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基于相关性及边缘保持的小波图像降噪方法研究 摘要 图像是人们获取信息的重要渠道。然而，在图像的获取、传输和存储过程中往 往会因各种原因引入噪声。因此，如何改进这些图像的质量，就成为数字图像处理 中的一个重要任务。本论文对基于相关性和边缘保持的小波图像降噪方法进行了研 究，主要包含下列内容： 首先介绍了近年来小波分析理论的发展及其在图像处理方面的应用情况，系统 地描述了当前的几类图像降噪方法，分别分析了它们的原理和特点。 在此基础之上，提出了三种小波图像降噪方法，即：基于邻域相关性和自适应 软阈值的小波图像降噪法、基于多尺度边缘检测的自适应阈值小波图像降噪法、基 于非抽样小波和边缘保持的自适应图像降噪法。其中第一种方法，侧重于在降噪的 同时克服g i b b s 现象。软阈值函数的构造充分考虑了待阈值化小波系数与其圆形邻 域小波系数的相关性，同时结合自适应的贝叶斯阈值进行噪声滤除。而后两种方法 则侧重于降噪的同时保持边缘，提出了“系数细分”的思想，即：将图像的小波系 数分成了与边缘相关的系数，与同性区域相关的系数和与噪声相关的系数，在此系 数细分的基础之上，针对这三类系数的特点，使用不同的策略对它们进行分别处理， 从而保证降噪性能。 通过对三种方法分别进行仿真实验，实验结果表明，本文中的方法与已有同类 方法相比，可获得更好的图像降噪效果。 关键词：小波图像降噪；阈值；多分辨率分析：相关性；边缘保持 t h er e s e a r c h0 1 1i m a g ed e n o i s i n gu s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ， d e p e n d e n c ya n de d g ep r e s e r v a t i o n a b s t r a e t i m a g ei sa ni m p o r t a n ti n f o r m a t i o ns o u r c e h o w e v e r , i nt h ec o i l r s co fi t sa c q u i s i t i o n , t r a n s m i s s i o na n ds t o r a g e n o i s ei so f t 钮i n t r o d u c e , w h i c hd e g r a d e st h eq u a l i t yo fi m a g e s oi m a g ed e n o i s i n gi sa ni m p o r t a n tt a s ko fd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ac o m p r e h e n s i v e r e s e a r c ho ni m a g ed e n o i s i n gu s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m , d e p e n d e n c ya n de d g ep r e s e r v a t i o n i sm a d ei nt h i sd i s s e r t a t i o n , w h i c hm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n gc o n t e n t s ： f i r s to f a l l ，d e t a i l e di n t r o d u c t i o no f w a v e l e ta n a l y s i sd e v e l o p m e n ti nr e c e n ty e a r sa n d i t sa p p l i c a t i o na r e a s e s p e c i a l l yi m a g ed e n o i s i n ga m a l eg i v e ni nt h i sp a p e r , a n dt h e n t h r e ek i n d so fp r e s e n tc o n v e n t i o n a li m a g ed m m i s i n gm e t h o d sa r el i s t e d m o r e o v e r , t h e p r i n c i p l e sa n dc h a r a c t e r i s t i c so f t h e s em e t h o d sa 北a n a l y z e d ，t o o o nt h eb a s i so ft h e s ea n a l y s e s t h r e em e t h o d sa 坞p r o p o s e d , t h a ti s , t h em e t h o do f w a v e l e ti m a g ed e n o i s i n gb a s e do nn e i g h b o u rd e p e n d e n c ya n da d a p t i v et h r e s h o l d i n g , t h e m e t h o do fw a v e l e ti m a g ed e n o i s i n gb a s e do nm u l t i s c a l ee d g ed c t e c t i o na n da d a p t i v e t h r e s h o l d i n ga n dt h em e t h o do fn o n d e c i m a t e dw a v e l e ti m a g ea d a p t i v ed e n o i s i n gw i t h e d g ep r e s e r v a t i o n n 圮f i r s tm e t h o df o c u s e so ni m a g ed e n o i s i n gw i t h o me ) 【i s t i n gg i b b s p h e n o m e n a i no r d e rt oc o i k q u u c tt h es o f tt h r e s h o l df u n c t i o n ，ac i r c u l a rn e i g h b o u r h o o d a r o u n dt h ew a v e l e tc o e f f i c i e n tt ob et h r e s h o l d e di sc o n s i d e r e d ，w h i s ti tc o m b i n e sw i t ha d a t a - d r i v e na n da d a p t i v et h r e s h o l dw h i c hi sd e r i v e df r o mb a y e s i a ne s t i m a t i o n n 把r e s t t w om e t h o d ss t r e s sr e m o v i n gn o i s e sw i t he d g ep r e s e r v a t i o n a n dt h e i d e aa b o u t “s u b d i v i d ew a v e l e tc f f i c i e n t s i sp r o p o s e d a te a c h 把- s o l u t i o n l e v e l w em a k ea d i f f e r e n c eb e t w e e nt h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t sr e l a t e dt oc d g e t h ec o e f f i c i e n t sa s s o c i a t e dt o h o m o g e n e o u sr e g i o n sa n dt h ec o e f f i c i e n t sn o i s e - r e l a t e d t h e nt h e s ec o e f f i c i e n t sw h i c h h a v ed i s s i m i l a rt r a i t sa r ep r o c e s s e dr e s p 吐v e 峥w i t hd i f f e r e n ts t r a t e g i e s a tl a s t , t h em e t h o d sf o ri m a g ed e n o i s i n gp r o p o s e di nt h i sp a p e ra r et e s t e d r e s p e c t i v e l y e x p e r i m e n t a l 他s u h ss h o wt h a tt h e s em e t h o d so f t c l lo b t a i nb e t t e rd e n o i s i n g p e r f o r m a n c et h a nt h ee ) 【i s t i n gt y p i c a lm e t h o d s k e yw o r d ：w a v e l e ti m a g ed e n o i s i n g ；t h r e s h o l d i n g ；m u l t i r e s o l u t i o na n a 炒s ho 豫； d e p e n d e n c t ；e d g ep r e s e r v a t i o 学位论文独创性声明、知识产权权属声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均己做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名：壁垄望 日期：j 唧年占月烊日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密囱 ( 请在以上方框内打“4 ”) 论文作者签名： 导师签名： 日期：j 卵，年5 月t 4 日 日期：却方年占月幸日 第一章引言 第一章引言 小波分析是近2 0 年发展起来的新兴学科，是当前数学领域中迅猛发展的一个新 方向，具有丰富的数学理论意义和广泛的工程应用价值。从数值分析的角度看，它 是f o u r i e r 分析的一个突破性进展，给许多相关学科的研究带来了新思想，也为工程 应用领域提供了一种更有效的分析工具。 小波变换之所以在信号处理领域具有巨大优势，在于小波变换可以获得信号的 多分辨率描述，这种描述符合人类观察世界的一般规律，另外，小波变换的低熵性、 去相关性和选基灵活性等特点，也为其成功应用于该领域提供了天然优势 1 1 小波理论的发展【l 】f 2 】 小波分析与f o u r i e r 分析有密切的联系，可以说小波分析来自f o u r i e r 分析，不 仅其思想来自f o u r i e r 分析，小波函数的存在性证明以及小波基的构造都依赖于 f o u r i e r 分析，因此，要谈小波分析的发展，必然应从f o u r i e r 分析开始。 f o u r i e r 分析最早始于1 8 0 7 年，法国数学家f o u r i e r 从热传导理论提出了f o u r i e r 分析，这对数学和工程科学史的发展都起到了很大的影响和推动作用。f o u r i e r 分析 的关键是通过f o u r i e r 变换引进了频率的概念，把函数展开成f o u r i e r 级数，使许多 在时域中不明了的问题却能在频域中一目了然但是，f o u r i e r 变换也存在一定的局 限性，一方面，用f o u r i e r 变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息，另一 方面，f o u r i e r 变换没有反映出随着时间变化信号频率成分的变化情况。而在不少实 际应用中，局部时间域上的函数特征是我们最为关注的，显然，这种情况下，f o u r i e r 变换难以胜任。 为克服f o u r i e r 分析不能同时作时频局部化分析的缺点，1 9 6 4 年，o a b o r 提出了 g a b o r 变换，即窗口f o u r i e r 变换，它在时域和频域内均有局域化能力但窗口f o u r i e r 变换的时、频窗口大小与频率无关，一旦选定就固定不变，且无离散正交基。因此， 它只适合分析所有特征尺度大致相同的过程，不适于分析多尺度信号和突变过程。 窗口f o u r i e r 变换的这些缺点导致它未能在工程领域得到广泛应用与进一步发展。 为满足实际信号处理的要求，必须寻求一种新的时频分析工具，小波分析应运 而生。小波变换的优势正是分析非平稳信号它继承和发展了窗口f o u r i e r 变换时、 频局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化、没有离散正交基的缺点。 一个小波基函数的作用相当于一个窗函数，小波基的平移相当于窗口的平移，它既 有随频率变化的自适应窗口，又具有离散化的规范正交基，因此，小波变换是比较 理想的时频分析工具 青岛大学硕士学位论文 人们一直对小波变换进行着不懈地研究与探索，尤其近二十几年来，这方面的 工作尤为活跃，不断涌现出新成果1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a a r 系进行改进，证明 了小波函数的存在性。1 9 8 4 年石油工程公司物理工程师m o r l e t ，在分析地震波的局 部时，发现传统的f o u r i e r 变换难以达到要求。因此他在信号分析中引入小波概念对 信号进行分解。1 9 8 6 年调和分析专家m e y e r ，创造性地构造出了具有一定衰减性的 光滑函数妒，对其进行二进制伸缩与平移 矿o ) = 2 嗡妒( 2 - x k ) l j ，t e z 构成f ( 固 ij 规范正交基。之后，l e m a r i e 和b a t t l e ，s t r o m b e r g 分别独立地给出了具有指数衰 减的小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t 和m e y e r 提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) ，从而成功地统一了在此之前的s t r o m b e r g 、m e y e r ，l e m a r i e 和b a t t l e 提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法 ( m a l l a t 算法) 应用于图像分解与重构1 9 8 8 年，o a u b e c h i e s 构造了具有有限紧 支集的正交小波基。1 9 9 2 年。o a u b e c h i e s 发表了小波l o 讲，系统地阐述了正交 小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性，介绍了离散小波交换和连续小波变换 等。至此。经典小波理论基本成熟 3 1 1 4 1 。同年，r r c o i f m n n 和m v w i c k e r h a u s e r 进一步提出了小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 的概念【5 i 【6 1 ，并从数学上作了严密的推导。 由于实际信号均是有限支撑的，为了更好地刻画信号，避免出现如周期化处理 引起的边界效应或失真，1 9 3 3 1 9 9 4 年，许多学者从不同的角度提出了小波思想和构 造方法【7 1 【引。为了解决正交小波基没有线性相位的问题，学者们在1 9 9 4 年提出了多 小波理论【9 h 2 1 。 目前，函数空问的刻画、小波基的构造、基数插值小波、向量小波、高维小波、 多进制小波、周期小波等都是小波理论的主要研究方向和热点。人们已经公认计算 机视觉中的多分辨率处理、语音和图像压缩中的子带编码、基于非均匀采样网格的 非平稳信号分析和应用数学中的小波级数展开是同一种理论小波理论的不同观 点有关小波理论及其应用的研究正处于蓬勃发展时期。 1 2 小波变换在图像处理中的应用1 1 1 小波变换是近几十年来信号处理领域研究的一个热点，许多学者将小波在理论 上的研究成果应用到诸如图像压缩、特征提取、信号滤波和数据融合等方面，而且 小波变换的应用领域还在不断地发展当中。 1 2 小波分析在图像压缩编码中的应用 由于小波分析具有时频分析、多分辨率等优点，易于与人类视觉特性相结合， 因此小波交换用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压 缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递过程中可以 2 第一章引言 抗干扰基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最优基法、小波域纹 理模型法、小波变换零树压缩法、小波变换向量量化压缩法等。小波变换用于图像 压缩时的优越性，除了时频局部化分析处理非平稳信号的固有长处外，还体现在它 具有易于与h v s ( h u m a nv i s u a l s y s t e m ) 相结合的潜力上。在图像压缩标准 “j p e g - 2 0 0 0 ”中，小波已成为一个主要的技术。 1 2 2 小波分析在数字水印中的应用 数字水印是一种新的有效的数字产品版权保护和数据安全维护技术，它是一种 十分贴近实际应用的信息隐藏技术。以图像为载体对象的水印技术是当前研究的热 点，由于小波分析在图像处理中所表现出的优势，目前已经有学者将小波分析用在 了图像水印技术中。 和其他的变换域水印技术一样，小波变换域水印也分为水印嵌入、提取( 检测) 两部分，小波水印的嵌入和提取都是在小波域进行的。在此过程中，小波的类型、 水印的选取、水印嵌入的强度以及水印嵌入的位置都会影响到水印系统的性能，包 括水印的鲁棒性和视觉可见性 1 2 3 小波分析在遥感影像融合中的应用【l 习 基于小波分析的影像融合技术是目前遥感影像融合研究的主流。在低分辨率的 多光谱影像和高分辨率的全色影像的融合中，要求充分利用多光谱图像所具有的对 空间细节的表现能力，同时较好地保持原始多光谱图像的光谱特性 传统的小波分析融合方法是在小波变换域中，用高空间分辨率的全色图像的细 节分量替代低空间分辨率的多光谱图像的细节分量，然后对多光谱图像的小波系数 进行小波逆变换，得到融合的多光谱图像。在小波变换域中，细节系数幅值较大的 位置对应于边缘、突变点等显著特征，在融合中不做简单的替代，而是综合考虑两 幅影像的显著特征，按一定的融合准则选取每一位置上的小波系数，再经小波逆变 换得到重构的融合影像这就是基于特征的小波分析融合方法 1 2 4 小波分析在图像边缘检测中的应用 在图像处理中，物体的几何边缘、光照阴影以及物体表面纹理等因素都表现为 边缘，即图像中灰度发生不连续变化。而且噪声信号边缘类似，同样是高频信号， 因此正确地检测出边缘是非常困难的。传统算法都是单一尺度的边缘检测算子，不 可能正确与准确地检测出所有边缘，同时在滤除噪声时影响边缘检铡的正确性，因 此用多尺度方法检测边缘越来越引起人们的重视在各种多尺度边缘检测算法中， 利用小波进行多尺度边缘检测是比较常用的方法之一【1 4 】 1 2 5 小波分析在图像降噪中的应用 一般来说，图像在采集、获取、转换和传输的过程中，往往会受成像设备或外 部环境等的影响被噪声所污染，从而造成图像质量的下降，影响图像的进一步处理。 3 青岛大学硕士学位论文 图像降噪的目的就在于去除噪声，并且在去除噪声的同时尽可能多地保留原始图像 中的特征信息，以提高图像质量，为图像地进一步处理做好准备。而使用小波变换 进行图像降噪并不是偶然的，小波变换所具有的四大特性：多分辨率特性、低熵性、 解相关特性、选基灵活性是其成功应用于该领域的前提 一般来说，小波图像降噪分为以下的三步： ( 1 ) 对含噪的图像进行小波变换，得到一组小波系数； ( 2 ) 对这组小波系数，选取一种降噪算法进行降噪处理，得到降噪后小波系数； ( 3 ) 将降噪后小波系数进行小波逆变换得到降噪后的图像。 上述过程亦可用图1 1 表示： 输入原始图像卜叫对图像进行小波变换卜叫对小波系数进行降噪处理 得到处理后的图像 对处理后小波系数进行逆变换 图1 1 小波变换对图像的处理 在这三步中，最关键的是第二步。在下面的章节中，我们将展开讨论小波在图 像降噪中的应用。另外，小波变换在图像增强、图像分割等图像处理的其他方面也 有较广泛的应用。除图像处理领域，小波变换也常常用于模式识别、语音识别、量 子物理、地震勘测、流体力学、电磁场、c t 成像、机器视觉、机器故障诊断与监控、 分形、数值计算、微分方程计算等领域。 1 3 本文的主要工作 本文以小波变换为理论基础，以小波变换图像降噪为研究对象，比较深入地研 究了小波分析的基本理论以及小波变换在图像降噪中的应用。对当前存在的三类小 波降噪方法；模极大值重构法、空域相关法、阈值降噪法进行了分析和比较，针对 这些算法中存在的问题，结合当前小波图像降噪算法的最新进展，提出了三个小波 图像降噪算法。这些算法反映了当前小波图像降噪的整体趋势一各种降噪方法的 融合，汇集了当前研究中的一些最新的思想。 全文的组织结构如下： 第一章为引言，简单介绍了小波变换的发展史，概括和总结了小波变换在图像 处理中的应用。 第二章介绍小波变换的基本理论、二进小波与框架理论、多分辨率分析以及著 名的m a l l a t 算法，为以后几个章节奠定理论基础 4 第一章引言 第三章是对当前小波降噪方法的一个概述，分析比较了当前典型的几类小波图 像降噪方法，指出了这些算法存在的不足对当前最新出现的一些常用方法及其理 论进行了介绍，为在后序三章中提出新的小波降噪方法做铺垫。 第四章提出一个新的基于邻域相关性的自适应软阈值降噪方法n e i g h b a y e s 方法，软阈值函数的构造充分考虑了待阈值化小波系数与其圆形邻域小波系数的相 关性，同时基于b a y e s i a n 估计，将一个数据驱动的自适应阈值结合进来，最后给出 了这个新方法的仿真实验结果，证明了算法的有效性 第五章提出一个基于多尺度边缘检测的自适应阈值小波图像降噪方法。在图像 处理中，边缘检测和噪声去除往往是密不可分的，此方法将与噪声和边缘相关的小 波系数和与同性区域相关的小波系数区别对待。在每个分辨层次，图像的边缘由梯 度的幅度进行估计( 梯度的幅度由小波参数导出) ，且与噪声和边缘有关的梯度的 幅度分布由r a y l e i g h 概率模型化出来基于此模型，得到该层的收缩函数。为充分 利用尺度间相关性，各层的收缩函数被合并起来，进一步保持图像边缘。对于同性 区域相关的小波系数，依然采用第四章中使用的经典b a y e s s h r i n k 方法来进行自适应 阈值处理，经仿真验证，该方法不仅可获得较清晰的图像边缘，且降噪性能优良。 第六章提出一个基于非抽样小波和边缘保持的自适应图像降噪方法，这个方法 也是一个基于边缘检测的图像降噪处理方法。该方法利用了小波系数的层间相关性 理论及小波域系数模型理论，对使用非抽样小波变换得到的系数进行了分类和分别 处理，将小波系数分成了与边缘相关的系数，与同性区域相关的系数和与噪声相关 的系数，在此系数细分的基础之上，针对这三类系数的特点，使用不同的策略得到 较清晰的图像边缘。最后给出了这个方法的仿真实验结果，证明了算法的有效性。 第七章为全文的总结与展望，概括了全文的研究内容和创新点，并对未来的研 究提出了一些设想，以供后序研究参考借鉴。 ， 青岛大学硕士学位论文 第二章小波变换基本理论 为了后续章节对小波变换在图像降噪领域的应用进行讨论，本章先对小波变换 的基本理论进行阐述，给出小波变换的基本概念、基本思想和基本结论。包括连续 小波变换理论、二进小波与小波框架理论、多分辨分析与m a l l a t 算法等。而与论文 提出的三种算法直接相关的理论，在各自的章节中给出。 2 1 小波变换 2 1 1 连续小波变换 所谓小波“咒，郎存在于一个小区域的波。其数学定义是：设y ( f ) 为一平方可积 函数，即妒er ( 两，若其f o u r i e r 变换满足： c r = f 。掣2 d m cm 2 - ( 1 ) 则称为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可容许条件。 将p ( 哟空间的任意函数，( r ) 在小波基下进行展开，称其为函数，( f ) 的连续小波 变换c 1 盯。变换式为： 町似r ) = 击一，( f ) y 呼弦：( ，虬， 2 一( 2 ) 当所有小波的容许性条件成立时，逆变换( i c w t ) 存在： ，( f ) = 专f 窘e 哆( 岛r 巩，( f ) 咖5 虿1j ，7 d a e ( 老妒4 咖2 一( 3 ) 其中巳= f 。丝掣2 d 讲c m ，即为的容许性条件 据c w t 的定义可知，小波变换同f o 面盯变换一样，也是一种积分变换，称盯以功 为小波变换系数。由- y - b 波基具有尺度和位移两个参数，因此将小波基展开意味着 将一个时间函数投影到二维的时间一尺度相平面上。而且由于小波基本身具有的特 点，函数投影到小波变换域后，有利于提取某些特征。 2 1 2 离散小波变换 在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化因此有 必要讨论连续小波泓) 和连续小波变换哆“f ) 的离散化，也就是针对连续的尺度 第二章小波变换基本理论 参数a 和连续平移参数f 进行离散化 在连续小波中，考虑函数： = i y ( 等) 2 _ ( 4 ) 对连续小波基函数进行离散化可以得到离散小波变换，减少小波变换的冗余度。 在离散化时，通常对尺度按幂级数进行离散化，即取口= 叮( m 为整数，l ，一 般取= 2 ) 并且相应的位移间隔取2 - z ，得到离散小波函数： ， ( f ) = 专y 亏川脚 2 - ( 5 ) 于是，任意函数，u ) 的离散小波变换d w t 为： w ( m ，帕= l ，( f 川 ( o a t 2 - ( 6 ) 2 2 二进小波与框架理论 2 2 1 二进小波 为了使小波具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我 们很自然地需要改变a 和r 的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。也就是说。 在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即每个网 格点对应的尺度为2 - ，平移为2 m 1 。由此得到的小波； 击吵唔一咖， e z 2 - ( 7 ) 称为二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) 。二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。 二进小波只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变 化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基 相比所具有的独特优点。 2 2 2 框架理论与离散小波变换 为了在尺度及位移均离散化时能够重建原始信号，必须引入小波框架的概念 小波框架的定义是：当基本小波基妒( f ) 经伸缩和位移引出的函数族 y ，j ( t ) = a - j “y ( a - j t 一圮) k e z 2 - ( 8 ) 具有下述性质时： 7 童鱼查堂堕主堂垡笙奎 a i i f l l 2 s 1 | 2 b i i 1 1 2 ，o 一 口 2 - ( 9 ) 便称奶( r ) ) 伽：构成了一个小波框架，并称上式为小波框架条件，其频域表示为： 口s 1 矿( 2 妨1 2 s 尹， o 口 罗 ， ( 帕p ( f ) ，虬。( f 卜二尺度关系存在于任意相邻尺度j 和j i 之间。 1 9 8 9 年，m a l l a t 在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算 法的启发，提出了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，称作m a l l a l 算法。由多 分辨率分析和二尺度方程，我们可以得出： q 。= _ i j b ( 肼一2 t 一， 2 - ( 2 2 ) 。= _ i j i ( 肿一2 i 岣， 2 - ( 2 3 ) 其中，分别为_ ，空间的剩余系数和小波系数这样可以得出小 波的快速算法，即m a n a t 埔式算法。该算法的分解( a ) 与重构( b ) 算法如图2 3 ： c 。c 甜c 村+ 1 卜“( ，坩 + ：矿+ ， 图2 3 ( a ) 分解快速算法示意图 产。“ c 槲c + 。4 斗c u “ c v 图2 3 ( b ) 重构快速算法示意图 对于二维离散信号，其正交小波基分为正方块正交小波基和长方块正交小波基 一 重垒查堂堡主兰堡丝塞 两种，下面仅就正方块二维正交小波变换的m a l l a t 算法作以简单介绍。 假定踢为0 尺度空间的剩余尺度系数序列，并且令b o 和h 1 分别为小波函数的 低通和高通滤波器，以下是二维小波变换的快速分解公式： 巨 巨 圈2 4 二维塔形算法示意图 ，l 口2 矿 r 2 嘭= ( i 一2 1 ) 仰一2 0 , a 膨= h o ( k - 2 0 ( m 一2 0 s 。j - i 以：磊州。一2 0 s , s ： 2 - ( 2 4 ) 也= h o ( k - 2 0 h o ( m 一2 ，) ： 显然上式也是一个塔形算法，其流程图如图2 4 ，其重构公式为： 蚓= 鬼( 七一2 0 一2 ，) + 彩h , ( k - 2 0 h o ( m - 2 ) u，j + 肜仲一劲 ( 埘一狮+ 以 ( 一劲_ i j l ( 册一2 ，) 2 - ( 2 5 ) 由此可以画出离散二维图像小波分解和重构示意图。其中，h 为低通滤波器，g 为高通滤波器，因此它们的滤波输出分别对应离散信号的低频轮廓和高频细节如 图2 5 和2 6 所示： 吐。对应图像在下一尺度上的概貌 毗：对应图像在水平方向上的细节 危2t 对应图像在垂直方向上的细节 以t 对应图像对角线方向上的细节 图2 5 二维图像一次小波分解 1 4 以吼依 以 第二章小波变换基本理论 以 畋 彪 畋 图2 6 二维图像的一次小波重构 一般认为。m a u a t 算法在小波分析中的地位类似于f f t 在经典f o u r i e r 分析中的 地位。离散图像的二维正交小波的m a l l a t 算法被广泛应用于图像降噪处理中。随着 小波理论日趋完善，其自身良好的时频特性在图像降噪领域受到越来越多的关注。 第三章基于小波变换的图像降噪 3 1 小波降噪总述 图像降噪存在一个如何兼顾降低图像噪声和保留细节的难题。传统的低通降噪 方法在消除图像噪声的同时，也会消除图像部分有用的高频信息，所以传统的低通 降噪方法在对保留图像细节的要求方面没有得到令人满意的效果。 多年来，采用小波变换进行图像降嗓已成为一个活跃的研究课题。1 9 9 2 年， i a l l a t 等人提出了奇异性理论和图像多尺度表示方法及相应的降噪方法，即小波模 极大值方法田】具体来说，就是利用有用信号与噪声的小波变换系数模极大值在多 尺度分析中呈现不同的奇异性，用计算机自动实现由粗到精的跟踪并消除各尺度下 属于噪声的模极大值，然后使用与有用信号相关的模极大值重构小波。但是该方法 的复杂性和计算量大，而且用过零点或极大值来重建信号只是种逼近，它只适用 于各尺度下确已检测到对应极大点的情况。为了克服模极大值法的缺点，s t a n f o r d 大学的学者d l d o n o h o 和i m j o h n s t o n e l 2 4 1 通过直接将小波变换与信号处理方法相 结合，得到了一种性能优良的降噪方法；对小波系数进行非线性阈值处理来恢复噪 声中的信号，即小波阙值法，他们给出了通用阈值r = a 面f ，并从渐近意义上证 明了这一方法在滤除噪声的同时，有一定的保留信号细节的能力。 但是由于通用闽值有“过扼杀”小波系数的倾向，人们对阈值选取不断进行研 究并陆续提出了多种阈值选取方法。他们提出了软阈值和硬阈值的准则，并从统计 学的角度出发，不断完善这一理论。使得此类非线性降噪方法的降噪效果超过了一 般线性降噪技术，阈值选取取决于噪声能量的大小，降噪后图