1f r m 技术的由来 最初是在设计通带较小的低通滤波器时，发现可以这样做，即为 了实现图( b ) ，图( c ) 中所要求的滤波器，可以先设计一个指标很宽松 的滤波器我们叫做原型滤波器，然后对它做零值内插运算，生成一个 带有原型滤波器的周期镜像的滤波器。 再设计一个滤波器把镜像分量屏蔽掉，剩下的滤波器就是我们要 求的那个滤波器，如图( a ) 所示。之所以这样是因为发现了这样可以节 省滤波器的实现代价，即复杂度得到削减。然后我们发现不仅仅对低 通滤波器而言可以这样做，对高通，带通滤波器而言同样可以采取类 似的手段来处理。所以一般的我们就把由这种思想设计滤波器的技术 称为频率响应屏蔽法。 图a 北京交通大学硕十学位论文 1 孰 孵 _ 曩 。瓣7 屯 辅z 摩黝够 i甜i 一 l f _ 1r l 阿 i 勰。幽，- 翮 州 o n 1 o2 。3 星二化瑟翠0 耆 o 。7 n 8n 91 图b i 皇“2 零。2 挲8 l 6猢 o0 1o 。2 n 3 星冬他懿率0 毒 n 7o 8n 91 图c 2 1 2传统的f 础f i r 滤波器 在h t m 方法中，全部的滤波器的传递函数被表达为 日( z ) = g ( z ) 民( z ) + g c ( z ) 鼻( z ) ( 2 1 ) g ( z ) 和g 。( z ) 分别称为：原形滤波器，互补滤波器； ( z ) ，鼻( z ) 代表屏蔽滤波器，它们分别提取一个或几个周期内 的原形滤波器g ( z ) 的通带和一个或几个周期内的互补滤波器 如 。 珊 枷 勋 锄 m 啪 m 邶 m疆l 北京交通火学硕上学位论文 g 。( z ) 的通带 对于一个低通滤波器，在图1 1 中给出了原形的，屏蔽的和整体 的滤波器组的典型幅度响应。在图1 1 中：碰g 丁和礤丁代表g ( z ) 和g c ( z ) 的通带和阻带边界，k 和l 是正整数。 酢) 的过渡带可以在g 0 ) 或吒0 。) 的过渡带中选择，在本文 中我们分别叫做情况a 和情况b 。 碰g r砖。丁 万 兀 2 图2 2 北京交通大学硕上学位论文 l h ( d 。7 _ 卜、 jf 0 ( 一1 b t 一_ 、i 0 、型学 圈2 3 图2 4 f 2 l h ( e 1 。1 ) i 丙、_ 、学 幽25 l t ， 8 北京交通大学硕上学位论文 对于情况a ：整体滤波器的通带和阻带边界变为 丁= ( 2 七丌+ 吐拶r ) 上，魄r = ( 2 七石+ & 妒丁) 上 ( 2 2 ) 对于情况b ：整体滤波器的通带和阻带边界变为 吐) c r = ( 2 庀石一；g ，) 三，国s r = ( 2 七万一c 啦丁) 上( 2 3 ) 我们说这些边界条件是事先确定的整体滤波器的通带和阻带边 界条件 问题是找到l ，k ，d 回丁，! 回丁和确定使用哪一种类型的 滤波器组来达到降低滤波器的复杂度。 下面给出一个简单实例，要求设计一个阶数较为低的低通滤波器 其最一般的实现过程如下所示： oo fo203o 4o5o6o70 8091 图2 6 第一步选取原型滤波器和互补滤波器 北京交通大学硕士学位论文 图2 7 第二步进行零值内插运算，得到陡峭的过渡带，这样做的好处 是虽然阶数增加了但是非零系数并没有增加。 图2 8 第三步设计一个屏蔽滤波器1 它的过渡带宽度可以放松到较宽 的范围。 o 北京交通大学硕士学位论文 图2 9 第四步用屏蔽滤波器1 屏蔽原型滤波器后的结果 图2 1 0 第五步再设计一个屏蔽滤波器2 它的过渡带宽度同样可以放松 到较宽的范围。 北京交通大学硕士学位论文 图2 1 1 第六步用屏蔽滤波器2 屏蔽互补滤波器后的结果 图2 1 2 第七步图2 9 和2 1 l 的结果相加后合成的一个具有窄过渡带的 低通滤波器。 北京交通大学硕士学位论文 图21 2 图2 1 2 给出了原型滤波器经过零值内插运算后的滤波器直接实 现结构图 把z 用z 2 代替后延迟单元增加，可以看到滤波器的非零系数并 没有增加。 原型滤波器阶数 3 41 48 内插系数l 23 4 原型滤波器插值后的 6 94 53 5 阶数 屏蔽滤波器的阶数8 2 5 9 5 整体滤波器的阶数 7 77 01 3 0 传统f 破滤波器的阶 1 3 71 3 71 3 7 数 计算量降低的百分率 4 3 4 9 8 2 2 两通道最大抽取滤波器组 两通道滤波器组如图2 1 3 所示。它包括分解和重建滤波器及一 个处理单元。分解单元组包含低通和高通分解滤波器，其后跟着抽取 间隔为2 的抽取处理单元。重建单元组包含低通和高通重建滤波器， 北京交通大学硕士学位论文 在重建处理单元之前有系数为2 的内插器 图中凰( z ) 和凰( z ) 分别是分析滤波器组中的低通与高通滤波器， g o 和g l 分别是合成滤波器组中的低通与高通滤波器。分析滤波 器组将输入信号分解为两个子带，在实际应用中，可根据子带信号的 不同特征分别进行处理，并要求合成滤波器组能准确或误差很小的重 建输入信号。 在q m f 滤波器组中，滤波器间的关系为： g o ( z ) = 研( 司，g l ( 力= 一凰( q )( 2 4 ) 趣乜) = 岛( q )( 2 5 ) 由式( 2 5 ) 可知，凰国，凰( z ) 的频率响应关于吐f 兀2 镜像对称，故 称其为两通道q m f ( q u a d r a t u r em i o rf i n 砷滤波器组。 若凰乜) 是f 皿滤波器，则可证明准确重建q m f 滤波器组中的 凰只能有两个非零的系数。为了获得有实际应用价值的系统，只能 设计近似准确重建的系统。本文将0 m f 滤波器组的设计问题表示为 基于f r m 技术的非线性优化问题。这不仅进一步简化了算法，而且 可设计出重建误差很小的o m f 滤波器组。 图2 1 3两通道滤波器组 当忽略处理单元时，图2 1 3 中整个系统的输出和输入的关系可 以表达为： y ( z ) = k ( z ) x ( z ) + k ( z ) x ( 一z )( 2 6 ) ( z ) = 日。( z ) g 。( z ) + 一( z ) g 1 0 ) ( 2 7 ) _ ( z ) = h o ( 一z ) g o ( z ) + 日。( 一z ) g 1 ( z )( 2 8 ) 如果对于某个正整数k 有：( z ) = z ：k ( z ) = o 我们就说滤波 器组是一+ 个完全重建的滤波器组。在这种情况下，y ( n ) = 工一j | ) ，就 北京交通大学硕= e 学位论文 是说输出序列仅仅是输入序列的一个延迟而已。在许多的实际应用 中，对滤波器组具有严格完全重建的要求可以不那么严格，在这种情 况下，可以使用近似完全重建的滤波器组。这种滤波器组被称为近似 完全重建滤波器组( n p r ) 。本文主要研究使用f r m 方法设计n p r o m f 滤波器组，这对于实际应用是很有价值的，可以在满足实际应 用的前提下降低实现的难度。 下面给出个一般的两通道滤波器组的例子 0 _ 2 0 筻 _ 4 0 剖 磐瑚 _ 8 0 1 0 0 、 j 、 ， ；、f j 、 j j ， j 、j ，vv 、 l ! 1 l 00 1o 20 30 40506o 708091 w d i o o 一卜一 ； 7 一少鼍 “ 。 o“1 “2 “3 ；o n 品? o 7“8“91 瓮誉一。=瓮一 北京交通火学硕士学位论文 第3 章f r m 两通道q m f 滤波 器组的设计及实现结构 3 1 系统分解合成传递函数的设计 滤波器组中的传递函数是依据f r m 的思想实现的， 下所示： 风。( z ) = g 0 ) r ( z ) + g 。( z ) 鼻( z ) 见( z ) = g ( z ) 毛( z ) + g c ( z 。) 巨( z ) h 。( z ) = g ( z ) 磊( z ) 一g 。0 ) e ( z ) h ，( z ) = g ( z ) e o ( z ) 一g c ( z ) e ( z ) 3 1 1 各子传递函数的频率响应关系 具体公式如 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) l 是奇数整数，原形滤波器g ( z ) 和g c ( z ) 是奇数阶的和线性相位 的，两个f i r 滤波器分别是对称和非对称脉冲响应的， g 。( z ) = g ( 一z ) ( 3 5 ) 滤波器r ( z ) 和鼻( z ) 是偶数阶的和线性相位的低通滤波器并且 具有对称脉冲响应，滤波器& ( z ) 和e ( z ) 是具有与e ( z ) 和鼻( z ) 同样 阶数的高通滤波器并且他们的响应r ( z ) 和e ( z ) 的联系如下： b ( e 埘) l = l e ( 一”) i ( 3 6 ) 旧( e 脚) i = l 民( e m “”) i ( 3 7 ) g ( z ) 和q ( z ) 可以被单独使用来产生带有任意小的幅度失真的 无混叠两通道q m f 组。这种情况下传递函数g ( z ) 与瓯( z ) 形成近似 北京交通大学硕士学位论文 的能量互补滤波器对，也就是说， g ( p ”7 ) 卜 g c ( p 归7 ) j ，羽 o ，万】 ( 3 8 ) 近似等于一个常数。对比这些传递函数和用传统f r m 方法生成 的传递函数的时存在下列基本的区别：在常规的方法中g ( z ) 与 嚷( z ) ；g ( z ) 与嗥( z ) 的零相位频率响应之和是严格等于一个常 数的。而对于提出的传递函数g ( z ) 和g 。( z ) 或g ( z ) 和g c ( z ) ，形成 近似的能量互补滤波器对，也就是说 i g ( g 触) j 。+ j g c p 脚) l ，田 o ，石 ( 3 9 ) l g ( 扩”) 卜i 嘭( e m ) 卜r 【o ，z ( 3 1 0 ) 近似的接近于一个常数。常规方法g ( z ) 和睇( z ) 是线性相位滤波 器且具有同样的偶数阶，而对于我们提出的方法g ( z ) 和q ( z ) 具有同 样的奇数阶。常规方法的传递函数在时域具有对称的脉冲响应，而我 们的传递函数不具有这个性质。由方程( 2 1 ) 给出的所有的4 个传递函 数是由同一对的原形滤波器g ( z ) 和g c ( z ) 来生成的。 l g ( e m ) i ；i g c ( 纱r ) i 丌f2 图3 1 ，i 7 北京交通大学硕二 学位论文 石2 图3 2 丁 丌2 图3 _ 3 万 丁 8 北京交通大学硕士学位论文 图3 4 7 c | 2冗t 图35 对于a 类型的滤波器组磊( z ) = 一只( 一z ) ；e ( z ) = e ( 一z ) ( 3 一1 1 ) 对于b 类型的滤波器组民( z ) = e ( 一z ) ；e ( z ) = 磊( 一z ) ( 3 1 2 ) a 类型的滤波器组是无混叠的而且只存在小的幅度失真；对于b 类滤波器组来说，只存在一些小的混叠误差。决定整个滤波器组的性 能的可调节的传递函数是g ( z ) ，r ( z ) ，e ( z ) ，他们的频率响应可以 用他们的脉冲响应系数g ( ”) ，五( ”) ，和工( n ) 分别表达出来： 北京交通大学硕士学位论文 g ( g 甜) = p 一州6 盯旭g 月( 国丁) g 。( 丁) 的零相位响应为( 2 1 9 ) 式 ( m 7 一i ) ，2 g 。( n = 2 g ( ( g 一1 ) 2 月= 0 ( 3 1 3 ) ”) c o s ( 如十1 2 ) w 丁) ( 3 1 4 ) 只( b 。7 ) = e 一，”( r ) ，k = o ，1 ( 3 - 1 5 ) ，0 ( r ) 的零相位响应为( 2 2 1 ) 式 - “一l ，2 e r ( 砷= 五( f 2 ) + 2 ( f 2 一n ) c o s w 丁) ( 3 1 6 ) h 2 1 分解滤波器之间的幅度频率响应关系为： 阮。( 口触) l = 阮。( g “”“) l ( 3 - 1 7 ) 陋。( p 脚) j = 1 日。( f 扣7 ) l ( 3 - 1 8 ) 1 日，o 扣7 ) l = i h 。 州”1 ) l ( 3 1 9 ) 1 日。( e 脚) i = i ( 三w 乃最。( w 丁) 】2 + 瓯( 工w r 一力e 。( w 丁) 2 ( 3 2 0 ) 畸变函数的频率响应表达式为： 。7 ) = e 一7 “。“”r ( 丁) ( 3 2 1 ) 其中 。( ，) = i ( e ，m 7 ) | _ 1 日。o ，7 ) 1 2 + l h 。o 。7 ) 1 2 暖( 上羽) 礞( 羽) + 瑶( 打一口) + 村一刀) 瑶( 研) + 磁( 甜一硎 = 1 g o 且4 ) 2 【l 磊( e ，”) i2 + 1 岛o ，”) 2 】+ l g ( e 皿”) 1 2 9 曩( e7 4 ) 1 2 + i 晶( s j ”) 1 2 ( 3 2 2 ) 混叠传递函数的频率响应， k ( p ”) = g 一。“+ 脚”k r ( 丁) 对于a 类型的滤波器组 k ( e7 ”) = o 对于b 类型的滤波器组，其中： ( 3 - 2 3 ) ( 3 2 4 ) 北京交通大学硕士学位论文 k 。( 丁) = 2 g ；( 三珊丁) 瓦r ( 国丁) 置。( 甜丁一万) 】+ 2 q ( 三c d 丁一丌) 最r ( r 一万) e a ( c 时r ) g ( z ) ，r ( z ) ，和e ( z ) 控制整个滤波器组的性能。日。( z ) 是控制 图中的整个滤波器组的性能的传递函数的滤波器，只存在幅度失真， 但是没有相位失真，( 仅仅一个l 。+ ，的延迟输入( 输出) 样本。 进一步讲，这种幅度失真仅仅来源于分析滤波器组并且由 阮。( e “7 ) + 恤。( p 如7 ) ( 3 2 6 ) 给出，因此，可以简化滤波器组的设计， 由公式f 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 可知a 类型的滤波器组是无混叠的，而对 于b 类型的滤波器组存在混叠误差，通过允许混叠误差的存在来进一 步的减少整体滤波器组的实现代价 系 准 3 1 2 各子传递函数之间边界截止频率的约束关 对于一般的q m f 滤波器组，其中的分解滤波器组存在下列的标 h a o ( z ) 是一个低通的滤波器，它的通带和阻带边界是由r 和r 来分别代表的，由 n _ r = ( 1 一p ) 石2 年口r = ( 1 + p ) 石2( 3 - 2 7 ) p 是一个特定的常数，以便使过渡带的中心位于 丁= 万2 阮。( e 。) 卜峨( e 如) l 2 棚丁 o ，玎】( 3 - 2 8 ) ( 3 2 8 ) 式近似等于一个常数对于也就是说，以。( z ) 和风( z ) 形成 一个近似的能量互补滤波器对。所以没有必要说明剩下的重建子滤波 北京交通大学硕士学位论文 器的标准，因为1 日。( e 间) 1 2 + 1 只。( e 膨) r 决定了整个滤波器组的幅度 失真。 滤波器组基本的设计步骤为： 首先设计g ( z ) 和g r ( z ) = g ( 一z ) 作为一般的q m f 组，满足 下列的条件：他们形成一个近似的能量互补滤波器对，g ( z ) 的通带 和阻带边界是由! 回7 1 和国1 6 丁，分别表示的 1 6 7 1 = ( 1 一p ( 6 ) 丌2 ，：6 丁= ( 1 + p 旧) 石2 ( 3 2 9 ) 以便过渡带的中心位于羽= 厅2 。把g ( z ) 和g 。( z ) = g ( 一z ) 通过一 个具有奇数l 个的延迟单元取代延迟单元z 。就得到 g ( z ) 和g 。( z ) = g ( 一z 。) ( 3 3 0 ) 上述替代使得滤波器组的整体阶数从 ，6 增加了到工 0 ，并没增 加算法复杂度。( 脉冲响应在原始的样本间被插入了仅仅l 一1 零值) 滤波器对g ( z ) 和g c ( z ) 形成了一个近似的能量互补的滤波器 对，分别具有周期幅度响应l g ( e 似7 ) i 和i g 。( e 似7 ) l ，周期为2 石上。 这极大地减少了乘加法器的数目。对于一个奇数值l 存在下列两种情 况： 情况1 三= 4 女+ 1 其中k 是一个正整数 由g ( z 。) 提供也。( z ) 要求的过渡带，它的啡丁和q 丁由 q ，：尝：! 竿 ( 3 3 1 ) 4 七+ 12 。 。，：塑垡! ：( ! 坐( 3 3 2 ) 3 4 七+ 12 。 给出，其中p = p 6 三 ( 3 3 3 ) 情况2 ，上= 4 j ； 一1 其中k 是一个正整数：g 。( z ) 提供所求的 h 。( z ) 的过渡带，它的q r 和咄r 由下式给出 北京交通大学硕士学位论文 q ，= 乞竿= 半 p s 4 ， q r = 等= 半 睁s s ， 其中户= p 6 三。对于屏蔽滤波器塌( z ) ，巧( z ) ，岛( z ) ，蜀( z ) 的通带和阻带的边界，可以通过选择低通滤波器吒( z ) 和曩( z ) ，高 通滤波器岛( ：) 和e ( z ) 的通带和阻带边界，满足标准1 和2 对于情况1l = 4 k + 1 趟昂) r ：趟岛，丁：型掣：蛾丁：旦之2 三( 3 3 6 ) 趟焉，丁= 程丁= 三蔓学= 塑! 二学 哇1 ，r = 砖“，r = 华= 塑- = 二学 丁趔一丁= 华诅r = 半 对于情况2 上= 4 k 一1 4 晶，丁= 趟岛，r = 三塑三学= 旦二羔半 丁钟b 堑竽卅= 半 忙妒忆堑产= q 丁= 半 一，丁= 趟蜀，丁= 华= ! ! 玉学 ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 - 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) 为达到这一目的日。( z ) 和日。一( z ) 膨幅度频率响应表示为 1 h 。o ，”) i = i g ( e ，”) 1 2 i ( e j “) 1 2 + l g 。o ”7 ) 1 2 k ( e 如7 ) 1 2 ( 3 4 4 ) 睥。( 7 ) i = i g ( ) 陋( 7 ) h g c ( 纱7 ) 阼( 扩7 ) 4 5 ) 然而幅度频率响应平方和给出为 北京交通大学硕士学位论文 l 一。p 叫2 + k ) f 2 = | q 1 2 忙州磊州g c ( e m 排剃巧”1 2 ) ( 3 4 6 ) 为了满足上述准则1 和2 ，考虑下列5 个分段间隔， q i = o ，q 丁 ，q ：= q 丁，明，q 3 = 丁，略丁】 ( 3 4 7 ) q 。= 丁，蛾卅，q ；= 咄丁，石 ( 3 4 8 ) 对于a 类滤波器组q r = ，1 丁= r ，峨丁= ，1 r = r ( 3 4 9 ) 对于b 类滤波器组q r = ，寥= ，r ，q 丁= ，r = ，丁 ( 3 5 0 ) 对于，q 。，k ( s 脚) f ，k ( s 归) l 一致近似等于常数陋( e 4 ) i ， 旧( e “) i 近似等于零，对于丁e q ；，l 届( e 缈) i ，旧( e 埘) i 近似等于零， i 民( e 。”) l ，旧。扣7 ) 1 一致近似等于常数a 因为 l g ( e 口”) 1 2 + l g c ( e ，”) 1 2 国丁e 【o ，刀 非常近似等于常数，根据方程 ( 3 4 4 ) ，在这些间隔中间实现了近似能量互补属性，进一步讲，就像 在方程( 3 - 4 6 ) 中给出的那样q ，= 【o ，q 卅q ，= 他丁，万】是日。( z ) 要求 的通带和阻带的区域的一部分。 对于田q ：，k ( e 口”) 降l b ( e 脚) l ( 1 g ( e 止”) i 和旧( e m ) 1 ) 近似等于零 i g ( e 止”) 浠口旧( e 缈) i ( 1 g c o 皿“) i 和旧( e 脚) 1 ) 一致近似等于常数 对于a 类型和b 类型的滤波器组的情况都如此。 对于丁e q 。，j g ( 扩”) i 和| e ( e 埘) j ( i g 。( e 正“) 降口1 只( e ”) 1 ) 近似等于零i q ( 。7 i 和旧( e 脚) l ( 1 g ( e 正。7 ) l 和l ( e 触) 1 ) 一致近似 等于常数对于a 类型和b 类型的滤波器组的情况也都是一样。 因此依据方程 1 月。( e ，”12 + 1 只。( 一”1 2 = l q 一“1 2 4 岛( e 矽1 2 + 1 ( e 1 2 ) + l g 0 ( e ”12 巨( 一4 1 2 + k 忙”1 2 ) 北京交通大学硕十学位论文 ，在这些间隔中间同样也实现了近似能量互补属性。进一步讲，根据 方程( 3 4 4 ) q ，= 【o ，】q ，= 峨r ，玎 是h 。( z ) 通带( 阻带) 区域的 一部分。以便它有完整的通带和阻带区域 对于国r q ，根据方程( 3 3 4 ) 和一f 列事实， i g ( e 且m ) 1 2 + l g c ( e 且”) 1 2 非常近似一致在这个间隔中。对于情况a 情况 和b 的滤波器组都成立，旧( e 触) i 和旧( e 埘) i ( 旧( e 埘) ! 和 旧( e m ) i ) 一致近似，k ( e ”) i 和l 岛( e ”) l ( 旧( e 触) 1 和 恢( g ”) 1 ) 近似得零，所以近似的能量互补性质同样是存在的。 下面讨论屏蔽滤波器之间的关系 根据方程( 3 3 1 ) 一( 3 3 5 ) ，最( z ) 和一( z ) 的通带和阻带边界关 系为 趟丁= 石一趟凡r武r = 丌一趟晶丁 ( 3 5 1 ) 对于情况a 情况和b 的滤波器组都成立 根据这一关系我们得出e ( z ) = z “，“一( 一1 ) 叫2 r ( z ) ( 3 5 2 ) 这些滤波器之间的频率响应鼻。( r ) = l 一。( 国丁丌) ( 3 5 3 ) 如果r ( z ) 和e ( z ) 之间满足f ( z ) = z “，“( 一1 ) 川2 r ( z ) 这一关 系，这将使我们在实现滤波器组的结构时简化其复杂度。而且，这一 关系的存在使得优化工作变得更简单和快速，因为只要考虑g ( z ) 和 只( z ) 就可以了。 3 1 3 各个传递函数之间通阻带波纹的约束关系 a 型滤波器组的约束条件。 北京交通大学硕士学位论文 设何。( z ) 和( z ) 的约束条件为 1 一坑! 1 日。o 扣7 ) l l + 瓯，玎 o ，吼列 ( 3 5 4 ) i 口。o ( p ”刈瓯，融r 啦，厅 ( 3 5 5 ) l 一氏1 ( p ”) i 1 + 民，国丁 o ，刀】 ( 3 5 6 ) 峨，：旦二拿生，心，：旦之坐对于a 类型滤波器组由分别设计 g ( z ) 和f o ( z ) 开始，一个满足上述条件的滤波器组的直接的设计方法是 分别优化g ( z ) 来满足下列的标准： 1 一瓯旧司g ( e 。析) l 1 + 坑佃，国r o ，吐i 回， ( 3 5 7 ) l g ( e 以) i 瓯们，丁 国，6 丁，石】( 3 - 5 8 ) l 一2 巧k f g ( b ”) f 2 + g 0 7 “”) 2j 1 + 2 。， o ，玎 ( 3 5 9 ) 。哪丁= ( 1 一三p ) 厅2 ( 3 6 0 ) ；丁= ( 1 + 印) 丌2 ( 3 6 1 ) 依据方程( 3 2 9 ) 和( 3 3 3 ) 及f o ( z ) 来满足下列的标准 1 一班l r ( g 缈) 1 1 + 秽，r o ，雌丁 ( 3 6 2 ) l r ( p 。7 ) i 彭岛1 ，国丁 趟矗r ，石】 ( 3 6 3 ) 矗“r 和y r 由相应的方程( 3 3 6 ) 和( 3 3 7 ) 给出的( ( 3 4 0 ) 和 ( 3 4 1 ) ) 对于a 情况来说( 情况b ) 设计，如果在前述的方程中波纹满足 满足标准