（电路与系统专业论文）控制与同步混沌和时空混沌系统的电路实验及仿真研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 本文从实用性考虑， 研究了 控制与同 步低维混沌和时空混沌系统的几种方法: 改进 的o g y法控制超混沌、增强延迟反馈法控制混沌、控制时空混沌系统的几种方法;广 义混沌同步法、 序列同步时空混沌系统。以电 路实验为主要研究方法， 结合理论分析和 数值计算方法，对于文中研究的控制与同步混沌和时空混沌系统的问题都给出了充分、 正确的论证结果。 本文将改进的o g y控制方案用电路仿真实现，通过实验系统的混沌控制，证实了 这种方法的可行性; 通过电路仿真和数值模拟的方式， 验证了利用组合延迟反馈信号 控 制低维混沌系统是可行的; 提出用电路构造祸合映象格子模型的设计方案， 并通过电路 仿真实现了控制两种简单的祸合映象格子电路系统的时空混沌; 利用线性变换构造广义 混沌同步系统的方法， 在电路实验中实现了二维离散映象和广义h e n o n 映象以及三维连 续混沌系统的广义同步， 还进一步讨论了外加噪声对同步的影响， 证明系统的广义同步 具有鲁棒性; 用电路仿真实验实现序列伺步时空混沌系统的方案， 实验结果及结合数值 模拟证实这种方法是可行和有效的;最后， 本文还通过电路仿真的方法，模拟实现了 - 个具有无穷维数的二阶连续延迟混沌系统家族， 并采用简单的控制方法将这类系统的混 沌态控制到周期态。 本文用电路 ( 包括电路仿真)实验研究控制与同步混沌及时空混沌的结果，无疑会 为实际应用控制、同步混沌和时空混沌系统提供重要的实验依据。 关键词:混沌;超混沌;时空混沌;控制:同步:电路实验 ab s t r a c t f o r t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n , s o m e m e t h o d s o f c o n t r o ll in g a n d s y n c h r o n iz i n g l o w - d i m e n s i o n c h a o t i c a n d s p a t i o - t e m p o r a l c h a o t i c s y s t e m h a v e b e e n s t u d i e d , i n c l u d i n g c o n t r o l l i n g h y p e r c h a o s v i a a n im p r o v e d o g y m e t h o d , e n h a n c e d t i m e - d e l a y e d f e e d b a c k m e t h o d , s o m e m e t h o d s o f c o n t r o l l i n g s p a t i o - t e m p o r a l c h a o s , g e n e r a l i z e d c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n m e t h o d , s e q u e n t i a l s y n c h r o n i z a t i o n o f s p a t i o - t e m p o r a l c h a o s . a s t h e m a in r e s e a r c h m e t h o d , c i r c u i t s e x p e r i m e n t h a v e b e e n in t e g r a t e d w i t h t h e o re t i c a n a l y s i s a n d n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n , a n d w e h a v e o b ta i n e d s u f f i c i e n t a n d c o r r e c t r e s u lt s o f t h e p r o b l e m s d i s c u s s e d i n t h e p a p e r . we h a v e r e a l i z e d a n i m p r o v e d o g y m e t h o d w i t h c i r c u i t s s i m u l a t i o n , i t i s p r o v e n t h a t t h e s c h e m e i s f e a s ib l e fr o m v i e w p o i n t o f e x p e r i m e n t a l . u s i n g c i r c u i t s s im u l a t i o n a n d n u m e r ic a l c a l c u l a t i o n w e h a v e v e r i fi e d t h a t t h e m e t h o d o f c o n t r o l l i n g c h a o s v i a c o m b i n e d t i m e - d e l a y e d f e e d b a c k s i g n a l s i s f e a s i b l e . t h e w a y t o c o n s t r u c t c o u p l e d m a p l a tt i c e s y s t e m s i n e le c t r o n i c c i r c u i t s h as b e e n p r o p o s e d , a n d w e h a v e r e a l i z e d c o n t r o l l i n g s p a t i o - t e m p o r a l c h a o s i n t w o k i n d s _ o f s i m p l e c o u p l e d m a p l a t t i c e c i r c u i t s y s t e m s w i t h c i r c u i t s s i m u l a t i o n . we h a v e c o n s t r u c t e d g e n e r a l i z e d c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n s y s t e m s v i a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n a n d h a v e r e a l i z e d t h e s c h e m e i n t w o - d i m e n s i o n d i s c r e t e m a p , g e n e r a l i z e d h 6 n o n m a p a n d t h r e e - d i m e n s i o n c o n t i n u o u s c h a o t i c s y s t e m . i n a d d i t i o n , w e h a v e t a k e n i n t o a c c o u n t t h e i n fl u e n c e o f w e a k n o i s e , a n d t h e e x p e r i m e n ta l r e s u l t s h a v e d e m o n s t r a t e d t h a t t h e s y s t e m h a d r o b u s t n e s s . t h e s c h e m e o f s e q u e n t i a l s y n c h ro n i z a t i o n o f s p a t i o - t e m p o r a l c h a o s h a s b e e n r e a l i z e d w i t h c i r c u i t s s i m u l a t i o n , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l c a lc u l a t i o n r e s u l t s h a v e p r o v e n t h a t t h e s c h e m e i s b o t h f e a s i b l e a n d e f f e c t i v e . a t l a s t , w e h a v e r e a l i z e d a g r o u p o f s e c o n d - o r d e r c o n t i n u o u s t im e - d e l a y e d c h a o t i c s y s t e m s w i t h i n fi n i t e d i m e n s i o n s v i a c i r c u it s s i m u l a t i o n , a n d h a v e c o n t r o l l e d t h e s y s t e m s fr o m c h a o t i c t o p e r i o d i c s t a t e v i a s i m p l e m e t h o d t h e r e s u l t s w e h a v e a c h i e v e d o n c o n t r o l l i n g a n d s y n c h r o n i z i n g c h a o t ic a n d s p a t i o - t e m p o r a l c h a o t i c s y s t e m s v i a c i r c u i t s e x p e r im e n t s ( c i r c u i t s s i m u la t i o n ) w i l l u n d o u b t e d l y p r o v i d e i m p o r t a n t e x p e r i m e n t a l g u i d e f o r t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o f c o n t r o l l i n g a n d s y n c h r o n i z i n g c h a o t i c a n d s p a t i o - t e m p o r a l c h a o t i c s y s t e m . k e y w o r d s : c h a o s ; h y p e r c h a o s ; s p a t i o - t e m p o r a l c h a o s ; c o n t r o l ; s y n c h r o n iz a t i o n ; c i r c u i t e x p e r 而e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。 据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人 己 经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 日期: -p o o r - 0 3 - 2 4 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即: 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允 许论文被查阅和借阅。 本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索， 可以 采用影印、 缩印或其它复制手段保存、 汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书、 学 位 论 文 作 者 签 名 : 二游. 日期:z a p s - 0 0.3 指导教师签名 日期 学位论文作者毕业后去向 工作单位: 通讯地址:_ 电话 邮编 第一章 引言 混沌是在确定性系统中出 现的一种貌似不规则的、内 在的随机运动， 它既展示出事 物具有复杂性的一方面， 同时它的存在也不可避免地导致在许多系统中将受到这种类噪 声信号的干扰。 在实际问题中非线性混沌系统是普遍存在的，如何利用混沌和消除混沌 使之更好地为人类服务， 这是人们普遍关注的问题也是非线性科学领域关于混沌研究的 重要课题之一。 利用混沌的前提是驾驭它，也就是控制混沌。混沌的基本特征是:1 )对初值的极 端敏感; z ) 其轨道由无穷多不稳定的周期轨道组成; 3 ) 其轨道具有遍历性( 各态历经) 。 基于混沌的这些基本性质，1 9 9 0年美国 马里兰大学的 物理学家 o t t , g r i b o g i 及 y o r k 三人首次从理论上提出了一种实用于离散系统的参数微扰反馈控制混沌的方法，简称 o g y方 法【 。 该方法通过对系统可调参数的微扰作用，引导 系统的 迭代点逐步接近目 标 点并被稳定到目 标点上或它的邻域内，即实现控制的目的。 几乎在o g y 方法控制混沌的 开创性工作的同时， 美国海军实验室学者p e c o r a , c a r r o l l 发表了混沌运动轨道同步化 的论文， 提出 混饨自 同 步的方案2 1 。 自 此之后， 各种控制和同步化混沌的 方法相继出现， 使人们对混沌运动的规律性有了 更深入、 更全面的 认识13 -7 1 在各类混沌控制方案中，o g y 方法最先提出了用微小信号来控制混沌的思想，这种 方法不需要已知混沌系统的确切动力学性质，自 始至终使用微小信号实施控制， 这样做 既降低了控制的代价，又保持了原系统的性质。但o g y 方法的使用前提是:要求待控制 的目 标态至少有一个稳定流形。而对于一类无稳定流形的离散超混沌系统( 指系统正性 李氏指数的个数与系统维数相同的超混沌系统) 则不适用， 文 8 提出一种改进的o g y 方 法。 这种方法也是通过调整参数， 利用不稳定流形的排斥特性将动态点沿着预先设置的 迭代方式引导到目 标态上，显然这种方法较之 o g y法它的适用范围更广泛。1 9 9 2年 p y r a g a s 提出 了 延 迟反 馈 控 制 法 ( 即d f c 法) 19 1 ， 它 利 用系 统本 身 输出 信 号的 一 部 分， 并经过延迟与原输出信号作差后作为控制信号反馈到原系统中去，由 于控制代价低、 实 现方便，d f c 法得到了极为广泛的应用，文献【 1 0 提出用增强型延迟反馈法控制低维混 沌系统，在实际控制过程中， 针对不同问题人们提出各种方案对其加以补充和改进，大 大拓展了d f c 法的应用范围。 a沌同步的方法也有多种， 大体上可以 分为:驱动一 响应( d r i v e - r e s p o n s e ) 同步法( 完 全代替 方法 ) 及其各 种变形 ( 例如: 主 动 一被 动分 解 ( a c t i v e - p a s s i v e d e c o m p o s it io n ) 同 步法 ( 部分替代) 等) ; 变量祸合同 步法; 变量反馈同 步法;自 适应同步法和变量延迟同步法等 等。按照驱动系统与响应系统的输出是否相同，混沌同步可分为精确同步和广义同步。 自 然界中许多系统既随时间变化也随空间变化， 这类系统也被称之为时空系统。同 样在相当多的非线性时空系统中均存在混沌， 这类混沌也称之为时空混沌。 人们对时间 混沌系统的全面认识和总结出的规律性也为转向对时空混沌系统的研究莫定了坚实的 基础。 近些年来有关控制和同步时空混沌的问题也引起科学工作者的极大关注， 大量的 研究报道也表明由于时空混沌系统较之时间混沌系统在运动形态上更为复杂， 它更具有 重要的应用价值和潜在应用前景 ( 如在保密通讯方面) 。 本文工作的主要内容和新颖之处: 1 ， 在实际电路系统中实现改进的o g y控制方法对超混沌系统的控制，从实验的角度进 一步证实这一方案及理论的有效性和正确性; 2 . 将增强延迟反馈控制混沌的方法应用于实际电路系统中， 并结合数值模拟的方式， 证 实我们提出的用一路信号代替多路反馈信号控制混沌的方法是切实可行的; 3研究几种控制方法( 线性反馈控制法、 延迟反馈控制法、 双反馈控制法及限幅控制法) 在控制时空混沌系统的电路实现和控制这类系统的规律性; 4 . 在实际电路中实现广义混沌同步方法在离散混沌( 及超混沌) 和连续混沌系统的同步; 5 . 利用电 路实验 p s p i c e 仿真平台) 实现用序列同 步方案完成时空混沌系统的同步， 证 实序列同步时空混沌系统方法是可行和有效的; 这里需要指出的是:关于用电路实验 研究时空祸合格子系统的时空同步问题还未见报道，这也是本文有新意的工作之一; 6 . 利用电路仿真实验的方法，模拟实现二阶连续延迟混沌系统家族的 “ 成员” ，并采用 最简单的线性反馈方法用电路实现控制 ( 或消除)系统的混沌运动。 实验研究是理论结果应用于实际问 题的一个重要中间环节和必由 之路。 而本论文 的研究工作就是利于电子线路实验 ( 硬件和仿真软件实现) 研究非线性混沌系统的控 制和同步问题，其目的是:一方面验证理论方案和结果的可行性和正确性;另一方面 也期望本文的工作为实际应用提供可借鉴的实验基础。 第二章 改进的o g 丫 法控制超混沌的电路仿真 o g y方法是基于混沌轨道是由无穷多不稳定周期轨道构成及混沌运动具有遍历性 的基本特性，以混沌轨道中鞍型不动点作为目 标态，选择系统参量使之发生小扰动， 借 助参数扰动后新的鞍型不动点的不稳定流形引导动态点进入原不动点的稳定流形区域， 从而使动态点 趋向目 标态， 即 达到控制混沌的目 的 1 ,1 1- 1 3 1 。 由 此可见: 使用o g y方法的 前提要求待控目标态附近至少有一个稳定流形。 o g y方法只能适用于离散动力学系统， 但在离散的非线性系统中， 有一类超混沌系统其系统的正性李氏指数的个数与系统的维 数相同，这也就意味着系统无稳定流形存在，此情况下o g y控制混沌的方法己不再适 用。 最 近， 文 8 的 作 者提出 一种改 进的o g y方 法， 这种方 法也是 通过调整 系统参 数， 利用不稳定流形的排斥特性将动态点按照预先设置的迭代路径 ( 或方式) 引导到日 标态 上。改进的o g y方法己不再借助系统的稳定流形，因此，也不必要求在目 标态附近一 定具有稳定流形的条件。显然，这种方法较之o g y控制混沌的方法更具有使用范围广 泛的优点。 文 8 主要报道了 改进o g y方法理论方面的 工作， 而实验方面的工作尚 未见报道。 本章将改进的o g y控制超混沌的方法应用于电 路仿真实验系统中 来 1 4 1 ，期望从仿真实 验的角度进一步证实这一方案及理论的有效性和正确性。 2 . 1改 进的o g y 方法及原理 考虑离散映射 省 卜 ， = 双( 古 。 )( 2 . 1 . 1 ) 其中y, e r n , e e r n , n为 系统维数， 设n为 系统 ( 2 . 1 . 1 ) 在不 动点附 近不稳定 流形的 维 数， 满足n u 0 的条件下，了 可以 近似地被j 替代， 有 考 。 + ， 一 考 = j ( 一 者 。 ) 一 旦 迭 代 点 进 入 由 i . 一 引 决 定 的 区 域 内 ， 要 求 它 按 ( 2 . 1 . 5 ) s .+l 的线性规律运动，这里 = k k为常数，且一1 r ”。对系统( 3 1 1 ) 进行线性可逆变换 x = a y( 3 1 2 ) 这里l a i 0 ，且取变换矩阵4 具有如下形式 a = a q p a q q ( g ) ( 3 1 3 ) 为方便起见，不妨取= = c o s 0 ，= = s i n 0 。经变换后，系统( 3 1 1 ) 可写成 ，= h ( j 0 ) )( 3 1 4 ) 其中y r ”，h ：r ”叶r ”。对( 3 1 4 ) 实施变量延迟反馈控制，得到 多= 月( j ，0 ) ) + k - y ( t f ) 一j ，o ) 】( 3 1 5 ) 其中眉为一常系数对角矩阵，在下面的讨论中，取该矩阵的对角线元素只有一个为非 零的情况( 相当只用单一反馈信号的控制作用) 。 由于线性变换不改变原系统的动力学性质，因此对于线性变换后的三维自治混沌 系统( 3 1 5 ) ，采用单一信号对其实施延迟反馈控制，我们就有可能利用引文 1 0 ，2 0 ，2 1 1 所提出的理论分析方法，解析地确定出控制参量k ，f ，r 和0 的有效取值范围。在本章中， 我们将从电路实验的角度，利用上述变换的思想和方法在具体的混沌电路系统中实现 用单一变量延迟反馈信号对混沌的控制。 3 2 方法的应用 考虑如图3 1 ( a ) 所示的电路系统，其对应的状态方程为： d u l1 ，r r 、 孑2 面盲“- 一i “：) 等：击( 缸一知一了rb 1 2 ) ( 3 圳 i 2 丽i q 百虬一万) ( 3 2 t 1 ) 百d u 32 丽1 ( i r + 七瓦r ( “：+ e ) ) 令q = r r 1 ，a 2 = 矗r 3 ，b = r r 2 ，f = k r r 4 ，d = 一e ，甜l = z 1 ，2 = z 2 ，z ，3 = z 3 ， r = t r c ，史= d x d r ，则方程( 3 2 1 ) 变换成 j 1 = 口1 x 1 一x 2 j 2 = 一x 3 一b x 2( 3 2 2 ) 也= 1 7 2 x 1 + 麟3 ( x 2 一d ) 注意到实际电路的各参数取值分别为：r = 1 0 0 k q ，r i = 飓= 3 3 3 3 k q ，r 2 = 5 0 0 0k q ，r 4 = 5 k f ! ， c = 3 3 0 p f ，庐一2 v ，肛o 2 v ；相应地有l = 口2 = 0 3 ，b = 0 0 2 ，c = 4 0 ，d = 2 0 。 在这组参数下，计算系统( 3 2 2 ) 的l a y p u n o v 指数得到( o 1 3 ，0 ，一1 0 5 6 ) ，这里有一个 l a y p u n o v 指数大于零，表明系统状态是混沌的。实验观测和数值计算得到的在二维相 平面上的混沌吸引子如图3 2 所示，系统( 3 2 2 ) 以b 为参数的分岔图，如图3 3 所示。 ( b ) 图3 1 ( a ) 混沌电路；( b ) 线性变换后并；1 1 2 = 延迟反馈控制的电路系统 1 2 ( a )( b ) 图3 2 系统( 3 2 2 ) 的混沌吸引子( a ) 实验结果( b ) 数值计算结果 图3 3 系统( 3 2 2 ) 的分岔图 选择线性变换矩阵 r 1 0 0 a ：r 10c o s 0 一s i n 口l ( 3 2 3 ) l o s i n 目 c 。s 口j 其中，、口分别为变换的可调参数。对( 3 2 2 ) 变换，并用y ：构造反馈信号，为下面讨论 方便，不妨令，= 1 0 ，则有 岁l = 0 3 y l z 2 ，2 = ( ，l z 2 一o 0 2 z i ) c o s o + o 3 y l + 4 2 2 ( ：l - 2 ) s i n 口+ k y 2 0 f ) - y 2 ( f ) 】 ( 3 2 4 ) 户3 = 一( y l z 2 一o 0 2 2 1 ) s i n 口+ o 3 y l + 4 ：2 ( z 1 2 ) c o s 0 这里：，= r y ：c o s 0 一y 3s i n 印，z ：= r y ：s i n o + 乃c o s o 。由于本文所讨论的町逆线性变换 没有涉及对时间的变换，因此变换前后系统的时间尺度不变。在实际控制过程中，f 的 大小仍可以依照变换前计算原系统得到的基本周期的平均值 2 2 1 或它的倍数来选定。 实际上系统( 3 2 4 ) 除了已固定，= 1 o 外，它还有三个可选的参数f 、k 和0 ，显然， 变换后系统可调参数个数的增加将使系统被控制的可调灵活性增加，以及欲达到控制 目标，系统可调参数的调节范围也增加了。图3 4 给出固定延迟时间f = 6 6 8 ，分别再同 定口= 0 和0 = 石6 的条件下，数值计算系统( 3 2 4 ) 绘制y ，t 分俞图( 分岔图是由对于 每一个k 值( 作为横轴) ，从计算系统( 3 2 4 ) 的时间序列中取出极值点( 作为纵轴) 而构成) 用以对比变换前后参数影响对系统控制的结果。由图可见：变换前( 0 = 0 ) ，系统( 3 2 4 ) 被控sr l n - 周期状态的参数区间仅在k ( o 1 ，0 9 ) 的范围内，见图3 4 ( a ) ；变换后( 0 = 鲁) ， o 系统( 3 2 4 ) 被控制到一周期状态的区间为k ( o 0 9 ，1 5 ) ，显然较之前者参数范围明显增 大。图3 4 ( b ) 是固定k = 1 o ( 对应于系统( 3 2 2 ) 的不可控区) ，数值计算得到的臼y ，分岔图。 基于上述数值计算的结果，实验中我们从可控制系统混沌的参数区间中选择如下 两组值f = 6 6 8 ，k = 1 0 ，0 = n - 6 及f = 6 6 8 ，k = o 3 ，0 = 石6 ，对实际电路控制。加入控 制部分的电路实现，如图3 1 ( b ) 所示。实际电路参数值的选择分别为： r l = 凡4 = r 5 = 1 1 5 4 7 k q ，r 2 = 2 0 0 l q ，r 3 = 3 3 3 3 1 c q ，r 6 = 2 3 7 8 k , q ，r 9 = 3 1 2 k , q ，r i o = r 2 = 6 6 7 k q ， r 1 1 = 5 7 7 4 k , q ，r 1 3 = 4 1 6 3 k , o ，r 1 4 = 1 7 9 5 k , q ，觑= 一1 ，v ，k z = l v 。实验过程中通过改变r 7 ，尺8 的大小而达到调节k 的目的。 当r 7 = 1 0 0 1 m 、r 8 = 2 9 k f 2 时，电路的混沌态被控制到一周期状态，如图3 5 ( a ) 所示。 而当r 7 = 3 3 3 3 k , q 、r 8 = 3 6 4 k , q 时，系统则被控制到二周期状态，见图3 5 ( b ) 。另外，图 3 5 ( c ) 、( d ) 还给出与上述实验参数相同的情况下，数值计算系统( 3 2 4 ) 的结果。分别将 图3 5 中的( a ) 与( c ) 及( b ) 与( d ) 对比，仿真实验与数值计算的结果符合得相当好。 4 0 3 5 3 0 r 2 5 x 2 0 15 5 4 3 并2 1 0 02 0002040 b08101 i141618 k 35 3 o 25 2o 15 0003060912 15 18 e 图3 4 ( a ) 、( b ) 为数值计算系统【3 2 4 ) 得到的k - x l ，t 1 ，1 和06 7 1 分岔图 4 。”矿。+ 一+ 一j 2 - o v - 墨； o o v t 一4 o r + + 一h 十+ + ； 2 0 v 一1 t 0 v0 0 v1 0 v2 0 v3 0 v 一3 0 v 一2 0 v 一1 0 v0 0 v1 0 v2 0 v3 0 v 4 0 v v 1 ，v ”1 v 图3 5 系统( 3 2 4 ) 被控制在l p 和2 p 状态上：( a ) 、( b ) 电路模拟仿真结果：( c ) 、( d ) 数值计算结果 考虑s p r o f l - j 混沌系统【2 2 】 岛= - - x 1 + x 2 + 5 j ； 其电路实现如图3 6 ( a ) 所示，相应的状态方程为 垫d t = 去c 一晏”簧旷嚓囝一2 丽【一i “+ i “z 咄i “i j ( 3 2 5 ) ( 3 2 ，6 1 其中r i = r 2 = 5 0 k o ，e 3 = 2 0 m ，c = 3 3 0 p f , 后= 一l v , “1 = z i ，甜2 = x 2 ，“3 = x 3 ，r = t g c ， 1 5 x+冯m = = x x 毛尺 蚝 足一吃 r 一置卜 。一船，一肥 = = 堕m 堕出 k = d x | d t ， ( b ) 图3 6 ( a ) 混沌电路；( b ) 线性变换厉并加上延迟反馈控制的电路系统 选择变换矩阵4 的形式为 并用y 构造反馈信号，令r = 1 0 ，则有 ( 3 2 7 ) 夕l = 2 y 3c o s 0 + ( - 2 z l + y 3 ) s i n 口+ k y l o f ) 一y l o ) 岁2 = 一2 y 3s i n o + ( 一2 z l + y 3 ) c o s a ( 3 - 2 8 ) ，3 = 一z 2 + z l + z ； 其中z 1 ：y 。c o s 0 一y 2s i n 0 ，z 2 = 儿s i n o + y 2 c o s 0 。类似上述分析方法，若选定 f = 4 9 ，用数值计算方法分别绘制系统( 3 2 8 ) 的k 一( 对应于0 = 0 时) 、 k ，y ，( 0 ：_ y ) 分岔图，见图3 7 0 ) 。变换前，系统( 3 2 8 ) 的可控区间仅为 o k ( 0 0 2 6 ，0 3 7 ) w ( 0 7 ，0 8 ) ；而变换后，可控区域扩大到七( 0 2 8 ，3 0 ) 。同时，取k = o 6 ( 对 应于系统( 3 2 5 ) 的不可控区) 计算n n ( 3 2 8 ) 得到护y 。分岔图( 图3 7 ( b ) ) 也表明：恰当地 选取目可以获得不同的控制结果，如0 ( o 0 8 ，0 4 4 ) u ( 1 1 5 ，1 5 7 ) ，可将系统( 3 2 8 ) 控制到 1 6 们副 ：蓍础。 一 c 口目m 0 一旧 ! 竺 一 | i 4 一周期；0 ( o 4 5 ，1 1 0 ) ，则可将系统( 3 2 8 ) 控制到二周期。由理论上确定的可控制参量 区域中选择两组值f = 4 9 ，k = 1 0 ，口= a 6 和f = 4 9 ，k = 0 6 ，p = n 6 ，图3 6 ( b ) 给出其电 路实现，其中r l = 4 4 8 娥，r 2 = r 5 = 1 1 5 4 7 k f 2 ，r 6 = 7 4 6 3 k q ，r 7 = 6 6 6 7 k f ) ，r s = 8 0 k q ， r 9 = 2 7 3 2 k f 2 ，r l o = 2 3 1 k q ，r l l = 2 6 6 7 k f 2 ，r 1 2 = 7 3 2 1 k f 2 ，k l = 一1 v ，k 2 = l v ，当月3 = 1 0 0 k q 、 r 4 = 6 6 6 7 k q 时对应一周期，r 3 = 1 6 6 6 7 k f 2 、r 4 - - 9 1 1 m 时对应二周期，经电路模拟仿真得 到系统( 3 2 8 ) 被控制到一周期和二周期的结果，如图3 8 ( a ) 、( b ) 所示。电路模拟仿真结 果与数值计算结果( 图3 8 ( c ) 、( d ) ) 相符合。 乏 f 图3 7 ( a ) 、( b ) 为数值计算系统( 3 2 8 ) 得到的k - - - - x l 女丁l 和0 7 1 分岔图 1 1 0 ”丽+ + ”。j 0 o v + 1 o v t 1 7 2 , o r 一1 , 0 v0 , 0 v1 , 0 v 2 , 0 v 3 , 0 74 , o r5 0 v6 o v 1 7 i 一州卜吖 v叶mv 一莳v v一加一v咻啪 吧 幽3 8 系统( 3 2 8 ) 被控制在l p 和2 p 状态上：( a ) 、( b ) 电路模拟仿真结果；( c ) 、( d ) 数值计算结果 本章通过电路仿真验证了通过可逆线性变换( 例如旋转变换) ，对系统进行单变量 控制达到了用多个变量控制原系统的效果，电路仿真结果与数值仿真结果基本上是吻 合的，从而验证了该方法的可行性和有效性。本章只就最简单的情况进行了讨论，实 际上，这种耦合变量的方法不仅适用于连续系统变量反馈控制，而且对于其他一些控 制方案也可以取得比较好的效果。类似地，这种方案也可以推广到对离散混沌系统的 控制问题，这就为有效提高混沌控制质量提供了新的可行性方案。 第四章 控制时空混沌系统的电路仿真 前面讨论的那些系统其状态变量仅仅随时间连续或离散变化， 而自 然界许多实际系 统其状态量既随时间变化也随空间变化， 描述这类系统的动力学模型应该包含时间和空 间的 特征， 这类系统被称为时空系统 1 1 。 对于线性时空系统， 若给定定解条件原则上 可以求得系统的解析解，且其解的特征也较简单。对于非线性时空系统， 一般说来很难 求出解析解， 通常采用数值计算的方法求其数值解， 但其解却有包括时空混沌在内的极 为复杂的时空特性。实际上， 用数值方法求解时间和空间均连续的系统， 其处理过程是 将系统的时间和空间的微分或微商算符离散化，而把连续系统转化成离散 ( 或迭代)系 统。借用这种处理方法，日本学者金子邦彦提出了祸合映象格子模型，也就是将任意一 种低维动力学模型作为子元胞 ( 或局部动力学) ，根据不同的物理过程设计各元胞间的 相互作用形式， 从而构成各类祸合格子系统2 3 -2 7 1 。 这类系统既能反映时空系统本质的 特 征，又易于数学分析和计算，因此被作为研究时空系统动力学特性的模本广为使用。 虽然关于祸合映象格子系统的报道已 有很多， 但这些报道均集中于理论方法的研究 结果， 而实验方面的工作极少， 其主要原因是: 这样系统的尺度一般情况下都是较大的， 真正在实验中利用硬件构造这样的系统将是一件很困难的事。 在电子学领域中， 对于复 杂电路的研究，人们通常采用 p s p i c e仿真平台模拟实际电路来了 解电路的运行规律。 在本章我们把 p s p i c e 仿真平台 应用到对于两种简单的 祸合映象格子模型的 研究，尤其 是研究几种控制方法在控制时空混沌系统的电路实现和控制结果的规律性。 号 4 . 1两种祸合映 像格子模型 视祸合方式的不同， 祸合映象格子模型可分为双向祸合和单向祸合两种。 顾名思义: 若第i 个格点在自身演化的同时又受到近邻( 如第i - 1 和第i + 1 个) 格点的作用即为双向 祸合模型; 而若第i 个格点在自 身演化的同时又只受到它的前一个 ( 第i - 1 ) 格点的作用 即为单向祸合模型。后者也被称为开流模型。 4 . 1 . 1 双向 祸合映 像格子 模型 及其电 路的 实现 双向祸合映像格子模型的形式为: x , (i， 一 (， 一 )i (x . (i) + 号 u (x . “ 一 ，) + f (x (i + 1) ( 4 . 1 . 1 ) 这里x - w 是 第i 个格点 在n 时 刻的 状态 值， n 为 离 散 化的 时间， i 为 格点 坐 标 ( i0 1 , 2 _ j,l 为系 统尺寸 ) ，。 是 格点间的 祸合强 度， 采用周 期 边界 条 件， 即x ( 0 ) = x . ( l ) 。 局部动力 学采用单峰映象 1 9 x 十 1 一 .f ( x n ) = 1 一 ax 。 2a x 上式的电路实现如图4 . 1 所示。其状态方程为 ( 4 . 1 . 2 ) u n * i 令 。 = k 二 r _，r =一- c 一a- u 。 r r , ( 4 . 1 . 3 ) ，e = - 1 v ，则方程( 4 . 1 .3 ) 简化为式( 4 . 1 .2 ) 。 若取 r = l 0 0 k q , r i = 5 .2 6 k n , e = - 1 v , k = 0 . 1 / v ， 则相应地有a =1 .9 。 将此电 路作为( 4 . 1 . 1 ) 系统的一个子元胞 ( 或子电 路) ，其整个双向 祸合映 像格子的电 路系统， 如图4 .2 ( a ) 所示。 : 二 护 s /h s ih u xll 图4 . 1单峰映射的电 路实现 e 1 2 x (1) e x ( 2 ) e . 乌 匣伶，二 ( b ) e , ( l 图4 .2 ( a ) 双向 祸合映像格子模型 ( b ) 单向祸合映像格子模型 9 4 . 1 .2单向 祸合映 像格子 模型 及其电 路的实现 单向祸合映象格子模型的形式为: x 。 十 1 ( i ) = f ( x , ( i ) , x ( i 一 1 ) ) = ( 1 一 ) .f ( x . ( i ) ) + 6f ( x n ( i 一 1 ) ) ( 4 . 1 .4 ) 这里 ( i ) 是 第i 个 格点 在n 时 刻的 状态值， n 为离散 化的时间 ， i 为 格点 坐标( i 0 1 ,2 , 二 ，l ,l 为系 统 尺寸 ) ， 二 是 格点 间 的 祸 合 强 度， 采 用 周 期 边 界 条 件， 即x ( 0 ) = x ( l ) ， 局 部 动 力 学同前。 单向 祸合映象格子电 路系统的 实 现，见图4 . 2 ( b ) a 需要说明一点:关于上述两个模型通过数值计算得到的动力学特征， 在仿真电路也 可以观察到，由于篇幅的限制本文不再赘述。 在本章中， 我们主要讨论如何基于己有的 控制方法用实验电路实现控制这两个系统的时空混沌问题。 4 .2控制时空混沌系统的 方法及电路实现 从前面的描述可知藕合格子时空系统是由子元胞通过适当的祸合而构成， 且每个子 元胞均可能是时间混沌系统的， 因此控制时空混沌系统的方法也可以借用控制时间混沌 的方法。 在本节中， 我们分别介绍四种控制时空混沌系统的方法及这些控制方法的电路 实现。 号 4 . 2 . 1 线性反馈控制法 及电 路实现 反馈控制的形式有多种，其中一种最简单且易于在电路上实现的形式为 y ( x ( j ) - x c ) fz s l ， 这 里x 。 为目 标 态 。 考 虑 双 向 祸 合 映 象 格 子 系 统 ， 加 入 反 馈 控 制 项 后 的 方程形式为 x , , ( i ) = ( 1 s ) f (x n (i) + 备 ax( 一 ，) + a x (i + 1) + a x (i， 一 x ) ( 4 . 2 . 1 ) 对于时空系统， 多数情况下要求将系统的时空混沌态控制到最简单的状态一均匀态， 也 即单峰映射的不动点状态，这样就有: z ,. 一 二 。 _ 与- 1 1 4 a + 1 ) ， ( 4 . 2 . 2 ) 其中i = 1 , 2 0 加控制的系统( 4 .2 . 1 ) 的第 i 个格点的电 路实现如图4 . 3 所示。 整个电 路系统的尺寸 l = 6 0 ， 其系统的状态方程为 _ r，r uy , ( 1 ) =- x, ， 一k- x x ,u (a)+ r (二 (i)+ e 2， 一 r 2 (un 一 ，二