（电路与系统专业论文）基于通用参数滤波器的iir型希尔伯特变换器的设计.pdf

北京邮电大学硕上论文摘要 基于通用参数滤波器的jlr 型希尔伯特变换器的设计 摘要 目前广泛应用的希尔伯特变换器是用有限冲激响应( f i r ) 数字 滤波器实现的，但它的阶数较高。因而提出采用通用参数滤波器作为 基本单元，结合希尔伯特变换器的设计理论，构成i i r 型希尔伯特变 换器设计的新方案。 本文分为三章： 第一章为通用参数滤波器的基本理论部分，介绍了抽样率转换和 数字滤波器组的基本概念，多速率信号处理的基本概念和理论，数字 滤波器组的基本知识，是第二章的理论基础。第二章为基于通用参数 滤波器的i i r 型希尔伯特变换器的分析部分，引入了具有能考虑相位 特性的通用参数滤波器作为构成单元，在导师刘泽民教授的指导下， 提出了一种希尔伯特变换器的新方案，本章给出了详细的分析过程。 第三章介绍了i i r 型希尔伯特变换器的设计过程，最后进行了仿真验 t 让。 第二章和第三章是论文的主要内容。 关键词：多率信号处理滤波器组希尔伯特变换器 通用参数滤波器 北京邮电大学硕士论文摘要 t h ed e s i g no fi i rh i l b e r tt ra n s f o r m e r b a s e do ng e n e r a lr u 王a m 王n e rf i i j e r a b s t r a c t n eh i l b e r tt r a n s f o r m e ru s e da tp r e s e n ta d o p tf i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ( f i r ) d i g i t a lf i l t e rw h i c hu s e d 弱ap u l s es h a p i n gf i l t e rp o p u l a r l ya tp r e s e n th a st h e d i s a d v a n t a g e ss u c ha sh i g i lo r d e r s s ow ep r e s e n tan e wa p p r o a c ht od e s i g nt h ei i r h i l b e r tt r a n s f o r m e r , w h o s eb a s i cu n i ti sg e n e r a lp a r a m e t e rf i l t e r t h i sp a p e rh a sb e e nd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s p a r t1 ，t h eb a s i ct h e o r i e so f m u l t i r a t ed i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n ga n dd i g i t a lf i l t e rb a n k sh a v eb e e nr e v i e w e d o nt h e b a s i so fp a r t1 , p a r t2 一n rh i l b e r tt r a n s f c l r m e rt h e o r yi si n t r o d u c e d p a r t2 u s i n gt h e g e n e r a lp a r a m e t e rf i l t e rw h i c hc a l lc o n s i d e rt h ep h a s ec h a r a c t e r 硒t h eu n i to f o r t h o g o n a l f i l t e rb a n k s ，w ep r e s e n tan e wm e t h o df o rd e s i g n i n gi i rh i l b e r t t r a n s f o l r m e rw i t ht h eg u i d a n c eo ft h ep r o f e s s o rz e m i nl i u t op r o v et h i st h e o r y s f a c i l i t y , t h es i m u l a t i o nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w p a r t3 w em a k eas i m u l a t i o nt o v e r i f yi t p a r t2a n dp a r t3a r et h ec e n t r a lc o n t e n t so ft h i sa r t i c l e k e yw o r d s ：m u l t i r a t es i g n a lp r o c e s s i n gf i l t e rb a n k sh i l b e r tt r a n s f o r m e r g e n e r a lp a r a m e t e rf i l t e r 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期： 日期： 北京邮电大学硕士论文 第一章通用参数滤波器的基本内容 第一章通用参数滤波器的基本内容 1 1 抽样率转换 许多数字信号是由模拟信号经抽样得到的，或者可以等效为由模拟信号抽样 得到的。为了实现无失真恢复原始信号，奈奎斯特定理指出抽样率必须大于模拟 信号最高频率的2 倍。在数字信号的处理过程中，有时要根据技术需求改变抽样 率。抽样率变化分两种情况，使抽样率降低的抽样率转换称为抽取( d e c i m a t i o n ) ， 也称为抽样率压缩或下采样；使抽样率升高的的转换称为内插( i n t e r p o l a t i o n ) ， 也称为抽样率扩张或上采样，由于不知道原始模拟信号在插入点的值，所插入的 实际为o 值，所以又称为零值内插或简称为零插。 l 二 1 抽取 当信号的抽样率过大时，为减少数据量以便于处理和计算，把数据每隔m 一1 个取1 个，这样就可以使数据量减少为原来的1 m ，其中的m 称为抽取因子。 抽取操作用符号lm 表示，向下的箭头表示抽样率降低，m 表示抽取因子，也 就是降低的倍数。 如果抽取前信号为x ( n ，正) ，抽取后信号为y ( n ：疋) ，其中互、1 2 分别为抽样 率变换前后的采样周期，则与瓦间有关系疋一崛。抽取前后信号的频谱关系 为 y ( e 加2 ) =y ( n 2 疋弘一蚴2 刀2 - 一 一y o z m t x ) e 一脚2 2 。一 ；喜 措删7 a 卜 2 z 其中w ；p 1 百，设q 为模拟信号频率。如果令z ：= e j m ，乙一e m ，则上 式成为 丝m ) e 肜 m m p p x x 荟乏 1 一m 1 一m i 昌 北京邮电大学硕士论文第一章通用参数滤波器的基本内容 蚴2 吉荟x ( z 趴 ( 1 1 ) 式中z 2 = p ，。2 = e 归疋= e j 一p ，叻肘= z 1 射 图1 - 1 所示为抽取操作使信号频谱发生的变化，其中的角频率c o 是相对于各 自抽样频率的归一化值。对窄带信号抽取时，如图( a ) 为原始频谱，如果抽取因 子m 较小( 如图b ) ，由于抽样率不够低而使数据量较大；如果m 太大( 如图c ) ， 则会造成信号频谱混叠而使原始信号无法重构；适当的m ( 如图d ) 可以在不产 生混叠的情况下使抽样率最高，此种情况称为最大抽取( m a x i m a l l yd e c i m a t i n g ) 。 陬刊 l 。 ( a ) 原始频谱 酬 公 彦 y i 。 俐 人l7j 。 ( b ) 抽取因子较小( m 1 2 ) 阻叫 仑。 一2 z 0 2nr ( c ) 抽取因子过大( m - - 4 ) 产生混叠( d ) 最大抽取( 1 d - - 3 ) 1 1 2 零值内插 图1 - 1 不同抽取因子时的信号频谱 内插是在给定序列的相邻抽样点之间插入抽样值，使抽样率升高，如果每两 个抽样值之间插入一1 个值，则用符号tl 表示，向上的箭头表示抽样率增高， 为内插因子，表示增高的倍数。由于相应于原始模拟信号需插入的抽样值并非 已知，所以实际插入的值都取为0 ，即进行零值内插。 零插前信号x o 正) 与零插后信号y o z 疋) 的频谱关系为 个 r ( e 7 啦) = 罗y 2 互弦。吐也一y ( n 2 争弘。q 劢z a x ( n l i ) e 一芦五吨 。一 2 北京邮电大学硕士论文 第一章通用参数滤波器的基本内容 = 工o - 五弦。叩i - 一 一x ( e m ) 如果在复频域z 中表示，则上式为 y ( z 2 ) = x ( z 1 ) ( 1 2 ) 三 ， 其中z 22 乞工，即乙2 乞。 图卜2 所示为零插操作使信号频谱发生的变化。零插使得在一个抽样频率周 期内原信号频谱多次重复，这种重复称为镜象。由于镜象的存在，在频域也可看 出经过零插后的频谱与原始信号经高抽样率的频谱是不同的，如果在零插后再经 具有图卜3 ( a ) 特性的低通滤波，就可得到原始模拟信号的高抽样率结果，如图 1 3 ( b ) 。 俐 n 。一 o ( a ) 原始频谱 别镜象 7 励| | 0 ( b ) 零插后( l = 3 ) 频谱产生镜象 图1 2 零插操作对信号频谱的影响 确纠 厂 厂 门 o 低通滤波器 刖 t | ii 4 | | 劫r 0 ( b ) 高抽样率信号频谱 图1 3 零插后再经低通滤波得高抽样率频谱 1 1 3 滤波器与抽取或零插级联的等效变换 图卜4 ( a ) 中的输入输出关系为 3 北京邮电大学硕士论文 第一章通用参数滤波器的基本内容 y ( z 2 ) = h q ：) y 。：) = h ( z ：石1m 盏- 1 x ( z 。矽7 ) ( 1 3 ) 螂d 回型卧y 鸭) ( a ) 地写，亟产珏讹疋) ( b ) 图1 4 滤波器与抽取级联的等效变换 图1 一邶) 的输入输出关系为 矿( z ：) = 万1m 盏- 1 u ( z 。矽。) 一吉薹酢。呐讹。呐材】 = 日( z 。mj 万i m 磊- i x ( z 。) ( 卜4 因为z ：。z ，f l 拭( 1 3 ) 和( 1 4 ) 可知图1 4 中的( a ) 与嘞是等效的。 地互) 面p 讣，鸭r )x o ，互) _ 竺! ! ! ! h ! 墨r 专，o ，) ( a ) x 心z ) 习型卧多o ：乏) ( b ) 图1 - 5 滤波器与零插级联的等效变换 图1 - 5 ( a ) q b 的输入输出关系为 y ( z 2 ) ；v ( z 1 ) = h ( z l 沙( z 1 ) ( 1 - 5 ) 图1 - 5 ( b ) 的输入输出关系为 矿( z ：) = h ( z ；) u ( z ：) ：( z ；) x ( 乙) ( 卜6 ) 4 北京邮电大学硕上论文 第一章通用参数滤波器的基本内容 这里z ：l2 乞，所以由式( 1 5 ) 和( 1 6 ) 可知图1 5 中的( a ) 与( b ) 是等效的。 1 2 滤波器组的基本概念 1 2 1 基本定义 具有一个共同输入信号或一个共同输出信号的一组滤波器都称为滤波器组。 根据共同信号是滤波器的输入信号还是输出信号，滤波器组可以分为分析滤波器 组与综合滤波器组。 图1 - 6 ( a ) 所示是一个具有共同输入信号的滤波器组，输入信号进入k 个通 道，每个通道中有一个滤波器日t ( e ) ，k = 0 工，k 一1 。设z o ) 为一宽带信号， 经过各通道中的带通滤波器后被分成k 个子频带信号y t o ) ，k = 0 工，k 一1 。 这种将宽带信号分成多个窄带信号的滤波器组称为分析滤波器组( a n a l y s i s b a n k ) 。 图1 6 佃) 所示是一个共同输入信号的滤波器组，各通道输入信号y t ) 经滤 波后成为不同频率的窄带信号( 刖，k = o 工，k 一1 ，将这些窄带信号相加后 构成一宽带信号作为输出。这种将多路信号合成一路的滤波器组称为综合滤波器 组( s y n t h e s i sb a n k ) 。 滤波器组是信号处理过程中使用的一项技术，信号无论怎样变换最终还是要 恢复原始状态的，所以一般分析滤波器组与综合滤波器组总是成对地出现在一个 完整系统中的。 工0 ) y 。0 ) m 0 ) y 。o ) ) ，( 刀) y k _ i ( n ) k - - o ) ( a ) 分析滤波器组 ( b ) 综合滤波器组 图1 石滤波器组的两种情况 由于分析滤波器组使信号带宽发生变化，为减少数据量，在窄带滤波后一般 都进行抽取操作，抽取因子的选择应是在不产生混叠的前提下尽可能大，即图 1 - 1 所示的最大抽取。相应的，在综合滤波器前一般都进行零插操作，零插后各 北京邮电大学硕士论文第一章通用参数滤波器的基本内容 通道滤波器在自己的频谱中选择不同频带镜象组成一个信号。 1 2 2 滤波器组应用的分类 滤波器组在应用时大体可分为子带变换与传送复用两种情况。子带变换系统 ( s u b b a n ds y s t e m ) 是先由分析滤波器组把一个信号按频带分为多个子带( 这一 过程包括带通滤波与抽取) ，然后各子带分别处理，最后再经过零插、滤波与相 加，重新构成原来的信号，如图1 7 所示。需要说明，图1 7 所示为m 带均匀最 大抽取滤波器组系统，均匀是指各子带有相同的带宽，各子带的抽取因子相同， 且等于子带数。滤波器组的子带也可以是不均匀的，由于带宽不同，各子带的抽 取因子也会不同。 传送复用系统( t r a n s m u l t i p l e x e rs y s t e m ) 是在发送端由综合滤波器组将多路 信号组合成一路，从而可以用一个信道传输或处理，到达接收端时再分解为各路 信号，如图1 - 8 所示，其过程与子带变换相反。这里的复用是频分复用( f d m ) ， 每一路信号经零插后在高抽样率的归一化频率一个周期内都包含m 个相对变窄 了的原信号频谱及其镜象，由各滤波器对各路信号取出不同频段镜象频谱，通过 相加即可组成一路信号。 传送复用系统与子带变换系统互为对偶，理论基本相通。本文对滤波器组的 讨论以子带变换系统为对象。 x ( n ) ! 子带处理 图1 - 7 子带变换系统 6 主0 ) 北京邮电大学硕k - 论文 第一章通用参数滤波器的基本内容 工o o ) 毛o ) 1 3 完全重构 x 瓴) 图1 - 8 传送复用系统 j 。o ) 毫o ) 图1 - 9m 通道均匀滤波器组及各点信号的符号 x 亿) 为分析最大抽取均匀滤波器组的输入输出关系，将子带变换系统重画于图 1 - 9 。在研究滤波器组的设计理论时，不考虑子带处理本身引起的信号变化，因 此在图中综合滤波器的输入就是分析滤波器的输出。 取其中的k 号通道，各点信号间有如下关系： x t ( z 1 ) ；u t ( z 。) e ( z 1 ) ( 1 7 ) u 1 0 。) = k ( z ：) ( 1 8 ) y k ( z 2 ) 2 万1m 盏- i 形 其中w = e 吖百 ( 1 - 9 ) 二石 k ( 乙) ；x ( z 1 ) h ( z 1 ) ( 1 1 0 ) 综合式( 1 1 1 1 0 ) ，可得 7 北京邮电大学硕士论文 第一章通用参数滤波器的基本内容 丘。古蒿酢- ) 引妒忱( z 1 ) 系统的输出j q ，) 为各通道输出j tz 。) 之和，即 砘) 。荟以o ，) 二罗x(z。w)罗日t(z。w)最(z。)m向一 7 角一1 一“ 2 荟x ( z - 矽 = x ( z - m 。( z t ) + 善x ( z l w t ) a 心- ) ( 1 - 1 2 ) 其中 4 ( z 。) = 面1m 角- i h 。g 。) e ( z 。) ( 卜1 3 ) 信号的完全重构( p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，p r ，也译为准确重建) 是指输出信 号戈o ) 与输入z 0 ) 除了有一定延时以外频率特性完全相同，即有如下关系： 爻( ，1 ) = “( 以一七) ( 1 1 4 ) 或写为 x g ) 一芘一x ( z ) ( 卜1 5 ) 式中c ，k 都为固定的常数。在设计滤波器组时，我们总是希望系统是完全重 构的，即式( 1 1 2 ) 应该成为式( 1 1 5 ) n 形式。 j l x ( z 1 ) x ( z f )讹吩 、 。f 一 一一，” n、，二 图1 - 1 0 x ( z 1 w 7 ) 的频谱( m = 3 ) 式( 1 1 2 ) q bx ( z ，矽) ( ，o ) 是x ( z 。) 在频率轴上移位z 丰塾m 后的结果，是抽样 率转换产生的频谱分量，如图1 1 0 所示。为了使输出与输入相同，即不发生失 8 北京邮电大学硕士论文第一章通用参数滤波器的基本内容 真，或者说实现完全重构，萱( z - ) 中不应包含x ( z 形f ) ( ，o ) ，即要求爿，( z t ( z 乒o ) 为0 。如果4 ( z 1 ) ( z o ) 不为零，则称系统中存在混迭失真( a l i a s i n gd i s t o r t i o n ， a l l ) ) 。我们称彳，( z - ) ( z o ) 为混叠系数。 当混叠为0 或不考虑混叠时，系统传输函数为 g 荆；粼刊以- ) t 万im 盏- i 以( z 。) 丘( z 。) ( 1 - 1 6 ) 根据式( 1 1 5 ) 的完全重构条件，传输函数g 班( z ，) = 彳。( z - ) 应满足 a 。( z 1 ) 一亿l 一。 ( 卜1 7 ) i k a 。( z ) 的幅频特性为不随频率变化的恒定数值，相频特性为有恒定斜率 的直线，也就是要求为线性相位。如果彳。0 - ) 的幅度特性不是恒定数值，则会引 起x ( z 1 ) 与x ( z 1 ) 的幅度特性的不同，称为幅度失真( a m p l i t u d ed i s t o r t i o n ， a m d ) 。如果4 0 t ) 的相位特性不是恒定斜率，则会引起x ( z ，) 与x q t ) 的相位特 性的不同，称为相位失真( p h a s ed i s t o r t i o n ，p h d ) 。由于相位表示的多值性，用 群延时( 即相位关于频率的导数) 描述线性相位要求更方便。可以将线性相位要 求表述为延时特性为恒定数值，即不随频率变化的水平直线。 由上述分析可知，如果一个系统没有混叠失真、幅度失真和相位失真，就 可宴现完伞萤构。 1 4 通用参数滤波器 通用参数滤波器( g e n e r a lp a r a m e t e rf i l t e r ) 是在模拟域提出的一种滤波器。 原始的通用参数滤波器其传输零点都在模拟域复平面s ( 2 仃+ j q ) 的频率轴( ，q ) 上，q = 0 、以及阻带范围任意指定的传输零点用以满足衰减特性要求，而通 带范围幅度特性为等偏离波动，传输函数的极点由零点根据一定的约束关系产 生。文献【3 】引入复数传输零点优化通带相位特性，使得通用参数滤波器可实现 0 北京邮电大学硕士论文 第一章通用参数滤波器的基本内容 近似线性相位。文献【4 】利用同样的思想提出了通带幅度为最大平坦型的近似线 性相位通用参数滤波器。本节对通用参数滤波器理论做一简述。 在不同于模拟域复平面5 的一个复平面厂( 。z + 痧) 上构造沿虚轴等起伏函 数 撕，。蹲皿 玎“2 一，2 ) 式中为，- 平面上的任意点，e v 为取偶部运算。沿整个抄轴，g ( 抄) 为正的 实数，目在0 与+ 1 之，间作一次等起伏变化。若令 z p ) 2 珥p 一) l p ) + 巧p ) ( 1 - 1 8 ) 式中e ( ，) 是，的偶多项式，玎( 厂) 是r 的奇多项式，则 ( 2 一，2 ) 2 珥( ，一) 珥( 一厂一) 一z ( ，) z ( 一，) t p ( ，) + 矿( ，) k ( 厂) 一r i f ) 】 - e 2 ( r ) 一，2 厂2 ( ，) 故式( 1 1 7 ) 可以写为 g ( r ) 一丽鬻丽 m 为得到低通或带通滤波器，g o ) 经如下关系变换到s 平面： r 2 ：善兰，o 口 a 移 z 耄 亏- 口 5 f 一1 r 功玎，。、。；妻q 。j y 心r 平面1 ；，；劳j z 1 1 一 ：5 i l a i+。l、f r 、 图1 1 1 带通情况变量s 与变量，的变换关系 ( 1 2 1 ) 将g o ) 作为滤波器特征函数的模平方，即可得到传输函数的模平方为 l u ( s ) | 2 - 丽1 五 1 - 2 2 ) s 平面上的零点毛按式( 1 2 0 ) 映射为，平面上的零点，取的实部小于等于 0 。如果零点是_ q 轴上的点q t ，映射到，平面为 2 ，r e o ( 1 - 2 3 ) 滤波器截止频率q 一1 上的衰减彳，( 即通带波动，d b ) 与式( 1 2 1 ) 中的b 2 的 关系为： 或 a ，= 1 0 l g ( 1 + b 2 ) b 2 ；1 0 0 一1 由式( 1 - 1 9 ) ，( 1 - 2 1 ) ，( 1 - 2 2 ) ，( 1 - 2 5 ) 口- 得 卜丽1 = 斋踹 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 1 4 2 线性相位通用参数滤波器 传统的通用参数滤波器只在模拟域复平面s 的虚轴_ q 上选择零点，设计时 北京邮电大学硕士论文第一章通用参数滤波器的基本内容 只考虑滤波器的幅度特性，不考虑相位特性。文献【3 】提出了对通用参数滤波器 的改进，除了在_ ，“轴上具有零点外，还在轴外具有象限对称复数零点( 即复数 衰减极点，通常称为四点组) 。阻带的衰减主要由_ u 轴上的零点设定，而四点组 主要用于优化补偿相位，使通带相位特性也近似为直线。其传输函数为： 删。塑。姐! 兰坐二竺二三坐三生三! ：。1 彩， e ( s )五( s ) 式中己p ) 为由式( 1 2 6 ) 确定的复变- m s 的h u r w i t z 多项式( 最高幂次系数设 为1 ) ；a 为按通带特性要求而确定的常数；配i 表示s 平面_ 轴上的有限值衰减 极点，“ 为有限值衰减极点共轭对数；c n 、c k 2 表示s 平面四点组，“j ”为 四点组组数；z 表示在s = 0 处衰减极点的个数；在s = o o 处衰减极点的个数m ， 取决于e o ) 比p ( s ) 高的阶数。 线性相位的要求转换为延时特性为恒定数值，采用r e m e z 算法使通带延时 特性逼近一条直线【3 】。如果对阻带衰减有特定要求，也可以用r e m e z 算法逼近 要求的特性，并将对通带延时的逼近与阻带衰减的逼近交替进行。 上述的通用参数滤波器，其通带幅度特性都是等波动的，即为c h e b y s h e v 型 滤波器。文献f 4 1 提出的通带幅度为最大平坦型的通用参数滤波器，也使用四点 组并通过优化使通带延时为等波动近似直线，是一种具有近似线性相位的 b u t t e r w o r t h 滤波器。它的特征函数具有形式 一塑；业兰坐型孥坚：竺型勰， ，( s ) 声0 2 + q ；) 式中q ，为通带内最大平坦点频率，m 为滤波器的阶数；为一常数；qr 表 示s 平面轴上的有限值衰减极点，“l ”为有限值极点共轭对数；c k l 、c k 2 表 示s 平面四点组，“j ”为四点组组数；z 表示在s = 0 处衰减极点的个数。根据特 征函数与传输函数的关系，可得相应的滤波器传输函数，其形式同式( 1 2 7 ) 。通 带延时特性的优化目标与过程跟c h e b y s h e v 型相似。 以上对通用参数滤波器的叙述都是在模拟域，通过双线性变换即可用于设计 具有近似线性相位的i i r 通用参数数字滤波器。 1 4 3 双线性变换 双线性变换是一种用来设计i i r 滤波器的常用方法，是基于模拟原型滤波器 转换的。 1 2 北京邮电大学硕士论文第一章通用参数滤波器的基本内容 从s 平面到z 平面的双线性变换由下式给出 墨_ ( 等) m 2 9 ， 上述变换是一一对映的，即s 平面的一点唯一映射到z 平面内的一点，反之 亦然。于是数字传输函数g ( z ) 和模拟传输函数也g ) 之间的关系为： g = 州k ) c - 删 式( 1 2 7 ) 是模拟域通用参数滤波器传输函数表达式，经双线性变换可得数字 域系统函数 h g ) 一 知7 l = i l ( 5 2 + q ；2 ) 】 1 j ( s + c 。，) 2 + c 。2 ：k c 。) 2 + c 亿2 e ( s ) ( 1 - 3 1 ) 式中为非0 有限值传输零点对数，c n 、c k 2 表示s 平面四点组，j 为四点 组组数，表示在0 频率零点的个数。我们在滤波器组中取通用参数滤波器为单 调衰减，不设置有限传输零点，即= 0 ，则滤波器的系统函数可以写为( 包括通 带幅度等波动型和最大平坦型) ： 日( z ) -凇唿k ) 2 + 2 k 吒。) 2 + c 厶 e o ) ( 1 - 3 2 ) 在根据设计步骤得到通用参数滤波器的传输函数后，我们通过零极点来计算 滤波器的频率特性，这时需将滤波器h t ( z ) 表示成如下零极点形式： 日。( z ) 。c 。仟三二笙竺( 1 - 3 3 ) 以( z ) | g j = l 羞蒡 式中乞是零点， 妒刀是极点，以是滤波器的阶数，c t 是常系数。 当z = e 加时，滤波器的幅度、相位和延时特性为 m 幅度：酬目g | = 【 相侍o 。冬乜陀纽! ! 呈竺：垒! ! 呈翌竺 撇：k 2 荟优喀尝专谶 1 3 ( 1 - 3 4 ) ( 1 - 3 5 ) 堕 些啷 。一。 一一一 塑| ； 留 c甜 m y 台 北京邮电大学硕士论文第一章通用参数滤波器的基本内容 番年时，冬 1 一c o s ( m 一驴。) 延时一一荟高篝畿 + 警三二型型竺业( 1 - 3 6 ) 鲁1 2 c o s ( t o 一驴朋) + 在滤波器优化设计过程中，四点组位置的变化将使滤波器传输函数发生相应 变化，其频率特性也需要根据式( 1 - 3 4 ) - ( 1 - 3 6 ) 重新计算。 1 5 本章小结 本章介绍了多抽样率信号处理的基本理论和分析一综合滤波器组的概念。以 及通用参数滤波器的基本概念，为后面希尔伯特变换器的分析和设计打下了很好 的理论基础。 1 4 北京邮电大学硕士论文第二章h r 型希尔伯特变换器的分析 第二章i ir 型希尔伯特变换器的分析 2 1i ir 型脉冲成形滤波器 2 1 1 系至斯特第一准则 假定带限信道的频率响应特性是理想的，即当i ，l s w 时c ( ) = 1 。这样，脉 冲石o ) 具有谱特征x ( 厂) ；i g ( ，) 1 2 。式中 j o ) = 二彳( 厂弦冲够 ( 2 - 1 ) 令人感兴趣的是求得脉冲z q ) 的频谱特性并从而求得不产生符号间干扰的 传输脉冲g q ) 。由于 y 七= i k + ， 。m ( 2 - 2 ) n - u 月七 因此，无符号间干扰的条件是 x ( f k r ) 暑z ( 七) = 三簇二暑( 2 - 3 ， 可推导出使石p ) 满足上述关系式的x ( ，) 的必要且充分条件。这个条件称为 奈奎斯特脉冲成形准则或零i s i 奈奎斯特条件，即： 使z ( f ) 满足 z c 咒丁，2 三 竺二暑 的充分必要条件是其傅里叶变换x ( 厂) 满足 罗x ( f + m t ) = t 一 即：x ( j w j m w s ) ；c ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 北京邮电火学硕上论文 第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 其中：= 幼厂，g 。幼丁 2 1 2 奈奎斯特滤波器 2 1 2 1l 帝滤波器 图1 - 5 ( b ) 是内插因子为l 的滤波器，该内插器的输入输出关系由下式给定： y(z)=h(z)x(z)(2-7) 如果内插滤波器h ( z ) 是以l 带多相形式来实现，则 日( z ) - - e o q l ) + z 。1 巨( z ) + z 一2 e 2 ( z 工) + + z 一一1 毛一1 ( z ) ( 2 8 ) 假设日q ) 的第k 个多相成分是个常数，即e 0 ) = 口： 于是y ( z ) 可以表示为： y ( z ) = a z - k x ( z 工) + 善z 一局( z 工) x ( z 工) ( 2 - 1 0 ) 因此，y l n + 七】= a x m 】，即所有位于n 的输入样值无任何失真的出现在输 出端，其中位于( l - 1 ) 之间的样值由内插值确定。 具有以上特性的滤波器称为奈奎斯特滤波器或l 带滤波器，由于它的冲激 响应存在许多零值，使得它在计算上非常有吸引力。例如，l 带滤波器的冲激响 应对于k = o 来说满足以下条件： 舭小恬蒜 ( 2 _ 1 1 ) 图2 - 1 表示的是一个典型的三带滤波器的冲激响应( l = 3 ) 。如果日( z ) 满足 方程( 2 9 ) ，即毛( z ) ；口，则可证明为 日q 嘭) = l 口_ 1 ( 假设口2 必) ( 2 1 2 ) 岗 7 。 1 6 渺咖 n 蛾 勰 北京邮电大学硕j ：论文第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 h n 1 1iii171 n 图2 - 1 三带滤波器的冲激响应 由于日g 嘭) 的频率响应是h ( e 归) 的搬移何( e 伽一撕肛) ，则所有这些日( e 弘) 的l 搬移叠加起来的和为常数。l 一带滤波器可以是f i r 型也可以是f i r 型。 2 1 2 2 半带滤波器 l = 2 的l 带滤波器叫做半带滤波器。由式( 2 9 ) 可知半带滤波器的传输函 数为 h ( z ) = 口+ z 。臣q 2 ) ( 2 1 3 ) 它的冲激响应满足l = 2 时的公式( 2 1 1 ) 。公式( 2 - 1 3 ) 的频率响应条件简 化为 1 h ( z ) + h ( - z ) 一1 ( 假设口2 寺) ( 2 ，。- 1 4 ) 如果h ( z ) 具有实系数，则h ( 一p 弦) = h ( e h ”们) ，从式( 2 1 4 ) 导出 h ( e 归) + 日0 协一。) = 1 ( 2 1 5 ) 上面的等式意味着对于所有的口，h ( e 7 协7 2 埘) 和日( e 扣胁) 的叠加和为1 。 换言之，h ( e ) 对半带频率2 对称，因之称为半带滤波器。 2 1 3 功翠对称滤波器和共轭正交滤波器 满足下列条件的传输函数为日( z ) 的实系数因果数字滤波器称为功率对称滤 波器 h ( z ) h ( z 。) + 日( 一z ) h ( - z 一1 ) ；k ( 2 1 6 ) 其中k 0 是一常数。 如果我们定义g ( z ) = h ( 一z ) ，则从上式可知日( z ) 和g ( z ) 是功率互补的 h ( z ) h ( z 。) + g q ) g ( z 1 ) = 常数 ( 2 1 7 ) 1 7 北京邮电大学硕士论文 第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 例如，如果( 2 1 6 ) 式中的日( z ) 是阶数为n 的f i r 型数字滤波器的传输函 数，则f i r 滤波器的传输函数 g ( z ) ；z 。日( 一z 4 ) ( 2 - 1 8 ) 称为h ( z ) 的共轭正交滤波器，反之亦然。根据定义g ( z ) 也是功率对称因果 滤波器。从式( 2 1 6 ) 和( 2 1 8 ) 可知一对共轭正交f i r 型滤波器日( z ) 和g ( z ) 由 于满足式( 2 1 7 ) ，它们也是功率互补的。 2 。1 4 脉冲成形滤波器设计理论 2 1 4 1 引言 无符号间干扰传输是指滤波器的时间响应g o ) 和频率响应g ( j c o ) 遵从奈奎 斯特第一准则。 g ( 取) ；嫉c ：t 5 出, k - - - 2 0 ，, g ( j e o j k 0 2 9 ) = c ( 2 1 9 ) 其中是数据传输的角频率，c o g = ( 纫) i 。 注意到如果接受到的信号在匹配滤波后仍保持无符号间干扰特性，则传输波 形g o ) 应为： g ( 七互) 2 昙6 t ，g o ) = f 一1 ( g ( j 缈) ) ，矗( 七互) = 三6 t i l l o ) = f 。1 ( 日( 缈”， k 一0 ，1 ，2 ， ( 2 2 0 ) 其中j i l o ) 是匹配滤波后的时间响应， h ( j r a ) ；i h ( 歹) l g ( - ) g ( ，) = i g ( j ) 1 2 ； 木表示复共轭：f 。1 表示逆傅立叶变换；瓯为： 瓯= 毛，七；l 乏二? 图2 - 2 表示一数据传输系统，在它的9 1 3 f ) 和h ( t ) 处均无符号间干扰。 1 8 北京邮电大学硕士论文第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 脉冲数据 图2 2 带有或未有匹配滤波器的无码间干扰的数据传输系统 在图2 - 2 中g ( i ) 是脉冲成形滤波器( 时间响应为酏) ) ，位于发送端；其共 轭函数为o ( i ) ，作为匹配滤波器，在接收端。 2 1 4 2 一种脉冲成形滤波器的替代方法 下面介绍的响应在下式范围内满足无码间干扰准则， q s ( z i gs 弛 ( 2 - 2 1 ) 其中啡表示该滤波器的截至角频率。 令t ( j o j ) = 彳 ) + 卢) 为奈奎斯特滤波器的频率响应，其传输数据的角频 率为。，有： i r ( j ) i = 0 ，当p i 让时 和 t ( j m ) + t ( j c o g - j w ) tc ，当丁 ) 0 时 其中满足( 2 - 2 1 ) 式。以下考虑的是在h 0 时的奈奎斯特 ( 2 - 2 3 ) 曰( ) = b ( g 一) ，彳( ) 0 时。 ( 2 2 4 ) 下面的计算未涉及到口 ) ，因此可取其为零( b ) = 0 ) 。但奈奎斯特滤波 器传输函数的虚部总是满足( 2 2 4 ) 式的。 在式( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 的情况下，将总是满足传输数据角频率为。的 奈奎斯特频率响应。 g ( j w ) = 1 9 北京邮电大学硕士论文 第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 砸川厢丽一厕刚呦a n 辱) ，o 吐 鼬h 厢丽一厕x 州辱) ，o 一吐 0 ，i o ) i 吐 ( 2 - 2 5 ) h ( j w ) = j 日( ，) l = g ( j o j ) g ( _ ，) 一彳) ( 2 2 6 ) 由( 2 - 2 5 ) 式和( 2 2 6 ) 式各自计算r e 【g ( 加) 】和r e h ( j o j ) 得： r e g ( j ) 】= r e 日( j ) ；彳( ) ( 2 2 7 ) 满足公式( 2 2 3 ) 。 从( 2 2 5 ) 式容易得 ：乒丽洱j 两；瓜而 所以h i l g ( 如) 】= h g ( _ 一如) ，满足公式( 2 2 4 ) 。i 扫- t i m h ( j w ) = 0 ， 自然也满足公式( 2 2 4 ) 。 以上理论使得时间响应g ( f ) 无论有无匹配滤波器都是无码间干扰的。 g 互) = 似互) 2 尹1 h ( t ) = f 4 ( h ) ) ，k = 0 ，- , - l - 2 ， 其中i = ( 知缈。) 。 为了更加完整地描述奈奎斯特滤波器g ( j w ) ，应把相位响应驴 ) 考虑进去： 妒( ) + 驴( g 一) = 刀r 2 ，g 一吐 q 撕t a n ( 脬) 则 2 0 北京邮电大学硕j 论文第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 咖m c 十叫l 防卜柚( i = 巾) = 三 按照以上理论可以设计出无论有无匹配滤波器都无码间干扰的脉冲成形滤 波器。 2 1 5i l r 型脉冲成形滤波器的设计 根据以上所述，首先设计出来一个低通滤波器，高通滤波器是通过低通滤波 器进行频移得到的。假设低通滤波器的传输函数为g ( z ) ，则高通滤波器的传输函 数为g ( 一z ) 。根据上述理论，g ( z ) g ( z 4 ) + g ( 一z ) g ( 一z 4 ) 应等于1 。因此我们所设 计的滤波器应满足以下两个条件： 1 幅度特性满足功率互补对称条件； 2 g ( z ) 和g ( - z 。1 ) 的相位相加为鲁，或延时相加为0 ( 在一c o , 哝范 围内) ，是应满足的相位( 或延时) 特性要求。 ji g 一 i ll ii i 7 0 7 图2 3 幅度特性 北京邮电大学硕士论文 第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 妒 2 9 n p g 位 c o c c 。 。 么 、户 石 。 图2 - 4 相位特性 图2 3 为要求的幅度特性，它们在鲁的位置应交于3 d b 点，即0 7 0 7 处，它 们的功率特性互补对称，图中，选择等于万。图2 4 为它们的相位特性，二者相 加应为竺。 根据所提出的设计要求，采用b u t t e r w o r t h 型通用参数滤波器，首先适当地 选择a ( z ) ( 也即g ( 一z ) ) 的阶数，和四点组的组数及其起始值，使所构成的滤波 器组的幅度特性能大致符合图所示的情况，然后改变四点组参数，交替优化图 2 - 6 和图2 7 的幅度特性和相位( 或延时) 特性，一直至逼近完成。优化可采用 的最小平方误差、r e m e z 等优化算法，均有参考程序提供，可以直接引用。在此 对所用算法的具体过程不再叙述。 至此，便可实现出带有匹配滤波器的脉冲成形滤波器g ( 归) 或不带有的脉冲 成形滤波器日( 泐) 。 2 1 6 设计举例 采用通带幅度最大平坦型通用参数滤波器，设计结果以图形方式给出。 实验所选择的滤波器阶数为1 0 阶，包含2 个四点组，g ( e 弦) 在信号最高频 率( = 万，相当于模拟域的无限大频率) 有2 个衰减极点。经过优化后四点组 的最佳位置为： c b e s t =2 3 2 7 2 9 05 1 5 9 2 1 1 0 3 1 9 8 0 2 8 3 8 相对应的低通滤波器的系数为： 分子h n u m = 北京邮电大学硕士论文第二章i i r 型希尔伯特变换器的分析 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 3 6 5 8 0 7 2 7 5 7 9 1 9- 2 5 0 7 6 2 9 9 0 1 8 3 0 6 6 5 7 7 7 6 8 1 2 4 7 3 4 7 2 07 0 4 3 2 3 5 7 7 1 2 6 3 7 61 8 5 5 3 4 1 2 7 7 8 4 0 2 2 3 7 0 4 3 2 3 5 7 7 1 2 6 3 7 65 7 7 7 6 8 1 2 4 7 3 4 7 2 0 - 2 5 0 7 6 2 9 9 0 1 8 3 0 6 6 2 0 3 6 5 8 0 7 2 7 5 7 9 1 91 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 分母h d e n = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 1 2 4 4 6 5 5 9 6 9 1 82 5 1 0 8 8 6 0 2 2 0 11 3 6 2 3 0 6 6 8 4 1 5 5 8 9 2 2 21 5 9 7 8 4 2 0 6 5 l1 0 5 0- 0 7 9 6 7 2 7 4 7 2 0 9 8 2 2 0 3 0 1 2 9 8 9 11 3 5 8 3 90 0 8 6 5 4 3 6 5 2 0 5 5 0 70 0 1 7 1