（基础数学专业论文）雅克比级数与函数的光滑性.pdf

雅克比城敷与函数的光滑性 摘要 本文豹藩静是熊嗣j a c o b i ( 雅壳跑级数的p o i s s o n 积分在透羿处的辩近往态采翔 划麟数的光滑性 与j a c o b i 级数鹰关黪缀数理论是数学哮l 数一个霪要镶竣，穗关闻蘧静辑究已取 得了一些成果。一方面，其中的大部分问题是经典函数理论的广泛推广，另一方面， 在一些特殊参数下鹋模型又与李赘鼗对称空阙土致分摄闻瑟蜜奶糖关。毽感，与经獒 f o u r i e r 分柝相比，j a c o b i 级数理论中还有许多本质的问题有待探讨和研究；但由于 j a c o b i 多项式的许多基本性质比三麓多项式复杂褥多，倒如，器荦孛有限求和，摄荡蛙， p o i s s o n 核与卷积运算的复杂性等等，开展这一领域的研究会遇到许多实质性困难。同 时，由于j a c o b i 多顼式参数变化的多样性，会出现一些周期情况下赡以发现的现象， 得到某些掰覆的结象。 在经典f o u r i e r 级数理论中，一类著名的结果是利用p o i s s o n 积分在边界处的渐避 栏态来藏麓滋鼗静瓷褥毪，棱称之洚h a r d y - l i t t l e w o o d 稿z y g m u n d 璎论本文研究关 于j a c o b i 级数的h a r d y l i t t l e w o o d 和z y g m u n d 理论，将关于经典p o i s s o n 积分和函数 巍潦睦将蔹懿一些绻论推广戮一般j a c o b i 级数鹳传搅，其中溺数鹤党捂往怒倦甓予广 义平移算予丑。和广义差分算子丑。米描述的 文中曹毙在第二节孛绘趱了j a e o b i - p o i s s o n 获分麓一些臻诗式，疆及共轭j a c o b b p o i s s o n 积分和j a c o b i p o i s s o n 积分的范数在熊近边界时渐近依赖关系；在第三节中， 利用j a c o b i 多项式的特征微分葵子玩# 对j a | c o b i - p o i s s o n 辍分瓣终鼷绘出了羧鼹广义 平移，描述的l i p s h i t z 函数的特征刻划；猩第四带中，利用j a e o b i p o i s s o n 积分的一 阶彤数给出了按照广义差分磊。，描述的l i p s h i t z 函数的特征剡划。瞧于以玛声为参 数韵j a c o b i 多项式一阶导数成为稿应于新的参数( n 十1 ，p + 1 ) 的多项式，为巍服由此 带来的困难，在第四带定义了一个新的算予瓦。 本交鹤辑究充分绢焉了j a c o b i 多项式帮怒几何缀数韵的一些深粼性质，避一步说 明了广义平移算子姐。和广义差分算子噩，谯1 a c o b i 级数和相关函数论问题的研究中 懿耋要往。 荧键词：j a c o b i 级数，函数光滑性，p o i s s o n 积分，共轭p o i s s o n 积分，广义平移 广义差分 2首都师范太学硕士研究生学假论文 j a c o b is e r i e sa n ds m o o t h n e s so ff u n c t i o n s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e do na p r i i2 0 ，2 0 0 6 i nf u t l f i l m e n to ft , h er e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e s p o s t g r a d u a t e ：l ik a i s u p e r v i s o r ；p r o f , l iz h o n g k a i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ts c i e n c e s c a p i t a ln o r m a lu n i v e r s i t y b e i j i n gi 0 0 0 3 7 ，c h i n a a 黔s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si 8t oc h a r a c t e r i z es m o o t h n e s so ff l m c t i o n sj nt e r m so ft h e a s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h ep o i e s o ni n t e g r a l so fj a e o b is e r i e so ff u n c t i o n s + 鬻h ef u n c t i o nt h e o r yr e l a t e dt oj a c o b is e r i e si sa ni m p o r t a n tf i e l di nm a t h e m a t i c s ，a n d t h e r eh a v eb e e ns o m ea c h i e v e m e n t si ns t u d yo fa s s o c i a t e dp r o b l e m s 。i nc o m p a r i s o nw i t ht h e c l a s s i c a lf o u r i e rz m a l y s i s ，t h e r ea r es t i l ls o m ed e 印p r o b l e m st ob ec o n s i d e r e da n ds t u d i e di n t h et h e o r yo fj a c o b is e r i e s ，a n db e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo fj a c o b ip o l y n o m i a l s ，t h e r ew o u l d b em a n yd i f f i e u l t i e si ns t u d yo fl h e s ep r o b l e m s o nt h eo t h e rh ea d ，d u et ot h ed i v e r s i t yo f p a r a m e t e r s ，t h e r ew o u l db es o m en e wt y p er e s u l t si nt h i st h e o r y i n c l a s s i c a l f o u r i e r a n a l y s i s t h e r e a r e s o m e r e s u l t s a b o u t t h ec h a r a c t e r i z 氇t i o n s o f s m o o t h - h e s so ff u n c t i o n si nt e r m so ft h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h ep o i s s o ni n t e g r a l so ff u n s t i o n s 。 e a t l e dt h et h e o r yo fh a r d y - 立i t t l e w o o d 鑫i t dz y g m u n d t h i st h e s i si st os t u d yt h et h e o r yo f h a r d y l i t t l e w o o da n dz y g m u n d a s s o c i a t e dw i t hj a c o b is e r i e s ，a n dt og e n e r a l i z es o m ec o n c l u - s i o n s a b o u t c l a s s i c a l p o i s s o n i n t e g r a l s a n ds m o o t h n e s s o f f l m e t i o n s t o t h ec s a q e o f j a c o b i s e r i e s ， a n di nt h en e we a s e ，t h es m o o t h n e s so ff u n c t i o n si sp r e s e n t e db yt h eg e n e r a l i z e dt r a i l s l a t i o n 甄a n dt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c e 毪， t nt h es e c o n ds e c t i o n ，s o m ee s t i m a t e so fj a c o b i p o i s s o ni n t e g r a l sa r eo b t a i n e d ，a n d t h ea s y m p t o t i cd e p e n d e n c eo fn o r m so fc o 逝u g a t ej a c o b i p o i s s o ni n t e g r a l st oj a c o b i - p o i s s e n i n t e g r a l si sp r e s e n t e d ；i nt h et h i r ds e c t i o n t h ec h a r a c t e r i z a t i o no fl j p s c h i t zf u n c t i o n sd e f i n e d 雅克比级数与函数的光滑性 3 b yt h eg e n e r a l i z e dt r a n s l a t i o n 最2 ，姆t h ea c t i o nt oj a c o b i p o i s s o ni n t e g r a l so ft h ec h a r a c t e r i e d i f f e r e n t i a lo p e r a t o rd n ，$ i sg i v e n ；a n di nt h ef o u r t hs e c t i o n ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no fl i p s c h i t z f u n c t i o n sd e f i n e db yt h eg e n e r a l i z e dd e f f e r e n c et t 2 fb yt h ef i r s td e r i v a t i v eo fj a c o b i p o i s s o n i n t e g r a l si so b t a i n e d s i n c et h ef i r s td e r i v a t i v eo ft h e3 a c o b ip o l y n o n h a l sa 。s s o c i a t e dw i t h p a r a m e t e r s ( o ，卢) i st h ep o l y n o m i a l sa s s o c i a t e dw i t hn e wp a r a m e t e r s ( n + l ，+ 1 ) ，i no r d e r t oo v e r c o m ed i f f i c u l t i e sb r o u g h ta b o u tb yt h i s ，an e wo p e r a t o rt t 2i sd e f i n e d t h es t u d yi nt h et h e s i sa p p l i e ss u f f i c i e n t l yt h ep r o p e r t i e so fj a c o b ip o l y n o m i a l sa n d h y p e r g e o m e t r i ef u n c t i o n s t h er e s u l t ss h o wt h ei m p o r t a n c eo ft h eg e n e r a l i z e dt r a n s l a t i o n t t 2a n dt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c e 霸2i ns t u d yo fj a e o b is e r i e sa n dt h ea s s o c i a t e df u n c t i o n t h e o r y k e yw o r d sa n dp h r a s e s ： j a c o b is e r i e s ，s m o o t h n e s so ff u n c t i o n ，p o i s s o ni n t e g r a l c o n j u g a t ep o i s s o ni n t e g r a l ，g e n e r a l i z e dt r a n s l a t i o n ，t h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c e 誊都黉器范大学位论文漂铺性声鹋 本人郑重声嘴：所鼙交的学位论文，箍本人在导师的指浮下，独立进 行薪究王佟所竣褥翡簸暴。涂文书叠经注翳弓；霈静内容外，本论文不舍任 何其箍个人蠛集体经发液或撰霹过的作晶成架。对本文的研究做编重要 赞簌趣个人襁集绛；均已在文中以甓确方式稼骥。本人完全意识嚣本声疆 的法律绻果由本人承攫。 学位论文作者签名。夕争勃u 酲期：2 0 0 6 年4 月2 0 隧 首都帮范大学位论变授权谴溺声硝 本入党企了解首都师范大学海关保餐、使耀学谴论文的溉定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其揩定机橼送交论文的电子舨栩纸震 版。有权将学位论文罐予非赢翻融静的少量复剃并允许论文迸入学校匿书 馆被凌阕。有权将学位论文的内容编入肖关数据库进行检索。有权将学位 论文酶褥题辩摘要汇编密藏。保密静擘德论文覆解密藤适薅本规定。 学位论文俸者签名：参参d 舀期：2 0 0 6 年胃2 0 掰 雅竞比级数与霸数的光滑姓 写|害 与特爨戮数有关静溺数理论一壹受弼数学家秘静攥视，一方鬣，焚中静大酃分鞫 蘧蔻爨典嚣羧褒论豹 泛攘广，萋一方溪，客一些将拣参数下熬撰毽叉与李群鼗对豫 窒耀皇懿努辑耀题蜜锈稷装。j a c o b i ( 爨吏毙) 级数疑其中翡一个蹙溅铆子，榴蓑瓣题 的研究已取得了一些成果，早期的有 7 ，8 ，2 5 ，3 5 ，4 0 4 1 ，4 4 ，4 5 】等像经典f o u r i e r 级 数一榉，开髓j a c o b i 级数礴究懿主要工矮是穰应醵平移露卷载运荬；毽是交予髑麓链 翡玻舔，通鬻麴平移帮卷积形式已不霉合适了，透l | ：程t 一整纪弼年代之蓣滚领域逸 展较缓馒a s k e y w a i n g e r 2 l 诞盟了j a c o b i 乎移程豢投终构器骞爨性，g a s p e r 1 9 ，2 0 给出了平移和卷积核魏超几何级数表示，k o o r n w i n d e r 2 7 1 证明了j a c o b i 多项式的乘 积公式，骏褥建立j a c o b i 乎穆熬封翅裘示，扶媳之露，谈领域翘磷突变褥越来越逶茨 起来，鬈如弘一g ，9 - 1 4 ，1 6 一t 8 ，2 1 2 4 ，2 6 ，2 8 * 3 4 ，3 6 - 3 9 ，4 2 ，4 6 | 等僵慧，与经典f o u r i e r 分 析相比，j a c o b i 级数理论中还有许多本质的问题有待搽讨和研究；但出于j a c o b i 多项 式翡诲多藜本性羲澈三凳多项式复杂褥多，镶鲡，各转霄限求秘，缀荡性，p o i s s o n 梭 与卷释运雾翁复杂瞧簿等，秀溪这一领竣豹磷宠会遴溺诲多实豢镶爨矮。霹懿，鑫予 2 a c o b i 多璜戏参数交镶鹃霈襻穗，会邂褒一骜褥蘩 毒嚣下难戳发骥静黼象，得戮菜些 新型的结果。 农经典f o u r i e r 级数瑷论申，一类蓉名麓靖果麓剿鼹p o i s s o n 袄分在逮器处勰瀑 近往悫来捌翔添数懿炎精睡，我秘豫之为h a r d y - l i t l e w o o d 帮z y g m u n d 理论( 纯 4 7 ， c h a p 。v 竭) 零交的羁魏熬蕊竞哭于j a e o b i 缀数翁h a r d y - l i t t l e w o o d 酾z y g m u n d 瓒埝， 即利瘸j a c o b i - p o i s s o n 积分在边界处的渐j 垃性态来刻划酾簸的光滑憾，其中函数的光滑 援是遴过程墩予j a c o b i 缀数熬f “义平移簿子羹。菇( 1 t 2 ) 颓广义巷努舅子甄觅 1 3 4 ) ) 来辩遗酶。本文鳓研巍充分利用了j a c o b i 多磺式和超凡何级数的的一黧深刻 性质，进一步说明了广义平移算子甄和广义麓分算予强在j a c o b i 级数和棚奖薅数 淹阗簸酶醑炎中的重簧榷 2 一一一萱查堑堑查堂塑主笾塞圭垩焦堡圭 第节综述 本节介绍关于雅克比级数的一些研究进展，并在最后介绍了本文的研究结果 1 1 j a c o b i 箸6 数丑孽卷积缝构 对实数o ，卢，。一1 ，2 ，以( 髓，卢) 为参数的阶j a c 。b i 多项式硝。，日( # ) 是( 见 4 1 ，( 4 + 2 1 2 ) 】) 睹= ( “：“) 斗郴十。+ ：a 峨下1 - t 】 其中f k 6 ；c ；t 】= 墨o 挚- 蔷是g a u s s 超几何函数( 见 4 1 ，( 4 2 1 3 ) 1 ) 熟知，对 岛多 一1 ， 壤( t ) 嘉。是在疆阕( - i ，i ) 主关予授螽数溺度) 趣l 。，p ( ) = ( 1 一) 。( 1 十t ) 口d t 竺兰銮妻零警累( 见阳：5 4 3 】) 我们记= ( ，t f ( t ) l r d 肛刚( t ) ) “9 ，以俨= l p 叩( ( 一l 1 ) ) 表示瀵足捌岛 卢 一1 2 时，j a c o b i 多项式砖? 。( t ) 的一个重要性质是下面的乘积公式 ( 觅k o o r n w i n d e r 【2 7 ) 睹棚( 趣) 睹，口( t 。) ：，“，1 鼢棚( x ) d m 唧) ，( 1 6 ) jo?0 其中 盖= ；( 1 伯) ( 1 + t 2 ) + i 1 ( 1 咱) ( 1 - t 2 ) s = + 【( 1 d m c , 口( 3 ，) = c e ，p ( 1 一。2 ) a - b - 1 $ 2 口+ 18 i n 2 4 d 8 戏。 2 r ( a 十1 ； 滞2 币两币i 丽访可两 秽= l v 。，8 ( ( 一1 ，1 ) ) 孛薮羧，翡j a c o b i 曩开( 或转f o u r i e r j a c o b i 袋开) 是 f ( t i ) 一# 。( ，) 始，8 聘，f ( # 1 ) ，( 1 1 0 ) 其中 o n ( ，) 一( t 2 ) r 挚棚舡郇( t 2 )( 1 1 1 ) j 1 是歹瓣第a 个f o t t d e r - j a c o b i 系数 当口 卢 一1 2 时，基于乘积公式( 1 6 ) 一( 1 9 ) ，相廒于j a c o b i 级数的广义平移算子 强 t 2 - 1 ，l ) 定义为 噩：，( t ) = z ”上1f ( x ) d m 。，p ( s ，) ， ( 1 1 2 ) 而函数，和g 的广义卷积是 ，；g ( f 1 = f ，( t 2 ) 册2 9 ( t 1 ) d u 。，口赴) ，( 1t 3 j i 鲤暴。= 一1 2 ，慕秘公式l 。6 运芘为犟积分，褥裂美于疆球多凑式翡g e g e 。 b a u e r 公式 砖为砖列( 。) ：e 。f ”霞拶( 哪。+ 瓶i 西= 西渊 ) 。i 。a f 峦，)0 j ， 一 一 。 、 7 8 9 ； l一 sdcs 2 2 2 一 1 (2 l f 4首都师范太学硕士研究生学位论文 其中c 。= 丽舞# ；孥丽；如果“ 芦一一1 2 ( 1 6 ) 退化为另一形式的单积分；如果 a ：卢：一l 2 ，( 1 6 ) 退化为余弦函数的积化和羲公式遮榉，我们可以依照对应的形式 写密这些情况下的广义平移和卷积的怒义 广义平移棚卷积的性质陈述在下筒的定理中 寇瑾1 1 设a 筘一l 2 ，g ，h l = 口( 一i ， ) ) 虽l ( i ) 平移算子巩。是关于t 2 ( 一l ，1 ) 一致肖界的正算子，并且噩。，( t 2 ) = t t 。f ( t o ； f i i t 2 n 露k f ) = 。( ，) 嚣( t 2 ) ， 8 。( 于tg ) 一a n ，) 8 。( 彩； ( f4g * g f ，f + ( g + h ) = ( f + g ) ； ( h ) l l 墨：，l | 聱曼f l l l ，tg 曼l ，l 珏1 9 l l q ， l ，r = 1 p + 1 q 一1 根据定理1 1 ( i i ) ，砚。f 和f $ g 分别具有展开式 。 霉。f ( t 1 ) 一。( ，) 毋，口) r ，国( # 2 ) 盈乎，# # 1 ) ， ( 1 1 5 ) n 0 ，；擘一f # 。伽。( p ) 毋霈砖圆( 1 ) ( 1 1 6 ) 函 涟记。乘积公式1 6 ) 可以写惑 r 1 r 妒，p ( 1 ) r 妒口( t 2 ) = 船8 ( t 3 ) d 地，：( t 3 ) 。 根据g a s p e r 1 9 ，2 0 】，该公式可以扩展聚a 芦 - 1 ，o ( + 芦- 1 ，此时实b o r e l 测 度觑；，赴( 3 ) 对# l ，t 2 一1 ，1 ) 一致遣瀵足l | 觑蚶：( 亡3 ) m ，定理l 。l 泠( 1 v ) 仍然成 立，只是在( i v ) 中的两个不等浅的右侧附上常数困子m ；而且当且仅幽卢一l 2 或 理+ 芦0 时，d 砖l ，f 2 ( f 3 ) 0 1 , 2j a c o b i 级数的p o l s s o n 聚癸穗共筑p o i s s o n 积分 下面我们介绍j a c o b i 级数的p o i s s o n 积分相接轭p o i s s o n 积分 对f 矽= 瑶8 ( ( 一1 ，1 ) ) 阎是，的j a c o b i 矮开，蔡p o i s s o n 积分( 鄢a b e l 平璃) 是 ( t 1 ) = ，( nt 1 ) = r “。( ，) 驴1 4 r 乎，9 ( n ) ( 11 7 ) n = o 函数钍( 渖) = f ( r , c o s o ) ( 。，们一( 7 c 0 5 ，r s i n 0 ) ) 在上半黼盘 d + = = ( 譬，鳓：鬈2 + 蓼2 o 内满慰微分方稷( 见 3 0 ，( 2 4 ) 】) a 。，目“= 0 ，( 1 1 8 ) 一奠燮墅盥塑墼s 其中 差+ 等薄藩燃薄舞麦 关予j a b 。p 。i s ；零努，貔寥j 有黧骼i ，蕊赶l m a3 1 ) 忧”，。s p ( 1 , 1 9 、 嘉t l 一岁瓯t 1 ) 翁积分澎式是 珧卜地。t ) 。，施) 邛嗷岛) 劫唧。 冀啦 咿妫一p 唑哟= 毫妒毋髑矗缎如舻( 1 2 1 ) 霎蓊詈：鬻黼高畦如。衙多h 瑟，p o i s s o n 袄黼锄吲删 还蛩疆写黢卷援影式 “”“一“。1 弄擘曲2 ，( 删 j ，s 坪吼瑚( 螂= 上：， 砘) 碍卿砸2 ) 咖郇渤) ，n 2 2 ) 其字 母 。) = p 扭辨( 删) = r “糟，椰鼢 移+ f 1 2 3 ) 容易看出p ，m ( 岛，2 ) = 群a ，钟( 。) ，即 碍印淑，拐。zz 牟钒鳓江加郇融舒，( 1 - 2 4 ) 萋专：慧隔渤：，翌：妇z 案，9 霸f l ，嗲强辩绘蹬，霞 l 姆群螂，( 磅：p f 刚j 。t 为3 8 嫡p 蠖姆。b 棱，瓣穆硝唧移i ，岛) 为平移j a c o b i 。p 。i 黯。蛙毒+ + ” v 一 融s s 。n 禳9 8 蹲8 黪g 汹超霓俺爱数裘嚣怒f 觅潞，3 0 l ) 母棚2 黼裟f f ( o f 卅尝小3 1 ；粼一。， 和掰炭系式( 见( 1 5 ，2 i 。4 ( 2 3 ) 1 1 j f m ，6 ；c i 铂= ( 1 - t ) 。一8 6 f c a i c 赴c ；t j ， 0 2 6 ) p o i s s o n 禳硝“ 8 3 f ；透霹辍骛壤曼辫，限骥 2 r ( 1 nl ；耐| ，f l 矧 d 芦l如十 i 萨 p坚 + 艟 器 二眈 n a 拦鞯 取， 6 首都师范太学硕士研究生学位论文 测用微分关系( 1 4 ) 或者 岳脚 舭卜譬f k “6 + 如乩 我秘蠢 盖p 叩( f ) = ( 2 a - + 2 ) r 群时l ，口+ l ( t ) ( 1 2 设( 1 1 0 ) 是，l v = l ：，口( ( 一1 ，1 ) ) 的j a c o b i 展开，则其共轭j a c o b i 。p o i 8 8 0 n 积分是 ( 觅1 3 0 , 2 6 蹩 翮吼m = 夸州m 毪笔孕娥邶十1 ) 陬) 。 ( 1 。g ) 若记”( g ) = ，( _ c 0 8 日) f i x , y ) = pe o s o ，r8 i n ) ，则它与p o i s 8 0 n 积分“( m ，# ) ：，( t c 。s o ) 在上举鏊盘d + 内共麓满蹩广义c a u c h y r i e m a n n 方程缀( 觅 3 0 ，( 2 8 ) 】) 溶| | ：癣蠢瀛旧 曩嘲 l 貉一嚣一 o + 芦+ l + 撩) ；姐 p 。w 获( 1 。3 0 ) 胃餐，共辍p o i s s o n 辍分# ，彩= ，o c o s 0 ) 在d + 蠢满足方稳 n 一”一 n + 芦+ ，+ 踹) 嘉”= 。 广义c a u c h y r i e m a n n 方稷组( 1 3 0 ) 的极坐标形式是 ”卿+ 蜥+ 芈”娟 i“r一珊下a-3+(a+3+1)coso口一0， 或等价地 j 坳一一r 书均寿十脚”) ， l 呻。( 口) 一1 品( 冁删 ) ， 1 3 1 ) 其中 觋囊耻2 a + 口+ ls i r t 2 e + 1 8c o 拶1 ； ( i 3 2 ) 易觅，啦( c o se ) = 一，8 ( 8 ) 姻。 共轭p o i s s o n 积分，机t 1 ) 的积分形式是 。，l 嘉( 1 ) 2f ( r ，1 ) = 7 ，t 2 ) q 8 t l ，2 ) 磷l 。，$ ( 2 雅克比级数与函数的光滑性 其中 7 秽溆，囝= 沁，啦拶专玺孚始邶+ 1 ) 钕秽豫。) q 8 ( t l ，t 2 ) 被黎为共辘j a c o b i p 。i s s o n 棱，它与乎移p o i s 8 。n 拔蟛鄙涤l ，t 2 ) 懿关系是 ( 见【3 0 ，( 2 1 1 ) 】) 拶溆沌净母侧面p 十9 畚拶积沁翻瓠 设( 1 1 0 ) 是f l v = 醒8 ( 一1 ，1 ) ) 黪j a c o b i 展开，我弱张级数 ，羹笔蜃至昱缈) ( 1 3 3 ) 为洒数，的其轭j a e o b i 级数 下面介绍与共轭j a c o b i 级数相应的奇异积分。 砖8 多 一l 2 ，我键懋艾“广义差分葵子” 砧) = z ”办硼小， ( 1 3 4 ) 其中x = x ( h ，t 2 ；s ，) 由( 1 7 ) 式给出，而 d r h 。，# ( 8 ，f ) = 4 弛+ 1 ) 2 s c o s d m n ，口( s ，a 显然骞 i 磊2 f ( t 1 ) 4 + 1 ) 2 噩。( 1 ，1 ) ( t 1 ) ；( 1 3 5 ) 而当，是常函数时，磊。，兰0 ，即五。具有消必性质( 或称差分性质) ，瞬此我们称磊，为 “广义差分黧子” 对，舻= ：，口( ( 一1 ，1 ) ) 和给定的t 2 ( - 1 ，1 ) ，磊。，具有展开式( 见 3 0 ，慨3 ) j ) 磊f ( t t ) 一。( 歹) 斑鬟瓣邵竭显翳邶 t ) 乒i 乏，) 我妇定义丞数 g ( t ) ：( 2 口+ 2 ) 、t = i ，1 ，十p + l p ( n 十1 ，口+ l ( s ，t ) d s 。 根据【3 0 ，p p 1 8 8 一1 8 9 ，g ( ) 是 一1 ，1 ) 上：的连续函数且 g f 0 ( 1 一) 一8 1 ( 1 + ) 1 2 ， 8 首都师范太学硕士研究生学位论文 g ( ) 还其有展开式 ) 一薹再三葺南w 黠1 册1 ) r 黠1 卅1 ) ( 辞v f 琢 褒在我们定义截断共轭函数 ( t 1 ) 一噩。，( t 1 ) a ( t 2 ) d t 。，口( t 2 ) ， 一 并在主逡意义下定义共辍涵数 巾t 卜。骢，e ( t ，) 懿栗，是邋警好懿丞数，弼共嚣丞数歹具寿震开式f 1 3 3 。 关于j a c o b i 级数的p o i s s o n 积分和共轭p o i s s o n 积分的结论包禽在下列各定理中 定理1 2 ( p o i s s o n 积分特征， 3 1 】) 设“( 。，y ) 猩d 十= ( 。，y ) ：x 2 + y 2 o l 蠹是国一调帮的( 秘游足f 1 1 8 ) ) 则 i ) 辩1 p o 。，u ( z ，y ) = ，( r ，t ) ( t = c o s 0 ，。一r c o s 0 ，y = r s i n 0 ) 是莱函数，l p 的p o i s s o n 积分的充分必鼹条件是 s u p 陋妒c o s 0 ，r s 浊刚p c o ；( 1 3 7 ) 0 o ； ( i i ) 对1 of 0j 设，0 ) 是，的( 经典) p o i s s o n 积分，则，的p o i s s o n 投大毯数是 p , f ( o ) = s u pf f ( r ，o ) i 0 茎r - 1 ，声- 1 t 2 或a + 芦0 时，其中的薅个是等玲鳃。第一令掇大爨数是 ，+ ( 旬。麓万= 号而z r o + 。e 忡。8 咖) i ，口( 妒) 唧， 1 其中t c o s 0 ，u ( 0 一，8 + ) 一一f 0 0 + 。i f ：。，p 彩彩，歌，p ( ) 赉( i 。3 2 ) 给出。 由于当82 卢 - 1 ，箩芝一- 1 2 或8 + 黪0 时，广义乎移楚寿器酌正算子，这样 我们可以缭出第二个极大暾数的定义 ( = s u ph 。si ，i 鞲) = s u p 7l ( c o s 妒) 正。女 。( t ) ，p ( 妒) d ， 0 f 口 o 一1 ，芦一：2 或a + 声o ，虽q s 矗( g ) 曼只歹( o ) 美于极大函数的主要结论包含在下列定理中 宠瑾1 6 ，( 【l )泾1 一1 时，+ 是强国，p ) 型的，弱( 1 ，1 ) 型的； i l ) 当积2 露 一1 ，。+ 多一l 辩，二耩p f 是强匆，囝疆酶，弱( 1 ，1 ) 整的 壤据定璞1 6 ，仿照 3 9 ，t h e o r e m2 e ) j 憨涯霹，姿声 一1 ，a + 多1 跨，对 ，五1 = l ：，口( ( 一1 ，1 ) ) ，l i 脚。1 一f f f ，t ) = ，( ) 在t ( 1 ，1 ) 上几乎处处成立。 为了介绍关于j a c o b i 级数的l i t t l e w o o d - p a l e y 定理，我们定义下面一些算予 如果6 是正整数，定义d 除径怠导数南，杌t ) = p 暴) 6 ，( t t ) ；如果d ：女一 0 一1 ，卢1 2 或o + 芦0 ，定义 铆) = 町n 吲2 , x t - r 卜r ) - 笛- l d r r 口；歹， ) = z 1 | d ，( t ) 2s 粕，( ) l r ) 一。s t 幽) 1 7 2 ， 雅克比级数与函数的光滑性 其中x l 一，( t ) = x t 一，( c o s o ) 是区间口si o ，1 r j 的特征函数， ，( ) = ( 亡渤) 。汹+ 2 t = c o s 0 枣j 魁c e s r o 乎均繁予罐f 支，丁一蠢数傣秘螺定义为 珊( ，；t ) = 蝣f 曩t ) = f 甜1 ( m ) n = 0 | 蹬，： 靼= 0 其中 ) 是满足条件。 1 。2 。i ) = m 0 c 7 的非负数列， j a c o b i 级数的l i t t l e w o o d p a l e y 理论包含在下列定理中 定壤l 。7 ( 1 4 1 ；谈1 p 墨，甚妒豆勖歹) = 0 ，燹 站| # l ( ，；) 1 1 p a p l ，p ， 1 p o 。，。，芦一l ； ( i i ) | | ，j k a p | 1 9 1 ( ，；) 1 1 p ， 1 p 喜，班，筘 一1 ，8 + 葶2 1 ； ( v ) 8 ( ，t ) sa 1 蝶( ，；t ) ， ，7 0 ，o ，芦 - i ，o + 卢一1 ； ( v i ) 9 l ( ，t ) e w ( ，；t ) ， d 0 ，n ，卢 一1 ，卢一1 2 或代十厣0 ； 如果5 0 ，o 牟 i ，参2 一i 2 或a + f l 谯| ；t 一| 辅2 5 q - t ，燹 v i i ) | 嚣f 壳，) l l psc l i i i 拼 ( v i i i ) i i ( ，；训p 篓1 i g l ( ，；) 1 1 p 1 4j a c o b i 级数的牧徽与发散 熟知，一个函数壑闻审静一个突餐歪交系，冀纛交晨舞的按范数收敛烂簿僚予部 努嚣箕予筑致毒雾链糟z 戆一个经典键暴罴漩，2 考f o u r i e r 级数戆帮努鞫歹；锄， 当1 o + 1 2 ，则存在不依赖于n 的常数b ，使得 破州曼b 螨l 盖， 其中x = g ( 卜l ，l j ) 或舻( ( 1 ，1 ) ) ，1 p 一i ，“+ 芦一1 ，d 0 则对所有满足不等式 曩i | 一1 ，o t 十卢0 或声- t 2 ，5 和p 满足不等式( 1 ，3 9 ) 剿存在常数c ，使褥对任意通数列 轰 窝正整数列 稚女 舂 旧删) “ 怡硝) v u 关于j a c o b i 级数懿几乎处蹙收敛瞧，p o l l a r d 4 2 l 联矮c a d e s o n 饔h u n t 关予f o u r i e r 级数酶结菜和j a c o b i 级数髓等价收敛怒理( 觅 4 4 ) ，证雳了下灏的结论 定理1 1 0 ( 4 2 】) 设 “敞 i i 巧，i 赢 0 ，记 蛾，口一 f ：f 是卢) 一解析的且1 1 硎备，。= s u p i f ( r e i 。) r 眠，p ( 目) 础 p o ，则f l i 备，。嚣届i _ f ( e 埘) p ，卢( 8 ) d p ； ( i v ) 装p p o ，则f 磁，g 当显仅姿熙，f 噬，$ ( ( 一1 ，1 ) ) ，c o s 0 = t ，其审 ，p 徊) = s u pl f ( r e 5 9 ) l r e 2 e j 2 0 是非留愆极大函数，鳓是上半匿盘海以e 讲为定点的 切自隧域；进一步， i i f i t 碟日曼i i n n ，p 鼢sc l l g t b ：。； ( v ) 对p p o ，p i p o ，如果f ( r e i o ) 域。口，f ( e 讲) l m 。8 ( ( 一l ，1 ) ) ，c o s o t ， 贝4 f r ) 磁名 m i y a c h i 【3 7 1 按极大酾数和原子分解的方式在欧氏空间的一个开子集上定义了相应 于一个倍测度的h a r d y 奄间，并用于j a c o b i 级数移植定理的研究 根据上述定理可以蠢接薅到f r i e s z 积m ，r i e s z 型定理以及f a r o u 型定壤 定遴1 1 2 ( a i d设拈l 葙d 锄怒( 一1 ，1 ) 上的b o r e l 有限测廑如果 d a i 一n 。u 乎，9 r 妒，4 ( t ) ， 奶一薹i 筹糌始蚺i 姑瑚1 ) 廊 则d a l 秘如2 都是绝对涟续的 1 4首都师范大学硕士研究生学位论文 定理1 , 1 3 ( 【3 l j )设“( 岛y ) 是( a ，黟) 一调和的( 即在d + 内满足