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文档简介
第五章留数,5.1孤立奇点,1.定义,2.分类,3.性质,4.零点与极点的关系,5.函数在无穷远点的状态,1.定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未必是孤立的。,2.分类,以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根据展开式的不同情况,将孤立点进行分类。考察:,特点:,没有负幂次项,特点:,只有有限多个负幂次项,特点:,有无穷多个负幂次项,定义设z0是f(z)的一个孤立奇点,在z0的去心邻域内,若f(z)的洛朗级数,没有负幂次项,称z=z0为可去奇点;,有无穷多个负幂次项,称z=z0为本性奇点。,3.性质,若z0为f(z)的可去奇点,若z0为f(z)的m(m1)阶极点,例如:,z=1为f(z)的一个三阶极点,z=i为f(z)的一阶极点。,若z0为f(z)的本性奇点,4.零点与极点的关系,定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成,例如:,定理,事实上,,必要性得证!,充分性略!,例如,定理:,证明,“”若z0为f(z)的m阶极点,例,解显然,z=i是(1+z2)的一阶零点,综合,5.函数在无穷远点的状态,定义,规定,1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则4.在无穷远点的留数,5.2留数(Residue),1.留数的定义,定义设z0为f(z)的孤立奇点,f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)1的系数c1称为f(z)在z0的留数,记作Resf(z),z0或Resf(z0)。,由留数定义,Resf(z),z0=c1(1),2.留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得:,用2i除上式两边得:,得证!,求沿闭曲线c的积分,归之为求在c中各孤立奇点的留数。,一般求Resf(z),z0是采用将f(z)在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c1的方法,但如果能先知道奇点的类型,对求留数更为有利。,以下就三类孤立奇点进行讨论:,3.留数的计算规则,规则I,规则II,事实上,由条件,当m=1时,式(5)即为式(4).,规则III,事实上,,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留数定理得:,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数,不要死套规则。,如,是f(z)的三阶极点。,-该方法较规则II更简单!,(2)由规则II的推导过程知,在使用规则II时,可将m取得比实际级数高,这可使计算更简单。,如,3.在无穷远点的留数,定义,由此得,定理如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点(包括无穷远点),那么f(z)在所有孤立奇点的留数和等于零。,5.3留数在定积分计算上的应用,在数学分析中,以及许多实际问题中,往往要求计算出一些定积分或反常积分的值,而这些积分中的被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来;例如,或者有时可以求出原函数,但计算也往往非常复杂,例如,(2)利用留数计算积分,没有一些通用的方法,我们主要通过例子进行讨论;,利用留数计算积分的特点:(1)利用留数定理,我们把计算一些积分的问题,转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数,从而大大化简了计算;,解:令,因此,显然,因此被积函数在|z|0,则有,函数在,时有一阶极点z=i外,在其他每一点都解析,取积分区域如图,而只要取r1.于是我们有,于是我们有,其中表示Cr上的圆弧部分,沿它的积分是按幅角增加的方向取的.,结论3.应用同样得方法,我们可以计算一般形如,的积分,其中R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高1次.,其中R(x,y)是有理分式,并且在圆C:|z|=1上,分母不等于零.,结论1:,其中R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高2次.,结论2:,其中R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高1次.,结论3:,练习.计算下列积分.,例4.计算积分,函数只是在z=0有一个一阶极点.,解:取,使,于是我们有,的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的.,现在求当趋近于0时,的极限.,其中h(z)是在z=0的解析函数.因此,由于,h(z)在z=0的解析,在z=0的一个邻域内,|h(z)|有上界,当时,于是当充分小时,从而,令,应用结论3的推导过程,可以得到所求积分收敛,并且,本章作业,1.(3),(5),(9);8.(3),(5),(6),(7);9.(1),(2),(5);10.(2),(3);11.(1);12.(1);13.(1),(4),(
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