（基础数学专业论文）一类卷积半群的martin边界的刻画.pdf

摘要 1 9 6 6 年，n e y ，p 和f s p i t e r 在n 中给出了m a r t i n 边界刻画，主要结果如下 令z “= x 足”：x = ( x 1 ，x 2 ，x 。) ，x ，z ，l i 竹 ，p 是z ”上的转移函数，它满 0 p ( x ，y ) = p ( o ，y z ) ，x ，y z “，p ( o ，z ) = 1 。用p 我们可以定义n j t z “ 当工= y ，p o o ，y ) = 1 ，否则为0 。 ( x ，) = p 。( z ，z ) p ( z ，y ) ，n 0 令妒( ”) = p ( o ，工) p ”，“r ”，o d = 阻f ( “) = l 】，则称a d 为f 以) 的 妇厂f m 边界。 o d , q = 篇g r a d 赫# ( u ) ， ，且忡，高_ 。，若位势核 il 7 一。ix ”l 1 、 g ( x ，j ，) = p 。( x ，y ) 是暂留的， 则 l 对v x z “t l i m g g ( ( 。x ，, z x 。 ) ) = g 扣j ) 。 对于随机游动的m a r t i n 边界有如上的刻画，那末对于连续时间参数的情况是否也有类似的刻画。 本论文就连续的时间参数的半群加一个漂移的情况给予了讨论，得出以下结果： 设b ( r ”) 4 k r “上的b o r e l 仃一代数，b ( r ”) = 爿b ( r “) ：a 的闭包是紧的 。 万，：f 0 是 r ”1 上的一卷积半群。令般= 石。 s ，v t 0 。显然 ， 是r “的卷积半群。定义 y ( x ) ：= f e ”l ( 咖) ， 令e = 矿= l ，则称e 。为半群 ，；f o 的m a 州h 边界。令 k ：= i k t , d t 。 定理：假殴 疗；f o 满足3 中3 2 的基本假设，爿童( r ”) ，a 。6 ( 丑“) 并且 一【l 睁0 ( 其中i 。摩示l e b e s g u e 测度) 。令e 。为 u ， 的m a r t i n 边，“e ，口= g r a d g t ( u ) 则 第2 页共2 1 页 蛾揣k ( aa s ：甓 。+ )i c “( 凼) a b s t r a c t i n1 9 6 6 , n e y pa n d e s p i t e r g a v e a d e s c r i p t i o no f m a r t i nb o u n d a r y i nl l j t h em a i nr e s u l t i nt h i sa r t i c l ei st h e f o l l o w i n g l e t z ”= 缸r ”：x = ( ，x 2 ，x n ) ，x 。z ，1 i n ) ，p i sat r a n s i t i o n f u n c t i o no n z ”，i t s a t i s f i e s 0 p ( x ，_ y ) = p ( o ，y x ) ，x ，y z ”，p ( o ，x ) = t 。 x e 2 “ w e c a n d e f i n ep 。b yp p o ，y ) = 1 ，a s x = y ，o t h e w i s e 0a p 。( 工，y ) = z p 。( x ，z ) p ( z ，y ) ，n 0 = e z l l e t b ( u ) = p ( o ，x ) e 5 4 ，“r ”，0 1 9 = “i ( “) = 1 。l e t 甜0 1 3 ，q = j e z ”g r a d f k ( “) | 7 x ne z n d i x 卜。o ，高_ g 肚删讲胁蒯棚= 苹姒w ) 括t r a n s i e n t , t h e ”l i m 亟兰芏! ：) ，加口 yx z 一 一呻* g f 0 x ”1 。 t h e r ei sa d e s c r i p t i o no f m a r t i nb o u n d a r ya b o v e f o r r a n d o mw a l k ，t h e nw ec a na n s w e ri f t h e r ei sa d e s c r i p t i o no f m a r t i nb o u n d a r y a sa b o v e f o rc o n t i n u o u st i m e p a r a m e t e r p r o c e s s t h i sa r t i c l es t u d i e sac o n t i n u o u st i m e p a r a m e t e rs e m i g r o u pw i t had r i f ta n d o b t a i nar e s u l t a sf o l l o w i n g ：l e tb ( r ”) b eb o r e l 盯一a l g e b r ao r l r ”，b ( r ”) = 彳b ( r “) ：c l o s u r eo f ai s c o m p a c t ， 丌f ；f 0 ) i s ac o n v o l u t o i ns e m i g r o u po n r 舻1 ，f = 石fo s f，v t 0 o b v i o u s l y , f a c 。n v 。m t i o n s e m i g r o u p 。”r ”。d e f i n p y ( x ) ：= i 。p ”i ( 咖) t 厶”毛= y = 1 ) ，t h e n e 。括 l i e d m a r t i nb 。u n d a r y o f t h e h v o l “t o i ns e m i g r o u p ( “；f o ) 。d e a n p k ：= p f d t 。 0 t h o e r e m s u p p o s e t 丌；t o s a t i s f i e s t h e f u n d m e n t a ls u p p o s i t i o n i n t h e s e c t i o no y 32 3 a b ( r ”) ，a o b ( r ”) a n dia oi 0 ( 1 i d e n o t e s l e b e s g u e m e a s u r e ) 。l e t e 口b em a r t i n 幻砒删枷e b m = g r a d 少m ”! i m 等葛 第3 页共2 l 页 ) ) 出 出 ( ( 一 一 l厂。pi 1 ，引言 1 1 卷积半群与w 过程 设r ”0 1 ) 是 维欧氏空间，b ( r ”) 是r ”上的b o r e l 盯一代数。b ( r ”) ：= a b ( r “) ：a 的闭包是紧的) ，c 。( r ”) 是r ”上的具有紧支集的连续函数集，m 是r “上的l e b e g u e 测度。若 是月“上的测度厂是r ”上的可测函数，则记( 厂) ：= f 砌。 定义1 。 ，；t o ) 是一族r “上的概率测度，如果它满足 ( 1 ) ，。= 。，对所有t o ，s o 。 ( 2 ) ! 鳃，( ，) = 厂( o ) ，对任意，c 。( r 。) 则称 a ，；r 0 ) 是r “上的一个概率卷积半群。 显然，鸬的特征函数为 a ( 孝) = 卜啦“( 出) ，善r “ r “ 是r “上的一个连续有界的复值函数，且对f ，j 0 ，应。= a p 。另外f 丘，在，= 0 有右连续 性，因此存在r ”上的连续函数使得a = e 。，则称为 ，；f 0 的l e w 指数。l e v y 指 数庐唯一的刻画了半群 ，；r 0 。 令p ，( x ，a ) = ，( 4 一x ) ，x r “，a b ( r ”) ，v t 0 。显然 p 1 ) 是一族尬r 七d v 转移半群 且满足 p f ( z ，4 ) = p ，( x + y ，a + y ) ，y r “ 即( b ) 满足空间齐次性。 定义2 ，一个 i 打幻v 过程称为l e7 聊过程如果其半群是上面定义的半群。 令j ：= p ，d t ，则称t 为 鸬；r o ) 的位势核。若i ( 厂) = i a ，( f ) d t 0 是暂留的，否则是常返的。 下面是一些血w 过程的例子。 例1 ，( 一致漂移) 令口r “，( s 。：， 0 是一致漂移的一卷积半群。它的l e v y 指数是 一f ( 孝，口) 。 第4 页共2 1 页 舭，( b r o w nj a 矧j ) 钠一酽1 e p 吣洲。铀( 俨弘舳 a b ( r ”) ，则 b ， 是r ”上的一卷积半群。其对应的过程是b r o w n 运动，其l e v y 指数是l ： 。 ij i 例3 ，( p o s s i o n 过程) 设，是r ”上的一个概率测度a 0 是一常数，r 0 。令 只：= e 一“百( 2 t y ，+ h 其中j ”是h 一重卷积，则 p 。) 是r ”上的一卷积半群。其对应的过程是以j 为跳跃钡4 度的p o s s i o n 过程，其三p7 v y 懈2 ( 1 一j ) 。 l e v y 过程包括了许多重要的随机过程，除上面所提到之外还有单边稳定过程他上，l e v y 指数为ix 1 9 ，0 1 ) ，对称稳定过程( r ”上，l e w 指数为i x f 9 ，0 0 。 令l n v = 2 ：彬是x 的不变测度) ，显然，m i n v 。 称x 有唯一的不变测度若弘i n v ，则是拼的倍数。称x 有唯一的r a d o n 不变测度若 在i n v 中的r a d o n 测度是m 的倍数。 如果 2 ：；f 0 ) 是r ”上的一卷积半群，可以证明存在一定义在丑“上的取值于( 0 ，+ 叫的函 数y ( z ) ，使得 。e 札门儿( 砂) = 妒( z ) 因此，i 。p “( 咖) = y ( x ) 令e ，= p = 1 ) ，则称e o 为半群 麒；， o ) 的物以i 玎边界。 1 3 问题的起源与意义 令z “= 扛r 4 ：x = ( 一，x 2 ，x 。) ，x ，z ，1 i n ) ，p 是z “上的转移函数，它满足 0 s p ( x ，y ) = p ( o ，y x ) ，x ，y z ” p ( o ，x ) = 1 j 6 z ” 用p 我们可以定义p 。 第5 页共2 1 页 当x = y ，p 。( x ，y ) = 1 ，否则为0 。 ( x ，y ) = p 。( x ，z ) p ( z ，y ) ，”0 j z “ 称位势核g ( x ，y ) = p 。 ，y ) 是暂留的， g ( x ，y ) 0 。 2 ，l x l p ( o ，x ) 0 ) 是置”上的卷积半群。令鸬= 厅，0 e t ，v t 0 。显然 d ， 是r ”的卷 积半群a 令a b ( r ”) ，a o b ( r 4 ) 并且1 4l 0 。令露为f ) 的尬，f 加边界。“e o 。 口= g r a d g t ( u ) ，问是否 l i m k ( a + a s ) 。 k ( a o + a s ) 的极限存在。 2 ，拟对称性及其等价条件 2 1 拟对称性的定义 令 p ，) 是r ”上的卷积半群，s 是p l 的支撑。 定义1 ，称卷积半群 只 是拟对称的若存在某个紧集x 1 j m s u p ( p t ( 世) ) = 1 - l 第6 页共2 l 页 v 该定义等价丁存在个”维球曰，使得 l i m s u p ( p 。( b ) ) “= 1 例1 一罐m 运动冷烈毛2 研1e 2 o 一础冷6 f ( 脚2 眇砖出 1 卯 a b ( r ) ，则 b ，) 是一维b r o w n 运动的卷积半群。令b = x r ：i x 峰1 ，则 6 ，( b ) = p ( r ，x ) 出= 口 1 1j 型2 扬昔威 = 赤f 出研2 e 一击 黜l i m s u p ( 姒助形魄s u p ( 赤e 一寺) - l 卷积半黼 是拟对枫 例2 ，( 一致漂移) 令 ：f 0 ) 是一致漂移的一卷积半群，k 为r 中的紧集，则存在n 0 使得【一n ， ，因此，当f | 时，6 1 ( k ) = o ，所以，脚s u p ( f ，( k ) ) = 0 。则卷积半群 s ， 不是拟对称的。 着对可4 r ”，p ，( 一爿) 2 n ( 4 ) ，v t 0 ，则称卷积半群( 只) 是对称的。 引理1 ，若卷积半群( p ，) 是对称的s - s 的闭子群是r “，则 只) 是拟对称的。 证明：由文【2 】( p r o p o s i t i o n 2 ) 知存在紧集k ，使得l i m s u p 。一( 以( 丘) ) 咖= 1 ，因此 l i r a s u p ( p ，( k ) ) = 1 ，结论成立。 2 2 拟对称性的等价条件 令 p ，) 是r “上的卷积半群，s 是p l 的支撑。令妒( x ) = p ”p 1 ( 砂) ，e ，是 p ，) 的 m a r t i n 边界。 基本假设1 ：s s 生成的闭子群是r “。 定理1 卷积半群 p ，) 是拟对称的则乓= o ) 。 下面分几个步骤来证明它： 引理2 ，对于卷积半群 且) 存在紧集丘，使得l i m s u p ( 见( k ) ) 枷= 1 当且仅当对 v x r “，少( x ) 1 。( 见文 2 】) 引理3 ，卷积半群( 热 是拟对称当且仅当对v x r “，( x ) 1 。 第7 面其2 1 页 定义 由引理2 知，显然。 反证，假设h 。r 卜，使得v ( x o ) 】、由( x 。) 的定义知y ( x o ) 0 。 p p ( 西f ) = ( 妒( x o ) ) 叫p “一p ，( 出) 则p ，( 出) = w ( x o ) ) p 小”p 凡出) 下面证明p ? 是概率测度 p 产( 月“) = j ( 妒( ) ) 叫p “川p ，( 西c ) = ( ( ) ) 叫v ( x o ) = 1 。 胪 对于v 紧集k ( p ，( k ) ) 1 “= ( fy ( 工。) , e - ( x o , x ) p , x “( 出) ) 聃= y ( x 。) ( p - ( x o , x ) p 产( 西c ) ) 1 7 kk s 矿( x o ) 口：7 ， ( 口o = s u p 珏e 一上0 4 ) l i m s u p ( p ，( k ) ) 1 1 l i m s u p 。_ + 。v ( x o ) 日= 少( x o ) 1 矛盾。 所以，结论成立。 弓f | 里4 ，i n t g ( x ) 严格凸，a p v x l ，x 2 r ”，一x 2 ，且矿( x 1 ) ，矿 2 ) ，则v o ( a 1 i n v ( a x l + ( 1 一a ) x 2 ) 1 。 证明：“# ”显然。 “j 不然孔o ，使得( x ) = 1 ，则l n 妒( ( o + x ) 2 ) 三l i l 妒( o ) + - 2 ：i n y ( x ) = o 所以y ( 玎2 ) 1 当且仅当如1 ( 出) = o ，即n d y ( o ) = o 。 证明：“j ” g r a d v ( x ) = p p ”且( 砂) ，因为0 点是极值点，所以g r a d v ( o ) = 0 ，即， 扣、池) = o 。 鹑9 酉其2 1 页 “乍”不然， l 【| j j x o ，使得( x f ) ) 1 ，即i n r ( 工o ) 0 ，令0 t 2 1 ，因为i n y 0 ) 严格凸，刚l n 妒( 似。) 0 ，妒( r ) 0 。所以在 0 ，lx 。i ) 内 0 ( 1 ) 单调递增。从而对v t ( 0 ，1x od ，妒( f ) 0 。矛盾。 结论成立。 推论1 ，若存在一个。点的邻域y 使得妒在，内有限，连续且一阶二阶可微，则 卷积半群 只) 是拟对称的当且仅当x p 。( 出) = 0 ，即g 阳d 杪( 0 ) = 0 。 证明：由上面引理3 ，5 ，6 得证。 2 3 推论 令 p ，) 是月”上的卷积半群，s 是p - 的支撑令( z ) = p ”p 。( 咖) ，庐是 p ， f n l e v y 指 数。 基本假设1 ：s s 生成的闭子群是r “。 令卷积半群 p ，；t o ) 所对应的l e v y 过程是x = 置，p 。) 。 推论2 ，假设卷积半群 a ) 是拟对称的，则过程有唯一r a d o ”不变测度。 证明：由基本假设l ：s s 生成的闭子群是r “知，s 生成的闭子群是r ”。由文 3 7 3 知 乙，= g ( u s u p pp ；) 1 ，( g ( 4 ) 表示由集合a 震“生成的闭子群) ，因为 g ( l 上，。s u p pp ，) 三g ( s u p p p l ) = g ( s ) = r ”，所以，z e r 庐= o 。 由文 3 定理2 0 ) 知，过程z 有唯一的r a d o n 不变测度当且仅当乓= f o ) 。由定理i 知 e = 0 ) ，所以结论成立。 第1 0 页共2 1 页 3 ，m a r t i n 边界的刻画 3 1比例极限定理 设 q ， 是r ”1 上的一卷积半群，并且 q ，) 是拟对称的，再设存在某一个f 0 和某 个开集0 c r ”1 ，使得q ，在0 上关于m 绝对连续且r a d o n n i k o d y m 导数f 0 ，由 文 4 】知，下面定理成立 定理1 ，若一矗( r 一) ，b e f 3 ( r ) 并且l b 睁0 。那末 1 i n l 纽竺生：幽 r q 。( y + 占)l b i 并且对在r ”1 中紧集的z 和y ，以及r 中紧集中的j 收敛是一致的。i 1 表示l e b e s g u e 测度。 3 2 关于一个半群加漂移的讨论 令 石r ；r o ) 是矗”1 上的一卷积半群，“2 石to ，v t 0 - 显然 “) 是胄”的 卷积半群。令s 是翻的支撑，y ( = e “l ( 方) ，e 。为 ，) 的 如r r 拥边界。令卷积 半群 石，；r 0 ) 所对应的l e v y 过程是x = 一，p 。) 。 基本假设1 。x = z ，p ) 是非奇异的，即存在某一个f o 和某一个开集dcr ”1 ，使得石， 在0 上关于m 绝对连续，且r a d o n m k o d y m 导数f 0 。 基本假设2 。对v “e 。存在一个“点的邻域y 使得吵在矿内有限，连续且一阶二阶可微。 引理1 ， 。 是r “的卷积半群，并且是暂留的 证明： ， 是r ”的卷积半群- 显然。 令a = b o c b = ( x l ，z 2 ，z 。一t ) r ”。：z l 【口1 ，6 l 】，x 2 口2 ，b 2 ，x 。一1 口。一1 ，b 。一l 】 c = 【口，卅， t ( 彳) = n ( a ) d t = r t ：，( b ) ( c ) 廊 。k ( 0 ，。) 一( b ) d t 第1 1 页共2 1 页 玉l d t = 6 一日 0 “= “l ，“2 一，“。 ，“= “l ，“2 ，“ ，石? ( 出) = e t u p “，。疗，( 出) 引理2 。 万? 。是一r “上的概率卷积半群。 证明：1 ，万? ( 月门_ 1 ) = 卜b ( “一丌，( 西f ) = p 一( 出) 卜一( d r ) = 卜”“( 砂) = 1 玉 2 ，万二，( 4 ) 2fe “咖”e ”川一+ ；( 咖) = p h e r 乃( 妙一x ) x ，( 凼) 2 p “曩( 出) 卜虬。覆( d y - x ) = fe 以( c 6 r ) 卜“。一) 以( 咖) r 4 ”a r 一。la - j = j 万? ( 彳一x ) 茚：( 西c ) = 石? + 厅；( 4 ) 3 ，对w c 。( r ”1 ) 石? ( ，) 2 j ，o ) 厅? ( 引= j e 厂( y ) p 一一( 们 r 4 1 口“一i 所以，渤石? ( 厂) = 厂( o ) 证毕。 引理3 ，p ? - - 2 $ t ”o s ， 证明：令a = b o c b 2 ( x - ，z ：，x “) r ”1 ：而 a i , b 。 ，x ： a 2 , b ：】，x 。【日。，丸一。】 c = d ，6 1 ， ( 4 ) = 卜”“( 出) = 卜1 p 乃( a y ) e , ( a x 。)其中x ：( _ ，x ：，屯) a b o c 2 p 州曩( d y ) f e e , ( d x 。)j ，：o 。，屯，x 。) ， b c = p 以( 砂) p h ( c ) 第1 2 页共2 l 页 p “一 ，_ = # j ( b ) c ，( ( 1 ) 厅i 以，p ? 。( 爿) = 丌? o ，( 爿) ，从而j 口；j = 石? o 占，。 证毕。 所以，p ? = 刀? 占，是一r “上的概率卷积半群。 令“( x ) = j p 。1 。p ；( d o ，) = j p t p “。，( 咖) ，所以，y ”( o ) = y ) d d v “( x ) = 弦p 叫“( 西小因此，口d v “( o ) = i y e ”“( 咖) = g r a d p ( “) 。 a = g r a d g t ”( 0 ) = g r a d p ( u ) = ( “l ，a 2 一，0 1 。) a 。= i y ，p f 7 ( 出) ：j ，。玎? ( 咖) s ，( a y 。) = 1 ，其中x = ( x ，z 2 ，- x 。) y = ( x l , x 2 , , , x n - i ) ， 所以，口= ( 口，a ：，1 ) ，令a = ( a 。，口：，- - ，口。一，) ，则，胁? ( 咖) = 口。 引理4 ，令6 7 = 疗? ”一则卜w ( 出) = 0 。 证明：卜6 7 ( 出) = x 石? + 占。( 出) = 卜石? ( 出+ a ) = 一口弦? ( 出) = k ? ( 出) 一a = o 证毕。 所以，由2 中2 2 的推论1 知t 鲜) 是拟对称的。 定理2 ，令“e 。，口= g r a d v ( u ) ，令口= ( 口】，口2 - ，1 ) ，口= ( a l ，a 2 ，a 。，1 ) 。 如果a ，a 。b ( r ”) ，并且la o 净o ，则 1 i 。! ：f 生型：地 k 4 ( a o + a s )i a o i 其中女“= p ? 国。 0 证明：v ，r ，令爿。：= 缸r 川：( x ，r ) 爿) ，t t a , 为一的截面。显然，一，矗( 月州) 。 令， k i = x r ”：ix ，i n ，i = l ，一，”) ，k = y r ”- 1 ：l y 。l s n ，i = 1 ，一，玎一1 ) ，且 a c k l 。则a ，c k ，且 ，l n ，a ，= g 。 所以 箱13 面其2 1 页 ”( 爿+ ) = fj i ，? ( 爿十a s ) d r = ( j 石? ( ( 一+ ) ，) p ) d r ) a t 0 = p + 幽) ，) d t = j z ? ( 4 。+ a s ) d t = p ? ( 一。+ a s ) d t 00 0 = p ? ( 爿，+ 口o t ) + a t ) d t = f 6 ，( 爿；+ a o - t ) ) d t 00 = 6 ：。( 一，一口，炒 因为，ir l n ，a ，= 彩， 所以， 七“( 4 + ) =f 6 二；( 4 ，一a r ) d r ， 【一，】二【一，m ) 当j 时，”( 一十) = p 二，( _ ，一口沙 固定= x r “：0 x ，1 ，i = l ，- - ，以一1 ) ， 下面 记肌，= 笔铲喁= 笔铲。 因为卷积半群 石，；r 0 ) 所对应的“w 过程是z = ，p ) 是非奇异的，所以 所对应 的l e v y 过程也是非奇异的- 又因 群 是拟对称的。则由比例极限定理知， ( 蛐l i m 。f a 归谢刊 v r - n , n 】。 p ) 因为【一n ，】是紧的，触a l i m g s o ) = | k i ，且关于r 在【一，】上是一致收敛的，则 3 s 。 n ，当j 时，对v r 卜，】，有 g ，( ，) ， 工( ，) s ( ，) o 满足3 中3 2 的基本假设，a b ( r “) ，a o b ( r ”) 并且ia 。障0 。 令e 。为 a ，) 的尬r f 加边界。“艮。口= g r a d 妒, ( u ) ，则 嫩端：甓。 mr l4 d c li d 一、“ ， 、 证明：七一+ 珊) = j | j ( 出+ a s ) = f p ，( 出+ a s ) a t aa0 = 弘m 4 p 砷鲳( c & + a s ) d r a0 七( 爿+ 衄) 。e - ( u , x ) r e ”“( 出+ 妙 “4 + p 十一l ( ”) “( 出十珊) d r 下面证明对v 厂，g b ：( r ”) = 厂o ：f b ( r “) ，有界) ，且- ) d x 0 。 p ( x ) f “( d r + o x ) d t 少( 工) ( 出) 嫩乞五i = = = 2 赢m ， 批( z 灯扩一k ( 出+ 船渺j 烈砷( 出) ” 第1 5 页共2 1 页 若证明划m 定b ( 1 b ( r “) ，且l 爿o n b ol 0 ，使得对v f b ：( r “) 有 厂f x lj ，e “( 出+ 鲫瑚j ，( z ) ( 出) j ! ! 。一 i a o n b o l 成立，则对v ，g b ：( 尺”) ，且弘( x ) 出0 ，使得( i ) 式成立显然。 岛 下面固定b 。b ( r ”) ，且1 4 。n b o 陋0 。 1 ，v b b ( r “、 l s ( x ) f e p j 卢，( d r + a s ) d r jr e x ，( a x + a s ) a t !l一：2n3女二一 飞( x ) p 砷“( d x + c n ) d tfp 砷i d , ( d x + a s ) d r o n 巩0 rf “( d x + a s ) d trp 剐鸬( d x + a s ) d r = _ 趔l = 丁趔l j “( d x + a s ) d t p 叫1 h ( d x + a s ) d t 0n岛0n岛 ：! ：! 丝尘墨箜! k ”( a or h b o + ) 所以，由3 中3 2 的定理2 知 l i m 坐坐兰竺竺! 型：坐竺 丛一= j 二型j 二l = j i 。o ( 工) 孓扣一) “( 出+ ) 出似。n 风fp 岛。) ( 出) 2 ，对可= 钆( z ) b ( r ”) ，且骂n q = ，1 i ，_ ，晰，钆0 , 1 k m ，( z ) f h ( d x + c n ) d t厂( x ) ( 出) l i m _ _ 一= 一显然。 s l y , , p 胀删出肛功“” o 。 3 ，对夥1 b ：( r ”) ，则存在一列简单函数o a 个f ，并且是一致收敛。由2 知 第1 6 页共2 1 页 一 出磊 p。 一p“ m 伸 由定理2 知 沁蚺p 4 p 。( d x + a s ) d r k “( a + a s ) lail l m 一= = 二二一 k 。( a o n b o + a s ) i a o n b o f 所以3 s o 0 ，使得当s s o ， i 盟盟医且+ 1 k “( a o n b o + ) a o n b o i 1 i e m ：l 笪! + 1 口 l 爿on 占oi 对v 0 ，则3 n ， 0 ，使得n n 1 ，r “ f 工( x ) 一厂( x ) i o ，使得n 2 ， 弘( x ) ( 出)，( x ) ( 出) 强o x d x ) 一 一i 占 强( 力( 凼) 卜。 则当r t n = m a x n i ，2 ，j 时 j ：t ( x ) ( 出) = d p 岛( x ) ( 出) 岛 p ( 圳? e 1 h ( d x + a s ) a t肛( 圳? e 帆，“( d x + a s ) d t 以 ) 池)p o ) ( 出) l i 一一生i 一j + l 一一 一) p k ( 出删破p 趣) p 以矗侧出”肛习 ) 也 o0 鼍等( d x + o 蓝) d t 云i 器m “( x ) p 。“ 埘m 。懈 仉( x ) re 0 ，使得当j s 兀( x ) f e ”“( 出+ 础瑚帆( 工) ( 出) 生- 一 一l 占 x ) p _ ( 出+ a s ) a t 一“印 所以当s m a x s ，s o ) m ) r “( d x + a s ) d t少( x ) ( 出)少( x ) r “( 出+ a s ) a t p ( x ) ( 一) “( 出+ ) 讲k 。) ( 出) ”p