（基础数学专业论文）变分迭代法在反应扩散方程中的应用.pdf

摘要 变分迭代算法是由何吉欢提出并广泛应用丁求解一些微分方程和一些特殊 的线性和非线性方程在求解这些方程中，变分迭代泫能够发挥着非常重要的作 用，是解决此类问题强有力的有效的值得信赖的数学工具 反应扩散方程涉及的大量问题来自物理学，化学和生物学中众多的数学模 型，因而有强烈的实际背景通过对反应扩散方程的研究，对数学知识也提出了 许多具有挑战性的问题如：对于求解常系数或变系数的反应扩散方程，一直以 来都有一些困难本文将变分迭代法应用于反应扩散方程并且得到了具有收敛序 列的精确解 本文共分为六章 第一章介绍研究背景及意义和本文的研究内容 第二章简单介绍反应扩散方程的基本知识以及列举常见的反应扩散方程 第二章给出有关变分理论的预备知识及结论 第四章首先介绍了变分迭代算法的基本思想，然后介绍已有的变分迭代算法 的发展 用 第五章介绍变分迭代算法的新的研究 第六章的主要内容是变分迭代算法在常系数和变系数反应扩散方程中的应 关键词：变分迭代法；拉格朗日乘子；精确解：反应扩散方程：限制变分 a b s t r a c t v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o dw h i c hh a sb e e np r o p o s e db yj i - h u a nh ei sw i d e l y a p p l i e dt os o l v es o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds o m es p e c i a ln o n l i n e a re q u a t i o n s v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o di sv e r yi m p o r t a n ta n de f f i c i e n c yi ns t u d y i n go ft h en o n l i n e a re q u a t i o n sa n dh a sb e e nap o w e r f u la n de f f i c i e n t l ym a t h e m a t i ct 0 0 1 r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sr e f e rt om a n yq u e s t i o n sw h i c ha r em a t h e m a t i c m o d e lt h a tc o m ef r o mp h y s i c s ，c h e m i s t r ya n db i o l o g y ，s ot h e s eq u e s t i o n sh a v es o m e p r a c t i c a lb a c k g r o u n d m e a n w h i l em a n yc h a l l e n g i n gq u e s t i o n sh a v eb e e nt a l k e db y s t u d y i n go fr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n to rv a r i a b l ec o e f f i - c i e n t ，e s p e c i a l l ym a t h e m a t i c a p p l i c a t i o no ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nt e c h n i q u et o t h e s er e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ss h o w st h er a p i dc o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c e c o n s t r u c t e dt ot h ee x a c ts o l u t i o ni nt h i sp a p e r t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t os i xs e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n do u rm a i nr e s e a r c h i ns e c t i o n2 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g eo ft h er e a c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o na n di t si m p o r t a n te x a m p l e s 。 i ns e c t i o n3 ，t h ep r e p a r a t i o na n dt h ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n so ft h ev a r i a t i o n a l t h e o r ya r eg i v e na n ds o m eo fi m p o r t a n tc o n c e p t i o n i ns e c t i o n4 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a s i ci d e a so ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ， t h e ni t sa c h i e v e m e n ta n dt h ed e v e l o p m e n to fv a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o da r ed e - s c r i b e d i ns e c t i o n5 ，w ei n t r o d u c ea c h i e v e m e n tt h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o db ym y s e l f i ns e c t i o n6 ，t h em o d i f i e dv a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt os o l v er e a c - t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hc o n s t a n ta n dv a r i a b l ec o e f f i c i e n t k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ；l a g r a n g em u l t i p l i e r s ；e x a c ts o l u t i o n s ： r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ；r e s t r i c t e dv a r i a t i o n a l 1 i 号 符号说明 含义 实数集 正实数集 n 维实数集空间 第k 个迭代点 “( x ) 在迭代点x k 处的函数值 变分 限制变分 l a g r a n g e 乘子 范数 求和 i i i 符r 口肜 蚝砂元帅 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 作者签名： 导师签名： 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：年月日 日期：年月日 第一章绪论弟一早珀下匕 1 1 研究背景及意义 反应扩散方程 4 5 】的模型在物理，化学，生物，医学等各种领域中广泛出现 例如：著名的数学生态学家l o t k e 和v o l t e r r a 在分别研究捕食者与被食者相互作 用的模型的基础上，得到了关于捕食者与被食者生态关系的l o t k e v o l t e r r a 方程 此外，还有许多学者也得到了各种反应扩散方程的数学模型，如燃烧方程，酶的 发酵数学模型，神经传导的h o d g k i n h u x l e y 方程，传热中以及在污染问题中出 现的对流和扩散方程等由于它们的行波解都能够很好地表现自然界中的振荡现 象以及扰动以有限速度传播的现象，因而对于反应扩散方程的解的研究便成为了 非线性微分方程的一个非常重要的领域近年来国内外许多学者研究了各类反应 扩散方程的解的性质，如：整体解的存在性，解的唯一性和解的渐进性等而对 于它的解的求解方法，近些年来发展迅速，研究的方法也有很多，如：b a c k l u n d 变换 4 7 】，d a r b o u x 变换 4 8 ，同伦分析方法 4 6 1 ，p e t r o v g a l e r k i n 方法 4 9 1 等，通 过使用这些方法，都得到了各类反应扩散方程的行波解但是这些方法所得到的 解都有一定的缺陷，主要反映在这几个反方面：1 收敛速度不快2 精确度不高 3 计算量大且复杂因而发展一种行之有效的计算方法是势在必行，主要是为了 提高所得解的精确度和减少计算量 本文介绍一种较新的算法：变分迭代算法它在某种程度上能有效的弥补这 些方面的缺陷 19 9 9 年，何吉欢发展了i n o k u t i 8 提出的广义拉氏乘子法的思想，得到了一 种新的迭代算法【1 7 - 2 2 变分迭代法，这种方法具有一定的可操作性，计算量小， 收敛速度快，可适用范围广的特点并且在文献【9 】中何吉欢将变分迭代法与其他 的一些传统计算方法作了一定的比较，得出结论：变分迭代法的收敛速度快，效 果最佳从而引起了许多国内外学者对变分迭代法的关注和研究，通过研究进一 步证明该方法是解决非线性问题的非常有效的数学工具，并且将变分迭代法作了 一定的推广和应用，如：成功的应用于求解b u r g e r s 方程和b u r g e r s 方程组 2 0 】， d e l a y 微分方程【2 2 】，非线性微分方程动力系统 2 3 2 5 ，b o u s s i n e s q 方程 2 6 】和耦合 的k d v 方程【2 0 】 4 3 1 中，积分微分方程 2 7 】，波动方程 3 0 】，热传导方程【3 3 等文 献 2 6 2 8 中有许多作者对变分迭代法作了一定的修正，使它的收敛速度和迭代速 度加快，效果更好 1 2 本文的主要工作 本文主要介绍变分迭代算法在反应扩散方程中的应用，从而得以将变分迭代 法的应用范围加以一定的推广，使其应用于求解变系数和常系数的反应扩散方程 通过l a g r a n g e 乘子进行简单的计算和经过一些迭代步骤从而得到方程的精确解 或精确度较高的近似解，在本文中获得了泰勒级数收敛解，这是非常理想的结果， 一般的近似计算方法很难得到如此好的结果 全文共分为六章， 第一章：为绪论部分，主要介绍了研究的背景及意义，研究的内容 第二章：概述反应扩散方程和反应扩散方程中研究的主要问题，列举了一 些常见的反应扩散方程，从而说明反应扩散方程的实际背景和意义 第三章：介绍变分的定义，变分引理和它的运算性质以及常见变分不等式， 还有一些重要的变分方法 第四章：从三个方面介绍了变分迭代法的基本思想以及对于不同阶数的微 分方程的迭代式的总结和它的最新的迭代格式 第五章：主要介绍本人对于变分迭代法研究的一些小小的成果，一方面是 对于初始值的新的选取方式，另一方面是对变分迭代法的收敛性问题和其产生的 误差作了一定的说明 第六章：主要是对变分迭代法应用范围作一定的推广，应用于求解常系数 和变系数的反应扩散方程，并对所得解的精确度和收敛速度作一定的说明，而且 通过实例证明变分迭代法对于求解常系数和变系数反应扩散方程的可行性 2 第二章反应扩散方程概述 物理学、化学、和生物学所取得的成就和进展在很大的程度上能够决定科学 技术的发展程度，然而这些学科取得进展的保证往往来源于它们学科自身的精确 化程度在通常情况下要实现学科自身的精确化往往需要通过建立一定的数学 模型，而其中大部分的数学模型都可以归纳为是反应扩散方程 近几十年来，对于反应扩散方程的研究和应用的历史悠久并且越来越受到各 个学科的重视其主要的原因是因为在反应扩散方程中所研究的大部分的问题都 是来自于物理学，化学和生物学并且通过建立一定的数学模型而得到，因而它们 具有非常现实的意义和应用的实际背景；同时，从理论上看，在对反应扩散方程 的研究的过程中，对于数学方面自身的知识和自身的发展也提出许多具有挑战性 的急待解决的问题，因而对反应扩散方程的研究引起了许多数学家、化学家、生 物学家和工程师的重视和注意下面仅仅简单的介绍反应扩散方程有关的基本的 问题 2 1 反应扩散方程的基本知识及其研究的基本问题 1 反应扩散方程的定义，初边值问题，平衡解或定态解的定义【45 】 反应扩散方程的定义：通常在数学上把如下半线性抛物型方程组 a y ：d ( x ，y ) a y + g ( x ，y ，g r a d y ) ，( ( 少，x ) q r ) ( 2 1 ) ( 称为反应扩散方程，在这里q r ”， z = ( 五，x 2 ，) ，y = ( m ，y 2 ，) ， d ( x ，y ) = ( 吒( x ，j ，) ) ，缈= ( 锄，少2 ，瓴) ，g r a d y = ( g r a d y l ，g r a d y 2 ，g r a d y ) 初始值问题： y ( x ，0 ) = y o ( x ) r ”) ( 2 2 ) 边值问题：假设q r ”是有界的区域，a q 表示为区域q 的边界下面列出三种类 型的边界条件： ( 1 ) y = h ( x ，f ) ，( x ，r ) 8 f ) xr +( d i r i c h l e t 条件) ( 2 3 ) ( 2 ) a y ：办( x ，f ) ，( x ，f ) 8 f l xr +( n e u m a n 条件) ( 2 4 ) a 玎 ( 3 ) 罢兰+ k y ：办( x ，) ，( x ，f ) eo f ) xr +( r o b i n 条件) ( 2 5 ) a 玎 平衡解或定态解的定义：如果反应扩散方程( 2 1 ) 的解满足下列微分方程 一d ( x ，j ，) a y = g ( x ，y ，g r a d y ) ( x q )( 2 6 ) 并且其解与时间无关，那么我们把这样的定常问题( 2 6 ) ，( 2 3 ) 或( 2 6 ) ，( 2 4 ) 或( 2 6 ) ，( 2 5 ) ( h ( x ，f ) = h ( x ) = l i m h ( x ，) ) 的解称为反应扩散方程具有初边值 t - - o o 问题的平衡解或定态解 2 反应扩散方程研究中的基本问题有： ( 1 ) 它的行波解的存在与唯一性及稳定性 ( 2 ) 它的初值问题或初边值问题的整体解的存在与唯一性及渐进性 ( 3 ) 它的平衡解的存在性以及平衡解的稳定性问题 ( 4 ) 当它不存在整体解时，解在有限时间内的“爆炸问题以及解的其它 方面的性质 ( 5 ) 计算方法问题，一般的计算方法求解反应扩散方程时都有非常大的难 度，因而发展新的算法是非常重要的问题 2 2 列举几个常见的反应扩散方程 由于反应扩散方程大多是通过对物理学、化学、生物学等学科建立一定数学 模型而得到的，因而也就表明了反应扩散方程的实际背景和实际意义，为了更进 一步的说明反应扩散方程的各种实际背景和实际意义，在这里列举几个反应扩散 方程的例子为简单起见，这里仅仅给出其方程的形式，而对于其方程的来由不 加以推导和说明 1 关于半导体的方程【45 】 鲁= d i v q y ( g r a d m m g r a d w ) 一心( 肌 g ) 鲁= d i l ，p u q ( c q g r a d q + q g r a d w ) 一r q ( 伽) a w = 一q ( q m - i - b ) 其中b ，q ，y q ，y m ，c m ，白是常数，r m ( m ，g ) ，r q ( m ，g ) 是已知的函数 2 关于燃烧的方程【45 】 3 b r u s s l a t o r 方程【45 】 m w f ：= p c a v w + + c c w - 一( w d ：y + 1 ) w + w 2 j ， 4 关于生态的方程【45 】 4 5 关于酶的发酵的数学模型【45 】 j ，坼。材一，( “，a ) + ( u o - u ) 【z = a a d + j ( u ，d ) 一p ( a o d ) 】 其蝴删) = 孟斋 当然，还有其它的方程，这里就不再一一列举了 f 矽 打 批 m ， z w ，l x 儿 恤 ， z 五 ，l x 毗 啦 o w g 飞 卜p 1 - _ n + 力 。w、 u “ 砒 讲 1 - 卜 ” “ 妙 ” ，il 第三章变分的基本知识 变分法也叫变分方法或变分学，它是17 世纪末开始发展起来的数学分析中 的一个分支，主要是研究依赖于某些未知函数的积分型泛函极值的一门学科本 章主要介绍了相关变分理论的基本知识包括变分法的基本概念，变分学的一些 基本知识，变分引理和常用的变分不等式及变分的基本方法 3 1 变分法基本知识 历史上，最早出现的变分法问题是伽利略于1 6 3 0 年提出的最速降线问题， 他被认为是变分法发展的一个标志，但是它的一般解法是由欧拉和拉格朗日建立 此外，还有约翰伯努利提出的短线程问题和雅各布伯努利提出的等周问题， 都是变分法的经典问题下面介绍一些重要的基本定义和定理 定义1 5 0 假如把具有某种共同性质的函数集合记为么，如果对于彳中的任 何函数g ( x ) ，变量p 都有唯一确定的值与它对应，那么变量尸叫做依赖于函数 g ( x 1 的泛函 定义2 1 5 0 假如日 z ( ，) 为在某一个可取类函数g 中定义的泛函，并且z o ( x ) 为g 中的一个函数如果在z o ( x ) 的零阶6 邻域都有 a h = 日【z ( f ) 卜h z 。o ) 0 ( 或0 ) 则称泛函日在( x ) 上取得强极小值( 或强极大值) 如果不仅在z o ( x ) 的零阶6 邻域，并且( x ) 的一阶6 邻域，都有下式 a h = h z ( t ) - h z o ( r ) 0 ( 或0 ) 成立，则称泛函何在z o ( x ) 上取得弱极小值( 或弱极大值) 定义3 1 5 0 假如泛函以少( x ) 】= f ，( x ，y ( x ) ，y ( x ) ) 出具有二阶连续导数，它 帆 的增量可以表示为= 三 y ( x ) ，s y + d y ( x ) ，砂】的形式，其中d 眇( x ) ，s y 】表示为砂 的高阶无穷小量，那么这个泛函在y = y ( x ) 处可微，并且此时我们把 y ( x ) ，s y 称 为泛函以y ( x ) 在少( x ) 上的变分，记作 变分具有下列性质： ( 1 ) 泛函的增量与变分之差是一个比一阶距离4 y ，y 1 更高阶的 无穷小，泛函的变分是泛函的增量的线性主要部分 ( 2 ) 变分的被积函数是关于t 1 和”。的线性函数 变分的运算性质 6 l 1 5 【g 1 + g 2 ) 26g l + 6g 2 2 8 ( g 1 g 2 ) = g 1 8 g 2 + g 2 8 g l 3 8 ( g ”) = n g 川8 g 4 烈争= 型苌邋 5 引g h 训= 等 6 8 i ：x jg ( ，j ，) d x = j ：l 万g ( ，y ) d x 常见的变分不等式 1 场甜馏不等式：假如0 _ p ，g - o pqpq 2 日二眦，不等式：假如0 p ，g 一 ，并且上+ 1 ：1 ，“r ，1 2 ，则有 l i “v 陆= m 州b ， 3 施胛勋w s 舫不等式：假如1 p 0 。，“，v p ，则有陋+ v k n ，m i ( q ) + 铲( q ) 4 p o i n c a r e 不等式：假如1 p ，q r ”为有界区域，而且假设“列，( q ) ， 则有 l 川p 出c 上i d 甜i 户d x 3 2 变分法的基本原理 引理1 4 4 假如泛函u c ( q ) 并且满足 l “( x ) 孝( x ) = 0 ，v 孝c o ( n ) 贝0 在q 中“( x ) = 0 引理2 4 4 1 如果二元函数g ( x ，y ) 在区域c 内连续，而且对于任意的二元函数 孝( x ，j ，) 以及它的一阶偏导数在区域c 内都是连续的，并且这个二元函数孝( x ，y ) 7 ( e 区域c 的边界三上都有孝( x ，y ) 等于零恒成立，并且还总有下列积分式 lg ( x ，y ) 孝( x ，y ) d x d y = 0 成立，则在所给的区域c 上一定有g ( x ，y ) 三0 3 3 常见的变分方法 50 7 变分方法的基本思路：( 1 ) 在空间x 上，它可以认为对泛函e 求微分，得 到e ( 2 ) 如果有x o x 在e 取得最大或最小值，也就是e ( 确) = 0 这时x o x 就 是最佳值( 3 ) 满足e ( ) = 0 点x o x 叫做临界点，能用一个微分方程描述( 4 ) 然后解这个微分方程从而便得到它的近似解 变分方法 5 0 主要有以下几种：里兹法、坎脱罗维奇法、伽辽金法 欧拉有限差分法、分区平均法等等在这里，只介绍三种重要的方法 3 3 1 里兹法 里兹法是变分方法中最重要的方法之一它的基本步骤是： ( 1 ) 先取定适当的坐标函数系 材。，“：，u n ，) ，然后对所取的坐标函数系 u 1 ：，u n ，) 作线性组合，即得到 = a l u l + a 2 u 2 + + a n u n 也就是必有某个a i 0 并且使其在定义域内都有以下不等式成立，即 i 孝一i 占 i 孝一孝。i s i 孝”一手”。i s ( 2 ) 然后，将含有k 个未知系数的试验函数色= “。+ 口f “，代入给定的泛函 彳【卅，便得到铆最】_ ，( q ，a 2 ，) 为了求得4 磊 的极大值或极小值，我们只需 令昙：o ，f - 1 ，2 ，k ，于是便得出彳 磊 _ 仇，从而我们就可得到极值函数的近似 册f 式 ( 3 ) 对其求极限便得到它的近似解 下面通过例题来进一步认识里兹法 例如：假设一质量为m 的火箭作水平飞行，其飞行距离为下列泛函 7 以v ( 研) 】_ ca v 2 + 一b m 2 ( c + 聊v 。) d m 下面用里兹法解决这个问题 解：假设其近似解为：v = a m ，其中a 是待定的常数然后对其两边求导， 从而有：，= a ，将上述两式代入前面的泛函中，通过化简和积分，便有 巾( 聊) _ e 2 万浠( c 棚 1 1 ) d m = 而c ai n a ab ( m + 等a a+，一+ d 8 然后，两边对a 求导，有 生糍( 而b - a a 2 ( - - m 2 c l nmaaa abma ab ) = _ 一l o + _ 一i ) 2 + 、 ，72 + 、7 令其等于零，于是得到口= 荨，将其代入化简后的泛函中，便有 j y 】- 赤伽( 砻+ 警 这就是问题的解析解 下面列举的另外两种重要的变分方法就不再一一用例题来说明了，仅仅给 出各自简单的步骤而加以说明 3 3 2 坎脱罗维奇法 坎脱罗维奇法它主要用于求多自变量函数的泛函的变分问题坎脱罗维奇法 是在罩茨法的基础上求变分问题的近似解，坎脱罗维奇于1 9 4 1 年提出了这种近 似变分法它的一般步骤是： ( 1 ) 先适当的选取坐标函数系缶( m ，y 2 ，见) ，受( m ，y 2 ，“) ，己( y ，y 2 ，) ， 然后对其所选的坐标函数的作线性组合，也就是v 棚= 钆( 咒) 色( m ，y 2 ，) ，其中 瓯( 咒) 表示某一个自变量的函数 ( 2 ) 然后将代入所给定泛函，转换为6 l ( 只) ，也( m ) ，6 卅( 只) ，那么这m 个函数 的泛函就变为了，而对于6 l ( ) ，如( 只) ，6 埘( 只) 的选取应必须使得泛函了达到它的 最大值，从而得到原泛函，的m 次近似解 ( 3 ) 最后令mj ，假若它的极限v ( m ，y 2 ，儿) = 仇( 乃) 磊( m ，y 2 ，儿) 存在， 那么它就是变分问题的近似解 3 3 3 欧拉有限差分法 欧拉早在1 7 6 8 年提出了用有限差分方法求变分问题的近似解，它标志着 极值问题的数值解的开端，它的基本步骤如下： ( 1 ) 首先将给定的闭区间 x o ，五】分为n 个小分段，其中每个小分段称为一 个有限单元，而每个分点我们称之为节点每个单元的长度既可以相同，也可以 不同在每个不同的单元中假定宗量y 是自变量x 的函数，那么就可写成下面的形 式 少( x ) = 王二生咒一l + 兰二三盐咒( t 一1 x ) x i x j 一1x i x i i 9 ( 2 ) 然后将上式代入泛函川y ( x ) 】，于是就可以将泛函以y ( x ) 】转换为未知量 乃y 2 ，y 川，的函数，简单的记为j t y ( x ) = q o ( y l ，y 2 ，虬一1 ) ，同时令q i ( y l ，y 2 ，儿一1 ) 在) ，( f - 1 ，2 ，胛一1 ) 处取得它的极大值或极小值，因而我们就能得到其方程组 旦：o ( f _ 1 ，2 ，甩一1 ) ，通过解这个方程组，便可确定方程组中的未知数y ， 饥 ( 3 ) 最后令，z 专并求它的极限值，我们只要对所给定的函数f 稍稍加一 定的限制，便可以得到变分问题的近似解 1 0 第四章变分迭代法简述 1 9 9 9 年何吉欢发展i n o k u t i 8 提出的广义拉氏乘子法的思想，提出了一种新 的迭代算法【1 7 2 2 卜变分迭代法 9 ，1 4 ，1 6 ，3 3 4 2 ，这种方法近来发展非常快，已经 引起了许多国内外学者的关注，如b i a z a rj ，n o o r 等人本章主要叙述变分迭代法 的基本思想和近来的发展情况并对变分迭代法的收敛性作了一定的说明 4 1变分迭代算法的基本思想 为了说明变分迭代算法的基本思想，我们考虑如下的一个微分方程 三 y o ) + y o ) 】= f ( t ) ( 4 1 ) 在这旱，三代表线性算子，代表非线性算子，f ( t ) 为已知的函数 首先，对于式( 4 1 ) 建立一个如下的校正泛函 儿+ 。( f ) = 虬( f ) + f 九 饥( t ) + n l ( ，c ) 一( t ) ) d t ( 4 2 ) 在这里，旯表示广义l a g r a n g e 乘子，可以通过变分理论得到其值；y o ( t ) 为初始 近似解，见( s ) 为限制变分，即见( s ) = 0 ，虬中的n 表示第刀次近似，也就是意味 着刀步迭代 其次，由于五可以通过变分理论得到它的值，从而我们能够得到相应的迭代 格式 最后，选取一定的初始近似值，通过一步一步的迭代就能得到它的近似解或 精确解 为了更进一步的说明它的思想，下面从不同类型的例题来加以说明 ( 1 ) 对于线性方程，往往只需一次迭代就能得到精确解如 y ( x ，o ) 耋+ 喘s i n x 蒜o ) _ 0 ( 4 3 ) i，o ) = l，只( x ，o ) = 根据变分迭代法，先建立一个如下的校正泛函 y n + lx ，f ) = 咒( 工，f ) + f 五 或。( x ，r ) 一或( x ，f ) + 此( x ，f ) ) d f 由限制变分万u n = 0 ，对上式两端同时变分便得到 b y + l ( x ，f ) = b y e ( x , ，) + 万上允 ( v ) 一( v ) + 儿( x ，r ) 渺 = 矾( x ，f ) 一五b y ( x , r ) i 吲+ 兄万( v ) i ，爿+ f ( 兄。一2 ) 6 y ( x , r ) d r = 0 从而我们就可以得到如下固定条件 f 旯。一五：0 1 一t ：，= o l 乃；，= o l 通过解这个微分方程组，便得到 旯( f ) = s i n h ( r f ) 从而就可得到以下迭代公式 + l ( z ，) = 儿( x ，) + f s i n h ( f f ) ( x ，r ) 一。( x ，f ) + ( x ，f ) ) d r ( 4 4 ) 选取如下的初始近似解 y ( x ，o ) + t y f ( x ，o ) = 1 + s i n x 由迭代式( 4 4 ) 可得 y 1 ( x ，f ) = y 。( x ，f ) + f s i n h ( 卜t ) y o 。( v ) 一。( v ) + y 。( v ) ) 如 = 1 + s i n x + f s i n h ( r 一，) s i n r + 1 + s i n r d r = s i n x + c o s h ， 于是，方程的解就是y ( x ，f ) = s i n x + c o s h t ，( 2 ) 对于非线性微分方程，我们需要把非线性项进行一定限制变分，但是必需 尽可能的减少限制变分项，因为这影响解的精确程度由于l a g r a n g e 乘子是可以 近似识别的，所以通过一定的迭代能够得到它的近似解例如 “，一“材，+ u 2 一u = 0 ( 4 5 ) 其初始条件为u ( o ，x ) = e 。令f ( t ，x ) = 一u u ，+ “2 一“ 那么它的校正泛函为 u n + l ( f ，x ) = ( ，x ) + 旯( 以( f ，x ) + 夕( r ，z ) 沙 ( 4 6 ) z t , 为限制变分，即万u 。n = 0 因而可得以下固定条件 1 2 f1 + 五( s ) i = 0 【力。( j ) = 0 把a = 一1 代入式( 4 6 ) 就能获得如下迭代公式 + 。( f ，x ) = u n ( t ，x ) 一f ( “：( ) + 厂( 硝) 胁 也就是u n + 1 ( t ，x ) = ( f ，x ) 一f ( “：p ，x ) 一“( f ，x ) 虬( r ，x ) + “2 ( r ，x ) 一“( r ，x ) 矽_ 如果选择初始近似值为u o ( f ，x ) = u ( o ，x ) = p 。，则通过迭代可得 毗加( 1 卅岳矽 甜。o ，x ) = ( 1 + f + 丢+ 刍f 3 ) p 。 。 “。o ，z ，= c t + ，+ 翕+ 刍，3 + + 去，”，p 。 故在n o o 时收敛到u ( t ，x ) = “，这就是其精确解 f 咒一y 。一2 y y x + ( 弘) 。= 0 z f 一一2 z z + ( 弘) ，= 0 i y ( z ，o ) = s i n x ，z ( x ，0 ) = s i n x + 。( x ，f ) = 虬( z ，f ) + f ( m ) 。一站一2 蚝见+ ( 此乞) ，) 乙+ 。( x ，f ) = 乙( z ，f ) + f 五 ( 五) 。一一2 乙磊+ ( n 乞) ， 在这里，五和乃表示l a g r a n g e 乘子，砧见毛和表示限制变分 b y + 。( x ，f ) = 万儿o ，) + 万f ( m ) 。一站一2 y l + ( 乞) ，) 8 z + 。( x ，f ) = 万乞( x ，f ) + 万f 如 ( 乙) 。一一2 乙乞+ ( 以乞) ，) f 1 + ( s ) i ，可= o 【a ( s ) = 0 f 1 + 五( s ) i ，互，= o 【乃( s ) = 0 分别解这个微分方程组，于是就得到： a = 如= 一1 因而就分别得到它们的迭代式为 + l ( x ，r ) = 儿( x ，r ) 一f ( 只) 。一一2 y y ，+ ( 儿乙) ，矽r 乙+ l ( x ，f ) = 乙( x ，f ) 一f ( z t ) 。一z 脒一2 z n z n x + ( 儿乙) ，矽f 选取他们的初始近似值分别为：y o ( x ，) = s i n x , z o ( x ，r ) = s i n x ，从而得到 乃( x ，f ) = s i n x - t s i n x 刁 ，r ) = s i n x t s i n x y 2 ( 圳= s i n x f s i n x + 石t 2s i n x 乞( 堋= s i n x 一，s i n x + 而t 2s i n z 咖，= s i n x - t s i n x + 翕s i n x - 知x 咖，= s i n x - t s i n x + 丢s i n x - 扣x 分别对其求极限，可得到它们的解分别为 y ( x ，f ) = e x p ( - t ) s i nx z ( x ，f ) = e x p ( - t ) s i n x 4 2 变分迭代算法已有的成果 ( 1 ) 何吉欢对于不同阶数的微分方程，运用变分迭代算法可以得到不同的 解的迭代公式，并且对其做了一些总结，如下； y + g ( y ，y ) = 0 1 以卅。) ：见( f ) 一f 少：( t ) + g ( 以，以) ) d t 4 7 ly + a y + g ( y ，y 。) = 0 t 儿+ 心) ：儿( f ) 一r p m 叫 以( ，c ) + 吼( t ) + g ( 儿，以) ) 砒 似8 1 4 1 虬+ 1 ( f ) = 儿( f ) + f ( 一c f ) 以( t ) + g ( n ，以，威) 幽 f y 。+ 2 y + g ( y ，y ，y 。) = 0 1 儿+ 心) = ( f ) + 去f s i n ( 一c f ) 以+ 0 2 y n + g ( 虬，以，y ：) ) d ，c f y 。一口2 y g ( y ，y ，y 。) = 0 k = 小) + f 去卜一训) 威( r ) - c t 2 y ( r ) - g ( y , 以渺 f y - _ g ( y ，y ，y 。，y 。) = 0 t 此+ 心) = ( f ) 一f 圭( - r f ) 2 盛( r ) 一g ( 儿，以，以，以) ) d r f y ( 4 、一g ( y ，y ，y ”，y 。，y ( 4 ) = 0 k = 小) + f 吉( 川) 3 - g ( 虬以以以怕) 如 f 少m 一g ( y ，y ，y 。，y m ) = 0 b 刊卅( - 1 ) ”f 丽1 ( r - - t ) c m - ) y m b h ( 瓣小艄渺 分别将上述各式中的某些部分简记为： ( f ) = 一f g ( n ，以) d ，c ( f ) = 一f e a ( 州) g ( 儿，以) d t ( f ) = r ( z - t ) g ( y ，以，以) 如 ( f ) = 去f s i n ( 百一f ) g ( 以，以，以) 机 心( f ) = 一f 去( g a ( h ) 一p a ( f - t 培( 虬，以，盛) d c ( f ) = f 昙( t f ) 2 9 ( y n ，y l ，t ，贰) d c ( f ) = 一r 吉( ，c f ) 3 9 ( 儿，以，以，一，) 幽 ( f ) = ( 一1 ) 斛1f 石 两( ，c f ) ( m - 1 ) g ( y n ，以，威，) 咖 ( 4 9 ) ( 4 10 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 13 ) ( 4 1 4 ) ( 4 15 ) ( 4 1 6 ) ( 4 17 ) ( 4 1 8 ) ( 4 19 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 分别对上面各式中的t 求导，便能够得到下面各式 以( f ) + g ( ，或) = 0 以( f ) + 仅( f ) + g ( 儿，以) = 0 以( f ) + g ( 儿，成，以) = 0 以( f ) + 2 ( f ) + g ( 蚝，以，威) = 0 w ：( t ) - a 2 ( f ) 一g ( 儿，以，以) = 0 以( f ) g ( ，以，以，盛) = 0 以4 ( f ) 一g ( 儿，以，威，威，鳄) = 0 彬( f ) 一g ( 儿，以，以，) = 0 从向，式( 4 7 ) - - ( 4 1 4 ) 司以改写成f = 面更为简单的形式 ”g ( y ，y 。) = 0 l 儿+ 。( f ) = y o ( t ) 一f g ( 儿，丸) d t f y + a y + g ( y ，y ) = 0 i 以+ 。( f ) = y o ( f ) 一c p m f ) g ( 以，以) 幽 f y 。+ g ( y ，y ，y ) = 0 l 咒+ ，( f ) = y o ( t ) + c ( 下一f ) g ( ，以，以) 砒 f y + 0 2 y + g ( y ，少。，y 。) = o 1 以+ 。( f ) = y o ( f ) + 去f s i n ( t f ) g ( 儿，丸，以) d ，c l 州 f y 。一0 【2 y g ( y ，y ，少。) = o 气 一 1 i 以+ - ( f ) 2y o ( f ) 一f 去。州州一p 州卜培( 儿，或，以) 咖l u z 0 c f y 。g ( y ，y 。，y 。，少。) = o t 儿+ ，( f ) = y o ( f ) + f 三( t f ) 2 9 ( ，以，以，e ) 幽 眇一g ( y ，y ，y 。，y 。，y ) = o 1 儿+ 。( f ) = y o ( f ) 一f 吉( 百一f ) 3 9 ( 蚝，以，以，威，蟛) 出 f 少m 一g ( y ，y ，y 。，y ( 埘) = 0 h = 肿) _ ( - 矿f 而1 ( h 户叫毗以办一) 砒 ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) ( 4 3 0 ) ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) ( 4 3 4 ) ( 4 3 5 ) ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) ( 4 3 8 ) ( 2 ) n o o r 的修正的变分迭代法 修正的变分迭代法利用了何吉欢的同伦摄动法和变分迭代法而得到的 一种方法，它对于解决带有初边值条件的问题的是非常有效的方法 它的基本算法为：对于给定的非线性微分方程： 三 “o ) 】+ “o ) 】= g ( f ) 其中，为线性算子，为非线性算子，g ( t ) 是已知的连续函数那么修正 变分迭代格式为： 艺p k ：( f ) + p f 兄( s ) f 三p l u ( s ) + 妻p n k ( s ) k f 兄( s ) g ( s ) d s 其中，p 为小参数，旯是广义拉氏乘子，是解决问题的关键，可通过变分加 以识别 例如：解下列具有初边值的热传导方程 “，= z x 2 d x x o _ x - 0 u ( o ，f ) = 0 ，u ( 1 ，t ) = u ( x ，0 ) = x 2 我们构造一个