（基础数学专业论文）拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系.pdf

摘要 内容摘要：有些弱于拓扑的性质问题是不能在拓扑空间中解决的，是必须放在比 拓扑弱的范围内讨论，那么，拓扑空间的一些相关性质，有的就改变了，例如： 邻域空间，半拓扑空间，这些邻域性质较弱的空间，在结构和性质上势必和拓扑 空间的结构有一定的不同，所以，在某些性质上就不能混用。本文通过将半拓扑 空间构造成拓扑空间，从而建立二者之间的联系，从而更好地揭示他们结构上的 联系与区别。并从格的观点上揭示他们的本质区别。 关键词：邻域；邻域空间；半拓扑空间；收敛性：连续性；分离性；紧性。 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h ep r o b l e m st h a tp r o p e r t i sa r ew e a k e rt h a nt h a to ft o p o l o g i c a ls p a c ea r en o t b ed o n ew i t hi nt o p o l o g i c a ls p a c e t h e ym u s tb et a l k e da b o u ti nt h es p a c e sw h o s e p r o p e r t i e sa r ew e a k e rt h a nt o p o l o g i c a ls p a c e s os o m ep r o e r t i e so ft o p o l o g i c a ls p a c e a r ec h a n g e di nt h e s es p a c e s f o re x a m p l en e i g h b o u r h o o ds p a c ea n d s e m i - t o p o l o g i c a l s p a c e t h e s es p a c e sw h o s ep r o p e r t i e sa r ew e a k e rt h a nt o p o l o g i c a ls p a c ea r ed i f f e r e n t o ns t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e s s o ，w ec a nn o tm i xt h ep r o p e r t i e si nt h e s es p a c e sw i t h t o p o l o g i c a ls p a c e i nt h i st e x tw ee s t a b l i s ht h e i rr e l a t i o n sb ys t r u c t i n gs e m i t o p o l o g i c a l s p a c e st ot o p o l o g i c a ls p a c e s ，s ot h a tw ec a nd i s t i n g u s ht h e i rd i s t i n c t i o n sw e l l a l s o ，w e e x p o s et h e i rn a t u r ef r o ml a t t i c et h e o r y k e y w o r d s ：n e i g h b o u r h o o d ；n e i g h b o u r h o o ds p a c e ；s e m i - t o p o l o g ys p a c e ；c o n v e r g e n c e ； c o n t i n u i t y ；s e p a r a t i o n ；c o m p a c t n e s s 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的 研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做 了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：辱劲 e l 期：捌y 岁2 , 0 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密 的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：嘧扬 秽槛氨j 量 日期：，厶 拓扑空问拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 1 前言 1 1 问题的提出 半拓扑空间理论的建立，是王国俊先生源于以下两方面问题的考虑：第一、 能否把近年来陆续出现的一些类似于连续映象的映象的概念统一起来? 第二、能 否把分散进行的，对各种绝对闭空间特征的研究统一起来? 多年来，人们一直对 以上的概念进行着互相独立的研究，而要在拓扑空间的范围内把它们统一起来是 很困难的，所以便引入了半拓扑空间。半拓扑空间理论是将拓扑空间中的邻域结 构加以改造，有选择地放弃了拓扑空间中的邻域公理的部分条款，而形成的。所 以半拓扑空间中的邻域性质要比拓扑空间中的邻域性质要弱。例如：o 一型半拓 扑空间中的每一点的邻域不保有限交。万一型半拓扑空间中每一点的邻域不一定 包含一个含这个点的开集，但是每一点的邻域保有限交。而邻域空间是为了研究 半拓扑空间而提出的邻域性质更弱的一种空间，所以邻域空间中的邻域性质更要 比半拓扑空间中的邻域性质要弱。例如，每一点的邻域不保有限交并且每一点的 邻域中不一定有开集，等等。而邻域空间中的开集，闭集，连续，分离性等等都 是用邻域定义的，所以邻域空间的结构与性质，势必与半拓扑空间及拓扑空间存 在一定的差异性。近年来，出现了一些研究邻域空间分离性的文章，有些文章中 出现了一些错误的观点，如【3 】中，引理2 1 ( 1 ) 的证明中出现了一个点的邻域 必包含一个含这个点的开集，这个结论在邻域空间中是不成立的。而造成这种错 误的观点，一、是可能对邻域空间的概念理解不够，二、是可能邻域空间中的各 个概念与拓扑空问的概念名称相同，在运用时，造成了混乱。其次，如果对半拓 扑空间理论的概念理解不够的话，在看这些文章时，很容易摸不到头绪，形成思 维上的混乱。还有，如果要把邻域空间、半拓扑空间的理论与拓扑空间的理论一 起讨论，很容易产生歧义，要么就另加说明。那么怎样才能避免这类问题，又能 正确地讨论邻域空间，半拓扑空间的性质呢? 这其中也出现了一些文章来说明这 个问题，如 4 】， 4 】的改进方法是将0 一型半拓扑空间和万一型半拓扑空间的邻域 性质合并形成一个新的空间，由 1 知，同时满足0 一型半拓扑空间和万一型半拓 扑空间的邻域性质的空间就是拓扑空间，那么就不存在研究邻域空间的问题了， 没有多大的意义。那么，这个问题怎么解决呢，很自然的想法就是，对邻域空间 及半拓扑空间中的不同于拓扑空间的概念和性质另起名称，这样在进行邻域空间 及半拓扑空间的性质讨论时，就不至于同拓扑空间中的理论混淆，从而能够更好 地研究邻域空间及半拓扑空间的性质。而且，人们在写邻域空间及半拓扑空间的 相关文章时，就不会产生歧义，那么看这些文章的人，也会很容易将文章看懂。 另外，将邻域空间与半拓扑空间的一些概念和性质另起名称，也能解决把邻域空 间及半拓扑空间与拓扑空间一起讨论时必须另加说明的烦琐性。那么解决了这个 问题之后，很自然想到邻域空间，半拓扑空间的一些性质能不能和拓扑空间建立 一些联系呢? 以上这些就是本文要讨论的一些问题。 1 2 文章结构与内容简介 除前言外，文章分为五部分。第一部分介绍了一些正文中需要用到的定义 及符号。本文主要是讨论邻域空间，半拓扑空间的一些性质以及与拓扑空间的拓 扑结构的联系与区别，所以第二、三、四部分分别讨论了邻域空间、d s 丁空间、 万一s r 的一些性质以及在这些性质上与拓扑空间拓扑结构的联系与区别。第五部 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 分从格论的角度来看这几种空间的关系，从格的角度揭示这几种空间结构的差 别。 2 预备知识 定义2 1 设x 是任一集，如果对每个x ex 都确定了x 的一些包含x 的子 集与z 对应，则称x 为邻域空间。与x 对应的各集叫x 的伪邻域。以下以记x 中各点的全部邻域所成的族，这时相应的邻域空间记作( x ，n ) ，点工的伪邻域族 记为( x ) 。 定义2 2 设( x ，n ) 是邻域空间，如果对每个z x 和每个v e ( 石) ，有 w e ( 工) ，wc 矿，并且对每个y w 都有形n ( y ) ，则称( x ，n ) 为。一型半拓 扑空间或d s 2 空间，记为( x ，n o ) 。点z 对应的伪邻域称为d 一型邻域，点工的 d 一型邻域族，记为n o ( 功。 定义2 3 设( x ，n ) 是邻域空间，如果对每+ x ex ，和每两个巧( x ) ， 匕( 工) ，有v e ( x ) 满足vckn 屹，则称( x ，n ) 为万一型半拓扑空间或万一s 丁 空间，记为( x ，) ，点x 对应的伪邻域称为万一型邻域，点z 的万一型邻域族记 为m ( 石) 定义2 4 设( x ，n ) 是邻域空间，e c x 定义d ( n ) = ei v z e ，3 w n ( z ) ，wce ) ，称d ( ) 为( x ，n ) 的预开集族， e e o ( n ) 称为邻域空间的预开集，预开集的余集称为预闭集。 定义2 5 设( x ，) 是一个邻域空间，记= u ( z ) i z x ) ，以为子 基生成的拓扑记为( x ，q ) 或简记为q ，称( x ，q ) 为由邻域结构导出的细拓 扑空间，或简称为细空间。( 注：下文中提到的( x ，q ) 的子基都是) 。 定义2 6设( x ，) 是一个邻域空间，以o ( n ) 为子基生成的拓扑记为 q ( x ) ，简记为q v ，称( x ，q ) 是由邻域结构导出的粗拓扑空间，或简称为 粗空间。( 注：下文提到的( z ，q ) 的子基都是d ( ) ) 。 2 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 定义2 7 在( x ，d ) 中，记o ( n o ) = el v ：r e ，3 w n o ( z ) ，wce ) ， 称d ( 0 ) 为( x ，0 ) 的d 一型开集族，e d ( d ) 称为( x ，n o ) 的d 一型开集。 定义2 8 在( x ，n o ) 中，记= u n o ( z ) l z x 】- ，以膨为子基生成的 拓扑记为( x ，q d ) 或简记为q d ，称( x ，q d ) 为由( x ，0 ) 生成的d 一型拓扑。( 下 文提到的( x ，q d ) 的子基都是) 。 定义2 9 在( x ，儿) 中，i g o ( 肮) = ei v x e ，3 w 舭( 。) ，wce ) ， 称q ( ) 为( x ，以) 的万一型开集族，e ed ( ) 称为( 石，m ) 的万一型开集。 定义2 1 0 以d ( m ) 为基生成的拓扑记为何，q 占) 或简记为q 占，称( x ，q 占) 为由( x ，以) 生成的万一型拓扑。( 注：下文提到的( x ，q 占) 的基都是d ( m ) ) 。 定义2 1 1设( z ，忉为邻域空间，口x ，ecx ，如果对每个矿u ( a ) ， ( y 一 o 】) ne = ，则称a 为集e 的聚点。e 的一切聚点之集叫e 的导集，记为 。如果对每个v en ( a ) ，vne = ，则称口为集e 的触点，e 的一切触点之 集叫e 的伪包，记为e ( 一，显然。e 7ce ( 。 定义2 1 2 设( 乃，d ) 是邻域空间( x ，n ) 中的网，口x ，如果对每个 v e n ( a ) ，若存在万d ，对一切d d ，满足d 万时，有白v ，即( x d ，d ) 基本上在每一个矿内，则称口是网( 劫，d ) 的极限点，或称( 为，d ) 收敛于口。 定义2 1 3 设( x ，i ) 和( 1 r ，2 ) 是两个邻域空间，f ：( x ，1 ) 一( y ，2 ) 是从 ( x ，1 ) 到( ，2 ) 的映象，x x ，如果对( 工) 在】，中的每一个伪邻域u ，x 在x 中有伪邻域y 使得j - f v 】c u ，则称厂在点x 伪连续。如果在x 中各点都伪连 续，则称厂是从( 彳，1 ) 到( 】，2 ) 的伪连续映象。若x 和】，是。一s r 空间，则称 ，为准连续。若x 和】，是万一s r 空间，则称厂为拟连续。 定义2 1 4 若定义2 1 3 中的f 是一一的，并且厂和厂一都是伪连续的，则 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 称是伪同胚的。 定义2 1 5 若( z ，) 为邻域空间，如果对于x 中每两点工和y ，工y ，有 u e ( 工) ，矿( 少) ，满足x 萑矿，y 萑u ，则称( x ，n ) 为伪石的。d s 丁空间 ( x ，n o ) 满足上述条件，则称( x ，n o ) 为准互的。c 罗- s t 空间( x ，) 满足上述条 件，则称( x ，) 为拟互的。 定义2 1 6 若( x ，) 为邻域空间，如果对于x 中每两点x 和j ，x y ，有 u en ( x ) ，y ( y ) ，满足矿nv = ，则称( x ，n ) 为伪互型邻域空间。o - s t 空间( x ，d ) 满足上述条件，则称( x ，n o ) 为准互的。# - s t 空间( x ，m ) 满足上 述条件，则称( x ，以) 为拟互的。 定义2 1 7 设z 是邻域空间( x ，n ) 的覆盖，如果对每个石x ，中有包含 石的某伪邻域的集，则称为x 的邻域覆盖。如果，从x 的每一个邻域覆盖中 都可选出( x ，) 的有限子覆盖，则称( x ，n ) 为邻域紧空间。 3 邻域空间结构与拓扑空间结构的区别与联系 3 1 收敛上的差别 定理3 1 1 设( x ，n ) 是邻域空间，e c x ，若e 中有收敛于口的网，则 口e ( 。 证明：若e 中有收敛于a 的网，设网为( 吻，d ) ，则对于每个y n ( a ) ，存 在万d ，对于任意j d ，满足d 万时，有为y ，即env ，所以aee 。 例3 1 2 设a = 【丢) 。6 n ，设0 的伪邻域族( o ) = 【( o ，丢) ) 。n ，根据定 义知o 彳( ，但找不到a 中的非常值网收敛于0 ，因为不存在矿v ( o ) 和艿d ， 对于任意d ed ，满足d 万时，有劫v 。( 常值网：当存在万d ，石x ，对 于任意d d ，满足d2 万时，白= x ) 。而若x 为拓扑空间，点aee 一当且仅当 存在e 中有收敛于口的网。 4 拓扑空问拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 3 2 伪连续与连续的区别与联系 定理3 2 1 ( x ，1 ) 和( 】，2 ) 是两个邻域空间，若：( x ，i ) 一( y ，2 ) 伪 连续，则预开集的逆像是预开集。 证明：任取e d ( 2 ) ，f f ：l r x f ( f a ，令y = 厂( 石) 则y e ，又因为e 是预开集，所以存在y 的伪邻域u n ( y ) ， 使得u c e ，又因为f ：( x ，1 ) 一( l 2 ) 伪连续，所以存在矿n ( x ) ， 使得 矿】cu c 7 e ， 所以工v c f 1 ( e ) ，所以厂1 ( e ) 是预开集。 例3 2 2 定义：( x ，i ) j ( z ，2 ) 厂( x ) = 石， 令x = 口，b ，c ) 定义 l ( 口) = “口，6 ) ) ，m ( b ) = “6 ，c 】) ，( c ) = “口，c ) 】； 2 ( 口) = “口，c 】) ，2 ( 6 ) = 口，6 ) ) ，2 ( c ) = 6 ，c 】) ( x ，2 ) 中的唯一的预开集是x ，x 的逆象是x 也是( x ，1 ) 的预开集，但是口在 ( x ，2 ) 中的伪邻域 口，c ) ，在( x ，1 ) 中找不到口的伪邻域包含在 口，c 】中，所以厂 不是伪连续，而在拓扑中若厂连续，当且仅当开集的逆象是开集。定理3 2 1 也 说明了文章 3 中引理2 1 的改正方法：设( x ，1 ) 和( y ，n 2 ) 是两个邻域空间， 若：( x ，1 ) _ 争( 】，2 ) 伪连续，则预开集的逆象是预开集。 例3 2 3 定义厂：( x ，1 ) 一( x ，2 ) 厂( x ) = 工， 令x = 口，b ，c ) 定义 l ( 口) = “口，6 】，i ( 6 ) = “6 ，c 】，川( c ) = “口，订) ； 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 2 ( 口) = 硼，n 2 ( b ) = x ) ，2 ( c ) - x ) ， 那么根据伪连续的定义知：f ：( x ，1 ) 一( x ，2 ) 是伪连续的，但是在( x ，2 ) 中 l l za 的伪邻域x ，厂。1 【x 】- x ，由定义知，x 不是口的伪邻域，所以伪连续是 不保证伪邻域的逆像是伪邻域的。 定理3 2 4 ( x ，i ) 和( y ，n 2 ) 是两个邻域空间，若厂：( x ，1 ) 一( y ，2 ) 伪 连续，则对于石的每一个网s ，当它收敛于点s 时，合成厂。s 收敛于厂o ) 。 证明：因为f ：( x ，n i ) j ( 】，2 ) 伪连续，所以，当u 为厂o ) 的伪邻域时， 有s 的伪邻域矿，使得【矿】cu ，又因为网s 收敛于点s ，故s 基本上在v 内， 所以厂。s 基本上在u 内，所以。s 收敛于f ( s ) 。 例3 2 5 定义：x = r ，设1 ( z ) = z ) ) ， 2 ( z ) = z ) 】 定义：f ：( x ，n i ) 一( 】，2 ) 为： ( o ) = 1 ，( 1 ) = o ，当z 1 ，o o 寸，f ( x ) = 工 则在( x ，1 ) 中若网( 吻，d ) 收敛于工，网( 劫，d ) 必须满足：存在万d ，x ex ， 对于任意d ed ，满足d 万时，吻= 石。所以若网( 吻，d ) 在( x ，1 ) 中收敛于0 ， 则存在万d ，工x ，对于任意d ed ，满足d 万时，为= o 。所以，在( x ，2 ) 中当d 万时，f ( x d ) = f ( o ) = l ，所以，( 劫，d ) 的映象也收敛于f ( o ) ，但在 ( x ，2 ) 中0 的邻域 o ) ，在( x ，n i ) 中找不到1 的邻域包含在它里面，所以，如 果映射保网收敛，不能保证映射是伪连续的。而在拓扑空间中若连续，则当且 仅当对于x 的每一个收敛于点s 的网s ，合成。s 收敛于( j ) 。 下面谈一下联系。 定理3 2 6 若厂：( x ，i ) 一( 】，2 ) 伪连续，贝l jf ：( x ，q 1 ) 一( y ，q m ) 连 续。 证明：任取( y ，q 心) 子基中的元e ，f f ：i v , x e 厂1 ( e ) ，令j ，= 厂( z ) 6 堑盐窒塑堑盐丝塑量兰堑盐窒囹兰堑! ! 笙塑塑匡型兰壁墨 - _ - _ j 一一 一 则j ，e ，因为e 是子基中的元，所以，e 是含y 的预开集， 所以，存在y 的伪邻域uce ，因为厂：( x ，1 ) 一( 】，2 ) 伪连续， 所以，存在x 的伪邻域矿，使得， f v 】c 7 u c e ， 所以， x y c 7 厂1 ( e ) ， 所以，厂1 ( e ) 是预开集，由( x ，q m ) 的生成方式知，f _ 1 ( e ) 是子基中的元，故 也是开集，所以，厂：( x ，q 1 ) 一( y q ) 连续。 例3 2 7 令x = 口，b ，c ) ， ( 口) = “口，c ) ， 口，b ，c ) 】，l ( 6 ) = 6 ，c ) 】，l ( c ) = “口，c ) ， 6 ，c ) ， 口，b ，c 】) 则 o ( 1 ) = 【_ 【n ，c ) ，【6 ，c ) ，_ 【口，b ，c ) ，) ， 则 q m = o ，c ) ， 6 ，c ) ， o ，b ，c ) ， c ) ，甜， 2 ( 口) = “口，c ) ， 口，6 ) ) ，2 ( 6 ) = 6 ，c ) ) ，2 ( c ) = “口，c ) ， 6 ，c ) ， 口，b ，c ) 】， 则 o ( n 2 ) = o ，c ) ，p ，c ) ，如，6 ，c ) ，升， 则 q 胁= 【 ，c ) ， 6 ，c ) ， n ，b ，c ) ， c ) ，) 令f x x 且( 工) = 石，则厂：( x ，q 1 ) j ( x ，q 2 ) 连续， 但是取 口，6 ) 2 ( 口) ，找不到l ( 口) 中的元包含于 口，6 ) ，所以不在口点伪连续，所 以厂伪连续不成立。 例3 2 8 令x = 口，b ，c ) ， l ( 口) = “口，0 ) ，2 v , ( b ) = 口 6 ) ， 6 ) ) ，l ( c ) = x ) 则 q l = “n ，c ， o ，6 ) ， 6 ) ， n ) ，咖，x ) 2 ( 口) = 似，c ) ) ，2 v , ( 6 ) = 口，6 ) ，) ，2 v , ( c ) = 口 c ) ) ， ， 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空问半拓扑结构的区别与联系 则 q 2 = o ，c ) ，a ，6 ) ， 6 ) ， o ) ，x ) 令厂：x - - - xg f ( x ) = x ，则：( x ，q i ) j ( x ，q m ) 连续， 但是取 口，c ) 2 ( c ) ，找不到i ( c ) 中的元包含于 口，c ) ，所以厂不在c 点伪连续， 所以厂是不保证伪连续的。 而若令 川( 口) = “口，6 】) ，l ( 6 ) = 6 ) ) ，l ( c ) = 口，c ) ) 则 q l = _ 【 o ，c ) ，a ，6 ) ， 6 ) ， o ) ，x 2 ( 口) = “口，6 ) ) ，2 ( 6 ) = 6 ，c ) ) ，2 ( c ) = 口，c 】) ， 则 q 2 = _ 【o ，c ) ，a ，6 ) ， 6 ，c ) ， 6 ) ， n ) ， c ) ，x ) 令f ：x _ x r f ( x ) = x ，由定义知，厂伪连续，但是在c 点不连续。 所以，厂：( x ，1 ) _ ( y ，2 ) 伪连续，和厂：( x ，q m ) 一( y ，q m ) 连续是不能互推 的。 3 3 关于伪同胚与同胚的联系的讨论 当( x ，忉是一个邻域空间时，记 = u ( z ) i z x ) 显然是x 的一个覆盖，记 + ( z ) = v i z y ) 则( x ，。( 石) ) 也是一个邻域空间。 定义3 3 1 ( x ，n ) 是一个邻域空间，若对每个x x ，n ( z ) = n ( x ) ，称 ( x ，n ) 是由覆盖生成的自然邻域空间，简称自然邻域空间。否则称邻域空间是 特异的。 一个抽象的特异邻域空间所具有的整体结构性质很难进行一般的探讨，只能 逐点讨论。因此几乎不存在从局部过渡到整体的结构性质，除非有更进一步的规 定。 例3 3 2设a 是实数集r 上的所有非砂标准开集组成的集族， 考虑： 帅，= r v 3 y 睢v ( i 掣列”：主g 拓扑空问拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 2 ( z ) = v 3 w a ，z w cy ) 显然 1 = 2 = a 但作为邻域空间( r ，1 ) 与( r ，2 ) 是大相径庭的，而且( r ，1 ) 作为邻域空间也十分 怪异，与通常的收敛及连续性几乎没有联系。因此我们将主要探讨自然邻域空间。 关于自然邻域空间：以下若不特别说明，均设邻域空间是自然空间。 定义3 3 3 设a ，宫是x 的子集族，使得 ( i ) u 雪：u a ( i i ) c a 五3 b e 雪，a c b ( i i i ) v b b 。3 , 4 a ，a b 称a 是啻的饱含加细，当只满足( i ) ( i i ) 时，称a 是直的加细( 覆盖) 。 定义3 3 4 设a 与台是x 的两个覆盖，若存在映射f ：x x 使得 v 赢亩，j a o a ，【a o 】= y1 3 w a o ，v = 九】) 是百。的饱含加细，称覆盖a 迁细于啻，并称映射厂使a 迁细于豆，若a 迁细于雪， 记为a 三雪，若a 三雪且台三a ，称a 与雪是互迁的，- 鳓a 一, - , b 若双射使a 迁细于啻 且逆映射厂，使亩迁细于a ，记为a 三雪，称a ，亩是可迁等价的。 命题3 3 5设c ( x ) ：_ 【a i a 是x 的覆盖 ，则三与三都是c ( x ) 上的等价关 系。( 证明略) 。 由于任给x 的覆盖a ，毋仨五，记a ( x ) = yi z v a ) ，可导出x 上的邻 域结构，称( x ，五+ ) 为覆盖a 导出的邻域空间，显然这样的邻域空问都是自然的。 定理3 3 6 设i ，2 是x 的两个邻域结构，若厩之厩当且仅当存在 ( x ，2 ) 到( 石，1 ) 的伪连续满映。 证明：若厩乏觑，即有f ：x x 使得使厩迁细于厩，任取y x ，任 取矿l ( y ) ，令岛= y ，则存在a oc 觑，九五 是b o 的饱含加细。于是存在 z ua o ，以及w ea o ，x ew ，使九形】c 矿，且( x ) = y ，这证明f 是满映射。 另外，上面若取y = 厂( 工) ，则同样证明对每个x x ，f 在x 点是从( x ，2 ) 到 9 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 ( x ，1 ) 的伪连续映射。 反之，若厂：x x 是( x ，2 ) 到( x ，1 ) 的伪连续满射时，任取雪c 厩，任 i ry eu 9 ，j 0 9 n n , ( y ) 。由f 的满性及伪连续性，存在x x ，吸n ：c x ) ， 使九吃】c 巧，取定这些x 与吸，记 五o = 【w 乞i z ，一1 【u 亩】) 对任取的v e 啻，砂矿，五x ，厂( 工) = y ，由( x ，1 ) 的自然性，知y 1 0 ) ， 于是存在l ( 工) ，使门】c y 记 a t = 睨i v a ) ，a - - - a o u a l 可知，【a 】是雪的饱含加细。这便证明了研之鹏， 作为上述结果的一个推论，可得 定理3 3 7 设 ，2 是x 上的两个邻域结构，若( x ，i ) 与( 彳，2 ) 同构 ( 伪同胚) ，则当且仅当肮兰厩。 注：这里强调指出上述结果是在邻域空间为自然空间的前提下得到的。前面 所给的例( 3 3 2 ) 中的两个邻域空间不是伪同胚的，但厩= n 2 。 例3 3 8 存在互迁的覆盖族不是可迁等价的。考虑闭区间i = 【0 ，1 】以及 i x i ，均赋以欧氏拓扑，存在，到l i 的连续满射( 皮亚诺曲线) 以及i i 到， 的连续满射( 比如投影) 。但到i i 不是同胚的。按照通常的，到i x l 的双射， 可以在，上赋以与i x i 同胚的拓扑结构，其开邻域结构以，表示。，上通常拓 扑的开邻域结构以l 表示。则易知研与觑是互迁的，但( ，1 ) 与( j ，2 ) 不是同 胚( 也不是伪同胚) 的。 定理3 3 9 设l ，2 是x 上的两个邻域结构， ( i ) 若( x ， ) 与( x ，2 ) 伪同胚，则( x ，q m ) 与( x ，q 肌) 同胚。 ( i i ) 当( x ，1 ) 与( x ，2 ) 为自然空间时，1 兰2 ，则( x ，q h ) 与( x ，q 2 ) 同 胚。 证明：( i ) 由一般拓扑常识，连续映射可以由子基刻画，故结论显然。 ( ii ) 利用( i ) 及前述定理( 3 3 7 ) 即得结论。 例3 3 1 0设x = r r 1 0 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 a = y i y 是平面上的标准开集) 台= 矿1 3 a ，b i t r ，矿= r x a ，b v v = a ，b x r 显然由a 与啻为子基导出的拓扑空间是r x r 上的欧式拓扑，但a 与房不是可迁等 价的。但下面的结论是显然的。 定理3 3 1 l 设i ，2 是x 上的两个邻域结构， 百l = g1 3 1 c 啊，( i 五i r oav = n 五) ) 应= 叫j 北膨，( 闰 0 ，3 ac0 ( z ) ，1 0 ( z ) a i o ， 使得， 】x 飞- 4 i ) c u ， 对每个x r ，取定p ( x ) 上的一个非主超滤子e ( 即w ，或者a e 只或者彳。只) 于是， v ( y ，f ) 】x 一，x + 【 f 】 f y i + 1 ) 在r + ，中是序稠密的，因此，【，n r + ，包含了不可数( 连续统势) 的序 稠密集。同时，因为【，是开集，【，包含了r + 。的一个欧氏开稠密。依次累推， u q x 只能是欧氏空间的一个无处稠密的闭集。由此可知，( x ，n ) 中的任何可 j = l 列个开集的交都不空，而( x ，q ) 以( x ，) 中的开集为子基，所以，( x ，q ) 中， 任意两个不同的点，都没有不交邻域。所以，( x ，q v ) 就不是互 3 5 邻域空间邻域紧与紧性的区别与联系 定理3 5 1 若( x ，) 是邻域紧空间当且仅当( x ，q ) 是紧的。 证明：( j ) 因为是x 的一个邻域覆盖，所以在中可以找到有限个 1 4 拓扑空问拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 k 圪，使得x = u v , ，又因为巧圪是( x ，q ) 的有限个子基覆盖，所以， ( x ，q ) 是紧的。 ( 仁) 因为( x ，q ) 中的子基族是x 的一个覆盖，所以存在巧圪，使得 x = u k ，由邻域紧的概念可知，是x 最细的覆盖，所以，9 , x 的每个邻域 覆盖中都可选出有限子覆盖，所以( x ，q ) 是紧的。 定理3 5 2 若( x ，) 是邻域紧空间，则( x ，q ) 是紧的。 证明：因为x = ue ，f l v x ee ，存在y n ( x ) ，满足yc e ，所以d ( ) e d ( ) 构成( x ，n ) 的一个邻域覆盖，因为( x ，) 是邻域紧空问所以，存在巨e 且 e o ( n ) ，使得x = u e ，而巨e 是( x ，q ) 的子基中的有限个元，所以， i f f i l ( x ，q ) 是紧的。 例3 5 3 令x = u ，= o ，q x i ) = ， f 】取口= ( x ，f ) 令 ( 口) = yl | o ，v = 】x 一，x + 【 f ) u ) 很显然，取4 f = u i , + l ，则a = a il i u ) 是x 的一个邻域覆盖，但是没有有限 子覆盖。 现检查( x ，q ) 的紧性，首先讨论其中的非空开集，若矿o ( x ，) ，( x , i ) ey 则存在 0 ， 】x 一，x + e x i u z , + lc v 又因为y 包含0 。中点的邻域，于是矿30 ：，由归纳知，y3u ，现设方是 j = i + l x 的一个开覆盖，因为u 方3 厶，任取 ，o ) ，任取u u ，若( x ，0 ) u ，贝j j3 e 0 ， u 3 】x 一，x + 【 。) u ( _ ) ， 因为i x o 】按欧氏拓扑是紧的，所以，存在有限个点五，即有有限 拓扑空问拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 个u 玑移，使得 ( 葺，0 ) 】五一岛，西+ 乞【 。) u ( 材l ) c 且 于是 u x ；一乞，x i + 【3 ， x c u u , i = l 而u u 移又构成了( x ，q ) 的一个子基覆盖，所以( x ，q 。) 是紧的。 ( 注：当x i 一日 1 时，记】x i 一岛，x i + 岛【= 【x i 一岛，l 】) 4 0 s t 空间与拓扑空间结构的区别与联系 4 1 收敛上的差别 定理4 1 1 设( x ，d ) 是o - s t 空间，ec a ，若e 中有收敛于口的网， 则a e - j 。 证明：同邻域空间的证明。 例4 1 2取n o ( 口) = o ，6 ) i b xa ( b o ) 】，显然，对于每一点a 的 伪邻域 口，b 】，都有这个点的伪邻域 口，b ) c a ，b 】，且它是其内每一点的伪邻域， 所以( x ，n o ) 是o s r 空间，任意点口是 x 口) 一中点，但 x 口) 一中没有网收 敛于a 。 4 2 准连续与连续的区别与联系 定理4 2 i 若厂：( x ，) 一( 】，) 准连续，则厂：( x ，q0 1 ) - - - ( y ，q d 2 ) 连 续。 证明：任取( y ，q d 2 ) 中子基中的元矿，现证厂1i v 】为( x ，q q ) 中的开集。 f f ：取x ef 一【v 】，且令( j ) = 少，则j ，矿，因为v 是d 一型邻域， 1 6 拓扑空问拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 所以存在k d 2 ( j ，) ，使得y 巧c 矿，因为厂：( x ，) _ ( 】，d 2 ) 准连续， 所以存在u ( x ) ，使得“u 】c k ，所以， x u c 厂1 【k 】c 厂1 【v 】， 再由( x ，q 。1 ) 的生成方式知，【，是包含石的子基，故是开集，所以厂1 【矿】是开集。 例4 2 2 令x = 口，b ，c ) l ( 口) = 伽，c ) ， 口，6 ) ， 6 ，c ) ) ，l ( 6 ) = 口，6 】， 叩) ， 6 ，c ) 】， l ( c ) = 6 ，c 】， 口，c 】， 口，6 】 2 ( 口) = 口) ) ，2 ( 6 ) = “6 】，2 ( c ) = “c ) ) 所以， q o 。= 口) ， 6 ) ， c ) ， o ，6 ) ， 6 c 】， o ，c ) ，x ，妒) q o ：= 口) ， 6 ) ， c ) ， 口，6 ) 6 c ) 口，c ) ，x ，甜 显然，：( x ，q o i ) 一( y ，q 0 2 ) 连续，但是厂在任何一个点处都不能准连续。 4 3 准分离性与分离性的区别与联系。 定理4 3 1 若( x ，d ) 是准石的兮( x ，q d ) 也是五的 证明：( j ) 若( x ，d ) 是准石的，则任取x ，y ex ，血y ，存在z 和y 的d 一 型邻域【，和矿，使得y 萑u ，工叠v 由( x ，q d ) 的生成方式知，u 和y 分别是含z 和y 的子基，故也分别是x 和y 的开邻域，所以，( x ，q d ) 也是石的。 ( 仁) 若( x ，q d ) 是互的，则任取工，y ex ，血y ，存在x 和y 的开邻域u 和v ， 使得y 仨u ，x 仨v ，所以存在子基中含x 的元巨，及含j ，的元易，使得y 芒置， x 仨易，所以，由( x ，q d ) 的生成方式知， o - s t 空间的邻域的性质( 即每一 点的邻域都是d 一型开集) ，巨和岛分别是含x 和y 的0 一型开集，所以分别存 在x 和y 的d 一型邻域uce t 和kc 易，所以，y 仨u ，x 仨k ，所以，( x ，d ) 是准五的。 定理4 3 2 若( x ，d ) 是准五的，当且仅当( x ，q o ) 也是五的 1 7 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 证明：仿照上一定理证明。 4 40 一s t 空间邻域紧与紧性的区别与联系 定理4 4 1若( x ，n o ) 是邻域紧空间，当且仅当( x ，q o ) 是紧空间。 证明：( j ) 因为醌是x 的一个邻域覆盖，所以在中可以找到有限个 巧圪，使得x = u k ，又因为巧圪是( x ，q d ) 的有限个子基覆盖，所以， j = l ( x ，q d ) 是紧的。 ( 乍) 因为( x ，q d ) 紧，并且子基如是x 的一个邻域覆盖，所以在n o 中可以找到 有限个巧圪，使得x = u 巧，因为巧k 是d 一型邻域，所以对任意k ， 及任意x k 都存在矿s o ( x ) ，使得vck ，所以k 圪是x 的邻域覆盖，并 且是最细的，所以饵，0 ) 是邻域紧空间。 这个定理说明：0 一s t 空间的邻域紧和紧是等价的。 5 万一s r 空间与拓扑空间结构的区别与联系 因为在万一盯空间，网的收敛和聚点是统一的，所以是互相等价的，就不再 做讨论。参见 1 中的定理1 1 8 的证明。 5 1 拟连续与连续的区别与联系 定理5 1 - 1 若( x ，) j ( 】，) 拟连续，则( x ，q 卤) 一( y ，q 五) 连续 证明：任取( ，r ，q 屯) 基中的元e ，任取工y - , ( e ) ，令y = 厂( z ) 则y e ，因为e 是基中的元，所以，e 是含y 的万一型开集，所以，存在y 的万一 型邻域uc e ，因为f ：( x ，1 ) - ( y ，2 ) 拟连续，所以，存在z 的万一型邻域矿， 使得， i v 】cu c e ， 所以， x v 匕f 。1 ( e ) ， 所以，f 卅( e ) 是万一型开集，由万一型拓扑的生成方式知，f 。1 ( e ) 是基中的元， 拓扑空间拓扑结构与半拓扑空间半拓扑结构的区别与联系 故也是开集，所以，( x ，q 磊) 一( y ，q 疋) 连续。 例5 1 2在例3 2 2 中显然( x ，1 ) 和( x ，2 ) 是两个万一型半拓扑空间， 显然q 磊= q 嘎- - x ，矽) ，所以是连续的，但是在c 点不能保证拟连续。 5 2 拟分离性与分离性的区别与联系 定理5 2 1 若( x ，) 是拟互的，当且仅当( x ，q j ) 是互的。 证明：( j ) 若( x ，) 是拟互的，则任取x ，y ex ，且y 存在x 和y 的万一型邻域u 和v ，使得y 仨u ，所以 寸= j ) ，所以 x 】的余集 是万一型开集所以由( x ，q 占) 的生成方式知， x ) 的余集是基中的元，故是开集， 所以 刁是闭集，所以，( x ，q 万) 是五的。 ( 乍) 若( x ，q j ) 是互的，则任取x ，y ex ，且r y ，存在x 和j ，的开邻域【，和v ， 使得y 仨u ，z 仨v ，所以存在基中含x 的元巨，及含y 的元最，使得j ，芒局， x 仨巨，所以，由( x ，q 占) 的生成方式，2 乏8 - s t 空间的性质知，互和易分别是 含x 和y 的万一型开集，所以分别存在x 和y 的万一型邻域uf i t 巨和kc s 易，所 以，y 仨u ，石仨k ，所以，( x ，以) 是拟五 定理5 2 2 若( x ，q 占) 是五的，则( x ，) 也是拟互的。 证明：仿照上定理。 例5 2 3显然例3 4 7 所说的空间是万一s t 空间，并且是拟互的，但是 ( x ，q j ) 的基中的元，即万一型开集，可列个交都不空，所以，( z ，q 占) 不是乏的。 5 3 万一s r 空间的邻域紧与紧性的区别与联系 定理5 3 1 若( x ，) 是邻域紧空间，则( x ，q 占) 是紧空间。 证明：( j ) 因为d ( m ) 是x 的一个