（计算机应用技术专业论文）基于模糊集的三维表示及研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 1 9 9 3 年，台湾学者w l g a u 和d j b u e h r e r 提出了v a g u e 集理论，v a g u e 集 理论是对f u z z y 集理论的推广。由于v a g u e 集是“双模糊”，因此我们认为在模糊数 学理论中只要把f u z z y 集理论的隶属度扩展为r 和，两个隶属度，就可以将现有 的f u z z y 集理论研究成果过渡到v a g u e 集中来。本课题的主要研究方向就是根据上 述思想对v a g u e 集理论进行深入的研究和分析。 提出v a g u e 集三维表示方法，对v a g u e 集的基本运算规则和性质进行了补充和 修订。在v a g u e 集三维表示的基础上，对相似度量、模糊熵、反模糊化、近似推理 等模糊理论的关键技术进行了研究。 在v a g u e 集三维表示的基础上，给出种新的基于v a g u e 集的相似度量方法， 该方法采用一对数值来表达两个模糊集的相似程度，可以继承现有f u z z y 集理论的 全部研究成果。同时进行了基于这种相似度量方法的近似推理研究。对v a g t i e 集的 模糊熵及其性质在v a g u e 集三维表示的基础上进行了分析，给出新的基于v a g u e 集 的模糊熵约束条件以及才| _ ；| 应的新的模糊熵计算公式，该公式具有直观解释，同时适 用于f u z z y 集。在v a g u e 集三维表示的基础上，给出基于蕈心、最小值和隶属度最 大值的反模糊化算法。提出一种新的基于v a g u e 集三维表示的具有还原性的近似推 理方法。 最后，根据模糊控制系统理论，设汁一个基于v a g u e 集理论的温度模糊控制系 统。 关键词；模糊集，相似度量，模糊熵，反模糊化，近似推理 华中科技大学硕士学位论文 = = ：= = = = = = = ：= ：= ：= ：二= = = = = ：= ：= = = ：= 二二= ：= ：= = = = = = = = = = = = = = = = = 二= = = = = = = = = = = 二二= a b s t r a c t v a g u es e t st h e o r yp r o p o s e db yw l g a ua n dd j b u e h r e r t a i w a ns c h o l a r s i n 1 9 9 3 ，i st h ed e v e l o p m e n to ff u z z ys e t st h e o r y b e c a u s ev a g u es e ti s d o u b l ef u z z y , w e t h i n kt h a ti f r e p l a c em e m b e r s h i pf i m c t i o n b ym e m b e r s h i p f u n c t i o na n d ，w ec a i l u s ea l lt h et h e o r ya b o u tf u z z ys e ti nv a g u es e t sr e s e a r c hw o r k t h es t u d yo fv a g u e s e t st h e o r ya n dt h ep a p e r “at h r e e d i m s e n s i o ne x p r e s s i o no fv a g u es e ta n dr e s e a r c h w a s p r o c e s s e d b a s e do na b o v e t h e o r y b yp r o p o s i n ga t h r e e d i m s e n s i o ne x p r e s s i o no f v a g u es e t ，w er e s e a r c hv a g u es e t s p r o p e r t i e s a n dd e f i n i t i o n si nan e ws i g h t w er e s e a r c ht h e i m p o r t a n tt e c h n o l o g y ， m e a s u r eo f s i m i l a r i t y , e n t r o p y ；d e f u z z i f i c a t i o n ，a p p r o x i m a t er e a s o n i n g ，o fv a g u es e t s t h e o r y b a s e do nt h et h r e e d i m s e n s i o ne x p r e s s i o n o f v a g u e s e t ， w e g a v e an e w g e n e r a l m e t h o do fm e a s u r eo f s i m i l a r i t y b a s e do n t h r e e - d i m s e n s i o ne x p r e s s i o no fv a g u es e t t h i sk i n do fm e t h o du s et w ov a l u e st o d e s c r i b et h es i m i l a r i t yo ft w ov a g u es e t s ，c a nu s ea l ls i m i l a r i t ym e a s u r em e t h o db a s e d o nf u z z ys e t ，a n dh a v em o r ef u z z yi n f o r m a t i o n s w er e s e a r c h a p p r o x i m a t er e a s o n i n g m e t h o db a s e do na b o v em e t h o do fs i m i l a r i t ym e a s u r e w ep r o p o s e dan e wg e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c so f e n t r o p yo fv a g u es e t s ，a n dg a v ean e we n t r o p yf u n c t i o nb a s e do nt h e t h r e e d i m s e n s i o ne x p r e s s i o no f v a g u es e t w h i c hi ss i m p l e ，a n dc a r la l s ob eu s e di nf u z z y s e t ，a n di sm o r el i k er e a lw o r l d w ep r o p o s e dan e w g e n e r a lm e t h o do fd e f u z z i f i c a t i o n b a s e do nt h et h r e e d i m s e n s i o ne x p r e s s i o no f v a g u es e t ，a n dp r o p o s e dan e w r e a s o n i n g m e t h o db a s e do nt h et h r e e d i m s e n s i o n e x p r e s s i o no f v a g u es e t a tl a s t ，w ed e s i g na f u z z y c o n t r o ls y s t e mb a s e do na b o v e v a g u e s e tt h e o r y s 一 i i k e yw o r d s f u z z ys e t ，v a g u es e t ，m e a s u r e o fs i m i l a r i t y , e n t r o p y ；d e f u z z i f i c a t i o n , a p p r o x i m a t er e a s o n i n g i i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献钓个入和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：兹乇矗 日期：川年阳谚日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构遴交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关蜇据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密口。 ( 请在咀上方框内打“”) 学位论文作者签名；转移品 日期：”髟年。月谢日 指导教师签名：雹隈 日期；，v 年f 月四日 华中科技大学硕士学位论文 1 1 课题背景 绪言 毫无疑问，人脑是这个世界上最复杂、智能最高的系统。它的精妙之处 就在于能够处理信息的不确定性、不精确性、不完全性、模糊性、随机性和非 单调性，从而得到正确或满意的结论，为人们作出决策提供强有力的支持 i - 2 。 德国数学家c a n t o r 在1 9 世纪末创立了集合论。在c a n t o r 的集合论中， 对于在论域中的任何一个对象( 元素) ，它与集合之间的关系只能是属于或不 属于的关系，即一个对象( 元素) 是否属于某个集合的特征函数的取值被限制 为0 和l 两个数。这种二值逻辑已成为现代数学的基础。随着科学技术的发展， c a n t o r 的集合论在表示和处理各种模糊性的事物方面已显出各种不足，而这种 模糊性恰恰是普遍存在的。在人工智能的研究中，传统数学已经被证明无法处 理具有上述特征的信息。 为了寻找能够更好地处理具有上述特征的信息的数学工具，美国加州大 学伯克莱分校的l a z a d e h 教授于1 9 6 5 年提出了f u z z y 集理论1 3 5 】，从而为描 述和处理事物的模糊性和系统的不确定性，为模拟人的模糊思维和决策推理功 能，提供了一个十分有效的工具。在f u z z y 集中，一个对象( 元素) 属于某个 集合的特征函数可以在值域 o ，l 】巾取值，这就突破了传统二值逻辑的束缚。 正如z a d e h 教授所说：“需要强调指出的是：有关模糊规则，模糊图，模糊概 率的研究方法反映了这样的事实：不精确性和不确定性是普遍的；精确性和确 定性需要一定的代价。这些研究方法的主要目的在于：在容许的不精确性和不 确定性范围内达到易处理，健壮和低的求解代价。”尽管这一理论从一开始就 受到某些人的责难和讽刺，但大量的实际研究成果表明：模糊理论是处理模糊 性和不确定性的一个锐利武器 l 。 z a d e h 教授于1 9 7 5 年又提出了区间值模糊集( i n t e r n a l v 胡u e d f u z z ys e t s ) 理论m 1 ，即一个对象( 元素) 属于某个集合的特征函数不是取值域 o ，1 中的一 华中科技大学硕士学位论文 个单值，而是取f o ，1 上的一个子区间。在这方面，国内外研究很多，较突出 的是加拿大学者i b t u r k e n 9 - 1 1 和波兰学者m b g o r z a l e z a n y ”6 ”1 。 为了研究出更接近于人类思维模式的模糊推理方法，台湾学者w - l g a u 和d j b u e h r e r 于1 9 9 3 年提出v a g u e 集理论【1 “，该理论是对f u z z y 集理论概 念的推广。在v a g u e 集中，一个对象( 元素) 对某个集合的隶属函数也是区间 o ， 1 】上的一个子区间，表示为【t a x ) ，1 一工( x ) 】，其中f 。( x ) 、工( x ) 分别表示该对象 f 元素) 属于或不属于该集合的程度。 随着v a g u e 集的诞生，我们对信息处理与描述又多了一个更强有力的工 具，v a g u e 集是一种比f u z z y 集更为先进的分析方法，处理模糊信息的能力也 更强。现在许多人工智能程序都是基于f u z z y 集的，已取得了很好的效果，如 将v a g u e 集应用于其中必将使其更符合实际，达到于接近智能的效果。以今天 科技的发展速度，我们有理由相信，经过一段不长的时间，v a g u e 集必将代替 f u z z y 集被应用于世界的各个角落。 目前，国内外对v a g u e 集的研究【1 7 _ 删正在兴起。本课题采用v a g u e 集来 进行模糊理论相关领域的研究 2 0 。2 2 】，密切跟踪国际科技前沿，必将丰富模糊理 论的研究成果。这一创新研究将为用计算机模拟人的模糊思维和逻辑推理机制 提供一个理论工具，对思维科学的研究提供参考，具有极高的学术价值和意义， 并有可能给我们在模糊专家系统、模糊控制、模糊决策支持系统、模糊模式识 别等许多领域的智能系统中带来巨大的经济和社会效益。 课题来源于国家高性能计算基金项目( 0 0 3 0 3 ) 和华中科技大学科学研究 基金项目( m 9 9 0 1 5 ) 。 1 2 国内外概况 目前国内外对f u z z y 集理论的研究较为深入和广泛，其中g e h r k em a i ，c w a l k e r , e w a l k e r i b t u r k e n ，m b g o r z a l c z a n y 等学者对区间值模糊集作了 研究，国内的林华，刘川意，贺仲雄等学者对f u z z ys e t , e x t e n s i o ns e t v a g u e s e t ，s e tp a i r a n a l y s i s 之间的关系进行了研究【2 0 j ，d h h o n g ，s yh w a n g 等学者 对模糊决策支持系统1 2 3 2 6 】、模糊模式识别等许多领域t 2 7 。3 0 1 进行了研究， k a t a n a s s o v 提出直觉模糊集的概念t 3 1 - 3 3 l ，汪培庄对f u z z y 集理论进行了全面 的论述 3 4 - 3 5 。 华中科技大学硕士学位论丈 v a g u e 集理论的研究则刚刚开始不久，作为一种新的模糊理论， v a g u e 集具有f u z z y 集无法比拟的优势，国外的s m c h e n ，i b t u r k e n ，国内的李凡 3 6 - 3 7 1 ，邢汉承，裴道武等学者对此作了大量的工作。 在相似度量方面，提出了多种相似度量算法 3 8 - 4 2 】，提出了距离和贴近度等 方法，主要有线性距离、加权线性距离、欧既里德距离、可夫斯基距离和其它 形式的距离【l 】，以及汪培庄提出的格贴近度、海明贴近度、欧氏贴近度| ：3 4 j ，提 出了基于相似度量的近似推理 4 3 4 6 】。 在模糊熵方面，对此有较多研究的是wj w a n g ，eb u r i l l o ，h b u s t i n c e 等 学者 4 7 50 1 。 在近似推理方面，国内的王国俊教授首先提出一种全蕴含的三i 算法【钉 ， 该算法无论是在语义还是在逻辑上都给出了较为合理的解释，特别是在给定规 则中，当规则前件的模糊集是正规模糊集时，则算法满足还原性。是目前较为令 人信服的模糊推理算法，国内的李凡 5 2 4 4 1 ，宋士吉，冯伯纯，邢汉承等人相继 对此作了研究。 s m c h e n 等学者先后提出了双向近似推理 5 ”，基于比例的近似推理，插 值推理，多规则近似推理【5 6 - 5 7 ，加权近似推理，区间集模糊推理1 5 8 - 6 1 1 ，多目标 模糊决策1 6 2 - 6 4 】，证据理论 6 5 - 6 7 l 多种算法。 目前v a g u e 集在模糊控制系统中的应用1 6 8 - 6 9 还有待进一步研究。 1 3 课题主要研究工作 由于v a g u e 集是“双模糊”，我们认为现有模糊数学的成果只要把f u z z y 集 理论的隶属度扩展为r 和厂两个隶属度，就可以顺利过渡到v a g u e 集来。本 课题的主要研究方向就是根据上述思想对v a g u e 集理论进行深入的研究和分 析，试图以现有的f u z z y 集理论的全部研究成果对v a g u e 集理论进行完善。 首先提出v a g u e 集三维表示方法，在三维表示的基础上对v a g u e 集的基本 运算规则和性质进行了新的分析和理解。 然后提出一种新的基于v a g u e 集的相似度量方法，该方法继承了现有的 f u z z y 集理论的全部研究成果，同时也携带了更多的模糊信息。然后以这种相 似度量方法为基础进行了近似推理的研究。该方法进一步发展和完善了现有的 v a g u e 集理论知识。 华中科技大学硕士学位论文 紧接着对v a g u e 集的模糊熵及其性质进行了研究。提出基于v a g u e 集模糊 熵的约束条件，在此基础上提出一种新的v a g u e 集的模糊熵计算公式，该公式 计算简单，同时具有较高的可信度。 对v a g u e 集的反模糊化算法进行了系统的研究。反模糊化是模糊控制中的 重要步骤之。反模糊化算法的好坏直接影响着模糊控制的效果。 对现有的各种近似推理方法进行了研究，提出种新的基于v a g u e 集三维 表示方法的近似推理方法。 最后，将一卜述理论结合模糊控制系统，设计了。个基于v a g u e 集理论的温 度模糊控制系统。 具体说来，需要完成以下几方面的研究工作： 1 关于v a g u e 集的三维表示； 2 基于v a g u e 集三维表示的相似度量的研究； 3 基于v a g u e 集相似度量的近似推理的研究； 4 基于v a g u e 集的模糊熵的研究； 5 基于v a g u e 集的反模糊化方法研究： 6 基于v a g u e 集的近似推理方法研究； 7 v a g u e 集理论在温度模糊控制系统的应用研究。 华中科技大学硕士学位论文 ：= ：= ：= ：= = ：= ：= ：= ：= ：= = ：= ：= = ：= = ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 v a g u e 集及其三维表示 在c o n t e r 的集合论巾，不承认差异的中介过渡，即对于某一集合来说， 其元素要么属于它，要么不属于它。从映射的角度来说，集合的特征函数( 不 叫隶属函数) 的值域为 o ，l ，而不是 0 ，1 】。因而，c o n t e r 的集合论无法描述 带有不精确的，不完全的，或模糊的信息。 f u z z y 集理论最基本的特征是：承认差异的中介过渡，也就是说承认渐变 的隶属关系，即一个f u z z y 集a 是满足某个( 或几个) 性质的一类对象，每 个对象都有一个互不相同的隶属于a 的程度，隶属函数“f ( x ) ( x e x ) 给每个对 象分派一个0 和1 之间的数作为它的隶属度。但是，要注意的是隶属函数给每 个对象分派的是 0 ，1 中的个单值，这个单值既包含了支持x x 的证据，也 包含了反对x x 的证据；它不可能表示其中的一个，更不可能同时表示支持 和反对的证据。 为了解决上述f u z z y 集理论的不足，g a u 和b u e h r e r 于1 9 9 3 年提出了一个 新的处理模糊信息的模糊理论g h e 集。在v a g u e 集中，给每个对象同样分 派一。个隶属度，不同的是该隶属度是【0 ，1 】的一个子区间，这个子区间既给出了 支持x e x 的证据，同时也给出了反对x e x 的证据。与f u z z y 集相比较，v a g u e 集能更好和更准确地表达模糊信息。 2 1 f u z z y 集的基本概念 定义2 1 令x 是一个点( 对象) 的空间，其中的任意一个元素用j 表示， x 中的一个f u z z y 集4 用一个隶属函数以( x ) 来表示，u a x ) 将区f n j o ，1 中的 一个实数与x 中的每一个点联系起来，即 脚：x 一 o ，1 】 其中，0 以( x ) l 。 华中科技大学硕士学位论文 = = ：= ：= ：= ：= = = = = = ：= = ：= ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 二= = 二 f u z z y 集a 的表示方法如下： 设a 为一f u z z y 集，当x 是连续的时候，有 一= 一( x ) ，x 算x 当x 为离散的时候，有 一= 卢( 噩) 】五 船j 2 2 v a g u e 集的基本概念 定义2 2 令己，是一个点( 对象) 的空间，其中的任意一个元素用u 表示， ( ，中的一个v a g u e 集4 用一个真隶属函数t 。和一个假隶属函数 表示，( “) 是从支持的证据所导出的甜的隶属度下界，无 ) 则是从反对“的证据所导出 的“的否定隶属度下界， 。m ) 和兀( “) 将区间【0 ，1 】中的一个实数与u 中的每一 个点联系起来，即 f _ ：u o 【o ，l 】 六：u 斗 0 , 1 其中， ) + 厶 ) 1 。 由上述定义可知，在v a g u e 集中，“的隶属度被限制在 o ，1 】卜的一个子区 间【( “) ，1 一无( “) 】内。其中( “) 是v a g u e 集a 的真隶属函数，它表示支持“u 的证据的必要程度；以( ) 是v a g u e 集一的假隶属函数，它表示反对u u 的 证据的必要程度，而1 一兀( “) 则表示了支持“u 的证据的可能程度。 例如：如果【( “) ，1 一兀 ) = 0 5 ，0 8 】，那么可以得到 ) = o 5 ， ( “) = 0 2 。 这一结果可以解释为：u 属于v a g u e 集a 的程度为0 5 ，而它不属于爿的程度 则为0 2 。 设a 为一v a g u e 集，当u 是连续的时候，有 a 2 i p ( “) ，1 一j ( u ) u “u 当u 为离散的时候，有 土 a 2 2 二 ，( “，) ，1 一厶( 材，) 7 2 ， 甜，u 6 华中科技大学硕士学位论文 2 3 v a g u e 集的三维表示 定义2 3 令u 是一个点( 对象) 的空问，其中的任意一个元素用 表示， u 中的一个v a g u e 集4 用一个真隶属函数f 。和一个假隶属函数l 表示，f 。( “) 是从支持“的证据所导出的u 的隶属度下界，厶( “) 则是从反对的证据所导出 的“的否定隶属度下界，( 群) 和厶( 甜) 将区间 o ，l 】中的一个实数与u 中的每一 个点联系起来，即 t ：u _ 【o ，1 】 f a ：u _ 0 ，1 】 其中，f 。 ) + 厶 ) l 。 对于论域u 上的v a g u e 集a 可以表示成图2 1 的形式；其中空间曲线，的 参数方程可以表示为： f t a ( u ) = 竹 六= 鸭( ，) k = ( ) 空间曲线，在平面：j o u 上的投影为曲线，加，其曲线方程为： ，( 厶，1 1 ) = 0 空间曲线，在平面t a o ul 的投影为曲线，。，其曲线方程为： g ( t 。，“) = 0 空间曲线，也可表示为上述两个投影曲面的相交： f f ( ， ，“) = 0 【g ( ，“) = 0f 六+ f s 11 从圈2 1 中可以看出，用空间曲线f 表示v a g u e 集4 的隶属函数，可以更 直观地反映v a g u e 集彳所包含的模糊信息。对论域u 中的任意一点，其隶属 于v a g u e 集a 的程度为r 。( 甜) ，其不隶属于v a g u e 集a 的程度为六 ) ，对应于 空间曲线f 上的点的坐标就是( “) ，兀( “) ，“) ，设该点到平面，一+ 。l 的欧氏距 离为j d ，d 值越小表示对于论域u 中的点“的信息知道得越精确，反之，则表 示对于论域u 中的点“的信息知道得越模糊；如果空间曲线f 上的任意点均 在平面“月2 1 上，则该v a g u e 集就退化为f u z z y 集因此也可以将v a g u e 集 看作是f u z z y 集的三维空间扩展。 我们约定，在以后的章节中，如果没有特殊说明，v a g u e 集均表示为以下 华中科技大学硕士学位论文 形式： 设a 为- - v a g u e 集，当u 是连续的时候， 爿= i j t 。( “) ，f a ( “) 1 “ “u 当u 为离散的时候，有 a - - z ( ，) ，f a ( u 。) l u ， “，e 有 图2 1 v a g u e 集的三维表示 对于v a g u e 集爿上任意一点口= ( t o ，正) 的真假隶属函数，我们可以用图2 2 表示如下： - - - - - - _ _ - - - - - _ _ 8 华中科技大学硕士学位论文 图2 2 论域u 卜的任意点c 的隶属函数 v a g u e 集的三维表示并没有改变v a g u e 集的基本概念，只是将其表达方式 修改为三维空间，这为我们进一步研究v a g u e 集的性质和特点提供了种新的 思路，在2 4 节中，我们以三维表示的形式重新研究和分析v a g u e 集的性质和 运算规则。 2 4 v a g u e 集的性质 定义2 4 一个v a g u e 值( 集) 是空的，当且仅当它的真隶属度和假隶属度 在u 上恒等于0 。 定义2 5 当且仅当对于论域u 上的任意一点“有： ( 都) ：t b ( 甜) 兀( 甜) ：兀( “) 时，两个v a g u e 值( 集) a 和b 是相等的。即a = b 。 定义2 6 当且仅当对于论域u 上的任意一点甜有： ( “) f 口( 甜) 厶( “) 厶 ) 时，则两个v a g u e 值( 集) b 为a 所包含，即a b ，此时称b 为a 的一个子 华中科技大学硕士学位论文 ：= ：= ：= ：= = = = = = ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 集，如图2 3 所示。 图2 3 v a g u e 值a 包含v a g u e 值b 我们可用下述例子更好地理解定义2 6 ，例如【o 4 ，0 7 】【o 5 ，o 8 】这一包含 关系，因为 o 4 ，o 7 】可解释为：支持的证据为4 ，反对的证据为3 ，弃权的证 据为3 ；同理，【0 5 ，o 8 也可解释为：支持的证据为5 ，反对的证据为2 ，弃权 的证据为3 。由此可看出 o 5 ，0 8 】的支持数大于【o 4 ，o 7 】的支持数，而【0 5 ，0 8 】 的反对数贝0 d , y l o 4 ，0 7 】的反对数，故1 0 5 ，0 s i g n 0 4 ，0 7 1 是可以比较的，在实 际情况中这一结果也是真实的。 定义2 7 当且仅当对于论域u 上的任意一点u 有：t a ( u ) ( ”) ， f a ( u ) b 。 定义2 8 一个v a g u e 值( 集) a 的补值( 集) a 定义为： 7 j ( ”) = f a ( “) 厶 ) = t a ( “) 图2 4 中表示了v a g u e 值( 集) a 上的一点a 及其补的坐标。从图2 4 可 以清楚地看到点a 及其补是关于直线y 2 x 对称的。因此，如果两个v a g u e 值 ( 集) a 和曰关于平面y 2 工对称，则我们可以认为v a g u e 值( 集) a 和曰是 互补的。 华中科技大学硕士学位论文 图2 4v a g u e 值日及其补 = ，d ) t 。 定义2 9 设t l 是一t 一范数，其相应的t 余范数为j - l ，两个v a g u e 集爿和 日的交集是v a g u e 集c ，即c = a 瓦b ，其真假隶属函数分别为： t c = t a n t s ? = a v b 其中“v ”取大算子。特别地令“t 1 ”为“ ”，则v a g u e 集a 和b 的交运算 用爿n 曰表示，它定义为： 厶。0 ) = m a x ( 兀( “) ，f b ( “) ) t 4 r 、b 恤j = m i n ( t “( “) ，t 口( “) ) 如图2 5 所示。 定义2 1 0 设t l 是一t - 范数，其相应的t 余范数为上l ，阿个v a g u e 集a 和 b 的并集是v g g u e 集c ，即c 2 4 幽，其真假隶属函数分别为： 其中“v ”为取大算子。特别地令“上l ”为“n ”，则 v a g u e 集a 和b 的并运算用a u 占表示，如图2 6 所示： 厶。g ) = m i n ( f a ( x ) ，厶( x ) ) f 。g ) = m a x ( t 。( x ) ，t 。 ) ) - - 一一- 一一一一_ l l 华中科技大学硕士学位论文 图2 6 论域u 上的任意两点口和6 及其并 例2 1 舻【o 2 ，0 6 u 1 + 0 6 ，0 2 u 2 + o 3 ，0 3 u 3 + 0 5 ，0 1 u 4 + 0 8 ，0 u 5 ， b 2 o 3 ，o 5 ，u 1 + o 2 ，o 5 u 2 + o 3 ，0 4 u 3 + 0 8 ，o u u 4 + 1 0 ，o u 5 ，当“t 1 ”和“j - l 分别取“，、”和“v ”时，则有： a 万b = o 2 ，o 6 u 1 + 0 2 ，0 5 u 2 + 0 3 ，0 4 u 3 + 1 0 5 ，o 11 u 4 + o 8 ，o u 5 a 型b 2 【o 3 ，0 5 u 1 + 【0 6 ，o 2 1 u 2 + o 3 ，o 3 3 u 3 + 1 0 8 ，o 1 】u 4 + 1 o ，o u 5 当“t i ”和j - 1 分别取“代数积”和“代数和”时，即a t b = a b ，札b = a + b a b ， 一一一一- 一一一- 1 2 华中科技大学硕士学位论文 其中a 与b 取0 和1 之间的任一实数，则有： a 百b = 【0 0 6 ，o 6 u 1 + 0 1 2 ，o 5 u + o 0 9 ，0 4 u 3 + 0 4 ，0 1 】u 4 + 0 8 ，0 u s a 型b = o 3 ，0 3 u i + 0 6 ，0 1 u 2 + 【o - 3 ，0 1 2 u 3 + 0 8 ，0 o h u 4 + 【1 o ，o u 5 显然，这种新的关于交集和并集的定义不仅仅是f u z z y 集上交集和并集定 义的扩充。在实际运用中，由于t 一范数可选，从而使得这种新的定义具有更好 的灵活性。这种新的定义渊源于f u z z y 集上的交集和并集定义，在f u z z y 集中， 两个f u z z y 集a 和b 的交集总是取其对象的隶属度较小的那一个，是一种“保 守”型的运算，它实质上蕴涵了这样一种思想：即a 和b 的交集是使对象属于 交集的程度尽可能地小，而不属于交集的程度尽可能地大；对偶地有两个f u z z y 集a 和b 的并集总是取其对象的隶属度较大的那一个，是一种“乐观”型的运 算，它实质上蕴涵了这样一种思想：即a 和b 的并集是使对象属于并集的程 度尽可能地大，而不属于并集的程度尽可能地小。有了这一思想，就不难得到 上述定义。此外，在m y c i n 系统中，不精确信息的组合也用到过“代数积”算 子。由于v a g u e 集所能描述的模糊信息比f u z z y 集所能描述的模糊信息要多， 因而信息的组合也就不再仅满足于简单的取大，取小运算。不同类型的模糊信 息的组合应有不同的交并运算。我们这早对v a g u e 集的交集和并集重新进行定 义正是反映了这一思想。事实上，这种新的交集和并集定义已经不再是f u z z y 集上的交集和并集定义的简单泛化，而是对现实世界中各种模糊信息问的组合 的一种更为本质上的认识。 定义2 1 1当且仅当： 对于，( 兀，u ) = 0 ，满足：f a ( a u l + ( 1 一五) 甜2 ) m i n ( 厶( ) ，兀( 甜2 ) ) 对于g 也，u ) = o 满足：t a ( 旯u l + ( 1 2 ) u 2 ) m i n ( t ( 嵋) ，( 心) ) 时， v a g u e 集a 为凸v a g u e 集。 定义2 1 2 论域u 上的一个v a g u e 集爿，a = 【“( 虬) ，l ( u ，) 】，虬，如果 i = 1 3 u ，u ，有， ( 甜；) + 厶( “，) = 1 ，则称彳是正规的v a g u e 集。 定义2 1 1 令u 是一个v a g u e 值，甜= 矾，z 】，其中，0 t 。1 - 工1 。v a g u e 值x 可分为三个部分：真隶属值部分( 即屯) ，假隶属值部分( 即) ，以及不知 道部分( 即1 一t ，一f ) 。 定义2 1 2 令“= t o ，f o 是一个v a g u e 值，如果，。= 1 ，工= 0 ，那么将u ( = 【1 ，o 】) 华中科技大学硕士学位论文 称为真v a g u e 值。 定义2 1 3 令“= 阮，工】是一个v a g u e 值，如果f 。= o ，五= 1 ，那么将u ( - 【o ，1 】) 称为假v a g u e 值。 定义2 1 4 令a 是论域u = 似，“：，“。) 上的一个v a g u e 集，其中 a = 【f 。( “1 ) ，1 一j ( 1 ) u l + f d ( “2 ) ，1 一，j ( 1 1 2 ) 】“2 + + p ( “。) ，l 一无( “。) 】。 如果v f ，1 j ，f ( “，) = l ，无( ”。) = o ，那么将a 称为真v a g u e 集。 定义2 1 5 令a 是论域u = 扣。，虬，叱 上的一个v a g u e 集，其中 a = p ( z f l ) ，1 一厶( 1 ) u 1 + i t _ ( 2 ) ，l 一厶( 2 ) 】“2 。 + + p ( “。) ，1 一厶( n ) “ 如果v i ，1 i n ，t a ( i ) = 0 ，厶( “，) = i ，那么将a 称为假v a g u e 集。 设t l 是一t 一范数，其相应的t 余范数为上l ，且令论域x 上的三个v a g u e 集分别为一，b ，c ，它们的交并运算分别定义为n 科世，那么，我们可以得 到关于v a g u e 集的如下性质： ( 1 ) a 万b = b 鬲a a u b = b 翊 由i 【o ，1 】上的t 范数和t 余范数的交换性可得出上述结果。 ( 2 ) a 万( 口鬲c ) = ( 彳万曰) 亓c 4 堕( 口f ) = ( 4 翊) 叠f 出t 【o ，1 】上的t 范数和t 作范数的结合性可得出_ 匕述结果。 ( 3 ) 彳翊a 爿万a a 当t 1 v ，此时上面的式子成立：若t l _ 时，则有上l = v ，此 时h 面的式子中不等号都应改为等号。 ( 4 ) a 亓矿2 庐 一丛2 x ，其中曲= 【o ，o 】，= 【1 ，1 1 。 证明： ，i = “五“1 t l t = ，= 0 由于7 i 0 ，故f 4 i = 0 ，1 一 万= ( i 一办) 0 = 0 。 “蚺= t a v t x - - - - t av l = 1 1 一 吵= ( 1 一 ) 上- l ( 1 一 ) v 1 = 1 一一_ - - - 一一- 一- _ _ _ 一- - 一- - 一一- - 一一一- 一一_ 1 4 华中科技大学硕士学位论文 ：= ：= ：= ：= ：= = ：= = ：= = = = = = ：= = = ：= ：= ：= ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 由于l 一办出1 ，故1 一办蟑= l 。 ( 5 ) 爿翊2 a 爿芥x = a 其中毋= 0 ，o 】，x = 【1 ，1 1 。 证明： 7 4 9 。i av 0 2 t a ，1 一乃_ 5 ( 1 一办) 上1 0 2 1 一v ，j i 2 t a 五1 2 l a ，1 一办再= ( 1 一 ) 1 2 l 一办 ( 6 ) 爿g a 万占) 2 一 a 万( 彳望占) a 证明： 7 粤( 一五日) = t av ( t a t i t b ) = t a ( t a t f f 口t a ，月t a ) 1 一 州瓦。) = ( 1 一办) 上， ( 1 _ ) ( 1 一办) ( 1 一办) j _ 1 0 = 1 一办 ( 蓟f _ t 蚺) = t a t l o v t b ) 兰t a ( t av 如) = i a 1 一 i ( _ 妒) = ( 1 一 ) ( 1 一办) 上l ( 1 一知) 】2 1 币 ( ( 1 一办) 上，0 一如) ( 1 一五) v ( 1 一知) ( 1 一 ) ) ( 7 ) 4 步一万b a 万口= 4 型b 证明： l _ 厅翊= ( 1 一办) 上，( 1 一如) = 1 一办五如铮 u b = f a r , 如 t y j b = b = a t j b = t 蕊 1 一l - 西= 1 一t a u # = 1 一f av f 口= ( 1 一t a ) ( 1 一，b ) = j 五百 l _ 齐b = ( 1 一办) 1 0 一知) = l 一 v 如 邴= v 如 t 菊= m b = a v b = t j 画 l j 元j = 1 一，4 i 口= l - - i a t f f b = ( 1 一t a ) 上l ( 1 一f h ) = 厶i 庙 ( 8 ) a = a 证明：f i = 1 _ 厂_ = 1 一t a 铮乞= f 1 一危= 1 一 2 5小结 在f u z z y 集理论中，隶属函数给每个对象分派的是【o ，1 】中的一个单值，这 华中科技大学硕士学位论文 个单值既包含了支持x x 的证据，也包含了反对x x 的证据；它不可能表示 其中的一个，更不可能同时表示支持和反对的证据。在v a g u e 集理论中，给每 个对象同样分派一个隶属度，不同的是该隶属度是r o ，1 1 的一个子区间，这个子 区间既给出了支持x e x 的证据，同时也给出了反对x x 的证据。与f u z z y 集 相比较，v a g u e 集能更好和更准确地表达模糊信息，更接近于人类的思维模式。 本章首先介绍了f u z z y 集的基本概念，然后给出了v a g u e 集的基本概念和 v a g u e 集的三维表示方法，然后在三维表示的基础上重新分析了v a g u e 集的基 本性质和运算规则，通过和以前对v a g u e 集的基本性质和运算规则分析的相关 论文的比较得知，有些性质和运算规则和以前的结论是一致的，有些是不一致 的。从而认识到以前对v a g u e 集的基本性质和运算规则认识的不足之处。帮助 我们更深刻地认识v a g u e 集的性质和特点。可以认为v a g u e 集的三维表示是 v a g u e 集理论的进一步完善和发展。 随着v a g u e 集的诞生，我们对信息处理与描述又多了一个更强有力的工 具，v a g u e 集是一种