（电路与系统专业论文）复杂网络建模及其动力学性质的若干研究.pdf

摘要 摘要 复杂网络近年来受到来自科学与工程各个领域研究者越来越多的关 注， 成为近年来研究的一个热点。 本论文将统计方法、非线性系统理论、 控制理论以及矩阵理论等理论和方 一 法应用到复杂网络的研究中，对复杂 网络的动力学性质和加权复杂网络的建模两个方面进行了研究。这两方 面的研究无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。通过对复杂 网络动力学性质的研究，一方面可以使我们更好地了解和解释现实世界 中复杂网络所呈现出来的各种动力学现象，如稳定、同步、振荡等:另 一方面我们可以将对复杂网络动力学性质研究的理论成果应用到具体问 题当中去，如可以设计出具有更好特性的实际网络或使网络处于对我们 有利的状态，使得网络理论可以为我们所用。另外，现实世界中很多网 络都是各个连接间具有不同权值的加权网络，过去比较多研究的无权网 络模型只是对复杂网络的一种近似简化描述，加权网络模型则能够对实 际复杂网络的动力学演化特性提供更加真实的细致和全面的描述。 因此， 对加权网络建模研究的重要意义是显而易见的。 本文的主要主要内容和创新之处可概述如下: i . 关于时延小世界网络的局部稳定性及分岔的研究。 由于信号传输速度有限，以及节点间竞争和通道拥塞等因素，在复 杂网络中通常存在时延。我们研究了一个带有时延的小世界网络模型的 局部稳定性和 h o p f分岔。并用中心流形定理和正规型理论确定了分岔 周期解的稳定性和分岔方向。 对小世界网络的分岔现象研究的意义在于: 一方面，由于h o p f 分岔 和振荡现象密切相关， 对小世界网 络h o p f 分岔 的研究可以使我们更好地解释现实世界中的许多小世界网络，如 i n t e r n e t 、电网、生物神经网络中发生的对参数敏感的现象;另一方面 若能深入地了解小世界网络中的分岔现象及其规律，则通过利用比较成 熟的分岔控制理论和方法，我们就可将现实世界中的小世界网络控制到 所期望的有利的状态中去。 电子科技大学博士学位论文 z .关于复杂网络的同步问题的研究。 由于无论在理论上还是在实际应用问题中都具有重要价值，网络同 步问题的研究越来越受到人们的重视。在本文中我们研究了带有藕合时 延和小世界连接拓扑的相位振荡器网络和祸合映射网络的同步现象。利 用l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函和线性矩阵不等式对一般的时延网络模型的 同步问题进行了研究，得到了一系列的较易验证的同步准则。此外，本 文还研究了小世界网络的混沌相同步问题。 3 . 小世界混沌映射网络中的开一 关间歇振荡现象研究。 本文研究了小世界连接拓扑结构如何影响棍沌映射网络的间歇振荡 这一动力学性质。当全局祸合混沌映射网络为同步时，我们固定祸合系 数，并逐渐减小连接概率，当连接概率减少到略低于某个关键值时 ( 此 时为小世界连接) ，同步状态失去稳定性，并且开一 关间歇振荡出现。当 继续减小连接概率时，网络变成完全的异步混沌状态。 4 . 关于一个小世界神经网络模型的稳定性的研究。 许多生物神经网络都具有小世界特性，而以前对人工神经网络研究 较多的却是规则网络:并且另一方面，以往提出的小世界网络模型大多 都是不加权的模型，但生物神经网络中不同的连接通常都具有不同的权 值。在本文中我们提出了一种具有随机权值的小世界神经网络模型，并 进一步利用l y a p u n o v 函数法和统计方法研究了其稳定性， 得出了稳定性 对网络连接概率p和神经元个数n的依赖关系。 5 . 关于加权复杂网络建模的研究。 利用统计的方法研究了现实世界中一些网络的权值分布。发现现实 世界中网络权值的分布也具有幂律形式。进而我们提出了一种加权演化 复杂网络模型。该网络能刻画在实际网络中所发现的三种幂律分布，即 网络节点的度、连接权值以及节点强度的幂律分布。并且实际数据分布 中的垂头、大尾等现象也能由我们的网络模型反映出来。 关键词:复杂网络小世界网络标度无关网络时延 稳定性分岔 混沌 同步 开一 关间歇振荡 神经网络 加权网络模型 幂律分布 ab s t r a c t ab s t r a c t r e c e n t ly , c o m p l e x n e t w o r k s a t t r a c t m o r e a n d m o r e a tt e n t i o n s fr o m v a r io u s f i e l d s o f s c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g . i n t h i s d i s s e r t a t i o n , w e a p p l y s t a t i s t i c a l m e t h o d , n o n l i n e a r s y s t e m t h e o r y , c o n t r o l t h e o r y a n d m a t r ix t h e o r y t o t h e r e s e a r c h o f c o m p l e x n e t w o r k s a n d w e s t u d y t h e d y n a m i c p r o p e r ti e s o f c o m p l e x n e t w o r k s , a s w e l l a s t h e m o d e l i n g o f w e i g h t e d c o m p l e x n e t w o r k s . t h e s e s t u d i e s a r e v e r y i m p o r t a n t b o t h i n t h e o r y a n d i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . b y s t u d y i n g t h e d y n a m i c p r o p e rt i e s o f c o m p l e x n e t w o r k s , o n t h e o n e h a n d , w e c a n u n d e r s t a n d a n d e x p l a i n t h e d y n a m i c p r o p e rt i e s p r e s e n t e d i n r e a l - w o r l d n e t w o r k s , s u c h a s s t a b i l i ty , s y n c h r o n i z a t io n a n d o s c i l l a t i o n p h e n i m e n a ; a n d o n th e o t h e r h a n d , w e c a n a p p l y t h e s e t h e o r e t i c a l r e s u l t s t o s o m e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , f o r e x a m p l e , w e c a n a p p l y th e s e r e s u l t s t o t h e d e s i g n o f r e a l n e t w o r k s t o a c h i e v e g o o d p e r f o r m a n c e o r t o t h e c o n t r o l o f r e a l n e t w o r k s t o a c h i e v e s o m e d e s i r a b l e n e t w o r k b e h a v i o r s t h a t b e n e f i t t h e n e t w o r k s . i n a d d i t i o n , m a n y r e a l - w o r l d n e t w o r k s a r e w e i g h t e d n e t w o r k s w i t h d i ff e r e n t w e i g h t s i n d i ff e r e n t c o n n e c t i o n s . t h e u n w e i g h t e d n e t w o r k m o d e l s s t u d i e d i n m a n y e x i s t i n g l it e r a t u r e s a r e s i m p l i f i e d m o d e l i n g o f r e a l n e t w o r k s , w h i l e w e i g h t e d n e t w o r k m o d e l s c a n p r o v i d e m o r e r e a l i s t i c a n d c o m p r e h e n s i v e d e s c r i p t i o n s o f r e a l n e t w o r k s . s o , t h e i m p o rt a n c e o f t h e m o d e l l in g o f w e i g h t e d n e t w o r k s i s c l e a r l y s e l f - e v i d e n t . t h e m a i n c o n t e n t s a n d o r i g i n a l i t ie s i n t h i s p a p e r c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s : 1 . l o c a l s t a b i l i ty a n d h o p f b i f u r c a t i o n i n a d e l a y e d s m a l l- w o r l d n e t w o r k mo d e l d u e t o l i m i t e d t r a n s m i tt i n g s p e e d , c o m p e t i t i o n a n d c o n n e c t i o n s , u s u a l l y t h e r e a r e t i m e d e l a y s i n c o m p l e x n e t w o r k 。 一 w e s t u d y t h e l o c a l s t a b i l i ty a n d h o p f b i f u r c a t i o n o f a d e l a y e d s m a l l - w o r l d n e t w o r k m o d e l . we d e t e r m i n e t h e s t a b i l i t y o f t h e b i f u r c a t i n g p e r i o d i c s o l u t i o n s a n d d i r e c t i o n s o f h o p f b i f u r c a t i o n b y a p p l y i n g t h e c e n t e r m a n i f o l d t h e o r e m a n d t h e n o r m a l f o r m t h e o r y . t h e s t u d i e s o f h o p f b i fu r c a t i o n i n s m a l l - w o r l d n e t w o r k s a r e q u i t e i m p o r t a n t . o n t h e o n e h a n d , t h e b i f u r c a t i o n s , w h i c h i n v o l v e e m e r g e n c e o f o s c i l l a t o r y b e h a v i o r s , m a y p r o v i d e a n e x p l a n a t i o n f o r t h e p a r a m e t e r s e n s i t i v i t y o b s e r v e d i n p r a c t i c e i n m a n y r e a l i s t i c s m a l l - w o r l d n e t w o r k s s u c h a s t h e i l l 电子科技大学博士学位论文 i n t e r n e t , t h e e l e c t r i c a l p o w e r g r i d s , a n d t h e b i o l o g i c a l n e u r a l n e t w o r k s ; a n d o n t h e o t h e r h a n d , i f w e u n d e r s t a n d mo r e a b o u t t h e b i f u r c a t i o n b e h a v i o r s o f s ma l l - w o r l d n e t w o r k s , w e c a n a p p l y t h e e x i s t i n g e ff e c t i v e b i f u r c a t i o n c o n t r o l m e t h o d t o a c h i e v e s o m e d e s i r a b l e s y s t e m b e h a v i o r s t h a t b e n e f i t t h e n e t w o r k s 2 . s y n c h r o n i z a t i o n o f c o m p l e x n e t w o r k s t h e s y n c h r o n i z a t i o n h a s a t t r a c t e d i n c r e a s i n g a t t e n t i o n s d u e t o i t s i m p o r t a n c e b o t h i n t h e o r y a n d i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . i n t h i s d i s s e r ta t i o n w e s t u d y t h e s y n c h r o n i z a t i o n p r o b l e m s o f d e l a y e d s m a l l - w o r ld n e t w o r k s o f p h a s e o s c i l l a t o r s a n d c o u p l e d m a p s . a n d w e s t u d y t h e s y n c h r o n i z a t i o n o f a g e n e r a l d e l a y e d c o m p l e x n e t w o r k m o d e l b y u s i n g l y a p u n o v - k r a s o v s k i i f u n c t i o n s a n d l i n e a r m a t r ix i n e q u a l i t i e s ( l mi s ) . we d e r i v e s o m e e a s y - v e r i f i e d s y n c h r o n i z a t i o n c r it e r i a . f u r th e r , w e s t u d y t h e c h a o t i c p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n i n s m a l l - w o r l d n e t w o r k s . 3 . o n - o f f i n t e r m i tt e n c y i n s m a l l - w o r l d n e t w o r k o f c h a o t i c m a p s we s t u d y h o w t h e s m a l l - w o r ld t o p o l o g y w o u l d a ff e c t o n - o ff i n t e r m it t e n c y o f s m a l l - w o r l d n e t w o r k s o f c h a o t i c m a p s . wh e n t h e g l o b a l l y c o u p l e d c h a o t i c m a p s a r e s y n c h r o n o u s , w e f ix t h e c o u p l i n g c o e ff i c i e n t . we fi n d t h a t b y d e c r e a s i n g t h e c o n n e c t i o n p r o b a b i l i t y g r a d u a l l y , w h e n t h e p r o b a b i l it y s l i g h t l y l e s s t h a n a c r it i c a l v a l u e , t h e s y n c h r o n o u s c h a o s i s n o l o n g e r s t a b l e a n d o n - o ff i n t e r m itt e n c y a p p e a r s . b y f u r t h e r d e c r e a s i n g t h e p r o b a b i l i t y , t h e i n t e r m i tt e n t d y n a m i c s w i l l e v e n t u a l l y b e r e p l a c e d b y f u l l y d e v e l o p e d as y n c h r o n o u s c h a o s 4 . s t u d y o n a n e u r a l n e t w o r k m o d e l w i t h w e i g h t e d s ma l l - w o r l d c o n n e c t i o n s t h e r e a r e m a n y b i o l o g i c a l n e u r a l n e t w o r k s t h a t p r e s e n t s m a l l - w o r l d c o n n e c t i o n s . b u t i n m o s t e x i s t i n g l i t e r a t u r e s , t h e a u t h o r s s t u d i e d n e u r a l n e t w o r k m o d e l s w i t h r e g u l a r t o p o l o g i e s . n o t e a l s o t h a t in m o s t o f t h e e x i s t i n g s m a l l - w o r l d n e t w o r k m o d e l s n o s p e c i a l w e i g h t s i n t h e c o n n e c t i o n s w e r e t a k e n i n t o a c c o u n t . h o w e v e r , t h i s k i n d o f s i m p l i f i e d n e t w o r k m o d e l s c a n n o t w e l l c h a r a c t e r i z e b i o l o g i c a l n e u r a l n e t w o r k s , i n w h i c h t h e r e a r e d i ff e r e n t w e i g h t s i n d i ff e r e n t s y n a p t i c c o n n e c t i o n s . h e r e , w e p r e s e n t a n e u r a l n e t w o r k m o d e l w i t h s m a l l - w o r l d t o p o l o g y a n d w i t h r a n d o m w e i g h t v a l u e s i n d i ff e r e n t c o n n e c t i o n s , a n d f u rt h e r i n v e s t i g a t e t h e s t a b i l i t y o f t h i s m o d e l b y u s i n g t h e l y a p u n o v f u n c t i o n m e t h o d a n d s t a t i s t i c a l m e t h o d . w e d e r iv e e x p l i c it r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s t a b i l i t y o f s ma l l - w o r l d n e u r a l n e t w o r k s a n d t h e v a l u e s o f t h e n e t w o r k c o n n e c t i o n p r o b a b i l i t y p a n d t h e n u m b e r o f n e u r o n s n . i v ab s tra c t 5 . mo d e l i n g o f w e i g h t e d e v o l v i n g n e t w o r k s b y s t a t i s t i c a l l y i n v e s t i g a t i n g t h e w e i g h t v a l u e d i s t r ib u t i o n s o f s o m e r e a l - w o r l d n e t w o r k s , w e f o u n d t h a t t h e w e i g h t v a l u e s a l s o o b e y p o w e r - l a w d i s t r i b u t i o n s . b a s e d o n t h i s o b s e r v a t i o n , w e h a v e d e v e l o p e d a n e w c o m p r e h e n s i v e w e i g h t e d e v o l v i n g n e t wo r k mo d e l . nu me r i c a l s i mu l a t i o n s i n d i c a t e t h a t t h i s n e t wo r k mo d e l v i e l d s t h r e e p o w e r - l a w d i s t r i b u t i o n s o f t h e n o d e d e g r e e s , c o n n e c t i o n w e i g h t s a n d n o d e s t r e n g t h s . p a r t i c u l a r l y , s o m e o t h e r p r o p e rt i e s o f t h e d i s t r i b u t i o n s , s u c h a s t h e d r o o p - h e a d a n d h e a v y - t a i l e ff e c t s , c a n a l s o b e r e fl e c t e d b y t h i s m o d e l . k e y w o r d s : c o m p l e x n e t w o r k , s m a l l - w o r l d n e t w o r k , s c a l e - f r e e n e t w o r k , t i m e - d e l a y s t a b i l i t y , b i f u r c a t io n , c h a o s , s y n c h r o n i z a t i o n , o n - o ff i n t e r m i tt e n c y , n e u r a l n e t w o r k , w e i g h t e d n e t w o r k m o d e l , p o w e r - l a w d i s t r i b u t i o n . v 独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明 确的说明并表示谢意。 签 名 : a k日 期: qec 4 年 了月/ r 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了 解电子科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权电子科技大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名4 ,a k导 师 签 名 : 1 0 , 郭 日 期 : im 伞 年之 月k 日 第一章 绪 论 标系中为一条斜线。图 a ) 中的小图的 纵坐标与大图不同，为p(k)/2m2，可 以看出，在该坐标系下，所有的四条斜线几乎重合。在图 1 - 1 1 ( b ) 中画出 了m o = m = 5 的不同大小的网络的度分布图， 可以看出， 对于相同的m 。 和 m , 不同规模网络的度的分布几乎完全重合。 在图( b ) 中的小图中画出了两个节 点的度的演化过程图， 这两个节点分别在t i = 5 和t 2 = 9 5 时加入。 在文献 2 5 中，作者利用平均场理论通过理论分析也得出了由b a模型产生的网络的 度分布呈幂律度分布的结论，并给出了指数的理论值公式。 1 . 2复杂网络研究的主要内容、意义及面临的挑战 一、研究内容 复杂网络的研究尚处于起步阶段，不同领域的研究者们在不同的方向 展开了研究工作，开辟了一些复杂网络的研究方向，相信随着今后研究的 进一步开展， 在该领域会有更多重要的研究方向被开辟出来。 就目前而言 复杂网络的研究至少包含了以下几个方向: 1 、对实际复杂网络进行统计分析 这一课题应可视为复杂网络研究中最基础、最初始的一步。事实上， 正是通过分析现实世界中网络数据得出它们的共性，才有了小世界网络和 无标度网络的提出。对更多的实际复杂网络数据的分析可能发现其它新的 共性，借此来构建新的更符合实际网络特性的网络模型。很多研究者相继 对各个不同领域的网络数据进行了 研究和分析。 如， 1 8 , 2 6 1 中 研究了电 影 演员合作网络数据， 2 7 , 2 8 1 中研究了数学家合作网络， ( 2 9 - 3 1 1 研究了物理 学、 生物学等学科的科研合作网 络, 3 2 - 3 3 1 研究了电 话呼叫网络， 3 4 , 3 5 研究了e m a i l网络， 3 6 - 3 8 1 研究了w w w, ( 3 9 1 研究了论文引用网络， 4 0 , 4 1 研究了语言学中单词一起出 现所组成的网络， 4 2 研究了生物系统的新 陈代谢网 络， 4 3 1 研究了海洋生物食物网络， ( 1 8 , 4 4 1 研究了生物神经网络， 4 5 , 4 6 研究了i n t e r n e t , 4 7 , 4 8 研究了 软件中的网络， 4 9 研究了电 路网 络. 5 0 研究了巴 西流行音乐网络， 5 1 研究了清华大学水木清华b b s 上 i d之间的回帖网络。对于现实世界复杂网络的研究还有很多，在此不一一 电子科技大学博士学位论文 列举，由于篇幅所限，在上述网络叙述中没有详细写出各个网络的节点和 边各代表的什么。除了平均路长、聚类系数和度分布之外，对实际网络的 研究还发现了网络的一些其它的特性，如， 5 2 - 5 5 】 研究了网络节点的度相 关特性， 5 6 - 6 3 研究了网络的群落结构， 6 4 - 6 6 1 研究了网络的谱特性等 2 、复杂网络的建模研究 根据各种实际复杂网络数据的分析结果，可概括出它们的共有特性 以此为基础，再结合研究者对实际网络形成机理的理解和解释，就可以构 建具有 和 实际 网络有 相 同或类似 性质 的 网络模 型 。除 了最初 的 w a t t s - s t r o g a t z 小世界网络模型和b a r a b a s i - a l b e r t 无标度网 络模型外， 相继 被提出的网络模型还有很多。如，一些研究者提出并研究了维数高于一维 的小世界网络模型 1 9 , 6 7 - 7 0 1 ， 在 7 1 - 7 2 1 中作者提出并研究了确定性的小 世界网络模型，在文献 7 3 - 7 7 1 中作者对b a无标度网络模型进行了改进和 推广， 提出了各种各样的无标度网络模型，如在 7 8 , 7 9 1 中提出了节点带有 适应度的无标度网络模型， 在 8 0 1 中作者提出了确定性的无标度网络模型， 在 8 1 1 中作者提出了具有距离选择性的演化网络模型， 在 8 2 1 中作者提出了 一种局部世界演化网络模型。 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 1 0 , 8 3 综述了近年来文献中 提出的各种复杂网络模型。 3 、复杂网络动力学研究 通过把复杂网络看成动力系统或在复杂网络中引入动力学单元，很多 研究者对复杂网络的动力学行为展开了研究。如，在文献 8 4 - 9 0 1 中作者研 究了复杂动态网络的同步和网络的鲁棒性问题， 在 9 1 和 9 2 1 中作者分别研 究了一个时延小世界网络模型的混沌和分形动力学，在 9 3 1 中作者研究了 小世界网络中的自组织临界现象，在 9 4 1 中作者研究了小世界网络中的湍 流， 在 9 5 中作者研究了小世界振荡器网络中的振荡消失现象， 在 9 6 1 中作 者研究了小世界网络中的随机共振， 在 9 7 , 9 8 1 中作者研究了复杂网络的控 制问题等。在复杂网络动力学性质的研究中，网络的拓扑结构如何影响网 络的 动力学 性质是一 个非常 有 趣的问 题， 也是 一个研究的 热点 第一章 绪 论 4 、复杂网络中发生的事件 还有一些作者研究了复杂网络中发生的动态过程和事件。在前面我们 提到很多大规模的复杂网络都具有小世界效应，也即是很多大规模的复杂 网络在任意两点间一般都存在一条相对网络规模来说很短的路径，但能否 很快地找到这条路径和如何寻找是一个关键的问题。文献 9 9 - 1 0 3 研究了 复杂网络的搜索与导航问题。另外，文献 1 0 4 - 1 1 8 研究了复杂网络中的病 毒传播，特别地，在文献 1 1 9 - 1 2 1 中，作者研究了s a r s在复杂网络中的 传播， 在 3 5 , 1 0 0 , 1 2 2 , 1 2 3 中作者研究了计算机病毒在网络中的传播问题， 在文献 1 2 4 中作者研究了复杂网络中的扩散过程。 5 、复杂网络领域的应用问题 总体来说，由于复杂网络的研究尚处于起步阶段，对复杂网络理论应 用的研究相对来讲还比较少，但迄今己发现了很多潜在的有趣的应用。例 如上述对复杂网络鲁棒性的研究成果可以应用到网络拓扑设计中去，对网 络同步问题的研究有望在通信领域中发挥作用，对网络搜索和导航问题的 研究可能在通信及计算机网络等的路由问题中有应用前景同时对设计更加 有效的搜索引擎也有可能起到关键作用，对病毒传播网的研究对预防和控 制传染病以 及计算机病毒有重要的指导意义【 1 2 3 。 此外， 最近在文献 1 2 5 1 中作者提出了把无标度网络模型应用到纠错编码当中去，这也是一项十分 有趣的应用。可以预见，随着复杂网络领域研究成果的不断涌现，对这些 成果的应用也将成为今后研究的一个主要方向。 二、复杂网络的研究意义 复杂网络的研究涉及广泛的交叉学科，其中包括复杂性科学、非线性 科学、电路与系统、计算机科学、控制理论、理论物理、数学、生物学等 各个学科领域。为什么对复杂网络的研究会引起各个学科领域的广泛兴趣 呢?因为对复杂网络的研究无论在理论上还是在应用中都有重要意义，一 方面对复杂网络的深入研究可以使我们更好地了解和解释现实世界的复杂 网络，而了解自然、了解我们所生存的现实世界是科学研究的最主要目的 之一;另一方面随着对复杂网络研究的深入，我们可以应用理论研究成果 电子科技大学博十学位论文 到具体 问题当中去，如可以设计出具有更好特性的实际网络或使网络处于 对我们有利的状态，以及应用到其它在上面所提到的应用 问题 中，使得网 络理论可以为我们所用。所以对复杂网络的研究是有重要意义的。 如在 i n t e r n e t 这个高度复杂的实际网络中，应用复杂网络理论到其研 究中就具有重要意义。我们可以根据复杂网络理论对其性质进行研究，解 释发生在其中的一些重要现象和性质， 如网络拓扑如何生成、 i n t e r n e t 建模、 网络的鲁棒性与脆弱性、网络中发生的振荡现象等等;也可以将一些复杂 网络的理论研究成果应用到其中，如可以根据复杂网络理论设计具有更好 性质的网络拓扑 、可 以根据 复杂 网络理论进行拥塞控制 、可 以根据复杂 网 络理论对 i n t e r n e t 设计路由算法等等 中计算机病毒的传播进行控制、可以根据复杂网络理论 三、复杂网络研究面临的挑战 复杂网络是一个快速发展的新兴学科，虽然在这个领域己经取得了一 些很好的成果，但在复杂网络研究的各个方向上都还存在着许多很重要的 但没有被研究或没有被很好地研究的问题，在这个领域有新的重要发现和 作出重要成果的几率是比较高的。综合综述性文章 6 - 1 1 的展望部分，在 复杂网络领域至少有以下几个还没有开展或还没有被充分研究但非常重要 的问题: 1 、是否存在其它重要的统计分布特性使我们可以进一步洞察复杂网络? 这个问题的答案几乎是必然的，目前所发现的几个复杂网络的特性只 是冰山的一角，可以预见，随着对实际网络数据的进一步统计分析，会发 现更多的复杂网络所具有的共性。所以，对实际网络的数据进行进一步分 析是非常重要的问题，也是随时都有可能有重要发现的方向。 2 、复杂网络动力学以及复杂网络中发生的动态过程 对于复杂网络动力学己经有了一些研究，但还远远不够，目前研究的 都还都是一些理想化的简单情况，所使用的网络模型也比较简单。对于一 些复杂的情况的研究还开展的不够，如网络信息传输中具有时延的情况， 网络是时变的情况、同一网络中不同节点具有不同动力学的情况、网络节 点具有年龄效应的情况等等。对于复杂网络中发生的动态过程也是如此， 第一章 绪 论 一些复杂的情况，如在病毒传播中网络时变对传播的影响、网络中具有多 个病毒的情况、病毒传播 以及发作等存在时延的情况等都没有很好地开展 研究。 3 、节点动力学以及动态过程对网络拓扑的影响 目前涉及网络动力学的研究大多都是对网络拓扑如何影响整个网络动 力学以及动态过程的研究。反过来，网络的拓扑如何受网络节点动力学或 动态过程的影响也同样是非常有趣的问题。在很多情况下网络节点动力学 会影响网络的拓扑结构，如在神经网络中，两个神经元的状态会直接影响 两个神经元之间的突触连接;同样网络中发生的动态过程有时也会影响网 络拓扑， 如计算机病毒在计算机网络中传播会使某些计算机 ( 节点) 瘫痪， 生物病毒在种群中传播会造成某些宿主节点死亡，这些都会影响网络的拓 扑结构，并进而影响网络的性质，如稳定性，鲁棒性等。 a 、加权网络与有向网络 现有文献中的大多数研究都是针对无权、无向网络的，但现实世界中 很多网络都是各个连接间具有不同权值的加权网络或各个连接具有方向的 网络，过去比较多研究的无权网络只是对复杂网络的一种近似简化描述， 加权、有向网络则能够对实际复杂网络的动力学演化特性提供更加真实的 细致和全面的描述。因此，对加权和有向网络的研究的重要意义是显而易 见的。该方向上的有待解决的问题包括实际加权和有向网络的统计特性分 析，建模，以及进一步研究其动力学特性等。 5 、具有不同特性的网络之间的交互问题 多个不同网络之间有时是存在交互连接的， 也就构成了 “ 网络的网络” 。 如在 i n t e r n e t 中，不同类型的网络彼此连接，通过共同的协议进行通信; 在生物系统中基因网络、蛋白质网络、代谢网络项目连接并相互作用;在 交通系统中，公路网、铁路网、航空网相互连接。那么如何刻画这种网络 的网络 、 决的问题 以及进一步地如何建模、各个网络之间如何相互影响都是需要解 6 、生物网络的演化规律 在技术网络等实际复杂网络中我们可以比较方便地研究网络形成的机 电子科技大学博士学位论文 制和演化的规律，但在生物网络中由于钡 d 量的难度、生物系统本身的极度 复杂，使得对生物网络的研究变得十分困难。如何设法定性、定量地研究 生物网络的演化特性 ，并对其有效建模是一个重要的问题。 ， 、复杂网络的理论框架 到目前为止， 对复杂网络的研究方法和工具都是从其他学科中拿来的， 比如从统计物理、图论、计算机科学、动力系统等学科方向，还没有象其 它学科一样形成自己的一套理论框架和研究方法。只有发展出属于复杂网 络自己的理论框架才能对网络具有更深入、透彻、细致和系统的了解。当 然，这是一项长期而艰巨的任务，需要广大研究者的不懈努力。 1 . 3本文的研究内容、方法与主要贡献 为应对上述挑战，并结合电路与系统学科的特点，本文在复杂网络的 动力学性质和建模方面进行了若干研究，其内容涉及上节所阐述的挑战中 的 1 , 2 , 4三个方向，即包括了对实际网络数据的分析并得到一个新的统 计分布、建立新的加权网络模型，和研究复杂网络的动力学性质。重点则 是对复杂网络的动力学性质的研究。 本文所采用的研究方法包括: ( 1 ) 利用统计的方法研究实际网络数据， 得到网络新的分布特性;( 2 )根据现实世界中实际网络的演化规律设计演 化规则，得到新的网络模型;( 3 )在复杂网络节点中引入动态单元，得到 复杂动态网络，将非线性动力学、控制理论、矩阵理论等理论与方法应用 到复杂动态网络的分析中， 得到其动态特性， 用计算机仿真验证理论结果。 本文的主要内容和创新点包括: 1 . 关于时延小世界网络的局部稳定性及h o p f 分岔的 研究。 由于信号传输速度有限，以及节点间竞争和通道拥塞等因素，在复杂 网络中通常存在时延。我们研究了一个带有时延的小世界网络模型的局部 稳定性和 h o p f 分岔。并用中心流形定理和正规型理论确定了分岔周期解 的稳定性和分岔方向。对小世界网络的 h o p f 分岔研究的意义在于:一方 面，由于h o p f 分岔和振荡现象密切相关，对小世界网络h o p f 分岔的研究 第一章 绪 论 可以使我们更好地解释现实世界中的许多小世界网络，如i n t e r n e t 、电网、 生物神经网络中发生的对参数敏感的现象;另一方面，若能深入地了解小 世界网络中的分岔现象及其规律，则通过利用比较成熟的分岔控制理论和 方法，我们就可将现实世界中的小世界网络控制到所期望的有利的状态中 去。 2 . 关于复杂网络同步问题的研究。 由于同步现象在现实网络中是普遍存在的，并且同步研究在理论上和 实际应用中都具有重要价值， 网络同步问题的研究越来越受到人们的重视。 在本文中我们在复杂网络中引入藕合时延，研究了带有藕合时延和小世界 连 接 拓扑 的相位振荡 器 网络和 祸 合映射 网络 的 同步现象 。利用 l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函和线性矩阵不等式 ( l m i )对一类一般的时延 网络模型的同步问题进行了研究，得到了一系列的较易验证的同步准则。 此外，有时我们只关心网络节点状态的相位信息而不关心其幅度，在本文 中我们还研究了小世界网络的混沌相同步问题。 3 . 小世界混沌映射网络中的开 关间歇振荡现象研究。 当网络处于同步的边缘时会有怎样的动力学性质发生呢?本文研究了 具有小世界连接结构的混沌映射网络在同步边缘时的开一 关间歇振荡现象， 重点考察网络拓扑如何影响馄沌映射网络