（环境科学专业论文）混凝过程中颗粒分形凝聚生长的计算机模拟研究.pdf

机分形凝聚体的各向异性导致自相似迭代凝聚体中的颗粒发生一定程度的离散，其 分形维数值比原凝聚体分形维数值略有下降。 关键词：颗粒凝聚；分形维数；扩散限制胶体凝聚；反应限制脏体凝聚；自相似迭 代 r e s e a r c ho rf r a c t a i a g g r e g a t i o l 3d u r i n go o a g u i a t i o n p r o c e s s ：c o m p u t e rs i m u ia t i o l q a b s t r a c t f r a c t a lt h e o r ya n dm o m e c a r l om e t h o dh a v eb e e na p p l i e dt or e s e a r c ho i lp a r t i c l e a g g r e g a t i o nd u r i n gc o a g u l a t i o no rf l o e e u l a t i o ns i n c et h ep h e n o m e n o ni san o n - l i n e a ra n d c h a o t i cp r o c e s s i nw h i c hp a r t i c l ea g g r e g a t e sa r ef o r m e dw i t hc o m p l i c a t e ds h a p ea n d r a t 讨o ms t r u c t u r e ，t h ec o m p u t e rh a sp l a y e da q u i t ei m p o r t a n tr o l ei nc a l c u l a t i o na n d s i m u l a t i o no fa g g r e g a f i a n ，m o s tm o d e l s ，w h i c ha r ea c c e s s i b l et oa g o o du n d e r s t a n d i n go f t h ed y n a m i c sp r o c e s s ，h a wb e e ne s t a b l i s h e da n da p p l i e d b ym e a n so fc o m p u t e r s i m u l a t i o n , ac o m p m e rl a n g u a g e ：v bi se m p l o y e di nt h i sw o r kt om a k eas e to f a p p l i c a t i o np r o c e d u r ef o rap o l y d i s p e r s e dc l u s t e r - c l u s t e ra g g r e g a t i o nm o d e l s e v e r a l n u m e r i c a ls i m u l a t i o n so fd l c aa n dr l c aa r ep e r f o r m e dt oo b t a i nt h em o r p h o l o g i c a l c h a r a c t e r i s t i ca n dt h ec o n c e n t r a t i o na n dt h es t i c k i n gp r o b a b i l i t yd e p e n d e n c eo f t h ef r a c t a l d i m e n s i o no ft h es na l l $ 1 z e dc l u s t e r s a n dt h ed y n a m i c sp r o c e s si sc o n c e r n e df o ra p r i m a r yr u l eo ft h e 自c a 嘲c l u s t e rg r o w t ham o r ei n n o v a t i v em e t h o ds e 游s i 喊l a r i t e r a t i o ni sd e v e l o p e d 仞p r o d u c el a r g e r - s i z e df r a e t a la g g r e g a t e sb yi n c o r p o r a t i n g s e l f - s i m i l a rp r o p e r t yo fr e g u l a rf r a c m lw i t ht h em o n t e c a r l os i m u l a t i o n i ti st e s t e db ya s i m p l ea n a l y s i so ft h et w o - d i m e n s i o n a lh e r a t i v ea g g r e g a t e s i ti se x p e c t e dt op r o v i d e g r o u n d w o r kf o rs t u d yo nf r a n t a l - a g g r e g a f i o na n de x p l o r i n gt h es i g n i f i c a n c eo f a p p l i c a t i o nt oc o a g u l a t i o no rf l o c c u l a t i o n m a i nc o n c l u s i o n sa wa sf o l l o w s ： s m a l l - s i z e dd l c aa g g r e g a t e sc o n t a i n i n g1 0 0 5 0 0p r i m a r yp a r t i c l e sc l e a r l ys h o w f r a c t a lf e a t u r e s t h e i rf r a c t a ld i m e n s i o n sd 印e n d s t r o n g l y 0 1 1t h ei n i t i a l p a r t i c l e c o n c e n t r a t i o n ad e p a r t u r ef r o mf f a c t u ls c a l eo c c u r sa tt h ec o n c o r u m t i o mo v e r0 0 3 ( p a r t i c l e l a t t i c e ) v a l u e s o f f r a c t a ld i m e n s i o n o b t a i n e d f r o m t h e p o w e r - l a wr e l a t i o n s h i po f r f 捌v e r yf r o m1 4 5t o1 5 2f o rt w o - d i m e n s i o n a la g g r e g a t e sa n df r o m1 8 0t o1 9 9 妇 t h r e e d i m e n s i o n a l a g g r e g a t e s ，r e s p e c t i v e l y a s t r e t c h e d e x p o n e n t i a l f o r mo f p a r t i c l e - p a r t i c l ec o r r e l a t i o nf u n c t i o nc r f if i tw e l lt h es i m u l a t i o nv a l u e s ，w h i c he d u c e sa i l i t t l e l o w e r f r a c m ld i m e r t s i o m t h a n t h o s e f r o m r c n f i t t i n g f o ra l o n gi n i t i a ls t a g eo f d l c a ，t h ea v e r a g ec l u s t e rs i z eh a sp e r f o r m e dab e h a v i o r o fe x p o n e m i a lg r o w * & i ts h o w sat r e n do fs t e a d yp o w e r - l a wg r o w t h 砒al a t e rt i m c a n d t h e n a s h a r p i n c r e a s e t o t h e m a x i m u m s i z e n e a r t o t h ee n d p o i n to f a g g r e g a t i o n t h es t r o c t b r e so f a g g r e g a t e sf o r m e d i nr l c as i m u l m i o n sb e h a v eas t r o n g d e p e n d e n c eo nt h es t i c k i n gp r o b a b i l i t y t h ee n c l o s i n gr a d i ia n dt h er a d i io fg s z a t i o n s h o wan e n do fp o w e r - l a wg r o w t h t h es t i c k i n gp r o b a b i l i t yv a r i e sf r o mo 1t o1 a n d t h er a t i oo f b o t hf a i l sw i t hal i g h tf l u e t u m i o n t h et i m eo f a g g r e g a t i o nd e c r e a s ea c c o r d i n g t oap o w e r - l a wr e l a t i o n s h i pw i t ht h es t i c k i n gp r o b a b i l i t yi n c r e a s i n g t h er e s u l t so b t a i n e df r o mt h es e l f - s i m i l a ri t e r a t i o no f d l c a a g g r e g a t e sc o n t a i n e d 村 p r i m a r yp a r t i c l e sa sar e s u l to ft h ea n i s o t r o p yo ft h er a n d o mp a r t i c l ea g g r e g a t e ，t h e p r i m a r yp a r t i c l e so f as i n g l ea g g r e g a t ee x h i b ks c a r r i n gt os o m ee x t e n d ，a n dt h ef r a c t a l d i m o n s i o n sl o w e ra1 i r l e k e yw o r d s ：p a r t i c l ea g g r e g a t i o n ；f r a c t a ld i m e n s i o n ；d l c a ；r l c a ；s e l f - s i m i l a r i t e r a t i o i l 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 洼；麴 遗直甚他嚣墓挂刹直盟盥：奎拦卫窒2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名鼢签字隰印年石月归 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阋。本人授权 学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授 4 _ 权书) 学位论文作者签名彻吨侈 导师签字： 签字日期嘲年i 月。7 日 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 通讯地址： 签字吼沙7 年石月c 妒 o dc 、 电话： 邮编 混凝过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 0 引言 混凝是目前国内外广泛使用的既经济又简单的水处理技术，混凝阶段主要去除水 中悬浮的胶体颗粒，它是通过投加棍凝剂( 电解质或高聚物) 使水中的细小颗粒相互 聚集形成絮状大颗粒的过程，其主要目的是改变水中悬浮固体的存在状态和表面性 质，以利于后续工序的去除过程。 由于混凝过程的复杂性和随机性，一直以来，混凝基础理论的研究都是在没有 考虑颗粒形状或将其简化为等质量均匀球体的前提下进行的。这种高度理想化的假 设在一定阶段内促进了混凝理论研究的发展，对混凝工艺过程的设计和应用起到了 重要的指导作用但是，随着电子显微等现代分析技术的运用，越来越多的实验结 果表明：水体中的悬浮颗粒具有高度不规则的形状，这必会影响到颗粒的表面性质， 进而影响到颗粒的混凝和迁移等行为。分形凝聚理论的引入，将纷繁复杂的颗粒凝 聚现象简化为细微的具有自相似性或自仿射性的分形单位，通过对这些简化的分形 单位进行研究，揭示混凝过程中各种非线性过程内的随机性变化，为混凝理论的深 入研究提供了一种非常有效的定量工具。 在结合分形理论对混凝形态学和动力学进行研究的过程中，计算机模拟起到了 重要作用。由于混凝是一种非线性的复杂现象，涉及到的微观过程和影响因素众多， 即使对于其中最简单的颗粒凝聚过程，要发展一个合理的理论仍然有困难。一般的 混凝实验往往无法对某些过程参数( 如颗粒扩散系数、碰撞效率等) 进行确定性控 制和调整，而且，对于凝聚体微观结构参数( 如粒径、密度、孔隙度等) 的获得， 通常需要先进的测量仪器设备和较高精度的分析技术。计算机模拟能够打破实验手 段的限制，根据需要调整混凝过程的控制参数，通过数值模拟快速得到凝聚体的形 态结构信息，且容易对模拟结果进行分析和评价。随着计算机速度、存储容量的快 速增长和实用性的迅速提高，计算机在颗粒凝聚模拟研究中的应用越来越受到重 视，大量研究工作试图通过计算机模拟凝聚过程来研究颗粒生长动力以展生成团簇 的分形结构，在研究过程中逐渐形成两种有代表性的不可逆凝聚生长模型：扩散限 制胶体凝聚( d l c a ) 和反应限制胶体凝聚( r l c a ) 。近年来，大量关于这两种模 型原理及应用的模拟研究成果被报道，为研究凝聚体形态结构特征及其相关性质、 混凝过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 理解分形凝聚生长动力过程机理提供了理论依据。 本文根据多分散团簇团簇凝聚模型的基本思想，编制模型运算程序，并对一定 浓度和粒度范围内的二、三维d l c a 和r l c a 生长过程进行数值模拟；同时，将 蒙特卡罗方法与有规分形生成方法结合得到一种构建包含较大粒度凝聚体的简单 方法：随机凝聚体的自相似迭代。通过对模拟结果的分析，考察小粒度颗粒凝聚体 的结构特征、变化规律以及对初始颗粒浓度和粘结概率的依赖性。 希望本文的研究数据和结论能够为进一步探讨分形凝聚理论及其在混凝研究 中的应用提供一定的基础理论依据。作者竭诚期待诸位老师和专家对文中的不足之 处提出批评和指正。 琨凝过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 1 绪论 1 1 混凝基础理论及模型研究进展 混凝过程是一个综合作用过程，该过程涉及到物理，化学、物理化学、胶体化学、 水力学等各方面理论，其影响因素众多，诸如水中杂质的成分和浓度、水温、水的酸 碱度、混凝剂性能及投加量、混凝过程中的水力条件等等。在水处理混凝工艺中，混 凝过程被人为分成凝聚( c o a g u l a t i o n ) 和絮凝( f l o c c u l a t i o n ) 两个阶段( 许保玖，1 9 9 2 ) 。 凝聚是指加入混凝剂后胶体脱稳并通过布朗运动进行碰撞聚集形成尺寸较小的微絮 体的过程；絮凝是指微絮体通过机械或水力搅拌进一步聚集成大的絮体，从而使其能 从水中最终沉淀分离的过程。在实际的水处理混凝运行中，凝聚与絮凝几乎是同步发 生的。 长期以来，人们对混凝作用机理及工艺过程作了大量深入的研究，先后提出了许 多理论及计算模型，如早期根据经典胶体化学理论的g u o y c h a p m a n 双电层模型而建 立的d l v o 凝聚物理理论( d e r y a g u m a n d l a n d a u , 1 9 4 1 ；v e r w e y a n d o v e r b e e k 1 9 4 8 ) ， 由s m o l u c h o w s k i ( 1 9 1 7 ) 提出并由c a m v 和s t e i n ( 1 9 4 3 ) 加以实用化的絮凝速度梯度 理论，以及以絮凝的微观物理化学作用机理研究为基础提出的电中和、吸附架桥、卷 积混凝机理和微涡旋混凝动力学理论。这些理论代表了早期混凝基础理论的发展趋 势，对混凝工艺过程设计应用起到了重要的指导作用，其主要不足之处在于这些理论 都没有考虑胶体颗粒的形状或将其简化成了密度均匀的对称球体。2 0 世纪后期，随着 电子显微镜等现代分析技术的运用，形态科学得到发展，许多实验结果表明：水体中 的悬浮颗粒粒径分布范围广，形状结构高度不规则。这一事实必然会影响颗粒的表面 性质，进而影响到颗粒的混凝和迁移行为。因此，传统几何方法的简化假设已经不能 满足混凝理论进一步发展的需要，许多研究者开始重视凝聚体形态结构方面的问题， 并提出多种凝聚体结构模型和生长动力模型。 最早一个凝聚体结构模型是由v o l d ( 1 9 6 3 ) 通过计算机模拟提出的3 层结构模 型：原始颗粒、团簇与团簇凝聚体，同时对颗粒动力生长方式进行了探讨，提出弹 射凝聚( b a l l i s t i c a g g r e g a t i o n ，b a ) 模型：当单体的平均自由程比凝聚体的尺度大 混一疑过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 时就会发生弹射凝聚，此时，单体以直线轨道向凝聚体运动，很易进入凝聚体内部， 最终形成比较致密的凝聚体。1 9 6 6 年s u t h e r l a n d 对v o l d 凝聚模型中颗粒聚集过程 的随机特征提出了批评。他认为凝聚体生长的主要机理不在于原始颗粒之间的碰撞 而在于包含有不同数目原始颗粒的团簇之间的碰撞聚集，因此提出了团簇- 团簇凝聚 ( c l u s t e r - c l u s t e r a g g r e g a t i o n , c c a ) 模型。与v o l d 模型相比，s u t h e r l a n d 模型形成 更为多孔疏松的结构，具有较低的密度，且随着粒度的增加，凝聚体的密度降低而 孔隙度增加。 v o l d 模型和s u t h e r l a n d 模型所考虑的原始颗粒均为单一粒度的均匀球体。而通 常所发生的情形不尽如此。o o o d a r z - n i a ( 1 9 7 0 ) 建立了更新的模型，其原始颗粒粒 度分布基于一标准正态分布，而结构则由原始颗粒形成的链组成。凝聚过程的碰撞 频率计算基于s m o l u c h o w s k i 方程。实验结果表明，该方法所得凝聚体颗粒粒径与 具有单一粒度分布的情形并没有太大的区别：凝聚体体积相对而言却变得较小。这 是由于小颗粒的存在得以填充颡植问间隙而导致形成更为密实的凝聚体。 考虑到自然界存在的物质并非由单一的球形颗粒组成，g o o d a r z - n i a ( 1 9 7 5 ) 提 出了一个基于具有不同轴半径比的椭圆形原始颗粒的凝聚模型。每个椭圆视为一个 团簇，由不同数目的小球体组成。在凝聚体生长过程中不同粒度大小的团簇得以形 成并相互碰撞凝聚成为更太的团簇，直至达到最大粒度。 由此可见，颗粒凝聚体所具有的随机复杂结构使得对其进行定量描述相当困 难。早期提出的各种模型虽然从不同角度对凝聚体结构进行了定量分析与描述，一 定程度上也涉及了分形特征，但由于没能归纳出其中具有普遍性的分形概念而未得 到广泛应用。2 0 世纪后期，由于计算机模拟技术的广泛应用和分形理论的创立，使 得传统凝聚动力方程得到修正，各种包含分形凝聚生长理论的动力模型被提出和应 用。 第一个包含实际凝聚过程主要影响因素的；疑聚模型是由w i 【t e n 和s a n d e r 于 1 9 8 1 年建立的扩散限制凝聚( d i f f u s i o n - l i m i t e da g g r e g a t i o n ，d l a ) 模型。该模型 的凝聚生长机制为固定中心的颗粒团簇凝聚，它将凝聚归结为原始颗粒通过随机行 走形成一个不断生长的团簇的过程，并认为所有的颗粒碰撞都会导致凝聚发生。 混凝过程由分形凝聚生 圭的计算帆模拟研究 1 9 8 3 年，m e a k i a 对w i t t e n - s a n d e r 的d l a 模型进行了修正，提出让所有颗粒都进 入点阵进行无规随机运动。当两个颗粒相遇后就结成团簇，团簇也作随机运动，因 而可以和其他颗粒或团簇结合。生成更大的团簇。这种模型称为多分散团簇团簇凝 聚( p o l y d i s p e r s e dc l l l s t e r - c l 咖a g g r e g a t i o n ) 模型，利用该模型也可以生成具有 分形结构的凝聚体。之后，m e a k i n 等利用计算机模拟技术对多种凝聚生长模型进行 了系列探讨，并在考虑颗粒问粘结概率问题的基础上发展了反应限制凝聚 ( r e a c t i o n - l i m i t e d a g g r e g a t i o n r l a ) 模型( m e a k i n , 1 9 8 8 ) 。d l a 与r l a 成为不可 逆凝聚生长的两种基本模式，在许多领域得到广泛研究和应用。 此外，许多研究者也通过实验方法提出一系列絮体结构模型，通过对混凝形态 学的研究，来探讨混凝过程动力机理及各种影响因素。如：f r a n c o i s 和v a nh a u t e ( 1 9 8 4 ，1 9 8 5 ) 研究了稀高岭土悬浮液在无机盐混凝作用下形成的絮体结构及不同 流体剪切下絮体的破裂与重新成长过程，提出了具有四层的絮体结构模型：原始颗 粒、絮粒、絮体与絮体凝聚体。在较高剪切力下，颗粒凝聚仅仅形成小的絮体片段， 这种小的絮体片段具有密实结构，称为絮粒，是构成絮体的基础。絮粒进一步凝聚 形成更为脆弱的多孔絮体凝聚体。与早期模型不同的是，该模型认为不同层次絮体 结合键属于弹性可变的。f i r t h 和h u n t e r ( 1 9 7 6 ) 在实验中分剐对三类絮体模型进 行了对比研究：单颗粒模型、刚性模型和弹性模型。在刚性模型中认为絮体的碰撞 是非弹性不可缩变的，二聚体中的流体剪切作用仅触及最邻近的两个颗粒；而在弹 性模型中，流体剪切力可以穿透絮体中所有颗粒，颗粒间的键均为可伸缩性的直至 破裂为止。l a g v a n k a r 和g e m m e u ( 1 9 6 8 ) 及t a m b o 和w a l a n a b e ( 1 9 7 9 ) 的研究为 多层絮体结构模型提供了更为充分的证据。多层絮体结构模型与分形凝聚体结构特 征相一致。只是分形维数将随着不同的颗粒碰撞机制而发生相应的变化。如凝聚体 可由颗粒团簇碰撞而成，也可以由团簇一团簇碰撞凝聚两成。前者形成的凝聚体分 形维数往往比后者大。 l i 和g a n e z a r c z y k ( 1 9 8 9 ) 对水与废水处理过程中形成的絮体分形维数进行了系列 表征，结果表明，不同分形维数分别对应于不同絮体结构的不规则程度与空间布局的 复杂性。应用分形维数可以对不同条件下形成的絮体结构进行更为准确的描述，他们 指出，不同大小的絮体形成过程中很可能对应于不同的机理。小絮体往往通过颗粒添 德凝过程中分孵凝聚生接的计算机横拄i 研究 加模式形成，具有致密的结构而表现出较大的分形维数值。同时，分形维数值的变化 可以用来预测混凝过程中不同絮体结构形成的转折点。应用分形理论还可以进一步对 絮体形成的影响因素进行研究。 y u s a ( 1 9 7 7 ) 和h i g a s h i t a n i 等人( h i g a s h i t a n ie ta 1 ，1 9 8 6 ，1 9 8 7 ；h i g a s h i t a n ia n dk u b o t a , 1 9 8 7 ) 对在特殊工艺条件下可以形成的球丸絮体进行了大量的研究。球丸絮体的主要 特征在于粒度大、粒度分布窄、椭球形及沉降速率大。不同实验条件可以形成四类不 同絮体：微絮体、小球丸、大球丸和絮团。t a m b o 和w a n g ( 1 9 9 3 ) 对球丸絮体进行了 进一步的研究，着重研究密度随粒度的变化，基于s u t h e r l a n d 的团簇一团簇凝聚模型， 他们进一步建立了分步成长絮体分形结构模型。近年来，l o g a a 研究小组在对海水颗 粒的混凝研究中分别探讨了不同流体条件( 如布朗运动、湍流与差异沉降) 下形成的 絮体特征，并通过分形维数建立起絮体质量、体积、密度、孔隙度( l o g a na n dk i l p s , 1 9 9 5 ；l ia n dl o g a n , 1 9 9 7 ) 和絮体沉降速率( j o h n s o na n dl i 1 9 9 6 ) 与粒径之间的定量 关系。 结合分形理论的混凝实验模拟研究和计算机模拟研究，已经成为混；疑基础理论 研究领域的一个显著前沿，但从国内情况看，将分形理论应用于混凝研究的报道并 不多，大部分文献( 王东升等，2 0 0 1 ；王东升和汤鸿霄，2 0 0 1 ；李剑超等，2 0 0 2 ) 只是概括性地介绍了分形理论及分形理论在混凝基础技术领域中的应用和基本研 究方法进展，或对水处理体系中絮体分形结构模型和分形动力生长模型的研究成果 进行综述。至于相关方面的计算机模拟研究，国内报道更是极其有限( 蒋新，2 0 0 4 ： 杨铁笙等，2 0 0 5 ；洪国军和杨铁笙，2 0 0 6 ) 。 1 2 分形理论及其在混凝研究中的应用 1 2 1 分形理论基础 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支。分形概念最早由曼德尔布 罗特( m a n d e l b r o tb b ) 于1 9 6 7 年提出，并于1 9 7 7 年和1 9 8 2 年分别出版分形： 形状、机遇和维数，自然界的分形几何学两本书，标志着分形理论的正式诞生。 曼德尔布罗特将分形理论的基本思想简单地表述如下：分形研究的对象是具有自相 6 混疆垃程中分形凝聚生长的哥算机镇瓤研究 似性的无序系统，其维数的变化是连续的，即维数可以不是整数( m a n d e l b r o t ，1 9 7 7 ， 1 9 8 2 ) 。 分形有两个重要的特征：自相似性或自仿射性与标度不变性。具有严格自相似 性的形体称为有规分形，而只是在统计意义上具有自相似性的分形称为无规分形。自 然界中不存在严格的分形( 有规分形) ，它们的自相似性都是通过大量的统计抽象出 来的，且萁自相似性只存在于所谓的“无标度区间”内，超过了这个范围，就不存在 自相似性和分形了。 因此，分形的一个通俗定义为：组成部分以某种方式与整体相似的形体( 李后强 等，1 9 9 0 ) 。一般也可把分形看成具有下列性质的集合，即如果集合f 是分形集，则 认为它具有以下典型性质( 李后强等，1 9 9 0 ) ： ( 1 ) f 具有精细结构，即有任意小比例的细节 ( 2 ) f 不规则，以至于它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述 ( 3 ) f 通常有某种白相似形式，可能是近似的或统计的 ( 4 ) f 的“分形维数”( 以某种方式定义) 一般大于它的拓扑维数 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 可以非常简单的方法来定义，可能由迭 代产生。 分形维数( 丘a c t a ld i n l e i o n ) 是分形理论中最重要的一个概念，它是对极其复杂的 分形客体进行定量描述的重要参数，表征了分形体的复杂程度、粗糙程度，即分形维 数越大，客体就越复杂，反之亦然。 按传统的观点，维数是确定系统状态的独立变量，只能取整数。然而，所谓的“魔 鬼图形”如k o c h 曲线、c a n t o r 集、s i e r p i n s k i 集的出现，使人们对传统的经验维数提出 深亥o 的疑问。旱在1 9 1 9 年，波恩大学数学家豪斯道夫( e h a u s d o r f f ) 就提出了维数可 以是分数的思想，并创立了豪斯道夫测度和维数理论，归纳了如下结论( 张济忠， 1 9 9 5 ) ：用一个“单位”，( 对于欧氏维数d = i 、2 、3 的情况，分别为单位长度、单位 涅凝过程由分形凝聚生长的计算机障扭研究 面积、单位体积) 去度量某一客体，度量的结果为p ) ，( r ) 与r 的关系满足n ( r ) z r 嘞， 则d 即为该客体的豪斯道夫维数( h a u s d o r f f d i m e n s i o n ) 。至今，这已成为分形维数 测度理论的基础。 在分形理论中，对于一个分形客体，它的维数一般都不限于整数，而是可以取 任何实数值。分形维数有多种定义形式，如相似维数、豪斯道夫维数、计盒维数、 关联维数、填充维数等。不同分形维数的测算方法和适用对象不同，许多定义形式 是针对具体现象提出的，其分形维数的测算方法也不相同，豪斯道夫维数d 日是一 种很有代表性的分形维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形。一般常用测算 分形维数的方法有如下几种：改变观察尺度求维数、根据测度关系求维数、根据相 关函数求维数、根据分布函数求维数、根据频谱求维数，不同方法得到的分形维数 在数值和意义上各不相同( 张济忠，1 9 9 5 ) 。 1 2 2 有规分形与相似维数 有规分形是指具有严格自相似性的分形。表1 1 列出了拓扑维数分别为一、二、 三维的三种有规分形体：三次科契( k o c h ) 曲线，谢尔宾斯基( s i e r p i n s k i ) 垫片和 谢尔宾斯基海绵，它们的共同特征是都可以通过某种自相似方式无限叠加或无限分割 得到。 对于严格自相似的有规分形，相似维数是一种最简单且易理解的定义形式。一般 的，如果某图形是由把全体缩d 、l a 的4 。个相似图形构成，那么此指数d 就具有维数的 意义，这种维数称为相似维数。用皿表示相似维数，若某图形是由把全体缩d 、l a 的b 个相似图形构成，则6 = a 4 ，相似维数d = l g b l g 口。相似维数的提出是把经验维数扩 大为非整数值的划时代进展，但按照其定义，它的适用范围非常有限，因为只有对具 有严格自相似性的有规分形，才能使用相似维数。有规分形的相似维数与豪斯道夫维 数一致。表1 1 三种有规分形的分形维数( 相似维数) 分别为1 2 6 2 、1 5 8 5 和2 7 2 7 。 自然界的分形都属于“无规分形”，它们只具有统计意义上的分形特征。如各 种自然凝聚生长过程，其中形成的颗粒凝聚体都不可能是理想的有规分形。但在理 混凝过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 论研究过程中，为了验证理论方法的准确性，往往需要构造某些有规分形体。考虑 到凝聚体生长过程的本质为分散颗粒之间的碰撞与粘结，本节以无限叠加方式构造 有规分形凝聚体( 以二维结构为例) ，并导出分形凝聚体颗粒数与特征长度之间的 关系。 袭1 1 一、二、三维空间的有规分形图形及其分形维数 t a b l 1r e g u l a rf r m t s dt h e i r 舾c i a ld i r n e m i o 名称 三次科契曲线谢尔宾斯基垫片谢尔宾斯基海绵 图形 一a 嚣辫戳 “n 一厶a a 鬻霎萋爹。 分形维数 1 2 6 21 5 8 52 7 2 7 单分散颗粒凝聚体系中的原始颗粒通常可以由欧氏几何进行描述，以单位直径 的圆表示一个原始颗粒，图1 1 ( 曲( d ) 表示一种有规分形凝聚体的形成过程，其中， 图1 1 ( 表示一个原始颗粒，( 为一个生成元，即一级结构，凝聚体按照生成元的 原始颗粒排列方式，逐级生长，所含原始颗粒数目以生成元包含的颗粒数目( 此处 为5 ) 为因子成倍增加，凝聚体直径则以生成元的直径( 假设原始颗粒直径为一个 单位，生成元的直径则为三个单位) 为因子成倍增长。图1 1 ( c ) ，旧分别为这种凝 聚体的二级结构和六级结构。这种分级凝聚体生长方式实际上是分等级团簇团簇凝 聚的理想化模型，实际的团簇团簇凝聚并不存在一个生成元，在同一级别的不同团 簇中，原始颗粒的排列方式是随机的。图1 1 ( p ) 所示的也是一个有规分形凝聚体， 形成过程本质上与凝聚体( 西相同，只是生成元结构不同于凝聚体( 曲，其颗粒数目增 长因子为9 ，长度增长因子为5 。 上述假设原始颗粒的直径为一个单位， 际上分形的基本性质之一就是标度不变性， 是为了得出特征长度的增长因子，而实 也就是说理想分形体具有无限大和无限 混凝过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 小的长度标度，因此在计算分形体的分形维数时，通常对长度量作无量纲化处理。 有规分形体的分形维数通常用相似维数进行定义和计算，对图1 1 所示的两种二维 有规分形凝聚体，假设生成元为凝聚体形成过程的一级结构，则一级结构含有颗粒 数l ；5 ，直径d i ：3 ；那么n 级结构则含颗粒数m = 5 0 ，直径以- 3 “。对于整个凝聚 体来说，每一个小颗粒的直径是凝聚体直径的l 3 0 ，而凝聚体总的颗粒数为5 “，即 l a = l 3 “，扣5 ”，则其相似维数皿= l g m g a = l g ( 5 4 m g ( 3 “产1 4 6 5 ，同样可毗得到图1 1 ( p ) 所示凝聚体的分形维数( 相似维数) 皿= l g b l g a = l g ( 9 “) n 甄5 。卜1 3 6 5 。一 一 ( a )o ) ( 图1 1 有规分形凝聚体的形成 f 噜1 1f o r m a t i o no f i d e a lf r a c l a la g g r e g a ” 根据相似维数的算法，假设一个含有v 个单分散原始颗粒的凝聚体，无量纲化 特征长度为f ，则二者之间具有关系： n 一d ，0 1 1 式1 1 即为表征分形凝聚体的基本幂律关系，其中d ，是分形维数。值得注意的 是特征长度“它可以根据需要采取不同的定义方式，如体积等价球体直径、水力 直径、与回转半径有关的长度等导出直径，或者以实验方法测量的凝聚体粒径，如 投影面积直径等。本文采用回转半径( 是窖) 和包裹半径( 足) 作为特征长度对模拟 凝聚体结构进行分析。 混凝过程中箭形凝聚生长的计算机模拟研究 1 2 3 实际凝聚体的分形特征 按照分形定义，物质的质量肘与其特征长度z ( 此处用当量直径喀表示) 之间 具有如下关系( 王晓昌等2 0 0 0 ) ： m 0 ( 1 2 ) 传统的凝聚体形态研究表明，凝聚体密度和粒径之阗具有n * d 产的关系，即 凝聚体的密度与粒径的知次方成反比一般肜= p 巧= a p d ，式中巧为体积，口 为形状系数( 对于球体a - - 4 i d 3 ) r 结合凝聚体密度和粒径的关系以d 夕。可以得 到： m 疗妒 ( ”) 比较式1 2 和1 3 可知：9 = 3 一。式中d ，即为分形维数，这一结果表示， 只要k or 凝聚体的分形维数毋就小于3 ( 对于拓扑维数为三维的情况) 。本质上， 凝聚体的分形维数是其结构的指示参数，也间接提供了关于凝聚体强度的信息 ( g r e g o r y1 9 9 8 ) 。 由于自然凝聚过程的随机性，对于自然凝聚体而言，不可能存在一个生成元以某 种自相似的方式来进行表征。但是，凝聚体的特征参数之间存在的幂律关系却可以用 来估计具有不同尺度的自然凝聚体所具有的分形维数。对于一维分形维数( d t ) ，s i a n g 和l o g a n ( 1 9 9 6 ) 定义其周长( 尸) 为特征长度( z ) 的函数； ，一 ( 1 4 ) 对于规则几何体如圆或球，d l ；1 0 ，但是由于分形体的表面不规则导致其周长大 于等面积的圆而具有较高的一维分形维数。对于二维空间，分形维数( 凸) 由投影面 积( 也) 和特征长度( d 来定义( l o g a na n dk i l p s ，1 9 9 5 ) ： 矗岛o 5 ) 包裹较为密集的凝聚体具有较高的二维分形维数( 毋* 2 ) t 而高度分支结构或 松散边界结构的凝聚体分形维数则较低。 混凝过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 同样，三维分形维数( d 3 ) 可以通过凝聚体体积( 矿) 和特征长度( ，) 之间的幂 律关系定义( 1 i a n g a n d l o g a n , 1 9 9 6 ) ； v p 0 价 上述关系基本上构成了实验方法中估计团簇或絮体分形维数的理论基础。但在经 典的计算机模拟研究中，凝聚体的分形维数通常利用凝聚体包含的原始颗粒数( ) 与其特征长度( f ) 之间的幂律关系( 式1 1 ) 进行测算。由于计算机模拟通常采用单 分散原始颗粒体系，所以这种算法非常方便且具有代表性，其中的特征长度在选择某 一种具体长度参量时则相对于原始颗粒的某一长度参量( 通常为原始颗粒的半径或直 径) 进行无量纲化处理，最常用的凝聚体，d ，幂律关系式如下( f i l i p p o v e t a i 2 0 0 0 ) ： n f f i k s ( r s r p ) d ， ( 1 7 ) 其中，如为凝聚体的回转半径，如为原始颗粒的半径，白为前因子，与凝聚体的 结构有关。 借助分形几何描述凝聚过程不同于传统的欧氏几何方法，凝聚体的分形性质会影 响凝聚体的行为，从而影响整个凝聚动力过程。表1 _ 2 列出了三维分形凝聚体的基本 特征参数方程与传统欧氏几何表达的比较。 表1 2 三维凝聚体的基本特征参数方程 t a b l 2f u n d a m e n t a le q u a t i o n sf o rn l c - d i m e n s i o n a la g g r e g a t e s + l e e “以2 0 0 0 混凝过程中分彤凝聚生量的| 十算机模拟研究 实际分形最重要的特征之一就是空间布局和结构的随机性，因此，特征参数之 间的这些关系代表的是一个集合( 分形体群) 的统计平均，也就是说分形概念用来 解释的是一个群体的特征而不一定是单个物体。 1 2 4 分形理论在混凝研究中的应用 分形理论是揭示自然界非线性过程的随机性的科学分支，着重研究非线性系统中 有序与无序的统一。分形理论能够以经典几何无法比及的独特视角对自然界中普遍存 在的复杂随机现象作出合理描述，因此，分形理论一经提出，立刻得到各个领域研究 者的热切关注。尽管自然界的物体很少能够甩完全自相似特征来进行描述 ( k i n d r a t e n k oe f a l ，1 9 9 4 ) ，即自然界不存在严格意义上的分形，但分形理论实际上 提供了一种在很大范围内描述真实结构、理解物理行为的理想方法。 1 9 7 9 年，f o r r e s t 和w i t t e n 在研究烟灰等气溶胶颗粒的凝聚过程中，发现气溶胶凝 聚体具有分形结构，首次将m a n d e l b r o t 提出的分形概念引入胶体凝聚领域的研究。之 后的许多研究表明，自然水体和工程水倒戎的颗粒凝聚体也普遍具有分形结构 ( a m a t e l a l ，1 9 9 0 ；j u u i e n , 1 9 8 7 ；l ia n d gr e z y , 1 9 8 9 ；l i n 甜a 1 ，1 9 8 9 ) 这结论 为分形理论应用于混凝过程研究铺平了道路。分形理论为描述颗粒凝聚体的不规则结 构提供了一个定量参数分形维数。分形维数低( 2 5 ) 则表明凝聚体结构较为致密( a r e a le t a l ，1 9 9 0 ；l i a n d g a n c z a r c z y , 1 9 8 9 ；z h a n ga n db u f f l e ，1 9 9 6 ) 。 分形维数从定量的角度给出了有关颗粒凝聚体形态结构的信息，颗粒凝聚模型与 模拟方面的许多研究焦点集中在对团簇或凝聚体的分形维数的测定上。但是由于分形 维数是一个静态量，不能描述凝聚过程的动力行为，而且分形维数表征单个团簇的几 何形态，对描述体系整体的团簇信息作用不大，因此，分形维数并不能给出关于凝聚 过程的完整信息。目前，分形理论主要用作表征凝聚体结构的定量工具，在颗粒凝聚 动力过程研究中的应用十分有限，结合分形概念的动力模型报道也不多。 混凝过程中分形凝聚生长的计算机模拟研究 1 3 计算机模拟技术在混凝研究中的应用 1 3 1 混凝研究方法 混凝理论研究的一个主要方面是水体中的颗粒凝聚。一直以来，研究关于颗粒凝 聚的定量方法都是混凝过程实验研究与理论研究发展的重要目标之一。但是，要模拟 复杂、随机、多变的凝聚过程，从数学角度讲比较困难。一方面，过程控制参数太多， 用数学模型对实际的悬浮体系和凝聚过程做较为全面的定量描述是不现实的；