（基础数学专业论文）几类微分方程奇异边值问题正解的存在性.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 张眷务导师签字潞慧芹 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权刳囊一可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 狨痞努 签字日期：2 0 0 移年争月夕日 导师签字：潞慧彳 签字日期：2 0 0 召年月o 日 山东师范大学硕士学位论文 几类微分方程奇异边值问题正解的存在性 张春芬 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 奇异边值问题一直是数学工作者和其他科学工作者关心的重要问题之一，它起 源于核物理，气体动力学，流体力学，边界层理论以及非线性光学等随着对该问 题研究的深入，上下解方法、近似逼近方法、锥理论和拓扑度理论等研究方法也逐 渐被用来论证奇异边值问题正解的存在性本文主要利用不动点指数理论，锥理论 及线性算子的第一特征值理论，更加深入的研究了奇异边值问题 第一章研究了二阶奇异两点边值问题 j u “+ a 仳= 坤，u ) ， 2 ( 0 ，1 ) ； ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) iu ( o ) = u ( 1 ) = o 正解的存在性其中厂( ，乱) 非负连续，且在= o ：t = 1 及札= o 处可能奇异通过 构造一个特殊的锥，采用近似逼近的方法，利用锥上的不动点指数理论，得到了至 少两个正解 第二章考虑了带有超前项的二阶三点边值问题 2 u “( 。) + 入口( ) ，( ，u ( h ( ) ) ) = o ，( o ，1 ) ； ( 2 1 1 ) iq u ( o ) 一卢u 7 ( o ) = o ，札( 1 ) 一七t ( 叼) = o 正解及其多解的存在性其中7 7 ( o ，1 ) ，a o ，矽o ，o 矗 踹( ；) ：n ( ) 允许在 t = o ，= 1 处奇异首先利用不动点指数的相关性质获得一个正解，然后利用锥拉 伸与锥压缩不动点定理，得到了当参数a 充分小时，至少有两个正解的结果 第三章研究了s t u m l i o u v i l l e 四点边值问题 ( 。) + 九( ) 似( 。) ) = o ， 。( o ，1 ) ； ( 3 1 1 ) ia 仳( o ) 一卢7 ( o ) = 肛1 t 正( 专) ，y 钍( 1 ) + 6 ( 1 ) = p 2 t 上( 叩) 正解的存在性其中q ，p ，7 ，j o ，o p 1 ，p 2 1 ，o 叩 1 ， ( ) 允许在= o ，t = 1 处奇异本章主要利用线性算子的第一特征值理论及不动点指数理论得到边值问题 ( 3 1 1 ) 的正解 1 山东师范大学硕士学位论文 第四章研究了一类四阶奇异边值问题 z 4 ( 2 ) = ，( 。，z ( ) ，( t z ) ( ) ，( s z ) ( ) ) ， ( o ，1 ) ； ( 4 1 1 ) iz ( o ) = z ( 1 ) = z ( o ) = z ( 1 ) = 疗 两个正解的存在性其中j = o ，1 j ，厂c ( 0 1 ) p p p ，尸】，( ，z ，可，z ) 可能在 = o ，= 1 处奇异，尸为实b a n a c h 空间e 中的锥本章利用严格集压缩算子的不 动点指数理论，得到了b r 。n c 九空间中的两个正解 关键词：奇异边值问题；不动点指数；正解；锥；第特征值；严格 集压缩算子 分类号： 0 1 7 5 8 2 山东师范大学硕士学位论文 e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb o u n d a r y v a l l u ep r o b l e m so fs e v e r a lk i n d so fd i 仃e r e t i 址e q u a t i o n s z h a n g c h u n f i e n i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i i l a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c 1 1 i n a a b s t r a c t i ti sw e ul 【i l o w nt h a ts i n g u l a u rb o u i l d 孤了v m u ep r o b l e mh a sb e e no n eo ft h em o s t i l l l p o r t 龇l tp r o b l e m st h a ta t t r a c tt h ea t t e n t i o no fm a t h e m a t i c i a 璐a n do t h e rt e c h n i c i a n s i ta r i s e si nt h ef i e l d so fn u c l e 甜p h y s i c s ，g a sd y n a m i c s ，n e w t o l l i 龇ln u i dm e c h a n i c s ，t h e t h e o r yo fb o u n d a r yl 玛，e r ，n o n h n e a ro p t i c sa n d s oo n a l o n gw i t ht h ep r o b l e ms t u d y t h o r o u g h l y t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs 0 1 u t i o n s ，t 叩0 1 0 西c 出d e g r e ea n dc o n et h e o r y o rm e t h o do fa p p r o x i m a t i o nw e r eg r a d u a l l yu s e dt od e m o n s t r a t et h ee ) 【i s t e n c er e s u l t s o fp o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rb o u n d a r yv m u ep r o b l e m t h i sp a p e rm a i n l ya t t e m p st o n l a i 【eu s eo f 矗x e dp o i n ti n d e x ，c o n ec o m p r e s s i o na n de x p a n s i o nf e dp o i n tt h e o r e ma n d t h ef i r s te i g e m ，a l u eo ft h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o rt od i s c u s ss u c hp r o b l e m sm o r eg e n e r a 】l y o nt h eb a s i so fa b o v er e f 色r e n c e s c h a p t e r1i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf b rs e c o n do r d e rt w op o 疵 s i n g u l a u rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t l ”+ 入“= ，( ，u ) ， 让( o ) = u ( 1 ) = o 芒( o ，1 ) ； ( 1 1 1 ) w h e r e 厂( 芒， ) i sr e q u i r e dt ob en o n n e g e t i v ea n dc o n t i n u o u s ，a n d 厂( 亡，“) m a yb es i n g u l 盯 a 土芒= 0 ，芒= 1m o s t a n dz = 0 b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o n e ，u s i n gt h e 丘) ( e dp o i n t i n d e xt h e o 珂o nc o n ea n dm e t h o do f 印p r o 妞m a t i o n ，w eg e tt h ee ) ( i s t e n c eo fa tl e a s tt w o p o s i t i v es o l u t i 0 1 1 s c h 印t e r2c o n s i d e r sp o s i t i v es o l u t i o n so ft h et k e e - p o i n tb o u n d 盯yv a l u ep r o b l e m f b rs e c o n do r d e rd i 丑e r e n t i a le q u a t i o 璐w i t ha na d v l i l c e da r g m e n t ”( ) + a 。( t ) ，( t 仳( h ( t ) ) ) = o ， t ( o ，1 ) ( 2 1 1 ) ia u ( o ) 一卢u 7 ( o ) = o ，t 正( 1 ) 一七钆( 叩) = o w h e r e 叩( o ，1 ) ，n o ，p o ，o 七 考麦岛( ；) ，。( ) m a yb es i n g u l a ra tt = o ，= 1 f i r s t l y b yu s i n gt h ef 没e dp o i n ti n d e xm e t h o d ，w ee s t a b l i s ht h ee 五s t e n c e0 fa tl e a s to n e 3 山东师范大学硕士学位论文 p o s i t i v e 烈u t i o nt ob v p ( 2 1 1 ) s e c o n d l y ，b yu s i i l gc o n ec o m p r e s s i o na n de x p a n s i o n 叙e d p o i n tt h e o r e mt og e tt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt w dp o s i t i v es o l u t i o n st ob v p ( 2 1 1 ) w h e n t h ep 盯a m e t e rai ss m a l l le n o u g h c h 印t e r3i 1 1 v e s t i g a t sp o s i t i v es o l u t i o i l so fg e n e r a l i z e ds t l l r m l i o u v i u ef b l l r - p o i n t b o u n d a i yv a l u ep r o b l e m s it 正”( ) + ( t ) ，( u ( ) ) = o ， t ( o ，1 ) ； ia t 正( o ) 一p 7 ( o ) = p l t 正( 亭) ，y u ( 1 ) + 6 钆7 ( 1 ) = p 2 仳( 7 7 ) ( 3 1 1 ) w h e r ea ，卢，7 ，6 o ，o 肛1 ，p 2 1 ，o 叼 o ， 若a = o ， 山东师范大学硕士学位论文 ，扣 o ，v ，s ( o ，1 ) ( 2 )g ( t ，s ) sg ( s ，s ) ，v t ，s 【o ，1 ( 3 )g ( t ，s ) 口l ( t ) g ( 7 ，s ) ， v t ，s 【0 ，1 ，其中 re ，t e u te v t i e 声矿，一 亿1 一t ， o ； a = 0 ： 一霉 a o ；口。2 挺谚墼纠9 1 ( 。) ，a = o ；盯一2 挺谬翌卅9 1 ( ) ， 一等s 入 o ；盯= 。舟卅 印，仃+ ，口一) ( 此处的p 如下文假设条件日3 中所述) ( 4 ) g ( ，s ) 之口g ( s ，s ) ， f 拶，l 一9 ，s f o ，l 】 ( 证明略) 为了方便，先给出以下假设条件； ( 日1 ) ，c ( o ，1 ) ( o ，+ 。) ，r + ，a 之一譬，且存在函数 c 【( o ，1 ) ，r + 】夕 c ( o ，+ 。) ，r + ，使得对于v t ( o ，1 ) ，乱( o ，+ 。) ，有，( t ，札) 九( t ) 9 ( 乱) ，并且满足 兰z 1g ( s ，s ) ( s ) d s l 1 毪蟋挺簿卅丛岩 l 1 且满足l l 口_ 2 ( 詹卅g ( s ，s ) 如) ( 风) 7j p ( 。，轨使得1 罂擎。谬翌刎丛= + 。，碧翌蹬挺谬翌酬丛= + o 。 弘c 2 ( o ，1 ) nc 【0 ，1 】是边值问题( 1 1 1 ) 的解当且仅当u 是下列积分方程的解 u = 石1 印，s ) m ，u ( s ) ) d 5 ( 1 - 2 2 ) 本文所说的正解是指u c 2 ( o ，1 ) n c 【o ，1 满足( 1 1 1 ) 式，且让( t ) o ，( o ，1 ) 7 筹 一 n n n m m m ，(1lii【 = 、l ， ，i lg 山东师范大学硕士学位论文 为了克服非线性项，( ，u ) 在u = o 处的奇异性，采用下列逼近 令a 。：p p ，1 ( 让) ( t ) = g ( t ，s ) ( s ，t t ( s ) ) 如， ( 1 2 3 ) 其中a ( t ，让) = 厂( t ，击+ u ) 引理1 2 3 若假设条件( 日1 ) 成立，则算子：p p 全连续 证明：厶：p 一- p 显然成立( 此处取充分大的n ，并固定) 下证：如是紧算子 首先，证明把有界集映到有界集 设dcp 有界，即j 舰 o ，使得札临m ，v “d 从而，对于v 乱d ，v 【o ，1 】，由( 日1 ) 知 i ( a 。u ) ( t ) l 厂1 = i g ( t ，s ) 厶( s ，u ( s ) ) 幽i = iz 1g 出( s ，去州s ) ) d s s z 1 g ( s s s 顾去州s ) ) d s 厂l 幻g ( s ，s ) 九( s ) d s = m 2 n ， 其中 龟=s u pg ( u ) ，从而( d ) 一致有界 t 【击，軎+ m 1 】 其次，证明厶( d ) 等度连续 先对1 ( ) 他) l 进行估计：对于v t ( o ，1 ) ，v u d ，有 情形( 1 ) ：a o 时， ( 删牡z 。丝筹茅挪删灿 + 1 丝拦舯“圳眠 所以 m 以) 讹) i2 菇圭可i ( _ o l e 叫。一) ) 上( e 叫叫勺从s 以s ”d s 1，c + ( e u 2 + e u 。) ( e u ( 1 8 ) 一e u ( 1 8 ) ( s ，u ( s ) ) d s 8 南【( ( 1 - 幻+ e 一以1 - 幻) z ( 8 一e w ) 厶( s ，“( s ) ) d s 山东师范大学硕士学位论文 + ( e “+ e 。) 1 ( e “1 - s ) 一e 叫( 卜叼胁州s ) ) d s 1 不z 孑刁一2 ( 一e 一。)【( e 坤- t ) + e 叫( 1 _ z ( 扩一e 叫啪( s ) 9 ( 击+ u ( s ) ) 幽 + ( e u + e u ) 1 ( e u ( 1 一。) 一e 一“，( 1 一s ) ) 九( s ) 夕( 去+ 札( s ) ) d s 】 南【( e “卜”+ e 叫。卅，) 尿一e - “) 郇) 幽 + ( e u t + e u ) 1 ( e ( 1 8 ) 一e u ( 1 一s ) ) h ( s ) d s 令 ( ) = ( e u ( 1 一。) + e u ( 1 一。) 菇( e 一e u 8 ) ( s ) 如+ ( e 。+ e u ) f ( e u ( 1 一s ) 一e u ( 1 一s ) ( s ) d s ， 对u ( t ) 从。一1 积分得 z 1 口( t ) d t = z 1z 。( e u ( 1 一”+ e u t l 一”) ( e u 8 一e u 8 ) 九( s ) d s d t + z 1 1 ( e u t + e u 。) ( e “j ( 1 8 ) 一e u ( 1 一引) ( s ) d s d t = z 1 1 ( ( 1 - t ) + e 叫( 1 一) ) ( e 枷一e 一) 九( s ) d t 如 + ( 1z 8 ( e u + e u 。) ( e u ( 1 一s ) 一e u ( 1 8 ) ) 九( s ) d t d s = 吾1 忽( s ) ( e ”+ e 一 一e 埘一2 叫s e 2 s 一”) d s s 吾小s 顺s ) d s 情形( 2 ) ：入= o 时， 令秽( t ) ( a 。u ) ( ) = ( a 竹札) 心) j = f z 1 印一胁删) d s 么s ( 1 一) 厶( s ，u ( s ) ) d s + 1 ( 1 一s ) 厶( s ，u ( s ) ) d s ， s ，( s ，u ( s ) ) d s + 1 ，k ( s ，u ( s ) ) d s z 1s ，k ( s ，让( s ) ) d s s ( s ，u ( 圳d s + 1 厶( s ，孔( s ) ) 圳 z 1s 危( s ) 9 ( 丢+ u ( s ) ) d s + 1 ( s ) 夕( 去+ u ( s ) ) d s 尥 z 1 咧s ) d s + 1 ) d s 】 = 詹s 九( s ) d s + f 允( s ) d s ， 9 1 厂，加厂，加 山东师范大学硕士学位论文 对u ( ) 从。一1 积分得 z 1 口c t ，出= z 1z 1 她c s ，d s d t + z 1z 1 c s ，d s 出 ，1 = 2 | s m s ) d s ，1 2 口( s ) ( s ) d s 情形( 3 ) ：一雩a o ，使得i l 临地，l iu 怪 ，由上述证明过程可知( 如) 怒1 相对紧 1 0 山东师范大学硕士学位论文 下证：l la 。u 。一a n 乱l l o ( m o 。) 事实上，若不成立，则j e o o ， u 。) c 让。) ，使得 | | a 。t f 砜一a 。乱i l e o ， ( 七)( 1 2 4 ) 因为 a n 珏机) 相对紧，所以j u 。) 的一个子列收敛到某个也+ p 不失一 般性，设 u 仇。) 本身收敛到矿，即，l 卸l f 厶。一乱4 | | = o 尤 + o c 显然有，( 。) ( ) 一n + ( ) ( 南一+ ) ，【o ，1 i ( a n 嘶m ) ( ) 一( a 礼“) ( t ) i 广1 = l g ( t ，s ) 厶( s ，钆m 。( s ) ) 一厶( s ，缸( s ) ) d s 厂l g ( t ，s ) 厶( s ，( s ) ) 一a 0 ，u ( s ) ) | d s = z 1 印s ) i ，( s ，丢+ 小) ) 一m 名+ 小) ) i 如 因为i iu 。j 毛，i | 札i i 尬，所以击+ u 。( s ) 击，击+ a 如 ，击+ u ( s ) 击，击+ 如 ， 又由于厂c 【( o ，1 ) ( o ，+ 。c ) ，r + ，所以厂在( o ，1 ) 曝击+ a 毛】上，对于固定的 关于“一致连续，由l e 如卵u e 7 s 控制收敛定理得 ，l i 印( a 。钍。) ( t ) = ( a 。“) ( t ) - + 从而“( ) = ( u ) ( t ) ，即乱4 = 乱，这与( 1 2 4 ) 式矛盾，所以连续 综上可知，：p p 全连续 口 令 q = 乱pu ( t ) q 1 ( t ) i i “i ，t 【0 ，1 】) ， 易知q 是e 中的锥 引理1 2 4a 。( q ) cq 证明：对于v 钆q ，由引理1 2 2 ( 1 ) ( 3 ) 知，( u ) ( t ) o 是显然的，即u p 厂1 ( a 。u ) ( t ) = g ( t ，s ) 厶( s ，u ( s ) ) d s ，1 9 1 ( t ) g ( 丁，s ) 厶( s ，t | ( s ) ) d s 厂l = 口1 ( ) g ( r ，s ) a ( s ，仳( s ) ) d s = 口1 ( ) ( a 。u ) ( 7 - ) ，t ，7 【o ，1 】， 所以( a 。u ) ( t ) q 1 0 ) i ia 。札i l t 0 ，1 】，从而a 。( q ) cq 口 1 1 山东师范大学硕士学位论文 引理1 2 5 若假设条件( 玩) ( 日2 ) 成立，令q r = u q 仳f | 研，则 i ( a 。，q r ，q ) = 1 证明：只须证 a 。u 艺u ， v t 正a q r ( 1 2 5 ) 事实上，若不成立，则j 呦a q r ，使得铷a 。铷，从而 t o ( ) sa 竹u o ( ) ，l = g ( ，s ) 厶( s ，咖( s ) ) 如 z 1g ( s s ) 吣) 夕( 丢+ 嘶) ) d s r 1 g ( s ，s ) h ( s ) 夕r ( s ) d s r o ，使得对充分大的 竹o ，当扎n o 时，有i ( 厶，q ，q ) = o ，t ( ，q 咒，q ) = o ( 其中q ，= 乱q 川仳i i o ，使得当乱r 1 ，限1 一明时，有 ，( ，乱) l 1 “( 1 2 7 ) 取o m a x 冗，盯一1 r 1 ) 下证： a n t 上gt 正，v u a q r ( 1 2 8 ) 事实上，若不成立，则j t 0 a q ，使得u o a n 咖，从而 铷( ) a n 钍o ( ) ，1 = g ( t ，s ) 厶( s ，呦( s ) ) d s = z 1 g s 击s ) ) d s 山东师范大学硕士学位论文 啡) 2 厂g s 三州s ) ) d s 厂g 洲丢州枷d s l 。厂慨s m 如 祝l r c g ( s ，s ) d s r 1 一p 所以r = j j 呦| j r 矛盾，从而( 1 2 8 ) 式成立由引理1 1 2 【7 可知，i ( 如，q ，q ) = o 类似地，可以证明z ( 如，q r ，：q ) = o 口 引理1 2 7 若( 凰) ( 奶) ( 风) 成立，则算子a n 至少存在两个正的不动点 l n ，让2 扎， 且满足r l l 乱1 。| | r | | u 2 。l i 兄7 ，其中扎充分大，r r 7 如前所述 证明；由引理1 2 5 ，引理1 2 6 及不动点指数的可加性，可知 i ( a 。，q r q ，q ) = i ( a 竹，q 兄，q ) 一i ( a n ，f 2 ，q ) = 1 0 = 1 ， i ( a m q r ，q r ；q ) = i ( a n ，q r ，q ) 一i ( a n ，q r ，q ) = o 一1 = 一1 i 由解的存在性定理可知，| 乱l 。q r 瓦，u 2 。q r ，亍匿，使得厶乱1 n = u l n ，如乱2 n = “加且满足r j 札l 。fj 兄 j | 乱2 扎fj 月 口 定理1 2 1 若假设条件( 日1 ) ( 玩) ( 风) 成立，则边值问题( 1 1 1 ) 至少存在两个 正解钆1 ，札2 ，且满足r | | u 1l l r | | “2j o ，使得l lu l nl l a 矗 1 3 山东师范大学硕士学位论文 先证1 ) ： u l 。( t ) 一u 1 。( o ) = l ( a 。“1 竹) ( t ) 一 = i 肛s ) _ = iz 1m ( a 。t 正1 n ) ( 0 ) i g ( o ，s ) 厶( s ，u l 。( s ) ) d s s ，u h ( s ) ) d s z 1 ) 9 ( 三+ u ，竹( 胡d s 飓g ( ，s ) ( s ) d s ， 其中尬=8 u p9 ( u ) 由( 日1 ) 知o o ，当l ，2 0 ，乩l 1 一t 2i o 时，l i 磐l 乱1 n ( ) 一u l n ( 0 ) i = 0 t + u t 当a = o 时， 其中 i 乱l n ( t ) 一u l n ( o ) i 坛 z 。s ( 1 叫) d s + 1 啦- s ) ) d s = 慨【( 1 叫z s 吣) d s + 1 ( 1 - s ) ) d s 】， ( 1 一) z 。s 危( s ) d ssz 。g ( s ，s ) 忍( s ) d s ， 1 ( 1 - s ) 吣) d s = 幻( 1 - s ) m 膨+ t 石( 1 一s ) m ) 如 g ( s ，s ) ( s ) d s + 麦z g ( s j s ) ( s ) 如 +，i ( ：+ ；n 0 2 t ( o ，如】 以当入= 0 时， l i mu l n ( t ) 一u l n ( o ) i = o 0 十 ， 一等a o 时， f 乱，n 一仳- 棚) i 蚓z 其中 些掣蜘+ 1 us l n u ，+ s i n u s s i n u ( 1 一t ) 所以当一譬a o 时， ，s l nl d + s i n u t s i n u ( 1 一s ) us l n u ( s ) 如z g ( s ，s ) 九( s ) d s e ， 1 坐掣吣) d s s i n u ts i n u ( 1 一s ) l ds 1 n u ( s ) d s 堕掣尝譬型九( s ) d s us l n u g ( s ，s ) ( s ) d s s i n 一t s i n u 如 e + g ( s ，s m s ) d s s i n u s i n u 6 2 t 【o ，如】 螺lu l n ( 。) 一u l n ( o ) l = o 综上可知，1 咄i 札1 。( ) 一“1 。( o ) i = o + 0 + 忽( s ) d s 】， 1 5 所当 6 1 2 占 广以r飞p六 | l + v | 山东师范大学硕士学位论文 类似地，可以证明n mu l 。( t ) 一u l 。( o ) l = o 。 再证3 ) ：对v 1 ，t 2 ，1 一酬，t l t 2 ，v u l 。d 1 ，有 i 钍1 n ( 2 ) 一乱m ( 1 ) j = l ( a 。u 1 。) ( t 2 ) 一( a n 札1 礼) ( t 1 ) l ，2 = i ( 乱1 。) 他) 班l i ，t 1 ，幻 f ( 如乱1 。) ) l 抚 t ，t 1 由引理1 2 3 中如( d ) 等度连续的证明过程可知，iu l n ( t 2 ) 一乱1 n ( 1 ) i s ，即 乱l n ) = d 1 在，1 一酬上等度连续 由a s c d 如一小z e j n 定理知，d 1 相对紧，从而 “1 n 在【o ，1 上存在一个子列 收敛，不失一般性，设 扎。) 本身收敛到乱1 ，则由l e 6 e s 9 乱e s 控制收敛定理得，对 t 1 竹( ) = ( 如u 1 。) ( ) 两端关于礼取极限，有 ，1 珏l ( t ) = g ( t ，s ) ，( s ，牡l ( s ) ) d s ， 0 即u 1 ( t ) 是边值问题( 1 1 1 ) 的正解，且满足r 1 1u ll i r 同理可证 社孰) 收敛到豇2 ，且牡2 ( d = 露g ( ，s ) ，( s ，让2 ( s ) ) d s ，并满足r l “2l i r ，定理得证口 推论1 2 1 若条件( 日1 ) ( 恐) ( 凰) 7 成立，则定理1 2 1 的结论仍然成立 1 3 应用 例1 3 1 当入= o 时，考虑。f = 列二阶两点边值问题， 一z “= ，z ) ， ( o ，1 ) ； ( 1 - 3 1 ) 【z ( o ) = z ( 1 ) = o 其中，( t ，z ) = 丽识最菰两【击+ + 1 ) 2 ，则边值问题( 1 3 1 ) 至少有两个正解 z 1 ，z 2 ，且满足r | | z 1l | r i | z 2i i r 证明：首先，验证条件( 凰) 当a ：o 时，g r e e 礼函数为g ( t ，s ) 三 “1 一s ) o 。s 1 ： ，、 【s ( 1 一) ， ossstsl g ( s ) 2l 。 在，( t ，z ) 的表达式中， f 厕1 ，所以有 邢，。) 击 去+ ( z + 1 ) 2 】， v t ( o ，1 ) ，z ( o ，+ 。) 1 6 一坐壅坚薹盔兰堡主兰垡垒塞 从而取 ( ) = 南，夕( z ) = 去+ p + 1 ) 2 此时 z 1g ( s s ) h ( s ) d s = z 1s ( 1 一s ) 击如= 去 + o 。， 小蝴= 小志扣击 o ，所以函数9 ( z ) 为凸函数，且在k 1 ( ) ，2 】内， 只可能在区间的端点处取最大值当在右端点取最大值时， z 1 g ( s ，s ) ( s ) 夕r ( s ) d s = 小，叫击c 击删d s 1以+ 1 8 2 而币_1 0 01 2 笆nn 1 6 9 1 ：r 所以 最始一谳牡二妻羔，：， 盯一2 ( 詹卅g ( s ，s ) d s ) _ 。，且 i i m i n fm i n z ，o 一p ，l 一刎 ，( t ，z ) 乩臻蟋。蹁掣 z 4 + o 。l 一，1 一日l z l 1 即( 日3 ) 成立由定理1 2 1 可知，边值问题( 1 3 1 ) 至少有两个正解z 1 ，z 2 ，且满足 r | | z 1i i r i lz 2i | r 7 1 8 山东师范大学硕士学位论文 第二章带有超前项的二阶三点边值问题正解的存在性 2 1 引言及预备知识 近几年来，常微分方程多点边值问题的研究日趋活跃自j j 7 饥和m 历s e e 口【8 】 首先开始研究线性二阶常微分方程多点边值问题的可解性之后， 1 9 9 2 年，g u p t a 运用l e r a p s c h a u d e r 原理在至多线性增长条件下研究了一类非线性二阶常微分方程 三点边值问题的可解性此后，对常微分方程三点边值问题的研究出现了许多重要 的结果，如文9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 1 在前人工作的基础上，本章将研究下列带有超前项的二阶三点边值问题 u “( ) + 入a ( ) j f ( 。，札( ( 。) ) ) = o ， 。( o ，1 ) ； ( 2 1 1 ) i 口u ( o ) 一卢u 7 ( o ) = o ，u ( 1 ) 一砖乱( 卵) = o 正解及其多解的存在性其中，7 ( o ，1 ) ，q2o ，p o ，o 七 o ，定义 q p = z p zi 办假设t ：再一p 是全连续算子，且z 乳，v z a ( 1 ) 若l | zl i s lr zj ，v z a q p ，贝0i ( 丁，q p ，p ) = o ( 2 ) 若i izi | 2 i lt z 忆v z a q p ，则t ( t ，q p ，p ) = 1 为了方便，先给出以下假设条件： ( 日1 ) 假设a o ，p2o ，o 7 7 1 ，o 七 0 ( 玩) o c f ( o ，1 ) ， o ，+ 。) 】，且口( ) o ，( o ，1 ) ，满足o 眉( 卢+ a s ) 口( s ) d 5 + 。，o 片n ( s ) d s o ，t ( o ，1 ) 1 9 山东师范大学硕士学位论文 百先考虑f 列线性二点边值问题： 让”( ) + ! ，( t ) = o ， ( o ，1 ) ( 2 2 1 ) 【a 乱( o ) p t 正7 ( o ) 。o ，u ( 1 ) 一七u ( ，7 ) 2o - 有如下引理： 引理2 2 1 【9 1 若假设条件( 皿) ( 日2 ) 成立，则边值问题( 2 2 1 ) 有唯一正解 酢) = 半小- s ) 小) d s 一掣小叫出) d 5 _ 小- 5 ) 小) d s = z 1g ( t ，s ) 箩( s ) d s 一生! 壁笋z 1 ( s 一叩) 剪( s ) d s ， 其中 ， g ( t ，s ) ： ；( p + q s ) ( 1 一七叩) 一( 1 一角 ， s 亡 ij ( p + q z ) f ( 1 一启，7 ) 一( 1 一七) s 】， s t 引理2 2 2 【9 l 若条件( 日1 ) 成立，令6 = m a x 1 ，竿鲁) i ，则 o g ( ，s ) 6 g ( s ，s ) ，0 o ，使得当 o 6 m i n 去，y 2 ) c 时，蕴含 山东师范大学硕士学位论文 ( f 1 ) ，( t ，u ) 6 ，t 切，1 ，6 u 专 ( f 2 ) ，( ，) 击c ，【o ，1 】，osu c ，则当a = 1 时，边值问题( 2 1 1 ) 至少存 在一个正解，其中 ”t = 6 z 1 g ( s ，s ) n ( s ) d s ， f = i n i n 学小_ s ) 巾) d s ，掣序_ s ) 巾) d s ) _ 证明：设仳( t ) 为边值问题( 2 2 1 ) 的解，由假设条件( 月3 ) 知，t 危( t ) 1 ，v ( o ，1 ) ，所以 。舔州九( 。) ) 。珊j u ( 。) 再由引理2 2 3 【9 】知， 。嘶u ( 忍( 。) ) ，y ( 2 2 2 ) 由引理2 2 4 f 9 】知，丁( q ) cq 由文【9 知，算子t ：q q 全连续 令q 。= 乱q ul i c ) 下证：对v u 瓦，则丁乱砺，即丁：砭一瓦 对v “瓦，贝0 有| | 札lj c ，即o u ( t ) c ，t o ，1 】，所以有o 仳( ( t ) ) sc 由假设条件( f 2 ) 知，厂( ，“( 危( t ) ) ) 击c 由o c ( o ，1 ) ，【o ，+ ) ：，c ( o 1 【o ，+ 。) ，【o ，+ 。) ) 知，o ( t ) ，( t ，u ( h ( t ) ) ) o ，t ( o ，1 ) 由引理2 2 1 【9 及引理2 2 4 【9 1 知，t u ( ) o 从而 i it 乱i i5 黼l ? u ( 。) 1 2 置蹄t 乱( 。) 2 蹁【上g ( 如) n ( s ) m ，乱( 危( s ) ) ) 幽 一! 掣厂1 ( s 一，7 ) 口( s ) ，( s ，乱( ( s ) ) ) d s 】 黼上g ( 。，s ) 口( s ) ，( s ，u ( ( s ) ) ) 如 6 鼢zg ( s ，s ) 口( s ) ，( s ，札( ( s ) ) ) 如 6 嚣躏z 1g ( s ，s ) 。( s ) 去谢s = c 所以t ：瓦一砺由，c ( 【o ，1 x 【o ，+ 。) ， o ，+ ) ) 及由引理2 2 3 【9 】知， t 器n 】t u ( 。) 7 l it “ ( 2 2 3 ) 2 1 山东师范大学硕士学位论文 当叩s1 ，6 扎( t ) 毒时，有6 u ( ( ) ) s 毒由假设条件( 日) 知，此时 ，( t ，u ( 九( ) ) ) 6 因为( t u ) ”( t ) = 一口( ) ，( ，u ( ( ) ) ) o ，【o ，1 ，所以此函数为凹函 数 f 、圆万网柙情优芍愿2 ( 1 ) 当1 忌 学小- s ) 巾) ，( s 删圳) d s 学小_ s ) 巾枷 ( 2 ) 当o 6 ) ， 显然，d 是一个非空有界凸开集 下证：t