（计算机应用技术专业论文）基于数学形态学的边缘检测及其在医学图像处理中的应用.pdf

摘要医学图像边缘检测是虚拟手术系统中图像处理与分析的一个经典问题。它是整个虚拟手术中基础而又关键的环节，在医学图像分割、图像匹配、病灶确定等方面占有举足轻重的地位。本文比较详细地研究了传统的和新兴的边缘检测方法，客观地分析了它们的优缺点。在此基础上，对运用数学形态学的思想进行图像边缘检测进行了深入的研究，为本文核心工作打下坚实的理论基础。由于经典边缘检测方法存在计算量大，计算时间长，对噪声敏感等缺点，本文在研究数学形态学的基础上，构造了全方位多尺度多结构元素边缘检测方法。多结构元素可以提取不同形态的边缘，避免采用单一结构元素所造成的边缘信息的丢失；多尺度结构元素可以提取不同大小的边缘有利用提取细节信息和保持图像整体边缘轮廓；全方位结构元素可以在不同方向上对图像边缘进行提取，从而有力地保证了图像信息的完整性。通过采用全方位多尺度多结构元素，并结合不同尺度下选取不同的权值，可以很好地提取含有噪声的图像，从而实现了提高精度与抗噪性能的协调统一。针对无噪声和有噪声的灰度图像进行实验，并和其它的边缘检测算法进行比较，该算法在实时性、检测精度和抗嗓性能上都有显著改善。最后针对医学图像的特点，将上述改进的算法应用于医学图像中。实验表明，这些形态学边缘检测算法应用于图像边缘检测中提取出了良好的图像边缘，算法简单，同时较好地保持图像的边缘细节特征，具有良好的性能和适应能力。硕士研究生祭胜仓( 计算机应用技术)指导教师潘振宽教授关键词：边缘检测；数学形态学；全方位多尺度多结构元素e d g ed e t e c t i o nb a s e do nm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g ya n da p p l i c a t i o no nm e d i c a li m a g ep r o c e s s i n ga b s t r a c tm e d i c a li m a g ee d g ed e t e c t i o ni sac l a s s i c a lq u e s t i o no fi m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y s i si nv i r t u a ls u r g e r ys y s t e m i tp l a y sac r u c i a lr o l ei nt h ev i r t u a ls u r g e r ys y s t e m ，b e c a u s ei ti st h ef o u n d a t i o ni nt h ef o r w a r do p e r a t i o n s ，s u c ha sm e d i c a li m a g es e g m e n t a t i o n ，i m a g em a t c h i n g ，r e c o g n i t i o no ff o c u so fd i s e a s e ，a n ds oo n s e v e r a lt r a d i t i o n a la n db r a n dn e we d g ed e t e c t i o nm e t h o d sa l ed i s c u s s e di nd e t a i li nt h i sp a p e r t h e i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e sa r ca n a l y z e do b j e c t i v e l y i na d d i t i o n ，f u r t h e rs t u d yo fi m a g ee d g ed e t e c t i o nu s i n gm o r p h o l o g yt h e o r yi sc a r r i e do u t ，w h i c hl a yas o l i dt h e o r yf o u n d a t i o nf o rt h ec o r et a s k d u et ot h ee x i s t e n e eo fs u c hd i s a d v a n t a g e sa sh u g ec o m p u t a t i o n ，l o n gc o m p u t a t i o nt i m e ，a n ds e n s i t i v et on o i s e ，an e we d g ed e t e c t i o nm e t h o dc a l l e do m n i d i r e c t i o n a lm u l t i s c a l em u l t i s t r u c t u r ee l e m e n ti sc o n s t r u c t e db a s e do nt h er e s e a r c ho fm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y m u l t i - e l e m e n tc a l le x t r a c te d g e sw i t hd i f f e r e n ts h a p e s ，a v o i d i n gt h em i s s i n go fe d g ei n f o r m a t i o nu s i n gs i n g l es t r u c t u r ee l e m e n to n l y m u l t i s c a l es t r u c t u r ee l e m e n tc a ne x t r a c te d g e sw i t hd i f f e r e n ts i d e ，w h i c hc a ne x t r a c td e t a i l e di n f o r m a t i o na n dk e e pt h eo u t l i n eo ft h ei m a g e o m n i d i r e c t i o n a ls t r u c t u r ee l e m e n tc a ne x t r a c tt h ei m a g ei nd i f f e r e n to r i e n t a t i o n s ，w h i c hc a ng u a r a n t e et h ei n t e g r i t yo ft h ei m a g ei n f o r m a t i o n i m a g ew i t hn o i s ec a nb ee x t r a c t e dw i t hg o o da c c u r a c ya n dn o i s e p r o o fb yu s i n go m n i d i r e c t i o n a lm u l t i s c a l em u l t i s t r u c t u r ee l e m e n tc o m b i n e dw i t hd i f f e r e n tw e i g h ti nd i f f e r e n ts c a l e e x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u to nn o n n o i s ea n dn o i s eg r a yi m a g e sa n dt h ec o m p a r i s o nt oo t h e re d g ed e t e c t i o na l g o r i t h mi sm a d et ov e r i f yt h ei m p r o v e m e n to nr e a l t i m ep e r f o r m a n c e ，d e t e c t i o np r e c i s e ，a n dn o i s ep r o o f t h ea b o v ea l g o r i t h mi sa p p l i e dt om e d i c a li m a g ee d g ed e t e c t i o nf i n a l l y t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tb e t t e ri m a g ee d g ec o u l db eo b t a i n e db yo u rd e s i g n e dm o r p h o l o g i c a la l g o r i t h m i th a sg o o dp e r f o r m a n c ea n da d a p t a b i l i t y ，a n da l s ok e e p st h ed e t m l e df e a t u r eo f t h eo r i g i n a li m a g e p o s t g r a d u a t es t u d e n t ：s h e n g - c a n gj i ( c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt e c h n o l o g y )a d v i s o r ：p r o f e s s o rz h e n k u a np a nk e yw o r d s ：e d g ed e t e c t i o n ；m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ；0 m n i d i r e c t i o n a lm u l t i s c a l em u l t i - s t r u c t u r ee l e m e n t青岛大学硕士学位论文学位论文独创性声明本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中依法引用他人的成果。均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成果本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。论文作者签名：堡噬日期：硼年钾日学位论文知识产权权属声明本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛大学。本学位论文属于；保密口，在年解密后适用于本声明。，不保密圈。( 请在以上方框内打“”)论文作者签名：导师签名：玺业牡日期：妒弹阳日日期：钟f 月胪日( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用)第一章绪论第一章绪论1 1 形态学边缘检测技术概述医学图像边缘检测技术是医学图像处理的关键技术之一。它的主要任务是确定和提取图像的边缘信息，为图像分析、目标识别和图像编码做前期准备。它也在医学图像匹配、肿瘤病灶确定、造影血管检测、冠心病诊断、左心室边缘抽出等方面占有举足轻重的地位m 。由于微分算子对噪声很敏感，所以p r c w i t t 首先提出了用曲面拟合法。1 来做边缘检测。他对原始图像拟合得到一个最佳拟合曲面，再在最佳曲面上用简单的微分算子进行边缘检测。近年来，随着数学和人工智能的发展，出现了一些新的边缘检测方法，如数学形态法、小波变换法、神经网络法、模糊检测法等等。这些算法都在力图最大程度地抑制噪声和多尺度地探测特征边缘。数学形态学建立在集合论的基础上，是一种应用于图像处理和模式识别领域的新方法，它的基本思想是用一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不像微分算法那样对噪声敏感，同时，提取的边缘也比较光滑，在边缘检测上既能够体现图像集合特征，很好地检测图像边缘，又能满足实时性要求，并且可以在边缘检测的基础上，通过改变形态尺度克服噪声影响。目前国内外许多有效的图像处理系统有的是基于数学形态学方法原理设计的，有的则把形态学算法纳入其基本软件，并以其运算速度作为系统性能的重要标志之一。数学形态学作为一种有效的图像处理的非线性方法和理论，己显示出极为广阔的应用前景。1 2 医学图像边缘检测面临的主要困难在医学图像处理中，很多场合需要对图像进行分割。比如，如何将心脏的瓣膜分割出来，供医生研究瓣膜的运动特性；如何将病灶部位与健康组织分离，以研究病灶的大小和位置等。这些图像分割的要求，对于借助成像设备进行无侵入病理检查和定量分析，显得尤为重要。这些图像分割的问题，都涉及到如何选用1青岛大学硕士学位论文合适的边缘检测算法来完整地表达待分割目标的区域和边界。医学图像边缘检测与其它领域的边缘检测算法一样，也在检测结果的精度、算法的鲁棒性、运算速度与人为参与程度等性能指标上予以关注。同时，医学图像边缘检测具有很强的针对性，各种算法往往都是基于特定的模式。因此，根本无法要求一个检测算法对所有类型的医学图像都奏效。与其它图像边缘检测不同的是医学图像边缘检测所处理的对象，即人体的组织结构图像有其自身的特点：1 组织结构的相关性和拓扑结构的改变；2 组织结构复杂。如脑部沟、回见的过度迂回；3 不同原因产生图像的退化现象。如噪声干扰；4 不同成像模式所提供的信息差异。这些因素都直接或间接地增加医学图像边缘检测算法实现的难度。1 3 国内外研究动态除了经典的边缘检测算子，如r o b e r t s 算子，p r e w i t t 算子，s o b e l 算子，c a n n y算子等，新的边缘检测方法主要有：( 1 ) 数学形态学法。于1 9 8 2 年出版的图像分析与数学形态学是数学形态学在图像处理领域发展的一个里程碑。用于图像处理的两种基本运算是腐蚀和膨胀，它们的不同组合形成开运算和闭运算。图像经边缘强度算子作用后，在跳跃边缘处形成凸脊，在屋顶边缘处形成凹谷，再与原图像做差分得到边缘。利用形态学检测边缘，选择合适的结构元素是最重要的，结构元素选得好，则噪声滤除得干净，同时边缘细节也保存得比较完好。( 2 ) 模糊算子法。自1 9 6 5 年z a d e h 发表第一篇模糊集论文以来，模糊数学在各个领域的应用发展迅速。近年来，它在信号和图像处理中都有若干成功的应用。1 9 9 5 年，陈武凡等首次提出了广义模糊集合的概念，并在图像处理领域取得了多方面的应用成果，边缘检测就是其中较成功的应用之一。它具有比常规处理方法更快速、更优质的特点。应用广义模糊算子( g f o ) 进行边缘检测，先在原始输入图像基础上产生广义性质集p ，再利用g f o 产生，对p 进行逆变换生成x ，最后2第一章绪论对x 作简单的阈值即可得到边缘图像输出。用g f o 检测出来的边缘具有宽度小，信噪比大的优点。( 3 ) 小波分析法。时域和频域是信号分析的两大领域，傅立叶变换把信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从时域和频域观察信号，僵是却不能把两者结合起来。于是出现了时窗法和频窗法，可反映频率特性随时间的变化，但是它们都存在时间和频率不能同时具有高分辨率的缺陷，这正深刻地反映了时间和频率测量上的测不准原理。近年来，小波分析在图像处理的各个方面都得到了应用。小波被誉为。数学显微镜”，可以在不同的尺度上褥到信号的细节。利用小波的多尺度特性可以实现在大尺度下抑制噪声，可靠地识别边缘，在小尺度下精确定位。( 4 ) 神经网络法。近年来，由于神经网络算法强大的非线性表示能力及学习功能，在模式识别等多方面取得了较为成功的应用。用神经网络提取边缘也逐步得到了应用。其基本思想是：先将输入图像映射为某种神经网络，然后输入一定先验知识原始边沿图，再进行训练，直到学习过程收敛或用户满意为止由于神经网络提取边缘利用了原图的已有知识，是从宏观上认识对象，微观上提取细节，所以它具有很强的抗噪能力。但是如何得到先验知识却是一个难题。( 5 ) 其它方法。除了上面介绍的方法以外，还有分形理论法、标记松弛匹配法、自组织聚类法、遗传算法、动态规划法、矩不变边缘检测法、最小代价函数法等。1 4 研究工作和内容安排本文在综述现有边缘检测算子的基础上，主要研究了基于数学形态学的医学图像边缘检测技术。传统的边缘检测算子存在提取精度不高，计算量大，处理速度慢等不足。本文在研究现有形态学提取图像边缘的基础上，主要针对m r t 图像，对基于形态学梯度的图像边缘检测算法进行了深入探讨和改进，提出了全方位多尺度多结构元素的边缘检测方法。重点在实时性、检测精度和抗噪性能方面进行改进。针对无噪声和有噪声的灰度图像，将检测结果与传统的边缘检测算法进行比较，以验证改进的算法是否有效。本文内容总体安排如下：3青岛大学硕士学位论文第一章为绪论，首先对医学图像边缘检测技术的背景和研究意义进行了简要介绍：然后阐述了当前医学图像边缘检测技术研究所遇到的困难以及国内外研究现状；最后介绍了本论文的研究工作和内容安排。第二章首先叙述了图像边缘检测的基本概念，接着将经典的边缘检测算子别予以介绍，最后论述了现代比较流行的边缘检测方法。第三章介绍数学形态学基本理论。具体介绍y - 值和灰度形态学操作的基本原理和相关理论，为后续工作奠定了坚实的基础。第四章首先介绍了形态学梯度，然后详细论述了全方位多尺度多结构元素的边缘检测方法，最后在加权组合原有形态学梯度的基础上采用全方位多尺度多结构元素的检测算法，利用m a t l a b 实现了m r t 医学图像的边缘检测。并与其他检测方法比较，在检测精度和处理速度上都有所提高。第五章总结全文研究内容并对未来的研究工作进行了展望。4第二章边缘检测方法概述第二章，边缘检测方法概述2 1 边缘检测简介图像边缘检测是图像处理与分析中的基础内容之一，也是至今没能得到圆满解决的一类问题。因此，图像边缘信息和轮廓特征检测与提取方法一直是图像处理与分析中的研究热点。这一方面说明了该研究方向本身的重要性，另一方面也说明了它的深度与难度。图像边缘是一种重要的边缘信息，图像边缘的提取在图像处理和机器视觉中占据着重要的地位。边缘包含了图像绝大部分的信息，主要是因为边缘处图像特征的不连续性，是图像灰度发生剧烈变化的地方。边缘检测是计算机视觉特征提取的一个重要组成部分，也是模式识别的重要环节边缘检测中最为重要的是定义和分类边缘点在图像上灰度不连续处和变化剧烈处很有可能存在图像的边缘。一般将图像的边缘划分为阶跃状边缘和屋顶状边缘两种。阶跃状边缘是指边缘两侧图像的灰度值有明显变化，屋顶边缘状是指边缘位于图像灰度增加和减少的交界处。在数学上，利用灰度函数的导数来描述边缘点的变化规律。在边缘检测中，最常用的方法是寻找图像灰度函数的一阶导数局部最大值或者是二阶导数局部过零点。下面介绍边缘检测中常用的几个定义；定义1 ：在区间 黾以+ l 】上，函数y = 八力的变化量y k + 。一儿称为在黾上，以h = 毪“一黾为步长的一阶前向差分。记为：v = 以“一五2 - ( 1 )定义2 ：在区间 屯+ l 】上，函数y = 厂( 功的变化量一。称为在鼍上，以h = 矗一而。为步长的一阶后向差分。记为：一矽= 五一丘i2 一( 2 )定义3 ：设y = ，( x ，y ，力在点p o ( x o ，z o ) 的某邻域内有定义，f 为从点p o 出发的射线，e ( x ，y ，z ) 为，方向上的任一点，以p 表示p 与晶之间的距离。若极限5j 墅燮堡主堂垡丝壅脚华= 蜘等z - c s ，p 枷+pd 柚口存在则称此极限为函数，在点昂处沿方向埔方向导数，记作彳儡) 或等b定理1 ：若函数厂在点昂( 而，) 处可微，则在点昂处沿任意方向的方向导数为：z ( 昂) = l ( v o ) e o s a + f , ( g ) e o s p + l ( e o ) e o s r，2 - ( 4 )式中c o s g i ，e o s p ，c o s y 为方向，的方向余弦。定义4 ：y = f ( x , y ，力在点e 0 ( x 0 ，) 处对所有的自变量的偏导数都存在，则称向量 正( 晶) ，( 昂) ，z 编) 为函数在点弓处的梯度，记作：g r a d f ( x ，j ，z ) 】= f z ( 晶) ，工( 晶) ，正( 最) 】2 - ( 5 )向量g r 耐l 厂( x ，弘z ) 】的长度为：g r a d f ( x ，) ，z ) 】= 【六2 ( 昂) + 2 ( 最) + 正2 ( 最) 】-2 - ( 6 )如果用e ( x ，y ) 表示二维函数g 删 ，朋的幅度，那么e ( x ，y ) = m a x g r a d f ( x ，) ，z ) 】 = 正2 ( 膏，y ) + 正2 ( x ，y ) 】i2 - ( 7 )这就是说，是在方向上每单位距离的最大增加率。在图像边缘检测中，我们使用下面的记号来标记梯度：v f ( x , y ) ：要f + 箬，2 - ( 8 )w哕在数字图像处理中，我们需要采用离散形式，在此用差分运算代替微分运算，所以：e ( x ，y ) l “x ，y ) 一f ( x + l ，j ，) 】2 + 【，( 善，力一f ( x ，y + 1 ) 】2 ) 52 - ( 9 )在用计算机计算梯度时，常采用下面的式子来近似式e ( x ，y ) 矧f ( x ，力一f ( x + l ，力i 十l f ( x ，y ) 一f ( x ，y + 1 ) i2 - ( 1 0 )2 2 经典边缘检测算子图像处理技术发展以来，目前己经有很多经典的边缘检测算法。由于边缘是6第二章边缘检测方法概述图像上灰度变化最剧烈的地方，这些经典的边缘检测算子就是利用了这一特点，对图像中各个像素点进行微分或求二阶微分来确定边缘像素点。下面，我们对具有代表性的算法进行简单的介绍。2 2 ，lr o b e r t s 算子r o b e r t s 算子是一种利用局部差分算予寻找边缘的算子，它由下式给出：g ( f ，) 爿a ，f ( i ，j ) i + i ，八力i其中，( f ，力和，f ( i ，) 为一阶差分：a ，f ( i , j ) = f ( i ，d - f ( i l ，)a ，厂( j ，j ) = f ( i ，力一f ( i , j 1 )r o b e , s 算子模板为：2 2 2s o b e l 算子田田图2 1r o b e r t s 算子模板2 - ( 1 1 )2 - ( 1 z )2 一( 1 3 )s o b e l 算子的表达式为：g ( i ，_ ，) 刊f ( i 一1 ，j + 1 ) + 2 f ( i ，_ ，+ 1 ) + f ( i + l ，_ ，+ 1 )+ - f i ( i - 1 f ( i - i 淼j - 1 ) + 2 2 八f ( i 产- i , 劣搿嚣翟z _ ( 1 t )+ i，d + ，o l ，_ ，+ 1 )、一f ( i + l ，j i ) - 2 f ( i + i ，力一f ( i + l ，j + d is o b e l 边缘检测算子的两个卷积计算模板图5 2 所示，图像中的每个点都用这两个模板作卷积，第一个模板对通常的垂直边缘响应最大，第二个模板对水平边缘响应最大。两个卷积的最大值作为该点的输出值，运算结果是一幅边缘幅度图像。s o b e l 算子对灰度渐变和噪声较多的图像处理得较好。i121l0oo卜1- 21l1oli2o- 2i 一1o- 1图2 2s o b e l 算子模板7青岛大学硕士学位论文2 2 3p r e w i t t 算子p r e w i t 边缘检测算予的两个卷积计算模板如图所示。i10一li1oll10一l圜111图2 3p r e w i t t 算子模板与使用s o b c l 算子的方法一样，图像中的每个点都用这两个核迸行卷积，取最大值作为输出。p r c w i t t 算子也产生一幅边缘幅度图像，它- 与s o b e l 算子之间的差别仅在于系数不同。2 2 4 l o g 算子拉普拉斯算子是一种二阶边缘检测算子，它的表达式为；v 2 厂= 等芬其中：等碘删一2 f ( i 扔玳2 _ ( 1 6 )等= 册1 卜2 m 加，( f _ 1 ，力2 _ ( 1 7 )图像经过二阶微分之后，在边缘处产生一个陡峭的零交叉，根据这个零交叉就可判断出边缘点。拉普拉斯算子是一个线性的、移不变的算子，它一般采用的模板如下：田园圈圈2 4拉普拉斯算子模板由于图像边缘处的一阶微分( 梯度) 是极值点，图像边缘处的二阶微分应为零，确定零点的位置要比确定极值点容易得多，也比较精确。但二阶微分对噪声更为8第二章边缘检测方法概述敏感，因此，通常情况下，在对图像进行拉普拉斯算子边缘处理前，先对图像进行平滑滤波处理，一般采用的是高斯滤波器把高斯平滑滤波器和拉普拉斯锐化滤波器结合起来，先平滑噪声，再进行边缘检测的方法叫做l o g 算子( 高斯拉普拉斯算子 。常用的l o g 算子是5 x 5 的模板，如图所示：2 2 5c a n n y 算子2- 4- 4i2- 4olo - 4l il2 1044o0o42- 442图2 5l o g 算子模板滤波器的尺度选择是边缘检测的难题。所谓滤波器的尺度在离散情况下是指模板宽度，模板宽度越大，检测出的边缘效果就越好，噪声的影响也越小，但定位就越不准确。为了解决这样的矛盾，c a n n y 提出了最优边缘检测算子c a n n y 边缘检测算子的具体步骤如下：( 1 ) 首先用二维高斯滤波模板对图像进行滤波以消除噪声。( 2 ) 由导数算子计算出图像灰度沿两个方向的偏导数q 和g ，并求出梯度的大小和方向i g l = ( 9 2 + g 罗) j2 - ( 1 8 )拶= 一2 - ，( 3 ) 把边缘的梯度方向大致分为四种( 水平、竖直、4 5 方向、1 3 5 方向) ，各个方向用不同的邻近像素进行比较，以决定局部极大值。若某个像素的灰度值与其梯度方向上前后两个像素的灰度值相比不是最大的，则该像素值置为0 ，即不是边缘，这个过程称为“非极大抑制”。( 4 ) 使用累计直方图计算两个阈值。凡大于高阈值的一定是边缘；凡小于低阈值的一定不是边缘；介于高阈值与低阈值之间的，则要看此像素的邻接象素中是否青岛大学硕士学位论文有大于高阈值的像素，如果有，它就是边缘，否则就不是边缘。c a n n y 算子检测边缘的方法是寻找图像梯度的局部极大值。它用两个阈值分别来检测强边缘和弱边缘，而且仅当弱边缘和强边缘相连时，弱边缘才会被包含在输出中。因此，c a n n y 边缘检测算子不容易受到噪声的干扰，能够检测到真正的边缘。2 2 5 各算子比较图2 6 给出了各种边缘检测算子的检测结果。可以看出，r o b e r t s 算子、s o b e l算子等的边缘检测速度较快，但得到的往往是不完整，不连续的边缘信息，并且对噪声较为敏感。 而l o g 算予和c a n n y 算子能够有效地检测出图像边缘，并对噪声有一定的抑制作用，但计算量大，耗费时间长，定位也不够精确。( c ) r o b e r t s 检测结果( d ) p r e w i t 检测结果i o第二章边缘检测方法概述( e ) l o g 检测结果( f ) c a n n y 检测结果图2 6 各算予边缘检测结果2 3 现代边缘检测方法由于经典边缘检测方法存在计算量大，计算时间长，对噪声敏感等缺点，近几年又出现了许多新的边缘检测方法。( 1 ) 数学形态学方法用于图像处理的两种基本运算是腐蚀和膨胀，它们的不同组合形成开和闭。图像经历边缘强度算子作用后，在阶跃边缘处形成凸脊，在屋顶边缘处形成凹谷，再与原图像作差分得到边缘。利用形态学边缘检测，选择合适的结构元素是非常重要的，如果选得好，在滤除噪声的同时也能很好的保存图像细节。( 2 ) 小波分析法时域和频域是信号分析的两大领域，傅立叶变换把信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从时域和频域观察信号，却不能把两者结合起来。近年来，小波分析在图像处理的各个方面都得到了应用被誉为“数学显微镜”的小波可以在不同的尺度上得到信号的细节。小波提取边缘的思想如下：从信号处理的角度，边缘表现为信号的奇异性，而在数学上奇异性由l i p s c h i t z 指数标志。小波理论己经i i 正l l q l i p s c h i t z 指数可由小波变换的跨尺度的模值极大值计算而来，所以只要检测小波变换的模值极大值即可检测出边缘。利用小波的多尺度特性可以实现在大尺度下抑制噪声，可靠地识别边缘，在小尺度下精确定位。青岛大学硕士学位论文( 3 ) 神经元网络法近年来，由于神经元网络算法强大的非线性表示能力及学习能力，在模式识别等多方面取得了较多成功的应用用神经元网络提取边缘也逐步得到了应用其基本思想是：先将输入图像映射为某种神经元网络，然后输入一定先验知识一原始边缘图，再进行训练，直到学习过程收敛或用户满意为止。由于神经元网络提取边缘利用了原图的已有知识，是从宏观上认识对象，微观上提取细节。所以它具有很强的抗噪能力。( 4 ) 其它方法除了上面介绍的方法外，还有模糊算子法、分形理论法、标记一松弛匹配法、自组织聚类法、遗传算法、动态规划法、矩不变边缘检测法、最小代价函数法等。1 2第三章数学形态学基本理论第三章数学形态学基本理论3 1 引言数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具，其基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以实现对图像的分析和识别。在图像处理中，形态学是分析图像中内在几何结构的方法。通过使用一定形状和尺寸的结构元素，形态学运算可以把图像中形状和尺寸与结构元素相似的几何特征保留下来，把其余的特征滤除。数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，由一组形态学的代数运算子组成，其基本运算有4 种：膨胀、腐蚀、开启和闭合基于这些基本运算，还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。数学形态学的应用可以将图像中复杂的形状进行简化和分解、并将有意义的形状分量从模糊的信息中提取出来。数学形态学是一种新的非线性图像处理和分析理论，它摒弃了传统的数值建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析图像，具有一套完整的理论、方法及算法体系。数学形态学又是- - n 综合了多学科知识的交叉科学，其理论基础颇为艰深，但基本原理却比较简单，既体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。利用数学形态学进行图像分析的基本步骤如下：1 提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物体的几何结构特征：2 根据该模式选择相应的结构元素，结构元素应该简单并且对模式具有最强的表现力；3 用选定的结构元素对图像进行击中与否变换( h m t ) ，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量描述；4 经过形态变换后的图像突出我们需要的信息，此时，就可以方便地提取信息。应用数学形态学进行图像分析和处理时，要设计一种收集图像信息的探针，称为结构元素( s t r u c t u r ee l e m e n t ) 结构元素的选择十分重要，其形状、尺寸的选1 3青岛大学硕士学位论文择是能否有效地提取信息的关键。当要处理的图像是二值图像时，结构元素也采用二值图像；当要处理的图像是灰度图像时，则采用灰度图像作为结构元素。3 2 二值形态学二值图像是指那些灰度值只有两个可能值的图像，这两个灰度值通常取为0 和1 。习惯上认为取值1 的点对应于景物中的点，取值为0 的点构成背景。它的各种形态学处理算法都是以膨胀( d i l a t i o n ) ，腐蚀( e r o s i o n ) 这两种最基本的运算为基础的。鉴于基本运算在形态学处理中的重要性，下面对它们的定义及实现方法分别进行介绍。3 2 1 结构元素结构元素是数学形态学中一个最重要也是最基本的概念。在考察分析图像时，要设计一种收集图像信息的探针，称为结构元素b 。它是n 维欧氏空间f 或其予空间e ”( m 3 - ( 7 )b = x l x = - b ，b 口3 一( 8 )膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。我们以表示集合a 的补集，b 表示b 关于坐标原点的映像。那么，集合a 被集合b 的膨胀也可表示为：彳。b = 彳。 会 。3 - ( 9 )膨胀过程可以描述为：集合b 首先作关于原点的映射台，然后平移x 形成集合( 功，最后计算( 曰) ，与集合a 不为空集的结构元素参考点的集合，如图所示。图3 2 膨胀示意图1 6第三章数学形态学基本理论3 2 4 腐蚀与膨胀的性质腐蚀与膨胀运算具有一系列代数和几何性质，中是非常有用的。性质1 ：对偶性a( a c i d ) o = 4 。0 丑这些性质在对图像的形态分析( o b y = a 。0 口上式说明膨胀与腐蚀是关于集合补和反转的对偶性质2 ：平移不变性( 4 ) 。o b = ( 彳0 功。= 4 0 ( 占h( 彳h o 口= ( a o s ) = a o ( b ) 平移不变性的广义表达式为a ( 9 马。岛0 ( e ) = o o 尽o o e ) 以及( 爿) o ( 功 = 4 0 b性质3 ：单调性4 b j 爿o c g b o c ，1 4 0 c b o c曰c j 4 0 口1 4 ( 9 c ，1 4 0 b a o c性质4 ：递增性与递减性一0 b j o b 2 彳，1 4 0 b g 彳其中d 表示原点。性质5 ：交换律彳o b = b o 名注意腐蚀运算不满足交换律。性质6 ：结合律1 73 - ( 1 0 )3 一( 1 1 )3 - ( 1 2 )3 - ( 1 3 )3 - ( 1 4 )3 - ( 1 5 )3 - ( 1 6 )3 - ( 1 7 )3 - ( 1 8 )3 - ( 1 9 )青岛大学硕士学位论文4 0 b o c = ( 彳。研o c3 ( 2 0 )a o ( b $ c ) = ( a o b ) 0 c3 一( 2 1 )结合律说明了复杂的结构元素可以分解成一系列简单结构元素m i n k o w s k i 和运算，因而针对复杂结构元素的膨胀与腐蚀运算可分解为简单结构元素的膨胀与腐蚀之串行复合运算，使运算更易于实现。性质7 ：分配律，4 0 ( b u c ) = ( a o b ) u ( 4 0 03 - ( 2 2 )舯( b u o = ( a o b ) n ( , 4 0 c )3 一( 2 3 )( 一u b ) 0 c = ( 一o c ) u ( b o o3 - ( 2 4 )( a n b ) 0 c = ( a c ) n ( b c )3 - ( 2 5 )3 2 5 二值开运算在形态学图像处理中，除了腐蚀和膨胀这两种基本运算之外，还有两种二次运算起着非常重要的作用，即开运算及其对偶运算闭运算。从结构元素填充的角度看，它具有更为直观的几何形式。开运算的符号用“。”表示。定义：设a 表示一幅图像，b 是结构元素，则a 关于b 的开运算定义为：a o b = ( 爿0 四) o b3 - ( 2 6 )开运算实际上是a 先被b 腐蚀，然后再被b 膨胀的结果也可以理解为，开运算可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。当结构元素b扫过整个图像集合内部，那些使结构元素b 的任何像素不越出图像a 边界的图像a的像素点的集合，就是a o b 。图3 3 开运算示意图1 8第三章数学形态学基本理论从上图我们可以看出开运算的两个作用：一是利用圆盘作开运算起到磨光内边缘的作用，即可以使图像的尖角转化为背景；二是圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的效果。3 2 6 二值闭运算闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。用符号a e b 表示。其定义为：么b = ( 彳o s ) e b3 - ( 2 7 )闭运算实际上是对图像a 用结构元素b 作闭运算可得到一个集合，该集合中包含所有这样的点x ，x 被一个平移的镜像结构元素覆盖的同时，平移的镜像结构元素与a 图像必有一些公共点。由此看出，初始图像a 是包含在闭运算a b 之后的图像中，即闭运算是具有延伸性的运算，如图所示。8 审图3 4 闭运算示意图显然，闭运算对图像的外部作滤波，仅仅磨光了图像内部的尖角。开闭运算也互为对偶运算，开运算具有磨光图像外边界的作用，闭运算具有磨光图像内边界的作用。3 。2 7 二值开闭运算的性质性质1 ：对偶性( 4 口y = a 。o b3 - ( 2 8 )性质2 ：扩展性与收缩性d o b 4 a b3 - ( 2 9 )1 9青岛大学硕士学位论文性质3 ：单调性4 4 j 4o b 4o b ，4 b 4 b3 - ( 3 0 )性质4 ：幂等性( 爿。助o b o o b = 4 0 b3 一( 3 1 )( 爿曰) b b = 彳占3 - ( 3 2 )性质5 ：平移不变性( 彳ho b = ( 4 0 国3 一( 3 3 )( 彳) 占= ( 一b ) 3 - ( 3 4 )4 0 ( b ) = a o b3 - ( 3 5 )a ( 功 = 彳b3 - ( 3 6 )3 3 灰度形态学实际应用中绝大多数遇到的是灰度图像，如医学图像，遥感图像、照片等，因此有必要将二值形态学推广至灰度图像的处理。在二值形态学的基础上，我们可以方便地建立起灰度形态学的运算法则。与二值形态学不同的是，灰度图像形态学中的操作对象是数字图像函数而不是集合，而结构元素本身也可看作是一个子图像函数。在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的，这意味着输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。3 3 1 阴影集与上表面一幅灰度图像可以用一个定义在或z 2 上的二维函数f ( x ，力表示，从几何上看它是三维空间的点集 x ，y ，z ，( x ，力e 2 ，其中z = f ( x ，y ) e 为灰度值。由于数学形态学是基于集合理论建立起来的，因此要对灰度图像进行形态分析，关键是要把灰度图像函数用集合的方式表示出来。定义1 ：设任一给定的函数f ：f 专e ，其定义域f ，则它的阴影集u ( d f e 定义为：l = ( 墨z ) i x f ，z e ，z 厂( 功3 - ( 3 7 )定义2 ：设一个集合爿e 且f = 缸矿i z e ，( x ，力a ，则它的上表面定义第三章数学形态学基本理论为：r ( 彳) ( 功= m a x z e i ( 五力4 )3 一( 3 8 )阴影集的概念是灰度形态学理论的基础和核心。直观上看，阴影集就是图像的上表面之下( 也包含上表面) 的所有点的全体。它在其支持域内的每一点上都沿第n + l 维轴( t ! l l z 轴) 连续地延伸至咱处。对于任一矿上的实值函数，由前所述，我们可以得到：，t 娜u = f3 - ( 3 9 )至此，一个函数厂可以构造一个相应的集合u ( 力，反过来由( ，也可以重构，。因此，u 将被用来作为图像函数的集合表示，以建立灰度图像的形态学理论。利用阴影集的并与交、腐蚀与膨胀就可以构造灰度图像的形态运算3 3 2 灰度腐蚀定义1 ：设，为图像函数，b 为结构元素，f ：f 寸e ，b ：g 哼e ，f ，g 矽，则，被b 的灰度腐蚀定义为：f o b = r ( f ) o u ( b ) )3 - ( 4 0 )上述定义形象地描述了灰度膨胀和腐蚀的概念，具有理论分析意义，但在实际中，我们可以用以下的等价公式来计算灰度腐蚀，因此它也被用来作为灰度膨胀和腐蚀的定义式。定义2 ：设，为灰度图像函数，b 为给定的结构元素，则6 对厂进行灰度腐蚀的运算式为：o h ( x ) = m i n f ( x 一力+ 6 ( z ) 3 - ( 4 1 )p z e f g 坤f利用结构元素g ( 也是一个信号) 对信号，的腐蚀定义为：( f o g ) ( x ) = m a x y ：+ j ， 力s c 4 5 ，式中：g 为对原点的反射，g 表示信号g 在，上方。、灰度膨胀可按下面的步骤完成：对结构元素g 的定义域d g 】中的每一个点x将信号，平移x 。然后再对每次平移信号的值如上g ( 力，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。下图描述了灰度膨胀运算的过程及结果。“) ，为获值信号g 为结构元素溶k 妊) 衷值髟胀过器“，嚣m 雏秉图3 6 灰度膨胀示意图3 3 4 灰度膨胀与腐蚀的性质灰度膨胀和腐蚀运算具有与二值形态学膨胀和腐蚀相似的性质，现归纳如下，这些性质均可由图像的阴影集和上表面函数的概念，并利用二值形态学运算的对应性质来证明性质1 ：对偶性2 3青岛大学硕士学位论文o b = 一“- ，) 0 6 )3 - ( 4 6 )厂0 6 = ) 0 6 )3 一( 4 7 )需要注意的是，l - 式e e 的一，是在全空间e ”中取反号，从而在f 的定义域外( 此时，取值为) ，_ 厂将取值佃。函数的对偶运算是取反，而集合的对偶运算是补集运算。通过阴影集的概念可以知道，两者在本质上是一致的。性质2 ：单调性f f j ，0 6 厂。0 6 ，f o b f o b3 - ( 4 8 )b f o b 3 - ( 4 9 )性质3 ：递增性与递减性6 ( o ) o j ，0 6 ，f o b f3 - ( 5 0 )其中条件b ( 0 ) 0 实际上就是包含坐标原点。若去掉这一条件，则上式不能成立。性质4 ：交换律f 固b = b ef3 - ( s d性质5 ：结合律f 6 ) ( 6 1 06 2 ) = u o6 1 ) 0 6 23 - ( 5 2 )o ( 6 lo6 2 ) = ( f o b , ) o b ,3 - ( 5 3 )性质6 ：平移不变性c 厂( x ) + ) ，) 0 6 = ( ，0 6 ) ，+ y3 - ( 5 4 )( 厂( x ) + y ) o b = ( f o b ) ，+ ) ，3 - ( 5 5 )，o ( ( 6 k + y ) = ( 0 6 ) ，+ y3 - ( 5 6 )o ( ( 耽+ 力= ( f o b ) ，+ y3 - ( 5 7 )其中盯) ，表示函数的平移变换。当厂水平移动时，称为位移；当厂竖直移动时，称为偏移当位移和偏移都存在时，就得到形态学平移为：( 门，+ ，= “门，+ 力( = ) = ，( z 一力+ j ，3 - ( 5 8 )2 4第三章数学形态学基本理论性质7 ；与极大( 极小) 函数运算的关系：s u p f o h = s u p