（运筹学与控制论专业论文）非线性切换系统lyapunov函数的存在性与镇定问题.pdf

摘要 本文对一类全局一致渐进能控的非线性切换系统的控制l y a p u n o v 函数的 存在性进行了研究，证明了一个非线性切换控制系统如果是一致全局渐进能控 的，那么存在一个公共的控制l y a p u n o v 函数另外，针对一般的非线性切换控 制系统，讨论其镇定反馈问题，在一定的假设前提下，得到了存在依赖于状态 的切换律使系统在广义的意义下镇定的结论在最后一部分讨论了一类特殊的 线性图像处理模型及其切换模型的能控性问题通过定义一个新的最小不变子 空间，得到上述模型能控性的新的判据 关键词：切换系统，l y a p u n o v 函数，线性图像处理，镇定反馈，能控性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ep r e s e n tac o n v e r s el y a p u n o vt h e o r e mf o rg l o b a l l yu n i f o r ma s y m p - t o t i c a l l yc o n t r o l l a b l ys w i t c h e ds y s t e m s a n dw ec o n s i d e rg e n e r a ln o n l i n e a rs w i t c h e ds y s - t e m s u n d e ra na d d i t i o n a la s s u m p t i o n ，w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sas t a t es p a c ed e p e n d i n g s w i t c h i n gr u l ew h i c hs t a b i l i z e st h es y s t e mi nav e r yg e n e r a ls e n s e f i n a l l y t h ec o n t r o l l a b i l i t y o fas o r to fs p e c i a ll i n e a ri m a g ep r o c e s s i n gm o d e la n di t ss w i t c h e dm o d e la r ed i s c u s s e d a n e c e s s a r yc o n d i t i o na n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nh a v eb e e np r e s e n t e df o rt h ef o r m e ra n da n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h el a t t e r k e yw o r d s ：s w i t c h e ds y s t e m s ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；l i n e a ri m a g ep r o c e s s i n g ； f e e d b a c k ；c o n t r o l l a b i l i t y 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 、 学位论文作者( 签名) ：彳自 二零零五年五月 r 建 矿 移日 引言 切换系统是一类重要的混杂动力系统，它是由一系列连续时间子系统利用 一定的切换律将它们联结而成切换系统的应用领域非常广泛，如各种机械系 统的控制、过程控制、工业上的自动控制、电力系统、飞行器控制及交通等 文献 1 1 及 2 】中给出了关于切换动力系统这一领域的研究进展的大量报道 从数学的观点来描述，一个切换系统即是下述一般形式的微分方程： 亳( t ) = 厶( 茁) ( 0 1 ) 其中z ( ) r n 为状态变量；仃t 1 ，2 ，女) 为分段常值函数，称为切换信号； ，l ( ) ，2 ( ) ， ( ) 是一簇从扎维欧氏空间r “到r “上的充分正则的函数类且 有 a ( o ) = a ( o ) = = a ( o ) = 0 特别，当所有的单个子系统皆为线性时，我们称其为切换线性系统 奎( t ) = a 【x ( t ) 目前，对切换控制系统的研究大多数都是关于线性切换系统的而对于非线性 切换系统的研究相对少些。在文献【3 ，4 1 中，作者们分别对一类非线性切换 系统当其为一致全局渐进稳定和全局渐进稳定局部指数稳定时，通过给出一些 特殊的假设前提，得到了逆l y a p u n o v 定理( 即文献 4 中的定理1 ，文献【3 】中 的定理4 1 ) 但正如文献 5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 等指出，一个光滑的l y a p u n o v 函数 不一定存在；另一方面，即便存在光滑的l y a p u n o v 函数y ，也未必存在连续 的选择女( ) ，使得反馈系统立= f ( x ，( z ) ) 镇定。本文在第一部分中考虑到了 如下的标准菲线性切换控制系统 奎( t ) = 厶( t ) ( z ( t ) ，虬( t ) ) ( 0 , 2 ) 其中状态。( t ) 取值于n 维欧氏空间，控制变量( t ) 取值于m 维欧氏空间 r ，中的一个给定的紧度量空间u ；映射厶：u ；仃( t ) 为切换律。 当系统为全局一致渐进能控时，探讨上述系统的公共的l y a p u n o v 函数的存在 性，通过给出一定的假设前提，可以得到一个肯定的结果，其逆在一定意义上 也真。有关假设条件及主要结论如下 假设1 1p = 厶：p p 一致局部l i p s c h i t z ( 且对于u 为一致的) ，也即 是t 对所有的z x ，存在z 的一个邻域u ，存在l 。0 ，使得 厶( ，u ) 一f a y ，u ) 1 1 墨l 。i l y 7 一y l l vy ，y 吃， v 牡 v pep 假设1 2p = ，p ：p p ) 为等度有界的，即 s u p | | ，p ( ，u ) | | o 。 ，v ， v 牡u p e p 在上述两个假设的基础上我们得到了下面两个主要结论： 定理1 1设( 只u ) 为上述控制系统( 0 2 ) ，若存在一个公共控制l y a p u n o v 函数，且，为连续的，则该系统是一致全局渐近能控的，即对v s s ，系统 为全局渐近能控的 定理1 2设( p ，u ) 为上述描述的控制系统( 0 2 ) ，在假设1 1 、假设1 2 下，若系统为一致全局渐进能控的，则系统存在一个公共的局部l i p s c h i t z 控制 l y a p u n o v 函数。 另外，在文献 1 中，l i b e r z o n 与m o r s e 概括了关于切换动力系统的稳定性 与设计的三大类基本问题， 问题a ：寻找使系统( 0 1 ) 在任意的切换信号下皆能渐进稳定的条件； 问题b ：辨识能够使系统( 0 1 ) 渐进稳定的切换信号； 问题c ；构建切换信号使系统( o 1 ) 渐进稳定 最后一个问题是关于设计问题，从实践的观点来看是非常重要的。在文献 1 1 】中，a b a c c i o t t i 讨论了双线性系统利用状态依赖切换律使系统镇定问题 在文献 7 ，【1 2 】中作者们分别对线性系统及仿射控制系统通过借助系统的控 2 制l y a p u n o v 函数，给出了较详细的建构反馈律的方法我们在本文的第二部分 中主要针对前一章提出的非线性切换控制系统，即下述形式 奎( t ) = 厶( z ，让) ， ( 0 3 ) 讨论其稳定性问题，其中z r n 代表状态变量， ，p ：p p ) 为一类充分正则 的函数类。，：础r n ，p 为参数集合且满足 h ( 0 ，u ) = 0 ，坳p v u u 盯：f 0 ，o 。) 一p 为分段常值函数，称为切换信号针对非线性系统，给出了存在 依赖状态反馈切换律u = 盯( 。) 使得闭环系统( 应用反馈= 盯) 在广义的意义 下渐进稳定的充分条件主要结论为 定理2 1考虑系统( 0 3 ) ，若系统存在控制l y a p u n o v 函数，则可以定义一 个反馈切换律p = p ( z ) 及相对应的状态反馈“= u v ( x ) 使系统( 0 3 ) 在k r a s o w s k i 解的意义下在原点处为( 全局强) 稳定的。 在本文的最后一部分，我们讨论了一类具体的模型一线性图像处理的r o e s s e r 模型图像处理技术是二十世纪下半叶引起科学界高度关注的一个热门课题， 它伴随着电视机和电脑的发明及应用而迅速发展，内容日臻丰富。在七十年代 及八十年代提出了几个著名的关于图像处理的模型，如r o e s s e r 模型( 参看文献 【1 3 ) 、f o r n a s i n i m a r c h e s i n i 模型( 参看文献 1 4 ，1 5 】) 、a t t a s i 模型( 参看文献 1 6 ，1 7 ，1 8 】) 等围绕这些模型给出了许多关于图像处理中的系统的实现问 题、能观能控性、最小化等的讨论( 参阅文献f 2 l 、f 1 3 、f l9 】、 2 0 、f 2 1 】、 1 2 2 】) r o e s s e r 创立的针对线性图像处理的离散模型与众所周知的时变离散状 态空间模型极为相似，其方法是将表示时间的一维坐标用空间中的二维坐标来 表示，从而用空间模型替代时间模型这对于把研究1 d 线性系统的时间模型 与2 d 一线性系统统一起来是非常有用的 我们在这里主要讨论到了r o e s s e r 模型，并给出它的2 d 离散状态空间切 换模型，探讨了它们的能控性问题通过引入一个新的广义最小不变子空间， 3 我们得到了判定线性图像处理的r o e s s e r 模型的能控性的一个新的判据，并将 该结论推广到了相应的切换系统相关的模型及其主要结论如下 线性图像处理离散状态空间r o e s s e r 模型可以通过下述的方程进行表述： n ( i + 1 ，j ) = a 1 r ( i ，j ) + a 2 s ( i ，j ) + b l u ( i ，j ) ； s ( i ，j + 1 ) = a 3 r ( i ，j ) + a 4 s ( i ，j ) - fb 2 u ( i ，j ) ； ( o 4 ) y ( i ，j ) = c 1 r ( i ，j ) + c 2 s ( i ，j ) + d u ( i ，j ) ，i , j 0 其中模型中的相关变量分别为：垂直坐标变量i ，取整数值；水平坐标变量j ， 取整数值；实 维向量集 r ) ，传递垂直信息；实 维向量集 毋，传递水 平信息；实p 维向量集 u ) ，代表输入；实胁维向量集 以，代表输出。这 里的图像处理器定义为一个特殊的6 元组( r ) ， s ， “) ， y ) ，g ) ，其中状态函 数，为： ，： 斟 s ) u 卜斗 r ) x 毋； 输出函数g 为： g ： 兄) s u ) + ) a - ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，b l ，b 2 ，q ，岛，d 为适当维数的矩阵 针对线性图像处理的单系统模型( o 4 ) ，其切换系统模型可以表述为： r ( i + 1 ，j ) = a 一( ，曲a r ( i , j ) + a 一“j ) ，2 s ( i ，j ) + b q ( t , d , l u ( i ，j ) ； ( o 5 ) s ( i ，j + 1 ) = a 。( f ，j ) ，3 r ( i ，j ) + a ，“j ) ，4 s ( i ，j ) + e ，( 1 j ) 2 札( i ，j ) 其中映射o ( i ，j ) ：n n _ 手a ，a = 1 ，2 ，) ；( t ，j ) 为一个有限或无限的整 数对集合，矩阵对( a ，风) ( 其中1 k n ) 为系统( 0 5 ) 的子系统 定义3 1 ( 直和分解扩张) 设日为z 扣。中的子空间，q 。i = 1 ，2 ，p 为 r m 押。中的( n - + n z ) 维向量，且有 a i = ( 拼，嚏，壤。，壤。+ l ，磅。+ 。，) r ； 8 = s p a n a 1 ，a 2 ，q p ) ； 记 i 0 = ( 酶，畦，砖，0 ，o ) 7 ； 4 a ? 1 = ( o ，0 ，0 ，b 时i1 j ，硅。慨) f ； b 1 ，0 _ $ 阳扎 n ；，v ，以，o ：，o ； 伊t 1 = s p a n 础r ，鹋”，磅1 ) ； 以及嚣kb 1 ，0 $ 1 3 0 ，1 ，则我们称b + 为子空间b 的直和分解的扩张。 根据定义3 1 ，我们可以定义一个新的不变子空间如下： 定义3 2 ( 广义最小不变子空间) 给定适当维数的矩阵a 及的一个子 空间b ，我们记f a b 为子空间8 在矩阵a 下的直和分解扩张的最小不变子空 间，若有 f a b = ( a 卜8 1 o + a i , j - a 伊。) 幻 本部分的主要结论如下； 定理3 2线性图像处理模型( o 4 ) 为能控的，当且仅当f a b = t ) ，其 中 t ) 表示全图像空间，f a 3 = e 谁妊_ ( a i - 1 。, j b l ，o + a i o - 1 1 3 0 ，1 ) 定理3 3若切换系统( 0 5 ) 是能控的，则有蜘。慨= t 5 第一章非线性切换系统l y a p u n o v 函数的存在性 本章对类全局一致渐进能控的非线性切换系统的控制l y a p u n o v 函数( c l f ) 的存在性进行了研究，运用非光滑分析找到了系统存在公共控制l y a p u n o v 函 数的必要条件和充分条件由以下若干节组成：1 1 ：引言；1 2t 问题的 描述、有关定义与主要结论；1 3 ：主要结论的证明 昌 切换系统是一类重要的控制系统，它是由一系列连续时间子系统利用一定 的切换律将它们联结而成的混杂动力系统许多系统在实际上都是由几个依 赖于各种环境因素的子系统通过切换得以实现切换系统的应用非常广泛，特 别是在对机械系统的控制上，象工业上的自动控制、各种飞行器的控制等另 外，在智能控制及神经网络等方面的应用也得到了长足的发展近十年来，切 换系统这一领域受到控制界的广泛关注 1 ，3 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】。 从数学上来描述，一个切换系统即是下述形式的微分方程： 主= ( x ) ( 1 1 ) 其中 ，p ：p p ) 是一簇从n 维欧氏空间f p 到l p 上的充分正则的函数 类，指标集合p 中的元素作为其参变量s ：fo ，。) 寸p 称为切换信号，它 是一个分段常值函数。在这里我们假设切换律的设计满足在有限的时间区间内 仅切换有限次在特殊环境下，某一时间点上的切换信号p 的取值，可能依赖 于时间t ，也可能取决于。( t ) ，或者二者兼有，或者可能应用一些更复杂的技 巧，如运用系统环中的有记忆混杂反馈在这里我们主要针对第一种情况，即 切换信号取决于时间。 用s 表示给定切换系统的所有切换信号的集合，对每一切换信号s 5 ， 存在一个非负时间叙列的划分 7 r ：o = t o t t “ o r o 使得 l i 现百( r ) = 0 一 r u 十 对任意的切换策略s s ，存在“：r o c ，相应的解( ) ：如。_ r n 使得 x s ( o ) = ；x s ( t ) _ 0 ，当t _ + o 。 且 s u p 圳z 。( t ) i ：o t 0 ； 称其为真，若还有当恻 - + 。时y ( 贯) - + o o 定义1 2系统( 1 3 ) 的一个公共l y a p u n o v 对系指一对函数组( y ，w ) ， 其中y ：x r 为一个连续的正定且真的函数，w ：x r 为正定连续函 数，且具有下述性质：对每一个。x o ，及任意的p p 有 v ( 岛y ) 。i n 。f ( ( ，p ( z ，) ) 5 一彤( 茹) 0 使得 v ( u ) 一v ( x ) + 口i l y z i l 2 ( ( ，y z ) ，v y 留+ q b 定义1 3称函数y ：x + r 为系统( 1 3 ) 的一个公共控制l y a p u n o v 函 数，若存在一个连续正定的函数：x 一r ，使得( k ) 组成系统( 1 3 ) 的 一个l y a p u n o v 对。 8 称y 为局部l i p s c h i t z 控制l y a p u n o v 函数，若y 是一个控制l y a p u n o v 函数 且在x 上为局部l i p s c h i t z 的 附注1 2定义1 2 与定义1 3 是非线性系统的控制l y a p u n o v 函数的一种 简单推广当p 为单点集时，该定义即是文献 7 中对单系统的定义 对于系统( 1 3 ) ，给出两个相关的假设条件 假设1 1 尹= 协：p 科一致局部l i p s c h i t z ( 且对于“为一致的) ，也即 是：对所有的x x ，存在z 的一个邻域k ，存在l 。0 ，使得 1 i s , ( y ，札) 一h ( y ，u ) | | sl 。i l y 一y l l vy ，y k ， v “v p p( 1 5 ) 且有h ( 0 ，u ) = 0 ，vp p ；v ueu 假设1 2p = ，p ：p p 为等度有界的， 即 s u p l l ，p ( ，“) 1 i 0 时，有y ( ) 0 ，v ( 0 ) = 0 ；( 即y 为正定的) i i i ) 对vr r ，集合代iy ( f ) r ) 为有界集；( 即y 为真) i v ) 对每一个ex ，存在一个松弛控制叫，使得y 。( ) 0 ，且有相应正 数k ，q 存在，使得当 0 ，使得当俐 e 时，有y ( ) 口 证明在文献 6 中给出了本引理较详细的证明过程，这里不再赘述口 附注1 4该引理中的必要条件与定义1 3 中当p 为单点集时的函数y 的 性质是一致的，关于两者的一致性在文献 9 及文献【2 9 】中都有相关的论述 证明定理1 1设函数y 为系统( 1 3 ) 的一个公共控制l y a p u n o v 函数对 于任一个切换律8 s ，相应的时间划分w ：0 = t o ( t ， o使得i i m 瓦( r ) = 0 ； 一 h - 系统对应轨线 z 。( t 。) = 矗；z 。( t ) 叶0 ，当t + o 。时， 且有 s u p i iz 。( t ) | | ：0 t 。 r ，。上的不减函数，且 l i m 日p ) = 0 v - - o + 。 令 x o ( t ) = x s o ( t ) ，t 【t o ，+ o o ) 州忙： 誊 蜊： 州， 挺 t o , t 2 ) ， i 石( t ) ，t ，+ o o ) 酬；卜删， t o , t n ) ， 【瓠。( ) ， t i t n ，+ o 。) 上述各系统( ；) 篓。的解z 。( ) 当t - o 。时皆收敛到原点，因此，有叙列( 力 t 【t 。，+ o o ) 对任意的n 当t 斗o o 时一致收敛到原点根据对z 。( t ) 的定义， 存在 ( ) 2 0 骢z s 。( ) 使得 巩( o ) = z 。( o ) = 岛 对任意大的t 0 ，存在n z + ，使k t 。+ r 。使得 l i r a 口( r ) = 0 ， r - - + o + 且有 对每一个f 形，存在一个控制札：i k o u 对所有孑d ，相应有解 轨线z ( ，u ，西，使得 z ( o ，让，西= ，z ( t ，u ，西一+ 0 ，当t 斗0 0 ，时， 且满足s u p 圳z ( ，珏，西i i ：0 t o + r o使得l 媳口( r ) = 0 一一 r _ 0 t 对任意的切换策略s s ，存在钍：r o 一，相应的解轨线( - ) ：r 。一r n 使得 ( o ) = ；( t ) 斗0 ， 当t _ o o 且 s u p 删( 圳：0st o o 曼o ( 1 1 1 1 ) 需证明系统( 1 8 ) 也为一致全局渐进能控的。 设f r n ，孑口，则存在取值于d 上的右连续的分段常值函数叙列 瓦： nen ) ，也即对每一个瓦，存在一个时间划分霄。：o = t ： t ： ，其 中t ：- o 。( 当k _ o o 日寸) ；相应有数列 破，k n ) ，使得当t 心，t ：) 时，有 石( # ) = 磁，且有焉- i ，a e 固定n ，由引理1 3 知! ( p ) 在集合d 中稠，因此，对每一个姥，存在 p ：p ，使得p u 雠) ，罐) j ( 其中p 表示口中的距离) 定义s 。es 如下：当tep 乒1 ，t ：) 时s 。( ) = 砖，由此可得，对任意的 t o ，o o ) ，有p ( t o s 。( t ) ，瓦( t ) ) i 故，对叙列 s 。：n n ) cs ，有瓦= i o s 。叶孑 a e 。 设z ( ， i t ，西定义于 0 ，t 1 应用引理1 5 ，有，对任意的t 【0 ，t 1 。l + i m 。x ( t ， ，u ，s n ) = 溉2 ( t ，f ，u ，如) = z ( z ，f ，“，d ) 由d 的紧性及解的可延拓定理知，上述式子对任意的t 0 皆成立，因此 z ( o ，f ，钍，田2 瓤。( o ，f ，s n ) = f 1 6 且有 z ( t ，u ，西= 县恐卫( t ，s n ) _ + 0 ，当t _ + o 。时； 及 s u p l l z ( t ，u ，d ) l | ：0 t o ，存在6 o ，使得对系统( 2 3 ) 的每一个k r a s o w s k i 解妒( 扎 有妒( ) 在f 0 ，+ 。o 上是可延拓的且满足； f 妒( o ) f 占= 争f 妒( 茚i o 使得下面不等式成立 v ( 讳y ( z ) ，磐描( ( ，p ( 训) ) 一( 茁) 0 ，。0 则称y ( 。) 为切换系统( 2 1 ) 的控制l y a p u n o v 函数 若存在正定 ( 2 5 ) 附注2 1这里对切换系统的控制l y a p u n o v 函数的定义比我们在前一章 中定义的公共c l f 的定义的条件较弱与前一章类似，这里的定义也是对非 线性系统的c l f 的一种简单推广 附注2 2根据该定义我们不难看出，若系统( 2 1 ) 的某一个子系统存在 c l f ，则它也是切换系统( 2 1 ) 的c l f 另外，即便系统( 2 1 ) 的任何子系统均 不存在c l f ，在切换的作用下系统( 2 1 ) 也可能存在c l f 附注2 3根据本文第一章引理1 1 结合定义2 3 知：若切换系统( 2 1 ) 存 在控制l y a p u n o v 函数，则其是全局渐进能控的，从而在原点处是稳定的 给出本部分的主要结论如下 定理2 1考虑系统( 2 1 ) ，若系统存在控制l y a p u n o v 函数，则可以定义一 个反馈切换律p = p ( x ) 及相对应的状态反馈乱= 邯( z ) 使系统( 2 1 ) 在k r a s o w s k i 解的意义下在原点处为( 全局强) 稳定的 2 3主要结论的证明 证明定理2 1为了探讨闭环系统( 2 1 ) 在k r a s o w s k i 解的意义下解的稳定 性质，我们考虑对状态集进行分割而得到的集合类 o o ：= f0 o i ：= 茁r 0 ：瓣( e ， ( 训) ) m 渊i n 船( e ，j ( 训) ) ) ，i = 1 2 ，k u ( 2 6 ) t u，l e 。、 f l t _ l = 面f i 9 定义易得o i ，i = 1 ，2 ，k 为开集，函数f ( x ，u ) = ( z ，u ) 在集合0 。上 是连续的。因此，由引理2 2 可得 k f ( x ，u ) = f ，( z ，让) 1 且有 瞄( ( ， ( 为乱) ) 一彬( z ) 0 ( 2 7 ) 若有 u n ) h 均满足上述不等式( 其中h 为一个指标集) ，则我们可由( 2