（基础数学专业论文）有关拟共形映照的几个问题.pdf

有关拟共形映照的几个问题 摘要 本文主要研究拟共形映照及与之相关的s c h w a r z 导数及拟共形延拓问题 拟共形映照理论是复变函数论中共形映照理论的拓展从1 9 2 8 年g r 6 t z s c h 提 出至今已有七十多年的历史在这几十年中，伴随着对它的研究的逐步深入，拟共 形映照理论已经渗透到数学其它分支、物理学和工程技术等各个领域，为其它学科 的发展提供了有力的研究工具 本文共分五章： 第一章，绪论，在这一章中，我们简单介绍拟共形映照的基本理论，回顾拟共 形映照及s c h w a r z 导数理论( 主要包括n e h a r i 函数族的分析与几何性质) 的发展历 史与研究现状，并简要地介绍作者的主要工作 第二章，n e h a r i 函数族的偏差定理与拟共形延拓我们称满足n e h a r i 单叶性判 据的解析函数全体所组成的集合为n e h a r i 族n e h a r i 关于函数单叶性及a h l f o r s 和 w e i u 关于拟共形延拓的研究揭示了s c h w a r z 导数与单叶函数及其拟共形延拓的深 刻联系在本章中，我们利用s c h w a r z 导数与二阶线性微分方程的关系，运用微分方 程解的比较定理，讨论了一类n e h a r i 函数的偏差性质与拟共形延拓，获得了这一类 n e h a r i 函数的几个重要偏差性质，推广了c h u a q u j ，g e h r i n g ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 等人的若干结果我们还构造了这类函数的拟共形延拓的具体表达式，推广了a h l f o r s 和w e i l l 的结果 第三章，s c h w a r z 导数与j o h n 区域j o h n 区域可以看成是满足拟圆单边条件 的区域，若有界区域q 与n = e n 均为j o h n 区域，则n 是拟圆在这一章中，我 们研究了s c h w a r z 导数满足( 1 一川2 ) l s f ( z ) i q 莉在p ( 。) 的等价类中，必存在极值复特征v ( z ) ，使x 属于x 啕一e ，其中口( u ) 2 卢h ，e ：厂1 ( 亩) 无限小极值b e l t r a m i 系数也有类似结果 关键词：单叶函数，s c h w 目：z 导数， j o b n 区域，拟圆，拟共形群，收敛指数， b e l t r a m i 系数，极值集，容许变分 n e h a r i 函数族，偏差定理，拟共形延拓， 极值拟共形映照，唯一极值拟共形映照， so m e p r o b l e m so f t h e q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s a b s t r a c t t h e p r e s e n tp h d d i s s e r t a t i o ni 8c o n c e r n e dw i t ht h ee x t r e m a lp r o b l e m si nt h et h e o r y o fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n dt h er e l a t e dt o p i c s ：s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e ，q u a s i c o n f o r m a l e x t e n s i o na n dj o h nd o m a i n c h a p t e ri ：p r e f a c e t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h ee x p o s i t i o no ft h eb a s i ct h e o r yo f q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，o ft h ed e v e l o p m e n ta n dt h er e s e a c hs i t u a t i o no ft h et h e o r yo f q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n d t h et h e o r yo fs c h w a r z i a nd e r i v a t i v e s ，i n c l u d i n gt h ea n a l y t i c a n dg e o m e t r i cp r o p e r t i e so ff u n c t i o n si nt h en e h a r ic l a s st h em a i nr e s u l t so ft h i sp h d d i s s e r t a t i o na r eb r i e f l yi n t r o d u c e di nt h i sc h a p t e r c h a p t e ri i ：o nt h ed i s t o r t i o nt h e o r e m sa n dq u a s i c o n f o r m a le x t e n s i o n so ft h en e h a r i c l a s s d e n o t et h ef a m i l yo fa n a l y t i cf u n c t i o n ss a t i s f y i n gn e h a r i 8u n i v a l e n c ec r i t e r i ab y n e h a r ic l a s s t h er e s e a r c h e so nt h et h e o r yo fu n i v a l e n c yc r i t e r i ao fa n a l y t i cf u n c t i o n sb y n e h a r ia n dt h et h e o r yo ft h eq u a s i c o n f o r m a le x t e n s i o n sb ya h l f o r sa n dw e i l lr e v e a l e dt h e d e e pc o n n e c t i o nb e t w e e nt h es c h w a r z i a nd e r i v a t i v ea n dt h eq u a s i c o n f o r m a le x t e n s i o no f u n i v a l e n tf u n c t i o n si nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s ta n a l y s et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns c h w a r z i a n d e r i v a t i v ea u dt h es e c o n do r d e rl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n dt h e nb yu s i n g t h ec o m p a r i s o nt h e o r e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n lw es t u d yt h ed i s t o r t i o np r o p e r t i e sa n dq u a s i c o n f o r m a le x t e n s i o n so fac l a s so fn e h a r if u n c t i o n s i nt h el a s ts e c t i o n 、 w ec o n s t r u c ta ne x p l i c i tq u a s i c o n f o r m a le x t e n s i o no ft h i sc l a s so fn e h a r if u n c t i o n o u r w o r ke x t e n d e ds o m er e s u l t so b t a i n e db yc h u a q u ia n do s g o o d ，g e h r i n ga n dp o m m e r e n k e ， a h l f o r sa n d 、e i u c h a p t e ri i i ：j o h nd i s k sa n dt h es c h w a r z i a nd e r i v a t i v e j o h nd i s k sc a nb et h o u g h t a s “o n e - s i d e dq u a s i d i s k s ”aj o r d a nd o m a i nqcc i saq u a s i d i s ki fa n do n l yi fna n d n 4 = e na r ej o h nd i s k st h i sc h a p t e ri sc o n c e r n e dw i t hf u n c t i o n si nas u b c l a s so ft h e n e h a r ic l a s sw h o s es c h w a r z i a nd e r i v a t i v e ss a t i s f y ( 1 一2 ) j 曲( z ) 0 ， s a r i s f y i n g ，蕞哟赢( * 一五蜊u 咖) 。， t h e nt h e r ee x i s t sa ne x t r e m a lb e l t r a m ic o e f f i c i e n t sp ( 2 ) 一p ( = ) ，w h i c hs a t i s f i e sx v x m e ，w h e r e e = - 1 ( e ) w ea l s oo b t a i nas i m i l a rr e s u l to ni n f i n i t e s i m a l l ye x t r e m a lb e l t r a m ic o e f f i c i e n t s a t t h ee n d ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r 芦( z ) t ob eu n i q u e l ye x t r e m a l k e y w o r d s ：u n i v a l e n tf u n c t i o n ，s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e ，n e h a r ic l a s s ，d i s t o r t i o n t h e - o r e m ，q u a s i c o n f o r m a le x t e n s i o n ，j o h nd o m a i n ，q u a s i d i s k ，q u a s i c o n f o r m a lg r o u p ，e x p o - n e n to fc o n v e r g e n c e ，e x t r e m a i q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g ，u n i q u e l y e x t r e m a lq u 酾i c o n f o r m a l m a p p i n g ，b e l t r a m ic o e f f i c i e n t ，e x t r e m a ls e t ，a d m i s s i b l e v a r i a t i o n 第一章绪论 1 1拟共形映照理论的发展及其应用 拟共形映照理论的研究起始于二十世纪三十年代1 9 2 8 年，g r s t z s c h 提出并 解决了一类非共形映照的极值问题：在把矩形r 映照成矩形r ，而且保持顶点对应 的连续可微映照，中，怎样的变换“最接近”共形映照? 他利用量l o gk f 来度量 非共形映照相对于共形映照的偏差，这里的k f 即是后来拟共形映照理论中的最 大伸缩商： 聊 _ s 潮u p o 冠i u z j l i 在l 用现代的说法，g r s t z s c h 问题就是要寻求矩形到矩形的保持顶点顺序对应的拟共形 映照，使其最大伸缩商达到最小g r 6 t z s c h 的重要贡献在于他给出了度量非共形映 照相对于共形映照的偏差的正确方法 拟共形映照具有广泛的实际背景，从诞生之日起就应用于各个领域二十世纪 三十年代末和四十年代初，t e i c h m i f i l e r 就应用拟共形映照研究了p a e m a n n 曲面模问 题，不过当时他的思想并没有为人们所接受现代拟共形映照理论的创始人a h l f o r s 和l a v r e n t y e v 分别从不同的背景来研究拟共形映照a h l f o r s 在研究n e v a n l i a n a 理 论( 涉及到整函数及亚纯函数的值分布) 的过程中，发现n e v a n l i n n a 理论所研究的对 象从几何观点来看，并不一定要求它所涉及的函数是共形的，仅仅要求它们是拟共 形即可t 9 3 6 年，在他的覆盖益面理论中a h l f o r s 写入了关于拟共形映照的索引， 开始对拟共形映照进行深入的研究l a v r e n t y e v 是在研究空气动力学的过程中，为 了寻求将传统的线性c a u c h y r i e m a n n 方程推广到非线性偏微分方程的几何意义， 开始研究拟共形映照的此后，在a h l f o r s 与b e r s 等人的影响下，拟共形映照理论取 得了飞速的发展，成为单复变函数论中一个十分活跃的分支这种研究不仅影响到 函数论的许多分支，而且广泛应用于微分几何、偏微分方程、拓扑学和复动力系统 等其它学科二十世纪六十年代，g e h r i n g 等人把拟共形映照理论推广到了高维空 间，九十年代中期，h e i n o n e n 和k o s k e l a ( 7 7 ，f 8 ) 把拟共形映照理论推广到l s w n e r 空间 国内关于拟共形映照的研究开始于二十世纪五十年代当时，在北京大学和复 旦大学举办过多次学术讨论会，讨论a h l f o r s 、l a v r e n t y e v 、b e t s 、v e k u a 等人的 学术论文在这些工作的影响下，一大批学术论文开始陆续出现在国内的学术杂志 】 上国内数学家杨乐 1 6 1 、李忠( 9 1 】， 9 2 】，【1 7 1 1 7 5 d 、夏道行 1 7 7 】、何成奇【1 7 0 1 、 任福尧p 7 6 、方爱农 1 6 9 、陈纪修( 3 7 卜 4 0 ， 1 6 5 一 1 6 8 ) 、伍胜健( 1 5 9 - 1 6 0 d 、沈 玉良( 【1 2 7 一 1 3 4 ) 等人在这方面都做过大量的工作 他们的工作主要集中在以下几点； 1 拟共形映照的参数表示及某些估计； 2 ，紧性及存在性定理； 3 非线性椭圆系统及拟共形映照； 4 给定边界值的拟共形映照的极值问题； 5 高维空间上的拟共形映照及拟正则映射； 6 t e i c h m f i l l e r 空间理论，等等 近几年来，随着拟共形映照理论的进一步发展，国内一些数学家已将拟共形映 照拓广应用到其它领域 1 2 研究现状与主要问题 区域d 上的一个复值函数，( z ) ，如果它是b e l t r a m i 方程 = p ( z ) 厶，j | p 8 。k 0 ；( t ) ( 1 一护) 2 菲递增，若 f 曲( 圳曼曲( 1 2 1 ) ，z d ， 则，在单位圆盘d 上单叶 定理i i 设f ( z ) 是定义在d 内的解析函数，i s f ( 。) i s f ( i z l ) ，在；f o ，1 ) 上 昂( ? ) 0 并且，设f ( i z l ) _ 十。，似f 一1 ) ，且设剐z ) 满足定理i 中的所有的假设条 件若g ( z ) 在d 内的解析，在( 一i ，1 ) 上取正值，e 是任意小的正数，则条件 l s ，( z ) 1ss p ( i z l ) + s g ( i z l ) 不足于保证，在单位圆盘皿上单叶 作为特例，n e h a r i 给出了满足定理i 和定理i i 要求的三个单叶性判据( n e h a r i 单叶性判据1 ： ( 】) 若，在皿内解析，并且其s c h w m z 导数满足 l s i s 等， 则，在单位圆盘d 上单叶( 9 8 】) ( 2 ) 若，在d 内解析，并且其s c h w a r z 导数满足 i h ( z ， 言瞿= = 声篙；+ 吾号；高；拳，。sp s x ， 则，在单位圆盘d 上单叶当弘= o 时，上述条件即是n e h a r i 单叶性准则 i s a z ) is 南 ( 3 ) 若，在d 内解析，并且其s c h w a r z 导数曲满足 i s s b ) l 墨! 曼塑i ；铲，1 s as 2 ，( 1 - ) 则，在单位圆盘上单叶注意到当a = 1 时，上述条件即是n e h a r i 单叶性准则 1 毋( 。) 1 南， ( 1 2 ) 当= 2 时，条件即是p o k o r n y i 1 0 6 】单叶性准则l s ，( z ) ls4 ( 1 一2 ) ，对于a = l 的情 形，以 毋( 2 ) js2 ( i 一蚓2 ) 2 为出发点，c h u a ，( t u i ，g e h r i n g ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 等 学者对s c h w a r z 导数与单时函数的相关问题进行了广泛而深入的研究，得到许多非 常有意义的结果，( 见 4 2 4 3 【4 4 4 5 4 6 4 7 【4 8 4 9 5 0 】【5 1 【5 2 6 8 ) a h l f o r s 和w e i l l 4 】 证明了若，的s c h w a r z 导数满足更强的条件 删若龠， ， ( 1 3 ) 则，不仅在单位圆盘内单叶，还可以t l 再+ k 一拟共形延拓到整个复平面，并给出了拟 共形延拓的具体表达式此时，按微分几何的观点，对应的d 上的光滑共形度量为 p o i n c a r 度量( 曲率为一4 ，直径为o 3 ，完全度量) 当l s f ls ”2 2 时，c h u a q u i 和o s g o o d 4 7 5 0 研究了对应的偏差性质，也给出 了 警一拟共形延拓的具体表达式 在 4 8 中，c h u a q u i 和o s g o o d 指出：当，的s c h w a r z 导数满足比n e h a x i 单叶 性准则更强的条件时，如何构造整体同胚以及拟共形延拓是一个有意思的问题但 是，除上述两种情形外，他们投能构造出拟共形延拓的具体表达式 单位圆盘d 上的解析函数的单叶性问题可以推广为一般k i e m a n n 流形的共形 映照问题f 1 0 3 t 0 4 按微分几何的观点，n 2 ) 维r j e m s , n n 流形( m ，g ) 到( n ，9 ) 的微分同胚，的共形性与度量g 及g 的性质有着密切关系具体到n e h a r i 单叶性 准则，有以下情形：当i s ，is ”2 2 时，对应的d 上的光滑共形度量为欧氏度量， 在欧氏度量下，g u a s s 曲率为0 ；d 直径为2 ，对于d 欧氏度量是不完备度 量；当i s ，( # ) i 2 ( 1 一2 ) 2 时，其对应的d 上的光滑共形度量为p o m c a r 6 度量， 在p o i n c a r 4 度量下，o u a s s 曲率为一4 ，d 直径为o o ，对于dp o i n c a r 6 度量 是完备度量； 对于s r ( z ) l 4 ( 1 一2 ) 的情形，其对应的d 上的光滑共形度量 d = l ( 1 一2 ) 2 不是我们所熟悉的欧氏度量或p o i n c a r 6 度量( g u a s s 曲率为负但非常数，d 直径为 o o ，完备度量) 而从微分方程的角度看，相关的微分方程没有显式解这样，就给对 此类函数的研究带来难以避免的困难，因此，此类函数的研究还未见诸于文献 在此，我们除研究l s ，( z ) 1 4 ( 1 一i z l 2 ) 情形外，还讨论更一般的一类函数，研 究它们的分析与几何性质，并给出了拟共形延拓的表达式 称满足n e h a r i 单叶性判据的函数族为n e h a r i 族对应于( 11 ) 有极值函数 r 。d e ，2 百= 再再， f ( ：) 把单位圆盘映照成非j o r d 。区域，并满足s f ( 。) ：塾与 掣我们用 n 表示单位圆盘上满足条件( 1 1 ) 的解析函数全体所构成的集合，+ 表示n 中不 5 是极值函数f ( z ) 与m b b i u s 变换的复合的元素所构成的集合，8 表示单位圆盘上 满足条件 i s z ( z ) is 兰! 生塑五铲，ls as 2 ，。女 1 2 ；若k l e i n 群g 包含有双周期子群，则d ( g ) 1 对于以o 。为正则点的初等群g ，若g 不包含有抛物元素，则有6 ( g ) = 0 ，若g 包 含有一个单周期子群，则6 ( g ) = 1 2 ；若g 包含有一个双周期子群，则6 ( g ) = 1 s u l l i v a n 1 5 5 1 证明了几何有限k l e i n 群的收敛指数等于其极限点集l ( g ) 的h a u s d o r f f 6 维数b i s h o p 与j o n e s 2 6 1 推广了s u l l i v a n 的结果，证明了作用于b 3 上的非初等离 散m s b i u s 变换群g 的收敛指数等于其锥形极限点集l 。( g ) 的h a u s d o r f f 维数 由于拟共形映照在双曲空间中不是等距映照，有关离散m s b i u s 变换群的许多 结论在离散拟共形群中不再成立( 见f 3 0 3 1 3 2 ) 若g 是作用于f 上的离散拟共 形f u c h s 群，则g 的收敛指数大于或等于其锥形极限点集三。( g ) 的h a u s d o r f f 维数， 并且可以成立严格不等式【3 0 】_ 设1 1 = ( 1 ) 是由7 ( z ) = z + ，( a 0 ) 生成的噼上的抛物循环f u c h s 群 蛐2 上的任一抛物循环f u c h s 群的收敛指数都是； 取7 ( z ) = = + 1 ，定义正2 上的耳一拟共形映照 ，、f z ，h 墨1 妒。：。1i z l l k 一1 z ，i z l 1 ， 有6 ( ( 妒7 l p 一1 ) ) = k ( k + 1 ) ；若把妒换成妒( z ) = l z k - 1 z ，则有6 ( ( 州妒_ 1 ) ) = 1 ( k + 1 ) 在【3 0 1 中，b o n f e r t t a y l o r 与t a y l o r 提出如下猜想：设r 是作用于h 2 上的抛 物循环f u c h s 群，妒：蛐2 - 2 是保持衅不变的一个k 一拟共形映照，则有 南6 ( 妒脚。1 ) 焘- 1 2 3 拟共形映照极值理论 前面所述的g r s t z s c h 问题的解是唯一的，而且就是仿射变换由g r s t z s c h 的结 果可以得到一个较一般的结果设d 与d 1 是两个曲边四边形( 即j o r d a n 区域，其 边界上指定四点作为顶点) 不难看出，把d 映照成d 。且保持顶点顺序对应的极值 映照是皿一1 。oo 圣，其中壬与皿分别是把d 与d l 变成矩形r 与r 1 的共形映照， 而，0 即为仿射变换换句话说，极值映照就是一个共形映照复合一仿射变换再复 合一个共形映照 1 9 4 1 年，t e i c h m f i l l e r 推广了g r 5 t z s c h 问题，研究了把单位圆变成单位圆并保持 五个指定点顺序对应的拟共形映照的极值问题，他证明了极值映照的存在唯一性， 并且证明了极值映照是关于某个二次微分妒d z 2 的轨线的拉伸变换，也即其复特征 是 p ( z ) = k o 击，( 0 茎k o 1 ) 通常我们把具有这种复特征的拟共形映照称作t e i c h m f i l l e r 映照，而妒d 护称之为它 的伴随二次微分1 9 6 6 年，s t r e b e l 把t e i c h m i i l l e r 的结果推广到n ( n2 4 ) 个点 7 的情形后来，人们讨论了给定边界值的拟共形映照的极值问题，在这方面r e i c h 和s t r e b e l 做了大量的工作，得到了许多富有价值的成果 设 是单位圆周= z ：h = 1 ) 到自身上的保向拟对称同胚，则 可以拟共 形延拓到单位圆中( 见( 2 l 】) 令q ( 九) 表示单位圆d = z ：h l 为q ( h ) 中极值拟共形映照如的最大伸缩商，即 k o ( h ) 2 ，蠹f j 腰m 其中k 【门表示，的最大伸缩商如果存在，o q ( h ) 满足k i o _ k o ( h ) ，则称它是 极值拟共形映照 对于极值拟共形映照如何进行刻划，极值拟共形映照是否为t e i c h m i i l l e r 映照， 以及是否存在唯一的极值拟共形映照，这些都是极值拟共形映照理论中要解决的焦 点问题，这些问题的解决需要涉及到h a m i l t o n 7 4 的研究成果1 9 6 9 年，h a m i l t o n 研究了关于模边界的同伦类的极值问题，给出了极值拟共形映照的一个很本质的判 定定理 设s 是任意一个带边的r i e m a n n 曲面，其万有覆盖是双曲型的s 总可以看 成是一个带边曲面的内部又设r 是另一个r i e m a n n 曲面，s 到r 有一个拟共形 映照，：s _ r ，那么这个拟共形映照自然可以连续开拓为p p 的映照，这里 r 和彤分别表示s 与r 对应的带边曲面s 到r 的两个拟共形映照，与g 称作 模边界同伦的，如果，与g 在a 矿上相等，且在，与g 之间存在一个同伦，而这个 同伦在a p 上取常数 h a m i l t o n 的主要结果是： 定理( h a m i l t o n )设如：s _ r 是模边界同伦类中的极值映照，n ( z ) d s d z 是 如所对应的b e l t r a n f i 微分则有 ，1 ，s u l l ：p 。 l ：一c ：，妒c z ) d z a ； ) = j j i i m ， 其中c p d z 2 是占上的全纯二次微分，它的范数是 2 上l 妒( = ) 胁眦 这个定理刻划了极值拟共形映照的复特征所满足的必要条件，r e i c h 与s t r e b e l 证魄了对于单位圆的情况，h a m i l t o n 条件也是极值映照的充分条件后来，s t r e b e i 又证明了对一般开r i e m a n n 曲面而亩，h a m i l t o n 条件也是充分的 8 之后，r e i c h ，s t r e b e l 等人做了大量的工作，给出了相关的一些极值映照与唯一 极值映照的判定条件1 9 9 8 年，b o z i nv ，l a k i cm ，m a r k o v i cv 和m a t e l j e v i cm 3 3 关于唯一极值的论文“u n i q u ee x t r e m a l i t y ”是拟共形映照理论的一个重大突破，在 文中，他们对于唯一极值进行了深刻的研究，得到了一些极富创新意义的结果 1 3 本文主要结果 一、在第二章中，我们研究了s c h w a x z 导数和n e h a r i 函数族，给出jn e h a r i 函 数族的一些重要性质和偏差估计，导出了n e h a r i 函数族的拟共形延拓的具体表达方 式，得到了如下定理： 定理2 1 设，( z ) 是单位圆盘d 上局部单叶的亚纯函数，满足就范条件，( o ) = ，( o ) 一 1 = f t t ( o ) = 0 ，并且其s c h w a r z 导数满足 i s ：( z ) l ! 兰塑i 学，1 墨a 2 ， 则 静卜器， 当且仅当，是f ( z ) = 上。万兰知l ( 1 s a 2 ) 的旋转时，存在z 。使等号成立， 若f 的s c h w a r z 导数满足 l s ，( z ) l ! ! ! 生；学，1 曼。2 ， 则 膨fs ! 卜群 定理2 2 设，是单位圆盘。上局部单叶的亚纯函数，f ( 。) = z 百兰涛，( 1 s 。2 ) 若，( 。) = i 1 + o 十8 1 z + 0 2 2 2 + 满足条件 俐i s 芈掣，0 2 ， 则 ( 。) i 州z ) is f 砑俪， 如果在某个z o 等号成立，则，是1 f 的一个旋转 ( 6 ) ) 一，( t i e i o ) l 丽1 一丽1 ，0 r l r 2 l , 日 0 1 2 ) 9 如果有n 0 ，使 0 ) l ，( = ) 一f ( z ) js 晒j = 一z j 。一1 ，( z ，：西) 【矾) i ，( e 诒) - f ( r e i 8 ) 曼蝎f 出耵( ，( r 矿) ，。，( d ) ) j ， ( 0 sr 1 ，0 骨 2 霄) 定理2 , 4 设，是定义在单位圆盘d 上的亚纯函数，满足 i 西扣) 1s 兰蔓兰号f 铲，( 1 s as 2 ，。墨k 0 使 1 ，( 。1 ) 一，( 。2 ) l m l z l z 2 i ，( 2 1 ，砘d ) 及 i ，( r ) 一，( ( ) i = o 博s t ( ，p ) ，a n ) ，( r _ 1 0 ，川= 1 ) 定理3 7 设，是d 上局部单叶的解析函数，满足就范条件f ( o ) = ，( o ) 0 ，并且其s c h w a r z 导数满足 l s f ( 2 ) 15 = 谛 4 若，( d ) 是j o h n 区域，则 ( j ) 2 i r a s u p 。i ( 1 一r 2 ) & r 等( r ( ) ) 4 ( i i ) l i r as u p r - - + l ( 1 一一) i 等( r e ) 1 4 并且( i ) 与( i i ) 等价 定理3 8 设，是皿上局部单叶的解析函数，其s c h w a r z 导数满足 l 曲( 。) i 茎高 4 若f ( d ) 是j o h n 区域，则，( d ) 是拟圆 定理3 9 若，是d 上局部单叶的解析函数若 l i m 熊( 1 一r 2 ) q ( r ) = 4 ， r i 则，( e ) 不是完全可近边界点 定理3 1 0 若f ：d _ c 是共形映照，”( o ) = 0 ，并且满足 s u p ( 1 一r 2 ) 吖( r ) 4 ， r ( d 则n = ，( d ) 是j o h n 区域 三、在第四章中，我们根据对数导数的增长与函数单叶性的关系 单叶函数的偏差性质与拟共形延拓，得到了如下定理： 定理41 设，在单位圆盘皿内解析，且f ( o ) = 0 ，( 0 ) = 1 ， 1 】 1 = f t ! ( 0 ) = 研究了一类 j 锱卜南 则 n ，“。i ) i ，) is 7 ( h ) ， n ( j z ) si ，k ) lsn ( i z l ) ， ( 2 ) 若f 满足 i 铬卜南，( o ， 则 ( 型i + i 。i 、i 。鲥铴胚( 瑚) 8 ， 麒并) 。d m 胚以嵩) 。西 定理4 2 设，在单位圆盘d 内解析，且满足 f 锱i 南， 则 ( 1 ) i ，( 。1 ) 一，( z 2 ) i 曼k i 巩一现患0 ( r o i 乱l ，i # 2 i i 这里是k 与t o 绝对常数 ( 2 ) i f ( r f f ) 一，( p e ) i 虿+ ，o p r 1 ，i c l = 1 定理4 , 3设，在单位圆盘d 内解析，且满足 ( 制) | 锱b ( “) 则，( z ) 可拦一拟共形延拓到整个复平面 定理4 4 设f 在单位翟盘d 内解析，且满足 ( 1 - h 2 ) | 锱b ( 0 ，l r l 1 ) 生成的 非平凡初等k l e i n 群，妒为衅到它自身的k 一拟共形映照则上半平面2 上的抛 物二阶拟共形群g = 妒r 妒- 1 的收敛指数 壶s d ( g ) 1 五、在第六章中，我们研究了极值拟共形映照的极值集，长期以来，极值拟共 形映照理论中存在一个耒解决的问题：唯一极值的拟共形映照的复特征是否为常数 模的? 类似的问题可以这样叙述：在仉中是否一定存在唯一极值的t e i c h m f i l l e r 映 照( 芦= 月尚，妒在皿上全纯，则，“称为t e i c h m f i n e r 映照) ? 1 9 9 8 年，b o z i nv ，l a k i cn ，m a r k o v i cv ，n dm a t e l j e d cm ( 见【3 3 1 ) 证明了存在 非常数模的唯一极值拟共形映照设x = 川i p ( z ) l = k = m ，x b 】称为p ( z ) 或 ，一的极值集他们甚至证明了x m 可为空集一个很自然的问题是：如果卢不是 唯一极值的，则是否存在极值的v 一卢，使m e s x 卅= 0 ，或者m e s x v ) 可任意小? 我们讨论了拟共形映照的极值集，并证明了： 定理6 1 如果b e l t r a m i 系数p 是极值的，且存在正测度的紧子集亩cx i 剐，使 蚱i q a ，f 可飘蠡蕊u 引k 一风厶扎如) 0 其中声是( 严) _ 1 的b e l t r a m i 系数，则存在+ 中的b e l t r a m i 系数“使x mcx b 一f 其中e 是亩在拟共形映照( ，“) 下的原像 定理6 2 设灿为无限夺极值b d t r a r a i 系数，糊 d 。= ，如果存在正测度紧子集 e c x 叫，使 ，。潞曲，南卜r e 厶p 妒捌刈， 则存在备，使x mcx b 一e 1 3 第二章n e h a r i 函数族的偏差定理与拟共形延拓 s c h w a r z 导数曾经是复变函数论中研究解析函数的单叶性的充分必要条件的最 重要概念设d = = ：h o ；曲( t ) ( 1 一t 2 ) 2 非递增若 l 曲( 圳s f ( i z ) ，z 皿， 则，在单位圆盘d 上单叶 定理i i 设f ( z ) 是定义在d 内的解析函数，i 跏( z ) lss f ( i z i ) ，在z 0 ，1 ) 上 s f ( z ) o 并且，设f ( 1 2 1 ) _ 0 0 ，( h _ 1 ) ，且设f ( 1 2 1 ) 满足定理i 中的所有的假设条 件若g ( z ) 在d 内的解析，在( 一1 ，1 ) 上取正值，e 是任意小的正数，则条件 曲( z ) l s f ( ) + e g ( 蚓) 不足于保证，在单位圆盘d 上单叶 作为特例，n e h a r i 给出了满足定理i 和定理i i 要求的三个单叶性判据： ( 1 ) 若，在d 内解析，并且其s c h w a r z 导数s i 满足l s s i 曼譬时，在单位圆 盘d 上单叶( 【9 8 ) 1 5 ( 2 ) 若，在d 内解析，并且其s c h w 口z 导数毋满足 i 野c z ，i 考罢：= f j 与；+ ；高嵩；， 。肛s ， 则，在单位圆盘d 上单叶。当芦= o 时，上述条件即是n e h a z i 单叶性准则 i s j ( 2 ) 1 南。 ( 3 ) 若，在皿内解析，并且其s c h w a r z 导致毋满足 荆1 5 鼍掣，。姐 ( 2 1 1 ) 则，在单位圆盘上单叶注意到当o = 1 时，上述条件即是n e h a r i 单叶性准则 i s i ( j i ) is 南， ( 2 - 1 2 ) 当口= 2 时，条件即是p o k o r n y i 1 0 6 单叶性准则 l s ，( 2 ) i 亡评 对于q = 1 的情形，以；身( z ) 1 墨2 ( 1 一吲2 ) 2 为出发点， c h u a q u i ，o e h r i n g ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 等学者对s c h w a r z 导数与单叶函数的相关问题进行了广泛而深入的 研究，得到许多非常有意义的结果，( 见 4 2 4 3 阻】 4 5 】 4 6 】【4 7 4 8 4 9 5 0 1 | 1 5 1 5 2 6 s ) c h