（电路与系统专业论文）电阻抗断层成像技术——基于ansys的电阻抗断层成像正问题研究.pdf

硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 摘要 应用a n s y s 软件进行电阻抗断层成像技术分析是一种新兴的方法，国外学者对该 方法进行了一些研究，但从公开资料中无法获知其具体应用方法，而国内仅有一篇文章 进行过初步的讨论。本论文主要研究应用a n s y s 有限元分析软件对于复杂的e i t 正问 题进行计算分析，研究范围涉及二维e i t 正问题和三维e i t 正问题，以及对结果进行图 像仿真分析，评估利用a n s y s 进行e i t 正问题计算的可行性，以及影响计算结果的因 素。简化繁琐的正问题计算步骤，为e i t 技术的发展做出贡献。 首先对于二维e i t 正问题，我们利用有限元分析软件a n s y s 对二维问题进行建模、 分析、计算。并对结果进行电场仿真，分析误差和可能影响计算结果的因素。其次，对 于三维e i t 正问题，我们建立了模拟人体头部的四层结构头模型，并在此基础上进行三 维正问题的计算与结果仿真。同时，建立三维圆柱体模型与头模型进行对比计算，综合 分析计算结果。 我们在研究过程中发现，应用a n s y s 可以快速、准确的完成二维以及三维e i t 问 题的建模与计算分析，并且在建模难度、准确性以及正问题计算分析的复杂程度上要明 显优于以往的程序建模方法。在二维e i t 正问题的仿真分析中，我们验证了建模的准确 性，得到了计算结果，以及影响二维e i t 正问题计算结果的相关因素。而在三维问题的 人体头部模型与三维圆柱体模型的对比计算中发现，单纯从二维的角度对e i t 问题进行 研究的实际意义是非常有限的，e i t 问题应属于三维问题范畴。这与近期发表的论文观 点相一致。 影响e i t 正问题计算结果的因素多种多样，复杂多变。使用a n s y s 软件进行e i t 问题分析是一种高效，可行的手段，为复杂的正问题计算编程提供了一种新的解决方式， 有利于研究人员发现正问题计算中存在的问题，以及分析影响计算结果的因素。在精度 以及计算速度方面均有良好的表现。未来通过与编程软件接口的融合，a n s y s 软件将 在e i t 问题研究中发挥更加重要的作用。 关键词：电阻抗断层成像，a n s y s ，正问题，有限元方法，仿真 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t t oa n a l y z ee l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ( e i t ) t e c h n o l o g yb a s e do na n s y ss o f t w a r e i san e wm e t h o d s c h o l a r so fa b r o a dh a v ea l r e a d ym a d es o m ei m p r o v e m e n ti nt h i s f i e l d ，h o w e v e rw ec a n tg e tt h em e t h o df r o mp u b l i ca r t i c l e s m e a n w h i l et h e r e so n l yo n e t h e s i sw h i c hh a sm a d et h ep r e l i m i n a r yw o r k sa b o u ti tp u b l i s h e di no u rc o u n t r y t h i s d i s s e r t a t i o ni sm a i n l ya b o u tt h ea n a l y s i sa n dc a l c u l a t i o no ft h ec o m p l e xf o r w a r dp r o b l e mo f e i tt e c h n o l o g yb a s e do na n s y ss o f t w a r ea n dc o m p l e t et h es i m u l a t i o nw o r k so nt h er e s u l t s t of e n do u tf a c t o r sw h i c hm a yi n f l u e n tt h ec a l c u l a t i o n b e s i d e s ，w ea n a l y z et h ef e a s i b i l i t yo f t h i sm e t h o da n dt r yt or e d u c et h ec o m p l e xc a l c u l a t i o nw o r k so ne i tf o r w a r dp r o b l e mt om a k e c o n t r i b u t i o nt ot h ed e v e l o p m e n to fe i tt e c h n o l o g y f i r s t , t h et w o d i m e n s i o n a lf o r w a r dp r o b l e ma n de l e c t r i cf i e l dr e s u l ta r es o l v e da n d s i m u l a t e dt of i n do u tf a c t o r sw h i c hm a ya f f e c tt h e m 、斩t 1 1t h ee r r o ra n a l y s i sb yu s i n ga n s y s s o f t w a r e s e c o n d ，f o rt h et h r e e - d i m e n s i o n a lf o r w a r dp r o b l e m , t h e4 - l a y e r ss i m u l a t i o nm o d e l o fh u m a nh e a di se s t a b l i s h e da n dc a l c u l a t e d ，a n dt h ec y l i n d e rm o d e li sb u i l tf o rc o m p a r i s o n c a l c u l a t i o n a f t e rt h es y n t h e t i ca n a l y s i st h er e s u l t sa l eo b t a i n e d d u r i n gt h er e s e a r c h , w ef i n di t sa na c c u r a t ea n df a s tm e t h o di nb o t he s t a b l i s h m e n ta n d c a l c u l a t i o no ft h em o d e l i n gi n2 da n d3 de i tp r o b l e m s i ta l s oh a sab e t t e rp e r f o r m a n c e t h a np r o g r a m m i n gm e t h o di nt h ed i f f i c u l t i e sa n dp r e c i s i o no fm o d e l i n g ，t h ea n a l y s i sa n d c a l c u l a t i o ni ne i tf o r w a r dp r o b l e m t h r o u g ht h ea n a l y s i sw o r k si n2 一de i tp r o b l e m ，t h e a c c u r a c yo ft h em o d e l i n gi sp r o v e d ，t h er e s u l t sa n d t h ef a c t o r si n f l u e n ti ta r eo b t a i n e d d u r i n g t h ec o m p a r i s o nc a l c u l a t i o nb e t w e e nt h e3 - dc y l i n d e ra n dt h e4 - l a y e r ss i m u l a t i o nm o d e lo ft h e h u m a nh e a dw ef i n di tm a k el i t t l es e n s ei nt h ew o r k sw h i c hi so n l ya b o u tt h e2 - de i t p r o b l e mr e s e a r c h t h ee i tp r o b l e mb e l o n g st o t h e3 - dc a t e g o r y t h i si sa c c o r d e dw i n lt h e r e s u l t si nt h er e c e n ta r t i c l e 硼1 ef a c t o r si n f l u e n tc a l c u l a t i o nr e s u l t sa r ev a r i a b l ea n dc o m p l e x i t sp r o v e dt ob ea f e a s i b l e ，s i m p l ea n de f f e c t i v em e t h o dt o s o l v ee i tf o r w a r dp r o b l e mb yu s i n ga n s y s s o f t w a r ea n da l s op r o v i d e san e ww a yi ns o l v i n ge i tf o r w a r dp r o b l e m t l l i sm e t h o dh a sa g o o dp e r f o r m a n c ei nb o t ha c c u r a c ya n dc a l c u l a t i o ns p e e d b yu s i n gt h ei n t e r f a c e 、 殖mo t h e r s o f t w a r e ，a n s y sw i l lp l a yam o r ei m p o r t a n tr o l ei nt h ef u t u r ee i ts t u d yw o r k s k e yw o r d s ：e l t ，a n s y s ，f o r w a r dp r o b l e m ，f e m ，s i m u l a t i o n u 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：麈兰竺兰：勿夕年f 月2 0e l 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：唐必受弦伽年f 月2 d 日 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 1 引言 电阻抗断层成像技术( e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ，简称e i t ) 是一项新兴的断层 成像技术。在勘探、医疗、工业等领域都有着广阔的应用前景与发展空间。本结主要介 绍有关e i t 技术的基本概念以及其相较于传统医疗成像方面的优势。 1 1 课题背景及研究意义 1 1 1 医学成像断层技术概述： 随着现代医学的进步，人们逐渐意识到探测病变部位以及早期发现疾病的重要意 义，目前临床现有的断层成像技术有 1 1 电子计算机断层扫描技术( c o m p u t e r e d t o m o g r a p h y ，c t ) ，正电子发射断层显像技术( p o s i t r o n e m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y ， p e t ) ，核磁共振显像技术( m a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ，m r i ) 。 各种医学c t 技术的出现给医疗诊断带来了变革，使得人们在不用直接侵入人体内 部的情况下，就可以探查人体内部的组织结构。而经过该方面专业训练的医生也可以从 图像的表现判断出患者内部的组织病变程度、位置，极大的减轻了患者的痛苦。尽管目 前已有很多种医学断层成像扫描技术，但仍然存在诸如费用以及可操作性等许多问题。 具体有以下几个方面【lj ： 1 ) 费用：在实际应用中，费用是个至关重要的因素，这将决定患者是否能够 承受此种检查带来的经济负担 2 ) 成像速度：成像速度决定了该技术是否有实时性监测的可能 3 ) 便携性：在某些急救场合，携带大型仪器设备到达现场是不可能的，这就 对医疗设备的便携性提出了较高要求 4 ) 分辨率：成像技术的分辨率对于早期判断疾病的有无，以及疾病所处的位置都是 至关重要的 5 ) 侵入性：医学检查设备应使对患者造成的创伤降至最低 6 1 操作技能：简单的操作技能更加容易使人接受 表1 1 是对现有的断层成像技术的比较( 见下页) 【2 】： l 引言硕士论文 表1 1 现有断层成像技术比较 技术名称成像特点空间分辨率成像速度创伤性 仪器造价 检查费用简便性 x - c t 结构成像 较好2 r n s 侵入性高较高复杂 核磁共振结构、功能较好 2 0 m s 不明显高较高复杂 超声波结构、功能较好 i s不明显高高复杂 e i t 结构、功能差40ms不明显低低 简便 1 1 2e i t 技术基本原理以及基本特点 人体内不同组织具有不同的电阻抗分布，并且已有实验证明，人体各组织电阻抗分 布，随着该部位健康状况不同而不同，相同组织的阻抗在病变部位以及正常部位存在显 著的差异。尤其是在病变的初期，可能在结构上和正常组织完全相同，但是病变部位的 阻抗早已发生变化【3 】。如果能够检测到身体组织的阻抗分布情况将有助于提早发现病变 部位。 e i t 技术正是基于这个思路而产生的，通过给人体注入安全电流，测量相应体表的 电位信息，通过相关算法从而重构人体内部的电阻率分布或是其变化的图像。这是一种 能够反映人体组织功能变化的成像技术。相对于目前现有的成像技术e i t 具有以下特点 【4 】 ( 1 ) e i t 是一种非侵入性的测量技术：由于e i t 技术利用低频，小电流形成的电流场 来提取人体内部信息，在人体能够承受的安全电流范围内是无害的，从而可以对患者进 行动态长期监测。 ( 2 ) e i t 属于功能性成像：由于生物体组织电特性与该组织的生理活动密切相关，从 而e i t 技术并不仅仅是反映组织的结构特性，更加能够从功能特性上对组织进行测量， 早期发现病变部位以及病变程度。 ( 3 ) e i t 设备造价低廉，结构简单：与现有成像手段相比较，e i t 系统具有体积小巧， 造价低廉的特点，这是该技术得以广泛应用的潜在优势，并且使得e i t 系统可以跟随医 务人员进行现场或病床前测量。 1 1 3e i t 技术的生物医学基础 研究证明，人体可以看做是一个在空间按照一定位置分布，具有不同电特性的多种 组织所构成的一个混合导体i s 。不同组织器官的电特性各不相同。组织的内部结构或者 功能改变都会影响到该组织的电阻率分布情况。例如，随着气体量的不同，人体肺部电 阻抗分布也随之不同 6 1 。向组织内注入安全电流范围内的电流并不会对组织产生任何不 利影响。由于是电相关的测量，必须注意注入电流的频率以及大小。在非常低的频率下 ( o 1 h z ) ，受到电流电解作用影响，产生的生物效应会在电极接触皮肤部位形成溃疡。 2 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 而如果电流强度过大则会产生热效应，会损坏组织结构及功能 7 1 。 表1 2 【8 1 列出了人体各部位阻抗值在2 0 1 0 0 k h z 电流情况下的阻抗变化情况 表1 2 人体组织阻抗变化 组织脑髓淋巴液血液肝脏心肌神经组织脂肪 阻抗( q c m ) 6 5 6 6 1 5 03 5 04 1 0 - 4 7 05 8 02 0 6 0 表1 3 【3 1 列出了在多种情况病变时的大脑阻抗变化情况 表1 3 不同病变时的大脑阻抗变化情况 病变情况数据参考阻抗变化 脑肌肉萎缩 扩展性 抑制癫痫 诱发反应 h o l d e r ( 19 9 2 ) h o l d e r ( 19 9 2 ) b o o n ee ta 1 ( 1 9 9 4 ) h o l d e re ta 1 ( 19 9 6 ) 增加7 0 0 0 , - - 2 0 0 增加5 0 p 2 5 增加或减少7 减少2 一5 生物体各组织电导率在不同组织，不同病变条件下分布各不相同，这些显著差异为 e i t 技术的实现提供了理论基础。 1 1 4e i t 技术研究意义 医学临床需要能用于实时监护的成像技术，疾病的实时监控在临床方面有着特别重 要的意义，而现有成像技术由于需要庞大设备以及昂贵的资金支持，并且操作复杂，不 能提供对患者的动态实时监控。致使在临床应用领域，图像监护仍是一项空白，使不少 患者错失最佳治疗时机驯。 e i t 技术在图像监护方面的优势表现在两个方面。首先e i t 技术是一项功能性成像 技术，它不仅能够显示组织内部的结构变化，并且能够早于结构变化反映出组织内部的 功能改变，这有助于在组织结构改变之前发现组织功能性变化。研究表明，当疾病发生 时，组织与器官的功能性变化往往要先于结构性病变和其他临床症状【9 】。如能在组织与 器官结构性变化出现之前，及时检测并且发现组织的功能性变化，这对治疗方案的确立 是非常有利的。 其次e i t 技术是一项非侵入性并且相对廉价的监测手段。考虑到患者自身体质以及 经济承受能力，这是非常有利的。 最后，除了在医学方面的应用外，e i t 技术还可以广泛应用于地质勘探，金属探伤 等工业活动。其便携快速的成像特点使得e i t 技术在这些领域中有着独特的优势。 1 1 5e i t 技术研究现状 l 引言硕士论文 自从1 9 7 6 年美国m a d i s o n 大学的s w a n s o n 教授率先提出了e i t 方法，经过了3 0 多 年的发展时间，电阻抗断层成像技术有了长足的进步，从最初的反投影动态算法，到后 来的n e w t o n 类静态算法，再到现在的改进n e w t o n 类静态算法，成像质量有了质的突 破。在硬件测量方面也有了改进，最初人们只是通过8 或1 6 电极系统注入高频电流测 量，现在有以色列学者提出对8 或1 6 电极系统进行改进，注入多频电流并通过傅里叶 变换以及滤波器滤波，从而得到单频电压响应。这样做的目的是为了降低噪声扰动，以 及在有限的空间和电极数目条件下获得更多的测量信息 3 , 5 3 0 1 。 目前世界各个研究小组研究方法主要有滤波反投影算法，谱展开法，扰动法，双限 定法，n e w t o n 迭代法，层析算法，灵敏度法等。动态算法开展的研究较早，代表算法 是b a r b e r 等提出的动态反投影算法，由于测量过程中的系统噪声可以通过动态差分得以 消除，所以这种方法对于数据采集系统要求不是太高，并且算法实现相对容易。目前已 有基于此算法研发出的较成熟的商用系统【1 1 1 。 静态算法以人体阻抗绝对值为成像目标，静态算法出现较晚，并且算法中微积分的 大量存在，以及没有噪声差分消除机制，导致由测量系统产生的噪声误差在多次积分过 程中不断被放大，而e i t 逆问题存在着严重的病态性，一点微小的误差都会导致重构图 像的巨大不同，从而导致成像失败。所以静态e i t 系统对于数据采集系统的精度以及误 差要求都较前者明显提甜1 2 j 。 目前有研究小组进行新型e i t 系统的研究，主要是感应式e i t 系统以及多频e i t 系 统的研究。基本原理是通过测量电极与人体内部电阻抗分布的电磁感应原理，不与皮肤直 接接触，便可获知人体区域组织电信息。这种方法的优点是测量电极可以避免皮肤接触阻 抗对成像效果的影响。但是目前该算法仍处于实验阶段，并且初步研究表明该方法在成 像方面并未显示出自身的优势，在中心物体成像的分辨率反而低于注入式e i t 系统，这 与感应式系统的图像重构算法有关f 1 0 1 。 国内e i t 技术的研究起步较晚，主要有重庆大学，第四军医大学成立了e i t 实验室， 并且制造了高精度的e i t 试验平台1 3 。目前越来越多的国内科研院校和学者投身到了e i t 研究当中，在e i t 电极系统，以及动态，静态重构算法方面都提出了自己的见解，为 e i t 技术的发展做出了各自的贡献。 1 1 6e i t 技术研究难点 e i t 技术自从2 0 世纪8 0 年代以来已经提出了很多重构算法，但从成像质量上来说， 还远远未能达到令人满意的程度，从算法角度而言这主要是由逆问题的固有特性，e i t 技术本身特点，以及求解算法误差而决定的。具体可以归纳为以下几个方面： ( 1 ) e i t 算法的逆问题是病态的【1 3 】，其表现之一就是边界电压数据的微小扰动就会造 4 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 成解的巨大变化。而且现有算法的通病是对于边界物体成像比较清晰，而中心物体成像 则比较模糊【l 训。 ( 2 ) e i t 技术的信息量小也是另一个困难，由电极获得的数据是有限的。虽然可以通 过用增加电极个数从而增加测量数据量，但是这种方法会使计算量成倍增长，并且受到 空间限制，电极数量增长也是有限的。 ( 3 ) e i t 算法中存在大量微积分运算，首先微积分运算就是不准确的，总是伴有误差 的，而h t 技术微小的误差就会导致结果的巨大差异。此外，微积分运算会放大硬件或 者是计算当中产生的微小误差，这样就使最终计算结果误差变的很大，甚至导致重构图 像失败。 ( 4 ) e i t 技术并不像c t 技术那样只与成像断层面有关，它与非成像断层面的阻抗分 布也有关联【l5 1 。以前大多研究都只是把e i t 技术当做二维成像技术来研究，现在人们逐 渐意识到e i t 问题因为与空间其他断层面信息有关联，该技术应该是基于三维层面的成 像技术。 如何实现系统的高精度、高分辨率、降低计算复杂程度是目前e i t 研究的主要难点。 大多数学者认为要想从根本上突破e i t 技术的瓶颈，只有通过改革算法以及提高硬件系 统采集精度来完成。基于以上因素，e i t 技术还没有得到大规模商业化使用【l 】。 通过应用a n s y s 有限元分析软件可以简化繁琐的e i t 正问题计算，并能在短时间 内( | 通信接口k = 刮主控制器 被测 对象 相敏解 调与数 据处理 模拟开 关阵列 信号处理 电路 图2 2 数据采集系统硬件框图 在e i t 硬件系统设计当中，由于正弦激励与恒流源产生是系统的基准，所以二者对 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 于整个系统有着非常重要的地位。由于e i t 算法的高度病态性，一点微小的扰动也会造 成结果很大的不同，所以它们直接决定着采集系统的精度，e i t 硬件采集系统的精度要 求是非常苛刻的。 在高精度硬件系统要求下，一个稳定的基准信号就显得至关重要。目前研究人员偏 向于使用数字电路来完成e i t 系统的硬件设计，与传统的模拟方式相比，数字信号具有 可控制、精度高等诸多优点。下面为两种使用数字电路方式设计的e i t 硬件模块实例： 2 3 1 数字化恒流源模块设计 恒流源模块的设计框副1 9 j 如图2 3 所示 图2 - 3 恒流源模块设计框图 由于e i t 数据采集系统输出激励频率较高，这样就会减小正弦波恒流源的输出阻 抗，导致输出电流易受负载阻抗影响，而e i t 负载阻抗与皮肤接触阻抗有关，并且该阻 抗大小是不确定的。因此如何抵消或者减小该影响就需要被纳入设计考量。通过负反馈 机制对其进行调控，可以得到比较满意的效果。负反馈机制实现原理如下 在此系统中，研究人员使得转换电路的输出电压与输出调整电阻r 姒的值相关从而 完成负反馈。即 = 2 c o 丽d e 万- 4 9 0 5 掌学 r 哦 呼 ( 2 1 ) 式( 2 5 ) 中，v o 为输出电压，c o d e 为d a 数据，& o a d 为负载电阻；v 佗f 为参考电压。并 且在该系统中使用r 姒作为数控电阻，通过控制r 姒就可以改变v o 的大小，从而完成整 个负反馈电路调整输出电流的目的。 r s e t 的取值并不是任意的，它的取值范围如式( 2 2 ) 所示 6 2 5 肚_ 6 2 5 p a ( 2 2 ) 。 r 鳅 、7 9 2 电阻抗断层成像技术的硬件构成以及数据采集系统硕士论文 2 4 本章小结 现代医学的发展为e i t 硬件数据采集以及测量系统的精度提出了更高的要求，如何 在有限的电极个数以及空间内获得更多的测量信息，是未来研究的一个方向。数字电路 的广泛应用为e i t 技术带来了新的契机，数字化的d d s 与恒流源模块，不但具有稳定 准确的特点，并且可视可控可调，这为苛刻的e i t 硬件系统提供了稳定的基准电压与恒 流源输出。相信越来越多的数字化模块的出现将会大幅度提高e i t 系统的精度。 1 0 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 3 电阻抗断层成像技术算法基础 e i t 技术在3 0 多年的发展过程中，研究人员提出了大量的算法，涉及正问题算法 与逆问题图像重构算法。本章主要描述e i t 问题的基本算法与基本实现原理，以及算法 上目前存在的尚未解决的问题。 3 1 e i t 正问题算法基础 3 1 1e i t 正问题基本概念 e i t 问题的基础是正问题的计算求解口o 】，正问题就是对被测区域注入一定量的电流 ( 电压) ，经过其他电极测量输出电压( 电流) ，最后经过有关正问题算法计算得到整个被 测区域所有划分点的电压( 电流) 大小。 图3 1e i t 数据测量 场域电位分布函数妒与电导率分布函数仃满足式( 3 1 ) 所示拉普拉斯方程 v 木【屯力蹦五力卜o ，伍力q( 3 1 ) 其边界条件为 妒( x ，y ) = f ( x ，y ) ，( x ，y q ) o r ( x , y ) 掣：( z ，y ) ，( x ，y 硷)( 3 2 ) a 疗 式( 3 2 ) 中，孢表示场域q 的边界；f 表示已知边界电位；j 表示流入场域q 的电流密度； n 表示场域q 的外法向向量。 这样e i t 正问题所研究的内容就变成了已知电导率仃求解场域电位分布西，即电磁 场边界求值问题。由于实际模型( 比如人体头模型) 的复杂性，无法运用解析方法精确求 解，需要采用数值近似方法进行求解。求解此类问题方法有有限差分法，有限元方法， ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d , f e m ) ，边界元方法，e i t 的正问题求解一般采用有限元方法，这 是因为有限元方法具有如下优点【2 0 】： ( 1 ) 有限元剖分和图像剖分和离散化过程是同步进行的 3 电m 抗e 成像技术算法摹 硕论女 ( 2 ) 有限元方法适用于e l i 技术尤其是当电阻抗分布特别不均匀的情况 ( 3 ) 有限元方法是一种非常成熟的计算方法 3 1 2 有限元方法 在二维准静态场中，对于边值问题场【2 0 1 ，等价变分问题可阻变为 f 州) = 睁【( 警) 2 + 喏) 2 出咖= 一 【k = ，( j ，y ) ( 33 ) 在有限元方法中，需要将连续场剖分为有限个数的单元，在二维场域剖分中常用的 方法为三角形或者四边形剖分，并假定每个单元内部的电导率均为常数，这点与微积分 的思想大致相同。 这样在有限元模型基础上，可将式( 33 ) 中的泛函积分表示为每个单元上的面积分总 和，即 ，= 彦【( 尝n 喏) 2 】蚴，= 喜l 争 尝) 2 + c 考) 2 】姗一 ( 3 4 ) 式中s 。表示单元面积；e 0 表示场域由e 0 个单元组成。有限元方法对场域剖分的要求口1 】 为： f 1 1 各单元只能以项点相交； ( 2 ) 不同单元的相同顶点的电位相等： ( 3 ) 每个单元顶点的编号顺序一致，编号按照逆时针方向进行，这样可保证计算值为正值。 闰3 2 圆形括域的有限元剖分 角形单元中，最简单的插值函数为线性插值多项式，该式在二维场中可表示为 方( z ，) = 口l + a 2 x - - ( z 3 y ( 35 ) 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 式中三个未知数由三角形的三个顶点坐标以及电位值确定，设三角形三个顶点坐标 为i ( x l ，y 1 ) ，j ( x 2 ，y 2 ) ，m ( x 3 ，y 3 ) ，如图3 3 所示 j ( x 2 ，y 2 ) 将顶点坐标代入式3 5 可得 解这个方程组有： 式( 3 7 ) 中 图3 3 三角单元顶点 f ( 五，咒) = 咖= a l + a 2 薯+ a 3 只 ( x j ，y ) = 丸= 口l + a 2 x i + a 3 y i ( 3 6 ) 【驴( x m ，) = 丸= a l + a 2 + 位3 儿 a 。= 去( 她+ a j 办+ a 。丸) a ：= 去( 6 ，谚+ 屯办+ 6 m 丸) a ，= 云1 ( q 谚+ c ，九+ 气丸) ( 3 7 ) a t 。x j y m x m y j ；a j 2 x m y t x l y m ；a m 2 x i y j x j y , ； 包= y j y ；b j = 一乃；6 埘= 咒一y j ； ( 3 8 ) q2 一x j ；c j2 薯一；气20 一x i ； = 三( 6 f 巳一q c f ) 竺i 去柏斛q 州+ 心坞斛勺鹏+ + + 慨1 ( 3 9 ) = 婶伉m u j7 3 电阻抗断层成像技术算法基础 硕士论文 式( 3 9 ) 的矩阵型式为 式中 歹= d 盱 哆 焉( 墨 = 防l t l c 3 j 。， ( 3 1 1 ) 由式( 3 1 1 ) 可以看出孵( x ，y ) 与单元几何尺寸，节点配置以及插值多项式有关。 由于万( ，弗) = 谚，所以式( 3 1 1 ) 可以改写为 咖= 孵( ，乃地+ 孵( ，乃蚺+ 二( ，峨 ( 3 1 2 ) 其中 使用内罗内克符号 孵( t ，咒) = 1 ，孵( t ，乃) = o ，暇( 薯，咒) = 0 婶钙，乃) = o 孵q ，乃) = 1 ，吧心，乃) = o 唧，虼) = o ，孵k ，) = o ，孵，) = 1 6 q = n ：b j ，y j 、) 当f _ j 时，毛= 1 ，当f _ ，时，毛= o 所以有 1 4 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 咖 w w 肘 p v 忡 ， 席 口 口 ，a、 位 。一弘。一丛。一弘 孵 吖 孵 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 因为 可得到 令 将单元泛函式用矩阵表示 令 芸书川匿 拙刊豳 m = 黔r = 匮钥 陆越2纠 删) 堋沁争m p 万b = 丢i 。 陋l 眵1 ) r 陋l 【l 蛐 医l = s 眦吼姗 由于陋l 与坐标无关所以移出积分号可得 k e = e 呲【b 】。螂 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 1 5 包 q 1一丛。一弘 i i = 盟氖吖一钞 ，f1i k 乃巳 历仍 。l 1，j 西乃白历乃如 三弘 = 3 电阻抗断层成像技术算法基础 硕士论文 b 扫j + c i c j b ；+ c ； jj b 囊j 七c 乒i 由单元系数矩阵( 3 2 4 ) 合并成有限元总系数矩阵k 【2 0 1 ，合并规则为 毛=群 以i 为顶点的三角单元 巧=k ； 以日为公边的三角单元 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) e 为单元编号，总系数矩阵元素按照逐个与总体下标相同的元素累加而成，用矩阵表示 有 k p 】_ o ( 3 2 7 ) 有限元问题中，一般单一时刻只有一个电极注入电流，令参考电极电压为0 即办= 0 ， 将( 3 2 7 ) 展开 垦l 咖+ k 2 2 九+ + o + + k 2 “= o k m l 识+ 玩2 如+ + 0 + + k 埘“= 1 4 k 。l 办+ e 2 也+ + 0 + + b “= 一i a 0 + 0 + o + + 办+ + 0 = 0 k 1 晚+ k r 2 也+ + 0 + + 孟0 “= 0 ( 3 2 8 ) 将式( 3 2 8 ) 改写为矩阵形式可得 1 6 岛三 c c c + + + k k 砖 觑乃 c 誓 孑坼砰a 0乃k 三弘 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 k 。k 2 0 k 2 互2 0 k 札k m 2 0 k m n 0 k 慑 k l lk 1 2 1 k l n k n ik n 2 0 k 恻 咖 如 丸 九 办 耷n ( 3 2 9 ) 在有限元实际模型中，注入电极面积假设为一个点( n o d e ) ，从而电极面积为0 即a = 0 ； 这样i a 无法计算，一般假设a = i 这样式( 3 2 9 ) 可以化简为式( 3 3 0 ) 0 k 0 k 2 h f k m lx c 2 0 k 蛾 e 。疋2 0 b k l lk 1 2 1 k 【n k n k n 2 0 k 榭 办 屯 丸 屯 办 牵n ( 3 3 0 ) 此矩阵为最终求解矩阵，使用高斯消元法可以求得解。 3 1 3 有限元方法程序算法 由于目前大多实验小组进行的研究都是基于规则图形，以及三角单元剖分基础上 的，所以本章算法1 2 1 1 也是建立在三角单元剖分以及规则圆形区域模型之上。 ( 1 ) 将有限元模型划分，按照规则对每一个三角单元编号，并每个顶点对应其所属的 单元。 ( 2 ) 按照划分单元以及顶点个数建立单元矩阵m ( 3 ) 按照式( 3 2 4 ) 计算求得单元系数矩阵k 1 7 o o m o o o o 肌 州 o o o o ， 一。 一o o 3 电阻抗断层成像技术算法基础 硕士论文 ( 4 ) 将计算得到的数据按照对应顶点编号以及单元编号填入单元矩阵m ，对应编号元 素则为单元系数矩阵中的元素，其余元素均为0 ( 5 ) 生成总体系数矩阵k 。k = ：m ， i 币元 ( 6 ) 施加边界条件，形成有限元矩阵方程k x = p ( 7 ) 高斯消元法求解 使用高级语言实现程序流程图如图3 4 2 0 1 所示 图3 4 有限元算法程序流程图 硕士论文 基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 3 2e i t 逆问题算法基础 e i t 技术的逆问题是研究通过电极测量得到的电压以及经过正问题计算得到的测量 区域电压分布，经过算法迭代，从而得到测量区域内部的阻抗分布矩阵，然后再经过软 件处理，最终形成重构图像。由于逆问题的本身具有的病态性。即逆问题的解通常是不 稳定且不唯一的1 2 2 1 ，导致很小的边界扰动也有可能对阻抗分布造成根本性的影响，从而 导致重构失败。目前常用的逆问题重构算法分为静态算法与动态算法两大类，动态算法 中具有代表意义的是动态反投影算法，静态算法则为n e w t o n 类静态算法i l 引。 3 2 1 e i t 技术逆问题基本概念 根据高斯散度定理，在闭合的光滑曲面s 上及s 所包含的区域q 内【2 3 1 ，只要场域 函数g 有连续的一阶偏导数，则矢量场的闭合面积分等于该矢量场散度的体积分 2 4 1 。 i g d s = 枣g d v ( 3 3 1 ) d s 是边界s 的外法向单位向量，体积分包括整个区域q 。对任意两项标量函数和甲， 令 g = v 甲 ( 3 3 2 ) 代入式( 3 3 1 ) 展开可得 i q ) 9 7 w d s = v ( w 炒 = v ( w 沙+ 枣v w d v ( 3 3 3 ) 用田1 1 f ，代替式( 3 3 2 ) q b 的v q - ，可以得到 i q ) c r v q - od s = p v v q - d v ( 3 3 4 ) 蠢z 当注入电流到场域q 时可以得到面积分2 4 】 i o a v q - d s = 0 ( 。一6 ) = ( 3 3 5 ) 假设施加的电流为单位电流 i v = = 1 ( 3 3 6 ) 则可得到积分式( 3 3 7 ) y = 吒= 2 妒v q - d v ( 3 3 7 ) 当从电极a ，b 向场域q 施加电流，并从电极c ，d 测得输出电压，同样当从电极c ， d 向场域施加电流，并从电极a ，b 测得输出电压，根据互易原理可以得到 y a h = 屹( 3 3 8 ) 1 9 3 电阻抗断层成像技术算法基础 硕士论文 式( 3 3 7 ) 2 3 1 描述了边界电压与场域电导率分布之间的关系，由于v 和v 甲均是电导率 仃的函数，所以该等式是非线性的。 设场域电导率包含均匀电导率分布与改变后的电导率分布则有 g = o h 七6 p 从而有 v = 圪+ 圪 设函数有关系式( 3 4 1 ) 【捌 v = v 。+ v i i ) p ，w = v 也+ 展开( 3 4 0 ) y 2 ( 仃。+ 仃p ) ( v 。+ v p ) ( v l + v - f p ) d v 假定施加到场域q 的电流恒定，展开( 3 4 2 ) y = 上田巾。巩西+ 羽p v q - , , d v + 四。w p d v + o v ( i ) ，v 甲p d v 进一步有 p 。刃匕凼= 上西。v ( 碉匕沙+ 上内。哗咖 令式( 3 3 3 ) 右边第一项为0 则 v ( 亦叩) = o v 2 甲+ v t y o v w = 0 由于、王，= + 匕，并且v 2 k = 一v 仃w 因此有 田2 匕= 一v 仃w v ( 胡) = v 仃v 匕+ 内2 匕 = v t y o v 匕一v a v 甲 = v g e 嘭一v g 呢一v g 嘭 = 一v 仃v 丫 代入式( 3 4 4 ) 可得 p 。田匕凼= 一。v 仃吧西+ p 。匕西 ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) 硕士论文基于a n s y s 的电阻抗断层成像正问题研究 因为v t r 。= 0 ，所以v t y ，= v o - 有 根据高斯散度定理 p 。碉_ 凼= 一。v 仃po r d r + c r v o 。司匕 p 。仃p v l d s = 上 v ( 。d p v l ) 】咖 由于v p p v l ) = v t y p v e 展开( 3 5 0 ) 有- 两式相加有 p 。仃，v _ 凼= 。v 仃p v 匕西+ 叮p v o 。v k 咖 上。删凼2j 。仃。v l 出+ 上。仃，v l 凼+ j m 。畔d s蠢鹰矗 一 由于o v q 是电导率变化后场域法向电流密度，而施加电流是恒定的，则有 豳叩= 仃。v l 由此可以推出瞄】 p 。仃p v l 豳+ p 。田匕d s = o 所以有 从而 所以 胁。v 甲p d v = 一v o 。v d v 。v ，v l 咖= 一盯p v 。v d v t y v o p v d v = 一v o 。v 鬈咖 y = o - v o 。v d v 一2 上仃p v o 。v 也d v + 量四p v 一西 y =