（电路与系统专业论文）时滞神经网络及范台坡方程hopf分岔的频域分析方法.pdf

摘要 神经网络是一个非常复杂的微分动力系统，在神经网络运行过程中有可能出现 稳定、不稳定、振荡和混沌等动态行为。必须掌握神经网络的这些动态行为，才 能深刻理解所发生现象的本质，也才能深入系统地研究相应神经网络的内在本质 规律。周期振荡是微分动力系统中非常重要的现象，对于它的研究在理论和应用 上都具有十分重要的意义。人体控制呼吸和心跳等有规律的运动功能是靠周期性 的神经脉冲，因此，研究神经网络中的周期解具有现实意义。包含持续振荡的神 经网络在模式识别与联想记忆等方面有广泛的应用。 在生物和人工神经网络模型中，有时必须考虑到系统对于信号的反应和传输过 程中往往会产生时间延迟，即内在的时滞现象。目前，时滞神经网络模型的动态 行为是一个热门的研究课题。通常时滞分为分布式时滞、离散时滞两类情形。本 论文分别讨论分布式时滞和离散时滞神经网络模型，以时滞参数作为分岔参数， 研究这些模型的h 0 p f 分岔现象，也就是当分岔参数通过某一临界值时，一族周期 解从平衡点处产生的情形。 需要指出的是，研究h o p f 分岔的工作通常是在微分动力系统的状态空间中讨 论的，通常称为“时域”方法。最近，在一些文献中提出了一种研究微分动力系 统h o p f 分岔的新方法，应用反馈系统的理论与方法，即在状态空间中作拉普拉斯 变换后在复数域中进行分析，称之为“频域”方法。频域方法分别由a l l w r i g h t 1 1 ， m c e s l 2 1 【3 l 嗍，m o i o l a n 。 1 9 1 和陈关荣教授 5 1 。 9 1 等提出的。频域方法相比传统的时域方 法具有一定优势，利用图示方法避开了复杂的数学计算和分析。时滞神经网络模 型用时域方法研究h o p f 分岔非常复杂，特别是强核分布式时滞模型用时域方法研 究尤为困难，本论文用频域方法很好地解决了这个问题。 本论文用频域方法确定分岔点的存在性，以时滞参数作为分岔参数，研究h o p f 分岔现象，当分岔参数超过某一临界值时出现分岔，利用图示h o p f 分岔定理，并 并给出了频域方法中的方向指标和稳定性指标，分析分岔方向与周期解的稳定性， 尤其频域方法中的方向指标是我们在最近的文章中首次提出的。 关键词；神经元，分布式时滞，h o p f 分岔，周期解，奈奎斯特准则 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tn e u r a ln e t w o r k sa i ec o m p l e xa n dl a r g e - s c a l en o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s t h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fn e u r a ln e t w o r k si n c l u d es t a b l e ， u n s t a b l e , o s c i l l a t o r y , a n dc h a o t i cb e h a v i o r w em u s tu n d e r s t a n dt h ec h a r a c t e f i s t i e si n o r d e rt oc o m p r e h e n dp r o f o u n d l yt h ee s s e n c eo ft h ep r a c t i c a lp h e n o m e n a , a n ds t u d y d e e p l yt h ei n h e r e n tl a wo ft h er e l e v a n tf i e l d s t h ep e r i o d i co s c i l l a t o r yb e h a v i o ri sv e r y i m p o r t a n ti nt h ed i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m s r e a r c ho ni ti ss i g n i f i c a n ti nt h e o r y a n di np r a c t i c e t h ep e r i o d i cn a t u r eo fn e u r a li m p u l s e si so ff u n d a m e n t a ls i g n i f i c a n c ei n t h ec o n t r o lo fr e g u l a rd y n a m i c a lf u n c t i o n ss u c ha sb r e a t h i n ga n dh e a r tb e a t i n g n e u r a l n e t w o r k si n v o l v i n gp e r s i s t e n to s c i l l a t i o n ss u c ha sl i m i tc y c l em a yb ea p p l i e dt op a t t e r n r e c o g n i t i o na n da s s o c i a t i v em e m o r y i nm o d e l i n gb i o l o g i c a lo ra r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，i ti ss o m e t i m e sn e c e s s a r yt o t a k ei n t oa c c o u n tt h ei n h e r e n tt i m ed e l a y st a k i n gp l a c ei nt h ec o u r s eo ft h er e a c t i o na n d t r a n s m i s s i o n m o r ea n dm o r er e s e a r c h e r sh a v ed i s c u s s e dt h ed y n a m i c so ft h es y s t e m s w i t ht i m ed e l a y si n c l u d i n gt h ed i s t r i b u t e do n e sa n dd i s c r e t eo n e s i nt h i st h e i s e s ，t h e d y n a m i c so fn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e d d i s c r e t ed e l a y sa r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y i ft h et i m e - d e l a yi su s e da sab i f u r c a t i o np a r a m e t e r , h o p fb i f u r c a t i o no c c u r sf o rt h e s e m o d e l s t h i sm e a n st h a taf a m i l yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sb i f u r c a t e sf r o mt h ee q u i l i b r i u m w h e nt h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e re x c e e d sac r i t i c a lv a l u e ， w ea l s on o t i c et h a t ，t h ew o r k sa b o u th o p fb i f u r c a t i o nu s u a l l yu s et h es t a t e s p a c e f o r m u l a t i o nf o rt h ed i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m s ，r e f e r r e dt oa st h e “t i m ed o m a i n a p p r o a c h y e tt h e r ei sa n o t h e ri n t e r e s t i n gf o r m u l a t i o nf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h e l i t e r a t u r e t h i sa l t e r n a t i v er e p r e s e n t a t i o na p p l i e st h ef a m i l i a rt h e o r ya n dm e t h o d o l o g yo f f e e d b a c ke n g i n e e r i n gs y s t e m s ：a na p p r o a c hd e s c r i b e di nt h e f r e q u e n c yd o m a i n ，t h e c o m p l e xd o m a i na f t e rt h es t a n d a r dl a p l a c et r a n s f o r m sh a v eb e e nt a k e ni nt h et i m e d o m a i ns t a t e - s p a c es y s t e m t h ef r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c hw a si n i t i a t e db ya l l w r i g h t 踟，m e e s 2 1 3 1 1 4 1a n dc h u a 2 1 ，m o i o l a q - 1 1 9 1a n dc h e n1 5 - 9 1 t h i sn e wm e t h o d o l o g yh a s t h ea d v a n t a g eo v e rc l a s s i c a lt i m ed o m a i nm e t h o d s at y p i c a lo n ei si t sp i c t o r i a l c h a r a c t e r i s t i ct h a tu t i l i z e sa d v a n c e dc o m p u t e rg r a p h i c a lc a p a b i l i t i e sa n ds ob y p a s s e s a b s t r a c t q u i t eal o to fs o p h i s t i c a lm a t h e m a t i c a la n a l y s i s i ti sv e r yd i f f i c u l tt oa n a l y z et h eh o p f b i f u r c a t i o no nan e u r a ln e t w o r kw i t ht i m ed e l a y sb ya p p l y i n gt h et i m ed o m a i na p p r o a c h e s p e c i a l l y , i nt h ec a s eo fam o d e lw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y sa n dt h es t r o n gk e r n e l i nt h i s t h e s i s ，t h e s em o d e l sa r ea n a l y z e db yu l e a u so ft h ef r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c h i nt h i st h e s i s ，b ym e a n so ft h ef r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c hp r o p o s e db ym o i o l a t ”， t h ee x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o np a r a m e t e ri sd e t e r m i n e d t h et i m ed e l a yu s e da sa b i f u r c a t i o np a r a m e t e r , i ti sf o u n dt h a th o p fb i f u r c a t i o no c c u r sw h e nt h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e re x c e e d sac r i t i c a lv a l u e ，t h ed i r e c t i o no fh o p fb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo f t h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n sa r ca n a l y z e db ym e a n so ft h eg r a p h i c a ln o p f b i f u r c a t i o nt h e o r e m ，o ra c c o r d i n gt ot h ed i r e c t i o ni n d e xa n dt h es t a b i l i t yi n d e xf o rt h e f r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c h t h ed i r e c t i o ni n d e xf o rt h ef r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c h w a s f i r s t l yp r o p o s e di no u rr e c e n tp a p 。e l k e y w o r d s ：n e u r o nn e t w o r k , t i m e - d e l a y s ，h o p fb i f u r c a t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n , n y q u i s tc r i t e r i o n m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 签名：左乏星垫日期：砷年1 月拥 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规 日期：o 叼年j 月2 y 日 爹 夕，哆么 、魄 第一章绪论 第一章绪论 在许多工程应用学科中，建立的数学模型都包含非线性常微分方程，如神经 网络、电路与系统、通信工程、复杂网络、生物工程、金融工程等。必须掌握这 些非线性微分方程的性质特征，才能理解相应实际问题中所发生现象的本质，也 才能深入系统地研究相应学科的内在本质规律。 p o i n c a r e 将非线性常微分方程的动力学性质在相空间描绘出来，从而提出了微 分动力系统的概念，奠定了微分动力系统的基础。v a nd e rp o l 在研究电子振荡电路 中发现了存在周期解的微分动力系统也即是v a n d c r p o l 方程。e h o p f 证明了n 阶 ( 以2 ) 微分动力系统中的周期解的存在性，并提出了h o p f 分岔概念。l o r e n z 在 气象学研究中首次发现了产生混沌现象的微分动力系统即l o r e n z 方程。美籍华裔 科学家蔡绍棠( l e o n o c h u a ) 教授设计了世界上第一个混沌电路一蔡氏电路， 为混沌现象的应用奠定了基础。陈关荣( g u a n g r o n gc h e r t ) 教授又发现了新的混沌 吸引子陈氏吸引子 2 0 l 。国际上许多科学家从事微分动力系统的研究，并且不 断取得新的科研成果，推动了微分动力系统理论和应用的迅速发展1 2 1 h 2 9 。 在微分动力系统中有可能出现稳定、不稳定、周期振荡和混沌等许多复杂动 力学行为，在实际问题中具体表现为各种复杂现象，对此进行深入研究才能掌握 这些现象的本质，指导其在实际工作中的应用。在微分动力系统中，往往含有一 些参数，当改变其中某一个或某些参数时，其动力学性质可能发生相应的改变。 各种动力学行为之间经常发生互相转换，如平衡点从稳定变到不稳定，从平衡点 产生周期解，从周期解变到倍周期解，从周期解变到混沌等等，不同的动力学行 为之间相互过渡的临界状态称之为分岔。研究分岔对于掌握和控制各种动力学行 为的发生起着至关重要的作用。 本论文研究从平衡点产生周期解的h o p f 分岔，也就是将系统中的某一个参数 作为分岔参数，当其它参数取定后，改变分岔参数的取值，当分岔参数通过某一 i 晦界值时，一族周期解在平衡点附近产生，称该临界值为h o p f 分岔点。当分岔参 数在该临界值的某侧附近取值时，系统出现分岔周期解，而另一侧则没有分岔周 期解。分析h o p f 分岔常用的方法有时域方法和频域方法，本论文主要介绍频域方 法，并利用频域方法分析几个模型。 电子科技大学博士学位论文 1 1 微分动力系统简介 1 1 1 微分动力系统 研究玎维微分方程 丘= ，f ) ， ( 1 - 1 ) 其中f r 为标量，x x ( t ) e r 4 是一个i t 维向量，膏表示x 关于t 的导数， ，f ) 是 连续的i t 维向量函数，且满足l i p s c h i t z 条件，即解的存在与唯一性条件，则对于 给定的初值x o 与t o 可以唯一确定方程( 1 1 ) 的一个解工一工( f ；x 0 ，t o ) ，满足初始条 件x ( t o ；z o ，t o ) = x 0 。 将t 理解为时间，x 理解为i t 维向量空间中的点。那么在任何时n o t ，方程( 1 - 1 ) 在i t 维空间中确定了一个速度场，根据解的存在与唯一性可知：给定初始时刻t 。和 初始点x o ，在此，l 维空间中存在唯一的一个运动，其运动规律s x 一工o ；茗o ，t o ) 给 出。这样，我们称方程( 1 - 1 ) 为一个微分动力系统，该n 维空间为相空间，又称 该系统的一个解茗一工o ；x o ，t o ) 为一个运动，m x ；x ( f ；x o ，t o ) 所确定的相空间中的 曲线为轨线例。 当厂o ，f ) 为线性函数时，称方程( 1 - 1 ) 为线性系统，否则称为非线性系统。 若方程( 1 - 1 ) 右端依赖于时间t ，即在相空间中一固定点的速度向量，f ) 会 随时间而改变，称方程( 1 - 1 ) 为非自治系统。 特别是，若方程( 1 1 ) 右端不依赖于时间t ，即 膏。，( 功， ( 1 - 2 ) 此时方程( 1 2 ) 在相空间中任一点x 的速度向量， ) 不随时间而改变，称之为自 治系统。本论文研究的是自治系统。 在自治系统( 1 - 2 ) 中，使得，o ) 一o 成立的点量，称为系统的平衡点。初始点 是平衡点时，运动速度童恒为0 ，所对应的运动是固定不动的，因此平衡点是一种 特殊的轨线。 在自治系统( 1 2 ) 中，设x = 垂为相空间的一条轨线，如果存在一个正的 常数t 0 ，使得中( f + t ) 一中o ) 恒成立，且0 f a o ( 或p a o ) 时平衡点不稳定，则称p 一 t o 是平衡点王处的一个( 局部) 分岔点。 设研 9u ) 是， ；肛) 在平衡点圣的雅可比矩阵。根据前面的定理1 - 1 和定理 1 2 可知，如果在p p o ) 时研 ；p ) 的所有特征值的实部都为负，而 在肛) p o ( 或p 卢o ( 或 0 ，则当( ，o ) 0 时，射线白与轨线五 ；f ) 在石，一1 时相 交；而当n ( 咖，z o ) c 0 时，射线岛与轨线五 ；犀) 在z t 一1 时相交。如果虚部 z ( d 互d o , i 。- 。o ) 0 ，则系统( 1 6 ) 在h o p f 分岔点u o 处的分岔方向是+ 1 ， ( i i ) 若d o 0 ，则系统( 1 6 ) 在h o p f 分岔点p o 处的分岔周期解是不稳定的。 定义l - 2 称( 1 1 5 ) 式中的印是h o p f 分岔点肛。处的稳定性指标。 分析h o p f 分岔点o 处的分岔方向和分岔周期解的稳定性，可以根据图示分岔 定理1 - 5 通过作频域图直观判断，也可由方向指标和稳定性指标的符号加以判断。 需要指出的是当d o - o 或o r o = 0 时，系统( 1 6 ) 发生退化分岔的情形，这时 分析分岔问题需要根据更高阶的逼近方法。 第一章绪论 1 2 5 频域方法的优势 频域方法分析h o p f 分岔相比时域方法有一些优势，这里将重要的几点概括如 下： ( 1 ) 频域方法有计算曲率系数的简单公式，并利用图示方法避开了时域方法中讨 论中心流形时复杂的坐标变换和数学计算； ( 2 ) 利用图示方法不仅能找到单一周期解，而且能找到多重嵌套的周期解； ( 3 ) 在闭环系统中，可以很方便地应用和设计反馈控制器，控制系统分岔现象的 发生： ( 4 ) 只需要懂得控制系统的理论基础就能运用此方法； ( 5 ) 提供了更高阶的逼近方法，使我们能够得到分岔周期解的有效范围； ( 6 ) 当传统h o p f 分岔定理中某些假设不成立时会导致退化分岔情形出现，利用 图示方法可使之形象化，使我们能直观地了解。 犀1 。双 i f f - l + i 0 涵。 巩) 图5 射线上1 与特征值轨线五( 砬，；面) 相交于两点，非线性系统有两个周期解 a ( 叫西) i q 、 册( 茗) 图6 射线z 1 与特征值轨线五( 珊；刃相切，非线性系统出现退化分岔情形 1 1 电子科技大学博士学位论文 1 3 时滞动力学模型的h o p f 分岔定理 1 3 1 时滞动力学模型 在许多实际问题中，系统对于输入信号的反应和在传输信号的过程中往往会 产生一定的时间延迟，系统的动力学特性不仅受到系统当前状态的影响，而且还 与系统过去的状态有关，即存在内在的时滞现象。 时滞动力学模型在许多实际问题中广泛存在，有必要对其深入研究1 5 2 - 6 3 。但 由于时滞的引入，使得时滞动力学模型更加复杂，在研究上更加困难。如一般动 力学模型在平衡点处雅可比矩阵的特征方程只是一个代数方程，其特征根只有有 限个，而离散时滞模型在平衡点处雅可比矩阵的特征方程将是一个超越方程，其 特征根可能会有无穷多个。 根据过去状态对当前影响的范围，时滞动力学模型通常分为离散时滞与分布 式时滞两类情形。 ( 1 ) 离散时滞( t h ed i s c r c t e t i m ed e l a y ) 模型，反映当前的动力学特性与过去若 干个离散时点的状态有关，一般形式为 孟( f ) = f x o ) ，x ( t q ) ，x ( t z 1 ) 】， ( 1 - 1 6 ) 其中，q a ；1 ，七) 都是正实数，分别表示那些对当前产生影响的过去时点的时 间延迟长度。 ( 2 ) 分布式时滞( t h ed i s t r i b u t e d - t i m ed e l a y ) 模型，通常反映当前的动力学特性 与过去一段时间的状态有关，一般形式为 孟o ) 一，缸o ) f 五p 汕1 陋( f 一力p l ，”f k ( f ) h k x ( t - f ) 】d f ， ( 1 - 1 7 ) 其中| i i l 0 ) ，g 一1 ，k ) 都是关于x 的连续函数，最p ) ，a 一1 ，七) 为记忆函数，表 示过去不同时刻对当前影响的权值。 在分布式时滞模型中，记忆函数f p ) 是定义在【0 ，+ m ) 上的非负有界函数，并 且满足 j f ，( r m f 一1 f f ，p 矽f 0 ) ， ( 1 1 8 ) t 7 ： 其中p 为非负整数。特别地，当p o - q p 一1 时，分别称f 一) 为弱核与强核。即 弱核的形式为 f p ) - a e 一“， 苫0 ，口 0 ) ， ( 1 - 1 9 ) 弱核在【o + m ) 上为单调减少函数，表示离当前时间越久的状态对当前动力学特性 的影响就越弱。 而强核的形式为 图7 弱核f o ) - 口e 一“，p 0 ) f 扣) _ a 2 r e 一盯，p 2 0 ，a 0 ) ， ( 1 2 0 ) 强核在【o ，+ c o ) 上为一个单峰函数，表示在过去的某个时点对当前的影响最大，离 该时点越久的状态对当前的影响越弱。 图8 强核，p ) 一口一“，p 20 ) 对于分布式时滞模型本文仅讨论弱核与强核这两种情形。 电子科技大学博士学位论文 1 3 2 时滞动力学模型h o p f 分岔的频域方法 对于离散时滞模型 i o ) 一，k ( f ) ，x ( t f ) ；p 】， 将其改写为状态变量形式，成为一个带非线性反馈的线性系统 p o ) n 爿o ( 肛) 工( f ) + a 1 0 0 x ( t f ) + 曰( 肛) l l ( 力， y q ) 一- c 似弦o ) ， l u c o g i y ( t 一力；弘】， 再对系统( 1 - 2 2 ) 作拉普拉斯变换，得该系统线性部分的传输矩阵 g o ；p ) 一c o , ) 阻一4 ( p ) 一4 ( ) 口- ，7 1 - 1 口( p ) 将反馈系统在平衡点y 一多处线性化，得到相应的雅可比矩阵 j d o ；p ) ； ( 1 - 2 4 ) y - y 我们应用奈奎斯特稳定性准则，设s i ，有下面的定型5 1 ： 定理1 - 8( 时滞系统的h o p f 分岔定理) 如果时滞系统( 1 - 2 1 ) 当肛一p o 时 在时域中相应的雅可比矩阵有一对纯虚的特征值i w o ，则系统( 1 - 2 2 ) 在频域中 的矩阵【g ( f ；_ o y d ( t o o ；p o ) 】有实特征值一1 + i 0 。 类似定义辅助向量 缸型鲨筚星迪 ( 1 2 5 ) 这里矿， ，矗和商与前面的定义类似，且 助十材鼢。v + 丢矿。) + 昙如刃们v 固矿】，( 1 - z 6 ) 其中 d 纠o ；p ) 一 d 鲥o ；p ) 一 0 2 9 ( y - e “；肛) f 1 甜 塑萼a y 塑l i 1 4 ) ) ) 殂 砣 始 卜 0 卜 ( ( ( 墨二兰笪堡 v 0 2 - 一 【，+ g ( o ；强儿他犀) 】- 1 g ( o ；n d 副( o ；豆) v f ， p 乞a 一 p + g ( 2 f 伍；f v d ( 2 f 面；蜃) 】- 1 g ( 2 f 历；f ) d 材( 2 f 亩；刃v o v ( 1 - 2 7 ) 将定理1 - 5 中的辅助向量白 ) 换成上面的钆( 回，就可以得到频域方法中关于离 散时滞动力学模型的h o p f 分岔定理，由此作出频域图，并求出相应的方向指标d 吖 和稳定性指标， 如。习端， 心2 s ， o o d - - - - 所f 1 1 w r w f r g ( i w 。o ) 胁；i z o i ) 嘲p up ， ( 1 - 2 9 ) 从而就可以判断分岔方向和周期解的稳定性。 与之类似，对于分布式时滞模型 量o ) 一， z o ) ，。f ( z ) h x q - v ) d v ；p ， ( 1 3 0 改写为状态变量形式，成为一个带非线性反馈的线性系统 i ( t ) = a o ( u ) x q ) + f f 4 p ；p ) z ( f f ) d f + 口( p ) “( f ) ， ) ，( f ) 一- c ( u ) x q ) ， ( 1 - 3 1 ) h o ) 一g 蝣。f ( v ) l h y ( t o l d - ；u ， 再对系统( 1 - 3 1 ) 作拉普拉斯变换，得该系统线性部分的传输矩阵 o ( s ；u ) - c 0 , ) s x a 似) 一。4 ( r ；p 弘。7 d r 一1 丑 ) ( 1 3 2 ) 将反馈系统在平衡点y - 夕处线性化，得到相应的雅可比矩阵 ，d o ；p ) 一 ( 1 - 3 3 ) 应用奈奎斯特稳定性准则，有类似于定理1 - 8 的结果。 完全类似于( 1 - 2 5 ) 、( 1 - 2 6 ) 式定义辅助向量乩及p n 。只需要将p 中 的d 扰o ；p ) ，巩o ；) 改为 电子科技大学博士学位论文 d 硝o ；肛) 一 d 3 d o ；肛) 一 鳖卿川 砂2l 鳖笋a y ，毋 3 j ( 1 - 3 4 ) 同样，将定理1 5 中的辅助向量白 ) 换成上面的缸( 西) ，就得到频域方法中分布 式时滞动力学模型的h o p f 分岔定理，由此作出频域图，并求出相应的方向指标d o d 和稳定性指标盯叫，就可以判断分岔方向和周期解的稳定性。 对于分布式时滞模型还可以通过设新变量将其化为不带时滞的高阶系统进行 处理。 如含分布式时滞项的一阶模型 南( f ) 一，协( f ) ，。f ( r ) h x - ( f f ) f f 如果f 0 ) * 口e ”，0 0 ，口) 0 ) 为弱核时，令 x 2 ( f ) = f 口g 一4 7 【x l p f ) 】d f ， ( 1 3 5 ) 可得 一( f ) _ f x r t ) , x 2 ( 1 - 3 6 ) 卜2 0 ) = a h x l ( t ) 一a x e ( t ) ， 成为一个不带时滞的二阶系统，再按照不带时滞的系统用频域方法进行分析。 如果f p ) - a o e 一“，0 苫0 ，口，o ) 为强核时，令 卜2 ( f ) - f 口e h x l ( t - f 凇f ，( 1 - 3 7 ) f 3 0 ) 一f 口2 f e 一i i k o f ) v f ， 可得 阮( f ) 一f x l o ) ，工3 ( f ) 】， 扛2 ( f ) - a h x l o ) 卜口工2 p ) ，( 1 - 3 8 ) 卜3 ( f ) _ a x 2 ( t ) 一a x s q ) ， 成为一个不带时滞的三阶系统，再按照不带时滞的系统用频域方法进行分析。 第一章绪论 1 4 时滞神经网络模型h o p f 分岔的研究近况 众所周知，神经网络是一个复杂的大规模的微分动力系统。为了研究其内在 的动力学性质，关于神经网络提出了许多简化的数学模型。s c h i e v e 等提出了有效神 经元的概念州，在研究大规模神经网络时，可以只分析少数几个有效神经元而替代整个神 经网络。研究这些简化的数学模型是很有价值的，在这些简化的模型中发现的现象 有助于我们研究大规模的网络，神经网络中的动力学行为也是目前的一个热门课 题嘲1 删。 最近，kg o p a l s a m y 和ll e u n g 提出了离散和分布时滞的神经元模型 6 s l ： 膏o ) 一- x ( t ) + n t a n h 扛( f ) 一k ( f - - g ) - c ， 孟o ) 一- x ( t ) + at a n h x ( t ) - w f ( s ) x ( t - s ) 凼- c ， ( 1 - 3 9 ) ( 1 - 4 0 ) 其中4 指出了连续变量工n 的变化范围，b 作为历史影响的度量，c 是补偿常数，f 是时滞，f ( ) 是时滞的核函数。这是一个有局部反馈和时滞的模型。在双曲正切函 数自变量中的工o ) 是神经网络模型中局部反馈的自激。i c g o p a l s a m y 和i l c u n g 还 利用l y a p u n o v 函数给出了系统( 1 - 3 9 ) 和( 1 - - 4 0 ) 存在全局稳定平衡点的充分必 要条件【删。廖晓峰教授等进一步讨论了系统( 1 4 0 ) 分别在弱核和强核情形下的 稳定性问题吲【7 0 】，并研究了系统( 1 - 3 9 ) 的h o p f 分岔和混沌现象【7 1 1 。 k g o p a l s a m y 和1 i _ c u n g 还考虑了由兴奋和抑制神经元组成的离散时滞神经网 络模型： 船：川- y q 江) 砒at a n h 鼬 - - c ：”( t 驾】， ( 1 - 4 - ) l 夕o ) 一 + 一f ) 】， 其中口，。l ，c 2 和f 都是正实数，y 表示工的激活位势，x 是抑制位势。在某种意义上， 可以将系统( 1 - 4 1 ) 看作一个兴奋抑制型神经网络。g o p a k s a m y 和i l c u n g 还说明 了如果时滞足够长，这个网络将被激发出现暂时性周期解，并分析了h o p f 分岔。 并计算了网络周期输出的近似解，并考察了暂时性周期解的稳定性嗍。 k g o p a l s a m y 和i i e u n g 进一步考虑了与( 1 - 4 1 ) 类似的分布式时滞神经网络 模型嗍： j 孟 - + 4 2 础【l k ( t 叫) y ( s ) d s 】， ( 1 4 2 ) l 夕o ) - y q ) 一口t 柚h u 二雄一s ) x ( s ) d s ， 1 7 电子科技大学博士学位论文 其中a 是正实数，七( ) 是时滞的核函数。g o p a l s a m y 和i l c u n g 给出了系统( 1 - 4 2 ) 的周期解全局h o p f 分岔的一些充分条件，并分析了分岔周期解的渐近稳定性。 b a b c o c k 和w c s t e r v e l t 研究了不同时滞的两个神经元网络模型1 7 4 【硼 p p ) - - x l ( t ) + a lt a n h x 2 p 一枷( 1 - 4 3 ) i j 2 ( f ) 一x 2 0 ) + 4 2t a n h x l o f 2 ) 】， 其中a 1 ，a 2 ，q 和吃是正的常数。b a b c o c k 和w e s t e r v e l t 说明了系统( 1 4 3 ) 展现了 非常丰富的动力学现象，包括稳定和不稳定的周期解。类似于系统( 1 - 4 3 ) 的方程 被用于建立神经元相互作用的模型，其中时滞反映信号沿树突和轴突有限的传播 速度f 7 6 1 7 7 1 。 另外，o i i e n 和b d a i r 考察了如下的两个时滞的系到7 8 l r l p ) = 一工1 p ) + a l l ，k o q ) 】+ 4 1 2 f x 2 ( f f 2 ) 】，( 1 - 4 4 ) l 立2 0 ) 一石2 ( f ) + a 2 1 f x l ( t f 1 ) 】+ 口2 2 ，【石2 0 f 2 ) 】， 取得了系统( 1 4 4 ) 关于不动点稳定性的一些充分条件，并说明系统( 1 - 4 4 ) 在某 些参数值会发生分岔。w e i 和r u a n 进一步分析了系统( 1 - 4 4 ) 没有自连接的带有 两个离散时滞的情形【7 9 1 ，发现当两个时滞的总和通过一系列临界值时发生h o p f 分 岔，并确定了分岔周期解的稳定性和分岔方向。 在本论文随后几章中用频域方法分析分布式时滞和离散时滞的神经网络模型 以及分布式时滞的范台坡方程的h o p f 分岔。 在第二章，分别讨论分布式时滞和离散时滞的神经网络模型以及分布式时滞 的范台坡方程，通过引入状态反馈控制，取得带非线性反馈的一个线性系统，并 以时滞参数作为分岔参数，用频域方法分析相应的特征方程，讨论h o p f 分岔点的 存在性，给出了计算h o p f 分岔点的代数方程。 在第三章，利用奈奎斯特准则和h o p f 分岔图示定理分析上述模型的h o p f 分 岔方向与分岔周期解的稳定性。利用频域方法中的方向指标和稳定性指标，并作 出频域图，即在复平面上作特征值轨线和振幅轨迹的一阶逼近l 1 ，根据频域图判 断分岔方向和周期解的稳定性。 在第四章，给出模拟实例，并作出频域图，用以说明我们所得结果的正确性 与有效性。特别是分布式时滞的范台坡方程 最后，进行了全文的总结和对今后工作的展望。 1 8 第二章h o p f 分岔存在性的频域方法 第二章h o p f 分岔存在性的频域方法 本章利用第一章介绍的频域方法分析了分布式时滞和离散时滞的神经网络模 型以及分布式时滞的范台坡方程。对分布式时滞模型分别采用时滞系统的频域方 法和化为不带时滞系统的方法进行分析，对离散时滞模型采用时滞系统的频域方 法进行分析。 首先，通过采用时滞系统的频域方法分析分布式时滞的两个神经元网络模型 的h o p f 分岔点；然后，再用化为不带时滞系统的方法强核分布式时滞的范台坡方 程的h o p f 分岔点；最后，分析了离散时滞的两个神经元网络模型的稳定性，分别 取得了与时滞有关和与时滞无关的局部渐近稳定性条件，并采用离散时滞系统的 频域方法分析了该模型h o p f 分岔点。 2 1分布式时滞的两个神经元网络模型 2 1 1 模型介绍 人工神经元网络是- - i i 新兴交叉学科。自从二十世纪八十年代中后期掀起了 一次研究人工神经元网络的新高潮以来，引起了许多领域的科学家高度重视，积 极开展了大量研究工作，取得了不少突破性进展。工程界对人工神经元网络及其 应用也表示了极大的关注和热情，希望它能在用传统理论和方法难以解决的问题 方面，发挥很大的作用，取得比较显著的进展。目前，人工神经元网络在理论、 模型、算法、应用和实现方面还有许多工作有待探索、研究和开发。人工神经元 网络现在已进入相对平稳发展时期，理论工作方面处于攻坚阶段，在应用方面， 正向着广度和深度方向深入发展，从而在某些方面和某种程度上推动了理论研究 向前发展。 人工神经元网络是一个高度复杂的微分动力学系统，同样有可能出现周期解 和混沌等动力学行为。人体控制呼吸和心跳等有规律的运动功能就是靠周期性的 神经脉冲，因此，研究人工神经元网络中的周期解具有现实意义。人工神经元网 络的各种动力学现象和分岔问题在理论和实际应用上的价值吸引了国际上许多科 学家进行研究【岱】- 【1 0 q 。 电子科技大学博士学位论文 下面研究如下的分布式时滞的两个神经元系统： j 正1 ( f ) j 州1 0 ) 4 - a l t a n h u 2 0 ) 一b 2 f f ( r ；p ) “2 p 一7 沙一。l 】，( 2 1 ) lz i 2 ( f ) ；- u 2 ( t ) + a 2 t a n h u l ( t ) 一b l f f ( r ；i q u l ( t 一，) 办一c 2 】， 这里嘶，b i 和c f ( f 一1 ，2 ) 是非负实数。在这个模型中，峨( f l2 ) 表示神经元的激 活水平，a ；对应于变量u ；的连续变化范围，反映过去结果对当前动态影响的大 小，。f 表示神经元的阈限。时滞的核函数f ( r ；z ) 是定义在【0 ，+ * ) 上的一个非负的 有界函数，它描述过去结果对当前状态的影响，z 为时滞参数。 廖晓峰教授等利用r o t h - h u r w i t z 准则分析了模型( 2 - 1 ) 在弱核情形下的线性 稳定性。用时域方法分析了h o p f 分岔，并利用中心流形和范式定理决定了分岔方 向和周期解的稳定性【8 0 1 。不过该文献中只分析了弱核的情形。而分岔方向和周期 解的稳定性只是在其中b ，；0 的情形下容易计算，但在b ，一0 的情形下计算非常