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拟线性双曲组一类非局部混合 初一边值问题的精确边界能控性 摘要 在对拟线性弦振动方程带第三类边界条件的精确边界能控性研究中，出现了一 种带非局部边界条件的一阶拟线性双曲组的混合初边值问题本文对一阶拟线性 双曲组研究该类非局部混合初边值问题的半整体g 1 解的存在唯一性及精确边界 能控性作为应用，特别研究了拟线性弦振动方程带第三类边界条件的精确边界能 控性 以下是本文的安排 在第一章中，我们简单介绍了精确边界能控性的定义以及目前一些相关的研究 现状，并介绍了所考察的这类非局部混合初边值问题的导出本文的安排、主要 结果以及证明的大体步骤及方法也包括在该章中 第二章证明可化约一阶拟线性双曲组非局部混合初边值问题的半整体e 1 解 的存在唯一性 第三章以第二章中的结果为基础，结合拟线性弦振动方程及第三类边界条件 本身的特点，证明了其在一端给定第三类边界条件的情况下，通过另一端的三种非 d i r i c h l e t 型的边界条件中的边界控制都可以实现精确边界能控性 第四章将第二章中的结果推广到了一般的一阶拟线性双曲组，并研究了一般一 阶拟线性双曲组相应的非局部混合初边值问题的半整体e 1 解的存在唯一性及利 用两端的边界控制的精确边界能控性 最后在附录中，给出了一类一阶拟线性非局部双曲组的c a u c h y 问题整体c 1 解 的存在唯一性 关键词：精确边界能控性，拟线性弦振动方程，第三类边界条件，非局部混合 初- 边值问题，半整体c 1 解，拟线性双曲组，非局部拟线性双曲组，整体c 1 解 e x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rac l a s s o fn o n l o c a lm i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s a b s t r a c t i nt h es t u d yo fe x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h eq u a s i l i u e a rv i b r a t i n gs t r i n g e q u a t i o nw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o no ft h et h i r dt y p e ，w em e e tak i n do fn o n l o c a lm i x e d i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ff i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m i nt h i sp a p e r ， w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f s e m i g l o b a lc 1s o l u t i o nt ot h en o u l o c a im i x e d i m t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，a n do b t a i nt h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h e c o r r e s p o n d i n gp r o b l e m e s p e c i a l l y , u s i n gab o u n d a r yc o n t r o lo no n ee n d ，w eg e te x a c t b o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h eq u a s i l l n e a rv i b r a t i n ge q u a t i o nw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n o ft h et h i r dt y p eo na n o t h e re n d t h ea r r a n g e m e n to ft h ep a p e ri sa sf o h o w s ： i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h ed e f i n i t i o n ，ab r i e fh i s t o r ya n d p r e s e n ts i t u a t i o nf o rt h e e x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t y , a n ds h o wt h er e d u c t i o nt ot h en o n l o c a lm i x e di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h ea r r a n g e m e n to ft h ep a p e r ，t h em a n nr e s u l t sa n dm e t h o d s a 8w e l la st h es k e t c h e so f p r o o f a r ea l s oi n c l u d e d c h a p t e r2i sd e v o t e dt ot h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs e m i - g l o b a lc 1 s o l u t i o nt ot h en o n l o c a lm i x e di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rr e d u c i b l eq u a s i l l n e a r h y p e r b o l i cs y s t e m s b a s eo nt h er e s u l t sg i v e ni nc h a p t e r 2 ，a n dr e g a r d i n gt h ep r o p e r t yo ft h eq u a s i l l n e a r v i b r a t i n gs t r i n ge q u a t i o na n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o no ft h et h i r dk i n d ，i nc h a p t e r3w e p r o v et h a tw h e nab o u n d a r yc o n d i t i o no ft h e3 r dt y p ei sg i v e no no n ee n d ，t h ee x a c t b o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es t r i n gc a l lb ea c , h l e v e dt h r o u g ht h eb o u n d a r yc o n t r o li n o n eo f3k i n d so fb o u n d a r yc o n d i t i o n so fn o n - d i r i c h l e tt y p eo n a n o t h e re n d i nc h a p t e r4 ，w eg e n e r a l i z et h er e s u l to nt h es e m i - g l o b a lg 1s o l u t i o no b t a i n e di n c h a p t e r2t ot h eg e n e r a lh y p e r b o l i cs y s t e m ，a n dt h e ns t u d yt h ec o r r e s p o n d i n ge x a c t i i i b o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yw i t hc o n t r o l so nb o t h e n d s i na p p e n d i x ，t h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o f g l o b a lc ls o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b - l e mf o rac l a s so ff i r s to r d e rn o n l o c a lq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e ma r ee s t a b l i s h e d k e y w o r d s ： e x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t y , q u a s i l i n e a rv i b r a t i n gs t r i n ge q u a t i o n ， b o u n d a r yc o n d i t i o no ft h et h i r dt y p e ，n o n l o c a lm i x e di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， s e m i - g l o b a lc 1s o l u t i o n ，q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m ，n o n l o c a lq u a s i l i n e a rh y p e r b o f i c s y s t e m ，g l o b a lc ls o l u t i o n 第一章引言 在空气动力学、弹性力学等学科中提出了带两个自变量t ，3 2 的一阶拟线性双曲 型方程组 瓮圳u ) 塞= 脚) ， ( 1 1 ) 其中u = ( u l ，u 。) t 为自变量( ，z ) 的未知向量函数，a o , ) = ( n 玎( u ) ) 是n 阶阵， 其元素a o ( u ) ( ，j = 1 ，n ) 为u 的适当光滑函数，而f ( u ) = ( u ) ，r ( u ) ) ? 为u 的适当光滑向量函数，且f ( o ) = 0 根据双曲型的定义，对于所考察区域上任一给定的u ， ( u ) 具有”个实特征 值a l ( u ) ，a 。( u ) 以及一组完全的左( 右) 特征向量系 l i ( u ) = ( “1 ( t ) ，f t 。( u ) ) ( r e s p r i ( u ) = ( n ( “) ，t i n ( u ) ) r ) ( i = 1 ，n ) ， 满足 l i ( u ) a ( u ) = 丸( u ) “( u ) ( r e s p ( “) n ( u ) = 丸( u ) n ( u ) )0 = 1 ，t 一，n l 且不妨设在所考察的区域上成立 t d u ) r j ( u ) ；幻( i ，j = 1 ，n ) 一( u ) n ( u ) ；1 ( i = 1 ，n )( 1 2 ) 其中奶为k r o n e c k e r 记号 双曲组( 1 1 ) 的特征形式为 塾( u ) ( 誓( u ) 磐) = 塾( u 蚓u - 1 n ) ( 1 3 ) 我们将研究上述方程组的一类非局部混合初边值问题的精确边界能控性 本文中的精确边界能控性是指，对于一个给定的双曲型方程( 组) ，对任意给定的 初态妒和终态妒，均可找到t o 0 及适当的边界控制，使以妒为初值的相应混 合初- 边值问题在 0 ，t o 】西上存在唯一的d 1 解u = u ( t ，z ) 。且精确满足终值 】 江t o ：u = 妒如果该边界能控性只对妒及妒充分“小”时才能实现，则称为局 部精确边界能控性；否则，称为整体精确边界能控性 j 一l l i o n s ( 1 7 1 s 1 ) 引入的h u m ( h i l b e r t 唯一性方法) 为波动方程的精确边 界能控性以及稳定性提供了一个一般的框架结合h u m 和s c h a u d e r 不动点原理， z u a z u a ( 1 9 - 【2 0 】) 对半线性波动方程给出了一个精确能控性的结果，后来，l a s i e c k a 和 t r i g g i a j a i ( 【4 1 ) 通过使用一个整体的逆定理，对半线性波动方程的整体精确能控性给出 了一个抽象的结果对拟线性双曲组的精确能控性，一个较早的工作是由c i 血 ( 【l 卜 【2 】) 做的，在线性边界控制下，他本质上只对对角型的拟线性双曲组证明了局部零 控制( 即妒= 0 ) 李大潜和张秉钰( 【1 5 】) 。李大潜、饶伯鹏和金逸( 【1 1 】- f 1 2 ) 对可化 约的拟线性双曲组建立了具非线性边界条件的精确边界能控性接着，这些结果被 李大潜和饶伯鹏( 【8 卜【9 ) 推广到了一般的拟线性双曲组 考察拟线性弦振动方程 嚣一击( k ( 笔) ) = f ( 笔，象) ， t 由 其中k = 耳( ”) 是口的给定c 2 函数，且 掣( ) 0 ， ( 1 5 ) 而f = f ( ，) 是。及t l ，的给定g 1 函数，且满足 f ( 0 ，0 ) = 0 ( 1 , 6 ) 若在弦的一个端点，例如。= 0 ，给定d i r i c h l e t 型的边界条件 t = 矗( ) ，( 1 7 ) 其中 ( t ) 是t 的给定俨函数；而在弦的另一个端点z = 1 ，给定任一下述类型的 边界条件： u = ，l ( t ) ， “。= ( t ) ， q - n “= ( 力， u z + c = h ( t 】 2 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 。l o ) ( 1 1 1 ) 其中q 是一正常数，而五( t ) 作为边界控制为t 的g 2i i i 数( 在情形( 1 8 ) ) 或为的 c 1 函数( 在情形( 1 9 ) ( 1 1 1 ) ) 在引入 = 爱，”= 甓化为一阶拟线性双曲组后， 运用一般拟线性双曲组混合初边值问题的精确边界能控性理论，可以得到上述混 合初一边值问题的精确边界能控性( 详见 8 ) 但是如果在弦的端点没有d i r i c m e t 型的边界条件。例如在弦的一端z = 0 给定 其中常数口 0 ，那么能否利用在弦的另外一端的边界控制元( ) 通过( 1 9 ) - ( 1 1 1 ) 中 仍令”= 爱，”= 镑，先将方程( 1 4 ) 化为一阶拟线性双曲组，然后引入 r i e m a m ，不变量r ，s 作为新的未知函数，可将方程( 1 4 ) 最终化为如下对角型的一阶 隈：害篇i l 窑州”) 塞- ，( ) ， 卜7 其中a ( n 5 ) 及，( r ，8 ) 均为r ，s 的g 1 函数，且a ( r ，s ) 0 ，( o ，0 ) = o 此时，第 三类边界条件( 1 1 2 ) 则化为如下的非局部边界条件 ( 1 1 4 ) 是一个非局部的边界条件。无法利用【8 卜1 1 2 】， 1 5 】及【1 】中已有的精确 边界能控性理论，同时，作为精确能控性研究重要基础，在【6 】中研究过的半整体 由于( 1 1 4 ) 可改写为如下的形式( 详见3 2 ) 我们在第二章中考虑了较上述问题为一般的可化约拟线性双曲组的非局部混合初 边值问题 窑( r l s ) 塞= 胞“( 1 1 5 ) 象岫( r is ) 塞= 觚巩 ( 1 1 6 ) t = 0 ：r = o ( z ) ，3 = s o ( z ) ， ( 1 1 7 ) 厂t z = 0 ：s = g l ( t ，r i l ( r ，r ，s ) d r ) + h i ( t ) ，( 1 1 8 ) ou o = 1 ：r = g 2 ( t s ，2 ( r ，r 1s ) d r ) + 凰( t ) ，( 1 1 9 ) j 0 其中假设在所考察的区域上所有给出的已知函数均是各自变量的g 1 函数，成立 ( 0 ，0 ) = 0 ( i = i ，2 ) ，( 1 2 0 ) 并且不妨设 g i ( t ，0 ，0 ) i0 ， ( t ，0 ，0 ) 兰0 “= 1 ，2 ) ， ( 1 2 1 ) 同时，假设在所考察的区域上 a x ( r ，s ) 0 充分小的时候，集合( 6 ) 是g 1 函数空间中的致密集，且关于f o 模闭，并且有艺( j ) ( j ) 我们进而证 明，当d 0 小于某个扩 0 时，t 在e ( j ) 上关于g o 模压缩这样，就证明了t 的不动点存在唯一 通过对局部解证明过程的考察得到，在其它因素均固定的情况下，解的存在高 度矿 0 可取得仅依赖于初值以及边界控制( 即函数( 皿，日2 ) ) 的g 1 模，且在它 们减小时不会减小 第二步，证明问题( 1 1 5 ) ( 1 1 9 ) 的半整体c 1 解存在唯一即对任意事先给定的 t o 0 ，要找到适当小的( 可能依赖于) 的初值以及边界控制函数，使得问题( 1 1 5 ) ( 1 1 9 ) 在r m ) 上存在唯一的g 1 解换言之，对任意事先给定的t o 0 ，要找到e 1 模适当小( 可能依赖于而) 的初值以及边值，使得对任意给定的t ( 0 0 由以别式给出对任意给定的初态( 机妒) g 2 【0 ，1 】g 1 0 ，1 】 及终态( 圣，雪) c 2 【o ，1 e 1 【o ，1 l ，其c 1 模i ( ，妒) i c x 【0 ，l 】及i ( 西，皿) i 伊【0 ，l 】充分小， 及任意给定的函数h ( 0 g 1 【o ，t 】，其g 1 模i h l c t f 0 ，卅充分小，并在点( t ，霉) = ( 0 ，0 ) 及( t , 0 ) 分别满足c 2 相容性条件口别，一p 2 到，必存在边界控制五( t ) g 1 0 ，卵， 且c 1 模i q c ，【0 ，如充分小，使得拟线性弦振动方程以利具初始条件 t = 0 ： “= ( 嚣) ，l l t = 妒( 茁) ，0 5 。s 1 在= 0 处的边界条件一理j 及在z = 1 处一到一“j 纠中任一个边界条件的混合 初一边值问题在区域 r ( t ) = ( ，。) 10 s t e 0 。1 ) 上存在唯一的g 2 解“= t ( t ，z ) ，且精确地满足终端条件 t = t ： t 工= 西( 正) ，钍t = 皿( 正) ，0 $ l 在第四章中，我们将第二章中的结论推广到一般的一阶拟线性双曲组，并以此 为基础研究了相应的双侧精确边界能控性 7 对一阶拟线性双曲组( 1 _ 1 ) ，给定初值 以及非局部边界条件 t = 0 ：t = 妒( 。) ，0 立5 1( 1 2 8 ) r t 。= o ：2 瓯( ，上卢( 7 ，“) 打) + 凰( 。) ( 8 = ”+ 1 ，n ) ，( 1 。2 9 ) x - - - - l ：坼= g ，( t ，+ t ，z a ( r ，u ) d r ) + 珥( t ) ( r = 1 ，m ) ，( 1 3 。) 其中0 msn 是给定整数，而 n 仇：= z j ( u ) u j ( 扣1 ，n ) j = l 且不妨设 g r ( ，0 ，一，0 ) = g 。( t ，0 ，0 ) 兰0 ， vls r m ，m + l s n ，( 1 3 1 ) a ( t ，0 ) = 卢( t ，0 ) 兰0 ， 其中a ，卢均可为向量函数同时，假设在所考察的区域上 ( 1 3 2 ) a r ( t 上) 汕m a x ，。压而， ( l 3 6 ) l = i 。nl i uj l 则对任意给定的初值i p g 1 【0 1 】。i 妒i c - 【o ，l 】充分小以及终值妒e 1 【o ，1 】，i 妒1 c - 【0 ，1 】 充分小，曲定可以找到两端的边界控制风( t ) c 1 【o ，列“= 1 ，n ) ，其e 1 模 0 驯c - 【o ，t 】充分小，使混合初- 边值问题口副及以兽圳- 口s o ) 在r ( t ) 上存在唯一的 g 1 解= “( t ，。) ，其g 1 模充分小，且精确满足终值 t = t ：“= 妒缸) ，0 s 。1 为证明定理1 3 ，类似于第二章，我们分成三步 9 第一步，先考察边界条件( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) 和另一种边界条件 z = 。：讥= g m ，扎，z 肌，u ) 州+ 吲州s = m + 1 。= 1 ：诽2 肼( ，。m + l ，一，。n ，l o 。( 7 ，”) d 7 ) + 6 r ( 。) ( r 。1 ， ，t 之间的关系，其中 n 祝：= 幻( 妒( 。) ) q ( 江1 ，n ) j = l - ，n ) ，( 1 3 7 ) m ) ，( 1 3 8 ) 我们证明了当“适当小时。( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) 和( 1 3 7 ) - ( 1 3 8 ) 可以等价互化，且日与 的g 1 模之间满足 l h l a 0 甘 l h i l _ + 0 第二步。证明混合初一边值问题( 1 1 ) ，( 1 2 8 ) 及( 1 3 7 ) - ( 1 _ 3 8 ) 的局部e 1 解 u = u ( t ，。) 的存在唯一性。并考察局部解的存在高度的性质 第三步，建立混合初边值问题( 1 1 ) 及( 1 2 8 ) ( 1 3 0 ) 解t = “( t ，。) 的g 1 模的 一致先验估计 在证明了定理1 3 之后，定理1 4 是容易得到的( 参见【9 】) 最后，在附录中，考察了一类非局部拟线性双曲组的c a u c h y 问题 掣州咖) 掣_ f ( u ( 碱圳， ( 1 3 9 ) it = 0 ：u = ( ) ， 其中 a e 1 【o ，+ 。)且0 e ( t ) 0 ( 1 4 0 ) 对于任意给定的妒g 1 且其g 1 模有界，证明了其整体g 1 解的存在唯性此时， 局部c 1 解的存在唯一性同样需要重新建立。但是由于非局部项的特点，我们用反 证法直接得到了整体g 1 解的存在唯性 1 0 第二章拟线性可化约双曲组的一类非局部混合初- 边值问题 在引言中可以看到，拟线性弦振动方程( 1 4 ) 的第三类边界条件( 1 1 2 ) ，在方 程本身化为对角型的一阶拟线性双曲组( 1 1 3 ) 时，相应地转化成了非局部边界条件 ( 1 1 4 ) 在 8 卜1 9 】中，我们看到，相关混合初边值问题半整体c 1 解的存在唯一 性，是研究其精确边界能控性的一个重要基础受此启发，为研究拟线性弦振动方 程( 1 4 ) 带第三类边值条件( 1 1 2 ) 的精确边界能控性，本章对拟线性可化约双曲组 的一类非局部混合初边值问题建立半整体g 1 解的存在唯一性我们先在2 2 中 证明该问题局部e 1 解的存在在唯一性并考察局部g 1 解存在高度的性质，然后以 此为基础，在2 3 中利用一致先验估计证明其半整体g 1 解的存在唯一性。 2 1主要结果 我们考虑如下的混合初边值问题 象( 叫磊o r = f l ( r i s ) ， 塞蛾( ) 宝= 讹s ) ， t = 0 ：r = r 0 ( 动，s = s o 扛) ， 。= 0 ：。= g l ( t ，r ，l ( r r ，8 ) d t ) + 巩( t ) z = 1 ：r = g 2 ( t ，s ，五( r ，r ，8 ) d 1 - ) 十h 2 ( t ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 假设在所考察的区域上上述问题中所有给出的已知函数均是各自变量的g 1 函数， 成立 并且不妨设 ( o ，0 ) = 0o = l ，2 )( 2 1 6 ) g l ( t ，0 ，o ) ；0 ，五( t ，o ，o ) i0 “= l ，2 ) ，( 2 1 7 ) 同时，假设在所考察的区域上成立如下的定向性条件 a 1 ( r ，s ) 0 a 2 ( r , 5 ) 假设在点( t ，z ) = ( 0 ，0 ) 处满足下述c 1 相容性条件 ( 2 1 8 ) s o ( 0 ) = g 1 ( o ，r 0 ( o ) ，0 ) + h i ( o ) ， 丘( r o ( o ) ，8 0 ( o ) ) 一a 2 ( r 0 ( o ) ，s o ( o ) ) s ；( o ) = 酉o g l 鹊r 。( o ) ，。) + 面o g l 媳r 。( o ) ，o ) ( f 1 ( r o ( o ) ，如( o ) ) 一 1 ( 啊( o ) ，s 。( o ) ) r ) + g 1 ，3 ( 0 ，r o ( o ) ，o ) ( o ，r o ( o ) ，8 0 ( o ) ) - 4 - h i ( o ) ， 其中g 1 3 表示g l 对其第三个变量的导数；在点( t ，。) = ( 0 ，1 ) 处的g 1 相容性条件 亦可类似写出，从略 本文的主要结论为下面的 定理2 1 在区域 r ( 南) = ( t ，。) 10 s t 南，0 茎。兰1 ) 上考虑非局部混合初一边值问题似j 纠- 偿j 印，在上述假设下，存在适当小的j ( 0 0 ，若c 1 模l ( 7 0 ，s o ) i t z i o ，1 】 及l ( 日1 ，h 2 ) l c ，1 0 卅s l y - 小( 小于一个与t 有关的正常数) ，则混合初边值问题 ( 2 i 1 ) - ( 2 i 5 ) 拄区域 r ( t ) = ( ( t ，z ) 10 t 已0 茹s l 1 2 上存在唯一的g 1 解p 弥为半整体g 1i 荆( r ，s ) = ( r ( t ，。) ，s ( t ，。) ) ，且其g 1 模充分 小 2 2局部g 1 解的存在唯一性 为方便起见，本节中出现的i 0 及i h 分别表示相应区域上的g 。模及模 为让明足理2 1 。先考察相关的线性问题 妾“雌亳= 坤一， 塞蛾似。) 塞= f 2 ( t ，乩口 t = 0 ：r = r o ( 。) ，8 = s o 扛) ， 。= 0 ：8 ( t ，0 ) = 妒l ( t ) ， z = 1 ：r ( t ，1 ) = 硇t “) ， 蒜摇蒜蓦 兰量三至蕃囊兰三i ；囊；： r o 一 志，赤 肿= 1 7 2 m r l _ r o u 等，誓( 2 ) ) _ d 砷却 q 鄙 七 2 2 z 互 犯 偿仁 协 引理2 1 设上述假设在兄( 南) 上成立，则混合初边值问题俾- 2 ，阳2 纠在r ) 上存在唯一c 1 解( n5 ) = ( r ( t ，。) ，s ( t ，z ) ) 引理2 2 在引理2 j 的假设下，设( r ( t ，。) ，s ( t ，z ) ) 是混合初_ 边值问题偿牙，弘2 印 在_ r ( 南) 上的c 1 解，则对任意给定的6 ( o d s 岛) ，在r ( 6 ) 上成立以下估计式 以及 i ( ns ) i 4 ( t o ，8 0 ) l + l 妒i + i f l 5 ， r ( r t , s t ) l + i ( ，砘) i ( 1 + d - 1 + q 6 ) ( 1 f l + t e r n ) + i ，0 + k o l ( r 6 ，s ：) l + k 1 6 ( 1 + l ( r 6 ，5 6 ) i ) u ( 町l ( n ，乳) ) + u ( 叼1 ( ，s z ) ) ( 2 + 3 d i l + d i 2 + 耳1 5 ) u 细l 移) + k b u i ( 矗，s 6 ) ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) + 硒( 1 + l 事l + ic r o ，s o ) l z ) ( p ( r ) + 跏仰l r l ) ) ， ( 2 2 8 ) 其中d o = r a i n 一a l ( 0 ，1 ) ， 2 ( o ，o ) ) ， u ( q i ) 表示有关函数的连续性模( 其定义见 口爿) ，p ( r ) = m a x 田，u ( ”i r o ) ) ，正常数k o 仅依赖于冗湎) 上的模i r o l ，正常数k i 仅依赖于r ( 如) 上的模i r l i 及l 蓉1 俾2 剀、似幺刀及俾2 础式分别称为第一、 第二及第三估计式 定理2 1 的证明： 首先，经过一个对未知函数的线性变换，将原问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 5 ) 化为较适合于 处理的形式 记 ( z ) = $ + 町o ( 1 一) ，如( z ) = y o x + ( 1 一z ) ，其中0 t 7 0 1 为一待定正常数 作变换 f8 1 ( t ，z ) = ( 。) p ( t ，$ ) 一( s o ( o ) ( 1 一。) + s o ( 1 ) z ) 】， ir 1 ( ，。) = 如( ) 【r ( t ，。) 一( t o ( o ) ( 1 一盘) + 伽( 1 ) z ) ， 则问题( 2 1 1 ) ( 2 i 5 ) 化为如下的定解问题 蔷州( 一幽筹= f i _ ( x , r l , 8 1 ) ， 等州1 v 1 川1 瓦0 8 1 = f j ( 。, r l , s 1 ) ， t = 0 ：r 1 = r 3 ( z ) ，s 1 = s 6 ( z ) ， z = 0 ：s 1 = 一，7 0 5 0 ( o ) + 卵o g l ( t ，r 1 + r o ( o ) ，对( 下，r 1 ，s 1 ) d r ) j 0 + ，7 0 皿( t ) ， 。= 1 ：r 1 = 一y o r o ( 1 ) + 7 0 g 2 ( t ，s 1 + s o ( 1 ) ，曩( r ，r 1 ，8 1 ) 打) + 田0 z b ( t ) ， 其中 s 6 ( 。) = z lc x ) s o ( x ) 一( 8 0 ( o ) ( 1 一) + s o ( 1 ) 。) ， r 6 ( z ) = 厶( z ) 【r o ( z ) 一( t o ( o ) ( 1 一z ) + r o ( 1 ) z ) 】， 牝一幽她( r l f - - r 5 饥掣佃) ( ，2 ) ： ( 。) 【 ( 五+ r 0 ， 鱼+ 印 + ! ! ! 芏11 霉：主1 1 型垫一d x。 ：如o ) 【，2 ( 玉+ 珊， j 盈+ 。 + i ! ! = r l 互_ r ：i ! ：= $ i 互_ $ 兰i 竺! 堡垒，。 + ( 8 0 ( 0 ) 一8 0 + ( t o ( 0 ) 一r o ( 1 ) ) 】 矗( 1 ，s 1 ) ：觚掣+ r o 掣+ 即) ( i _ 1 ，2 ) 21 且易知此时满足 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( r 3 ( o ) ，s 6 ( o ) ) = ( r 3 ( 1 ) ，8 5 ( 1 ) ) = ( o ，o ) ( 2 2 1 4 ) 问题( 2 , 2 1 0 ) 一( 2 2 1 6 ) 的定向性条件为 a ( z ，r 1 ，s 1 ) 0 ；( z ，r 1 ，s 1 ) 1 5 其在点( o ，o ) 及( o ，1 ) 的相应的c 1 相容性条件易由原问题的g 1 相容性条件得到 特别地，由( 2 2 1 4 ) ，g o 相容性条件可写为 妒l ( 0 ) = 0 ，忱( 0 ) = 0 ( 2 2 1 5 ) 在r ( d ) 上引入函数集合 ( d ) = f 0 ，z ) i = ( 1 ，2 ) t ，虮g 1 ( 且( d ) ) “= 1 ，2 ) ，y ( o ，z ) = ( r 3 ( z ) ，s 6 ( z ) ) ， 0 。y l f _ 、0 ，。) + 佃，6 ，。5 ) ( r 3 ) ，：z 1 ( 。，r 3 ，。5 ) ， 优、一。1 ”。”7 、”7 。7 娑( o ，。) + a 兆，3 ，。6 ) ( 。6 ) ，：倒1 剐 1 3 ) ) a t 1 。”1 ” “”1 以及 矧n ，q 1 ) - 她。) l y ，l y l 鲰l 象翔s n - ) 其中n ，n l 均为待定正常数 任给y ( 6 i n ，q 1 ) ，记 天( t ，。) = a ( ，掣( t ，写) ) ， 五( t ，z ) = 露( 。，v ( t ，。) ) ，“= 1 ，2 ) 在r ( d ) 上求解如下线性方程组的混合初边值问题 其中 等“z ) 等硐碱 警“似叫瓦。q 8 1 = 协， t = 0 ：r 1 = r 3 ( ) ，8 1 = s 5 ( 。) 。= 0 ：3 1 = 妒l ( t ) ， z = 1 ：r 1 = 如( t ) ， ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) e l ( t ) ：= 一n o s o ( 0 ) + ，】0 凰“) + 叩o g l ( t ，1 ( t ，o ) + r 0 ( o ) ， ( r ，剪) d r ) ，( 2 2 2 1 ) j 0 ，t 1 加( t ) ：= 一r o r o ( 1 ) + n o h 2 ( t ) + n o g 2 ( t ，抛( t ，i ) + s o ( 1 ) ，刀( r ，们打) ( 2 2 2 2 ) 1 6 上述问题属于