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四川大学博士学位论文 摘要 具有脉冲和随机扰动的时滞系统的定性分析 应用数学专业 研究生杨治国指导教师徐道义教授 本文分别研究了随机泛函微分方程解的存在唯一性和脉冲时滞微分方程、 脉冲随机泛函微分方程、脉冲随机差分方程解的渐近性质。 第一章，建立了伊藤随机泛函微分方程的一些基本定理。首先，利用局 部l i p s c h i t z 条件君f l p i c a r d 序列，获得了伊藤随机泛函微分方程解的局部存在唯 一性；其次，利用随机分析技巧和拟有界条件，建立了伊藤随机泛函微分方程解 的延拓定理；最后，通过建立一些时滞微分不等式和利用日。函数的特性，得到 了w i n t n e r 定理的随机版本和伊藤随机泛函微分方程解的全局存在唯一性，推广 了已有的一些结果。 第二章，研究了两类脉冲时滞微分方程的指数稳定性。首先建立了一个奇 异脉冲时滞微分不等式；再利用该不等式和肘锥的特性，并把n 维的脉冲中立型 时滞微分方程转化为2 n 维的奇异脉冲时滞微分方程，获得了该脉冲中立型时滞 微分方程指数稳定的充分条件；最后，利用脉冲时滞积分微分不等式，讨论了具 有混合时滞的脉冲c o h e n g r o s s b e r g 系统的指数稳定性。 第三章，通过建立c 算子不等式，运用m 一矩阵的理论和随机分析技巧，获得 了一类脉冲随机泛函微分方程均方指数耗散的充分条件。并且，所得的结果对 随机泛函微分方程也适用。 第四章，通过建立一个脉冲差分不等式，并运用一些随机分析技巧，获得了 脉冲随机差分方程均方指数稳定的充分条件，并估计了其指数收敛的速度。 四川大学博士学位论文 关键词：脉冲、随机、时滞、微分方程、差分方程、指数稳定性、均方指 数稳定、均方指数耗散、奇异脉冲时滞微分不等式、c 算子不等式、差分不等 式、存在性、唯一性、延拓定理。 四川大学博士学位论文 a b s t r a c t q u a l i t a t i v ea n a l y s i so f d e l a ys y s t e mw i t hi m p u l s i v ea n ds t o c h a s t i c p e r t u r b a f i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：z h i g u oy a n gs u p e r v i s o r ：d a o y ix u t h i sp a p e ri sc o n e e m e dw i t ht h ee x i s t e n c e - u n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fi r a - p u i s i v ed i f f e r e n t i a l - e q u a t i o n sw i t hd e l a y s ，i m p u l s i v es t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，i m p u l s i v es t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r1 ，s o m eb a s i ct h e o r i e so fs t o c h a s t i cf t m e t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o fi t 6 - t y p ea r ed e v e l o p e d b ye m p l o y i n gt h el o c a ll i p s c h i t zc o n d i t i o na n dp i c a r d s e q u e n c e ，t h el o c a le x i s t e n c e - u n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n so fi t 6 - t y p ei sf i r s t l yo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，ac o n t i n u a t i o nt h e o r e m f o rs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fi t 6 - t y p ei sg i v e nb yu s i n gs t o c h a s t i c a n a l y s i st e c h n i q u ea n dt h eq u a s i - b o u n d e d n e s sc o n d i t i o n f i n a l l y , b ye s t a b l i s h i n gs o i t i e d e l a yd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sa n du s i n gp r o p e r t i e so f - f u n c t i o n s ，as t o c h a s t i cv e r - s i o no f w i n t n e rt h e o r e ma n dt h eg l o b a le x i s t e n c e - u n i q u e n e s so f s o l u t i o n so f s t o c h a s t i c f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f l t 6 - t y p ea r eg i 胤t h er e s u l t sg e n e r a l i z et h ee a r l i e r p u b l i c a t i o n s i nc h a p t e r2 ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f t w ok i n d so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hd e l a y si sc o n s i d e r e d f i r s t as i n g u l a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yw i t h d e l a y si se s t a b l i s h e d t h e n ，b yu s i n gt h i si n e q u a l i t ya n dt h ep r o p e r t i e so fm - c o n e ， t r a n s f o r m i n gt h e 凡一d i m e n s i o n a li m p u l s i v en e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hd e l a y st o a2 n d i m e n s i o n a ls i n g u l a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t i ld e l a y s s o m es u f f i c i e n t 一一 四川大学博士学位论文 c o n d i t i o n se n s u r i n gt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f t h ei m p u l s i v en e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o nw i t hd e l a y sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , b yd e v e l o p i n ga ni m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t yw i t hd e l a y s ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f i m p u l s i v ec o h e n - c 打o s s b e r gs y s t e m s w i t hm i x e dd e l a y si sd i s c u s s e d h c h a p t e r3 b ye s t a b l i s h i n ga 一o p e r a t o r i n e q u a l i t ya n du s i n gt h ep r o p e r t i e so f m - m a r xa n ds t o c h a s t i ca n a l y s i st e c h n i q u e s ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gt h e e x p o n e n t i a ld i s s i p a t i v i t yi nm e a n 龃l u a r eo f i m p u l s i v es t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so f i t 6 一t y p ea l eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h er e s u l t sa l ee f f e c t i v ef o rs t o c h a s t i c d e l a y e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r4 ，b ye s t a b l i s h i n gai m p u l s i v ed i f f e r e n c ei n e q u a l i t ya n du s i n gs o m e a n a l y s i st e c h n i q u e s ，s o m es a f c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi n m e a ns q u a r eo f i m p u l s i v es t o c l i a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa l eg i v e n ，m o r e o v e r , ae x p o - n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t ei se s t i m a t e d k e yw o r d s ：i m p u l s e ，s t o c h a s t i c ，d e l a y , d i f f e m m i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c ee q u a - t i o n s ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi nm e a ns q u a r e ，e x p o n e n t i a ld i s s i - p a t i v i t yi nm e a ns q u a r e ，s i n g u l a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , c - o p e r a t o r i n e q u a l i t y , d i f f e r e n c ei n e q u a l i t y , e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，c o n t i n u a t i o nt h e o r e m 一一 四川大学博士学位论文 符号 j r r 。 n z 上 n e r n r 2 i i r ”o ” a b ( a b ) 圣( t ) d + z ( t ) z ( t 一) ，z ( t + ) 陋】+ 怕( t ) k 眇( t ) 】 q m ( d ) c ( x ，y ) c c 1 ，2 ( r ，r ) 部分符号对照表 说明 卅维单位矩阵 实数集合 耻竺【0 ，o o ) n 竺1 1 ，2 ，3 ，) z + 竺1 0 ，1 ，2 ，3 ，) 竺 1 ，2 ，n 随机变量的数学期望 n - 维实向量空间-一t 每个分量非负的n 维实向量空间 上的范数 m n 的实矩阵 矩阵或向量a 和b 的对应元素满足相应的不等式关系 z 在t 处的导数 z ( t ) 在t 处的右上导数，d + z ( t ) = n m8 u p 业 = 业 分别代表z ( t ) 在时刻t 的左右极限 矩阵a 的每个元素都取绝对值后构成的矩阵 【妒( t ) 】，= ( 【妒1 ( t ) 】r i 一，【( t ) 】，) t ，其中 【纯( t ) 卜= s u pi 忱 + s ) ，i 一r s 5 0 ，z o ) ，其中d 是一个m 矩阵 从拓扑空间x 到拓扑空间y 的连续映射构成的空间 c 垒g ( f _ r ，0 ，豫”) ，7 _ 是一个正数 c 1 , 2 僻础，琏) 垒 y ( t ，。) ：r 舻一r lv ( t ，功关于t 连 续可微，关于z 二阶连续可微l 四川大学博士学位论文 p c ( j , r “) p c p g l ( z p ) p e l 怕0 l i 洲， ( q ， 五) t t o ，p ) u ( t ) p c ( j , p ) 竺 妒：j 一p 妒( t ) 在j 上除至多可数个点t k 以外都连续，在点“处右连续，左极限存在，区间，cr p e 垒p e ( 卜7 ，o 】，r n ) p c 1 ( z p ) 竺似：j 一pi 妒( t ) 在j 上除至多可数个点“ 外都连续，在点如处右连续，左极限存在 p c i 垒p c i ( 卜r ，o 】，p ) 0 妒0 = n ! 罂。l 妒( s ) l ，其中妒c 或妒p c 0 妒1 1 1 = m a x i 妒l l ，i i 驴i l ，其中妒p c 1 具有流 五) t 2 t 0 的完备概率空间，其中q 是样本点的全体， ，是q 上的一个口代数，而p 是，上的一个概率测度，流 五) t t 。满足通常的条件? 它是右连续的，并且五。包含了 所有概率测度为零的集合 、 定义在( q ，( 五) 必。，p ) 上的m 一维b r o w n i a n 运动 四川大学博士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四j i i 大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川i 大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归四川大学所有，特此声明。 作者签名：霉蛆 日胡：地泌 一1 0 4 一 导师签名勉 四川大学博士学位论文 引言 在很多实际问题中，比如物理电路、生物系统、化学反应过程和控制系统 等。随机因素都是客观存在的。随机干扰并不总是起消极破坏作用；在一定的条 件下，它对系统是积极的。而且人们也在利用随机因素来控制系统，比如在耗散 系统中增大噪音的强度，引起系统的相交使之趋于平衡态【1 ，2 】。当所考虑的系 统对精度要求不高或随机因素对它的影响很小时。往往可以忽略随机因素，而利 用确定性的观点来处理问题。但是，在有些情况下，随机因素是不可以忽略的。 例如，在大规模集成电路中，忽略随机因素的影响是不可取的。因为这样会增大 误差，影响系统的稳定性能。再比如在l o t k a - v o l t e r r a 时滞竞争系统【3 ，4 】中，如果 忽略随机因素的干扰，系统可能在某一时刻发生爆破现象( 即- 物种的数量出现 剧增) 。这与实际情况并不相符。因此，随机因素的影响不能轻易的忽略。随机 系统的理论研究源于2 0 世纪初e i n s t e i n 等定量描述布朗运动的努力。在二十世纪 五十年代。发展了随机噪声理论后，随机系统的理论研究和应用得到了快速的发 展。 许多连续渐变的过程或系统，由于某种原因，在极短时间内会遭受突然的改 变或干扰，从而改变原来的运动轨迹，这种现象称为脉冲现象。脉冲现象作为一 种瞬时突变现象，在自然界中是广泛存在的。例如种群系统的捕获或补给、流 行病的定时预防接种、电路系统开关的闭合、通信中的调频系统、经济学中的 一些最优控制模型、机械运动过程或其它振动过程突然遭受外在的强迫力( 如打 击或碰撞) 等等，都可导致脉冲现象的发生。脉冲微分方程往往可以用来描述和 刻画这些具有脉冲现象的运动规律。在最近几十年，脉冲微分方程的研究引起 了数学界的广泛关注，发展非常迅速。 时滞在自然界中也是客观存在的。比如传染病的潜伏期、弹性力学的滞后 作用、物质和信息的传输等，都会导致时滞的产生。有些系统必须考虑时滞对 其状态的影响。例如在最初的火箭的设计中，没有考虑反馈控制中的时滞影响 而产生了燃烧的不稳定现象，从而影响了发射的速度和稳定性。这些系统的变 四川大学博士学位论文 化趋势不仅与现状有关，而且与过去的历史有关。这类系统无法用常微分方程 来描述，通常是利用时滞微分方程 5 ，6 】来描述。 随机现象、脉冲现象和时滞现象都是自然界中经常出现的现象。很多时 候，它们会在同一个系统中共存，形成了随机时滞系统和脉冲时滞系统。在 最近几十年，这些系统被广泛研究，许多重要的理论成果也在这一时期相继出 现 7 】 2 5 】。但研究还需要进一步完善，特别是在随机现象和脉冲现象共存的情 形下，系统解的性质研究还需深入探索。基于此，本文将对随机泛函微分方程解 的存在唯一性和脉冲时滞微分方程、脉冲随机泛函微分方程、脉冲随机差分方 程解的渐近性质作进一步的研究。 一、随机泛函微分方程的理论分析 随机系统的研究是随着随机过程理论和微分方程理论的发展而迅速发展 起来的。在1 9 0 0 年，法国数学家b a c h e l i e r 2 6 】在他的博士论文中把股票价格 用b r o 、i l 运动来刻画，给出了股票价格的随机模型。1 9 0 2 年，g i b b s 【2 7 】在讨论统 计力学问题时研究了保守系统的h a m i l t a n - j a c o b i 微分方程组的随机初始值的积 分问题。1 9 0 8 年，l a n g e v i n 【2 8 】在研究布朗运动时得到了形如m 塞= 一励+ ，( t ) 的微分方程。随后。人们对于随机微分方程展开了更深入的研究 2 9 【3 2 】。 然而直到1 9 5 1 年，i t t 3 ( 伊藤) 【3 3 发表了著名的h 6 型随机微分方程的论文，随机 系统严格的数学描述才建立起来。此后。随机微分方程、随机偏微分方程 和随机泛函微分方程的理论得到了快速的发展，大量有价值的文章和专著涌 现 3 4 一 5 5 。 l 在随机常微分方程和随机泛函微分方程解的存在性研究中，绝大部分都 是讨论解的全局存在性。下面是其中一些重要的代表性工作。在文 3 6 】中， f r i e d m a n 考虑了如下伊藤随机常微分方程 如( t ) = f ( t ，x ( t ) ) d t + g ( t ，z ( t ) ) 山( t ) ，t 【0 ，d 4 2 一 四川大学博士学位论文 其中o 0 是一个常数。利用拟局部l i p s c h 沱条件：对每个k n ，存在常 数c k 0 使得 i f ( t ，z ) 一，( t ，金) l v i g ( t ，z ) 一g ( t ，盒) i “i 茁一圣i ，v t 【0 ，口】，i $ i v i 圣i k 其中。，圣舯，和线性增长条件： f ( t ，z ) i v i g ( t ，z ) i c ( i + i x l ) ，v t 【o ，n 】，z 舯， 其中c 是一个常数，f r i e d m a n 给出了随机常微分方程解的全局存在唯一性定 理【3 6 ，定理2 2 ，p i 0 4 。 在文【5 5 中，m a o 把上面的结果推广到了伊藤随机泛函微分方程t ( b ( t ) = b ( t ，z t ) d t + 口( t ，甄) 也j ( t ) ，t o t z 其中( s ) = z ( t + s ) ，s 【一r ，o 】，r 0 ，t 是一个常数。如果b ( t ，觑) 和o ( t ，觑) 满足拟局部l i p s c h i t z 条件+ ：对每个k n ，存在常数“ 0 使得 b ( t ，妒) 一b ( t ，妒) | _ vl 盯0 ，妒) 一仃( t ，妒) l i i 妒一妒v t t o ，t ) ，| | 妒i ivi i 妒1 is k 其中妒，妒g ( 【一7 - ，o l ，p ) ，和线性增长条件： b ( t ，妒) ivl 口0 ，妒) i c ( 1 + i i 妒1 1 ) ，v t t o ，t ) ，妒，妒c ( 【一r ，o 】，r ) 其中c 是一个常数，则随机泛函微分方程具有唯一的全局解( 见 5 5 ，定理2 5 ，p 1 5 3 ) 。， + 在文 5 5 1 q ，它被称为局部l i p s c h i 乜条件。本文称之为拟局部l i p s c h i t z 条件是为了与通常 的局部l i p s c h i 乜条件作区别 一3 一 四川大学博士学位论文 但是，拟局部l i p s c h i t z 条件和线性增长条件都比较强，很多随机泛函微分 方程都不满足这些条件。最近，t a n i g u c h i 4 2 利用一个广义的局部l i p s c h i t z 条 件和广义的线性增长条件，讨论了随机常微分方程解的局部存在唯一性。在 文【4 9 】中，s h e n 、l u o 和m a o 利用拟局部l i p s c h i t z 条件和l y a p u n o v 函数讨论了 随机泛函微分方程解的局部在唯一性。然而，由于缺乏延拓定理的随机版本。在 讨论解的全局存在性时，文 4 2 】和【4 9 】获得的局部存在性不能发挥作用。基于 此，本文第一章利用普通的局部l i p s c h i t z 条件。建立了随机泛函微分方程解的局 部存在唯一性定理和延拓定理。 常微分方程的w i n t r i e r 定理【5 6 ，5 7 是一个非常重要的定理，它能保证解的全 局存在性。但是，对随机泛函微分方程，类似的w i n t r i e r 定理还没有建立起来。 因此，本文第一章把w i n t r i e r 定理从常微分方程推广到随机泛函微分方程：并获 得了一些重要的推论，它们能确保随机泛函微分方程解的全局存在唯一性；推广 了t a n i g u c h i 【4 1 建立的随机常微分方程解的全局存在唯一性定理和d r i v e r 【5 8 建 立的泛函微分方程解的全局存在唯一性定理。 二、脉冲泛函微分方程的理论分析 一类典型的脉冲微分方程可以表示为 i 士( t ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t p o 一) ) ，t t o ， 【z = i r k ( t 。，z 0 一) ) ，t = 如( t 一) ) ， k n 其中z = o ( 矿) 一z ( t 一) ；，、日：r r “- r “；靠：r “_ r 满足f 一l ( z ) 死( 。) ，1 i m ( z ) = o o 。第一个方程描述了系统的连续渐变过程，称之为连续部 分；第二个式子刻画了系统的脉冲效应，称之为脉冲部分；“决定了脉冲发生的 时间，称作脉冲时刻；日描述了脉冲跳跃的强度，称为脉冲函数。当每个亿都是 常量函数时，它是固定脉冲时刻的脉冲微分方程；否则为变脉冲时刻的脉冲微分 方程，其脉冲跳跃时刻“由方程t = r ( z ( t d ) 所确定，不同初始位置的解可能有 不同的脉冲时刻。脉冲微分方程的一个最大特点是：它的解z ( t ) 是按段连续的。 一4 一 四川大学博士学位论文 为了使后文中计算的右导数在缸处有定义，本文约定：z ( t ) 在t k 处是右连续的， h p x ( t k ) = z ( t 吉) 。 当日ie0 时，上述脉冲微分方程退化为一般的微分方程；当f 三0 时，它退 化为一般的差分方程。因此，脉冲微分方程是微分方程和差分方程的综合体，其 理论研究比纯粹的微分方程或差分方程有着更丰富的内容。 脉冲微分方程的研究最早可追溯到二十世纪三十年代。早在1 9 3 7 年，n m k r u y l o v 和n n b o g o l y u b o v 在他们的经典著作 0 ，定义 s ( ，r ) = l 2 ( q ，c ) ：i i 咖一l i n r ) 。 记l 2 ( q ，r “) 是所有二阶矩随机向量构成的b a n a c h 空间，其范数定义为 n = a ( e i z l 2 ) 。 在不引起混淆时，本章也用l i o 来表示b a n a c h 空间l 2 ( q ，p 。”) 中的范数。 在本章中，总是假定( 1 1 2 ) 中的初始条件f 满足：l 2 ( q ，c ) ，并且是五。- 可 测的；在方程( 1 1 1 ) 中， 和 b ：弘o ，t ) l 2 ( q ，c ) ，工2 ( q ，r “) 盯：【t o ，d l 2 ( q ，c ) ，工2 ( q ，r “。m ) ， 一1 0 四川大学博士学位论文 满足下面的条件。 ( q ) ：b 和盯在刃l 2 ( q ，c ) 上连续，并且对每个五- 适应的过程y t ： 陋o ，刁一l 2 ( q ，c ) ，过程b ( t ，玑) 和盯( t ，玑) 也是五- 适应的。 定义1 1 1 设歹= 陋。一下，o ) 或者，= p o 一下，叫，其中南 0 都存在8 t o 一，即使得i z ( s ，u ) i 七。( 1 1 1 ) 和( l 1 2 ) 的解z ( t ，u ) 被称为在区 间陋。一r ，t ) 上爆破，如果存在一个非零测集scq 使得对几乎所有的u 只其 样本轨道z ( t ，u ) 在区间t o 一7 - ，t ) 上爆破。 定义1 1 4 泛函f ：p o ，t ) xl 2 ( q ，c ) 一工2 ( q ，础) 被称为是拟有界的，如果 对任意常数卢( t o ，t ) 和口 0 ，都存在一个正数m 使得 只要 i f ( t ，毋) 1 n m t t o ，用，i i 咖l l n 口。 定义1 1 5 泛函f ： t o ，t ) l 2 ( q ，c ) 一三2 ( q ，舻) 被称为在点( 晶，) 满足局 部l i p s c h i t z 条件，如果存在正数6 、r 和k 使得对任意t g o b ，晶+ 6 1n t o ，t ) 四川大学博士学位论文 和咖、妒s ( ，r ) 有 f ( t ，砂) 一f ( t ，妒) f n k i l o 一妒| | n 。 泛函f 被称为在区域，t ) l 2 ( q ，c ) 上满足局部l i p s c h i t z 条件，如果f 在区 域陋o ，t ) 工2 ( q ，c ) 的每个点处都满足局部l i p s c h i t z 条件。 定义1 1 6 函数h c ( r r m r ”，r ) 被称为是一个皿。一函数，如 果对任意t t o 和r “中满足u ( x ) t ( 2 ) 和v ( i ) st ，( 2 ) 的任意四个向 量u 0 ) 、( 2 ) 、u ( 1 ) 、”( ，当越1 ) = 越2 ) 时，h 的第i 个分量满足h 。( t ，“( n ， ( 1 ) 峨( t ，u ( 2 1 ，口( 2 ) ) 。 1 2 局部存在唯一性定理 为了得到( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 的局部解，定义z = ，并且。o ( t ) = ( o ) ，v t 【t o ，t ) 。取z 嚣一f ，n n ，定义p i c 盯d 序列 州t ) = 卸) + f b ( s ，刃4 ) d s + r 巾，z ，) 幽( s ) t 【t ) ，n e n 引理1 2 1 如果b 和口满足条件旧) ，并且在点，) 【t o ，t ) xl 2 ( q ，c ) 处满 足局部l i p s c h i t z 条件，则存在常数t 1 ( t o ，t ) 使得 髫“( 亡) l 刍( n ，g ( 陆。一下，t i ，p ) ) ，札z + ， ( 1 2 1 ) 对每个t 陋o ，t l 】，z l 2 ( n ，c ) ，竹z + 扩( t ) - 5 ( o ) 1 1 n m l 百r l ，n z + ， ( 1 2 3 ) 一1 2 四川大学博士学位论文 l l z ? 一引i n r l ，t 【t o ，t l 】，n z + ， ( 1 2 4 ) 其中r 1 是一个正数。 证明：由于b 和口在点( t o ，) t o ，t ) 二2 ( q ，c ) 处满足局部l i p s c h i 乜条 件，则存在正数硒、r 1 和6 l ( 满足t o + b l t ) ，使得对任意t 【亡o ，t o + b l 】 和咖、妒s ( 毒，r 1 ) 有 b ( t ，) 一b ( t ，妒) i nsk 1 1 1 咖一妒l i n ， ( 1 2 5 ) 仃( t ，妒) 一口( t ，妒) i n k 1 1 1 毋一妒l l n 。 ( 1 2 6 3 由于b 和盯在【t o ，t ) l 2 ( f t ，c ) 上连续，则对给定的l 2 ( q ，c ) ，i b ( t ，) l n 和l a ( t ，f ) i n 关于t 是连续的。所以存在正数m 使得 b ( t ，) i o m ，i 盯( t ，) i n m ， v t t o ，t o + b 1 。 ( 1 2 7 ) 选择扩( t o ，t o + b l 】满足 4 ( 6 。+ 4 ) ( 研r ；+ m 2 ) ( 矿一如) 譬。 ( 1 2 8 ) 再由z 2 的定义知，存在常数t 1 ( t o ，t 】使得 懈一讹= i i x 。- z 划q 百r l ，t p 。，t 1 】 ( 1 2 9 ) 下面将用数学归纳法证明引理1 2 1 。从z o ( t ) 的定义和( 1 2 9 ) 知对n = 0 ， ( 1 2 1 ) ( 1 2 4 ) 成立。现假设对竹= k ，( 1 2 1 ) 一( 1 2 4 ) 成立则对礼= k + l ， 一1 3 四川大学博士学位论文 i 妇s c h w a r z 不等式、d o o b 的鞅不等式春1 1 ( 1 2 5 ) ( 1 2 8 ) 可得 i l x k + l ( 。) 一唰t 】2 e 麓。叹b ( s ，。强+ z 。a ( 驴：) 山( s ) 1 2 ，t，c 2e娑。【耶，z：)dslto j t 2 + i r 巾，瑚凼1 2 】 s t 1 oj 如 2 ( t 1 一如) r 1 邺( 驴：) 1