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半挂牵引车整车结构有限元分析 摘要 以有限元法为代表的c a e 技术是分析各种结构问题的强有力工具。c a e 分析技术的价值在于可以在产品开发初期通过建立基本的计算机分析模型，对 所设计的产品进行强度、寿命分析，运动学和动力学仿真等，以得到所设计产 品的各种性能，从而指导产品设计、缩短设计周期。 本文在调研国内外相关研究的基础上，对某半挂牵引车整车结构进行了建 模。并对该牵引车进行了静、动态电测试验，为有限元分析提供实践依据，并 验证了有限元模型的正确性。利用已验证的有限元模型，分析了该牵引车在弯 曲工况、扭转工况、紧急制动工况和紧急转弯工况下的应力分布和变形情况。 并且，本文还对该牵引车整车结构进行了模态分析。 本文的重点是探讨整车结构的有限元建模，与车架和车桥等零部件建模相 比，整车模型具有计算规模大和零部件之间的连接和装配难以模拟等特点。本 文通过适当简化几何模型和严格控制有限元单元尺寸等方法，使整车模型在计 算规模和精确度之间寻求一个最佳的平衡。在零部件的连接和装配过程中，本 文将零部件的有限元模型经过导入、平移和旋转后，再用刚性连接和耦合等进 行连接。最终形成整车有限元模型。 总之，整车结构的有限元模型能更精确的模拟牵引车真实工作状态，能更 精确的掌握整车结构和每个零部件的应力分布和静、动态特性等。 关键词：半挂牵引车有限元法整车模型强度分析模态分析 f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so nt h eo v e r a l l s t r u c t u r eo fas e m i t r a i l e rt r a c t o r a b s t r a c t t h ec a et e c h n o l o g yw h i c hi n c l u d e st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sap o w e r f u l t o o lt oa n a l y z et h es t r u c t u r a lp r o b l e m s t h ev a l u eo fc a ea n a l y s i st e c h n o l o g yi s t h a tw ec a ns e tu pb a s i cc o m p u t e ra n a l y s i sm o d e li nt h ep r o d u c td e v e l o p m e n ts t a g e w ec a nm a k es t r e n g t ha n a l y s i s ，l i f ea n a l y s i s ，k i n e m a t i c ss i m u l a t i o na n dd y n a m i c s s i m u l a t i o no nt h ed e s i g n e dp r o d u c ti no r d e rt oo b t a i nv a r i o u sp e r f o r m a n c e s a n d t h et e c h n o l o g yc a na l s og u i d ep r o d u c td e s i g na n ds h o r t e nt h ed e s i g nc y c l e i nt h ep a p e r ，t h ea u t h o rs e tu pt h eo v e r a l ls t r u c t u r em o d e lo ft h es e m i t r a i l e r t r a c t o rb a s e do nt h er e l e v a n tr e s e a r c ha th o m ea n da b r o a d t h ea u t h o ra l s om a d ea s t a t i ca n dd y n a m i ct e s tf o rt h es e m i t r a i l e rt r a c t o ri no r d e rt op r o v i d ep r a c t i c a lb a s i s f o rt h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s a n dt h et e s tc a na l s ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h e f i n i t ee l e m e n tm o d e l u s i n gt h ev e r i f i e df e m ( f i n i t ee l e m e n tm o d e l ) ，t h ea u t h o r a n a l y z e dt h es t r e s sd i s t r i b u t i o na n dd e f o r m a t i o no ft h e t r a c t o ri nb e n d i n gc o n d i t i o n ， t w i s t i n gc o n d i t i o n ，e m e r g e n c yb r a k i n gc o n d i t i o na n de m e r g e n c yt u r nc o n d i t i o n 。 a n dt h ea u t h o rm a d em o d a la n a l y s i so nt h eo v e r a l ls t r u c t u r eo ft h et r a c t o r t h ep a p e rf o c u s e so nh o wt os e tu pt h ef e mo ft h eo v e r a l ls t r u c t u r e c o m p a r e d w i t ht h ef e mo ft h ef r a m e ，a x l ea n ds oo n ，t h eo v e r a l ls t r u c t u r ef e mh a st h e c h a r a c t e r i s t i c so fl a r g e s c a l ec a l c u l a t i o n a n dt h em o d e lh a sd i f f i c u l t i e st os i m u l a t e t h ec o n n e c t i o n sa n da s s e m b l yr e l a t i o n sb e t w e e nt h ec o m p o n e n t s i nt h i sp a p e r ，b y s i m p l i f y i n gt h eg e o m e t r i cm o d e la n dc o n t r o l l i n gt h ef i n i t ee l e m e n tc e l ls i z e ，t h e a u t h o rf o u n dt h eb a l a n c eb e t w e e nt h es i z eo ft h ec a l c u l a t i o na n da c c u r a c y i nt h e p r o g r e s so fc o n n e c t i n ga n da s s e m b l i n g ，t h ea u t h o rc o n n e c t e da n da s s e m b l e dt h o s e m o d e l so ft h ep a r t sb yr i g i dc o n n e c t i o n sa n dc o u p l i n ga f t e ri m p o r t i n g ，t r a n s l a t i o n a n dr o t a t i n g f i n a l l y , t h eo v e r a l ls t r u c t u r ef e mw a ss e tu p i nc o n c l u s i o n ，t h eo v e r a l ls t r u c t u r ef e mc a nm o r ea c c u r a t e l ys i m u l a t et h er e a l w o r k i n gc o n d i t i o no ft h et r a c t o r a n dw ec a nm o r ec o r r e c t l yg r a s pt h es t r e s s d i s t r i b u t i o na n dt h es t a t i ca n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h eo v e r a l ls t r u c t u r ea n d t h ep a r t s k e y w o r d s ：s e m i t r a i l e rt r a c t o r , f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，o v e r a l l s t r u c t u r em o d e l ， s t r e n g t ha n a l y s i s ，m o d a la n a l y s i s 插图清单 1 1 修改设计的成本2 1 2 产品形成过程在质量上的重要性2 1 3 不采用和采用c a e 分析技术的产品设计、制造流程3 2 1 矩形壳单元示意图1 0 2 2 四面体单元示意图12 3 1 壳体单元的几何描述18 3 2 实体单元的几何描述18 3 3 车架有限元模型2 0 3 4 驾驶室有限元模型2 0 3 5 前悬架板簧有限元模型2 1 3 - 6 后悬架板簧有限元模型21 3 7 前桥有限元模型2 1 3 8 中桥桥壳有限元模型2 2 3 - 9 后桥桥壳有限元模型2 2 3 10 底盘有限元模型2 2 3 1 1 整车有限元模型2 3 4 1 电测量系统框图2 4 4 2 电阻应变片构造2 5 4 3 惠斯登电桥示意图2 5 4 4 试验仪器2 7 4 5 试验样车2 7 4 6 测点布置图2 8 4 7 部分测点在卵石路上的应变时间曲线图3 0 4 8 部分测点在扭转路上的应变一时间曲线图31 4 9 部分测点在搓板路上的应变时间曲线图3 2 4 10 刚性蜘蛛示意图3 4 5 1 整车受力分析3 6 5 2 发动机的加载3 7 5 3 油箱的加载37 5 4 乘员重量的加载。37 5 5 备胎重量的加载37 5 6 整车载荷分布图37 5 7 弯曲工况下整车应力分布云图3 8 5 8 弯曲工况下整车最大应力处38图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 5 - 9 扭转工况下整车应力分布云图3 9 5 10 扭转工况下整车最大应力处- 3 9 5 11 紧急制动工况下整车应力分布云图4 0 5 1 2 紧急制动工况下整车最大应力处4 0 5 13 紧急转弯工况下整车应力分布云图4 1 5 1 4 紧急转弯工况下整车最大应力处4 l 6 1 半挂牵引车整车模态分析有限元模型4 6 6 2 第七阶模态振型4 7 6 3 第八阶模态振型4 7 6 4 第九阶模态振型4 7 6 5 第十阶模态振型4 8 6 6 第十一阶模态振型4 8 6 7 第十二阶模态振型4 8 6 8 第十三阶模态振型。4 9 6 9 第十四阶模态振型4 9 6 10 第十五阶模态振型4 9图图图图图图图图图图图图图图图图 表格清单 表3 1 材料性能表17 表3 2 所采用的网格划分合格标准19 表3 3 加载质量1 9 表4 一l 整车参数2 7 表4 2 布点位置列表2 8 表4 3 静态测试结果2 9 表4 4 动态测试结果3 3 表4 5 静态电测试验结果与有限元分析结果对比3 5 表5 1 四种工况下最大位移和最大应力比较4 2 表6 1 有限元模态分析值4 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 金月巴王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同- e 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签字嗽吕匆签字日期：砷￥月咖 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金胆王业太堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金目墨王些太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：磁g 务 签字日期：沙7 年中月f7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：洳陋 签字日期：钐门罗年年月拍日 电话： 邮编： 致谢 在论文完成之际，首先感谢我尊敬的导师一一张代胜教授，衷心的感谢他 在我的研究生阶段所给予的学习上的指导和生活上的关心，张老师对我的小论 文和学位论文都提出了宝贵的意见，张老师严谨求实的科学态度、渊博的专业 知识、忘我的工作热情以及丰富的实践经验使我受益匪浅，终身难忘。在此， 谨向我尊敬的老师表示最诚挚的谢意! 感谢陈朝阳教授在整个研究生学习过程中所给予的帮助和指导，陈老师宽 于待人严于律己的作风、严谨求实的科学态度和深厚的专业理论、豁达的胸襟， 使我在学习和做人方面都受益匪浅，是我今后工作和学习的榜样。 感谢谭继锦老师在我做课题和做论文期间给予的大力帮助，谭老师深厚的 专业知识和敬业的科研态度为我今后的学习和工作树立了很好的榜样! 感谢徐建中、王荣贵、尹安东、温千虹等教研室的老师在课题学习和试验 测试期间给予的热心帮助! 感谢仇彬、陈玉杰、汪成明、辛春亮、夏国林、田旭旺、梁子君、王华、 李进、初长宝、路瑞刚、怀自立、李波、刘丹、程小虎、芦伟、邓超、刘钊、 卢丽平等同学对本人学习、论文完成和其他各方面的帮助! 最后，深深感谢我的家人，正是由于他们坚定的支持和鼓励，才让我能够 顺利地完成学业。 作者：陆昌年 2 0 0 9 年2 月 第一章绪论 1 1 引言 半挂牵引车是装备有特殊装置用于牵引半挂车的商用车辆。前面有驱动能 力的车头叫牵引车，后面没有牵引驱动能力的车叫挂车。牵引车和挂车的连接 方式有两种：( 1 ) 挂车的前面一半搭在牵引车后段上面的牵引鞍座上，牵引车 承受挂车的一部分重量，这就是半挂。( 2 ) 挂车的前端连在牵引车的后端，牵 引车只提供向前的拉力，但不承受挂车的向下重量，这就是全挂。 半挂牵引车具有高效、经济、快捷的特点，非常适合公路物流运输业快速 发展的需要。中国是世界物流运输成本最高的国家之一，每年用在物流上的资 金达2 0 0 0 亿美元，是美国的两倍。随着国民经济发展和生产与流通企业物流意 识不断增强，越来越多的企业将高效率的物流运输视为获取附加利润和确立竞 争优势的重要源泉。因此，企业对物流服务的需求层次不断提高。高效的重卡 无疑成为现代物流行业发展中必须使用的利剑，而重卡中的半挂牵引车则更占 优势f 1 9 1 。 1 2 研究背景 随着科技的发展进步，产品在趋于多样化、智能化的同时，会不可避免地 趋于复杂化。对于复杂的工程，人们都希望能在产品生产以前对设计方案进行 精确的试验、分析和论证，这些工作需要借助计算机实现，就是计算机辅助工 程，即c a e ( c o m p u t e ra i d e de n g i n e e r i n g ) 。c a e 是包括产品设计、工程分析、 数据管理、试验、仿真和制造的个综合过程，关键是在三维实体建模的基础 上，从产品的设计阶段开始，按实际条件进行仿真和结构分析，按性能要求进 行设计和综合评价，以便从多个方案中选择最佳方案，或者直接进行设计优化。 目前，为了更好地进行各工程阶段的工作，设计人员已越来越多地运用计 算机辅助手段，于是产生了一系列的技术分支，如计算机辅助设计 c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) 、计算机辅助试验c a t ( c o m p u t e ra i d e dt e s t ) 、计 算机辅助工艺过程设计c a p p ( c o m p u t e r a i d e dp r o c e s sp l a n n i n g ) 以及计算机辅 助制造c a m ( c o m p u t e ra i d e dm a n u f a c t u r i n g ) 等，有时将它们统称为c a x 技术。 笼统地讲，汽车的每一个部件都可以做c a e 分析，但主要包括以下3 大关 键部分：( 1 ) 整车。该部分的c a e 通常要做强度、刚度、模态以及运动学、动 力学仿真等。这需要建立整车的有限元模型。由于整车包含的零部件众多，而 且不同的零部件建模方法也不一样，并且每个零部件模型还有精确的装配在一 起，才能生成整车的有限元模型。因此，整车的有限元建模非常复杂，需要多 人协作才能完成。( 2 ) 大总成或者大的子系统。汽车通常划分为4 大系统： 车身、底盘、发动机、电子电器系统。整车分析确定的参数，分解到各个总成 后，需要对各总成进行c a e 分析，以确定这些参数可以在各总成实现。( 3 ) 零 部件和小总成。这部分主要是对零部件( 子总成) 做c a e 分析，如车门、车 门密封条、发动机缸体、悬架、面板、曲轴活塞、进排气系统、轮胎、轮毂等， 以确定它们的力学特性是否符合总体设计要求，或者优化以进一步改进初始设 计。 通过对这些关键部分的c a e 仿真分析，可以在概念设计阶段就把握好产品 各个方面的性能，排除问题。这对于汽车行业来说极为重要，因为问题发现越 早，解决问题的代价就越低。 本课题就是在上述背景下提出的，目的在于研究整车结构的应力分布和 静、动态特性等，为相关企业提供一套汽车有限元分析及强度试验方案，提高 企业自主研发能力，增强企业竞争力。 1 3 研究目的和意义 随着计算机技术、数值计算理论、有限元分析技术、多体动力学仿真技术 等的发展和应用，高速图形终端和工作站的出现，c a d c a m c a e 等现代设计方法 在车身设计中扮演着越来越重要的角色。其中，c a e 技术使得设计人员在样车 试制前就可对整车及其零部件结构方面的性能或缺陷有所预见，因此能做到在 设计阶段尽量完善其设计，避免设计错误出现在类似生产、试验等后续的开发 阶段，大大缩短了开发周期，提高了设计质量。 ” ? ， 愀 ：x j 一一嘲棚剐 游纲 i 生产 捌饿能产 跫诗 准备 饕| 蜘 段 图1 - 1 修改设计的成本1 - 2 产品形成过程在质量上的重要性 如图1 - 1 表示了在产品形成的不同阶段修改设计的成本，图卜2 表示了产 品形成过程中质量的重要性。由此可见，7 5 的错误发生在设计阶段，这些错误 的8 0 却是在制造阶段发现并改正的，而修改这些错误则带来了生产成本的巨 大增加。而越是现代化的大批量流水线生产的产品，对其设计的内容要求越严 密，要经过多次可靠的技术验证，否则设计中的错误或缺陷将会在批量生产中 造成严重的后果。因此可见，c a e 分析技术为尽早发现在产品设计中的错误提 供了一种强有力的技术保证。 2 i 竺竺坠竺翌i i ! 型竺竺竺l l 产勰1l i 产搿i l 产滁i _-_-_-_一 一一 一7 llf吖 一 l 一i 发现设计缺陷i l 厂夏画i 酉夏i j 图1 - 3 不采用和采用c a e 分析技术的产品设计、制造流程 c a e 分析技术在汽车开发中的价值就在于可以在产品开发初期通过建立基 本的计算机分析模型，对所设计的产品进行强度、寿命分析，运动学、动力学 仿真，以得到所设计产品的各种性能，从而指导产品设计，缩短设计周期。由 图1 - 3 即可看出c a e 分析技术对于汽车产品设计、制造流程的影响。过去，新 型轿车从构思到试产一般要经历4 5 年时间，运用了计算机辅助c a e 分析技术 后，从设计到样车仅需2 年甚至更少的时间。 此外，自c a d 、c a m 及整车c a e 之间建立联系，实现无纸化设计、分析和制 造，使汽车上部件与部件之间是否发生干涉、装配关系是否正确、装配工艺性 如何、保养和维修的接近性如何都能够在显示终端上清楚地表现出来。同时， 利用计算机模拟技术还可以对动力性、经济性、操纵稳定性、平顺性、可靠性 等各项性能预测和设计控制。其中，整车的结构有限元分析、空气动力学分析、 车身碰撞有限元分析、噪声振动分析等方面已取得很大发展，在汽车设计竞争 中的优势越来越明显。随着各种设计软件系统的功能越来越强大和完善，计算 机辅助车身设计也日趋成熟。目前，世界各大汽车厂商均设有专门的计算机辅 助车身设计中心，加快了其推出新车型的速度p 1 2 1 。 1 4 国内外研究现状 在国外，大型汽车公司经过近百年的汽车设计制造，在汽车结构分析和设 计方面积累了丰富的试验数据和理论分析经验，形成了实用的结构分析数据库、 设计改正记录和设计规范。c a e 技术的成功应用更是有效地帮助和指导着设计 师进行整车及其零部件的n v h 分析、耐撞性分析、耐疲劳、耐腐蚀分析以及 轻量化设计等。目前应用于整车或零部件开发上比较成熟的方面主要有：刚度、 强度分析( 应用于整车、大小总成与零部件分析以实现轻量化设计) ，n v h 分 析( 各种振动、噪声，包括摩擦噪声、风噪声等) 、机构运动分析等；建立在分 析和实验基础上的各种优化方法为整车及零部件设计提供了多种实用的选择方 案，使其设计从经验设计到优化设计跨出了一大步。 在国内，由于没有完备的结构分析数据库和设计规范，有时只能按解剖进 口车结构来进行参照性设计。具体在结构分析方面，强度和刚度等分析对结构 分析的重要性近些年已受到广泛的重视，但主要应用于大小总成与零部件，如 车身、车架和车桥等。而做整车有限元分析的则较少。从分析类型上看，仍以 结构静态分析为主，而碰撞模拟分析、金属板件冲压成型模拟分析、疲劳分析 和空气动力学分析的精度有待迸一步提高。虚拟试验场整车分析正在着手研究， 3 此外还有焊装模拟分析、喷涂模拟分析等。其中，刚度、强度分析，碰撞模拟 分析，空气动力特性分析，金属板件拉延成形特性分析等已步入实用化阶段， 为整车及其零部件的全面优化设计奠定了基础。 强度和刚度的静态分析是国内对牵引车进行的分析采用的普遍方法，而在 动态分析上起步较晚。这一方面是由于受到所具备的计算机软、硬件条件的制 约，另一方面车身建模过程涉及因素多而且结构很复杂，还有待于作进一步的 研究和探索。虽然有一些在轿车、客车和牵引车结构分析方面的应用，但与国 外的动态结构分析相比明显存在着许多不足。主要差距有3 。1 5 1 ： ( 1 ) 大小总成及零部件结构开发工作主要还是依赖经验和解剖进口结构进 行参照性设计的，多用来解决样车试验以后出现的设计问题，设计与分析未能 真正做到并行。 ( 2 ) 由于软硬件对计算模型规模的限制，模型的细化程度不够，因而结构的 刚度、强度分析的结果还比较粗略。计算结果多用来进行结构的方案比较，离 虚拟试验的要求还有相当大的差距。 ( 3 ) 有限元分析主要应用在结构的强度和刚度分析方面，在碰撞、振动、噪 声、外流方面的模拟计算才刚刚起步，对大小总成及零部件的各项性能指标进 行系统分析研究的实例还未广泛进行。 同时，国内外不少公司、科研机构及高等院校陆续开发了一些通用性很强 的大型有限元结构分析软件程序，这些程序可用来分析任意规模的结构，如整 架飞机或整个汽车的结构。这些有限元软件已发展到成熟的阶段，比较成熟并 且普及较广的有美国加利福尼亚大学伯克利分校研制的s a p 、美国麻省理工学 院研制的a d i n a 、美国国家航空与航天局研制的n a s t r a n 、德国斯图加特大 学宇航结构静力学研究所研制的a s k a 、世界上最大的有限元分析软件公司之 一的美国a n s y s 开发的a n s y s 软件等等。这些通用程序的研制成功，大大简 化了结构分析工作，只要求使用任意掌握有限元法的基本理论，熟悉建立有限 元分析模型的方法和通用程序的使用方法即可。这些大型商业通用有限元分析 软件也像c a d 设计软件一样在汽车研发过程中得到普及，有实力的汽车厂商 甚至为自己的产品开发独立地从事这些有限元分析软件的二次开发。 1 5 研究内容 本文主要是研究整车有限元模型的建立、整车结构的静态特性分析和模态 分析，具体为以下几个方面： ( 1 ) 调研国内外市场有关半挂牵引车总成配置及其质量分布特性，与本款 车型作对比分析。 ( 2 ) 建立该半挂牵引车分总成及整车的有限元模型。 ( 3 ) 对该型牵引车整车进行满载静态和动态应力测试和分析，并对有限元 4 模型进行验证。 ( 4 ) 运用已验证的有限元模型，分析该牵引车在弯曲工况、扭转工况、紧 急转弯工况和紧急制动工况下的静态特性。 ( 5 ) 运用该牵引车的整车有限元模型，对其进行模态分析。 1 6 本章小结 本章从本课题的研究背景、研究意义以及国内外研究现状等方面全面说明 了研究领域的工程实践意义和发展前景。并简要介绍了本文研究内容。随着有 限元理论和有限元方法发展，加之不断完善的有限元软件，现代c a e 技术在现 代汽车结构分析及设计领域中，正发挥着不可替代的作用。 第二章有限元理论及相关工具软件简介 2 1 引言 以有限元法为代表的c a e 技术是分析各种结构问题的强有力的工具，它是 伴随着电子计算机技术的进步而发展起来的一种新兴数值分析方法。对于复杂 的结构，进行动力学性能的研究及优化设计，有限元方法被证明是一种最为成 功，应用最广泛的近似分析方法。 有限元法的发展历程可追溯到2 0 世纪4 0 年代。1 9 4 1 年，h r e m k o f f 提出了 所谓网格法，它将平面弹性体看成是杆件和梁的组合。1 9 4 3 年，r c o u r a n t 第一次在论文中定义了在三角形域上的分片连续函数并利用最小势能原理研究 了s t v e n a n t 的扭转问题。在五十年代中期，他们用平面分析法求解了复杂的 飞机结构问题。他们得到的有限元方程属于以节点位移为未知量的矩阵位移法。 m j t u r n e r 的顾问r c o u r a n t 把这种新的工程计算方法推广到土木工程上，并在 一篇题为“平面分析的有限单元法”论文中首先使用“有限元法 ( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ) 这个名称。初期的有限元都是以单一的位移场作为未知量，它在单元 间边界上满足协调条件，故称之为位移元或协调元。位移元有列式简单、计算 量小、易于在计算机上实施的优点。当然也有其缺陷，对于平板弯曲问题与薄 壳问题，在引用变分法时，位移元要求挠度及其导数都连续，这样很难建立单 元内插值形函数。另外，位移元对于奇异性问题效率较低，对不可压缩材料存 在“自锁现象。 六十年代中期，美国麻省理工学院卞学磺教授提出了一种新的有限元模型。 最初，这种模型基于最小余能列式，在单元内部假设应力，同时独立的在单元 边界上假设位移。由于不需要单元内部位移，所以前面提到的问题都不存在了。 1 9 7 6 年，卞学磺教授将这一模型取名为“杂交应力模型。1 9 6 8 年，卞学磺和 董平提出在单元邻界上为了保持单元间面力平衡，约束条件要由一个新的独立 变量即单元邻界上的协调位移作为拉氏乘子引入，于是得到修正的余能原理。 由此以后，借助于单元边界上的拉氏乘子建立起来的有限元都称之为“杂交元”。 杂交元避免了“自锁 问题，对非线性问题如弹塑性问题或蠕变问题，杂交应 力元的精度相对位移元来说，也有需要改进的地方。例如，假设应力时，往往 有许多可能，而应力与位移搭配不当，就会出现多余机动模式。七十年代初， e l w i l s o n 等人提出了非协调单元，即在单元位移插值中附加内部节点的位移 项，使插值函数中的二次项趋于完备，从而改进了位移等参元的计算精度。但 它对任意形状的单元不能通过补片试验。r l t a y l o r 给出了通过补片试验的补 救方法，即用等参坐标原点处的雅可比值来代替雅可比矩阵。八十年代初，唐 立民，陈万吉等人提出了拟协调元，它通过对几何方程的加权积分进行离散来 得到假设的应力参数与节点位移的关系。这里应力与应变有相同的插值函数。 6 从变分法来看，拟协调元是基于h u w a s h i z u 广义变分原理，以位移场、应力场、 应变场为变量的多变量有限元。有限元法从出现到发展，经历了从线弹性到弹 塑性到弹粘塑性，从解决小变形问题到大变形问题，从静力问题到复杂的动力 接触问题直至瞬态的碰撞响应问题的历程，应用范围也不断拓展，不断地走向 更为成熟的新阶段。到现在，基于有限元技术的大型通用程序己发展得非常完 善，广泛的应用于各个工程领域。 2 2 有限单元法基本理论 2 2 1 线弹性体静力学问题 线弹性体的静力分析问题是整个结构有限元分析的基础。它主要由以下步 骤完成： ( 1 ) 结构的离散化 结构的离散化是有限元分析的第一步，它是有限元方法的基础。这一步是 把要分析的结构划分成有限个单元体，并在单元制定位置设置节点，把相邻单 元在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结构。 ( 2 ) 选择位移函数 为了能用节点位移来表示单元内任何一点的位移、应力和应变，首先假定 单元内任意一点的位移是坐标的某种简单函数，称之为位移函数。也即： 矿) = 加找 ( 2 一1 ) 式中： 门为单元内任意一点的位移列向量； 皖) 为单元的节点位移列向量； n 为形状函数矩阵。 ( 3 ) 分析单元的力学特征 利用弹性力学的几何方程，可以导出用节点位移表示的单元应变： 占) = 【曰 艿。) ( 2 - 2 ) 式中的 b 为几何矩阵。 利用物理方程，可以导出用节点位移表示的单元应力： 仃 = d 】 刎 皖) ( 2 3 ) 式中的 b 为平面应力问题物理方程中的弹性矩阵。 利用虚功方程建立作用于单元上的节点载荷和节点位移之间的关系式，即 单元的刚度方程，从而导出单元的刚度矩阵： 化) = k 。】成) ( 2 - - 4 ) 墨】- i 刎1 d b d v ： ( 2 5 ) viy hi 式中的 k 。 为单元刚度矩阵。 7 ( 4 ) 计算等效节点荷载 连续弹性体经过离散化以后，便假定力是通过节点从一个单元传递到另外 一个单元。但是对于实际的连续体，力是从公共边界传递到另外一个单元的。 因此，作用在单元上的集中力、体积力以及作用在单元边界上的表面力，都必 须等效的移置到节点上去，形成等效节点荷载。 ( 5 ) 整体分析 集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程，从而形成总体刚度 矩阵： 隧】 艿) = b ( 2 6 ) 其中： k 为全结构的总体刚度矩阵； 筇) 全结构的节点位移列向量； p ) 全结构的等效节点载荷列向量。 ( 6 ) 应用位移边界条件 应用边界位移条件，消除总体刚度矩阵的奇异性，使得( 2 6 ) 可以求解。 ( 7 ) 求解结构平衡方程 结构的平衡方程是以总体刚度矩阵为系数的线性代数方程组，解这个方程 组可以求得未知的节点位移。 ( 8 ) 计算单元应力 按式( 2 3 ) 由节点位移求出单元的应力。 2 2 2 求解的收敛条件 在选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐 加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者，当单元尺寸固定时，每个单 元的自由度数越多，有限元法的解答越趋近于精确解。 有限元法收敛条件如下： ( 1 ) 在单元内，位移函数必须是连续的。 用来构造单元位移函数的多项式是单值连续的，因此选用多项式为插值函 数的单元位移函数在单元内是连续的。 ( 2 ) 单元位移函数必需包括刚性位移项。 每个单元的位移总可以分解为刚性位移和它自身变形位移二个部分。由于 一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动该单元作刚性位 移。如悬臂梁的自由端单元跟随相邻单元作刚性位移。因此，为模拟一个单元 的真实位移，假定的单元位移函数必须包括弹性力学的刚体位移项。 当节点位移具有相应于刚体位移的给定值时，单元应变和节点力必是零。 当采用不包括刚性位移项的单元位移函数，就会出现多余的应变和节点力，因 此节点的平衡方程受到限制。 ( 3 ) 在单元内，位移函数必须包括常应变项。 每一个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和 由各点位置决定的变量应变。当单元尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相 等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应 变状态，单元位移函数包括常应变是必须的要求。 ( 4 ) 关于相邻单元公共边界上的连续性。 有限元法一定要求满足有公共节点的单元在节点处的连续性，在连续体弹 性力学中，位移是到处连续的。从模拟真实结构物着想，若能构造一个单元位 移函数在相邻单元之间是连续的，不发生相互脱离开裂和相互侵入重叠，那是 理想的单元位移函数。不难想象，如果单元非常小，并且在相邻单元的公共节 点处具有相同的位移，也就能保证它们在整个公共边界上，大致取得相同的位 移，在相邻单元之间接近连续。在板、壳的相邻单元之间，还要求斜率不发生 突变，只有这样才能保证结构的应变能是有界的。 以上提及的4 条收敛条件，只要假定的位移函数由多项式构成，满足第l 条要求是不成问题的；第2 、3 条说明了在构造单元位移函数时，且不能遗漏了 常数项、一次项等低阶项。第l 、2 、3 条是有限元法解答收敛的必要条件，与 第4 条一起构成了有限元法解答收敛的充要条件。凡满足第2 、3 条的单元又称 为完备单元，满足第4 条的单元称为协调单元，对于完备和协调的单元其解答 的收敛性是单调的。 2 2 3 单元分析及整体方程求解 单元位移函数确定后，利用弹性力学的基本方程就可以进行单元分析。单 元分析的主要内容就是由单元的节点位移表达出单元的应变和应力。从而建立 起单元的平衡方程，并求出单元的刚度矩阵。 通过整体分析，建立起结构物在整体坐标系的平衡方程。引入支承( 约束) 条件后，整体方程就转变为具有唯一解的线性方程组，求解该方程可得到各节 点的位移，进一步计算可得到单元的内力和应力，以及单元内任点的位移。 整体平衡方程实际上是线性联立方程组，它的解法可以分作两大类：直接 法和迭代法。直接法以高斯消去法为基础，求解效率高；在方程组的阶数不高 时( 例如不超过1 0 0 0 0 阶) ，通常采用直接法，直接法是目前采用的最多的一种 方法，主要有带宽高斯消去法、三角分解法以及适用于更大型方程组求解的分 块解法和波前法等。迭代法具有算法简单和程序编写容易的优点，但要求总刚 k 具有一定的条件，如对称、正定、主对角线元素优势等，且计算时间长而又 有预先无法估计的缺点，迭代法主要包括简单选代法、赛箔尔迭代法和松驰迭 代法等n 引。 9 2 3 有限元单元理论 2 3 1 壳体结构单元分析基本理论 壳体结构的几何形状和变形现象都很复杂，控制方程的求解相当困难，有 限元法自然就成为壳体结构分析的有力工具。其基本的理论假设是：薄壳发生 微小变形时，忽略沿壳体厚度方向的挤压变形，且认为直法线假设成立，即变 形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线，与薄板不同的是，壳体变形时中 面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。采用有限元法分析壳体时，主 要有三种类型：平板型壳单元、曲面型壳单元和退化型壳单元。如图2 - 1 为平 板型矩形壳单元示意图。 ( 1 ) 局部坐标系 在局部坐标系下，与面内变形有关的情况，其单元的刚度方程可表示成： z 图2 1 矩形壳单兀示意图 f p = k p a p( 2 - 7 ) 其中，f 9 为节点力向量，a 9 为节点位移向量，k 9 为单元刚度矩阵。 与弯曲变形有关的情况，其单元的刚度方程可写为： ，6 = k 6 口6( 2 - 8 ) 其中，f b 为节点力向量，a b 为节点位移向量，k b 为单元刚度矩阵。根据 前述假定，平面应力状态下的节点力与弯曲应力状态下的节点位移互不影响， 因此很容易将两部分单元刚度方程和矩阵拼合起来得到矩形壳单元的刚度方程 如下： f 8 = k 8 a 。( 2 - 9 ) 式中，k 。为以上两种情况的单元刚度矩阵拼合后的单元刚度矩阵。 ( 2 ) 整体坐标系 在列节点平衡方程时，需要将单元刚度方程变换到统一的整体坐标系下。 局部坐标与整体坐标之间的关系为： 1 0 fi睇cos(x,x)cos(x,)cos(x,多 =仁 ( 2 一- 。， 其中，为局部坐标系x y z 对整体坐标系x 歹三的方向余弦矩阵。 显然，节点i 的位移分量在不同坐标系下有如下关系： = a( 2 11 ) 式中五= 箬； ； 不难看出，单元节点位移变换公式为 口。：丁矛( 2 一1 2 ) 其中，t 为变换矩阵。 同理有单元节点力变换公式 f e = 丁f e( 2 13 ) 将式( 2 1 2 ) 和式( 2 - 1 3 ) 代入式( 2 - 9 ) ，可得整体坐标系下的单元刚度 方程 于：露矛( 2 1 4 ) 其中，整体坐标系下单元刚度矩阵为 置。= ? 丁足8 7( 2 一1 5 ) 2 3 2 实体单元分析基本理论 实体单元能表达实际零件信息，可以从空间的角度来真实的逼进实体几何 形状，尤其对于基于几何模型建立的有限元模型，几乎能反映其全部几何变化。 另外，实体单元能表达的信息最全，例如零件的质量、惯性矩、材料特性等。 实体单元有很多其他单元没有的优点，缺点是占计算机资源较大。 图2 2 所示为四面体实体单元示意图，它具有4 个节点，4 个面，每个面 上有3 个节点。每个节点只有3 个平动自由度。 嚣访访瓦露瓦 略坼睢气巳 户 图2 - 2四面体单元示意图 i 霄 其单元节点位移向量为p 广= 函，v ，“，v y “。v 。“p ，pw py 其对应的节点力为护广= 盈? 。z ；x e 彤z jz ：瑶兹x p 巧z p e ) 单元刚度方程为： f ) 。= 【k 】。p ) 。 嘲。= 燃 ( 2 - 1 6 ) 子矩阵k ：j 为3 3 的矩阵，见式2 1 7 。 l4 6 ，+ a 2 ( c ，巳+ d ，d ，) a l b ，c + a 2 c ，吃 a l b r c $ + a 2 d ，阢 i k 二】= 1 a 厂3l 彳l c ，饥+ 么：6 ，巳 c ，c ，+ 彳：( b r b s + d ，d ，) 4 c ，c 。+ 么2 d ，c ，i _ a i d r ds + a 2 b r b ,a i d r d s + a 2 c r d s dr ds 七a 2 r c 3