（电路与系统专业论文）对称延拓算法在小波图像处理中的应用研究.pdf

中文摘要 摘要：近几年来小波变换在图像处理上获得了广泛的应用。它可以把时域、频域 结合起来，对图像进行多分辨率分析。由于它能将图像信息分解成独立的不同频 带的信号，有利于采用不同的编码方法分别处理，获得高压缩比，因此图像压缩编 码成为其主要应用领域。 图像数据具有有限长度，经过小波变换的线性滤波，必造成子带信号的数据 点增加，从而引起边界失真，为了减少恢复图像信息的丢失或者失真，在进行小 波变换时，对原始信号进行边界延拓。 在本篇论文中，通过对几种常见的延拓方法分析比较，选取对称周期延拓变 换的方法来解决边界失真问题。在介绍对称周期延拓类型及滤波器的对称性后， 通过公式推导得到了有限长度信号在通过系统及抽取操作后的对称关系，在此基 础上，实现了适应各种可能情况的多级二维小波变换系统，并建立其用户交互界 面。在算法分析实现过程中，提出了两种降低算法计算复杂度的优化策略：基于 卷积和抽取原理，在分解过程中，只对一半的数据进行计算；输入信号及子带信 号的延拓长度仅需为滤波器组的最大长度。同时，利用时域卷积实现m a l l a t 小波 算法及对小波分解系数建立分解向量的索引矩阵使算法实现更加简化。最后将这 种结构应用于图像编码，即使用s p i h t 算法对图像的小波分解系数进行压缩编码， 然后解码重构，比较重构图像与原始图像的p s n r 。 仿真结果表明，以这种方法进行小波分解重构，图像可以无失真的精确重构。 并且采用对称周期延拓方法的重构图像总是比采用周期延拓方法的重构图像质量 高，通过在m a t l a b 仿真环境中验证，其峰值信噪比得到了提高；并且编码后的重构 图像峰值信噪比也得到了提高。这说明了相比其他方法，对称周期延拓算法保证 系数不扩充且精确重构的前提下，充分保证了边界的光滑性，更有效地解决了子 带分解中信号外延问题，具有一定的应用意义。 关键词：对称周期延拓；小波变换；两通道滤波器组；边界处理；周期延拓；s p i h t 编码； 分类号：t p 3 9 1 a bs t r a c t a b s t r a c t ：i nr e c e n ty e a r sw a v e l e tt r a n s f o r mh a sr e c e i v e ds u b s t a n t i a la t t e n t i o ni n i m a g ep r o c e s s i n g i tc a nc o m b i n e t h et i m ed o m a i na n dt h ef r e q u e n c yd o m a i n i t a n a l y s e st h ei m a g e sb ym u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s a tt h es a m et i m e ，i tc a nd e c o m p o s e t h ei m a g ei n t od i f f e r e n ti n d e p e n d e n tb a n d sa d m i n i s t e r i n gt ob ee n c o d e db yd i f f e r e n t m e t h o d s w h i c hh a v eb e e np r o v e da ne f f e c t i v et e c h n i q u ef o rh i g hq u a l i t yc o d i n ga tl o w b i tr a t e t h ei m a g ei sf i n i t e 1 e n g t hs e q u e n c e w h e na l li m a g e ，w h i c hi sd e c o m p o s e db y w a v e l e t i sr e c o n s t r u c t e d ，s u b - b a n ds i g n a ld a t ap o i n t sw i l li n c r e a s e ，a tt h es a m et i m e ，t h e b o u n d a r yd i s t o r t i o nw i l lb ei n t r o d u c e d i no r d e rt o r e d u c et h ei n f o r m a t i o nl o s to r d i s t o r t i o no fi m a g e ，i nt h ew a v e l e tt r a n s f o r m ，w en e e dm a k ee x t e n s i o no f t h eb o u n d a r y o ft h eo r i g i n a ls i g n a l i nt h i sp a p e r ，a f t e rt h ea n a l y s i sa n dc o m p a r i s o no ft h ec o m m o ne x t e n s i o n ，w eb s e s y m m e t r i ce x t e n s i o nt r a n s f o r mt o s o l v et h ep r o b l e m a f t e rt h ed e t a i l e da n a l y s i so f s y m m e t r i ce x t e n s i o nt y p e s a n dt h es y m m e t r i ct y p e so ff i l t e r , w ed e r i v e dt h e s y m m e t r i c a lr e l a t i o n s h i po ft h ec o n v o l u t e da n dd e c i m a t e ds i g n a l sw i t hf i n i t el e n g t h w e b u i l dt h em u l t i 1 e v e lt w o d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r ms y s t e mf o ra n ys y m m e t r i c t y p e so fi m a g e sa n df i l t e r sa n da l s ob u i l dt h ei n t e r f a c eo ft h es y s t e m a n dw e i n t r o d u c e t w ok i n d so fo p t i m i z a t i o ns t r a t e g yt or e d u c et h ec o m p l e x i t yo ft h ea l g o r i t h m ：b a s e do n t h ep r i n c i p l eo fc o n v o l u t i o na n dd e c i m a t e ，o n l yh a l fo ft h ed a t aa l ec a l c u l a t e di nt h e p r o c e s so fd e c o m p o s i t i o n ；t h ee x t e n s i o nl e n g t ho fi n p u ts i g n a la n ds u b b a n ds i g n a lo n l y e q u a lt ot h em a x i m u ml e n g t ho ff i l t e rb a n k s a tt h es a m et i m e ，t h er e a l i z a t i o no f a l g o r i t h mb yc o n v o l u t i n gi nt i m ed o m a i na n dt h ee s t a b l i s h m e n to f i n d e xm a t r i xf o rt h e d e c o m p o s i t i o nv e c t o rm a k et h ea l g o r i t h ms i m p l e r t h i ss t r u c t u r ew i l lb ea p p l i e d t ot h e i m a g ec o d i n g ，i tm a k ec o d i n go nw a v e l e td e c o m p o s i t i o n c o e f f i c i e n tw i t hs p i h t a l g o r i t h m ，t h e nm a k ed e c o d i n ga n dr e c o n s t r u c t i o n ，c o m p a r et h e p s n rb e t w e e nt h e r e c o n s t r u c t e di m a g ea n dt h eo r i g i n a li m a g e t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ei m a g ec a nb ep e r f e c t l yr e c o n s t r u c t e dw i t h o u ta n y b o u n d a r yd i s t o r t i o ni n t h i sw a y a n di t i so b v i o u st h a tt h er e c o n s t r u c t e di m a g ew i t h s y m m e t r i ce x t e n s i o nm e t h o d sc a na l w a y sb e b e t t e rt h a nt h a tr e c o n s t r u c t e dw i t hp e r i o d i c e x t e n s i o nm e t h o d i tp r o v e dt oh a v ei m p r o v e dt h ep s n ro ft h er e c o n s t r u c t e di m a g e c o m p a r i n gw i t ht h em e t h o do fp e r i o d i ce x t e n s i o n i t i sa l s op r o v e dt oh a v ei m p r o v e dt h e j 量塞交通太堂亟堂僮论塞旦曼! ! p s n ro ft h ec o m p r e s s e di m a g e sb ys i m u l a t i o ni nm a t l a b e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e s y m m e t r i ce x t e n s i o na l g o r i t h mc o m p a r i n gw i n lo t h e rm e t h o d si sm o r ee f f e c t i v ei n r e s o l v i n gt h ep r o b l e mo fs i g n a le x t e n s i o nd u r i n gt h ed e c o m p o s i t i o no fs u b b a n ds i g n a l ， a n di ti sw o r t h yo fa p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：s y m m e t r i ce x t e n s i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；t w o c h a n n e lf i l t e rb a n k s ； p r o c e s so f b o u n d a r y ；p e r i o d i ce x t e n s i o n ；s p i h te n c o d i n g c l a s s n o ：t p 3 9 1 v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位敝作者繇鹰齑呼 签字同期：缈号年6 j li o h 翩虢诸位 签字日期：z 力扩年6 , 9 刁日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者躲胁呼 签字蹴 砂多年月矽日 致谢 本论文的工作是在我的导师薛健副教授的悉心指导下完成的，薛健副教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来 薛健老师对我的关心和指导。 在最初研究阶段，我对对称周期延拓算法及小波变换理解不深，是薛老师一 步步地引领我熟悉这个领域，我的每一点进步都倾注了他的心血。薛老师对工作 严谨求实，对学生学业要求严格，对我的生活关心。他的工作及科研作风将深刻 影响我今后的工作和学习。 感谢国家电工电子教学基地信号与系统教研室的全体老师，他她们都在课题 的研究过程中给我耐心细致的指导。在论文课题的研究过程中，感谢陈后金、侯 建军、刘颖、郝晓莉等老师给予的热情指导、帮助和支持，尤其是陈后金教授对 我的科研工作和论文提出了许多的宝贵意见。在此表示衷心的感谢。 在实验室工作及撰写论文期间，李玲玲、巩秀芳等研究生实验室的各位同学 对我论文中的研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我的父母，他们的理解和全力支持，使我能够顺利完成研究生期 间的工作和学习，在此我深表谢意! 最后，衷心感谢所有帮助和关心我的老师、同学、朋友! 1 1 研究背景 1 引言 2 0 世纪8 0 年代初，m o f l e t 和a r e n s 等人首次提出了“小波”的概念。小波变 换的出现和发展，源于许多不同科学领域信号处理的要求。作为一种数学工具， 小波变换已广泛应用于信号分析、图像处理、数值分析等方面。近年来，由于小 波变换在时域和频域同时具有良好的局部特性，而且具有描述非平稳图像信号的 本领和适应人的视觉特性等良好性质，因而成为图像处理领域研究的热点。小波 变换的最大特点是可以多分辨率的描述图像信号，并可将图像信号分解为一组多 尺度的子带信号，且分解后的各子带图像相对平稳，易于进一步处理。小波变换 在图像压缩中的应用具有高压缩比、较好的恢复图像质量的特点，能够满足图像 的存储、通信、检索的需要，因而引起了广泛的注意，并且出现了各种基于小波 变换的图像压缩方案【l 】；特别是某些特殊的应用中，它有着其它压缩方法所不可代 替的位置。 尽管如此，基于小波变换的图像压缩技术还有待于改进，还有许多问题值得 探讨，其中之一便是图像的边界处理。小波变换是针对无限长信号来进行的，而 对有限长信号则存在一个边界处理问题。由于图像信号是有限长信号，在子带分 解过程中，为了满足完全重构条件，其严格重抽样的子带信号的样本数将增加， 信号边界将外延，这不但增加了计算量和存储量，而且使压缩效率降低；如果截 断信号至标准长度，则引起输出失真，无法得到完全重构信号，而且随着分解层 数的增加，其边界失真可能累加，使得边界失真更加严重【2 j 。 边界处理的好坏，直接影响图像的重构质量。因此图像的边界处理已经成为 众多学者研究的课题。到目前为止，已提出的解决这一问题的方法大概可以分为 三类：一是进行边界延拓；二是设计正交边界滤波器【3 】；三是设计时变滤波器从而 避免出现边界问题【4 】。但是由于时变滤波器的设计比较复杂，实现也比较困难；而 利用正交边界滤波器有可能破坏小波分解滤波器的低通或高通性能；因此，在实 际的图像压缩应用中，这两种方法仍然很少采用。人们采用最多的是边界延拓的 办法，因为其实现起来很简单，而且如果延拓方法选择得当，边界能够完全恢复【5 l 。 边界延拓方法的选择，应根据具体情况而定，要考虑实现的方便性、计算的简单 性、重构时的可完全恢复性、以及与压缩有关的其它问题。 1 2 国内外研究现状 为了使小波变换后的系数个数不增加且能达到精确重构的目的，很多学者多 进行了这方面的研究。 w o o d s 和0 n e l l 6 】建议采用循环卷积代替线性卷积，即对长度为m 的有限信 号以m 为周期进行周期延拓，消除了信号的有限长度带来的失真或存储量增加， 并且具有简单、可采用f f t 实现、对滤波器特性无要求、不受滤波器组的平移影 响等优点。但周期延拓在边界点造成尖锐跳变，引入了人为高频成分，使得高频 子带的方差增加，影响最终处理结果。 由于线性边界延拓方法可以认为是时变线性滤波器组的特殊类型，一些作者 已经通过特殊“边界滤波器”重建解决边界问题。c o h e n 等人【7 1 ，改进了y m e y e r 及其他人的早期论文，建立了边界小波和相关滤波器组；h e r l e y 引、h e r l e y 和v e t t e r l i 发展了标准正交和非标准正交边界滤波器及用于实现有限连续信号编码和时变滤 波器组的小波；w i c k e r h a u s e r t 9 】提出了基于输入向量的平稳变形和周期延拓的有限 持续信号的编码的不同方法；一些研究者推导边界点误差等式以修正边界点误差， 但这些方式计算复杂且计算量大。 m j t s m i t h ，s a m a r t u c c i 1 0 】对对称滤波器提出了对称周期延拓方法。 与周期延拓相比，对称周期延拓产生了更平滑的边界，但增加了周期的长度。文 献中提出了对称周期延拓的方法，但对如何在不扩展信号的前提下延拓以得到完 全重构的信号缺乏系统性的研究，对分析合成过程缺乏深入分析。 c m b r i s l a w n 】改进了用两通道滤波器组实现对称周期延拓变换，并将它作 为他的数字指纹的f b i 图像编码标准的论文的一部分【1 2 1 。f b i 标准成为第一个主 要的应用，开发了两通道对称周期延拓变换的一个重要特征，也就是，它提供了 一种不放大、无错误的变换适用于任意长度的信号( 不仅仅是偶数长度) 。在文献 【1 2 】中，应用于奇数尺寸图像的两通道对称周期延拓变换规范消除了传统标准中对 输入信号附加的约束条件。 这些一般的延拓方法或者需要附加的计算，或者在分析和合成时，邻近边界 需要改变滤波器组。对称周期延拓方法，相比较而言，不需要附加的计算来形成 信号延拓，也不需要特殊边界滤波器的实现。因此，对称周期延拓成为介于简单 算法方法如环形延拓或补零截短【l3 】和更多可获得的更多平滑的复杂方法之间的一 种折衷。 国内对于边界处理方面的研究相对较晚，在目前的文献中，大多集中在介绍 几种常用的延拓方式或一维信号的精确重构方式，对于二维信号( 数字图像) 边 界延拓方式的研究或是简单提及，并没有详细讨论各种参数的影响和具体应采用 2 的操作；或是只研究了多速率滤波系统中的对称周期延拓的一般情形，而对于奇 偶数长度信号，偶数长度滤波器情况没有作进一步的讨论，本文则是对这一问题 作进一步研究。 1 3 论文结构安排 c m b r i s l a w n 在论文【1 4 】中从理论上论证了利用多分辨率滤波器组实现的对称 周期延拓变换，并对相关性质给出了证明。本文就是在此基础上，对两通道滤波 器组实现对称周期延拓变换作进一步研究，针对不同类型的信号及滤波器，将图 像子带编码中的对称周期延拓方法统一在一个理论框架中，呈现一个完整而严密 的处理，并在实际应用中比较其优越的参数特性，同时在p c 上进行仿真验证。 第2 章，本文简要介绍小波变换及滤波器组相关的基础知识。首先对小波变 换的两种类型连续小波变换( c w t ) 和离散小波变换( d w t ) 进行了描述，包括算 术表达式及时频特性；在离散小波的特例二进小波变换的基础上，对多分辨 率分析理论【1 7 】简要介绍，同时介绍了标准正交基的概念，为后文作铺垫；由多分 辨率分析的思想得到d w t 的快速算法m a l l a t 算法【l8 】；最后介绍多分辨率分 析中涉及到的滤波器组理论，对滤波器组的基本运算抽取和内插作简要说明 后，从处理信号失真的角度介绍了两通道滤波器组的准确重建条件，分解合成滤 波器问的p r 条件是生成正交小波基函数约束，将小波变换与滤波器组理论结合起 来，为第4 章提出的两通道分析综合系统奠定了基础。 第3 章，本章主要是对小波分解变换过程中各阶段序列的特性作详细的讨论， 这是第4 章具体实现操作的理论依据。首先对几种常见的延拓方法的优缺点进行 了分析，由于对称周期延拓变换可以获得平滑的图像边界，因此在子带分解与合 成中得到了较为广泛的应用；然后对序列对称周期延拓类型，滤波器的对称性作 详细的介绍，最后通过公式推导得到了滤波及抽取后序列的对称特性。 第4 章，本章是本文的重点章节，主要是应用于图像处理的小波变换的具体 实现。图像属于二维信号，图像的小波变换必然要用到二维小波变换，将第2 章 小波变换及滤波器组的理论结合起来得到图像的可分离多分辨率分解、合成滤波 器组结构；为了从根本上解决小波变换的边界处理问题，提出具有边界延拓功能 的两通道分解综合系统；并在第3 章讨论的序列特性的基础上，按滤波器组对称 性的不同，对分解综合系统各阶段具体操作进行了分析，最终实现了基于对称周 期延拓算法的多层小波变换系统，并进行仿真验证。在具体实现的过程中提出了 两种优化策略以降低算法复杂度：首先，分解时子带信号的延拓长度仅需为滤波 器组的最大长度，其次，由卷积与抽取的原理，只需计算一半的数据。另外，与 3 传统实现小波变换的方法相比，本文讨论的方式降低了实现算法的复杂程度且减 少了中间数据的存储消耗。 第5 章，应用对称周期延拓的小波变换用于图像压缩编码，对小波分解后的 小波系数采用s p i h t 算法实现不同压缩率下的编码，然后解码重构，比较图像重 构质量，实验结果表明，在相同压缩率的情况下，相比于周期延拓法，对称周期 延拓算法重构的图像获得更好的压缩效果，这也就证明了对称周期延拓算法有效 地解决了小波分解过程中出现的边界外延问题。 第6 章，总结了论文所做的工作和不足以及未来对应用对称周期延拓的小波 变换的进一步实现的展望。 4 2 小波变换的基础理论 小波分析是8 0 年代末发展起来的一种处理非平稳信号的时频分析方法，具有 f o u r i e r 分析不可比拟的优点，一经问世，就受到基础学科与应用工程的广泛重视， 在非线性分析、算子理论、数值分析、量子力学、信号分析、图像处理、计算机 识别、机械故障诊断等领域都有许多应用。可以说小波理论是在应用中产生，再 经过数学家的完善与深入，最后又在应用中得到发展的。小波分析总的来说是传 统f o u r i e r 分析的继承与发展，但小波分析以多分辨率分析为基础，克服了f o u r i e r 分析的不能反映时域频域的局部性的缺点，是当前应用数学和工程学科中一个迅 速发展的新领域。 在信号分析中，对信号的基本刻画往往采取两种最基本的形式，即时域形式 和频域形式。把时间或空间位置作为自变量，而把信号的某一数值化特征作为因 变量来描述信号是常用的方式，此时自变量的取值范围称为时域。另一方面，常 要求对信号作频域刻化，即f o u r i e r 变换。 设信号f ( t ) ，f ( t ) 刀( 尺) ，其f o u r i e r 变换为： ，( c o ) 2 宏 邝) e 1 呦( 2 - 1 ) 逆变换为 1 “ 厂( f ) = - 圭lf ( 国) p 7 础矗缈 ( 2 - 2 ) 么7 一 只) 确定t r i o 在整个时间域上的频谱特性。f o u r i e r 变换将信号的时域特征和 频域特征联系起来，能分别从时域和频域上观察信号，但不能把二者有机结合起 来。f o u r i e r 变换是整个时间域的积分，是一种全局的变换，不能反映某一局部时 间内信号的频谱特性，即在时间域上没有任何分辨率。 为了克服f o u f i e r 变换不能同时进行时间、频率局部性分析，g a b o r 于1 9 4 6 年 引入加窗f o u r i e r 变换，信号的窗u i f o u r i e r 变换定义为： g ，( c o ，f ) ：f ff ( t ) g o r ) e - m t d t ( 2 3 ) 其中函数g 是给定的称为窗函数( 如g u a s s 函数) 。此时有如下重建公式： 1 f ( t ) 2 去j j g ( c o , r ) g ( 卜咖伽如如( 2 - 4 ) 其主要思想即把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是 通过时间加窗来实现的，以固定的滑动窗对信号进行分析，随窗函数的滑动，可 以表征信号的局部频率特性。由式( 2 3 ) 可知，虽然窗口位置随f 改变( 平移) 符 s 合研究信号不同位置局部性质的要求，但其窗口的形状和大小固定不变，与频率 无关。因此，窗口形状、大小不随频率而变是g a b o r 变换的一个严重的缺点，并且 不论怎样离散化，均不能使g a b o r 变换成为一组正交基。 小波变换继承和发展了窗口f o u d e r 变换时域、频域局部化的思想，同时又克服 了窗口大小不随频率变化、没有正交基的缺点，即在低频部分具有较高的频率分 辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨 率，这种特性使小波变换在工程上有广泛的应用。小波变换实际上就是将信号向 一系列小波基上投影，小波基函数相当于一个窗函数，它的平移相当于窗口平移， 它在低频区有大的时域窗口，频率越高，则时域窗口越小，而且具有离散化的规 范正交基【1 5 】。小波变换包括连续小波变换( c w t ) 和离散小波变换( d w t ) 。 2 1 连续小波变换与离散小波变换 若平方司积函数沙( f ) ( 即沙【f ) ( r ) ，( r ) 表不平方司积的实数空i 司，即 能量有限的信号空间) ，其傅立叶变换为痧( 缈) 满足条件： e 燃i o , i 揪佃 ( 2 5 ) 则称其为“基本小波”或“小波母函数”，式( 2 5 ) 称为“允许条件”，将小波母函 数y ( f ) 经过伸缩平移后就可以得到一个连续小波系列。令： 删。丽1 攻等卜；删 阻6 ， 称为由小波母函数少( f ) 生成的依赖于参数a 、b 的“连续小波 。其中a 为伸缩因 子，b 为平移因子。 对于任意函数厂( f ) 口( r ) ，定义其小波变换塑l 嘶，6 ) 钳帆) 2 丽1 肌) 攻学户 p 7 ) 小波逆变换为： 虬。厂( t ) = 巧1 e e 吩( 口，6 ) 虬。( t ) d a d f b ( 2 8 ) 由上面的定义可见，连续小波( f ) 之作用与g a b o r 变换中的函数g o f ) p 一埘 相类似，参数b 与参数f 都起着平移的作用；本质不同的是参数a 与参数缈，后者 的变换不改变窗口2 ( f ) 的大小与形状，而前者的变化不仅改变连续小波的频谱结 6 构，而且也改变其窗口的大小与形状。小波变换的时频窗口为两个矩形窗： 6 + 铂一州。枷小l 掣，掣l p 9 ， t 、国与、驴为窗函数的中心和半径，时窗和频窗宽分别为2 a a 缈和2 矿口， 其中b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上的 位置，也影响窗i s i 的形状。小波变换的时频特性如下【16 】： 1 ) 口增加，国降低，y 二 展宽，时频窗变宽，能够观测更长时间区间，同时痧( 口彩) 变窄，在频域能够观测更窄的频域窗，且频率中心向低频移动，这相当于在低频 情况，小波变换对时间看得粗一些，对频域看得细一些。 2 ) 口减小，国增大，y i 二i 变窄，时频窗变窄，观测更短时间区间，同时痧( 口国) 变 宽，观测更宽的频域窗，且中心频率向高频方向移动。小波变换对于高频情况， 对时间域看得细一些，对频域看得粗一些。 连续小波变换在理论上具有很好的信号分析和处理特性，但是尺度因子a 和 平移因子b 是连续变化的，很难利用计算机或者硬件实现，于是，人们提出了离 散小波变换。将式( 2 7 ) 中的参数a ，b 都取离散值，固定伸缩步长a o 1 ，位移步 长b o 0 ，取a = a g ”，b = n b o a o 一，从而把连续小波变成离散小波，即： 。( f ) = 簖圮少( a o t - n b o ) m ，以z ( 2 - 1 0 ) 设y 为基本小波，, g a x ( 2 1 0 ) 定义的函数族 ，。 舢。z 为离散小波，对于信 号f ；2 ( r 1 ，其离散小波变换定义为： ( 巧) 。，。= ( 厂，。) = 口孑心e 厂( f ) y ( 口? f 一刀6 0 眵( 2 - 1 1 ) 如果沙为允许小波，并且有足够的衰减，则d 是r ( 尺) 映射到，2 ( r 2 ) 。通常d 不存在逆变换。如果 聊，刀z 是r ( r ) 中的一个框架，即存在0 a b 佃， 有： 彳2 硝曰2 ，v r ( r ) ( 2 1 2 ) 则可以建立从小波系数( 厂，九，。) 重建厂的数学方法。特别有： 产以十2 - l x 脚( s ，。) 。+ r 其中，i r i 。( 号一1l l f l l 2 。如果砉接近于1 ，则误差项可以被忽略。 7 ( 2 - 1 3 ) 在大多数情况f ，小波模型不要求使用连续的尺度，为便小波变换能够快运 数字化实现，可以取尺度参数为数列 2 7 脚，这样就形成了二进小波和二迸小波 变换。 设函数少r ( r ) n 三i ( r ) ，若存在常数a ，b ，且o a b o( 2 4 1 ) 在( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 的条件下，式( 2 - 4 1 ) 变为 z 叫 风( z ) h 。( 一z ) 一日，( z ) 氓( 一z ) 】- c z 咄 或 丁( z ) = i - l o ( z ) h l ( 一z ) 一h l ( z ) h o ( 一z ) 】= 忍“。，k 7 = k 一，( 2 _ 4 2 ) f ( z ) 反映了去除混叠失真后的两通道滤波器组的总的传输特性，因此称难) 为失真传递函数。由( 2 _ 4 2 ) 可得出结论【1 9 】： ( 1 ) 丁( z ) 的延迟值k 只能是奇数； ( 2 ) 同一支路上的分解、合成滤波器间存在如下正交归一关系： ( g o n 一2 i 1 ，【，l 一后 ) = 点 ( g 。 甩一2 i ，向 ，l 一后】) = 4 ( 2 4 3 ) 式中，k = k 一，。当，为奇数时k 为偶数，当，为偶数时k 为奇数。式( 2 3 6 ) 与式( 2 - 4 1 ) 为两通道滤波器组的精确( p r ) 重建条件。 2 5 双正交小波 设小波，。( f ) ，如果满足条件( 。( f ) ，。( f ) ) = 毛，皖其中肌，i r l , _ ，k e z ， 就称小波。( f ) 为正交小波。 如果，。( f ) 是正交小波，那么它的子空间相互正交，即：( g i ，g ，) = o ，j = ：i ， 1 5 其中g ，彬与g ，。结果，空间的直接和就变为正交和的形式： 亭( 尺) = o = o 矿。ow oo 彬o 这就意味着厂( f ) p 分解为函数。( f ) 的( 无限) 和不仅是唯一的，而且其分 量还是正交的。 紧支撑小波是指只在有限的区间上不为零。如果尺度函数矽( f ) 具有紧支撑，则 小波函数沙( f ) 也具有紧支撑，其相应的滤波器系数也具有有限的长度，反之仍然 成立。可以证明，具有紧支撑的正交小波( 除h a a r d , 波外) 一定不是对称的或反对 称的，这样具有紧支撑的正交小波( 除h a a r 小波外) 所对应的滤波器也不具有线性 相位。因此，在图像编码这类有失真的应用情况下，会引入相位失真，从而产生 重构失真。解决的方法之一就是放弃正交性，即用双正交小波代替正交小波。 若j 、波妙，痧口( r ) ，( 功= 2 j 2 缈( 2 7 x 一尼) ，奶，女( x ) = 2 7 坨汐( 2 7 x 一后) ，歹，后 z ，如果 ，。) 秘和 眈，。九。z 均构成口( r ) 的r i e z e 基，且 ( 吩 扔，。) = ，瞑，。 m ，刀，工后z( 2 _ 4 4 ) 则称沙是一个双正交小波函数，和妒是对偶小波， 竹，。( ，) ) 和 呖，。( f ) ) 为双正交 的r i e z e d 、波基。对任愀力r ( 尺) 有 f i t ) = ( 厂( f ) ，。( f ) 舫，。( f ) = ( ( f ) ，蟛，。( f ) 鼽。( f ) ( 2 _ 4 5 ) j k e zj k e z 该式表明当竹，。( f ) 用进行分解时，用呖，。( ) 进行重建；或当蟛，。( f ) 用进行分解时， 用缈m ( f ) 基进行重建。这样能很好地克服紧支撑正交小波基的缺陷：如不对称性。 在双正交条件下合成滤波器和分解滤波器之间的关系( 在时域中的) ： g 【，l 】= ( 一1 ) ”g 1 一n l( 2 4 6 ) 就聆】= ( 一1 ) “h 1 一，l 】( 2 - 4 7 ) 其中h n ，科甩】分别为五 ，z 】，烈，z 对偶滤波器。 1 6 3 对称延拓分析 运用小波变换对图像进行编码时，多分辨分析( m r a ) 中的m a l l a t 快速算法的 理论是针对无穷区间信号的。在m a l l a t 算法中，对信号进行小波变换需要满足两个 条件：完全重构性和变换后的数据点的总和不多于原始信号的数据点数值。对于 无限长信号，进行严格的抽样就能满足。如果信号是有限长度的，经过小波变换 的线性滤波，必造成子带信号的数据点增加，从而引起边界失真，而且随着分解 层数的增加，其边界失真可能累加，使得边界失真比较严重，而为了使小波变换 后的数据点数保持不变，就要舍去多余的数据点，这样因信息的丢失必然造成重 构信号的失真。图像数据具有有限长度，为了减少恢复图像信息的丢失或者失真， 在进行小波变换时，对原始信号进行边界延拓【2 0 】。 3 1 常见边界延拓方法分析 常见的几种基本的延拓方法主要有补零延拓法、边界元素复制法、周期延拓 法、对称周期延拓法及双倍对称延拓法。以上方法中，补零延拓法、边界元素复 制法性能较差，而双倍对称延拓法计算又太复杂，因此，通常广泛使用的是周期 延拓法和对称周期延拓法。 对于一般小波算法，每一种延拓方式对信号的重构将产生不同的影响。其中 仅周期延拓才能确保完全重构原始信号，但它带来边界不连续、对低比特率量化 不利的后果。而对称周期延拓没有引入额外的高频成分，保留了边界的连续性， 产生的小波系数比边界不连续时的系数小，并且图像的所有象素都有同样的处理 方法，所以许多小波编码器都使用对称滤波器进行对称周期延拓。b r i s l a w n 【2 l 】， 详细研究了几种对称边界延拓在小波变换中的应用，一些学者也提出一种在边界 附近修改滤波器的自适应方法，即构造边界滤波器，目的就是在边界上仍然使滤 波器保持i e n 性特性【2 引。下面将讨论几种边界延拓的方法，包括补零延拓、周期 延拓、对称周期延拓、边界滤波器。 3 1 1 补零延拓 补零延拓就是滤波时假设图像边界之外的像素值全为零。若设输入信号为 f n 】，长度为，滤波器长度为三，则 1 7 m 卜旧0 f 以 o o 刀 行 o ( 3 1 ) 这种方式带来了两个问题：当输入信号样本点的数目等于或者小于输入样本 点的数目时，小波变换就不能完整重构原始信号。对于小图像，分解级数一旦较 大，则低分辨率的子带大小经常小于8 8 ，在这种情况下边界处的一点小误差就 会扩散到图像的很大一片区域中，造成整体性能的下降。另一个问题就是在边界 处补零延拓，在边界会造成人工不连续，经过变换后，带来很多原始图像中所没 有的高频系数。然而图像压缩是假设信号中大多数能量集中在很低的频率，如果 引入了高频率成分，会给压缩带来很多困难，使得压缩比下降。所以补零延拓不 是图像压缩的合理选择。 3 1 2 周期延拓 设输入信号为f i n 】，长度为，滤波器长度为三，且滤波器长度小于， 这时周期延拓表达式可简略写为 f 九栉+ 】 a 刀】： 九，z 】 【九以一】 n 0 0 n n ( 3 2 ) n n 0 由于周期信号在滤波抽样或补零滤波后仍然是周期信号，所以周期信号的假 设在各级分解和重构时都正确，从而可确保信号的完全重构。周期延拓法虽然操 作简单，且对滤波器没有特殊的要求，但其编码性能却与具体图像特性有关。因 为图像相对的两个边缘没有局部相关性，如果图像的两个边缘差别很大，周期延 拓法将会在图像边界处引入严重的不连续性，从而扩展了高频子带的动态范围。 这不但影响编码性能，而且量化以后，会在重建图像的边缘产生失真。 周期延拓有以下几个特点： 1 假设图像在二维平面内可以无限的延拓许多次，小波变换后的系数仍然有同 样的周期结构。这个方法解决了要求小波系数比图像系数多的问题，因为此时小 波系数构成了一个二维周期信号，周期就是图像的大小。 2 周期延拓引入了额外的高频成分。 3 周期延拓可以完整重构，无损压缩情况下可以接受，但压缩的性能有所下降。 1 8 3 1 3 对称周期延拓 对称周期延拓的性能很好，因为它没有引入额外的高频成分，保留了边界的 连续性，产生的小波系数比边界不连续时的系数小，并且图像的所有象素都有同 样的处理方法，也就是所有的象素用同样的滤波器核函数滤波。对于对称周期延 拓方式，只有滤波器也对称时才能保证信号的完全重构。这是因为对称信号经过 非对称的滤波器后再抽样，将变成非对称的，从而不能保证信号的完全重构；反之 滤波器如果是对称的，在每级滤波抽样或补零后得到的信号依然保持对称性，信 号的重构就能够确保。对称周期延拓非常重要，许多小波编码器都使用对称滤波 器进行去相关变换，自然使用对称周期延拓。另外对称的滤波器都具有线性相位， 这也利于图像压缩。设输入信号为厂( 靠) ，长度为，滤波器长度为，且滤波器 长度己小于，这时对称周期延拓表达式可简略写为 一f 九一】 刀 u f 九训 刀 o 以咒】= f i n 】0 n n 或f n 】= f i n l 0 孢 n ( 3 3 ) 【九2 一刀一l 】，z o【f 2 n = _ n 一2 刀 o 其中第一种情况假设信号是半样本对称的，即关于某个样本点对称；而第二 种情况假设信号是全样本对称的，即关于某两个相邻样本间中心点的对称。实际 使用的对称周期延拓方式应当满足滤波后的小波系数在边界处仍然有对称性，保 证根据图像边界内的系数就可以发现边界外的系数。上述的两种对称周期延拓方 式依赖于滤波器的长度、信号的长度和考虑的是分析滤波器还是合成滤波器。在 下一节中我们将进行详细的讨论。 3 1 4 边界滤波器 补零延拓和周期延拓可以对任何信号和任何小波滤波器实现完全重构，但是 不适于图像压缩。对称周期延拓只可以对对称的滤波器实现完全重构，无法对任 意的滤波器完全重构。设计边界滤波器是一种可以对任何滤波器和信号实现完全 重构的方法。文献【2 3 】介绍了对有限信号小波分解的边界滤波器的设计方法。这个 方法需要选择一些参数，尽量使边界附近的变换滤波器和原始滤波器相同。缺点 就是对每个不同的滤波器需要设计不同的边界滤波器，改变小波核函数的系数。 而且所有的图像边界的系数值需要特殊对待。如果没有设计好边界滤波器，就会 引入额外的高频分量，引起压缩性能的下降。滤波器的设计比较复杂，实现也比 较困难，因此在实际的图像压缩应用中，这种方法很少采用。 1 9 3 2 对称延拓变换分析 由于对称周期延拓变换可以获得平滑的图像边界，因此在子带分解与合成中 得到了较为广泛的应用。由于图像属于有限二维信号，一层二维d w t 可以通过两 次一维d w t 变换实现，所以本节我们就影响对称周期延拓变换的具体几方面内容 的一维情况作详细的讨论。 3 2 1 对称延拓特性分析 对称周期延拓法是将输人信号对称地、周期地进行延拓。因此，一个样本序 列可以拥有六种类型的对称性质【2 4 】，分别为全样本对称( w h o l e s a m p l es y m m e t r y ) ， 半样本对称( h a l f - s a m p l es y m m e t r y ) ，全样本反对称( w h o l e - s a m p l ea n t i s y m m e t r y ) ， 半样本反对称( h a l f - s a m p l ea n t i s y m m e t r y ) ，混合样本对称( m i x e d s a m p l es y m m e t r y ) 和混合样本反对称( m i x e d s a m p