（基础数学专业论文）分圆nazarovwenzl代数的结构与表示.pdf

摘要 在论文1 8 1 中，n a z a r o v 定义了一类无限维结合代数一仿射w e n z l 代数。 为了研究仿射w e n z l 代数的有限维不可约表示的分类，a r i k i 、 m a t h a s 、芮和兵在论文 3 】中，定义了一类有限维结合代数嬲，n 一 分圆n a z a r o v - w e n z l 代数。他们证明了参数满足一定条件的分 圆n a z a r o v - w e n z l 代数是g r a h a m - l e h r e r 意义下的c e l l u l a r 代数。 利用c e l l u l a r 代数的表示理论，a r i k i _ m a t h a s 一芮和兵3 1 给出了 定义在一般域上的分圆n a z a r o v - 、v e n z l 代数的有限维不可约表示的 分类从而构造出仿射w e n z l 代数的所有有限维不可约表示。 在本文中，我们将继续研究分圆n a z a r o v - w e n z l 代数的结构与 表示。特别，我们将给出分圆n a z a r o v - w e n z l 代数的判别式的递推 公式。这使得我们可以利用c e l l u l a r 代数的表示理论和上述递推公 式，得出定义在特征不等于2 的域上的分圆n a z a r o v w e n z l 代数是半 单代数的充要条件。 关键词：分圆n a z a r o v - 、e n z l 代数，判别式，正交表示，半单代数。 a bs t r a c t i nf 1 8 1 ，n a z a r o vi n t r o d u c e dac l a s so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a la s s o c i a t i v ea l g e b r a sc a l l e dt h ea r l e n ew e n z la l g e b r a s i no r d e rt oc l a s s i f yt h ef i n i t ed i m e n s i o n a li r r e d u c i b l em o d u l e sf o r a f f i n ew e n z la l g e b r a s ，a r i k i ，m a t h a sa n dr u ii3li n t r o d u c e dac l a s s o ff i n i t ed i m e n s i o n a la s s o c i a t i v ea l g e b r a s 群礼c a l l e dt h ec y c l o t o m i c n a z a r o v - w e n z la l g e b r a s u n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s ，t h e y 3 】h a v e p r o v e dt h a t 群，ni sc e l l u l a ri nt h es e n s eo f 1 a u s i n gt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo f c e l l u l a ra l g e b r a s ，a r i k i ，m a t h a s a n dr u if 3 1h a v ec l a s s i f i e dt h ei r r e d u c i b l e 群，n - m o d u l e so v e raf i e l d h e n c e ，t h e yh a v ec o n s t r u c t e da l lo ft h ef i n i t ed i m e n s i o n a li r r e d u c i b l e m o d u l e sf o ra f f i n ew e n z la l g e b r a s i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg oo ns t u d y i n gs t r u c t u r e sa n dt h er e p r e - s e n t a t i o n so fc y c l o t o m i cn a z a r o 俨n z la l g e b r a s ，i np a r t i c u l a r ? w e w i l lg i v er e c u r s i v ef o r m u l a ef o rt h eg r a md e t e r m i n a n t sa s s o c i a t e dt o a l lc e l lm o d u l e sf o r 嬲肌u s i n gt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fc e l l u l a r a l g e b r a st o g e t h e rw i t ht h ep r e v i o u sr e c u r s i v ef o r m u l a e ，w ec a ng e ta s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r 嬲nb e i n gs e m i s i m p l eo v e ra n a r b i t r a r yf i e l df w i t hc h a r f 2 k e yw o r d ：c y c l o t o m i cn a z a r o v - w e n z la l g e b r a s ，d i s c r i m i n a n t s ， o r t h o g o n a lr e p r e s e n t a t i o n s ，s e m i s i m p l ea l g e b r a s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：歪】查缉导师签名：趑： 日期：血浏 日期： 2 。艚，r3 1 9 3 7 年，著名数学家r b r a u e r 定义了一类有限维代数一b r a u e r 代数( 或 称b r a u e r 中心化代数) 。通过带有特殊参数的b r a u e r 代数和正交群( 或辛 群) 之间的双中心性质，b r a u e r 把定义在复数域上的b r a u e r 代数的表示理论 和复正交群、辛群的张量表示的分解联系起来。 利用定义在复数域上，并且参数是正整数的b r a u e r 代数和正交群之间的 双中心性质，m n a z a r o vf 1 8 】构造出b r a u e r 代数的一族正交表示。当参数处于 “一般位置 时，这些正交表示就构成了复数域上的半单b r a u e r 代数的所有不 同构的不可约表示。 在研究过程中，n a z a r o v 定义了b r a u e r 代数的一族交换元素一j u c y s _ m u r p h y 元素，简称j m 一元素。利用这族元素和b r a u e r 代数的生成元之间的关 系，n a z a r o vf 1 8 1 定义了一类无限维结合代数一仿射w e n z l 代数。 为了研究仿射w e n z l 代数的有限维不可约表示的分类。a r i k i 、 m a t h a s 、芮和兵在论文 3 】中，定义了一类有限维结合代数蟛，n 一分圆n a z a r o v - w e n z l 代数。这类代数是仿射w e n z l 代数的商代数。a r i k i 、m a t h a s 、芮和兵 证明了任何一个仿射w e n z l 代数的有限维不可约表示可以实现为某个分 圆n a z a r o v - w e n z l 代数的不可约表示。当r = 1 时，嬲m 就是通常的b r a u e r 代 数。 对任意自然数a n ，以及一族变量x = ( x l ，研) ，定义g n ( x ) 满足 ( 1 1 ) f i ；：。1 + 。x ，i _ _ _ y y f = a o 口d ( x ) 可n ， 称g 。( x ) 是关于x = ( ：t 1 ，岛) 的s c h u r 一口函数( 参见【1 5 ，p 2 5 0 ) 。特别， 对任意的自然数a ，9 0 ( x ) 是变量x 的多项式。 下面的定义是a r i k i 、m a t h a s 、芮和兵在论文【3 】中给出的。 假设1 2 假设r 是一个交换环，2 r 是一个可逆元素，u = ( u l ，u 2 ，让，) r r ，q = u 口ia 0 ) r 。如呆对任意的a 0 ， 叫口= g o + 。( u ) 一互1 ( 一1 ) r 9 0 ( u ) + 丢以。 则称q 是u - a d m i s s i b l e 的。 言前l 2 假设r 是一个含单位元的交换环，含有元素u 1 ，u ，。设q 是r 的 一个子集，满足假设1 2 。a r i k i 、m a t h a s 、芮和兵证明了定义在兄上的， 带有参数u l ，u ，q 的分圆n a z a r o v - w e n z l 代数是一个c e l l u l a r 代数。这 使得我们可以利用g r a h a m l e h r e r 建立的c e l l u l a r 代数的表示理论来研究分 圆n a z a r o v w e n z l 代数的结构与表示。特别，存在一族称为c e l l 模的杉m 一模。 受到j e n y a n g 【1 1 】关于b r a u e r 代数的工作的影响，我们将构造群，n 的c e l l 模 m 的职, n - - l - - 模滤过 m = 尬 m 2 i k ) 0 ， 使得对每一个正整数i k 一1 ，尬尬+ l 同构于职，n 一1 的某个c e l l 模。利用 上述滤过，我们可以构造出m 的另一个弘基，我们把它称为c e l l 模的j u c y s m u r p h y 基( 简称j m 一基) 。 彬，n 中存在一族交换元素一j m 元素。我们将证明群，n 的j m 一元素作用 在m 的j m 基上的表示矩阵是上三角矩阵。 利用j a m e s 、 m a t h a s 、m u r p h y 等人研究h e c k e 代数表示的方法( 或者直接利用 1 7 】中 的结论) ，我们可以通过m 的j m 一基，直接构造出m 的正交基。我们将证 明m 的j m 基到m 的正交基的过渡矩阵是幂么上三角矩阵。所以，由c e l l 模的 正交基定义的g r a m 矩阵行列式和由它的j m 一基定义的g r a m 矩阵行列式是相等 的。 受到我们关于b r a u e r 代数和b i r m a n w e n z l 代数的工作的影响( 参见f 2 1 ， 2 2 1 ) ，我们将给出一个递推公式计算利用m 的正交基构造的g r a m 矩阵的对 角元素。利用群，n 的经典分歧法则( c l a s s i c a lb r a n c h i n gr u l e ) 3 ，5 3 】，我们可 以给出一个递推公式，计算这个g r a m 矩阵的行列式。这个递推公式提供给我 们充分多的信息，使得我们能够得出定义在特征不等于2 的域上的嬲n 是半单 代数的充分必要条件。 除了定理7 1 1 外，本论文的结果构成了论文 2 3 】，已经被j p u r ea n d a p p l i e da l g e b r a 接受发表。 2 g ( r ，1 ，仡) 型分圆n a z a r o v w e n z l 代数 3 在本节中，我们将回忆c ( r ，1 ，佗) 型分圆n a z a r o v - w e n z l 代数的定义和一 些基本结果。 定义2 1 【1 8 】假设r 是一个含单位元的交换环，q = u 口ia 0 是 兄的子集。设n 是正整数。仿射w e n z l 代数彬严= 形产( q ) 是由 & ，最，玛i 1 i 扎，1 j n ) 生成的结合肛代数，满足下列关系： a ) 砰= 1 ，v 1 i 1 ， ( i i ) & s i + 1 & = & - t - 1 & 最+ 1 ，v 1 i n 一1 ， c ) d ) e ) ，) g ) ( 讹) & = 玛& ，j i ，i + 1 聊= w o e i ，v 1 i 1 ， ( i i ) e x j = x j e ，j i ，i + 1 ， ( 嘲五冯= x j k ，1 i ，j n ( i ) & 五一咒+ 1 鼠= 最一1 ，v 1 i n ( i i ) x i 。鼠一& 五+ 1 = 忍一1 ，v l i 0 ( i ) e 鼠= 局= s 墨，v 1 i 礼一1 ， ( i i ) s 最+ l 最= 。鼠+ 1 最，v 1 i n 一2 ， ( i 沈) 局+ l 忍& 4 - 1 = 置4 - 1 & ，v 1 i n 一2 h ) 最+ 1 e 置+ l = 噩4 - 1 ，噩噩+ l 局= 忍，v 1 i n 一2 i ) 五( 五+ 咒+ 1 ) = 0 ，( x + 五+ 1 ) 最= 0 ，v 1 i s 其中，t t u r 。 设a 人，( 礼) ，肛a ，( n ) 假设i 和k 为正整数且k r 把元素( k ，i ) 填 入y ( a ) 的盒子中得到一个a 一袁s 。若s 中等于( k ，i ) 的元素个数是p ， 则称s 是型肛的卜表。记所有的型p 的a 一表全体构成的集合是t ( a ，p ) 设s 少s t d ( a ) ，m 为s 中的任意元素。若m 出现在t p 的第k 个分量 的第i 行，则把( k ，i ) 代替s 中元素m 所得到的表记为p ( s ) 。由前面定 义可知肛( s ) t ( a ，肛) 。 设( k ，i ) ，( z ，j ) 1 ，2 ，r 】n 。若k z 或者k = z ，i 歹，则 称( k ，i ) s 少。纠( 入) p ( s ) = s 对任意的p a ，( n ) ，定义 ( 2 1 7 )m p = u p 兹，n 利用【7 】中研究a r i k i k o i k e 代数的方法，我们可以证明引理2 1 8 一推 论2 2 4 。为了阅读方便，我们将给出这些结果的详细证明。 引理2 1 8 设入人，( n ) 椰a r ) 。对任意的s 少8 5 ( a ，p ) ，t 少删( a ) ， 犰s t m p 。 证明? 记兹是由正生成的端n 的子代数，满足8 i 6 入。设d = d ( f i r s t ( s ) ) ， 则由 6 ，1 7 知，存在h 兹，使得 x a t d ( u ) = 死= h t d x p u 少8 埘( 入) w e 6 x d g t , p ( u ) = s 因为x a u a = i t a x a ，所以 x s t2 u 少s t d ( a ) p ( u ) = s = 乃( u ) 一1 x x u a t d ( t ) u 少8 t d ( a ) p ( u ) = s = 乃一lh 4 u a t d ( t ) = 嘶乃一1u a + 乃( t ) 要证明x s t m p ，只需证明乃一1 u a u p 群，n 。 记 m = 【a l ，a 2 ，o ，】，= b l ，b 2 ，“】 由题设，s 矿8 3 ( 入，p ) 。所以，a 垒p 。特别，对任意的1 k r ，有a k 6 七。所以， “ 钆靠，七2t 上口 ，j b ( k u 七+ 1 ) i ：a k + l 注意到# ( f i r s t ( s ) ) = s 少8 。( a ，p ) 。如果f i r s t ( s ) = t a d ，则d 有袁达 式w 1 w 2 w ，使得w k 6 。k l + 1 ，b ) ，后者是定义在【a k 一1 + 1 ，k ) 上的 1 0 对称群。我们记 此， v k2 ( m u 七+ 1 ) ， z - - - a k + 1 当f 尼时，l i - u 6 l ，i 。z 咒f t 。当z c o m p t 。 引理2 2 0 假设入人产( 仃) ，且s ，t 夕删( a ) 。若i 和i + 1 在t 的同一个分量 的同一列，则存在p a 产( 佗) 满足p a ，且 其中r u r ， z 5 t 正= 一z “+ h 兹n “p z p 。群一。 u 矿。4 ( 入) u t r u l 冶u + h ， 证明? 设= a l ，a 2 ，口r 】和a o = 0 ，记6 n 为对应合成( a 1 ，a 2 一0 1 ，一 a r 一1 ) 的y o u n g 子群，见为6 8 在6 n 中所有不同的右陪集代表元构成的集 合因此，有表达式d ( t ) = d l d ：4 叫，其中噍6 他一。+ 1 ，a ) 和伽d 口。 设歹= ( i ) 叫，由题设知t 少删( a ) ，设i 和i + 1 在t 中同一个分量“p ) 的同 1 1 一列，则可记j + 2 = ( i + 1 ) w 一1 且a p 一1 + 1 j j + z 。因为w d a ，所 以 i = ) 叫 0 + 1 ) w 0 + 1 ) w = i + 1 ， 可得f = 1 以及w s i 叫一1 = s j 6 a 。从而，歹和j + 1 在t w 一1 的同一列。 假设d ( 阜) = e l e 2 e r w l ，其中叫1 d d 以及对任意的1 i r 有e i 6 口+ l ，口 。因此， 如t 正= 7 端z a u a 乃( t ) 正 = 瞄z a u a 乃1 t d 2 强死正 = 碥x 脚$ t d lt d 2 强乃死 = 耐巧1 砭1 巧1 z a 乃。t d 。珏乃u a 死 从而若证明该命题，只需考虑毛1 z a ( p ) 乃。因为j 和j + 1 在p 憎的 同一列，所以利用 1 6 ，3 17 】和【7 ，3 1 7 】可得证。 口 因为u p z p = z p u p ，所以m p = t 正，l z p 。毙军，i 明m u = 绑，nn 群，n ，并且 群，nn 。p 端，n 。我们将证 x s tis 。少。3 ( a ，p ) ，t 。少5 纪( a ) ) 是m u 的一组r - 基。 假设h = r s t x 。t ，其中s ，t 少删( a ) ，a a 产( n ) ，r 。t r 。如果r 。t 0 ， 则称h 包含z 。t 。 在下面引理2 2 1 一推论2 2 4 中假设；r 。 引理2 2 1 【7 ，( 4 1 1 ) 】假设入人( 礼) ，肛a ，( n ) 如采h u p 篇，nn 群，n ， 满足 a ) h 包含z 。t ，其中s ，t 。少n d ( a ) ， b ) 对任意的u 塑s ，v 翼t 且( 1 1 ，v ) ( s ，t ) ， 则s = u ( s ) 是半标准的，并且s = l a s t ( s ) a h 不包含z u v ， 证明：因为s 少删( a ) ，所以s = u ( s ) 的每行每列是弱递增的。首先我们证 明s = u ( s ) 中每一列的元素从上到下是严格递增的。 如果t 和i + 1 在俨中同一个分量的同一行，则正= 。因为h 群，n ，所以互九= h 。设i ( r e s p i + 1 ) 在s 的第k ( r e s p k 1 ) 个分量的 1 2 第歹( r e s p 歹1 ) 列。当k = k 1 ，j l k 1 。此时称i + 1 在i 的左边。因此， 若i 和i + j 在俨中同一个分量的同一行，则在s 中，i + j 一定在i 的左边。 故s = 肛( s ) 中每一列的元素从上到下是严格递增的。 把 7 ，3 2 4 】应用于r 重分划 ( ( 1 | ) ( 1 一”，( 1 i ) 可得，c o m p 俨c o m p 。因此，s = p ( s ) 是半标准的。 若s l a s t ( s ) ，则必存在某个i 和i + 1 在p 中同一个分量的同一行，使 得s 既少删( a ) 且s 8 iqs 。由于z 。t 包含于正九= h ，这与条件( b ) 矛盾! 因 此，s = l a s t ( s ) 。 口 定理2 2 2 假设p a ，( n ) 。 a ) x s tis 夕5 8 ( a ，肛) ，t 。少3 记( a ) ，a 人( 凡) ) 是让卢乡缉，竹nz p 乡缉，竹的一 纽r 一基。 b ) u p z p 兹一= u p 。多缉，nnz p 群，n 。 证明：对任意的a 人产( n ) ，定义 譬( a ，p ) = s 矿占埘( a ) fs = l a s t ( s ) ，p ( s ) = s 。少5 。( 入，p ) ， 对任意的h 嘶织，n n x | c 群，n ，总可以写成定理2 9 中基元素的线性组合， 不妨设h = r u v x u v ，其中r u v r 。依据引理2 2 1 知，h 包含基元素z 。t 使 得s 墨( a ，p ) ，t 。少5 埘( a ) 和a a 产( n ) 。 记 h 7 = h 一 t 一t ：一：一i r s t x p ( s ) t a 8 鬈( 入，p ) t 少。d ( a ) 由引理2 1 8 知，x s t m p u 弘汐缉，nn 乡缉故h 7 u j 群，nn 搿，n 。 但 是h 不包含任何基元素z 。t 使得s g ( 入，p ) 这与引理2 2 1 矛盾! 所以h 7 = 0 。 1 5 因此钍p 群，nn 却耀，n 由 ( 2 2 3 ) x s tis 。少3 5 ( 入，p ) ，t 。少s t d ( 入) ，a a ，( n ) 张成。因为不同的元素z s t 包含着不同的基元素z 。t ，所以( 2 2 3 ) 中的元素是线 性无关的。所以( a ) 成立。由( a ) 和引理2 1 8 - t 得( b ) 口 推论2 2 4 设p a ，( n ) 。存在m p 的一个群i n - - 模滤过 m p = m i ) 尬 ) 尥+ 1 = 0 ， 使得对任意的正整数i k ，有m u m i + i 竺( 九) ，其中九人产( n ) 且罗鲫( 凡，p ) d 。此外， # i l m u m + i 垒( a ) ，1 i 尼) = 孝。少那( 入，p ) 证明? 设 s 少8 5 ( a ，肛) i 入人( n ) ) 为所有型p 的半标准袁构成的集合。把 该集合中的所有元素排成一列 鼠。少 ( a i ，p ) 1 1 i 尼l 使得当九堡时，i j 。记尬是由x s j ，tj i ，t 少删( ) ) 生成 的m p 的弘子模，则 m p = 尬) m 2 ) ) 尥+ l = 0 由定理2 2 2 和【3 ，6 3 】可知对任意的1 i k ，尬是右群，n 模。因 为必n 铭紫t m i + l ，所以存在右群，n 模同态以：( a t ) 一尬舰+ l 使 得对任意的t 少删( a i ) 有o i ( x t ) = x s ；t + 尬+ 1 。易知巩是满同态。因 为( 九) 和m , i m i + l 的秩都等于集合少删( 凡) 的元素个数，所以对任意 的1 i k ，哦是同构。 口 定理2 2 5 3 ，5 5 】设r 是含单位元的交换环，2 是r 中可逆元。假设u 口，若q = 叫dlo 0 ) 是u - a d m i s s i b l e 的( 参见定义j 2 ) ，则嬲，n 是秩 为r n ( 2 n 一1 ) ”的白由r 模。 注意到：由 s 1 ，& ，& 一1 ) 生成了嬲，n 的一个子代数，它同构于对称 群6 n 的群代数。若w 6 n 且有简约表达式伽= 鼠。8 i 。8 i 。，定义= 最，& ：& 。，这里与w 的简约表达式的选取无关。 1 4 引理2 2 6 【3 ，2 2 】存在唯一的r 一线性反白同构木：彬夕一孵扩使得对任意的 正整数i 1 或者厂= z ，a 垒p ( 这里堡是定义 在a 产( n 一2 f ) 上的支配序) ，称( ，入) 垒( f ，p ) 。若( f ，入) 堡( 1 ，肛) 且( f ，a ) ( f ，p ) ，称( f ，入) ( 1 ，p ) 。 l a 对任意的( f ，a ) a ，记 6 ( f ，入) = 少5 埘( 入) n f ，n 7 ) f ，n 对任意的( s ，p ，钍) ，( t ，圪， ) 5 ( f ，a ) ，定义 ( 2 2 9 ) c 芸j ：) ( 。，掣) = & x p e ，n 尥t x k & 其中e f ，n = 互_ 一1 至一3 五k 一2 ，+ 1 定理2 3 0 3 ，7 1 7 】设r 是含单位元的交换环，2 r 是可逆元素。假 设( u l ， u 2 ，u r ) r 7 且q 是u a d m i s s i b l e 的，则 够= 咄狐州) i ( s ，p ，e ) ，( t ，k ，d ) 6 ( ，a ) ，( ，a ) a 畚) 是群n 的一纽c e l l u l a r 基。 为了证明定理2 3 0 ，a r i k i ，m a t h a s 禾, 芮和兵【3 】证明了引理2 3 1 和命 题2 3 2 ： 引理2 3 1 对任意的正整数i ，i n 一1 ，最群，冲1 忍= 易群，i 一1 。 命题2 3 2 a ) 对任意的非负整数 由e 1 生成的群，n 一2 ，的双边理想， ， 【罟j 记c f = 蟛肛2 f e l 缎r p 2 ，是 则存在唯一的r 一代数同构 e ，：乡缉加2 f 垡彬p 2 f f 使得 e ，( 正) = 鼠+ 白， v 1 i 佗一2 ， ，( 巧) = 玛+ 白， v 1 j n 一2 ， b ) 对任意的非员整数f 2 ，p 。和m s 个可增 加点p s + 1 ，p s + 2 ，p m 。 对任意的1 i 8 ，记纵( t ) 是在a 上移去盒子p i 所得到的r 一重分 划，则p a ( i ) a 产( n 一2 ，一1 ) 。 1 7 对任意的s + 1 歹m ，记纵( 歹) 是在a 上增加盒子乃所得到的r 一重 分划，则肛a u ) a 产( 礼一2 f + 1 ) 。 对任意的1 i 8 ( r e s p 8 + 1 i m ) ，我们把纵( t ) 等同于( ，肛a ( i ) ) 人基一l ( r e s p ( ，一1 ，纵( i ) ) a 纛一1 ) ，则对任意的整数t ，j ，1 i s 和s + 1 j m ，都有纵( i ) 纵( 歹) 。我们对所有 p il1 i m ) 进行适当地排列使得 ( 3 3 )p a ( i ) p a ( i + 1 ) v l i m 一1 若盒子p 在y o u n g 图y ( a ) 的第t 个分量的第k 行第z 列，则把p 等 同于( t ，七，z ) 。 设= a l ，a 2 ，】，当8 + 1 i m 时，设 纵( i ) 】= 6 1 ，6 2 ，“】，并且纵( i ) 是在a 上增加p i = ( 亡，k ，入+ 1 ) 所得到的。当1 i s 时，设纵( i ) 是由a 去掉鼽= ( 舌，k ，a ) 所得到的。 受到了e n y a n g 【1 1 】关于b r a u e r 代数的工作启发，我们给出以下定义： p 5 ，2 怪釜b ne 枷小黧1 纛i i 玩一1 & - 1 卜1 ，驴1 埤 ( i ) ， 若s + m ( 3 6 ) 其中 对任意的正整数i m ，定义 6 ( 入，i ) = 。少武d ( 肛a ( i ) ) 群，n 一1 口，n 一1 ， z = k ，黧羔 定义3 7 设( ，a ) a + n ，定义 口) s 垒p x ( ) 是由 让，u ) 鼠( t ) x k m 。d 嬲譬，入) l ( t ，仡，d ) 6 ( a ，歹) ，1 j 口生成的a ( f ，a ) 的肛子模。 6 ) s p x ( ) 是由 珐d ) 鼠( t ) x k 。乳m 。d 嬲警， a ) l ( t ，仡，d ) 6 ( a ，歹) ，1 j t ) 生成的a ( f ，a ) 的肛子模。 时 ， ，叱如 一 一 0 。对任意的h e f - l , n - 1 地嬲，n 一1 n 磁一l ， 有 玩一1 s n - l , n - 2 ，+ l h 三e 加慨e ( 1 ) 品- 2 ，n x p 岛m 。d 堵1 ) h i ，p ， 其中( 危1 ，p ，移) 端肛2 i 群，n 一1 d ，n _ 1 证明? 首先对任意的h i e ，一1 ，n 一1 彬，n 一1n 磁一1 进行讨论。由定理2 3 0 和 3 ， 7 1 6 】可知h l 可写成 或x 卢e k , n - 1 e ( ) x n 鼠i 忌，q ，卢n k , n - 1 ，u ，u d 七，n 一1 ，织，n 一2 七一1 ) 的线性组合，其中s 在命题2 3 2 中给出。 当k = ，时，由引理2 3 1 知 e ，一1 舻1 笼e ，n 一1 职舻2 ，+ 1 e , n 从 3 ，5 - 5 】中可知群，n 一2 f + l 是群，n 的子代数，故把引理3 8 应用于群，n 一2 ，+ 1 取一2 ，。 因此我们可以把e f - l , n - 1 h 1 写成元素 ( 3 1 5 ) 或x 卢e f , n - i 占( ) x q & ( m o d 形_ f 。- f 1 ) 的线性组合，其中秽d ， n ln6 n 一2 f + 1 ，x 卢= 砖一2 ，( o z 7 一1 ) ，( 口，t ，) 群n x d f ，n 一1 和h 7 嬲m 一2 f 一1 。因为h 1 e ，一l ，n 一1 群，l l ，所以e f 一1 ，n 一1 l ： u 舌h ，故h 1 能写成上述元素的线性组合，并且系数在鼠。中。这里凡。是r 在 ( m 0 处的局部化。若h 取遍端n 一2 七一1 的c e l l u l a r 基，则集合 s ；x 卢e k , n - l e ( h ) x q 鼠) 构成了嬲，n 一1 的c e l l u l a r 基，故由h 1 可写成这些基元素的r 线性组合的唯 一性，可知h i 在r 上和在咒。上的袁达式是一样的，从而证明了h 1 可写 成( 3 1 5 ) 中元素的r 线性组合。 啡 2 2 因为u 6 n 一2 f + 1 ，所以存在正整数 6 n 一2 f 一1 使得咒= & ，n 一2 f + l 岛，n 一2 f l 。 当h e i - i , n - i 慨职，n 一1n 形磊一1 时， 素的讨论和定义2 1 ( b ) ( d ) ( g ) 可知， 五_ 一1 s k i n 一2 f + 1h 三 i n 一2 ，+ 1 ，j n 一2 ，和u l 由前面对e ，一1 n 一1 彬，n 一1n 礁中元 慨e ，n 瓯一1 ，n 一2 f + l & ，n 一2 ，+ 1 岛，n 一2 ，x k2 ， i j ，k ，p ， 玩一2 1 e ( h ) x p & ( m o d 形翁1 ) ， 其中0 k r 一1 ，p n 一一1 ，u 研，n 一1 ，h 7 群，n 一2 f 一1 。 当i n 一2 y + 1 和j n 一2 厂时， 所以 e ，n & 一1 ，n 一2 s + i s i ，n 一2 f - l - l s j ，n 一2 ，磷一2 ，鼠一2 f = & ，n 一2 ，岛，n 一2 f 一1 m ，一e ，一1 ，n 一1 & 一2 ，& 一2 f l 砖一2 ，岛一2 5 - - & ，n 一2 ，岛，n 一2 f i e ，n & 一2 ，& 一2 ，一1 砖一2 ，晶一2 f m ，一1 n 一1 = & ，n 一2 ，岛，n 一2 ，一i e ，n 玩一2 ，岛一2 ，& 一2 f 一1 砖一2 ，& 一2 ，+ 1 互一2 r e ，一1 n