（基础数学专业论文）几个全纯函数空间上的加权cesàro算子.pdf

几个全纯函数空间上的加权c e s a r o 算子 摘要 本论文研究了几个全纯函数空间上的加权c e s a r o 算子，由四章组成 在第一章，我们对加权c e s a r o 算子的有界性和紧性问题的历史背景与 现状进行了综述 在第二章，我们研究了多圆柱上的b l o c h 型空间之间的加权c e s a r o 算 子的有界性和紧性问题，得到了当0 p o o 时在不同p - b l o c h 空间，小 p - b l o c h 空间和小p - b l o c h 空间伽o ) 之间五为有界算子和紧算子的充要 条件 在第三章，我们研究了伊中单位球上空间以列函、艮，o 到以。的加 权c e s a r o 算子的有界性和紧性阿题，给出了这些空间上加权c e s a r o 算子 有界和紧的充要条件 在第四章，我们研究了伊中单位球上d 讹c m 矗型空问玩到p ，b l o c h 空 间风的加权c e s a r o 算子乃的有界性和紧性问题，给出了乃为d p 到以有 界算子或紧算子的充要条件 关键词：c e s a r o 算子；p b l o c h 空间；d i r i c h l e t 型空间；有界性；紧性 i i 高校教师在职硬士学位论文 a b s t r c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo fw e i g h t e dc e s & r oo p e r a t o r so nh o l o m o r p h i c f u n c t i o ns p a c e so n 伊i tc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n ts t a t ea r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e d f o rt h es t u d yo fb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fw e i g h t e dc e s i l r oo p e r a t o r s i nc h a p t e r2 ，t h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h ee x t e n d e dc e s a r oo p e r a - t o r st gb e t w e e nd i f f e r e n tb l o c h - t y p es p a c e s 、l i t t l eb l o c h - t y p es p a c e sa n d b l o c h - t y p e s p a c e sa r ed i s m s s e do l lt h ep o l y d i s c t h r e ei l e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e b o u n d e d i l e s sa n dc o m p a c t n e s sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t w on e c e 艇l a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ee x t e n d e d c e s a r oo p e r a t o r st ob eb o u n d e da n dc o m p a c tf r o mb 4s p a c et o 乱s p a c ea n df r o m8 岫 s p a c et o 口i os p a c eo nt h eu n i tb a l lo f 伊 i nc h a p t e r4 ，t w on e c 档s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ee x t e n d e d c e s a r oo p e r a t o r st gt ob eb o u n d e do rc o m p a c tf r o md i r i c h l e tt y p es p a c e sbt o p r b l o c hs p a c e s 以o i lt h eu n i tb a l lo f 伊 k e yw o r d s - e x t e n d e dc e s a r oo p e r a t o r ；肛b l o c hs p a c e ；d i r i c h l e tt y p es p a c e ； b o u n d e d n e s sc o m p a c t n e s s 几个全纯函数空间上的加权c e s d r o 算子 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律结果由本人承担。 学位论文作者签名：赵幸色牌彤年1 2 月p 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名：赵革彦辉日期： 66 年，j 月罗日 导师签名i 长警鼙日期：h 年a 月日 第一章绪论 在复平面上，c e s h r o 算子和加权c e s h r o 算子的研究已有很长的历史， 并且获得了大量的研究成果，其中文献 1 j 一【5 】等讨论了c e s a r o 算子在h a r d y 空间、b e r g m a n 空间和b l o c h 空间等典型全纯函数空间上的有界性和紧性； 文献 6 】、【7 】分别在h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上讨论了加权c e s a r o 算子 的有界性和紧性；文献 8 】 1 0 l 在单位球中讨论了混合模空间和b l o c h 空间 以及d i r i c h l e t 型空间上加权c e s h r o 算子的有界性和紧性 对于多圆柱上的b l o c h 空间，文献【1 1 】- 【l3 】讨论了复合算子的有界性和 紧性，文献 14 】讨论了加权复合算子的有界性和紧性而对于多圆柱上b l o c h 空间之间加权c e s a r o 算子的有界性和紧性同题还没有讨论本文第二章讨 论了多圆柱上b l o c h 空间之间加权c e s a r o 算子的有界性和紧性问题，得到 了当0 p o 。时在不同p b l o c h 空间，小p - b l o c h 空间和小p - b l o c h 空间 之间乃为有界算子和紧算子的充要条件主要结论为： 定理2 3 1设0 p 、g o 。，g 目( 扩) ，则乃是伊( 泸) 到伊( 驴) 的有界算子之充要条件是g 伊( 沙) ， ( i ) 当0 p 1 时，9 伊( 矿) ； 仰) g p = l 时，器萎( 1 一2 卜善l o g f 备。i 老( 硎 1 时，器苫( 1 - 2 卜善南i 老( 列 弛( 2 3 2 ) 定理2 3 2设0 p ，口 0 0 ，g h ( v ”) ，则乃是席( 扩) 到儡( 沙) 的有界算子之充要条件是ge 席渺n ) ， ( ) 当p - 1 时 ；s u p 砉( 1 - 2 卜善l o g 二备。l 老( 圳 1 时 z舳eup。fk=lzeu k1 ( 1 一2 卜善南i 宴o z k ( 圳 o o 。1 芒? t l i 魂l 尸 2 高校教师在职硕士学位论文 定理2 4 1设0 i 时， ：蠕。( 1 吨j 2 ) ”南i 老1 0 (2412)k= li = i 、一o 一“ 文献f 2 1 】讨论了单位球上z b l o c h 空间之间的加权复合算子的有界性 和紧性本文第三章的主要工作就是在伊中的单位球上来给出乃为以到 岛、以，。到融。的有界算子和紧算子的充要条件主要结论为： 定理3 3 1 设地v 为 0 , 1 ) 上的正规函数，9e h ( b ) ，则 ( i ) 毛为以到尻的有界算子的充要条件是 酬z e b 枷俐i ( + 志) = m m b 。m ( i i ) 马为艮。到氏。的有界算子的充要条件是( 1 ) 当阻( t ) 】_ 1d t m 时，g 以o ；( 2 ) 当 i u c t ) 1 1d t = o o 时，s u p p ( i z l ) l r g ( z ) i 阻( t ) 】- 1d t o o ，1，l ：l 几个全纯函数空间上的加权c e s & r o 算子 推论3 3 2 对n = 1 ，设芦，为【o ，1 ) 上的正规函数，g 日( d ) ，则 ( i ) 乃是到几的有界算子的充要条件是 ， s u pv ( 1 2 1 ) l g ( z ) l ( 1 + ，阻( ) 】- 1 出) o 。 z g d t o ( i ) 乃为丘，o 到以。的有界算子的充要条件是( 1 ) 当，- ( u ( t ) j 一1d t m 一 r 例 时，ge 融。；( 2 ) 当o ( t ) 】- 1 at=o。时，s；。u。p”(h)f9，(z)lm(t)】dt000 0 ；dj 定理3 4 1 设“为f o 1 ) 上的正规函数，g 日( b ) ，则 ( 1 ) 当阻( t ) r l d t 0 0 时，乃是以到风的紧算子的充要条件是g 尾 ，l ( i i ) 当缸( t ) 】d t = * 时，乃是& 到函的紧算子的充要条件是 ，捌 l i m 。唰) i 励( 。) lj c 】d t = 0 ( 3 4 1 ) ( i i i ) 乃是艮。到。的紧算子的充要条件是( 3 4 1 ) 式成立 推论3 4 2 对t l = 1 ，设舫v 为【o ，1 ) 上的正规函数，9 日( d ) ，则 ( ) 当阻( t ) 】- 1 d t o 。时，乃是以到函的紧算子的充要条件是9 岛 j 0 ，j o i ) 当( t ) l d t = o o 时，弓是& 到函的紧算子的充要条件是 j 0 l 鸦”( ) i 矿( 。) l 上阻( 2 ) r 1 疵= o ，h ( i i i ) 乃是瓯p 到卢叫的紧算子的充要条件是 l m 1 ”( 川) ( 。) l 上f z l 【上( 。) 】- 1 d t = o 文献f l o 】讨论了单位球中b l o c h 型空间伊之间及d i r i c h l e t 型空间d q 之 间的加权c e s a r o 算子的有界性和紧性问题本文第四章的主要工作就是在 伊中的单位球上来给出弓为d i r i c h l e t 型空间d 。到以空间的有界算= f - 相a 紧算子的充要条件主要结果为： 3 高校教师在职硬士学位论文 定理4 3 1 设一o 。 p - t - c v ，p 为 0 ，1 ) 上的正规函数，g h ( b ) ， 则弓为d p 到以之有界算子的充要条件是 ( i ) 当p n 时，8 u p p ( i 勋( z ) l ( 1 汗) 竽 n 时，g 以； ( i i i ) 当p = 竹时，s ：u ；8 p p ( i z i ) l n g c ：) j t 0 9 f 并 o o2 口一【o | - ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) 推论4 3 。2 若p 钆j i0 q t n - p ，则乃为d p 到伊的有界算子的 充要条件是g 为常值函数 定理4 4 1 设一o o p + o o ，p 为【o ，1 ) 上的正规函数，g h ( b ) ， 则毛为岛到以之紧算子的充要条件是 ( i ) 当p n 时，g 以o ； ( i i i ) 当p 2 n 时，f i 譬弘( 1 z i ) l n g ( ：) l o g i j 两 5 = 0 ( 4 - 4 2 ) 推论4 4 2 若p 竹且0 g _ n - - p ，则乃为d p 到伊的紧算子的充 要条件是g 为常值函数 第二章多圆柱上不同b l o c h 型空间 之间的加权c e s a r o 算子 2 1 问题的引进和定义 设d 为复平面上的单位圆盘，在单复变中定义了如下c e s a r o 算子； g i ，】( z ) = 了击a t ) z j ， ，( z ) = 吩日( d ) j = o i = 0j - - o 即c 【月( z ) = a o + ( n o + a 1 ) z + + 南( 口o + a l + + 口，i ) 扩+ 文献【1 1 - i s 等讨论了e 【】在h a r d y 空间，b e r g m a n 空间和b l o c h 空间等 典型全纯函数空间上的有界性和紧性问题 我们知道 0 0 9 古) 7 = ( 一l o g ( ，一t ) ) = 占= 薹只f ( t ) o o g 击) ，= ，( t ) 薹t ，i 所以c 【，】( z ) = ；z 。，( t ) ( f o g 圭) ，d t ，因此在多数全纯函数空间上讨论 c 】的有界性和紧性问题等价于讨论积分算子 ，一知t ) ( 1 0 9 击 的有界性和紧性，所以上述算子很自然的可以推广到下面情形：对g h ( d ) ， 定义 乃( z ) = f ( t ) g ( t ) d t ， 称此算子为加权c e s a r o 算子文献【6 、【7 分别在h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上讨论了该算子的有界性和紧性我们自然想知道，在多复变中的一 些函数空间上加权c e s h r o 算子的相应结论是什么? 其中文献i s 、f 9 】、【l o 在单位球中讨论了混合模空间和b l o c h 型空间以及d i r i c h l e t 型空间上加权 c e s a r o 算子的有界性和紧性问题 高校教师在职硬士学位论文 设u n = 。= ( 钆，) ：引 1 为c ”中的单位多圆柱，o u n 表示泸 的拓扑边界，o * u ”= z = ( z l ，) ：= 1 ，i = l ，2 ，n ) 表示u n 的特 征边界，日( 沙) 表示驴上全纯函数全体 对于0 p o o ，记 伊( 矿h ，叫( 吼s u 曼占( 1 _ 啪9i 甏l i 时，瑶( 扩) 是舔( 扩) 的真闭子空 间 对于多圆柱上的b l o c h 空间，文献【1 l 】一【13 】讨论了复合算子的有界性和 紧性问题，文献f 1 4 刻划了加权复合算子的有界性和紧性，文献 1 5 刻划 了多圆柱上广义b l o c h 空间的点乘子问题 记仇= 州a 强，定义酽上加权c e s & r o 算子如下： 驯护砉z “托，。) 蹦囊淞( 厂甜( 例， 显然瓦是线性算子 几个全纯函数空间上的加权c e $ a r o 算子 本章的主要工作就是对多圆柱上的b l o c h 型空间之间的加权c e s h r o 算 子的有界性和紧性问题进行全面的讨论，给出当0 p o o 时在不同p - b l o c h 空间，小p - b l o c h 空间和小p - b l o c h 空间空间之间弓为有界算子和紧算子 的充要条件另外本章中c 表示与变量厶”都无关的正常数，不同的地方 可以代表不同的数 即 2 2 有关引理及其证明 引理2 2 1 若f 伊( 扩) ，则 1 + 南) i i f h 伊 o p 1 l + 丽1 苔 魄f 2 研俐卢p = 1 ：+ 筹，砉阳杀“，怯蹦 f ( z ) 一f ( o ) = ，( 句，) 一f ( o ，0 ) = f ，忱，) 一f ( o ，勿，) 】+ 【f ( o ，z 2 ，) 一f ( o ，0 ，z a ，磊) 】 + 4 - 【，( o ，0 ，) 一f ( 0 ，0 ，o ) 】 n = 【，( o ，一，o ，钰，磊) - f ( o ，一，o ，撕1 ，一，) 】 k = l 因此， 耋z 1 盟坐掣妣 化) = ，( o ) + 壹k = l 钆j ( 1 业_ 业型疵 化灿+ 势, 0 1 i 盟业掣i d t ，-_l_l_，、li_li 一 为 圳 。 因 “i 明证 高校教师在职硕士学位论文 i i f i 妒= | ，( o ) l + 黜萎( 1 叱1 2 ) l 甏i ， 1 ( o ) 1 - i l f l l 州铲o f ( 胚尚烯， 从而 m 胚n ，怯( + 酗0 1 凼幕) 剑，n 户( + 砉广i d u ) ( i ) 当0 p 1 ，蘼( 扩) ，则 ；奶。if(钏(k矿南)。1。0=l 、， 证明见文献【1 4 1 的引理1 3 引理2 2 3 设p 0 ，口 0 ，g 日( 扩) ，则乃是伊( 扩) 到伊( 扩) 上的紧 算子之充要条件为，若在伊( 泸) 上的任意有界序列 ，j 在u n 的任一紧子 集上一致收敛于0 ，贝l j 当j 一。o 时有i i b ( 乃) “伊一0 证明由引理2 2 1 和m o n t e l 定理按紧算子的定义可证 引理2 2 4 设0 n 时 s u pi 办( z ) i n 时 s u pi 办0 ) l s u p ( i j ( z ) 一无( ) i + 1 f j c a i ) ( n m o + l 弦 z e u n 一，：z e u n u ： 再由( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 知 1 i r as u pi 矗( z ) i = 0 ，+ o 。z e u ” 2 3 关于加权c e s 矗r o 算子的有界性 ( 2 2 3 ) ( 2 2 ，4 ) 定理2 3 1设0 p 、口 o o ，g 日( 扩) ，则乃是伊( 扩) 到伊( 泸) 的有界算子之充要条件是 “) 当0 p 1 时，g 伊( u ”) ； ( 耐) 当p 爿时，黜善( 1 。啪。 i 皂i 1 时，剃s u p 。y 西 一( 卜啪4 l 瓦o g ( 2 ) l o o ( 2 3 2 ) 证明先证冗分性 当题设条件成立时，任取，伊( 扩) ，因为t g ( f ) ( o ) = 0 ，故由引理2 2 1 知 i i y ，( f ) l l 俨= 嚣喜”啪4 i 掣i 2 黜善n ( 1 吨| 2 ) 4 i l 老l fs u ， l i 1 黜 l i s u p lz e u “ n 磊1 磊1 k = l 0 p 1 故e 是伊( 沙) 到伊( 扩) 的有界算于 反过来，假定乃是伊( 矿) 到伊( 扩) 的有界算子 ( i ) 当0 p 1 时，任给t l ，沙，令 纵力。1 + 善南， 则玺( z ) = 石( p = - 丽1 ) w k ，从而 因黜砉( - 制州器器l 1 州z 彬 即厶伊( 泸) 故由正的有界性知 善( 卜m 塞蚓纵剧郎c 驯 南 。m 南赤 ? 驴耵 国瓦幻一幻一 张 钰 1 2 高校教师在职硕士学位论文 在( 2 3 3 ) 式中令z = w 得 e ( i 1 w k l 2 r i d k g ( w ) l ( 1 一l 魄1 2 r i d 女g ( w ) l 1 + ( 1 一i ”f 1 2 ) 1 1 】c i i t ，i i ， 由w 的任意性知g 伊( 扩) ( i i ) 当p = 1 时，任给u ”，令 厶( z ) 2 善1 0 9 南， 则玺= 南，从而 善( 1 _ f 南i 善( 1 _ 南缘 所以厶卢1 若乃有界，则 善( 1 - 懈) i 差i 1 时，任取t 扩，令 眦) = 喜再杀， 则玺( z ) = 百( p = - 丽1 ) 面k 又厶( 。) = 从而 喜( 1 叱n i 玺l = 善n ( 1 也| 2 ) 9 il ( p 一- 1 ) 面k j ， 且丝纯函数空间上的加权c e s & r o 算子 善( 1 叱f 2 ) f p - 丽1 矿国- 1 ) 仇 所以丘伊 若弓有界，则 善( 卜啪l l 毫l i i t , ( f ) l l 印c i i t ，i i ( 2 3 5 ) 在( 2 3 5 ) 式中令。= 批得 萎( 1 一川妒若矸名护f 老( 训 c i 矧i 从而( 2 3 2 ) 成立 定理2 3 2 设0 p g o o ，g h c u ) ，则乃是腭( 驴) 到儡( 泸) 的有界算子之充要条件为：夕g ( u n ) ，且 当p = z 时黜耋( ，一2 卜娄蛾f 备i 老( 圳 o o ； ( “) 当p “时z 跚e u p f k = l ( 1 - 蚶1 卜萎矿毫陌l 老( 圳 o 存在多项式 ，使得o ，一刈妒南，又9 瑶( 驴) ，马( ) 瑶( 扩) ，存在多项式日，使i i t g c h ) 一日怙；，所以 i i v , ( f ) 一日8 声i i t ，( f ) 一马( ) o 伊+ i i 乃( ，1 ) 一h i l 口i i 乃l l l l f h l l 伊+ ； 毛 即刁( ，) 儡( 扩) ，故乃是g ( u - ) 到腭( 泸) 的有界算子 高校教师在职硕士学位论文 反过来，假设乃是厢( 扩) 到瑶( 扩) 的有界算子取f ( z ) = 1 瑶( 驴) ， 则乃( ，) 瑶( 扩) ，而 ( 1 一啪叫老( 圳= ( 1 也n 9 i 老( 彬( 圳 i i t g f l l 伊， k = l 。“ k = l 。k 所以夕厢( 扩) 又由于在定理2 3 1 的证明中的测试函数均属于席( 泸) ，因此( 2 3 1 ) 和( 2 , 3 2 ) 式成立 定理2 , 3 3设0 p ，q o o ，g 日( 驴) ，则正是蹄( 泸) 到藤( 扩) 的有界算子之充要条件是 ( 1 ) 当0 p 1 时，g 璐( 旷) ； 当p = t 时，黜喜( 一2 卜喜l o g 二备i 老( 圳 1 时，s u p 善( z e u 卜钆南i 尝o z k l 锄 芒? l 1 一j 忍i 。尸 证明先证充分住即证乃是舔( 扩) 到硌( 驴) 的有界算子 由定理2 3 1 知：b 是伊( 泸) 到伊( 驴) 的有界算子，于是对v f 藤( 扩) c 伊( 驴) ，有 l i 毛( ，) l l 伊sf i t g l ll l f l l 伊m i i i i 妒， 因此只需证t a ( f ) 藤( 驴) 即可由引理2 2 1 知 占( 1 - 2 老) l 三一、一1 1 一j 1 2 1 1 一2 矿1 0 p 1 o；泓m 睦随 ，塑舨j 柏 b 一 悱l ”、洲高睦 i g z 器尸秘噍啻略 恢 砰 砰 卜 一 一 。吲m。踯黼。踯m 几个全纯函数空间上的加权c e s k r o 算子 由爵( 泸) 的定义及引理2 2 2 知：马( ，) 藤( 泸) ，所以弓是藤( 泸) 到甩( 泸) 的有界算子 反过来，假设乃是缚( 沙) 到铱( 驴) 的有界算子，取f ( z ) = 1 ，则 乃( ，) 硌( 扩) 由于 萎( 1 _ 川2 川老( 圳= 萎( 1 - 2 r 老如) l l f ( 圳， k 1 “。 b 1 。 所以 。苫( 1 也j 2 ) 4 i 差i - o ， k = l 基口萝芦孓( 严) 而p 1 时，由定理2 3 1 知( 2 3 1 ) 、( 2 3 2 ) 式成立 2 4 关于加权c e s h - o 算子的紧性 定理2 4 1设0 p ，q 1 时 ；蛹。善( 1 _ 例2 卜若南l 赛( 列划( 2 4 2 ) 证明当o p 0 ，当d i s t ( z ，a u “1 6 时 言c z 埘川掣孛。g 南 e 偿们， ( 1 ) 如果d i s t ( z ，a 沙) 5 ，则由( 2 4 3 ) 式和引理2 2 1 有 砉( 一川2 川掣( 圳= 喜( 一2 川办( z ) 塞( 圳 c e 。i ，( i 制p e 。至l o g 南) l 跏ii l h l l i 声 ( 2 4 4 ) c l 强睁 南) l 罴( 列 声 1 ，由( 2 4 2 ) 式成立，则对任葸e 0 ，存在6 0 ，当d i s t ( z ，a 泸) 6 时 耋”啪4 i 掣噻两杀n ( 2 a 6 ) ( 1 ) 如果d i s t ( z ，o u ) 6 ，则由( 2 4 6 ) 和引理2 2 1 有 喜( 1 一川2 ) q i 掣( 圳= 苫n ( 1 一2 川办( z ) 皂( 圳 c 善( 1 - 蚶h 善矿名酽) i 鲁( 圳i 伊 既 ( 2 4 7 ) ( 2 ) 如果d i s t ( z ，a 泸) 6 ，则通过g 伊( 驴) 有 砉( 1 - 啪9i 骂黝胁怯删s u p 啦；i ( 2 4 8 ) 通过( 2 4 7 ) 一( 2 4 8 ) 以及 厶) 在d 泸：d i s t ( z ，o u ”) 以上一致收敛于0 有 i i t ，t j l l m2 磐善( 1 也| 2 ) 4 老l 墨( 1 - 啪4i j ( d j t ( z z ) 毫f ，a 泸) 6 ：； o 张 + 嘶s u 州p 蓟薹( 卜啪。赛i 0 及扩中的点列 ，满足一a 泸u o o ) 使得 砉( 卜1 2 i | 2 卜( 壹1 = 1l o g 二川蹇( 别知k = 1 l l “ 高校教师在职硕士学位论文 由于z j a 驴，则分量中全少有一个兵) | 奚迢于1 ，则必有 熙 细南 - 1 。0 令 n” 肫h 若1 0 s 南；魄再2 ) 2 则 蔷c 。，= c 喜0 9 f 旆广2 蔷n f 禹， 所以 。 尹n l 0 9 2 + 船善( 1 一吲2 ) i 誓( 圳“ 即 办) 在p 1 ( 扩) 上一致有界 下证 丘) 在驴上内闭一致收敛于0 设e 为驴上任一紧集，则存在 0 r l 时，设 为任一满足一8 沙0 一o 。) 的序歹 j ，若对某个 j 1 ，2 ，n ， j 习j 有子列趋于1 ，不妨设i 彳l 一10 一o o ) 令 肫) = 黑， 则 斛+ i 器1 制尸铲i + 4 p ) ，k i 1l 1 一i 司l j 叫 几个全纯函数空间上的加权c e s a r o 算子 即协) 在伊( 扩) 上一致有界 设e 为扩上任一紧集，则存在0 r 1 ，使得e z ：矧r ，i = 1 ，n 则 一l i r as 触u p i t j ( 。炉一l i ms u 。p 篇熙鬻乩 所以 ，j 在驴中内闭一致收敛于0 故由引理2 2 3 知 善n ( 卜啪钆南i 老( 硼b = l 、 l “l l ，一5 = 萎( 1 一j 栅( ) 老( 别i i r j j l l a , - - - , o o 一毗( 2 4 9 ) 若对上述1 ，存在0 1 时 ；船。( 1 叱n 。南f 老(2414)k=l k= l 、一1 。 一“5 证明先证充分性 由已知条件及定理2 4 1 知：乃是伊( 驴) 到伊( 驴) 的紧算子，设 a 为缳( 沙) 中任一有界序列，且在扩的任一紧集上一致收敛于0 ，只要证 弓( 厶) 露即可，这由定理2 3 3 可得 必要性的证明同定理2 4 1 由定理2 ，4 1 和2 ，4 3 有： 推论2 4 4 设g h ( u “) ，0 p ，q 0 如果存在常数n ，b ( 0 口 6 ) ， 使得： ( i ) 看兰杀在【0 ，1 ) 上递减且粤存兰；= o ， ( 若竺每在【o ，1 ) 上递增且导i 竺每= o o ， 则称卢是【o ，1 ) 上的一个正规函数作为一个加权，正规函数卢通常被用来 定义混合模空间( 见文献 8 】) 设p 是一个正规函数，b 上的全纯函数，如果满足 1 1 1 1 “1 = s u p l , ( 1 2 1 ) l v ( 2 ) i 0 0 ， z e b 则称，属于肛b l o c h 空间凡；如果，满足 1 妞, “( i z l ) l v f ( z ) f - 0 ， 则称，属于小p b l 础空间跏，这里v ，( 力= ( 笔导，笃导) 为，的复梯 度在范数l i i i 乩= i ，( o ) i + i i i i 。t 下艮是一个b a n a c h 空间，且氏。是丘的 一个闭子空间当p ( r ) = i r 2 和p ( r ) = ( 1 一r 2 ) 1 - 。( 0 口 0 使得 s u p l 【i ( i z l ) l r f ( z ) l 8 u p p ( i z i ) l v ，( 2 ) i c s u p p ( 1 zj ) l r f ( z ) o b：口z 口 2 1 高校教师在职硕士学位论文 对一切，以成立f h ( b ) 时， ，风，0 备1 觋p ( i z l ) l a f ( z ) l = 0 i 在单复变中定义了如下c e 曲r o 算子： ，j c i y l ( z ) = ( 击n t ) ，化) = 日( b ) ， j = o 。k = oj - - o 即c 【，1 ( 名) = 知+ i ( 知+ a 1 ) z + + 石 1 ( n 04 - 口1 + 一+ n ，i ) 矿+ 文献【1 - 【5 】、【2 0 讨论了研】在h a r d y 空间、b e r g m a n 空间、b l o c h 空 间等典型全纯函数空间上的有界性和紧性问题此外，文献【6 ，7 】又分别在 h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上讨论了加权c e s a r o 算子t g ( f ) ( z ) = 后f ( t ) 9 ( t ) d t 的有界性和紧性 对多复变的情形，给定g h ( b ) ，定义加权c e s h r o 算子为 ，1 1 乃( ，) ( z ) = f ( t z ) r g ( t z ) d t ，日( 研，z b ， j 0 - 文献【8 1 ，【1 7 在单位球中讨论了b l o c h 型空间和混合模空间上加权c e s h r o 算子的有界性和紧性问题文献【2 1 】讨论了单位球中以到风的加权复合 算子的有界性和紧性条件本章的主要工作就是在伊中的单位球上来给 出乃为以到函，艮。到f 1 , o 的有界算子和紧算子的充要条件 3 2 有关引理及其证明 引理3 2 1 l 设p 为【0 , 1 ) 上的正规函数， c 玲若，玩，则f ，c 力f ( z + 0 鬲1 斑1 1 ，“艮p 研 ( 动若，氏。且z 1 阻( 纠。d t = ，则1 2 马z , j 【“l c 。o 纠l 一，出= 。 引理3 2 2 设p 为f 0 ，1 ) 上的正规函数，p ) = 2 - 0 = 1 ，2 ，) ，是 ( 1 一n ) 一1 的整数部分，记_ i l ( ) ：1 + 萎2 ，p 偿d ) ，则 几个全纯函数空间上的加握c e s h r o 笼 ( t ) _ l ( r ) 关于r 在【o ，1 ) 上严格递增且 ，蒜) 川2 。1 嚣眯m 删s 0 2 + 懈) 划2 r 1 时，f f h d t 白f m m 证明( 1 ) 见文献【2 1 】的引理2 3 ( 1 ) 由正规函数定义和h ( o ) = 1 知 出= 2 ) 等如铆1 印1 + f 嘶，出 抛+ q f 志如办2 ( 扣如1 西出 ；h c 争+ 鲁f ，如。 c f 缸+ 警f 如 协( 警 f 酢) d t = c s f 砸m 引理3 2 3 设p ，l ，为( o ，1 ) 上的正规函数，9 日( b ) ，则马为艮到风的 紧算子的充要条件是：对艮上任一有界序列u ，如果它在b 的任一紧子 集上一致收敛于0 ，就有 0 马( j ) l l 昂一0u 一( 3 0 ) 证明由引理3 2 1 和m o n t e l 定理按定义可证 引理3 2 4 1 2 1 设p 为【0 ，1 ) 上的正规函数，【p ( t ) 1 - 1 d t o o ，如果序列 j 0 y a 在成上有界且在b 的任一紧子集上一致趋于o ，则熙s 。u 。日p l y e ( z ) l - - - 0 3 3 关于加权c e s b x o 算子的有界性 定理3 3 1 设“l ，为【0 ，1 ) 上的正规函数，g 日) ，则 高校教师在职硬士学位论文 ( i ) ，；为凡到席的有界算子的充要条件是 s z 哕e b 川酬( + 悉) = 肘 o o 。舢 ( i ) 乃为艮，o 到瞳。的有界算子的充要条件是( 1 ) 当m ( t ) 】一1d t ，0 ，i z 时，ge 以“( 2 ) 当似t ) 】_ 1 dr=oo时，s；u。bp圳zi)lrg(列z阻(纠。dt0 1 2 时，令 胁) = z “”如 此处 ( t ) 即为引理3 2 2 中的那个函数，则 ( j 名 ) i 耽( z ) i p ( i z f ) i ( ) f ( f ) ( ) i c 2 ， 故l | 丘1 l 嘞由乃的有界性知 c c 2 i f 露82i i t d f f 阮f f 舢2f 忍( 丘) 融一( f 4 ) f r t g ( 丘) j p ) i = v ( f ) f 励和) i ，_ 。h ( t ) d t ，j r 几个全纯函数空间上的加权c e s h r o 算子 再由引理3 2 2 知 删吵) | ( 1 + 0 川而1 出) 洲黼，f ( 1 + 搿础，以) 纠川龇) l ( + 搿 i l g l l 几十譬i ， 上式结合( 3 3 2 ) 式表明( 3 3 1 ) 式成立 ( i i ) ( 1 ) 当沁( t ) 1 _ 1d t o 。时，假设g 矗o ，则对任意，屈岬，由 引理3 2 1 有 t ( i z l ) l r 阢( 朋( 。) f _ v ( 1 ：1 ) l 励( z ) il ，( z ) l 纠k i ) l r g ( 圳( 1 + j ( 1 高) 一。( i z ) ， 这表明乃为以，o 到以。的有界算子 ( 2 ) 当( t ) 】- 1d t = o o 时，假设 s u p l ，( i z l ) l r g ( z ) l 阻( t ) 】- 1d t = n o o 则对任意的，几o ，由引理3 2 1 知 p ( 川) i r 阢( ，) 】( z ) i = v ( i z i ) l f ( z ) l l 励( z ) i = p c f 。i ，i j 劲c z ，iz“沁ct，一1dl丽if(z)l而nif(z)l+。cizil， 这表明乃为艮o 到届哪的有界算子 反过来，如果为为班，0 到届印的有界算子，则取f ( z ) = 1 ，得 马( ，) ( z ) ：f 1 掣a r t = g ( 。) 一g ( o ) 肠，即9 胁其余证明同( ) 可 得( 3 3 1 ) 式成立，从而有 s u pv ( 1 2 1 ) l 助( 别阻( t ) 】1d t o 。 高校教师在职硕士学位论文 当 p ( f ) l d t = o o 时，上式隐含9 以o 推论3 3 2 对 = 1 ，设“p 为 0 ，1 ) 上的正规函数，9 日( d ) ，则 ( i ) b 是以到以的有界算子的充要条件是 s u pv ( h ) i ，( z ) i ( 1 + p ( t ) r