（计算机应用技术专业论文）高维和时滞混沌系统的理论研究及电路实现.pdf

中文摘要 摘要 在过去的二十多年中，混沌科学逐渐从简单的科学好奇过渡到重要的实际应 用阶段。自从l o r e n z 系统作为研究混沌的典范以来，人们认为混沌提供了一个丰 富的信号设计和发生机制，它们在数据加密、保密通信和信息处理等方面有潜在 的应用前景。值得注意的是，有目的的产生和强化混沌是许多工程技术领域的一 个研究热点。 沿着这个研究趋势，本论文重点研究了三个方面的问题：非线性电路中混沌 的产生机制，混沌系统的电路设计和混沌系统的自适应同步。本论文主要贡献如 下： 首先回顾了与论文研究相关的知识，包括混沌的定义、混沌运动的特征、混 沌的判据和规则以及非线性电路中的混沌现象。人们知道，混沌现象不可能在一 阶、二阶自治连续时间系统中产生，也不可能在一阶非自治连续时间系统中产生。 但是人们在三阶自治连续时间系统中发现了混沌现象。本文对几个典型的三维混 沌系统和电路实现进行了详细地分析。 针对低维混沌系统的安全性较低、容易受到威胁的缺陷，我们考虑增强非线 性系统的混沌行为，提出了一种四维混沌电路的设计方案，该电路可以作为一个 高维混沌发生器，在保密通信和图像加密中有潜在的应用。 但是，随着维数的增加，混沌系统的物理实现变得更加困难。幸运的是，如 果加入时延，简单神经元就能够展示出混沌行为。人们发现：由两个或三个非线 性神经元组成，每个神经元都有一个s i g m o i d 传递函数的时延神经网络能产生混沌 行为。我们分析了时滞非线性系统的稳定性、h o p f 分岔、极限环的失稳和混沌现 象，深入探讨了时滞非线性系统中的混沌产生机制。 在上述研究基础上，本文提出了带有非单调激活函数的时滞混沌神经元模型 电路设计方法。我们设计的廖氏时滞混沌神经元电路既可以作为独立的时滞混沌 发生器，也可以作为一个混沌神经元电路单元，甚至可以看成是细胞神经网络中 的一个细胞，在保密通信和信息处理中有潜在的应用价值。值得一提的是：我们 发现了一个特定的非线性电路系统，并对其稳定性、h o p f 分岔的存在性进行了理 论分析，构建了相应的时滞混沌电路系统，其输出波形和相图具有明显的混沌特 征。 最后，我们研究了混沌同步控制。混沌同步吸引了越来越多的关注，人们在 研究中发现，混沌同步在许多领域，特别是生理学、非线性光学和保密通信中起 着重要的作用。利用现代控制技术，论文中研究了高维混沌系统和时滞混沌系统 重庆大学博士学位论文 的自适应同步，给出了同步方案和理论证明，并用数值仿真验证了方案的有效性。 关键词：混沌，混沌发生器，高维混沌系统，时滞混沌系统，自适应混沌同步， 电路实现 英文摘要 a b s t r a c t o v e rt h el a s tt w od e c a d e s ，c h a o sh a sg r a d u a l l ym o v e df r o ms i m p l yb e i n ga s c i e n t i f i cc u r i o s i t yt 0ap r o m i s i n gs u b j e c tw i t hp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o n s s i n c et h ef i r s tp a r a d i g mo ft h ew e l l - k n o w nl o r e n zs y s t e m ，c h a o t i cs y s t e m sh a v eb e e n c o n s i d e r e da sar i c hm e c h a n i s mf o rs i g n a ld e s i g na n dg e n e r a t i o na n dt h e yh a v ep o t e n t i a l a p p l i c a t i o n st od a t ae n c r y p t i o n ，s e c u r ec o m m u n i c a t i o n sa n ds i g n a lp r o c e s s i n g i th a s b e e nn o t i c e dt h a t ，p u r p o s e f u l l yg e n e r a t i n go re n h a n c i n gc h a o sc a nb eak e yi s s u ei n m a n yt e c h n o l o g i c a la n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s t h i st h e s i sa d d l s s e st h r e e i m p o r t a n t i s s u e si n v o l v e di nc h a o t i c s y s t e m s ： m e c h a n i s mo f g e n e r a t i n gc h a o si nn o n l i n e a rc i r c u i t s ，c o n s t r u c t i o no fc h a o sg e n e r a t o r s a n da d a p t i v ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o n s p e c i f i c a l l y ，t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i st h e s i s a 托p r e s e n t e da sf o l l o w s t h ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ei n v o l v e di n t h i st h e s i s ，i n c l u d i n gt h ed e f i n i t i o n so f c h a o s ，t h ec h a r a c t e r i s t i c s ，t h ec r i t e r i o n sa n dr u l e so fc h a o s ，a n dc h a o sp h e n o m e n ai n n o n l i n e a rc i r c u i t s ，a r ei n t r o d u c e d i ti sw e l lk n o w nt h a tc h a o sc a nn e i t h e ro c c u ri nf i r s t - o fs e c o n d - o r d e ra u t o n o m o u s c o n t i n u o u s - t i m es y s t e m , n o ri naf l r s t - o r d e rn o n a u t o n o m o u sc o n t i n u o u s - t i m es y s t e m c h a o sh a sb e e nf o u n di nt h r e e - o r d e ra u t o n o m o u sc o n t i n u o u s - t i m es y s t e m s e v e r a l t y p i c a lc h a o ss y s t e m sa n dc i r c u i t r yi m p l e m e n t a t i o na r ea n a l y z e di nd e t a i l a i m i n g 砒l o w d i m e n s i o n a ls y s t e m sh a v i n gl o ws e c u r i t yt ob ee a s i l yc a p t u r e d e n h a n c e m e n to fc h a o si nn o n l i n e a rs y s t e ms h o u l db ec o n s i d e r e d a ne l e c t r o n i ca n a l o g o fan e wf o u r - d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sa u t o n o m o u sc h a o t i cs y s t e mi sd e s c r i b e di nd e t a i l t h ep r o p o s e dc i r c u i tm a yb eu s e da sc h a o sg e n e r a t o ra n dh a sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n st o c o m m u n i c a t i o n sa n ds i g n a lp r o c e s s i n g h o w e v e r , w i t ht h ei n c r e a s eo fd i m e n s i o n ，t h es y s t e mb e a 沁m em o r ec o m p l e xa n d h a r dt oi m p l e m e n tw i t he l e c t r o n i cc i r c u i t r y f o r t u n a t e l y , i ti sf o u n dt h a ts i m p l en e u r a l n e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y sc a ne x h i b i tc h a o t i cd y n a m i c a lb e h a v i o r c h a o t i cp h e n o m e n a f o rd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sc o n s i s t i n go ft w o o rt h r e en o n l i n e a rn e u r o n sh a v ea l s o b e e nf o u n d i nt h i st h e s i s ，t h el o c a ls t a b i l i t ya n de x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o n ，t h el o s s o fs t a b i l i t yo fal i m i tc i r c l ea n dt h en u m e r i c a lt r a n s i t i o nt 0c h a o so fd e l a y e dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r cs t u d i e d b a s e do nt h ea b o v ew o r k , ac i r c u i t r yi m p l e m e n t a t i o no fc h a o t i cl i a o sd e l a y e d m 重庆大学博士学位论文 s y s t e mw i t hn o n - l i n e a ra c t i v a t i o nf u n c t i o ni sp r o p o s e da n da n a l y z e d a tt h es a m et i m e ， s o r t i em e t h o d si nn o n l i n e a rc i r c u i td e s i g n ，e s p e c i a l l yf o rc i r c u i tw i t ht i m ed e l a y e du n i t a n dn o n m o n o t o n o u s l yi n c r e a s i n gt r a n s f o r mu n i t , a r ea l s oc o n s i d e r e dc a r e f u l l y t h e p r o p o s e dc h a o t i cc i r c u i tm a yb eu s e da sad e l a y e dc h a o sg e n e r a t o r , ac h a o t i cn e u r o n c i r c u i tu n i t ，o re v e nac e l lf o rc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k i na d d i t i o n ，an o v e ld e l a y e d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hh a sc h a o s l i k eb e h a v i o r , i sp r o p o s e da n di t sc i r c u i t r y i m p l e m e n t a t i o ni sa l s og i v e n 1 1 1 el a s tb u tn o tt h el e a s t 嬲w ek n o w , c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a v eb e e na t t r a c t e d m o f ea n dn l o r ea t t e n t i o n a n di ti sf o u n dt h a tc h a o ss y n c h r o n i z a t i o np l a y s 趾i m p o r t a n t r o l ei nm a n ya r e a s ，e s p e c i a l l yi np h y s i o l o g y , n o n l i n e a ro p t i c sa n ds e c n r ec o m m u n i c a t i o n , e t c u s i n g m o d e mc o n t r o l t e c h n o l o g e ，a d a p t i v e c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n o f h i g h e r - d i m e n s i o n a la n dd e l a y e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ed e s i g n e da n da n a l y z e d k e y w o r d s ：c h a o s ，c h a o sg e n e r a t o r , h i g hd i m e n s i o n a lc h a o ss y s t e m , d e l a y e dc h a o t i c s y s t e m , a d a p t i v ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，c i r c u i t r yi m p l e m e n t a t i o n i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重迭盍堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作糍：降签字眺州 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庞太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( 、) 。 ( 请只在上述一个括号内打“；) 学位论文作者签名： 她u 导师签名： 签字日期：伊彤年陀月夕日 签字日期：日 1 绪论 1 绪论 在过去的二十多年，混沌科学在工程系统等领域中蓬勃发展，提供了一个丰 富的信号设计和发生机制。它们在数据加密、保密通信和信息处理等方面有巨大 的应用前景。非线性电路中混沌产生机制，混沌系统电路设计和混沌系统的自适 应同步是当前的研究热点，具有长远的理论研究价值和应用前景。本章主要介绍 混沌研究的历史、非线性电路中的混沌现象；阐述混沌的定义、混沌运动的特征 和混沌的主要应用；针对安全性和当前的研究热点，探讨了高维混沌系统和时滞 混沌系统研究现状。在本章最后，对论文的整体布局进行了说明。 1 1 混沌研究的概述 1 1 1 混沌研究的历史回顾 混沌是不含外加随机因素的完全确定性的系统表现出来的界于规则和随机之 间的内秉随机行为，是自然界普遍存在的复杂运动形式。“混沌”一词最早出现在 中国和希腊的神话故事中，本意是“杂乱无章、混乱无序”。在人们日常生活中许 多自然象，如：钟摆的摆动、岸边海浪的破碎、漂浮的云彩、大气和海洋的异常 变化、宇宙中的星团乃至经济的波动和人口的增长等，它们看似杂乱无章的表面 现象下却蕴涵着惊人的运动规律 1 - 4 。最早对混沌进行研究的是法国科学家庞加莱 饵p o i n c a r e ) ，1 9 1 3 年他在研究能否从数学上证明太阳系的稳定性问题时，把动力 学系统和拓扑学有机地结合起来，并提出三体问题在一定范围内，其解是随机的， 实际上这是一种保守系统中的混沌。1 9 2 7 年，丹麦电气工程师v a i ld e lp o l 在研究 氖灯张弛振荡器的过程中，发现了一种重要的现象并将它解释为“不规则的噪声”， 即所谓v a nd e lp o l 噪声。二战期间，英国科学家重复了这一实验并开始提出质疑， 后来的研究发现v a nd e lp o l 观察到的不是“噪声”，而是一种混沌现象。1 9 5 4 年， 前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫( k o l m o g o r o v ) ，在探索概率起源的过程中，提出了 k a m 定理的雏形，为早期明确不仅耗散系统而且保守系统也有混沌现象的理论铺 平了道路。 1 9 6 3 年，麻省理工学院的气象学家洛伦兹( l o r e n z ) 在研究大气环流模型的过程 中，提出了“决定论非周期流”的观点，给出了著名的洛伦兹方程。这是第一个 在耗散系统中由一个确定的三阶常微分方程导出混沌解的实例。这一结果解释了 长期天气预报没有获得成功的内在机理，根本原因是确定性动力系统中存在着混 沌运动。洛伦兹在发现第一个混沌吸引子的同时，还进一步揭示了混沌运动的本 质特征瞪t 6 1 。1 9 6 4 年，法国天文学家h e n o n 发现，一个自由度为2 的不可积的保守 重庆大学博士学位论文 的哈密顿系统，当能量渐高时其运动轨道在相空间中的分布越来越无规律，给出 了h e n o n 映射。1 9 7 1 年，法国物理学家d r u e h e 和荷兰数学家e t a k e n s 首次用混 沌来解释湍流发生的机理，并为耗散系统引入了“奇怪吸引予”的概念1 7 - 1 0 1 。 1 9 7 5 年，美籍华人学者李天岩和他的导师美国数学家j a y o r k e 发表周期3 意味着混沌一文【1 1 1 ，证明了在任何一个一维的系统里，只要出现周期3 这一周 期，这个系统也能显现其它长度的周期，也能表现完全的混沌。他们认为“混沌” 是确定的非线性动力学系统中出现的一种类似随机的不确定输出，并给出了“混 沌”的定义。1 9 7 6 年，英国数学生态学家r m a y 在文章具有极复杂动力学的简 单数学模型中详细描述了l o g i s t i c 映射x n + l = z t 。( 1 一毛) 的混沌行为，并指出生态 学中一些非常简单的数学模型，可能具有非常复杂的动力学行为。1 9 7 8 年，美国 物理学家费根鲍姆( m f e i g e n b a u m ) 通过对l o g i s t i c 模型的深入研究，发现倍周期分 岔的参数值呈几何级数收敛，从而提出了f e i g e n b a u m 收敛常数万和标度常数口， 它们是和石一样的自然界的普适性常数【1 2 】。费根鲍姆的卓越贡献在于他看到并指 出了普适性，用标度变换进行计算，把混沌的研究从定性分析推进到定量计算阶 段，提出了倍周期分岔通向混沌的理论。使混沌学的研究从此进入了蓬勃发展的 阶段。 进入8 0 年代，人们着重研究了系统如何从有序到新的混沌以及混沌的性质和 特点，并进入了混沌理论的应用阶段。9 0 年代以来，随着非线性科学及混沌理论 的发展，混沌科学与其他应用学科相互交叉、相互渗透、相互促进、综合发展， 其在电子学、信息科学、图像处理等领域都有了广泛的应用。直到目前，有关非 线性系统中的混沌、混沌产生机制、产生混沌的系统等内容仍然是人们研究的热 点1 拍3 7 1 。 1 1 2 非线性电路中的混沌现象 非线性动态电路也是一种非线性动力学系统，电路系统中的混沌现象研究一 直受到人们广泛的关注。1 9 8 1 年，林塞s l i n s a y ) 通过对含有变容二极管的二阶 非自治电路的研究，设计了一个受控非谐振电路，在实际的物理系统中验证了费 根鲍姆( m f e i g e n b a u m ) 提出的倍周期分岔通向混沌的理论t 1 3 。yu e d a 和蔡少棠( l 0 c h u a ) 等对正弦激励下的非自治电路中及r w n e w c o m b 等对自治电路中的混 沌现象研究是关于电路系统中混沌研究的早期成果。 1 9 8 3 年，蔡少棠( l o c h u a ) 在访问日本期间，在用电子线路模拟l o r e n z 方程 尝试无效后，他意识到在分段线性电路中能够产生混沌现象，但这个电路应该至 少拥有两个平衡点一一个平衡点实现伸展，另一个平衡点实现轨线的折叠。带着 这种洞察力，他系统地鉴别了那些三维分段线性电路，包括能产生混沌的由电压 控制的单个非线性电阻，从而确定了选择电压控制非线性电阻的策动点( d r i v i n g 2 i 绪论 p o i n t , d e ) q 睁性产生至少两个不稳定平衡点。1 9 8 3 年底，蔡氏电路发明，分别被计 算机数值模拟和用实际的电子元件实现。蔡氏电路于1 9 8 6 年被证明在s h i l n i k o v 意义下确实存在混沌现象，从而开始了混沌研究的新篇章“4 1 。 1 2 混沌的定义 一般认为，混沌就是指确定性非线性系统中出现的一种貌似无规则的、类似 随机的现象，而系统中出现的具有内在随机性的解，就称为混沌解。这种解在短 期内可以预测而在长时期内却不可预测，因此与确定解和随机解都不相同。混沌 不是简单的无序而是没有明显的周期和对称，具有丰富的内部层次的有序结构， 是非线性系统中的一种新的存在形式。但是迄今为止，对混沌概念还没有公认的 严格的定义。为了研究方便，人们从不同的侧面提出了一些反映了混沌运动的性 质的定义，虽然定义的方式不同，彼此在逻辑上也不一定等价，但它们在本质上 是一致的3 4 7 2 1 。 l i y o r k e 的混沌定义 1 9 7 5 年，李天岩皿yl i ) 和约克( j a y o r k e ) 给出了混沌的一个数学定义n 】，这 也是第一次赋予混沌这个词以严格的科学意义，“，y o r k e 的定义为：在区间，上的 连续自映射，如果满足下面条件，便可确定它有混沌现象： 1 ) ，的周期点的周期无上界； 2 ) 闭区问，上存在不可数子集s ，满足 a ，y s ，工y 时，l i m s - p ：4 ( 石) - f “( ) ，) i 0 ； b v x ，y s ，l i m i n f i ，4 ( 石) 一，4 ( ) ，) l = 0 ； c v x s 和f 的任意周期点y ，有i i m s u p “( 力一，4 ( ) ，) | 0 。 m e l n i k o v 的混沌定义 如果存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形横截相交，则必存在混沌。 d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑意义下，混沌定义为：设y 是一度量空间，映射，：y _ y ，如果满足 下面3 个条件，则称，在y 上是混沌的： 1 ) 对初值的敏感依赖性：存在j 0 ，对于任意的 0 和任意工v ，在j 的占 邻域内存在y 和自然数n ，使得d ( f 4 ( 力，“( y ) ) j ； 2 ) 拓扑传递性：对于y 上的任意一对开集z ，】，v ，存在k 0 ，使 ，( z ) n y 垂； 3 ) ，的周期点集在y 中稠密。 从稳定性角度考虑，混沌轨道是局部不稳定的，“敏感初条件”就是对混沌轨 道的这种不稳定性的描述。对于初值的敏感依赖性，意味着无论五y 离得多么近， 3 重庆大学博士学位论文 在，的作用下，两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点工附近都可以找 到离它很近而在，的作用下最终分道扬镳的点y 。对这样的，如果用计算机计算 它的轨道，任何微小的初始误差，经过若干次迭代以后都将导致计算结果的失效。 拓扑传递性意味着任一点的邻域在，的作用之下将“遍历”整个度量空间y ， 这说明，不可能细分或不能分解为两个在，作用下不相互影响的子系统。上述两 条一般说来是随机系统的特征，但第三条周期点集的稠密性，却又表明系统 具有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，而是形似紊乱实则有序，这也正是 混沌能够和其它应用学科相结合走向实际应用的前提。 1 3 混沌运动的特征 混沌运动具有通常确定性运动所没有的本质特征。其体现在几何和统计方面 有：局部不稳定而整体稳定、无限相似、连续的功率谱、奇怪吸引子、分维、正 的l y a p u n o v 指数、正的测度熵等剐。为了与其它复杂现象区别，一般认为混沌应 具有以下几个方面的特征，它们之间有着密不可分的内在联系刚。 1 3 1 混沌的基本特征 遍历性 混沌运动轨道局限于一个确定的区域一混沌吸引域，混沌轨道经过混沌区域 内每一个状态点。 整体稳定局部不稳定性 混沌运动不仅具有整体稳定性，还具有局部不稳定性。稳定性是指系统受到 微小的扰动后系统保持原来状态的属性和能力，一个系统的存在是以结构与性能 相对稳定为前提。但是，一个系统要演化，要达到一个新的演化状态又不能稳定 性绝对化，而应在整体稳定的前提下允许局部不稳定，这种局部不稳定或失稳正 是演化的基础。所谓的局部不稳定是指系统运动的某些方面( 如维度、熵) 的行为强 烈地依赖于初始条件。 对初始条件的敏感依赖性 洛伦兹曾在一次演讲中指出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，就有可能在美国的 德克萨斯引起一场风暴。这句话具有深刻的科学内涵和迷人的哲学魅力，它形象 地反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。 初始条件的任何微小变化，经过混沌系统的不断放大，都有可能对其未来的状态 造成极其巨大的差别。所以，人们常用“蝴蝶效应”来形容混沌系统对初始条件的敏 感依赖特性。 轨道不稳定性及分岔 混沌运动会随某个参数或某组参数的变化而变化。这个参数值( 或这组参数值) 4 1 绪论 称为分岔点，在分岔点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性，所以系 统在分岔点处是结构不稳定的。 长期不可预测性 由于混沌系统所具有的轨道的不稳定性和对初始条件的敏感性的特征，因此 不可能长期预测将来某一时刻的动力学特性。 分形结构 耗散系统的有效体积在演化过程中将不断收缩至有限分维内，耗散是一种整 体稳定性因素，而轨道又是不稳定的，这就使它在相空间的形状发生拉伸、扭曲 和折叠，形成精细的无穷嵌套的自相似结构。“自相似性僦是说每个局部都是整体 的一个缩影，即使取无穷小的部分，还是和整体相似。分维则打破了体系的维数 只能取整数的观念，认为体系的维数也可以取分数。混沌状态表现为无限层次的 自相似结构。 普适性 在混沌的转变中出现某种标度不变性，代替通常的空间或时间周期性。所谓 普适性，是指在趋向混沌时所表现出来的共同特性，它不依具体的系数以及系统 的运动方程而变。普适有两种，即结构的普适性和测度的普适性。前者是指趋向 混沌的过程中轨线的分岔情况与定量特性不依赖于该过程的具体内容，而只与它 的数学结构有关；后者指同一映象或迭代在不同测度层次之间嵌套结构相同，结 构的形态只依赖于非线性函数展开的幂次。 1 3 2 非线性电路中混沌的基本特征 非线性电路系统中的混沌的解或混沌振荡，是指确定的电路系统中产生不确 定的、类似随机的输出。确定的电路系统，是指电路的参数都为定值，不考虑随 机因素( 事实上往往存在随机因素) 。不确定的、类似随机的输出是指电路的输出既 不是周期的，又不是拟周期的；既不趋于无穷，也不趋于静止( 平衡点) ，而是在一 定的区域内永不重复的振荡输出。非线性电路系统中的混沌除了具有不确定性、 对初始值敏感的特点外，混沌振荡信号的输出表现为一定频率范围内的类噪声的 连续谱，混沌解在相空间是在一定区域内无限填充或具有分数维结构的一个不变 集合。 1 4 混沌的应用 对混沌现象的认识，是非线性科学最重要的成就之一，混沌无论在生物学、 生理学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是天文学、气象 学、经济学、甚至音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。可以说，在人 类的科学历史上还没有哪一个概念或理论能与“混沌”相比，把如此众多的学科 5 重庆大学博士学位论文 和领域联系在一起，成为它们共同的语言。 混沌理论在信息相关学科的应用可分为混沌综合和混沌分析。前者利用人工 产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的功能，如人工神经网络的联想记忆等； 后者由复杂的人工和自然系统中获得混沌信号并寻找隐藏的确定性规则，如时间 序列数据的非线性确定性预测等。混沌的可能应用可概括如下： 组合优化和人工神经网络 利用混沌运动的随机性、遍历性和规律性寻找最优点，可用于系统辨识、最优 参数设计等众多方面。将混沌与神经网络相融合，结合混沌和神经网络的优势， 使神经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网络，利用中间过程混沌状 态的动力学特性使神经网络逃离局部极小点，从而保证全局最优，可用于联想记 忆、机器人的路径规划等。 图像数据压缩和信息高速检索 把复杂的图像数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替，这样只 需记忆存储这一组动力学方程组的参数，其数据量比原始图像数据大大减少，从 而实现了图像数据压缩。 利用混沌的遍历性可以进行检索，即在改变初值的同时，将要检索的数据和 刚进入混沌状态的值相比较，检索出接近于待检索数据的状态。这种方法比随机检 索或遗传算法具有更高的检索速度。 非线性时间序列的预测 可以将时间序列看成是由非线性机制确定的输入输出系统，如果不规则的运 动现象是一种混沌现象，则通过利用混沌现象的决策论非线性技术就能高精度地 进行短期预测。 模式识别和故障诊断 利用混沌轨迹对初始条件的敏感性，有可能使系统识别出只有微小区别的不同 模式。根据由时间序列再构成的吸引子的集合特征和采样时间序列数据相比较， 可以进行故障诊断。 混沌加密和混沌保密通信 利用混沌序列的非周期性和伪随机特性，将混沌序列作为密钥流和原始明文 序列进行逐位的异或而得到加密密文。利用混沌信号的编码和解码技术实现混沌 信号的保密通讯。此研究已经列入了美国国防的研究计划并正在加紧研制中。 混沌科学还可用在其它方面，如在语言加工信息、对人脑功能以及处理信息 的机理方面等，具有重要的研究价值和应用前景。 6 1 绪论 1 5 混沌系统研究现状 众所周知，混沌现象不可能在一阶、二阶自治连续时间系统中产生，也不可 能在一阶非自治的连续时间系统中产生。人们在三阶自治连续时间系统中发现混 沌现象，如蔡氏电路1 4 1 ，r 6 s s l e r 吸引子n 5 ，自治细胞神经网络1 6 1 ，l o r e n z 系统簇， 包括l o r e n z 系统 5 , 6 1 、c h e n 系统0 7 , 1 8 1 、l t i 系统【1 9 i 。l o r e n z 系统、c h e n 系统和l 豇 系统具有类似的结构，都是三维连续自治系统且有两个二次项，但不拓扑等价【刎。 近二十年来，在许多应用领域，如在非线性电路、保密通信、激光、神经网 络、控制和同步等【2 l - 2 0 ，超混沌现象逐渐被人们广泛的研究。在混沌保密通信中， 一个混沌信号被用于掩盖需要传送的有用信息。人们知道，一般的混沌系统只有 一个正的l y a p u n o v 指数，p e r e z 和c e r d e r i a 已经证明由普通混沌系统掩盖的信息 并不总是安全的 2 8 1 。然而，p e c o r a 发现这个问题可以通过使用增加随机性和高不 可预测性的高维超混沌系统来解决 2 9 1 。一般地，一个超混沌系统被定义为至少存 在两个正的l y a p u n o v 指数的混沌系统。这表明系统的动力学行为同时向几个方向 扩展，这意味着超混沌系统具备更为复杂的动力学行为，从而提高了混沌保密通 信系统的安全性。因此，在理论和电路上实现不同的超混沌系统逐渐成为人们研 究的焦点 2 2 , 3 0 - 3 5 1 。 1 5 1 高维混沌系统 在历史上，超混沌系统首先是由r o s s l e r 报道的，也就是著名的四维超混沌 r t j j s s l e r 系统【3 3 1 。第一个在电子线路中发现超混沌现象的是m a t s u m o t o 和他的同事 们 3 4 1 。在过去的二十年中，人们在高维混沌系统中发现了不同的超混沌系统，典 型的例子有：超混沌r 6 s s l e r 系统 3 3 1 ，超混沌l o r e n z - h a k e n 系统 3 5 】，超混沌 c h u a 氏电剐蚓，超混沌改进型的c h u a 氏电路口1 1 。最近，人们通过增加一个简单 的状态反馈器和正弦参数扰动控制器 3 2 , 3 7 - 3 9 1 ，在三维混沌系统中，如广义l o r e n z 系统5 6 】，c h e n 系统叽堋，l u 系统1 明和统一的混沌系统中 4 0 - 4 2 ，用数字方法和实验 方法发现了超混沌现象1 2 9 3 4 , 3 5 1 。 1 5 2 时滞混沌系统研究 然而，随着混沌维数的增加，系统变得很复杂，电路实现困难，更不易集成 化。另外，高维动力学系统的维数还是有限的，系统的自由度要受到维数的限制。 人们发现如果考虑时滞，简单神经元系统就能够展示出混沌行为 4 3 - 5 。一方面， 由两个或三个非线性神经元组成，每个神经元都有一个s i g m o i d 传递函数的时滞神 经网络能产生混沌行为。另一方面，带有不同非线性激活函数的神经网络也能产 生混沌现象。时滞动力学混沌系统是无穷维的系统，它不仅对初始时刻的初值极 其敏感，而且对时滞【吒o 】上的连续初值垂( y ) 极其敏感。至今人们对一般非线性 动力学系统复杂现象的深入认识远远没有完成，对无穷维的混沌动力学系统复杂 7 重庆大学博士学位论文 现象的深入认识更是举步艰难【5 ”，还有待进一步深入研究。 1 5 3 混沌同步研究概述 “同步”( s y n c h r o n i z a t i o n ) - - 词起源于希腊语，英语译为“t os h a r e t h e c o m m o n t i m e ” 5 3 1 。它的作为不同过程在时间上的一致性的含义，一直延续至今。历史上， 对动态系统在演化过程中出现的同步现象的研究在物理学出现的早期就成为了一 个十分活跃的研究主题。2 0 世纪9 0 年代以来，同步的研究开始转向混沌系统。由 于混沌系统的动力学行为敏感依赖于系统的初始条件，也就是说，两个非常接近 的初始条件也会使系统的轨迹在演化过程中以指数量级分离。因此，混沌系统的 同步不是传统意义上的同步，混沌系统从本质上排斥同步，即使相同的两个混沌 系统只要它们的初始条件有微小的差异，它们就不会达到同步。而在实际的实验 中，初始条件总是不能完全确定，这就使得混沌同步的研究更加重要和饶有兴趣。 在过去的1 0 多年里，对于耦合混沌系统，人们已经观察到许多不同的同步状态， 例如：完全同步( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ，c s ) 5 4 - ”j 、相同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ， p s ) 陋5 7 】、滞同步( l a gs y n c h r o n i z a t i o n ，l s ) 【矧、广义同步( g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ，g s ) 5 9 3 ，间歇滞同步( i n t e r m i t t e n tl a gs y n c h r o n i z a t i o n s ) 例和不 完全相同步( i m p e r f e c tp h a s es y n c h r o n i z a t i o n ，i p s ) 6 0 1 近年来，人们还发现了另一 种同步状态：前向同步( a n t i c i p a t i n g s y n c h r o n i z a t i o n ，a s ) 【6 1 - 6 2 1 完全同步是指相互 作用的系统的状态的一致性，即y ( f ) = 工( f ) ；对于驱动一响应系统中引入的广义同步 定义了响应和驱动系统状态之间的某种函数关系，即y = 可可f ”；相同步意味着 混沌振子有甩戎一m 丸= c o n s t ( n 和m 是整数) ，而它们的振幅保持混沌和不相关； 滞同步是两个系统的状态在时间上转移的一致性，即爿f j z x j t ) z 玎t f j ，这里 f 是正数；在对称耦合的不相同混沌振子和时滞系统之间己研究了滞同步；最近发 现的带时滞反馈的耗散混沌系统用这种方式驱动相同系统，被驱动系统的状态在 时间演化中逼近与驱动系统的某一将来状态。因此，期望同步也是两个耦合系统 的状态在时间上转移的一致性，但在这种情形下，与滞同步相反，被驱动系统期 望驱动器的将来的状态，即y ( f ) = 叫f + f ) 或石= y ，f 0 十多年来，研究人员对 耦合混沌系统的同步做了大量的理论研究、数值模拟和电路实验，提出了许多同 步方案，例如p e c o r a - c a r r o l l 方法( 简称为p c 方法，负反馈方法( n e g a t i v e f e e d b a c k ) ，脉冲驱动( i m p u l s i v ed r i v i n g ) ，主动一被动分解( a c t i v e - p a s s i v e d e c o m p o s i t i o n ) ，扩散耦合( d i f f u s i v ec o u p l i n g ) 、非线性观测器( n o n l i n e a ro b s e r v e o 【6 3 删以及一些其他的混合方法。 8 1 绪论 1 6 本文的主要工作介绍 1 6 1 本文的主要工作和创新 本文对高维混沌系统和时滞混沌系统的若干方面进行了深入的研究，取得了 创新性研究成果，主要工作和创新包括： 研究了混沌的定义、混沌运动的特征及非线性电路中的混沌现象及产生的内 部机制。分析了非线性电路中复杂动力学现象和混沌产生途径。 针对低维混沌系统的安全性较低，容易受到威胁的缺陷，提出了一种四维混 沌电路的设计方案，该电路可以作为一个高维混沌发生器，在保密通信和图像加 密中有潜在的应用。 针对由于常微分方程组构成的混沌系统的不足，如随着维数的增加，物理实 现困难。分析了时滞非线性系统的稳定性、h o p f 分岔、极限环的失稳和混沌现象， 探讨了时滞非线性系统中的混沌产生机制。 提出了带有非单调激活函数的时滞混沌神经元模型电路设计方法，提出了一 种直接的廖氏时滞混沌神经元电路实现方案。我们设计的廖氏时滞混沌神经元电 路既可以作为独立的时滞混沌发器，也可以作为一个混沌神经元电路单元，甚至 可以看成细胞神经网络中的一个细胞，在保密通信和信息处理中有潜在的应用价 值。 我们设计了一个特定的非线性电路系统，对其稳定性、h o p f 分岔的存在性进 行理论分析，构建了相应的时滞混沌电路系统，其输出波形和相图具有明显的混 沌特征。 利用现代控制技术，构建了高维系统的耦合同步，高维混沌系统和时滞混沌 系统的自适应同步方案，进行了理论证明和数值仿真验证了方案的有效性。 1 6 2 论文的内容安排 本论文的内容安排如下： 第1 章主要介绍了混沌研究的历史、非线性电路中的混沌现象，阐述了混 沌的定义、混沌运动的特征和混沌的主要应用。 第2 章研究了如何从定量角度刻画混沌运动特征的一些判据与准则，分析 了非线性电路中复杂动力学现象和混沌产生途径，探讨了在非线性电路中典型的 混沌产生方法和实例。 第3 章详细介绍几个典型的三阶连续自治系统的混沌模型和电路实现方法。 对其中的c h u a 电路、l o r e n z 系统和c h e n 系统，我们还专门用分立电子元器件完 成了相应物理实验，验证了上述系统物理实现的可行性，也为以后的混沌电路设 计和物理实现打下了扎实的基础。 第4 章针对低维混沌系统的安全性较低，容易受到威胁的缺陷，设计了混 9 重庆大学博士学位论文 沌l i a o c h e n 电路系统。该电路可以作为一个高维混沌发生器，在保密通信和图像 加密中有潜在的应用。 第5 章研究了时滞非线性系统的稳定