（数量经济学专业论文）基于奇点分离法的美式期权定价方法研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 在1 9 7 3 年推导出了基于无红利支付股票期权 的b l a c k s c h o l e s 期权定价方程( b s 方程) ，并精确地给出了欧式期权定价的解析 表达式，但对于美式期权，由于存在提前执行的可能性，所以只能找到方程近 似解析解或是数值解。有限元差分方法是美式期权定价中较为常见的数值计算 方法，它对离散后的方程在有限的区域进行差分。由于差分区域的不规则性， 在差分区域的边界往往存在相对较大的截断误差。本文中利用美式期权和欧式 期权的关系，通过适当的变量代换，简化含自由边界的抛物线偏微分方程的美 式期权定价模型，使得在数值计算中进行有限差分的区域变为规则形状，消除 初始条件的奇点，进而减少数值计算的截断误差。 b s 方程是期权定价的基础。对于标的物支付连续红利的欧式期权，在假设 标的物价格服从几何布朗运动的前提下，我们详细推导了b s 方程。基于b s 方程，我们分析了美式期权的定价问题，其本质是一个障碍问题。以美式看跌 期权为例，对于任意一个到期日之前的时间，存在一个相应的标的物价格，在 此价格的左侧，美式看跌期权的价值始终会等于相应的价值函数，而当标的物 价格高于此价格时，期权价格会大于相应的价值函数。这个临界的标的物价格 是依赖于时间的，这就导致了一个自由边界，从而使得难以找到方程的精确的 解析解，寻找美式期权数值解便成为研究其解特性的主要方法。我们详细介绍 了奇点分离法的主要思想，分析了它在数值计算方法中的应用。由于欧式期权 可以准确得到，利用美式和欧式期权的关系，我们考虑两者之间的差而不是直 接求解美式期权的价格，这样能减少相对误差。由于美式期权定价方程中的边 界条不够光滑，我们通过引入适当的变量代换，使得方程的边界条件足够的光 滑，进而减少数值计算的截断误差。二叉树法及投影s o r 法是两种常用的美式 期权定价的数值方法，通过数值实验与并这的两种数值方法进行比较，发现奇点 分离法能明显改善计算精度和速度。 关键词：美式期权；b s 方程；奇点分离；自由边界 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n19 7 3 ，b a s e do nn o n d i v i d e n d - p a y i n gs t o c k so p t i o n ，f i s c h e rb l a c ka n dm y r o n s c h o l e sd e r i v e db l a c k s c h o l e so p t i o np r i c i n gf o r m u l aa n dg a v eap r e c i s ea n a l y t i c a l s o l u t i o nf o re u r o p e a no p t i o n h o w e v e r , d u et ot h ep o s s i b i l i t yo fe a r l ye x e r c i s eo f a m e r i c a no p t i o n ，w ec o u l do n l yf i n dt h ea p p r o x i m a t e da n a l y t i c a ls o l u t i o no r , m o s t l y t h en u m e r i c a ls o l u t i o ni ns t e a do fa n a l y t i c a lo n e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dw h i c h s o l v e sd i s c r e t ee q u a t i o no naf i n i t ea r e a , i so n eo ft h ep o p u l a rm e t h o d si na m e r i c a n o p t i o np r i c i n g t h ei r r e g u l a r i t yo ft h ed i f f e r e n c ea r e am a yl e a dt or e l a t i v e l yb i g t n m c a t i o ne r r o r b ym a k i n gu s eo ft h er e l a t i o nb e t w e e nt h ea m e r i c a no p t i o na n dt h e c o r r e s p o n d i n ge u r o p e a no p t i o n a n d i n t r o d u c i n g s o m e a p p r o p r i a t e v a r i a b l e t r a n s f o r m a t i o n s ，i nt h i sp a p e r ，w es i m p l i f yt h ep r i c i n gm o d e lf o ra m e r i c a no p t i o n w h i c hi n v o l v e sap a r a b o l i c e q u a t i o n w i t hf r e e b o u n d a r yc o n d i t i o n t h e s e s i m p l i f i c a t i o n sc o n v e r tt h eo r i g i n a la r e aw h e r et ot a k ed i f f e r e n c ei n t oar e g u l a rs h a p e a n de l i m i n a t et h es i n g u l a r i t yi n t h ei n i t i a lc o n d i t i o n m o r e o v e r ，t h es e p a r a t i o no f s i n g u l a r i t yd e c r e a s e st h et r u n c a t i o ne r r o ro fn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n b se q u a t i o ni st h ep i l l a ro ft h eo p t i o np r i c i n g i nt h i sp a p e r , a s s u m i n gt h a tt h e p r i c eo ft h es t o c kf o l l o w st h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，w ed e d u c et h eb - s e q u a t i o ni nd e t a i l s b a s e do nt h i se q u a t i o n ，w es t u d y t h ep r i c i n gm o d e lf o ra m e r i c a n o p t i o nw h i c he s s e n t i a l l yi sa no b s t a c l ep r o b l e m t a k et h ea m e r i c a np u to p t i o na sa n e x a m p l e ，f o ra n yp a r t i c u l a rt i m eb e f o r ee x p i r a t i o n , t h e r ee x i s t sac o r r e s p o n d i n gp r i c e f o rw h i c ht h ev a l u eo ft h ea m e r i c a np u to p t i o ne q u a l st h ec o r r e s p o n d i n gp a y o f f f u n c t i o ni ft h er e a lp r i c ei sl e s st h a nt h ef i x e dp r i c eo t h e r w i s et h ev a l u eo ft h ep u t o p t i o ni sg r e a t e rt h a nt h ep a y o f ff u n c t i o n t h i sp a r t i c u l a rp r i c ed e p e n d so nt i m e ， w h i c hl e a d st oas oc a l l e df r e eb o u n d a r y d u et ot h eu n c e r t a i n t yo ft h i sb o u n d a r y ，i ti s h a r dt of i n dt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h ea m e r i c a no p t i o n t h e r e f o r e ，n u m e r i c a l m e t h o d sb e c o m et h em a i na p p r o a c h e st os t u d yt h ep r i c i n go fa m e r i c a no p t i o n t h e f u n d a m e n t a li d e ao fs i n g u l a r i t ys e p a r a t i o nm e t h o di sd i s c u s s e di nd e t a i l s b e c a u s et h e e u r o p eo p t i o np r i c ec o u l db eo b t a i n e dp r e c i s e l y ，w ec o n s i d e rt h ed i f f e r e n c eo ft h e p r i c eo fa m e r i c a na n dt h ec o r r e s p o n d i n ge u r o p eo p t i o ni n s t e a do ft h ep r i c eo ft h e n 武汉理工大学硕士学位论文 a m e r i c a l lo p t i o ni t s e l f , w h i c hc o u l dd e c r e a s et h er e l a t i v ee r r o r m o r e o v e r ，t h eb o u n d o ft h ee q u a t i o no ft h ea m e r i c a no p t i o np r i c i n gi sn o ts m o o t he n o u g h t h e r e f o r e ，w e i n t r o d u c es o m ea p p r o p r i a t ev a r i a b l et r a n s f o r m a t i o ni no r d e rt oc o n t r o lt h et r u n c a t i o n e r r o r t h eb i n o m i a lm e t h o da n dp r o j e c t e ds o rm e t h o da l et w on o r m a lm e t h o di n a m e r i c a no p t i o np r i c i n g ，w ec o m p a r et h es i n g u l a r i t ys e p a r a t i o nm e t h o dw i t ht h e t h e s et w o a n df i n dt h a ts i n g u l a r i t ys e p a r a t i o nm e t h o de f f i c i e n t l yi m p r o v e st h e a c c u r a c ya n dt h es p e e do fc o m p u t a t i o n k e yw o r d ：a m e r i c a no p t i o n ，b sf o r m u l a ；s i n g u l a r i t ys e p a r a t i n g ，f r e eb o u n d a r y i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意。 签名：日期：塑s 二5 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) ( 捌荐叶矗唧日炒仉 占 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章引言 1 1 期权定价理论的历史背景及意义 金融衍生品( d e r i v a t i v es e c u r i t y ) 是一种新型的金融工具，其价格和投资回 报取决于另一种资产，也称为标的资产。由于它具有风险转移，套期保值等功 能，在国际金融市场中发挥着越来越大的作用。远期合同，期货合同和期权合 同是三种最基本的衍生工具，其中期权又以其组合灵活，操作方便的特点深受 投资者喜爱。期权是一种建立在标的资产上的衍生资产，这些资产也可是货币、 股票等原生金融工具，也可以是其他实物资产，甚至可以是金融衍生工具本身。 期权的价值依赖于标的资产价格的变化，它的价格是对风险的衡量，影响期权 价格的因素很多，包括标的资产的执行价格、期权的期限、当前价格、标的资 产价格的波动率和无风险利率等等。 早在元前1 8 0 0 年的汉穆拉比法典中就出现了期权的思想萌芽，公元前 1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基的贸易中也出现了期权交易的雏形，但在当时的历 史条件下没有正式的描述和记录。公认的期权定价理论的始祖是法国数学家路 易斯巴舍利耶( l o u i sb a e h e l i e r ) ，1 9 0 0 年他在他的博士论文的 t h d o r i ed el a s p d c u l a t i o n ( 投机理论) 【l 】中对股票的价格的编号进行了精确的数学描述，并 给出了最早的期权定价模型。该模型假设股票价格变化服从一个没有漂移和单 位时间具有方差c r 2 的标准布朗运动，并得到看涨期权在执行日的预期价格为： c ( 跏舯( 茄m ( 蔫厕( 杀) 其中k 为约定的的执行价格，c ( s ，f ) 表期权的价值，丁为到期时间是一 个标准正态分布函数，甲是标准正态密度分布函数。这篇论文奠定了期权定价 的理论基石。但该模型也存在一些缺陷，比如股票价格过程被认为是完全的布 朗运动，并允许股票的价格为负值，而且，该模型假设所有投资者有相同的风 险偏好，而且允许出现负的资金的时间价值。 在之后长达半个多世纪的时间里，期权定价理论研究都集中于一些计量经 济模型，直到2 0 世纪6 0 年代才有了一些新的发展，其中有代表性的主要有： 武汉理工大学硕士学位论文 斯普里克尔( c m s p r e n l d e ) 在( ( w a r r a n tp r i c e sa si n d i c a t o r so f e x p e c t a t i o n sa n d p r e f e r e n c e s ) ) t 2 1 ( 1 9 6 1 ) 中，针对巴舍利耶公式的两个缺陷做出了一些改进，他假 定股票价格服从对数正态分布，虽然这样排除了证券价格是负数的可能，但漂 移仍然是一个随机量，因此会出现正的利率和风险厌恶。而且这个模型同样也 忽略了货币的时间价值。博内斯( b o n e s s ) 在( ( e l e m e m so f at h e o r yo f s t o c ko p t i o n u e 3 ( 1 9 6 4 ) q b ，也假定股票收益呈固定对数分布。不同的是，他考虑了货币 的时间价值，避免了斯普里克尔的错误。萨缪尔森伊( p a s a n m e l s o n ) 在( ( t h e o r y o f r a t i o n a lo p t i o np r i c i n g ) ) 【4 1 ( 1 9 6 5 ) 中提出一个欧式期权的定价模型，他假定股 价服从带有正的成长率的几何布朗运动，所以也有出现正利率和风险收益的可 能性。 这些模型的出现大大的推动了期权定价理论的发展，对后来b l a c k s c h o l e s 公式的提出起到了关键的作用。e b l a c k 和m s c h o l e s 在mp r i c i n go fo p t i o n s a n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) ) 【5 1 ( 1 9 7 3 ) 中在有效市场和股票价格遵循集几何布朗运动 等一系列的假设下运用连续交易保值策略推导出了完整的期权定价模型，即 b l a c k s c h o l e s 公式。其核心是在于设计了一个套期组合策略，使得期权市场投 资的风险为零，而且股票预期收益率和期权预期收益率是一样的，这个思想也 体现了现在流行的风险中性或偏好自由理论。 随着国际金融的快速发展，期权以其独有的特性和功能吸引了更多投资者 的目光。很多大的机构投资者和学术界的学者也开始对期权进行更深一步的研 究。1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖授给了期权定价公式( b s 公式) 的发明人，这也 说明国际经济学界对于期权研究的重视。无论是在金融市场中的实际操作，还 是围绕着对b s 方程的理论研究和分析，期权定价理论都具有非常重要的意义。 特别是对于美式期权，由于其中包含着的自由边界问题，近些年来成为数理金 融研究的热点。 1 2 期权定价理论和数值计算方法的现状 期权定价问题是金融数学中的一个热点问题。自b s 公式发表以来，就 引起了极大的关注，也吸引了很多学者的研究。在b s 公式推出的同一年， m e r t o n 将原本基于不支付红利的b s 公式推广到对基于支付连续红利的股票欧 式期权的定价公式6 1 。虽然股票本身并不连续支付红利，但某些期权的标的物可 以被看作与支付连续红利收益率的股票相似，基于此特点，f i s c h e rb l a c k ，r o b e r t 2 武汉理工大学硕士学位论文 cm e r t o n ，j o h ncc o x ，m a r kr u b i n s t e i n 等人研究了指数、外币和期货的欧式期 权定价问题 7 - 9 。s t e p h e nr o s s 和j o h n c c o x ( 1 9 7 6 ) 将风险中性定价法引入期权定 价分析，此后又创立了二叉树期权定价模型，开始研究对具有多个不确定因素 和多个决策期的复杂期权定价问题i l o j 。 美式期权由于提前执行的可能性，其研究归结为对一个带自由边界的b s 方 程求解问题。正是由于自由边界的存在，至今没有找到对美式期权定价问题的 解析解。很多讨论是围绕着寻找近似解析解【1 1 16 1 。对美式期权最早的研究是 m c k e a n ( 1 9 6 5 ) b 7 】，他提出最优执行边界即自由边界的概念。在 1 1 】中，作者引 进了所谓的“惩罚函数方法，但该方法对b s 方程有着很严格的边界条件和连 续性要求，而且只适用于美式看跌期权，随后，k a r a t z a s v s 将这二方法进一步完 善。w ua n dg e s k e 和j o h n s o n 1 6 j ( 1 9 8 4 ) 用一个无穷的多元累计正态方程来表示 价格。b r o a d i e 和d e t e m p l ef l l 】( 1 9 9 6 ) 提供了一种基于上界和下界的新定价方法。 k w o k 1 9 1 ( 1 9 9 7 ) ，n i e l s e ne ta l 2 0 1 ( 2 0 0 2 ) 都对边界固定方法( f r o n t - f i x i n g ) 进行了讨 论，这种方法是通过一个变化“固定弦自由边界然后求得得到的非线性问题。 还有一类方法是将美式期权的价格表示成为欧式期权价格和提前执行价格溢价 的和，k i m ( 1 9 9 0 ) ，j a c k a ( 1 9 9 1 ) 【z ，c a r t ，j a r r o w 和m y n e n i ( 1 9 9 2 ) 都通过 积分方程对其进行了研究。 由于不存在精确理论界，更多的研究转向了寻找美式期权的数值解，特别 是寻找美式期权的最优执行时间，也就是自由边界，见 2 2 3 0 】。c o x ，r o s s 和 r u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) 利用二分法( b i n o m i a l ) 模拟股票价格变化；之后，b r e e n ( 1 9 9 1 ) 使用理查德外推法加速了标准的二分法；利用类似的思想，p a r k i n s o n ( 1 9 9 1 ) 等人 提出了三分法( t h et r i n o m i a lm e t h o d ) ；b r o a d i e 和d e t e m p l e ( 1 9 9 6 ) 根据b s 方程临 近到期日前的性质提出b b s 方法( b i n o m i a lb l a c ks c h o l e sm e t h o d ) ；j o h n s o n ( 1 9 8 3 ) 提出了回归公式( r e g r e s s i o nf o r m u l a ) ，通过对自由边界上下解的回归分析来研 究美式期权解的性质；m c m i l l a n ( 1 9 8 6 ) 提出了二次法( q u a d r a t i cf o r m u l a ) ，在计 算过程中他忽略了关于自由边界差分方程的一个二次项；o m b e r g ( 1 9 8 7 ) 和 c h e s n e y ( 1 9 8 9 ) 提出了“指数公式 ( t h ee x p o n e n t i a lf o r m u l a ) ，他们假设最优执行 边界满足指数函数形式；g e s k e 和j o h n s o n ( 1 9 8 4 ) 提出“两点g j 公式 ，他们将美 式期权看作一种复合期权，就是标的物为期权的期权，并且只能在确定的时间 内的某些时间点提前执行，然后利用理查德外推和指数外推技术进行研究； s u b r a h m a n y a m 和y u ( 19 9 3 ) 将自由边界用一个数值积分表达式表示，并采用理 3 武汉理工大学硕士学位论文 查德外推方法求得数值解。近些年来，随着计算机性能的不断改善和计算速度 的不断提高，需要多次模拟计算的m o n t ec a r l o 方法称为了数值计算的主流方法 之一，很多的研究 6 , 3 1 - 3 2 】都利用该方法对美式期权定价进行了尝试，并取得的不 错的结果。z h o u ( 1 9 8 2 ) 和c h e n ( 2 0 0 3 ) 等人1 3 孓3 5 j 介绍了奇点分离法，其基本思想是 对b s 方程进行适当的变量代换，简化方程，减少在数值计算中在边界条件的奇 性，进而提高计算精度。n i e l s e n 2 0 】( 2 0 0 2 ) 还通过在偏微分方程中增加一个罚 函数项来达到消除自由边界的目的，但这个方法最后归结到解决一系列非线性方 程，计算的效率和精度很大程度上依赖于初始估计和解非线性方程方法。 1 3 本文研究的主要内容及框架 由于美式期权可提前执行，美式期权定价模型一般难以找到解析解而通常 采用数值方法求解。本文通过适当的变量代换，简化含自由边界的抛物线偏微 分方程的定价模型，使得在数值计算中的差分区域变为规则形状，消除在有限 差分计算中初始值的奇点，进而减少数值计算的截断误差，提高计算效率。实 例计算和与二分法和投影s o r 法的比较验证了这些结论。 本文的结构安排如下： 第1 章首先介绍期权定价理论研究的历史背景及意义，回顾了期权定价理 论，特别是利用数值方法定价的国内外研究现状，并提出了本文的研究思路和 文章的结构安排。 第2 章分别介绍了期权的基本概念及其定价的基本原理，推导了经典的 b l a c k s c h o l e s 公式及欧式期权定价公式。 第3 章介绍与美式期权定价相关的障碍问题，详细推导了美式期权的定价 理论，并介绍了两种常用的数值方法。 第4 章中详细介绍了奇点分离法的思想，分析了它在数值计算方法的应用， 并用具体的数值算例与前面的两种数值方法进行比较。 第5 章是本文的最后一章，对论文工作进行了总结并指出了仍需解决的问 题和今后的研究方向。 4 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型 2 1 期权的概念及基本假设 2 1 1 期权的概念1 3 6 1 期权( o p t i o n ) 又称为选择权，是在期货的基础上产生的种衍生性金融工 具。期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价，使得权利的受让 人在规定时间内对于是否进行交易行使其权利，而义务方则必须履行。在期权 的交易时，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；买方即 是权利的受让人，而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人。 一份完整的期权合约一般包括四部分内容：期权合约规定的标的资产价格 ( 简称执行价格) ；期权规定的资产交易数量；期权的到期日；期权持有者的权利 ( 期权持有者购买或出售资产的权利) 。期权的买入者称为期权的多头，期权的卖 出者称为期权的空头。 作为期权的买方只有权利而无义务。他的风险是有限的( 亏损最大值为权 利金) ，但在理论上收益却是无限的。作为期权的卖方只有义务而无权利，在理 论上他的风险是无限的，但收益显是有限的( 收益最大值为权利金) 。期权的买 方无需付出保证金，卖方则必须支付保证金以作为必须履行义务的财务担保。 期权按期权持有人权利来划分可以分为美式和欧式两种。其中，欧式期权 只能在合约规定的到期日执行；美式期权可以在合约规定的到期日以前( 包括到 期日) 任何一个工作日执行。假设e 为执行价格，丁为到期日，则在到期日期权 的收益( 即期权的价值) 巧： ，i ( 品一e ) + ( 看涨期权) 。 l ( e 一研) + ( 看跌期权) 这里，& 表示标的资产在到期日t = t 的价格。 期权按合约中购买或销售标的资产来划分可以分为看涨和看跌两种。看涨 期权可以理解为是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的标 5 武汉理工大学硕士学位论文 的资产的合约；看跌期权则是一张在确定时间，按确定价格有权出售一定数量 和质量的标的资产的合约。 2 1 2 符号假设 本文中使用如下符号定义： s标的物( 本文以股票为例) 价格 x期权到期执行价格 t 期权到期时间 r无风险利率 仃股票波动率 风红利率 c购买一份欧式看涨期权的价格 c购买一份美式看涨期权的价格 p出售一份欧式看涨期权的价格 p出售一份美式看涨期权的价格 本文中作如下基本假设： ( 1 ) 不存在无风险套利机会； ( 2 ) 标的资产的价格服从对数正态分布； ( 3 ) 无风险利率，是常数且对所有到期日都相同： ( 4 ) 市场是完全市场，如允许卖空操作，没有交易费用或是税收， 率仃稳定，股票数量可以任意分割。 ( 5 ) 股票价格服从对数正态分布，即s 满足如下随机微分方程： d s = s 硼+ s 瓯 股票波动 ( 2 1 ) 其中，研= 矽届，矽服从标准正态分布，是股票期望收益率。此时也称股票 价格s 服从几何布朗运动。( 1 ) 是期权定价中最基本和最重要的假设。这将要求 在定价公式中不含有任何受投资者风险偏好影响的变量。也就是说，票股当前 6 武汉理工大学硕士学位论文 价格、时间、股票价格方差和无风险利率，这些变量都独立于风险偏好。 2 2b l a c k s c h o l e s 定价模型 2 2 1b l a c k - s c h o l e s 方程 b s 方程的基本原理是建立在市场不存在无风险套利机会的假设上。我们可 以建立一个无风险证券组合，包含一些衍生证券头寸和一个股票头寸，这个组 合的收益率必定等于无风险利率。在b s 方程的分析中，建立的证券组合仅在 很短时间内保持无风险状态，可以证明：如果无套利机会，这一段时期内的收 益必定为无风险利率。这种无风险利率证券组合的存在性是由于股票价格和衍 生证券价格都受到同一种基本的不确定性的影响。这意味着在任意短时期内， 两者是高度相关的。如果建立恰当的组合，股票头寸的盈利或损失总是可以被 衍生证券的损失或盈利抵消，因而在短时期末证券组合的总价值也就确定了。 在介绍b s 方程之前，首先引入i t 0 过程。伊藤过程( i t op r o c e s s ) ：普通布朗 运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率当作变量x 和时 间f 的函数，则有： d s = a ( s ，o a t + b ( s ，t ) d x ( 2 - 2 ) 其中，x 遵循一个标准布朗运动，a 、b 是变量s 和t 的函数，变量s 的漂移率 为口，方差率为6 2 都随时间变化，这就是伊藤过程。 i t o 定理：假设变量s 的值遵循i t o 过程： d s = a ( s ，t ) d t + b ( s ，t ) d x 其中，d x 是一个维纳过程，a 与b 是s 和f 的函数，则关于s 和r 的函数v 遵循 如下过程： 秒= ( 豢口+ 罾+ 一1 警b 2 ) a t + 豢6 讶( 2 - 3 ) 2、锄国苏2苏 期权作为一种衍生证券，它的定价决定于标的资产价格和时间。这就是说， 若在t 时刻标的资产价格为s ，期权价格为l ，则存在函数v ( s ，) ，使得 k = v ( s ，r ) 7 武汉理工大学硕士学位论文 这里v ( s ，t ) 是一个关于s 和f 的二元函数，并且s 满足( 2 1 ) 。由i t 0 定理可得： 杪= 西o v 心+ 竺+ 1 祟仃2 s 2 ) d t + 豢蒯( 2 - 4 ) c 3 t2o s、瓠。 2 缸 这里假设y 对s 二阶连续，对f _ 一阶连续。 为推导b s 方程，令期权价值为v ，构造如下证券投资组合： l ：衍生证券 一a ：标的资产 令该组合的价值为窍，则有 刀= v 一心 ( 2 - 5 ) 经过出时刻该组合的价值变化为： d 力= d v a d s ( 2 - 6 ) 把( 2 1 ) 和( 2 - 4 ) 代入( 2 - 6 ) 可得： 砌= 甜( 西o v - a ) d x + ( 声( 詈- a ) + 百o v + 1 2 豢仃2 s 2 ) a t ( 2 - 7 ) 为了消除随机项积，取 = 西o v ( 2 - 8 )a 6 这样这个投资组合在短时间内的价值变化就被确定 d n = ( 竺+ ! 祟水2 ) d t ( 2 - 9 ) o t2o s 、 2 因为这个方程不含有捌，经过衍后组合的价值万必定是无风险的，由于不存在 套利的机会，即该证券组合的收益率就是无风险收益率。如果该证券组合的收 益率大些，套利者可以通过卖出无风险证券然后用其收入购买该证券组合获取 无风险利益；但是如果该证券组合的收益率小些，套利者则可以通过卖出该证 券组合购买无风险证券获取无风险利益。所以有： d x = r x c l t ( 2 - 1 0 ) 其中，为无风险利率，由式子( 2 - 9 ) ，( 2 1 0 ) 和( 2 5 ) 可知： 8 武汉理工大学硕士学位论文 (竺+三祟拥2)at叫矿一等s)dtot2a s 、 2 、 瓠 或为等价形式： 警+ a r rs+一1祟cr2v2-rv：0(2-11)rb vvu+ 一 2 钟o s2a s 2 这里，我们特别强调，线性微分算子k ， k = 昙畦导o 2 v 2 - i - 昙心一， 2 ， 可以理解为投资组合的收益( 前两项) 与初始等价的银行存款的收益( 后两项) 之间的差异。对于欧式期权，由于无套利机会的假设，这个算子为零，但是对 于美式期权，在之后的讨论中可以看到，却不总是为零。 对于标的物支付连续红利的期权，我们可以得到类似的b s 方程。假设在 时间刃标的资产支付红利为d o s d t ，其中o o 为常数。考虑和( 2 5 ) n 样的投资组 合： 如= d v a d s a s d o d t( 2 - 1 3 ) 由无套利原则，我们得到 ，( v - 西a v $ = 百0 v + 三1 豢o 2 s 2 _ 鼍域s 或 詈+_1祟o-2s2+(卜do)s西av州=o(2-14)2a s反 z 、 a s ( 2 1 4 ) 也被称为修正b - s 方程，有时也直接称为b - s 方程，它适用于带支付连续 红利的标的资产的期权，比如外汇期权。 2 2 2 欧式期权定价 b s 方程( 2 一1 4 ) 可用于对欧式期权的定价。我们首先引入如下变量代换： s ：x ，：丁一三；，v = 西( x ，f ) ，( 2 1 5 ) 9 武汉理工大学硕士学位论文 ( 2 - 1 4 ) 则化简为 其中 进一步令 其中 可以验证甜满足 鲁= 窘柏_ 1 ) 塞却 ( 2 - 1 6 ) 毛= 等，乞= 丁2 ( r - d o ) ( 2 1 7 ) y = p 饿+ 7 甜( x ，f ) ( 2 - 1 8 ) 一三( 邶= 学一白( 2 - 1 9 ) 百o u ：鲁, - - 0 0 x0(2-20)x o o 一= 1 西缸2 这是一个抛物线方程，我们需要确定方程的初始条件求解或是原方程( 2 1 4 ) 的终 值条件。对于执行价为x 的欧式看涨期权的情况，其终值条件为： 叫 麓；：鬈嬲 p 2 ， 1 i ( x s ) + ，( 看跌期权) r 一7 由( 2 - 1 5 ) ，( 2 - 1 8 ) 和抛物方程的基本解可以得到 其中 由( 2 1 5 ) y = 矿1 旷、r ( k 2 - 1 ) 2 枷吣) 焘p 粤彬 纵伊击p 如- i ) 。巧( 明 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 其中 矿( s ，f ) = e - r ( t - t ) f ( s 。) g ( s ，t ；s ，t ) d s ( 2 - 2 2 ) 1109s-(109s+(r-do-tr22xt-t)2 g ( s ，r ；s ，f ) = 7 = = 兰彳g2 c r 2 7 一( 2 2 3 ) 仃4 2 - ( t - t ) s 、 g 是对数正态分布随机变量s 的概率密度函数。 l n s - c b 阻州 灯卅，盯厉】 由终值条件( 2 2 1 ) ，对于欧式看涨期权 其中 令 c ( s ，) = e - r ( t - _ f ) p d + g ( s ，t ；s ，t ) d s = 茄南肛科p 端产譬 = i t 1 2 厶= 采南f p 端掣硒 凹， 厶= 采南r e 端掣等 y = 型坚害2 杀t 兰t 型，仃一 盔。2 一l o g e - ( l 0 9 1 s + ( 习r - d 两o - 盯2 1 2 x t - t ) ) + 仃r 4 再- t 九= 碣。一盯再 p d ，了 广l 上压 n = 0 武汉理工大学硕士学位论文 经过一系列化简， 厶= s e 一岛r 训n ( 4 0 ) 厶= s e e r 叫( 4 0 ) 得到了对欧式看涨期权的定价公式： c ( s ，力= s e 一岛r q n ( 讧o ) 一e e 一7 r 叫l n ( d 2 0 ) ( 2 - 2 7 ) 对于欧式看跌期权，由终值条件( 2 2 1 ) 进行同样的推理可以得到 p ( s ，r ) = e e 一7 r 一( 一4 0 ) 一跆一岛r 叫n ( - d _ l o ) ( 2 2 8 ) 由( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) ，根据无套利原理推导出来的欧式期权看涨期权和看跌期权之 间的平价公式， c + e e 一7 ( 川= p + 一岛( r 叫)( 2 2 9 ) 图2 1 和图2 2 为欧式看涨期权和看跌期权在不同到期时可的收益，可以观 察到，随着到期日的临近，期权价值曲线逐渐趋近于支付函数( p a y o f r 删o n ) 巧， 这里 巧= 篡嚣瓣；。 图2 - i 欧式看涨期权，= 0 1 ，d o = 0 0 5 ，仃= 0 2 ，e = 1 , t = o ，0 5 或1 0 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 图2 - 2 欧式看涨期权，= o 1 ，d o = 0 0 5 ，仃= 0 2 ，e = l ，t = o ，0 5 或1 0 1 3 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章美式期权定价自由边界问题及数值方法 3 1 美式期权和自由边界问题 3 3 1 障碍( o b s t a c l e ) 问题 美式期权问题类似于“障碍问题 3 7 , 3 8 】。举一个简单的例子，将一个橡皮 筋两端固定在桌面上，然后在橡皮筋下面放入一个光滑的物体如一个玻璃瓶。 在没有障碍物( 玻璃瓶) 的时候，橡皮筋将会呈现直线状态，但在放入障碍后， 橡皮筋将会被分为两部分，一部分与障碍物接触，一部分仍呈直线状态，如下 图： 图3 1 障碍问题 现令橡皮筋两端水平位移分别为x = 1 和x = 一1 ，令甜( x ) 为橡皮筋的垂直位 移对水平位置的函数，则有“( 1 ) = 0 令( z ) 表示障碍物高度对x 的函数，并 假设厂( + 1 ) = 0 ，在 一1 ，1 】中某些点满足法f ( x ) 0 ，显然( x ) 和甜( x ) 在这些点 重合。进一步假设厂n ( x ) ( x ) ) ( 2 ) 橡皮筋一定是凸的或是直线甜”( x ) 0 ( 3 ) 橡皮筋是光滑的( 甜( 戈) 连续) 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 在这些条件下，障碍问题的解是唯一的。现在我们考虑美式期权问题，它 也有类似的性质： ( 1 ) 期权价格一定大于等于支付函数 ( 2 ) b s 方程可以表示成不等式 ( 3 ) 期权价格函数是光滑的 第一二点性质表明不会存在由于提前执行带来的套利机会，但提前执行仍 有可能发生。如果提前执行，期权价格函数将由这个提前执行价格分为两个部 分，要么期权价格等于支付函数，这时b s 算子将小于0 ，要么期权价格大于支 付函数并满足b s 方程。第三点则为寻找自由边界提供了条件。 对上面的自由边界问题，可用如下的数学方程描述： 甜”= 0 ，一1 x c ，d x 1 u ( c ) = f 【c ) ，u ( d ) = 坟d ) u ( c ) = f 【c ) ，u f o ) = f 【d )( 3 - 1 ) u ( o = u ( - 1 ) = 0 u ( x ) = f 【x ) ，c o 所以得到另一种等价的线性互补形式： _ 蔓( “_ 支= o ，一：- ：妻曼甜一厂o ( 3 - 2 ) iu ( 1 ) = u ( - 1 ) = 0 ，u ，u 连续 3 3 2 美式期权定价理论 在本节中，我们推导美式看跌期权价格所满足的方程，美式看涨期权的情 况可由类似方法推导。首先考虑欧式看跌期权，如图2 ，在靠近s = 0 的区域， p ( s ，f ) 0 。一旦发生这种情况，市场机制会迅速调 节，期权价格马上会被推高到e s ，直至没有套利机会( 对应障碍问题性质1 ) 。 这就说明在靠近s = 0 的某一区域内，b s 方程不成立，期权价格等于其内在价 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 值e - s 。这个区域的右端点被称做为自由边界，用s ，( f ) 。注意到这个自e h 边 界是依赖于时间的，首先考虑在f = t 时刻的自由边界。由美式看跌期权的性质 p ( s ，t ) = ( e s ) + 。对于s m i n ( e ，r e d o ) ，p ( s ，t ) = e s 而且满足 吾萨瓠p 。o - 2 s 2 + ( 卜d o ) s 筹一护 ：丢掣神z + ( ，一d 0 ) s 笔竽_ ，( e 咽( 3 - 3 ) 2a s z 、m a s 、。 = d o s r e 0 ，p ( s ，t a t ) e s ，这样就出现了了套利机会，进 而说明在s m