（计算数学专业论文）关于组合预测中的权重确定及应用.pdf

摘要 关于组合预测中的权重确定及应用 作者简介：毛开翼，男，1 9 8 1 年1 1 月出生，2 0 0 4 年0 9 月师从于成都理工大学 魏贵民教授，于2 0 0 7 年0 6 月获理学硕士学位 摘要 不同的预测方法能够提供不同的有用信息，如果简单地将预测误差较大的一 些方法舍去，将会失去一些有用的信息。一种较科学的方法就是进行组合预测。 组合预测能够较大限度地利用各种预测样本信息，比单个预测模型考虑问题更系 统全面，能够有效的减少单个预测模型中一些随机因素的影响，从而提高预测精 度。组合预测法计算简单，精度高，有很好的实用性。 本文运用组合预测模型进行比较，并对组合预测的权重通过几种赋权方法进 行综合，再对得出的预测值进行对比。重点阐述了以诱导有序加权方法的组合预 测，并结合实例对各种预测模型与组合预测模型探讨了不同的组合预测权重确定 在实际中的应用。其预测结果较为平稳，而且预测结果也说明此组合预测模型预 测精度往往比单项预测模型和其它加权方法的组合预测值要高。 本文主要目标是分析组合预测模型的权重确定方法，比较各种预测理论精 度，以此对组合预测的加权方法进行了解和应用。通过实例得出应根据预测的不 同要求及特点和适用范围来选取有效可靠的预测方法，对预测所得结果加以判 断，及时修改和淘汰不当的模型；组合预测的精度通常优于其中任何一个单预测 的精度，模型个数的增加可以提高组合预测的精度；在m 维有序加权平均这种组 合预测的基础上介绍了m 维诱导有序加权平均算子构成。用有序加权方法对中国 人口预测进行应用，用诱导有序加权法结合某市八个月的实际交通数据此方法 具体演示了诱导有序加权平均算子的模型建立和运算，其预测效果高于一般方 法。 关键词：组合预测人口预测诱导有序加权权重城市公共交通 成都理i ：人学硕+ 学位论文 c o m b i n a t i o nf o r e c a s ti nw eh td e t e r m i n a t i o na n d a p p l i c a t i o n a b s t r a c t t h ed i f f e r e n tf o r e c a s tm e t h o dc a np r o v i d et h ed i f f e r e n tu s e f u l i n f o r m a t i o n i fw e d r o p ss o m em e t h o d sw h i c hh a v et h eh i g h e rf o r e c a s td e v i a t i o n ss i m p l y , i tw i ub ea b l e t ol o s es o m eu s e f u li n f o r m a t i o n o n es c i e n t i 丘cm e t h o dc a r r i e so nt h ec o m b i n a t i o n f o r e c a s t t h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s tc a nu s ee a c hk i n do ff o r e c a s ts a m p l ei n f 0 1 1 1 1 a t i o n t h eg r e a t1 i m i t i t sm o r es y s t e m a t i ct h a nc o m p r e h e n s i v e l yt h es i n g l ef o r e c a s tm o d e l c o n s i d e r a t i o nq u e s t i o n ，c a ni nt h e e r i e c t i v er e d u c t i o ns i n g l ef o r e c a s tm o d e ls o m e r a n d o mf a c t o r si n f l u e n c e t h u se n h a n c e m e n tf o r e c a s tp r e c i s i o n t h ec o m b i n a t i o n f o r e c a s tt h el a wc o m p u t a t i o ni ss i m p l e ，t h ep r e c i s i o ni sh i g h ，h a st h ev e r yg o o d u s a b i l i t y t m sa r t i c l eu t i l i z e st h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s tm o d e lt oc a r r yo nt h ec o m p a r i s o n ， t h e nt oc o m b i n e st h ef o r e c a s tt h ew e i g h tt oc a r r yo nt h es y n t h e s i st h r o u g hs e v e r a lt a x p o w e rm e t h o d t h e nt ot h ef o r e c a s tv a l u ew h i c ho b t a i n sc a r r i e so nt h ec o n t r a s t ， e l a b o r a t e dw i t he m p h a s i si n d u c e st h eo r d e rw e i g h i n gm e t h o dt h ec o m b i n a t i o nt o f o r e c a s t ，a n du n i f i e dt h ee x a m p l eh a sd i s c u s s e dd i f f e r e n tc o m b i n a t i o nf o r e c a s tw e i g h t d e t e r m i n a t i o ni n r e a l i t ya p p l i c a t i o n t oe a c h k i n d o ff o r e c a s tm o d e la n dt h e c o m b i n a t i o nf o r e c a s tm o d e l f o r e c a s tt h er e s u l ti ss t e a d y , m o r e o v e rt h ef o r e c a s tr e s u l t a l s os h o w e dt h i sc o m b i n a t i o nf o r e c a s tm o d e lf o r e c a s tp r e c i s i o no f t e nm u s tb eh i g h e r t h a nt h es i n g l ei t e mf o r e c a s tm o d e la n do t h e rw e i g h i n gm e t h o dc o m b i n a t i o nf o r e c a s t v a l u e t h et h i sa r t i c l ee s s e n t i a lt a r g e ti sa n a l y z e st h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s tm o d e lt h e w e i g h td e f i n i t em e t h o d ，c o m p a r e dw i t he a c hk i n do ff o r e c a s tt h e o r yp r e c i s i o n ，t o c o m b i n e st h ef o r e c a s tb vm i st h ew e i g h i n gm e t h o dt oc a r r yo nt h eu n d e r s t a n d i n ga n d t h ea p p l i c a t i o n o b t a i n st h r o u g ht h ee x a m p l es h o u l ds e l e c t st h e e f f e c t i v er e l i a b l e f o r e c a s tm e t h o da c c o r d i n gt ot h ef o r e c a s td i f f e r e n tr e q u e s ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i ca n d t h ea p p l i c a b l es c o p e ，t of o r e c a s tt h eo b t a i n e dr e s u l tj u d g e s ，p r o m p t l yr e v i s e sa n d e l i m i n a t e st h e i m p r o p e rm o d e l ；t h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s tt h ep r e c i s i o nu s u a l l y s u r p a s s e sa n yl i s tf o r e c a s tt h ep r e c i s i o n t h em o d e li n t e g e ri n c r e a s em a ye n h a n c et h e c o m b i n a t i o nf o r e c a s tt h ep r e c i s i o n ；i n t r o d u c e dt h emd i m e n s i o ni n d u c t i o no r d e r w e i g h t e da v e r a g eo p e r a t o rc o n s t i t u t i o ni nt h em d i m e n s i o no r d e rw e i g h t e da v e r a g e m i sk i n do fc o m b i n a t i o nf o r e c a s tf o u n d a t i o n w i t ht h eo r d e rw e i g h i n gm e t h o dt ot h e c h i n e s ep o p u l a t i o nf o r e c a s tc a r r i e so nt h ea p p l i c a t i o n ，u s et h ed a t aa b o u ts o m ec i t i e s f o re i g h tm o n t h l o n gw i t ht h ei n d u c t i o no r d e rm e t h o do fw e i g h t i n g i th a ss p e c i f i c a l l y d e m o n s t r a t e dt h ei n d u c t i o no r d e rw e i g h t e da v e r a g eo p e r a t o rm o d e le s t a b l i s h m e n ta n d t h eo p e r a t i o n t h ef o r e c a s te 能c ti sh i g h e rt h a nt h eg e n e r a lm e t h o d s k e y w o r d s ：c o m b i n a t i o nf o r e c a s t ；p o p u l a t i o nf o r e c a s t ；i n d u c t i o no r d e rw e i g h t i n g ； w e i g h t ；c i t yp u b l i ct r a f f i c i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡工盔堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的晓明并表示谢意。 学位论文作者导师签名：穷k 发幻 学位论文作者签名：囝霞 谤年 学位论文版权使用授权书 r 月五f r 本学位论文作者完全了解盛都理工盍堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查i q 矛u 借阅。本人授权盛壑堡王盍堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 叼年r 月l f 日 第1 章引言 1 1 预测的概念 第1 章引言 预测是运用科学的判断方法或计量分析法，对目前尚未发生或目前还明确的 事物进行预先的估计和推测，是在现实对事物将要发生的结果进行探讨和研究。 预测实际上是这样一个过程：从过去和现在已知的情况出发，利用一定的方法和 技术去探索或模拟不可知的、未出现的复杂的中间过程，推断出未来的结果。 预测研究的是事物的未来，它的意义主要表现在两个方面：一是了解事物未 来的状况后，人们就可以在目前就为它的到来做好准备；二是通过预测可以了解 目前的决策所可能带来的后果，并通过对后果的分析来确定目前的决策，力争使 目前的决策获得最佳的未来结果。 1 1 1 预测方法分类及基本原则 预测科学应用于不同的领域，则分别形成各具特色的预测技术。在经济领域 的应用，形成经济预测技术；在人口领域的应用，形成人口预测与控制技术等等。 预测技术的丰富和发展促进着预测方法体系的完善。目前各种领域的预测方法己 经有近三百种，但大部分方法专业限制严格，有些还处于试验研究阶段，真正在 实际中广泛应用的约1 5 2 0 种。如回归分析法、趋势外推法、计量经济法、马尔 科夫法( m a r k o v ) 、德尔菲( d e l p h i ) 法等。 从基本特征看，预测方法一般分为两大类。一类为定性预测方法，另一类是 定量预测方法。定性预测方法主要是指按经验的或事理逻辑分析判断方法，但并 非不用数据，而是不必进行繁杂的数学运算，运用成套的数学模型。定性预测是 根据一定的学科理论，对预测对象的历史和现状做出解释、分析和判断，从而综 合地提出预测对象未来趋势的一种或多种可能性。定性预测偏重于事物发展性质 上的分析，主要凭知识、经验和人的分析能力。它是一种很实用的预测方法，也 是预测中应用较广泛的基本方法。由于定性预测方法更重视事物发展趋势、方向、 重大转折点的分析，因此，它较适用于下列情况的预测：国民经济形势发展，经 济政策的演变，市场总体形势的变化( 如卖方市场向买方市场的过渡) ，科学技术 成都理f ：人学硕十学位论文 发展与实际应用对市场供求的影响，新产品歼发，新市场开拓，企业经营环境分 析和战略决策方向，企业市场营销组合及对市场销售的影响等。 定量预测方法则是在对预测对象的历史或现状资料进行定量数学分析、建立 科学而完备的数学模型中普遍采用的各种数学、统计学的理论与方法。定量预测 是在一定的经济理论和数学、统计学原理基础上，利用历史和现实的数据，建立 j 下确的数学模型，以定量表达预测对象的发展规律，对预测对象的未来做出定量 的预测。定量预测的特点是“凭数据说话”，能够通过各变量之间的数量关系， 较准确地测算预测对象未来的发展趋势，为决策提供确切的科学根据。它的不足 是单纯量的分析会忽视非量的因素。 预测是一项要求严格，难度很大的工作。实践经验表明，在预测工作中必须 将定性和定量方法很好地结合起来，以定性方法为指导，以定量计算为手段，全 面而准确地把握预测的对象活动的性质和数量。所选用的定量预测方法也应不止 一种，采用多种方法同时进行预测，可以相互校验预测结果。 在预测方法的选择上，应该遵循以下原则： 1 准确性 各种定量预测方法对经济现象( 或其他现象) 历史演变过程的数学模拟精度 有一定差异，一般应选择模拟精度高( 误差小) 的方法模型来预测。 2 计算复杂性 定量预测方法要求根据大量历史样本数据进行参数估计建立数学模型。在满 足模拟和预测精度前提下，应选择计算工作量小，方法比较简单的模型。 3 样本数据的繁简性 由于预测对象特征指标的复杂性、多样性，而现有统计资料又不可能面面俱 到。在选择定量预测方法时，还必须考虑建模所需样本数据的多少及其收集整理 工作的难易程度。 4 专业领域局限性 数百种预测方法中既有适应面广的常用预测方法，又有专业性很强的专门预 测方法。在经济与社会发展的预测中，更应注意理论与常用预测方法的有机结合， 而不应一味追求新奇与高难。 1 1 2 预测的实施步骤 为了成功完成预测工作，预测者必须对预测的过程加强组织，按照预测工作 的客观规律，有计划按顺序认真的完成预测各环节的具体任务。预测工作的一般 步骤大致可分为以下几个方面： 2 第1 章引言 ( 1 ) 确定预测的目的 确定目的是预测的首要问题。确定预测的目的就是明确预测所要解决的问题 是什么，即为什么进行预测工作。在预测中，只有确定了预测的目的，才能进一 步落实预测的对象内容，选择适当的预测方法，调查或收集必要的资料，也才能 决定预测的水平和所能达到的目标。否则预测就是盲目的，也是根本无法展开的。 确定预测目的，特别要做到具体明确。因为预测对象有各种不同的表现和多 种影响因素，出于不同的研究问题的需要，可以从各个不同方面进行预测。而预 测对象的各种表现和多种影响因素，又是处于不断变化之中，在不同的时间、地 点、条件下它们有明显的不同。所以预测的目的要做到具体明确，才不至于背离 预测的实际需要。 ( 2 ) 调查、收集、整理预测所需的资料 预测不论采用定性预测法还是定量预测法，都不是无根据的或任意的主观设 想。预测必须以充分的历史和现实资料为依据。在预测中，其预测过程是否能顺 利完成，预测结果准确度的高低，预测是否符合预测对象的客观实际表现等等， 在很大程度上取决于预测着是否占有充分的、可靠的历史和现实的有关资料及对 未来的内外部影响因素的掌握。预测所需资料的调查、收集、整理是预测的一个 非常重要的步骤。 在取得预测所需的历史和现实资料后，还必须对这些资料进行加工整理。对 资料进行加工整理，主要是对反映预测对象总体单位特征的资料，根据预测的目 的，根据预测对象自身的特点，进行分组分类，使这些资料系统化、条理化，使 之成为反映预测对象总体单位特征的资料。经过n i 整理的资料才能满足预测的 需要。一般来说，对历史资料有一个再整理的过程，主要是为了进一步满足预测 者研究问题的需要，有相当一部分现实资料也是这种情况。还有一部分现实资料 只需经过初次加工整理，直接将整理后的资料用到预测工作中去。 ( 3 ) 对资料进行周密分析，选择适当的预测方法 预测者对经过整理的预测资料，还必须进行周密分析，然后才能选择适合的 具体预测方法进行预测。对预测资料进行周密分析，主要是分析研究预测对象及 各种影响因素是否存在相关关系，其相关的紧密程度、方向、形式等如何；还要 对预测对象及各种影响因素的发展变化规律和特点进行分析。根据预测对象及各 种影响因素的具体特点，才能选择适当的预测方法。 预测的方法很多，各种方法不论是简单还是复杂，都有其特定的适用对象。 在预测中，只有根据对资料的周密分析选择适当的方法，才能正确地描述预测对 象的客观发展规律，才能发挥各种预测方法的特点和优势，对预测对象的未来表 现做出可靠的预测。 成都理i ：人学硕十学位论文 ( 4 ) 根据预测模型确定预测值，并测定预测误差 在预测中，根据预测对象及各种影响因素的规律，建立适当的预测模型。运 用所建立的预测模型，就可以计算某个预测期的预测值了。值得注意的是，在计 算预测值时，除了要依据数学模型的运算规律以外，好必须结合预测者对未来发 展情况的估计，而不能机械的运用预测模型。这是因为预测模型只是适合在特定 假设条件下进行预测的一种方法或工具，随着经济形势和其它影响因素发生较大 的变化，预测模型不一定能正确反映出预测对象的发展变化规律，因此决不能过 于信任它而忽视了对客观实际的分析。 在预测中，不论预测者选择多么合适的预测模型，预测值和实际值之间都会 出现一定的误差。这是因为预测值是一种估计值，而不是实际观察结果，出现误 差是必然的。但是，预测者可以通过各种努力使预测误差尽可能小。各种类型的 预测方法，在计算预测值的同时，还必须确定预测值和实际值之间的误差。若预 测误差大于研究问题所允许的误差范围，则预测结果不能被采纳；反之，则可采 纳预测值或者在一定区间估计预测值。 ( 5 ) 检验预测成果，修正预测值 由于预测对象和各种影响因素都会随时间、地点、条件的变化而变动，预测 值和预测所应用的方法不是一成不变的。预测者必须根据现实情况的变化，适当 地对预测值加以修正，使之更符合现实发展变化的实际。在对预测对象或各种影 响因素的连续观察和预测中，有时不但要对预测值加以适当修正，在预测对象和 各种影响因素发生较大变化时，甚至必须改换预测方法，重新建立适合的预测模 型，才能提高预测的精确度。 总之，不论是哪一种预测，都不能在建立了一个预测模型后，就不顾客观实 际的发展变化盲目地连续使用下去。必须根据预测对象和各种影响因素的变化经 常地修正预测值，在必要时则必须更换预测模型。 上述预测各实施步骤是紧密联系的，其中任何一个环节都是必不可少和必须 认真对待的。任何一个步骤出现疏忽都会影响到整个预测结果的质量。在进行预 测时，预测者必须把握各步骤的要点及其它们之间的相互关系，有步骤地具体实 施预测计划，提高预测的精确度。 1 2 组合预测的研究现状 在预测实践中，由于建模机制和出发点不同，通常同一问题可以有不同的预 测方法，不同的预测方法提供不同的有用信息，其预测精度往往也是不同的。如 果简单的将预测误差较大的一些方法舍弃掉，将会丢失一些有用的信息，那么， 4 第1 章引言 一种更为科学的做法是将一些不同的预测方法进行适当的组合，从而形成了所谓 的组合预测方法，这将有利于综合各种方法提供的有用信息，有利于提高预测的 精度。 组合预测方法，在国外称为c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gc o m b i n e df o r e c a s t i n g 和 c o m b i n a t i o no ff o r e c a s t s 等，在国内也称为综合预测、结合预测或复合预测。组 合的主要目的就是较大限度地综合利用各种方法所提供的信息，尽可能地提高预 测精度。它比单个预测模型考虑问题更系统、更全面、更科学，能有效地减少单 个模型预测过程中一些环境因素的影响。 早在1 9 5 4 年，美国人s c h m i t t 就曾经利用组合预测方法对美国3 7 个大城市 的人口进行过预测，使预测精度有所提高。1 9 6 9 年j m b a t e s 和c wj g r a n g e r 对组合预测方法进行了系统的研究，其研究成果引起了预测学者的重视。 j o u r n a lo f f o r e c a s t i n g 还出版了组合预测的专辑，充分说明了组合预测模型 在预测中的重要性。进入7 0 年代，组合预测的研究被预测上作者所重视，发表 了一系列关于组合预测的论文。进入9 0 年代，组合预测的研究更处于一个热潮 之中。近年来我国在组合预测方法研究方面也取得了一系列成果。电子科技大学 唐小我教授、重庆大学曹章修教授、安徽财贸学院马永开教授及广东商学院周传 世博士等人的研究成果尤为突出，相继在我国预测领域中的权威性学术刊物预 测、管理上程学报、电子科技大学学报、系统上程理论与实践等刊物上 发表了一系列关于组合预测的学术论文，为促进我国组合预测的理论研究与应用 做出了重要的贡献。毫无疑问，组合预测己经成为预测领域中的一个重要研究方 向，引起了众多学者浓厚的研究兴趣。尤其是近年来，组合预测方法已经成为预 测领域中一个重要的研究方向，并取得了一系列重要的研究成果。 目前，关于组合预测的研究方法有很多，大致可分为以下几种： 1 最优组合预测方法。文献提出了最优组合预测方法。这种方法的基本思想 是根据“过去一段时间内组合预测误差最小”这一原则来求取各个单项预测方法 的权系数向量的。这种方法存在的问题主要有二：一是可能会出现负权重；二是 求出的权重是否为最优。目前预测学界对于负权重是否可以接受尚有一定的争 议，一般对负权重持否定态度。因为权重表示对某种方法的偏重程度或可信程度， 用于投资则表示投资比重，所以负权重没有实际的物理意义，应避免出现负权重 问题。权重的实际变化范围应为【o ，1 】。如何避免出现负权重，文献对此做了进 一步的研究。 按照最优组合预测方法的定义：如果某一加权系数向量w 使组合预测方法 的预测误差平方和j 达到极小值j m i n ，即则称w 为最优加权系数向量，其所对 应的组合预测方法称为最优组合预测方法。但是，文献给出的最优加权系数向量 成都理i ：人学硕十学位论文 并不是最优的，其预测误差平方和也不是最小的，所以这种方法不能称为最优组 合预测方法。其最优是基于一种前提条件：假定加权系数向量为一常量。而实际 中，权系数向量应该为一变量。 2 变权重组合预测方法与不变权重组合预测方法。不变权重组合预测方法的 基本思想是：以过去一段时间内组合预测的误差最小为目标函数，求取各个单项 预测方法的权重，然后把最优的权重向量作为各单项预测模型在组合预测模型中 所占的重要程度进行组合预测。而变权重组合预测方法，顾名思义，就是随着时 自j 的变化，各个单项预测模型的权重也在改变，它是时间的函数。进行下一次组 合预测时的各个单项预测模型的权重是由近一段时间内各个单项预测模型预测 误差的大小来确定的。当然，也是以组合预测的误差最小为目标函数的。 1 3 组合预测的原理和发展方向 对某一问题的具体预测通常可采用小同的预测方法。因为每一种方法的适用 条件不尽相同，所以会产生不同的预测结果，其预测精度也往往不同，但是，这 些单一模型预测在数据处理及不同准则下均有其独到之处，能从不同的角度来推 导和演绎，其预测结果都有一定的价值。 由于被预测对象往往是一个复杂系统( 社会经济现象尤其如此) ，复杂系统内 各种因素之问及其同外部因素之间存在着十分复杂的交互作用和因果关系。此时 如果单纯利用一种特定的预测方法进行预测往往具有片面性。对于经济系统的预 测仅靠一个预测模型和一种预测方法已难完成。将不同的预测方法以某种方式进 行适当组合，综合利用各种预测方法所提供的信息，尽可能提高预测精度，于是 就形成了组合预测。 组合预测法就是先利用两种及两种以上不同的单个模型对被预测对象进行 预测，然后利用某种准则对各个单一模型进行综合，形成组合模型，再利用组合 模型来进行预测。 设 ，r = 1 ，2 ，n 为观察序列，对此序列有，个可行的预测模型，其预测值 或拟合值分别为毛，( f = 1 ，2 ，j ) ，设第，种预测方法的加权系数为w ，_ ，= 1 ，2 ，j 其中权数满足归一化约束条件： w 1 + w 2 + + = 1 在实际问题中，往往还要求非负约束条件。 显然，组合预测的关键是如何适当地确定各个单一预测模型的权重，而且采 取不同的准则就会有不同的组合预测模型，其权重的获得当然也就存在着差异。 通常都是把预测精度作为衡量某一组合预测模型优劣的指标。 6 第1 章引言 采用组合预测的关键是确定单个预测方法的加权系数。假设对于同一个问题 有仍2 ) 种预测方法。给出如下记号：只为实际观察值；五为第f 种方法的预测 值= 只一工为第f 种方法的预测误差；七f 为第i 种方法的加权系数， 月n 1 2 t = l ；z = k ，以 为组合预测方法的预测值；q = 弗一z 为组合预测方法的预测误差，于是 q = y t z = t ，其中，i = 1 ，2 ，n ；t = 1 ，2 ，n 。 记组合预测方法的预测误差平方和，= p ? ，则 ，= ik , k j ( ) | 月 i l ，= 1 j = ll f = l j 记组合预测方法的预测加权系数向量为k 。= 【毛，七：，k 。】7 ，第f 种预测方法 的预测误差向量为e = p 。p ，2 ，e 。】7 ，预测误差矩阵为e = e 。，e 2 ，e 。】， 于是 中 j = 一e = k ：e k 。 乓们= e 。局： 易1e 2 2 e n le n 2 巨。 e 2 。 ； e 。 而易= 巳= 彰q ，邑= 口e ，= a ：。e 为第f 种预测方法的预测误差平 方和。目。、反映了各种预测方法提供的预测误差信息，称为预测误差信息矩阵。 7 成都理i ：人学硕十学位论文 记且。= 【1 ，l ，1 】：x l ，则权系数的约束条件t = 1 改为且：眉。= 1 。于是组合 ，= l 预测问题可表示成非线性规划模型 m i n d = k ：e l 。、kn 她f r k - - 1 l k 。0 目前，组合预测的研究在我国得到了一定的发展，并在许多方面得到了有效 的应用。但它仍处于发展之中，理论上还不够十分完善。今后，组合预测应加强 在变权重、易实现、新的预测策略等几方面的工作。同时，可以将模糊控制理论、 专家系统及人工智能中的一些方法和理论引用到组合预测领域中，以降低算法的 复杂性，提高预测精度。 1 4 论文选题，研究内容和研究思路 组合预测法就是先利用两种及两种以上不同的单个模型对被预测对象进行 预测，然后利用某种准则对各个单一模型进行综合，形成组合模型，再利用组合 模型来进行预测。这种准则就是对各种预测方法权重的确定。显然，组合预测的 关键是如何适当地确定各个单一预测模型的权重，而且采取不同的准则就会有不 同的组合预测模型，其权重的获得当然也就存在着差异。 本文将分四章对组合预测的权重确定方法进行研究。第一章是概述，简单介 绍了预测方法，回顾组合预测方法的现状和发展方向，以及本文的研究内容和思 路。第二章是介绍了组合预测各种加权的方法以及各加权法的精度比较。第三章 描述了三种单项预测方法，即灰色预测法、时间序列和线性回归分析法并对中国 未来总人口数进行预测，比较分析各单项预测法和各种加权的组合预测结果的精 度分析。第四章着重应用诱导有序加权平均算子算法对上述实例和某市城市公共 交通客流量进行组合预测。最后是全文的总结。 本文着重对组合预测进行如下研究： 1 综述权重的选取方法精度比较 2 运用单项预测方法进行实例分析为构建组合预测模型服务 3 将用不同赋值权重的组合预测应用到实例中，比较其优越性，重点突出诱 导有序加权平均算子赋权的组合模型在不同领域的预测中都具有较高的精度。 第2 章组合预测的权重分析及其确定 第2 章组合预测的权重分析及其确定 2 1 综合模式 设 z ) ，t = 1 ，2 ，n 为某个统计量的观测序列， 毫( 肼，j = l ，2 ，t = 1 ，2 ，n ，为对应的用j 个预测模型得到的拟合序列。 对h 。七= 1 ，2 ，k 用，个不同模型获得的预测值记为氟+ 。( _ ，) ，= 1 ，2 ，j ，将 这，个模型对粕+ 。的组合预测值记为露+ 。，则通常有以下两类综合模式： 2 1 1 权重综合 一k 式中矽，j = l ，2 ，j 为第，个模型在综合预测值中所占的权重，一般情况下 为了保持综合模型的无偏性，彬应满足归一化约束条件 ， = 1 j ；l 构成形的方法有多种，常用的有算术平均法、均方倒数法、方差倒数法、 二项式系数法、简单加权法和最优加权法，有序加权法等，将在下面加以介绍。 2 1 2 区域综合 设，种预测值有置信区间( 章。( ，) 氐+ ，( ) ) ，j = l ，2 ，j ，则量。的置信区间 是这，个区艏j 的交集 9 2l = t k )u i x 髟 ，一 i l i x 成都理l ：人学硕十学何论文 j ( 主。+ ，占+ ，) = n ( 量。+ ，( _ ，) 占+ f ( ) ) = l 如果上式为空集，则依次排除该时刻最大和最小预测值的置信区间，若剩余 模型超过半数则仍由上式进行区域综合，否则需要新建模预测。若有模型无法估 计置信区间，则将其排除后也按上法处理。 2 2 最优加权法 在研究和应用中我们通常较多地采用权重综合的方法，在确定各个模型的权 重时，首先想到的是在某一意义上求得最优权重向量，因此下面先讨论最优加权 法。 最优加权法的基本原理是依据某种最优准则构造目标函数q ，在约束条件 ( 记为s j ) 下极小化q 求得综合模型的加权系数，这些权重系数就是各个模型 的最优权。 2 2 1 最优加权模型 设) ，r = 1 ，2 ，n 为观测序列，有t ，个预测模型对之进行预测，拟合值记 为传( ，) ，j = i ，2 ，j ，t = i ，2 ，n ，则最优加权模型的组合权重系数 ，j = 1 ，2 ，j ，是以下规划问题的解： ，) 式中q 为目标函数，s j 为该规划问题的约束条件。在有些实际问题中 还要求k 非负，即： j _ = 1 ，w j 0 ，_ ，= 1 ，2 ，j j = l 目标函数q 的形式由误差统计量及极小化准则的类型确定，常用的误差统计 量有以下几种： 拟合误差e t 1 0 q ， = “ m 豇 r，【 第2 章组合预测的权重分析及其确定 相对误差 对数误差 j e l = i t 一毫= 一_ 主，( _ ，) “ ( 2 1 ) jj = w j ( x ，一曼，( 埘= _ q ( _ ，) j - lj l e f i t p ：，t = 1 ，2 ，n ( 2 2 ) p 净l o g x ，一l o g i , ( 2 3 ) 目标函数极小化准则也有多种，最常用的有最d x - - 乘准则、最小一乘准则和 极小极大化准则，分别构成如下形式的目标函数： ， o ) q = ( e j l q = l e ： 妒m 。a x e ； 式中误差统计量可从( 2 1 ) 一( 2 3 ) 式中选取。以上准则有时还考虑( 对时间 t ) 加权的情形。 选取第一种目标函数，以拟合误差为统计量，采用常用的最d x - - 乘准则，则 可以获得最优权系数的解析解。 2 2 2 最小二乘准则下综合模型最优权系数 我们选取拟合误差e 为误差统计量，此时的规划模型为 m m qq = 印 ， 舭t w j = 1 j 一1 为求解w j ，= l ，2 ，j ，将上式表示为矩阵形式，令 ( 2 4 ) 成都理i ：人学硕十学伉论文 即 w = ( w l , w 2 ，w ，) 7 ，r = ( 1 ，1 ，1 ) 7 e j = ( q ( ne 2 ( n ，e n ( 朋7 p = ( e l ，e 2 ，e ) 7 ，j = 1 ，2 ，j p ，= p j p ，= e t ( f ) p ，( ，) ，e = ( p ，) ，。， ，= l j j 矩阵e 对称正定，称为信息阵，由上式得： j p ，= x i 一圣，= w i g ，( _ ，) = ( p ，( 1 ) ，e t ( 2 ) ，p ，( ，) ) 肜 j - l e 1 ( 1 ) ； “( 1 ) ( 2 4 ) 式的矩阵形式可表示为： 謦9 。篇? 引入l a g r a n g e 乘子，使q 取极小值的必要条件为 又由 得 可解得l a g r a n g e 乘子旯， 旦( 矿r e w 一2 2 ( r7 w 1 ) ：0 d w 、 e w a 足= 0 w = 2 e 一1 r i d ( 形r e w 一2 2 ( rr 矿一1 ) ) ：0 肌 r7 = 1即r7 ( 彳e 。r ) = 1 a = ( r7 e 。1 r ) 从而得最优权，w o 和最小q 值q o 1 2 矿 乃 岛0 = 矿 1j ； q 第2 章组合预测的权重分析及其确定 f = ( 尺7 e - 1 r ) - 1 e - 1 r 【q o = ( r7 e 。r ) 1 q o 即为最优综合模型的误差平方和。为保证e - 1 存在，要求j 个模型的误差 向量e ，线性无关。 2 2 3 最小二乘准则下最优综合模型的精度分析 关于最小二乘法得到的最优综合模型的精度以及最小的目标函数q o 有以下 几个主要结论： 结论1 ：最小二乘法可以求得误差平方和最小的综合预测模型，因而它是最 优的，其精度优于其中任何一个单一模型和综合模型。 记q o ，对应于最优综合模型；q ，w 对应任意综合模型；q ( 胪联，) 对应参 加综合的第j 个模型，由于目标函数q 是模型精度的保证，q o 是q 的极小值， 因此有q q 0 ，又有彬) = ( o ，0 ，1 ，0 ，o ) 7 ，由最优解的唯一性知，除非 形，) = ，否则必有q 绕，因此可以得出上面的结论。 结论2 ：记九。和a 。分别为对称正定矩阵的最小和最大特征，则最优综合 模型的误差平方和q o 满足： 九妇j s q os 九。| j 上式中j 为参加综合的模型个数，该不等式表明，j 越大，q o 的变化范围越 小，q o 绝不可能减小到五。，以下，也不可能超过力。，。 ， 结论3 ：q 0 t r e i j ，m e = ，其中砸为矩阵e 的迹由矩阵迹的定义知， jj i r e = = 乃， ，乃为e 阵的非负特征根a 可得 j 1 1- 1 j q 0s k ，( 乃) ，= 桕， j = l 结论4 ：当参加综合的模型个数由，种增加到j + 1 种时，最优综合模型的预 测误差平方和满足不等式 成都理i ：人学硕十学何论文 q 。q 上式等号成立的充分必要条件为 吖口= q ，口= ( e l ，e 2 ，e 刖+ 1 ) 2 3 模型综合的正权组合方法 最小二乘准则下得到的最优权重可能出现负值，这往往与实际要求不符。因 此常在约束条件中增加正权重约束以得到以次优的正权重组合。本节对一些常用 正权组合类型进行讨论与比较，并给出提高预测精度的方法。 2 3 1 正权组合类型 1 算术平均法 m ： ，：1 ，2 ，t ， 该法又叫做是等权平均法。算术平均法的特点是对各模型同等看待，并赋予 相同的权重，通常在对各模型重要性缺乏了解时常用。这种方法计算简单，且其 加权系数自动满足非负条件，因此在目前各个领域的研究和应用中它用的比较 多，也是目前讨论较多的组合预测方法之一。 2 方差倒数法 重。 解。 ， w ，= d ，d j l ，= 1 ，2 ， = l 式中d j 为第j 个模型的误差平方和，该法对误差平方和小的模型赋以高权 ( 2 5 ) 这种方法及下面的几种方法与算术平均法不同，它要求对各模型有一定的了 3 均方倒数法 1 4 2 u x 一 ( 。一 = q 、 第2 章组合预测的权重分析及其确定 式中d j 定义如( 2 5 ) 式。 4 简单加权法 m = j j = 2 _ ，“，( ，+ 1 ) ) ，j = 1 ，2 ， j ；l 式中，个模型按误差平方和d ，降序排列，其基本思想也是对误差平方和小 的模型赋以高权重。 5 二项式系数法 w j = 噬：2 “，- ，= 1 ，2 ，j 式中c j ：为二项式系数，该法要求模型按曼。( j ) j l j ，上式的权 - f f i l 重使组合预测向排序居中的预测值靠近。下面是一种改进的二项式系数法权重能 保证高精度模型的选取： w j = c 岔1 2 2 “”，_ ，= 1 ，2 ， 此处模型按误差平方和 d j ) 降序排列，该权重与 q ) 反序，由下式可以证明 莩j 叫小( j 1 + 1 = 善c “尸。 6 有序加权法 定义l 设厶：r ”一r 为m 元函数，三= ( ，之，毛，) 7 是与厶有关的加 权向量，满足= 1 ，o ，i = l ，2 ， ，= l m m ，若兀：( q ，啦，q ，) = 岛，其 j = l 中岛是q ，f 2 ，口3 ，a m 中按从大到小顺序排列的第i 个大的数，则称函数l 是m 维 有序加权平均算子，简记为o w a 算子。 定义1 表明o w a 算子是对m 个数q ，a 2 ，吗，按从大到小的顺序排序后进行 有序加权平均的，权系数与数q 无关，而与q ，a ：，吗，的按从大小顺序排的 ，2 = 2 巧 ，一 叼 = 成都理i ：人学硕十学位论文 第i 个位置有关。 2 3 2 正权综合模型误差平方和的上下界 由信息阵e 中元素p ，的定义知，当f _ ，时，p 。为第j 个模型的误差平方和。 正权综合模型的误差平方和q 满足下面的不等式： k 佻q o q 荟叶气嚣 2 旬 上式的左半部分在上一节的讨论中已经证明，下面我们证明右半部分。由正 权性和s h w a r z 不等式： q = w 7 e w = w , w j e ，= w t w ，e ；e ， 喜骞嵋_ 而= 睡污 2 = (