（车辆工程专业论文）汽车a级曲面质量评价规范研究及其应用.pdf

、 ， 产 p o t h es t u d ya n da p p l i c a t i o no fe v a l u a t i n gs y s t e m f o ra u t o m o b i l ea c l a s ss u r f a c e z h a n g h o n g r n i n b e ( h u n a nu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ) 2 0 0 0 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a u t o m o t i v ee n g i n e e r i n g i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rc h e n ga i g u o m a y , 2 0 1 0 肌12 唧0m 8忡0 引肌胛y 丁程硕士学位论文 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律后果由本人承担。 作者签名： 也己埘 e t 期：沙幻年2 - 月厂e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密司。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：) 以坛爿 日期：功易年三月厂e t 2 戚爻酣枷朋 j i 工程硕士学位论文 摘要 汽车a 级曲面是艺术与工程相互融合的产物，既是汽车造型设计艺术的表达， 又是汽车工程开发的载体，汽车a 级曲面的开发是汽车整车开发过程中极为重要 的工作。以往的汽车a 级曲面评价研究往往仅从曲线曲面光顺性本身入手，忽视 了汽车曲面作为艺术与工程之间纽带的作用。对曲面品质进行评价是一个系统性 的问题，在评价曲面时要同时兼顾艺术性与工程性，使汽车造型方案的数字表达 既符合艺术设计意图，又符合工程实践的要求。 首先，本文从研究当前汽车a 级曲面评价规范现状入手，对比分析了常见曲 面评价方法，论述了本文研究的主要内容，为进一步研究构建了框架，并介绍了 本文用到的i c e ms u r f a c e 及a u t o d e s ks h o w c a s e 两个软件工具。 其次，本文研究了进行a 级曲面评价必须用到的基本曲线曲面理论，对比了 常用曲线曲面类型，研究了曲线曲面的连续性，为建立a 级曲面评价规范进行了 理论上的铺垫。 再次，本文从造型艺术与工程实践互相矛盾与妥协的角度，全方位、多层次 的对a 级曲面评价规范做了论述和制定，从造型意图、曲面形式、光顺性、完整 性、接口美观、工程可行性、下游使用、验证模型8 个方面，全面系统阐述了汽 车a 级曲面应该具备的条件，建立了科学系统评估汽车a 级曲面的一套评价规范。 最后，本文以某车型开发为例，依照a 级曲面评价规范，对新车外部和内部 造型曲面进行了全面评估，发现并找出了影响汽车艺术性和工程性的错误曲面设 计，对新车型开发下一步工作提出了建议，对a 级曲面质量评价规范体系进行了 实践验证。 关键词：a 级曲面；汽车造型；曲面光顺；评价体系；虚拟评审 i i 工程硕：j 二学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 目录i v 插图索引v i i 第1 章绪论1 1 1 课题的背景和意义1 1 2 汽车造型a 级曲面评价规范研究现状1 1 3 本论文研究的主要内容和结构框架。2 1 4 论文中用到的软件介绍3 1 5 本章小结4 第2 章a 级曲面质量评价的理论基础5 2 1 曲线基本理论5 2 1 1 曲线的参数表示5 2 1 2 曲线的切矢5 2 1 3 曲线论的基本公式6 2 1 4 曲线的曲率7 2 2 曲面的基本理论8 2 2 1 曲面的参数表示8 2 2 2 曲面的参数曲线9 2 2 3 参数曲线的切矢9 2 2 4 曲面上任意曲线的切矢和曲面的法矢1 0 2 2 4 1 曲面上的曲线。1 0 2 2 4 2 曲面上曲线的切矢1 0 2 2 4 3 曲面的法矢1 0 2 2 4 4 曲面的法矢、切平面和法线的计算1 1 2 2 4 5 曲面论的基本公式1 2 2 2 4 6 曲面的法曲率一1 2 2 2 4 7 曲面的主曲率、主方向和曲率线1 2 2 2 4 8 曲面的高斯曲率和平均曲率1 3 2 - 3 贝塞尔曲线和贝塞尔曲面1 3 i v 一一一_ _ 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 2 3 1 贝塞尔曲线的定义1 4 2 3 2 贝塞尔曲面1 5 2 4b 样条曲线和曲面1 7 2 4 1b 样条曲线1 7 2 4 2b 样条曲面一18 2 5n u r b s 曲线和曲面1 9 2 5 1n u r b s 曲线方程的两种等价表示1 9 2 5 2n u r b s 曲线方程的升阶与降阶1 9 2 6 曲线和曲面的连续性2 l 2 6 1 参数连续和几何连续性2 1 2 7 本章小结2 2 第3 章汽车a 级曲面质量评价规范研究2 3 3 1 符合造型意图的评价规范2 3 3 1 1 环境评估2 4 3 1 2 特征评估2 5 3 1 3 精确性2 5 3 2 符合曲面形式的评价规范2 6 3 2 1 曲面类型的要求j 2 7 3 2 2 曲面的参数要求2 7 3 2 4 控制点分布。2 9 3 3 符合光顺性的评价规范2 9 3 3 1 对称性要求3 0 3 3 2 高光要求3 0 3 3 3 反射线要求31 3 3 4 特征线光顺性3 2 3 3 5 边界线光顺性3 2 3 3 6 协调性光顺要求3 2 3 3 7 截面线要求3 3 3 3 8 曲率半径要求3 3 3 3 9 曲率梳要求3 5 3 4 符合完整性的评价规范3 7 3 4 1 拓扑关系3 8 3 4 2 圆角处理3 9 3 4 3 曲面法向一致一4 0 3 4 4 符合相关数据结构要求4 0 v 工程硕：1 ：学位论文 3 5 符合接口美观的评价规范4 1 3 5 1 外露内部结构4 1 3 5 2 外露孔洞4 1 3 5 3d t s 4 1 3 6 符合工程可行性的评价规范4 2 3 6 1 冲压工艺要求4 2 3 6 2 注塑工艺要求4 3 3 6 3 分型线要求4 3 3 6 4 曲面平整度要求一4 4 3 6 5 安全性要求4 4 3 7 符合下游使用的评价规范4 5 3 7 1 曲面扩展延伸一：o 0 4 5 3 7 2 可实体化。4 5 3 8 符合验证模型检验的评价规范4 6 3 9 本章小结4 6 第4 章汽车a 级曲面质量评价规范的应用4 7 4 1 汽车a 级曲面评价规范在外造型a 级曲面评审中的应用4 7 4 1 1 造型意图评价一4 7 4 1 2 曲面形式评价4 8 4 1 3 光顺性评价4 9 4 1 4 完整性评价5 3 4 1 5 接口美观评价5 5 4 1 6 工程要求评价5 6 4 1 7 下游使用评价5 8 4 2 汽车a 级曲面评价规范在内造型a 级曲面评审中的应用5 9 4 2 1 造型意图评价5 9 4 2 2 曲面形式评价6 0 4 2 3 光顺性评价6 0 4 2 4 完整性评价6 2 4 2 5 接口美观性评价6 3 4 3 本章小结6 4 结论6 5 参考文献6 6 致谢6 8 v i 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 插图索引 图2 1 曲线上一点p ( u ) 的切矢p ( “) 以二阶导矢p 【圳6 图2 2f r e n e t s e r r e t 公式的几何意义7 图2 3 曲线的切矢8 图2 4 曲面上的曲线及其切矢和曲面上的法矢1 1 图2 5 曲面论配图1 2 图2 6 三次贝塞尔曲线1 4 图2 7 贝塞尔曲线对称性1 5 图2 8 贝塞尔曲线凸包性1 5 图3 1 造型设计意图的实现2 4 图3 2 外部造型虚拟现实评估2 4 图3 3 前大灯实时光线追踪虚拟现实效果2 5 图3 4 实体模型与数字模型的对比2 5 图3 5 曲面制作的偏差导致造型特征偏离设计意图2 5 图3 6 逆向建模偏差检测2 6 图3 7a 级曲面流向。2 7 图3 8 曲面类型对比2 7 图3 9 简单的曲面形态2 8 图3 1 0 曲面形态2 9 图3 1 l 控制点分布的优劣对比2 9 图3 1 2 对称面的光顺性3 0 图3 1 3 非对称面与对称面的断面曲率疏对比3 0 图3 1 4 高光意图31 图3 15x y z 三个方向的高光评价31 图3 16 局部高光表现31 图3 1 7 反射线图例3 2 图3 1 8 特征线的光顺性3 2 图3 19 边界线光顺性3 2 图3 2 0 协调性光顺要求图例3 3 图3 2 1 协调性的细节补偿3 3 图3 2 2 截面线3 3 图3 2 3 圆角曲率半径分布图3 4 v i i ， 工程硕二 二学位论文 图3 2 4 某车型发动机罩高斯曲率半径分布图3 4 图3 2 5 最大曲率半径分布图3 5 图3 2 6 最小曲率半径分布图3 5 图3 2 7 曲面u 方向曲率半径分布图3 5 图3 2 8 曲线连续性与曲率梳分布3 6 图3 2 9 某车型侧围两个大面的v 向截面曲率梳3 6 图3 3 0 某车型两过渡曲面的v 向截面曲率梳3 7 图3 3 1 某车型发动机罩曲面x 向截面曲率梳分析3 7 图3 3 2 某车型发动机罩曲面x 向截面曲率梳分析3 7 图3 3 3 某车型顶盖角部垂直于一条曲线的截面曲率梳分析3 7 图3 3 4 面片完整性检查3 8 图3 3 5 连续性检查。3 8 图3 3 6 曲面分块3 9 图3 3 7 圆角处理3 9 图3 3 8 曲面加工圆角大小4 0 图3 3 9 曲面法向检查4 0 图3 4 0 数据结构检查4 l 图3 4 1 外露内部结构4 1 图3 4 2 外露孔洞4 1 图3 4 3d t s 文件要求4 2 图3 4 4 间隙与段差要求4 2 图3 4 5 间隙与段差检查4 2 图3 4 6 冲压工艺要求一4 3 图3 4 7 注塑工艺要求4 3 图3 4 8 分型线要求4 4 图3 4 9 曲面平整度4 4 图3 5 0 安全性检查4 5 图3 5 1 曲面扩展延伸4 5 图3 5 2 曲面实体化4 6 图3 5 3 验证模型4 6 图4 1 虚拟评估前4 5 。视图。4 7 图4 3 虚拟评估后4 5 。视图。4 8 图4 4 曲面类型检查4 8 图4 5 曲面参数检查4 8 图4 6 曲面形态检查4 9 v i i i 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 图4 7 曲面控制点检查4 9 图4 8 对称性检查4 9 图4 9 高光检查( z 向侧视) 5 0 图4 1 0 高光检查( z 向前视) 5 0 图4 1 1 高光检查( y 向侧视) 5 0 图4 1 2 高光检查( x 向侧视) 5 l 图4 13 反射线检查5l 图4 1 4 整体高斯曲率分布检查5 1 图4 1 5 翼子板区域高斯曲率分布图5 2 图4 1 6 前保险杠角部高斯曲率分布图5 2 图4 1 7 后轮罩部位高斯曲率分布图5 2 图4 1 8 整车曲率梳检查5 2 图4 1 9 翼子板处曲率梳5 3 图4 2 0 前保处曲率梳5 3 图4 2 1 后轮罩处曲率梳5 3 图4 2 2 拓扑关系检查5 3 图4 2 3g o 连续性检查5 4 图4 2 4g 1 连续性检查5 4 图4 2 5g 2 连续性检查5 4 图4 2 6 面片间搭接关系检查5 4 图4 2 7 圆角检查5 5 图4 2 8 曲面法向一致性检查5 5 图4 2 9 数据结构检查5 5 图4 3 0 前大灯与翼子板角部g a p 检查5 6 图4 3 1 翼子板与发动机罩f l u s h 检查一5 6 图4 3 2 翼子板与a 柱f l u s h 检查5 6 图4 3 3 外后视镜拔模分析5 7 图4 3 4 后保险杠拔模分析5 7 图4 3 5 翼子板平整度检查5 7 图4 3 7 前部安全性检查5 8 图4 3 8 后部安全性检查5 8 图4 3 9 可实体化检查5 9 图4 4 0 右前门虚拟环境评价一5 9 图4 4 1 前门造型曲面类型参数检查6 0 图4 4 2 前门造型曲面控制点检查6 0 i x 工程硕士学位论文 图4 4 3 前门高光检查6 1 图4 4 4 前门特征线与边界线检查6 1 图4 4 5 前门协调性检查6 1 图4 4 6 右前门内饰曲率半径检查6 2 图4 4 7 右前门内饰曲率梳检查6 2 图4 4 8 右前门内饰曲面连续性检查6 2 图4 4 9 右前门内饰曲面搭接关系检查6 3 图4 5 0 右前门内饰曲面数据结构检查6 3 图4 5 1 右前门内饰曲面接口检查6 3 图4 5 2 右前门内饰g a p 检查6 4 图4 5 3 右前门内饰f l u s h 检查6 4 x 工程硕七学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的背景和意义 我国汽车工业飞速发展，中国汽车市场已经成为全球最大的汽车市场，国内 外汽车厂商在我国推出的车型越来越多，同级别车型竞争越来越激烈，汽车内外 造型质量在消费者选择车型所考虑因素中所占比重越来越高，我国自主汽车厂商 要想与国外巨头竞争，提高汽车造型质量是至关重要的一环。 汽车车身造型是汽车开发流程中至关重要的一个环节，汽车a 级曲面作为所有 造型工作的最终输出，不单承载了造型设计师在汽车造型开发的创作思想、设计 意图，也是后续所有工程工作的设计输入和约束条件，其质量高低，直接关系到 能否正确表达造型设计师设计意图，能否全面满足工程开发需要，直接关系到车 型成败。 现代汽车普遍采用计算机技术进行设计分析，汽车a 级曲面的开发和评价也是 如此，现代计算软硬件技术的飞速发展为全面采用虚拟技术评审汽车造型曲面提 供了条件。采用虚拟评审技术对汽车a 级曲面进行评价，更加科学准确，更加经济， 提高了评审速度，加快了开发流程，缩短了开发周期。 我国汽车工业起步较晚，尚未形成一套自己的设计开发体系，a 级曲面评价规 范作为整车开发体系规范的一部分，对我国自主厂商开发出高质量的汽车必不可 少。以往对汽车a 级曲面评价的研究，以对曲线曲面本身的数学表达研究居多，或 仅考虑曲线曲面本身的光顺性，对汽车a 级曲面具有艺术性和工程性双重特性关注 太少，对汽车造型a 级曲面开发与检验指导作用有限。 综上所述，研究并制定科学完善的汽车a 级曲面评价规范势在必行。 1 2 汽车造型a 级曲面评价规范研究现状 国际上对曲面评价的研究大约始于6 0 年代初期，最小二乘法是当时最有影响 的一种方法。该方法中三次样条函数取截断幂级数表示，在采用样条的剪力跃度 平方和作为目标函数的基础上，根据具体问题的要求，按经验人为地绘定两组权 因子，其中一组为偏离权，另一组为光顺权。极小化目标函数得到光顺结果，使 得偏离和光顺，即型值点的偏差和代表样条在型值点处回弹力的剪力跃度两方面 得到兼顾。 1 9 6 9 年，h o s a k a 在能量极值原理的基础上给出了一种包括光顺空间曲线和大 挠度曲线在内的光顺方法。其基本思想同最小二乘法一样，是偏离和光顺两部分 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 的加权平均，不同之处在于采用累加弦长三次参数样条作为拟合曲线，且目标函 数中的剪力跃度改成样条的能量积分。 1 9 8 3 年，k j e ll a n d e r 提出一种参数三次样条曲线和双参数样条曲面的局部光 顺方法。该方法利用与坏型值点相邻的两个型值点和这两点处的切矢信息，在允 许误差范围内将坏点移动到较好的位置以得到光顺的曲线。该方法是局部修改型 值点，故只对坏点进行处理，而不需改变全部型值点，但它不能从理论上证明修 改后的曲线比原曲线光顺。 1 9 8 7 年，法林( f a r i n ) 等提出了一种通过“节点消去与插入 对b 样条曲线进 行光顺的方法。该方法是局部选点修改法，依据所给定的光顺准则，找到曲线上 需要修改的点所对应的节点，利用b 样条曲线的节点消去算法消去该节点，以使曲 线在该节点对应的点处的光顺性得到提高，此后，为了保持曲线的节点结构不变， 再重新插入被消去的节点。 国内学者在光顺处理方面也作了一些有益的探索。 1 9 7 4 年，山东大学和沪东造船厂协作，在船体数学放样的实践中，提出了圆 率法。该方法是局部选点修改法，直接从离散型值点分布的几何位置出发判断型 值点列的光顺性，进而找出坏点予以光顺修改，故偏差不会像整体光顺法那样大。 同年，苏步青和忻元龙提出了基样条法。该方法首先构造插值三次样条函数， 然后找出使曲线二阶导数符号序列连续变号的点进行初光顺，以消除多余拐点， 再找出使二阶导数插分符号序列连续变号的点进行精光顺，光顺过程采用剪力跃 度平方和作为目标函数。 1 9 7 5 年，齐东旭等提出了一种强调保凸性质的数值拟合方法，称为磨光法。 该方法首先利用构造的磨光函数对原曲线进行磨光，同时强调保凸，若这样处理 的偏离太大，则再采用一种叫做“掇亏修正”的方法进行补救。一般来说，经过 修正以后的磨光函数将更接近于原型值点，使得偏离变小。 1 9 7 8 年，董光昌提出了回弹法。该方法通过新老两组型值点交替的固定和回 弹，使样条的能量逐次减少，曲线也就趋向光顺。可以看作是一种迭代逼近的能 量法，它把平直段的坏点挑出来加以局部处理，保证了曲线的弯曲方向。 近年来，还出现了基于可变形模型进行曲线曲面光顺、基于小波分析进行曲 线曲面光顺等新的光顺思想和方法。 1 3 本论文研究的主要内容和结构框架 本论文研究的主要内容包括以下几个方面： ( 1 ) 分析曲线曲面理论，为研究曲面质量评价规范奠定理论基础； ( 2 ) 合考虑汽车曲面的艺术性和工程性，系统提出汽车曲面质量评价规范： 2 _ t 程硕士学位论文 ( 3 ) 结合实际工程项目，对汽车曲面质量评价规范进行实践检验和论证。 1 4 论文中用到的软件介绍 i c e ms u r f a c e 是一个高级自由曲面的构造和评价工具，它的最主要特点是直 接构造曲面( 无须先构造曲线) 和曲面质量的动态评价( 曲面调整中的曲面诊断 结果动态更新) ，汽车、摩托车外覆盖件，内饰件等自由曲面用它来构造是游刃有 余。但最好有比较完整的测量数据，当然i c e ms u r f 也可以直接用于构造曲面的 设计。 i c e ms u r f 还能把点云数据自动转换成三角形面片模型，可以用它来求任意 截面线、边界线和特征线，也可以用它来做快速成型或n c 加工编程。但这个面并 不是一个传统意义上的曲面模型。 i c e ms u r f 的柔性产生了当今设计环境所需的高质量曲面，并大大缩短了整 体设计时间。产品开发小组使用i c e ms u r f ，可以把传统工艺过程远远抛在身后。 i c e ms u r f 集成解决方案，能让用户实施一种被称为虚拟建模技术的全新、高效 产品开发方法。设计人员和工程师可以在屏幕上，动态进行设计工作，并可立即 看到他们构想的美学形象和工程效果。还具有一个特殊功能，那就是无须对所输 入的数字化物理模型进行上色处理。曲面模型可以在极短的时间内，根据其他系 统的要求，进行有序或无序( 点云) 数字化数据反向处理。专用的诊断工具指导 用户达到表面平滑度和对数字化数据依附性的合理平衡。i c e ms u r f 支持直接建 模技术，它对设计和工程的更新周期进行优化。在创建原始形状后，用户可以通 过直接建模、操纵曲面甚至直接处理扫描数据( 点云) ，来集中精力完善形状。由 于扫描数据或曲面可以被直接处理，所有特征都得到动态更新。使用i c e ms u r f ， 用户可以获得所见即所得的效果。 通过使用i c e ms u r f 全局建模特征，整个模型细节能够以全交互和动态方式 进行修改为美学工程师提供了一个推出设计解决方案的交互式工具。通过特征建 模技术，可以不费吹灰之力，就把设计从结构化曲面调整到要改进的美学表面。 而且，利用同步进行的实时分析，能让用户在处理曲面时，从参考平面，动态观 察监视反射线、曲率或偏差。采用这些方法，结果是得到了前所未有的高质量曲 面，这样，设计人员就能在其它系统所需的- 4 , 部分时间内，致力于可以生产的 曲面。 基于这些技术的i c e ms u r f ，是汽车、产品设计、工具和模具工业的首选工 具，用于复杂曲面建模和分析。并且，通过一组完善、直观及标准的c a d 接口，i c e m s u r f 可以很方便地与任何c a d 系统集成。使用i c e ms u r f ，产品造型不再受工程 的制约。 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 s h o w c a s e 是a u t o d e s k 公司推出数字样机软件，可以快速、轻松、经济地制 定设计决策。借助该软件，可利用三维c a d 数据创建逼真、精确、动人的图像， 快速对多种设计方案进行评估。其特点如下： 更快地做出更明智的决策，作为a u t o d e s k 数字样机解决方案的组成部分， a u t o d e s ks h o w c a s e 可以帮助表现概念设计的外型和品牌特色。可以使用s h o w c a s e 演示多个设计方案在本地或通过远程会议，以便团队成员和客户制定决策。 照片级真实感的图像有利于评审人员浏览实际环境下的设计方案，更迅速地批准 设计，也便于实现经济高效的评审流程。 可以让数字样机变得更加强大，s h o w c a s e 能够快速、清晰地交流创意，显著 减少昂贵、耗时的数字样机和质量低下的数字样机。它支持为数字样机创建出色 的三维可视化效果图，并将其放在真实的环境中。可以利用数字样机来反映不同 的材质和几何图形，只需轻点鼠标便可在不同方案之间进行切换。借助s h o w c a s e ， 可以生成照片级真实感的图片，精确表现真实的材质、照明和环境。这一切在转 瞬间即可完成。 可视化功能更易于使用，无需成为可视化专家便可创作专业质量，令人惊叹 的设计演示文稿。s h o w c a s e 提供了可视化专家需要的先进功能，同时也便于刚接 触可视化软件的新手使用。凭借简单的用户界面，完备的应用编程接口( a p i ) 和 脚本语言，s h o w c a s e 可以适应不同水平的用户并满足其需求。在同一应用软件中， 可以利用三维c a d 数据准备、处理和演示高质量的逼真图像。此外，由于能够在 进行设计模型变更的同时准备用于设计评审的图像，因此设计和可视化工作可以 同步展开，节约大量时间。a u t o d e s ks h o w c a s e 产品系列可以简化精确、逼真图 像的创建流程，帮助用户利用数字样机制定明智的决策。 1 5 本章小结 本章简要地介绍了汽车a 级曲面质量评价规范研究的背景和意义，概述了目 前对汽车a 级曲面质量评价的研究现状，然后对本课题研究的主要内容和框架做 了简要介绍，最后对本论文采用的软件进行了简要介绍。 4 第2 章a 级曲面质量评价的理论基础 2 1 曲线基本理论 2 1 1 曲线的参数表示 在解析几何中，空间曲线上一点p 的每个坐标被表示成某个参数u 的函数， 即：x = x ( u ) ，y = y ( u ) ，z = z ( u ) 。把三个方程合写在一起三个坐标分量就组成了 曲线上该点的位置矢量，曲线被表示为参数u 的矢函数。 p ( 甜) = x ，y ，z 】= x ( “) ，j ，( “) ，z ( ”) 】 它的每个坐标分量都是以参数u 为变量的标量函数。这种矢量表示等价于笛卡 尔分量表示。 p ( “) = x ( u ) i + y ( u ) j + z ( u ) k 其中f ，j ，k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴正向的三个单位矢量。常把上述方程简 记为：p = p ( u ) 这不仅仅是一种简洁的记法，更重要的是将曲线上表示一个点位置矢量的各 个分量合写一起当成一个整体。我们所要考察的正是这个整体而不是组成这个整 体的各个分量，考察曲线上点之间的相对位置关系而不是他们与所取坐标之间的 关系。 按照这种原理，可把曲面表示为双参数u 和w 的矢函数。与非参数形式相比， 它能较好地满足形状数学描述的要求其优点是： 1 满足几何不变性的要求 2 易于规定曲线、曲面的范围 3 易于表示空间曲线 4 易于计算曲线、曲面上的点及其它信息 5 易于处理多值问题 6 提供了对曲线、曲面形状控制的较多自由度 7 为向高维问题推广提供了可能性 2 1 2 曲线的切矢 由于曲线上的点是参数u 的矢函数，就可以将曲线对参数求导。曲线对参数 u 求导就等于各个分量分别对参数u 求导。即对于曲线 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 p ( “) = x ( “) 少( “) z ( “) 】 舯纠警警警i 曲线在u = u 。处的一阶导矢为： 孤= 溉逝掣 矢量p ( u 0 + u ) 一p ( u 。) 表示曲线上从点p ( u 。) 到p ( u 。+ au ) 的一个矢量，除以 u ，方向不变。当u 一0 时，则p ( u 。+ au ) 一p ( u 。) ，p ( u 。+ au ) 一p ( u 。) 就 表示曲线在p ( l i 。) 点处切线方向的一个矢量。一阶导矢p ( u 。) 被称为曲线在u = u o 处 的切矢。类似的可以给出曲线在u = u o 处的高阶导矢。不同于作为绝对矢量的位置 矢量。切矢以及各阶导矢都是相对矢量，可在空间任意平移。图2 1 表明该切矢 为曲线在p ( u 。) 点处的切矢，我们把它看作附着于p ( u 。) 点的一个矢量，使其 矢量起点始于p ( u 。) 。 图2 1 曲线上一点p ( u ) 的切矢p ( 甜) 以二阶导矢p ( “) 曲线采用参数表示后，就有了方向。曲线的方向对应于曲线上参数增加的方 向。曲线在一点的方向即曲线在该点的切线方向，也就是曲线在该点的切矢方向。 如果p ( u 。) = 0 ，则曲线在p ( u 。) 点处的切线方向就不能由该点处的一阶导矢确 定。这时，可由曲线在该点处的最低阶非零矢量的方向决定。 曲线上任一点关于参数u 的一阶导矢为零时，被说成是切矢消失，这样的点 称为奇点。曲线上切矢为非零矢量的点称为正则点。对给定曲线进行参数化时， 若在参数域内处处一阶导矢为非零矢量，则称该参数化为正则的，所定义的曲线 称正则曲线。 2 1 3曲线论的基本公式 过曲线上一点处切矢的平面都是曲线在该点的切平面。其中有一个平面与 曲线最为贴近，称为密切面。它由该点处相互不平行的一、二阶导矢决定，其单 位法矢为 6 工程硕士学位论文 6 。雨 船= b t = f n ip p i ， p p i 称为主法矢。 将曲线在一点处的三个单位矢量t ，1 2 ，b 用来作为坐标轴方向的基矢量，则 在该点处构成一个局部坐标系。当参数u 连续变化时，该坐标系就连续发生平移 和旋转，成为曲线上的一个活动坐标系，称为弗朗内特( f r e n e t ) 活动标架。有了 活动标架，则曲线在任一点处邻近的性态就可在该点处的活动标架内考察。该点 处的任一个矢量就可表示成活动标架上三个矢量的线性组合。把三个基矢量t ，1 9 ， b 分别再对弧长s 求导，就得到曲线论的基本公式( 即f r e n e t - - s e r r e t 公式) 。 = 雌； ； 其中k 为曲率，r 为挠率。f r e n e t - 一s e r r e t 的几何意义见图 i 一张 2 1 4 曲线的曲率 图2 2f r e n e t - - s e r r e t 公式的几何意义 7 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 在微积分中，平面曲线在一点处的曲率定义为切线方向对于弧长的导数掣， 础 这里我们先看看在弗朗内特活动标架中的曲率k 的几何意义。设ao 为切矢t ( s ) 和t ( s + as ) 间的夹角，如图所示。其曲率为： 吲= 阱溉阱邮l i ma 酬t i z 厶x e l 故p 七：l i m 幽：塑 血_ o l j d s 拈骨 2 2 曲面的基本理论 2 2 1 曲面的参数表示 一般的曲面可以表示为： z = f ( x ，y ) 1 戥 r ( x ，y ，z ) = 0 但是在c a g d 和c a d c a m 中，一般的曲面方程的次数往往很高，通常是三阶 8 工程硕士学位论文 或三阶以上，用参数表示更具有优越性。曲面的参数方程含有两个参数u 和w ， 其表达式为： x = x ( u ，w ) y = y ( u ，w ) z = z ( u ，w ) 参数u 和w 的变化区间常取为单位正方形，即u ，w 0 ，1 ，曲面的矢量方程是 以x ，y ，z 为坐标的双参数矢函数： ，= r ( u ，w ) = ( x ( “，w ) ，y ( u ，w ) ，z ( u ，w ) ) 式中三个分量x ，y ，z 都是参数u 和w 的二元可微函数。当( u ，w ) 在单位正方形 u ，w 0 ，1 中连续变化时，与其对应的点( x ，y ，z ) 就形成一张曲面。正常情况 下，参数内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系。 2 2 2 曲面的参数曲线 设曲面的矢量方程为： ，= r ( u ，w ) = ( x ( ”，w ) ，y ( u ，w ) z ( u ，w ) ，”，w 旧，l b 当u = u o 时，代人上式得到 ，= r ( u o ，w ) = ( x ( “o ，w ) ，y ( u o ，w ) z ( u o ，w ) ) 这是单参数w 的矢函数，表示曲面上一条沿w 参数方向的空间曲线，称为w 向线 或者w 一曲线，类似地，可定义u 向线，即： ，= r ( u ，w o ) = ( x ( “，w o ) ，y ( u ，w o ) z ( u ，w o ) ) w 向线和u 向线统称为曲面的参数曲线，亦称等参数线。w 向和u 向两组参 数曲线构成了整张曲面。u = o 或者u = l 的参数曲线，f = f ( 0 ，w ) 和r = r ( 1 ，w ) 以及 w = o 和w ：l 的参数曲线r = r ( u ，o ) 和r = r ( u ，1 ) 统称为边界曲线。相邻边界曲线 间的交点r ( o ，0 ) ，r ( o ，1 ) ，r ( 1 ，0 ) 和r ( 1 ，1 ) 统称为曲面的四个角点。 2 2 3 参数曲线的切矢 设二元函数为： ，= r ( u ，w ) 则有微积分学可知，对u 和w 的偏导数分别为： 亳= ，：f ( 圳) = 驰盟半 嘉吲圳) = 溉盟瓮竽幽 通常，偏导数r 。( u ，w ) 和r 。( u ，w ) 仍是u ，w 的二元函数，继续对u ，w 求偏导数， 可得到四个二阶偏导数： 9 汽车a 级曲面质量评价规范研究及其应用 afa 、a 2 ， 一i l = 一= ，