（工程力学专业论文）移动荷载作用下桥梁响应的高效计算.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 迄今为止，在移动荷载过桥动力响应问题计算中广泛采用的仍然是n e w m a 血法， 由于n e w m a r k 方法必须在每一时间步内限制荷载的大小和作用位置都不能改变，因而 当作用在桥上的荷载位置移动且其大小随时间逐渐变化时，再用n e ，i i l a r k 方法计算的 话，计算的效率和精度就会受到一定的限制。而近年来出现的精细积分法虽然允许荷载 的大小在每一时间步长内发生变化，但是仍假定其作用位置是不变的，未能采取措施以 描述荷载沿着桥面的连续移动性。本文在精细积分的基础上结合有限元技术进行了进一 步的推广，首先给出了三种不同的精细积分格式，在每一时问步内不但允许移动荷载的 大小按一定的规律连续变化，而且模拟了荷载在空间域的连续移动。接着假定荷载的模 式分别为匀速常值荷载、匀速简谐荷载、变速移动简谐荷载等，对不同荷载模式引起的 桥梁的动力响应分别按不同的精细积分模式进行计算，并将结果与通过n e w m a r k 方法 所求得的结果以及解析解进行比较。最终结果袭明，用本文提出的方法可以用较粗的结 构单元和较大的时间步长而获得很高的计算精度，而且其计算效率也比n e w m a r k 法高 得多。 在移动简谐荷载精细积分方法的基础上，本硕士论文又研究了移动随机荷载作用下 桥梁的动力晌应。采用有限元建立桥梁模型，基于虚拟激励法和精细积分法并运用上述 的计算方法来研究移动荷载作用下桥梁的随机振动问题。假设荷载为具有常均值的平稳 随机过程，将移动荷载对桥梁的激励看成是一类均匀调制演变随机激励，推导出桥梁响 应的非平稳功率谱，方差( 标准差) 。然后采用扩展的精细积分法计算桥梁的瞬态虚拟响 应。在数值算例中，通过与其它方法进行比较展示了所提方法的商精度和高效率。结果 还表明，在处理桥梁由移动随机荷载引起的动力响应方面，虚拟激励法具有极大的优势。 关键词：桥梁，移动荷载，精细积分，有限元，随机振动，虚拟激励 一鳖垫耍錾堡星工竖墨堕查塑壹窒鳢 h i g he m c i e n c ym e t h o df o rb r i d g e ss u b j e c t e dt om o v i n gl o a d s a b s t r a c t n e w m a r ki n t e g r a t i o nm e 山o dh a sk t h e r t ob e e n 访c o r 砌o nu s et os o l v ep r o b l e m so n d y n a m i ca n a l y s i so fb r i d g e ss u b j e c t e dt om o v i n gi o a d s h o w e v e r ，i ta s s u m e sm a tt h e m a 弘i t u d ea n dp o s i t i o no f 也el o a da r eb o t hi n v a r i a n td u r 主n ge a c ht i m es t e pa n ds oj u m p s u d d e n l ya tt h ei n t e r f 如e sb e t w e e nt i m es t 印s t h u sm ec o n t i n u o u s l yv a r y i n gm a g l l i t u d e sa n d p o s i t i o n so ft h el o a d sa r er e p l a c e d b yas 耐e so fc o n s t a n t1 0 a di n l p u l s e sa c t i n ga tas u c c e s s i o n o ff i x c dp o i t s t 1 1 i sa p p r o x i m a t i o nr e s u l t si ns i g n i f i c a l l te h d r se v e nf o rv e 叮s m a l lt i m es t e p s i z e s ，p a r t i c u l a r l yf o rr 印i d l yv a r y i n g1 0 a d s i nt l l e p r e s e n tp a p e rt h ep r e c i s ei m e 擎a t i o n m 砒o d ( p i m ) c o m b 证e dw i t ht h ef i n i t ee l e m tt e c h 出q u ei se x t e n d 酣t o 出l o wt h bm a 船i t u d e a n dp o s i t i o no fm em o v i n g1 0 a d st o v a r yw i “ne a c h 缸n es t e p ，b yd e v e l o p i n ga i l d i n v e s t 培a t i i l gt l l r e ed i f f e r e n tp r c c i s ei n t e 掣丑t i o nf 0 n a t s t h u s 也ec o n t i n u o u sm o v e m e n to f m e l o a d si sw e l ls i m u l a t e da 工1 dm e r ea r on oj 啪p sa tt l l ei n t e r f 如e sb e t w e e nt i m es t e p s c o m p 撕n g l ee 盟c i e n c y a i l d p r e c i s i o nw i t h 恤o s eo b t a i n e db yu s i n g 也en e w m a r k i n t e 蓼a t i o nm e t 1 0 d ，t h er e s u h ss h o wm a t 钾e nw h e nat i m es t e pc o n t a i l l ss e v e r a lp 嘶o d so f t h ee x c i t a t i o n ，廿l ep r o p o s e de x t e n d e dp 【ms t i i l 百v e sv e r ya c c l l r a t er e s u l t s o nt h eb a s 趣o fm ea b o v em e t h o 幽，p s e u d oc x c i t a t i o nm e t h o d ( p e m ) i su 3 e dt os o h e 出e p m b l e m so nt h er e s p o 工1 s ea i l a l ”i so f b r i d g e ss u b j e c t e dt 0m o v i n gr a n d o m1 0 a d s a s s u m et h e m e a l lv a l u eo ft h ei o a d sb ec o n s t a n f ，s ot h ee x c i t a t i o nc a 芏lb er e g a r d e da sa1 1 1 1 i f b n t l l y m o d u l a t e de v 0 1 u t i o n a r yr a n d o mp r o c e s s t h e nm ep s e u d dh 蛐o i l i cl o a d s 甜a i n e d 舶mp e m c a l lb eu s e dt od e d u c tt h ep o w e r 印e c 仃a ld e n s i 移如n c t i o 工l sa 1 1 dv a r i a c e s ( s t a n d a r dd e v i a l i o n s ) o f 记t e f e s t e db d d g er e s p o n g e s i ti gs h o w n o mn 啪e r ! i e a lc o m p a r i s o nt h a tp e mi sm u c h m o r ee 艏c i e n t 血a 1 1t l l ec o n v c n t i o n a lm e t h o d sf o rr e s o l v i n gr a n d o mr e 8 p o n s eo f b d g e s k e yw o r d s ：b r i d g e ；m o v i n gl o a d ； p r e c i s ei t e g r 矗t i o nm e t h o d ；f i i t ee l e m e n t r a n d o mv i b r a t i o n ：p s e u d oe x c i t a t i o m e t h o d 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：塍娩日期：2 翌：厶2 呈 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名 2 竺年互月型日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 在车桥动力相互作用的研究方面，随着车速的不断提高，对舒适性和稳定性的要求 越来越严，所建立的车桥分析模型也日趋复杂，而在动力方程的求解上，如果仍拘泥于 传统的算法，恐怕难于取得重要进展。近年来出现的精细积分【l 】和虚拟激励法作为动 力方程求解的高效精确方法，正在许多工程领域得到日益广泛的应用。但在车桥动力相 互作用系统的动力方程求解中，其应用还基本上是空白。本文正是立足于此，力求探索 出新的途径，使得此两种高效的算法在新的领域中展现光彩。 1 ，2 研究背景及意义 车辆与结构动力相互作用的研究已经有一百多年的历史。翠在1 9 世纪早期铁路桥 梁建设之初，人们就开始研究移动荷载对结构的动力影响。各国学者主要采用了两类不 同的方法研究列车引起的桥梁振动问题：一类以试验为主要手段，另一类则比较重视理 论分析。由于车辆荷载作用下的桥梁振动是一个复杂的课题，要想通过理论分析得到符 合实际的结果，必须考虑很多因素，包括车体和转向架的质量，阻尼器和弹簧的作用， 行车速度，梁跨和墩台的质量、刚度和阻尼，桥梁轨道结构的形式，轨道的动力特性， 车轮和轨道、轨道和梁之间的动力相互作用关系等，此外还有车轮的不平顺、轨道的几 何和动力不平顺以及轮对的蛇行运动等很多随机因素的影响，使得整个体系的力学模型 非常复杂。因而，在2 0 世纪6 0 年代之前的理论研究中，主要是采用各种不同的近似方 法来建立简单有效的桥梁和车轮系统分析模型。其所用的计算分析方法则主要为直接求 解偏微分方程，采用比较传统级数分析法以及积分方程法等。 从2 0 世纪7 0 年代开始，车桥动力相互作用分析的研究突破了传统框架，进入了系 统动力学研究阶段，特别是当时新兴的有限元技术的应用，对问题的研究起到了非常重 要的作用。近几十年来，随着电子计算机的广泛应用、计算技术的迅速发展以及高速铁 路建设的迫切需要，在理论研究中已尽可能考虑各种因素，各国学者先后提出了日趋完 善的车桥动力分析模型，并以不同的方法导出了考虑各种因素相互关系的动力方程式， 然后按照实际的车辆和桥梁参数，在计算机上根据不同的情况和要求进行分析计算，得 出了许多有益的研究成果。这其中具有代表性的为：1 9 8 5 1 9 9 1 年，m o l s s o n 【3 4 】采用有 限元模态技术球解车桥动力响应；1 9 9 扣1 9 9 5 年，g r e e n 和c 曲o n 【5 1 6 1 提出了在频域内求 解分离的车桥系统方程的新方法，他们利用模态脉冲响应函数与模压激扰力，采用模态 叠加法并结合f f t 和f t 技术来求解桥梁的动力响应；1 9 9 5 1 9 9 7 年，y b y a i l 一。1 0 1 移动荷载作用下桥梁响应的高效计算 采用动态凝聚法求解车桥系统的动力响应问题，由于将所有与车体有关的自由度在单元 级进行了凝聚，使得计算效率大为提高。 在上述车辆过桥动力问题分析计算中，各国学者所所采用的方法一般为直接积分法 ”。2 0 】，最典型的是n 明恤a r k 法。具体进行计算时，在每一个积分步内荷载的大小和作 用位置都是固定不变的。而在一个时间步结束时，荷载会突然改交大小，并“跳”到另一 个位置，再持续一个时间步长。换句话说，就是以系列作用在桥梁上不同位置的荷载 脉冲来代替移动荷载。由于不能考虑荷载在时间域的连续变化以及在空阃域的连续移 动，当时间步长不够微小时，这种荷载变化模式会造成较大的计算误差。虽然随着积分 步长的减小，算出的动力响应可以逐濒逼近糖确解，却以严重降低计算效率为代价。尤 其是对于荷载中的高频分量，往往难于算准。所以移动荷载问题实际上并未彻底解决。 由钟万勰首创的精细积分法【l ，2 i 】多年来受到了很大的关注。林家浩等将其推广到了简谐 外载等多种情况 2 ，2 玷3 1 。对于多数常见的荷载，即使采用相当大的时间步长，仍然得到 高度精确的数值解，而且时间步长不受结构自振特性的限制。但是迄今为止都是处理在 固定点旌加动荷载的问题。l a w s s 【刎曾经使用精细积分法计算多跨非均匀截面粱受移 动荷载作用的动力响应问题，但仍然假设在每个时间步内荷载位置和大小固定不变。虽 然由于精细积分法所固有的优点雨使计算效率有所提高，但最多百分之几十，并未充分发 挥出精细积分法的潜力。 桥粱在移动荷载作用下的动力响应问题一直是学者们研究的重点。一般来说交通荷 载具有随机性，因此研究桥梁的随机振动更为符合实际情况。l f 啪8 f 2 5 】研究了荷载速 度、结构阻尼对e u l e r 梁动力响应的影响，并且指出即使荷载是平稳随机过程，粱的振 动也会是一个非平稳随机过程。1 w a n 酗e w i c z ，r ；p s n i a d y 【”】通过引入两个跟桥梁响应相 关的影响函数，给出了车辆荷载通过桥梁时，桥梁挠度均值和标准差的表达式。烈c c i a 戒 g 2 7 】将荷载到达桥梁的时间看成一个p o i s s o n 过程，计算了随机荷载作用下桥梁的响应， 并且将结果与蒙特卡罗法进行了比较。w a n gr t ，乙i nt y 【2 8 l 使用模态分析法对多跨 t i m o s h e n k o 粱的随机振动进行研究，并且讨论了荷载速度，随机性质以及桥梁跨数对梁 挠度和弯曲的影响。p s n i a d y 【2 9 j 将荷载的幅值到达桥梁的时间，以及速度均看成随机 过程，通过i t o 积分规则给出了桥梁响应统计特征值的解析表达式。z i b d e h 陟”】对移动 荷载作用下梁的随机振动问题进行了一系列的研究，考虑了梁的轴力，转动，边界条件 以及荷载到达桥梁的时间，变速运动等多种情况下桥响应的特性。a b u h i l a l 【”1 m 对4 种边界条件下e u l e r 梁的动力响应问题进行了讨论。在上面这些文献中，学者们限制于 随机问题的复杂性和计算方法的效率，都是以简单的桥梁模型为研究对象，采用求解偏 微分方程解析解的方法计算响应的统计特征量，并且忽略掉了模态之间的相关性。研究 大连理工大学硕士学位论文 移动荷载作用下桥梁的随机振动问题有两个难点需要解决：( 1 ) 如何处理随机荷载；( 2 ) 如何提高计算效率和计算精度。虚拟激励法是由桥梁抗震分析中发展起来一种随机振动 算法。它将平稳随机分析转化为简谐响应分析，将非平稳随机分析转化为瞬态响应分析， 具有精确高效的特点。 1 3 本文的主要工作 将精细积分法作了推广，不但荷载的大小随时间而连续变化，而且通过相邻节点荷载 的协同变化而模拟了荷载作用点连续移动的问题。借助于有限元的形函数建立了将移动 集中力向梁单元节点分解的“协调分解”方式，及较为简化的“简单分解”和“混合分解”方 式。根据荷载为常值荷载、简谐荷载以及变速荷载等不同形式，推导了相应的精细积分 格式。然后按其作用于单跨和多跨简支梁进行动力响应的求解计算，数值计算结果表明： 当采用协调分解方式时，即使采用相当粗的有限元网格，所得到的数值解与相应的解析 解也非常一致；即使采用最简化的“简单分解”方式，在达到相同计算精度的前提下，其 效率也比n e w m a r k 法高得多。 使用有限元法建立桥梁模型。假设荷载为具有常均值的平稳随机过程。首先将移动 荷载对桥梁的激励看成是一类均匀调制演变随机激励，推导出桥梁响应的非平稳功率 谱，标准差。然后采用扩展的精细积分法计算移动简谐荷载作用下桥梁的瞬态虚拟响应。 由于虚拟激励法和精细积分法都是糟确高效的算法，因此本文所提出的算法也是精确高 效的。在数值算例中，计算了随机荷载作用下桥梁的动力响应，讨论了荷载速度、结构 阻尼以及荷载之间的相关性对响应统计特征量的影响。 移动荷载作用下桥梁响应的高效计算 2 动力方程求的精细积分与虚拟激励法 2 1 引言 作为近几年出现的动力方程求解的新方法，精细积分法在合理的积分步长范围内是 不会发生稳定或刚性问题的。因此既可以应用于动力方程的求解，也可以用于常微分方 程组的求解。无论从精度还是效率方面来说，精细积分较传统的算法都要高出许多。而 虚拟激励法的最大特点是将平稳随机振动分析转化为简谐振动分析，将非平稳随机振动 分析转化为确定性时间历程分析，从而使计算步骤大大简化，却仍保持了理论上的精确 性。对于复杂问题，计算效率提高达2 4 个数量级，打破了多年来束缚随机振动理论工 程应用计算效率极其低下的瓶颈。迄今已经在许多工程领域使长期以来未能解决的一系 列难题取得了突破性进展。 2 2 动力方程求解的精细积分法 2 2 1 擂数矩阵的精细计算 结构动力分析总要求解动力学方程，最常见的是 m m + c 】协十吲 “ = ( 厂( f ) ) ( 2 1 ) 其是扣 、 i ) 、 f f ) 分别为位移、速度、及加速度向量，n 维待求：【m 】、【c 】及【足】是 n n 阶质量阵、阻尼阵或陀螺阵及剐度阵； 厂( f ) 是给定外力向量。其初值条件为已知 “( o ) ) = “。 ， 矗( o ) = 西。 ( 2 2 ) 精细积分法【1 1 宜于处理一阶常微分方程组 _ 【日】 v + ) ( 2 3 ) 其中 v ) 是待求2 n 维向量， 日】是给定常矩阵，而 r ( f ) ) 是非齐次的外力向量，已知。 且有初值条件 v ( o ) ) = ( 2 4 ) 从常微分方程组的求解理论知，应当先求解齐次方程 t = 吲 ( 2 5 ) 由于阻 是定常矩阵，其通解可以写成为 v = m ( f ) 。 v 0 。 。( f ) = e x p ( 嘲f )( 2 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 其中 o ( f ) 即为指数矩阵。 中( o ) = 。，单位阵。级数表达为 e x p ( = p 】+ 【砷+ 掣掣p 、 这与普通的指数函数一样。由于一般条件下，矩阵乘法的次序是不可交换的，即 爿】 口】p 】 爿】，因此e x p ( 一】) e x p ( 口】) e x p ( 曰】) - e x p ( 【4 】) 。 仅当 e x p ( 爿】) e x p ( 【b ) e 坤( p 1 ) - e x p ( f 4 】) 时 唧( m + ) = e x p ( ) e x p ( m ) ( 2 8 ) 当系统为时不变时 。( r ) = ( ) 。( r ) ( 2 ，9 ) 选择一个时间步长r ，一系列等步长r 的时刻为 气= 0 ，= r ，= 七f ，( 2 1 0 ) 于是有 v ( r ) = = 时，2 e x p ( 【日】r )( 2 1 1 ) 以及递推的逐步积分公式 v l = 【r 】 ) ， y 2 ) = 【r 】 v l ， h + ，) = 【r 】 咋) 。( 2 1 2 ) 公式非常简单a 问题归结到了( 2 9 ) 式 丁】阵的计算。应当非常精细地对该阵作出数值 计算，然后就只是系列的矩阵向量乘法了。应当指出，以上的公式推演全都是精确的， 不带有任何近似。 指数矩阵用途很广，是最经常计算的矩阵函数之一。已经提出很多算法，但大多数 的数值结果不可靠。文献 3 6 给出了1 9 种不同算法，但在其随后的著作中仍指出问题尚 未解决【1 】。 r 在研究偏微分方程与计算结构力学对最优控制理论的模拟关系时，文献【3 7 给出了 指数矩阵的精细计算法。其要点是利用了指数函数的加法定理( 2 6 ) 式，改写为 唧( 啡) = e x p ( 日m ) ” ( 2 - 1 3 ) 可以选用 埘；2 ”，例如；2 0 ，则m ：1 0 4 8 5 7 6( 2 1 4 ) 移动荷载作用下桥粱响应的高效计算 由于f 本来是不大的时i 司区段，则出= f 州将是非常小的一个时间区段。因此对于出区 段，有 e x p ( 【卅岔) = 【卅+ 阢 蚺( 吲f ) 2 【小( 吲r ) 3 + ( r ) 2 1 z 2 ( 2 1 5 ) 这是泰勒幂级数展开式取前5 项( 当然其它的展开式也是可用的) 。由于f 很小，幂级 数五项展开应已足够e 可以看到眨1 阵是k 】基级的小矩阵。 在数值计算中至关重要的一点是，指数矩阵的存储只能是式( 2 1 3 ) 的k 】，而不 是( 【，】+ 【t 】) a 其原因是【巧】很小，当它与单位阵 ，】相加时就成为其尾数，在计算机的 舍入操作中其精度将丧失殆尽。 为计算f ， 阵，应将式( 2 1 3 ) 分解为 r 】= ( ，】+ 】) ”= ( 【】+ 正】) “( ，】+ 【乙】) 扩“ ( 2 1 6 ) 这种分解一直做下去，共次。其次应注意，对任意 瓦】、阢】有 ( 【，】+ 【瓦】) ( 【f 】+ 【i 】) = j 】+ 【蠢】+ 【i 】+ 【瓦】【t ( 2 1 7 将其中阢 、 i 】都看成为【瓦】，因此( 2 1 6 ) 式相当于语句 f o r ( i t e r = ：o ；i t e r n ；i t e r + + ) 乃】= 2 【卜【z 】x 】 ( 2 1 8 ) 当循环结束后，【】已不再是r 量级的小矩阵了，不再受损于与单位阵相加，故可执行 【丁】= 【叫+ 【瓦】 ( 2 1 9 ) 式( 2 1 5 ) 、 ( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 便是指数矩阵 r 的精细算法。这是一种2 “类的算法。 2 2 2 不同外载的精细积分格式 精细积分法用途甚广。动力方程当然是最关心之一。首先是要将( 2 1 ) 式化成一阶的 常微分方程组( 2 3 ) 。这可有两种方案。第一种是采用哈密顿体系常用的方法，选用 ：”p r ，：m 协+ 掣 ( 2 2 0 ) = 匕孙一掣 g 卜掣 d 】_ 【町1 【b 】：掣一【苴】， ， 7 ： o r ，厂r ( 2 2 1 ) 大连理工大学硕士学位论文 这种方式的构造对于 c 阵为反对称的陀螺系统时，即保守体系时较为有利。此时 刎为 哈密顿阵，e x p ( 】r ) 为辛矩阵。然而在应用中人们往往喜欢采用以下的方法，选用 ”= “r ，n 7 ) ”= 0 r 厂7 肘。 h = ( 三刍) ，【露 = 一【m - l 【芷】，【g = 一【m 】一1 【c 】 ( 2 z z ) 这两种方法其效果是差不多的。 化成了一阶微分方程组( 2 3 ) 以后，就可以做逐步积分了。首先是选择一个时间步长 f ，随即计算 r = e x p ( 日 r ) = p ( r ) 】已如上节所述a 如果无外载， ， = o ，则精细积 分也就成为系列矩阵向量乘法，这个计算是精确的。然而在存在外载时，就需要外载 的表达式，这变不总是可以精确地表达的。在力学分析中，对于结构本身的描述研究褥 较多，不过总得给出荷载项，方能作出非齐次方程的积分。 方程( 2 3 ) 的通解为齐次解 v ) 与特解 v ， 之和，即 v ( f ) 2 v ( f ) + ( r ) ( 2 2 3 ) 在某一积分步fs 【气，f 。】中，其齐次解为 v o ) ) = ) 】 c ( 2 2 4 ) 其中 r ( f ) 】= e 】( p ( 日】f ) ，f = f ( 2 2 5 ) c ) 是由初始状态r = 气所决定的积分常向量。假定特解 v ，! 的表达式已经求出，一注意 f ( o ) 】= ，】，则由式( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 可以定出 c = v ( ) ) 一 ( ) ，从而得到 = ) 】( v ( t ) j n ) ) + v ，( f ) j f 2 2 6 1 令扛f 。就得到积分步长终点处的状态 v ( “) = ，( r ) 】( v ( ) 一 ( ) ) + y p ( 气“) ( 2 2 7 ) 如果在时间步瓴，k + 。) 内外载认为是线性变化，即 r ( f ) = ) + 0 一“) ，式中 ， ) 是在该步内给定的向量。则相应的特解为 移动荷载作用下桥梁响应的商效计算 v ，( r ) = r ( r ) v ( ) + r ( ) + 【】_ l ) ) 一 日r + r 1 ) + 1 r ( 2 2 8 ) 这就是有线性的非齐次项时的逐步积分公式，被称为h p d l 格式。 上文给出在每个时间步内载荷为线性的积分公式，但些载荷时变规律往往是指数 函数型或三角函数型的，或者还有幂函数与三角函数的乘积等。因此如果对于这些类型 的载荷时间变化规律也作出其步长积分，计算中便可有针对性地提高精度与效率。在按 虚拟激励法进行非平稳随机振动分析时常用到的一些格式有： ( 1 ) 简谐式外载 ，( f ) = s i n ( 研) + 气) c o s ( 耐) ( 2 2 9 ) 其中，为给定的时不变向量，而为激励频率参数。将( 2 2 9 ) 代入( 2 3 ) 式右端， 可求出特解 叶( f ) = h s i n ( 出f ) + 6 ) c o s ( 耐) ( 2 3 0 ) 其中 = ( ，1 + 【刎2 ) 。( 出一p 1 ) 6 = ( 2 ，】+ 日】2 ) - 1 ( 一一【日) ) 于是得精细积分法的h p d s ( s i n u s o i d 址) 格式 1 4 咋+ 。 = p ( r ) “咋 - hs i n 毗一 6 c o s 叱) + 埘s i n 砒+ 。+ 6 c o s 毗。( 2 3 2 ) 其中r = 气。一，以上的推导是精确的a 只要在时间步长f 内载荷是简谐变化的，则式 ( 2 3 2 ) 总给出精确的结果；即使对于较高的频率，个积分步f 包含了多个荷载变 化的周期，仍得到精确解。这里要指出一点，对于无阻尼系统，当国恰为特征频率时式 ( 2 3 1 ) 中矩阵不能求逆；然而实际结构都有阻尼，在随机响应分析中完全不考虑阻尼 是意义不大的。 ( 2 ) 多项式调制的简谐外载 r ( f ) ) = ( r o ) + f + ，z 扩) ( 口s i n 耐+ c o s 谢) ( 2 3 3 ) 其特解可求得为 0 ) ) = ( ) + q f + a ：) f 2 ) s i n 鲥+ ( + 岛) f + 6 2 f 2 ) c o s 鲥 ( 2 3 4 其中 大连理工大学硕士学位论文 q ) = ( 日】2 + 国2 卸1 ( 一 日】 己) + 圪 ) 岛 = ( 【日r + 2 【咖。( 一 h 】 兄 一 圪 ) 而 e 。 = 口 吒) 只。) = 卢 _ 最。) = 口 卜2 a ： 日。 = 1 一2 6 2 ( f = 2 ，l ，o ) ( 2 3 6 ) 岛。 = 口 吃 一( 口i 异。 = 一 6 1 ( 3 ) 指数函数调制的简谐外载 ，( f ) = 【p ( a f ) ( r 。) s i n f + ，： c o s 国) 其特解为 ( f ) ) = e x p ( 搿r ) ( 牙 s i n 耐+ 6 c 。s 耐) 其中 纠= ( ( 口【，】_ ( h 2 ) + 2 “( ( 口 小【日脚 + 国) 6 = ( ( 口【十吲2 ) + 国2 。( ( 口 十吲) 一) 以上口、 ) 、 ) 、 吩 、 a 、 6 ) 等等均为实常量。 2 3 结构随机响应的虚拟激励法 ( 2 | 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 2 3 1 平稳陋机激励 线性时不变系统在平稳随机激励 石( f ) ) 的作用下，设其功率谱矩阵为【屯( 。) 】，为计 算任意响应 y ( f ) 的功率谱矩阵 ( 曲 及它与激励间的互功率谱矩阵 ( ) 和 ( 由) ，传统计算公式为 ( 叻 = 日 咒( 】 日r ( 妫 = 【日】【( ) 】 ( 2 4 0 ) 岛( ) = 【叉( 脚) 肛】7 日 为频率响应矩阵，上标+ 表示求复共轭，上标t 表示求转置。以上公式形式简洁， 被认为是线性随机振动分析的核心作用理论成果，成为平稳随机理论工程应用的基础。 但如果工程结构具有很高的自由度时，即使采用振型迭加法降价处理，计算量也十分庞 移动荷载作用下桥粱响应的高效计算 大。虚拟激励法将上述基本算法做了迸一步推进，使随机振动问题的计算效率得到了极 大的提高，为工程界应用这些理论成果提供了极其有效的手段。 ( a ) 单点激励或单源多点同相位激励 ) 眄而卜= p f 如 ( 6 ) 哥= e x p o a e ) 日( ) 卜一y = 日e x p ( i 口q ) ( c ) i = e x p a 删) 一爿( 回卜，= e x p o 础) * = 压哪贮妻：溉鬣： 图2 1 虚拟激励法的基本原理图 f i g ，2 1 b a s i cp f i n c i p l eo f t l ep s “d oe x c i t a t i o nm e m o d 虚拟激励法的基本原理可用图2 1 所示的单源激励问题予以阐述。在图2 1 ( a ) 中， ( 国) 为一个零均值平稳随机激励x ( f ) 的自功率谱密度，日( 功为结构频率响应函数， 则任意输出响应量y ( f ) 也为平稳随机过程，其功率谱密度如图2 1 ( a ) 右端所示。 当线怀系统作用单位简谐激励e x p ( f 删) 时，相应的响应为e x p ( f 鲥) ，如图2 1 ( b ) 所 示。显然，当作用为简谐激励j = ( 融) c x p ( f 耐) 时，其相应的响应必为 多= s 。( 国) 日e x p ( f 耐) 如图2 1 ( c ) 所示。将带“”的量称为虚拟量。 考虑简谐激励j = ( 国) e x p ( f 研) 作用于线性系统，容易证明响应量歹和自谱密度函 数有如下关系式 歹歹= f 梦1 2 = 1 日1 2 号。( 叻= s 。( 国) ( 2 4 1 ) 同样，也容易证明互谱密度函数、s 。同激励工和响应y 之间有如下等式成立 王歹= ( 叻e x p ( f 耐) ( ) e x p ( f 鲥) = & ( 国) 仃= 岛( ) ( 2 4 2 ) 歹j = ( 功日e x p ( f 研) ，( m ) e x p ( f 甜) = 日( 却= s ，( 叻 ( 4 4 3 ) 在上述虚拟简谐激励王= s 。e x p ( f 趔) 作用下，考虑两个响应量只和咒，其相应 的频率响应函数分别为e 和见，如图2 1 ( d ) 所示，则有 甄。多2 = s 。( ) 日，e x p ( i f ) - ( ) 打2 “p ( f 饼) = 日l s 。( ) 日2 = s m ( 叻 ( 2 4 4 ) 萝：只= ( ) 2 e x p ( f 耐) ( 国) qc x p ( f 删= 皿( 脚) q = 矗圯( ) ( 2 4 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 由式( 24 2 ) 至式( 2 4 5 ) 可以看出，通过引入虚拟激励j = 瓜西e x p ( f 叫) 可以很方便地通 过简谐振动分析计算计算结构随机响应的功率谱。 对于线性时不变系统受单源多点同相位平稳随机激励问题，则可将随机激励代之以 虚拟简谐激励哥= 6 ) ( 叻e x p ( f 研) ，其中实值向量 6 为幅值向量，6 1 2 ( 脚) 为第f 个 激励的自谱密度。设 刃和 二 为由该虚拟激励激发的两种稳态简谐响应，则下列谱密度 矩阵公式成立 ( 国) = 7 陬( 棚) = ( 2 4 6 ) h ( 脚) = 阿 歹 7 若将激励忙 看作一类特殊的响应，则式( 2 4 6 ) 便具有式( 2 4 0 ) 的功能。 ( b ) 单源多点异相位激励 用虚拟激励法很容易处理线性对不变系统受单源多点异相位平稳随机激励问题，只 需要很少的计算量就可以得到理论上的精确解。假设线性系统受单源多点异相位平稳随 机激励为 x ( f ) ) = 争 a l x ( f r f ) 往：石0 一f 2 ) 口。z 0 一t ) ( 2 4 7 ) 各输入具有相同的函数形式石( f ) ，只是存在不同的初相位。设z 0 ) 的谱密度为& ( 珊) 。 口f ( = 1 ，2 ，h ) 是实数：j ( ，= l ，2 ，n ) 为滞后时间。这种多相位随机激励问题可看作 广义单激励问题。在求解时可构造虚拟激励 f z p ) = qe x p ( 一f 鲥t ) e x p ( 一f 耐2 ) 吒e x p ( 一f 删。) i 丽e x p 纰矿) ( 2 4 8 ) 只要求出该确定性激励作用下系统的稳态简谐响应 y ) 、 。 等，就仍可按式( 2 j 6 ) 计算 有关的功率谱密度矩阵。如将 z 看作一类特殊的响应 z ) ，同样可以按式( 2 4 6 ) 计算与 响应间的互谱密度矩阵。 ，j、，l 移动荷载作用下桥粱响应的高效计算 2 3 2 虚拟激励法的特点 以结构受单源同相位平稳随机地震激励为例，此时结构的运动方程为 【m 】十【c 桫 + k 】 y - 一阻】 e ( 2 4 9 ) 其中， e ) 为惯性指示向量；五为地面加速度，其功率谱密度屯( ) 已知。 对于上述问题，传统的c q c ( c o m p l e t eq u a d r a t i cc o m b i n a t i o n ) 算法为 ( ) = 玄o h ? ( ) 日，( ) 够) ： 9 r ( ) ( 2 ) 其中，【p ) j 、o 、日分别为第j 阶阵型向量及相应的振型参与系数和频响函数。这是平 稳随机响应理论上的精确解。但由于式( 2 5 0 ) 的计算量很大，当结构的参振频率分布稀 疏且各阶阻尼比很小时，许多文献都掩荐将式中的交叉项忽略，得到 ( 脚) = 杰哼 妒) ： 妒) ；f 吗( 曲1 2 ( 翻) ( 2 | 5 1 ) 这一算法称为s r s s ( s q u 对er o o to f 吐啦s u m 。fs q u a r e s ) 。 如采用虚拟激励法( p s e u d oe x c i t a t i o nm e t l l o d ，简称p e m ) ，则按下式计算 勘( 叻 = ) | ) = 妻q ( 脚峨厕 2 5 2 其中，响应 y ) 为虚拟激励 ) ，( r ) ) = 一【吖】 e ) ( ) e x p ( f 积) 作用下计算得到的简谐响 应。实际上，如果将式( 2 5 2 ) 展开就可得到式( 2 5 0 ) 。两式计算步骤不同，但在数学上 是等价的。故用虚拟激励法求出的响应功率谱矩阵也是理论上的精确解。 如果令 z ) ，= ，：哆( 国) 妒 ，( 国) ( 2 5 3 ) 则c q c 、s r s s 和p e m 三种算法可表示为 c q c 算法 勘( 研 = 妻老 z ： z ； ( 2 5 4 ) c q c 算法 勘( ) = 艺 z ： z ； ( 2 5 5 ) p e m 算法 c ， = ( 善 z ， | ( 嘉 z ，了 c 2 一s 6 ， 大连理工大学硕士学位论文 从式( 2 5 4 ) 、( 2 5 5 ) 和( 2 5 6 ) 可阻看出，三种算法在计算响应功率谱矩阵时，分别 要计算9 2 次、q 次1 次以维向量相乘。对于大跨度桥梁，由于空间振型的耦合作用， 参振型数g 需要取1 0 2 量级，可见三种算法计算量上的差别是巨大的。p e m 算法和传 统c o c 算法都为理论上的精确解，计算效率却相差2 4 个数量级。s r s s 算法的假定 条件在三维分析时很难满足，计算结果并不准确，其计算量却比p e m 算法大得多。以 上是以平稳随机激励问题为例来说明，对于非平稳随机激励问题也有类似的现象。 2 ，4 小结 精细积分和虚拟激励法是近些年在理论及实际工程中得到广泛应用的动力方程求解 的新方法，其较传统计算方法在精度和效率方面的越性已经得到了广泛的验证。本章给 出了这两种方法的基本原理及应用，是后续章节分析计算的理论基础，也是本论文在新 的应用领域着力推荐应用的动力方程求解新方法。 移动荷载作用下桥梁响应的高效计算 3 车桥系统动力相互作用分析 3 1 引言 车辆与结构的动力相互作用是一个复杂的课题，而且许多影响因素具有随机的性质。 目前的处理方法多是建立车辆一结构力学模型，推导运动方程式，编制计算机程序，然 后按各种参数进行计算，从而得到车辆与结构的动力响应。本章主要是介绍车桥系统动 力相互作用分析的基本方法冈，讨论了不计质量的移动荷载( 移动力) 通过简支粱时系 统分析模型、动力平衡方程及其解的表达式并相应地分析了移动荷载过桥时在不计阻尼 的情况下的解析解，并用于对所提出的算法进行精度评价。 3 2 简支梁在移动力作用下的振动 对于简支粱，如果移动荷载的质曩与梁的质量相比小得多，就可以不考虑荷载的质 量惯性力而简化成为图3 1 所示的分析模型，相当于只考虑移动荷载的重力作用，用一 个移动的力p ( f ) 来表示。 图3 1 移动力p ( f ) 作用下的简支粱模型 f i g 3 1s 脚l eb e 哪s u b j e c t e dt om 。v i n gl o a dp ( f ) 假设简支梁为等截面( 尉为常数) ，质量均匀分布( 单位长度梁的质量m 为常数) ， 阻尼为粘滞阻尼( 即阻尼力与结构的振动速度戍正比) ，阻尼效应和质量及剐度性质成 一1 4 大连理工大学硬士学位论文 正比，荷载p ( f ) 以匀速矿在梁上通过，梁的运动满足小变形理论并在弹性范围内，按照 图3 ，1 所示的坐标系，梁的强迫振动微分方程可用下式表示： 肼颦掣+ 州空字+ c 掣叫；一啪( f ) ( 3 1 ) 缸4 a r 2规 、7 对简支梁，其边界边界为：y ( o ，f ) = o ，y ( 工，f ) = o 。上式中c 为阻尼系数， 莎为d i r a c 函 数，这是一个非常有用的函数，在后面的讨论中将多次用到。下面三个表达式说明了 d i r a c 函数的特性： 鼬卅2 般： 限：曲 f 。占( x 一吁) 厂( z ) = ，( 叩 ( 3 2 b ) f o7 7 口 6 f 占( x 一叩) ，( 石) = ，( 7 7 ) d 叩 6 l o 口 6 叩 ( 3 2 c ) ( 3 1 ) 式是一个偏微分方程，可按振型分解法( 数学上称分离变量法) 求解。振型 分解法的基本原理是将结构的几何