（一般力学与力学基础专业论文）结构动力模型修正的若干问题研究.pdf

南京航空航天大学博士学位论文 i 摘摘 要要 结构动力模型修正是结构动力学领域的一个重要研究方向。本文主要运 用代数特征值反问题的理论与方法，研究了无阻尼结构系统、阻尼结构系统 及陀螺结构系统有限元模型修正中的若干问题，为结构有限元动力模型修正 提供数学理论和有效的数值方法。全文主要包括以下内容： 对无阻尼结构系统，首先考虑了质量矩阵的修正问题，运用矩阵的 qr- 分解得到了满足正交性条件的唯一半正定最小修正质量矩阵。其次，借助于 分析模型特征向量的正交性，提出了一种新的刚度矩阵修正方法。该方法使 得修正刚度矩阵为对称半正定、测试模态与频率融于修正模型、而修正模型 的剩余模态和频率与原模型一致。再次，考虑到刚度项的数量一般远大于质 量项的数量，提出了一种带加权因子的同时修正质量与刚度矩阵的有效方法。 运用矩阵分解及优化技术给出了最优修正矩阵的具体表达式，并给出了加权 因子的选取方法。最后，提出了一种新的局部修正方法。此方法的思想是将 无误差的元素集中在一个区域内，然后利用正交关系对误差区域内的元素进 行修正，减少了修正时对模型准确部分的影响，模拟分析表明该方法有较高 的修正精度。 对阻尼结构系统，首先研究了粘性阻尼矩阵的修正问题，运用逆特征值 技术得到了满足特征方程的唯一最小半正定修正阻尼矩阵。其次，在假定质 量矩阵 a m 精确且0 a m 的情况下，首次考虑了模型辨识问题，即给定多少数 目的特征信息，就能唯一地确定有限元模型的阻尼与刚度矩阵？运用矩阵分 解技术给出了此问题有解的充要条件及解的表示。最后，提出了一种利用复 模态测量数据同时修正有限元阻尼与刚度矩阵的有效方法，借助于矩阵的奇 异值分解得到了满足动力方程的最小修正矩阵，数值试验表明修改后的结构 参数能准确地同试验值吻合。 对陀螺结构系统，首先考虑了陀螺矩阵的修正问题，依据特征方程及陀 螺矩阵的反对称性，运用 lagrange 乘子法给出了最优修正陀螺矩阵。其次， 研究了当已知系统完全谱数据时，构造无阻尼陀螺系统的问题，给出了此问 题有解的条件及解的表示，并以此为理论基础，发展了一种新的模型修正方 结构动力模型修正的若干问题研究 ii 法，该方法使得模态测量数据融于修正模型，而修正模型的剩余模态数据与 原模型一致。对阻尼陀螺系统，发展了利用 lagrange 乘子法同时修正阻尼与 陀螺矩阵的有效方法，通过求解一个约束最优化问题，得到了满足特征方程 的最小修正矩阵。计算结果表明，修正模型能准确地反映结构的动态特性。 关键词关键词：有限元模型，模型修正，模态参数，反问题，无阻尼结构系统，阻 尼结构系统，陀螺系统，最优逼近 南京航空航天大学博士学位论文 iii abstract the structural dynamics model updating has become increasingly important in the structural dynamics. this dissertation studies some model updating problems on undamped structural systems, damped structural systems and gyroscopic structural systems by means of the theory and method of the algebraic inverse eigenvalue problems. it provides the mathematical theory and efficient numerical methods for structural dynamics modification. the main contribution is as follows: for the undamped structural systems, the problem of updating mass matrix is firstly considered. the optimal corrected mass matrix complied with the required orthogonality condition is found by using the qr-decomposition. secondly, a new method for updating stiffness matrix based on the orthogonality relations of the eigenvectors of the finite element model is established. the corrected stiffness matrix obtained by the method is symmetric positive semidefinite. moreover, the measured frequencies and mode shapes are embedded into the corrected system and the remaining modal data remain unchanged. next, in view of the magnitude of the stiffness terms being far greater than that of the mass terms, an efficient numerical method with a weighted factor is addressed. using techniques of matrix decomposition and the optimization method, the explicit representations of updated matrices are given, and a method for choosing the weighted factor is provided. finally, a new method for updating the inaccurate elements in finite element dynamics model is presented by concentrating the accurate elements in a region, and using the orthogonality condition. the modified model does not exert any influence on the accurate elements. numerical examples show that the presented method is efficient. for the damped structural systems, the problem of updating the viscous damping matrix using the complex measured modal data is firstly considered. by applying the inverse eigenvalue technique, the optimal corrected positive 结构动力模型修正的若干问题研究 iv semidefinite damping matrix complied with the required eigenvalue equation is found. secondly, a model identification problem is firstly addressed under the assumption that a m is completely accurate and 0 a m , i.e., how many eigenpairs should be needed to determine uniquely the damping and stiffness matrices? necessary and sufficient conditions for the existence of solution of the problem are derived using the matrix decomposition, and the expression of the solution is provided. finally, an efficient numerical method for updating the damping and stiffness matrices simultaneously using a few of complex measured modal data is developed. by applying the singular value decomposition, the optimal corrected damping and stiffness matrices that satisfy the equation of motion are found in a weighted frobenius norm. this model updating method is direct and the updating process is very simple. numerical results show that the presented method can be used to update the finite element model to get better agreement between analytical and experimental modal parameters. for the gyroscopic systems, the problem of updating the gyroscopic matrix from incomplete complex experimental modal data is firstly considered. based on the eigenequation and the skew-symmetry of the gyroscopic matrix, the corrected matrix that is closest to the finite element gyroscopic matrix is found by applying lagrange multiplier method and the matrix decomposition. secondly, using the technique of linearization, a problem of reconstructing an undamped gyroscopic system is considered when the complete spectral data are given. the solvability conditions and a solution to the problem are presented, and a method for model updating is developed using the obtained results. using the method, the measured modal data are embedded into the corrected system and the remainder spectral data are the same as those of the original system. finally, an efficient numerical method for the finite element model updating of damped gyroscopic system based on incomplete complex measured modal data is proposed. applying the lagrange multiplier method, the optimal corrected damping and gyroscopic matrices complied with the required eigenvalue equation are found. numerical example shows that the agreement between the experimental and analytical modal data is remarkably improved. 南京航空航天大学博士学位论文 v keywords: finite element model, model updating, modal data, inverse problem, undamped structural system, damped structural system, gyroscopic system, optimal approximation 结构动力模型修正的若干问题研究 viii 图表清单图表清单 图 2.1 悬臂梁模型.24 图 2.2 质量残差矩阵与刚度残差矩阵随加权因子的变化 .31 图 3.1 四自由度集中质量系统模型 .44 图 3.2 机器人机械系统.60 表 2.1 有限元高阶模态数据融于修正模型情况.25 表 3.1 修正模型的特征值与测量特征值的误差.44 表 3.2 测量模态数据与修正系统融合情况.45 表 3.3 有限元模型的模态数据融于修正模型情况.51 表 3.4 系数矩阵误差情况.52 表 3.5 有限元模型的模态数据融于修正模型情况.52 表 3.6 系数矩阵误差情况.52 表 3.7 计算值与理论值的相对误差 .59 表 3.8 最小值随加权因子的变化 .59 表 3.9 由测量数据计算的最小值随加权因子的变化.59 表 3.10 测量数据融于特征方程情况 .60 表 3.11 初始模型的质量、阻尼与刚度矩阵.60 表 3.12 修正模型的质量、阻尼与刚度矩阵.61 表 3.13 复频率结果比较.61 表 3.14 复振型结果比较.61 表 4.1 修正模型的特征值与测量特征值的误差.68 表 4.2 测量模态数据与修正系统融合情况.68 表 4.3 测量模态数据与修正系统融合情况.74 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的 研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被 查阅和借阅,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 作者签名： 日 期：2007 年 7 月 8 日 南京航空航天大学博士学位论文 1 第一章第一章 绪绪 论论 1.1 模型修正技术 1.1 模型修正技术 在航天、航空、机械、土木、交通等工程技术领域，为进行结构系统响 应预测、状态监控、故障诊断和动态优化设计，建立系统准确的数学模型是 必要的。目前系统建模有三类方法 1：理论建模、试验建模与系统辨识建模。 理论建模主要是有限元建模。有限元方法由于具有适应性广、分析速度快、 设计周期短、和结构动力试验相比费用很低等优点，在工程实践中得到了广 泛应用。然而，在多数情况下通过有限元数值分析得到的结果与实验得到的 结果并不能很好地吻合。导致这一现象的原因是有限元离散化建立的模型与 实际问题之间存在一定的误差。当这些误差较大时，将导致由有限元法分析 得到的结构动力特性与实际测量结果相比有较大的出入，在一些情况下这种 偏差甚至会超出工程许可的范围，这是有限元建模的不足之处。mottershead 和 friswell 2曾经总结了这些误差产生的原因与方式，并将他们归为三类：第 一，模型结构误差，由影响模型控制方程的一些不确定因素引起，通常与所 选择的数学模型有关。有限元模型通常是对实际模型所作的一种简化，略去 了次要因素的影响。例如将结构模型取为线性数学模型就忽略了非线性因素 对实际结构的影响。第二，模型参数的误差，如模型物理参数（密度、弹性 模量、截面积等）因环境的变化和生产制作等原因存在误差，边界条件和连 接条件的简化、几何尺寸和本构关系不准确，系统阻尼人为引入等等。第三， 模型阶次的误差，即有限元离散化所带来的误差。实际的结构模型是连续的， 有无限个自由度，而离散化的模型自由度数是有限的，两者之间必然存在模 型阶次的误差。试验建模可以弥补理论建模的这些缺陷。随着动态测试、信 号处理、计算机辅助试验等技术的不断提高，以及新设备的不断出现，由动 态试验便可以得到比较精确的结构动态特性（如频响函数、模态参数等） ，因 此，由试验建立的数学模型比有限元模型更能代表实际系统。但由于实验条 件与实验成本的限制，具体试验中测点不可能布置很多，因而由于实测信息 的不完整而导致试验建模无法获得完备的数学模型，这种模型只能反映真实 结构动力模型修正的若干问题研究 2 系统的低阶模态特性。由此可知，理论建模和试验建模各有优点，又各有局 限性。因此，若能将理论建模和试验建模结合起来应用，则将是较理想的建 模途径，系统辨识建模就是这样的一种途径。它充分利用理论建模和试验建 模两者的优点，首先用分析的方法建立具有先验性的有限元模型（fem） ，然 后依据能反映真实系统动态特性的测量模态参数（或测量频响函数）来修正 fem，使其在试验频段内，计算模态参数与试验值良好一致，这就是模型修 正技术，或称之为结构物理参数辨识技术。 1.2 模型修正技术的研究概况 1.2 模型修正技术的研究概况 模型修正技术发展到今天已有四十多年历史。模型修正较早涉及的是动 力学问题，这方面的研究可以追溯到六十年代中期rodden 3用地面共振试验 测得的非完整模态数据求解结构的静力响应系数矩阵。为了改善结构有限元 模型，国内外许多学者一直致力于利用实验测试结果来修正结构的有限元模 型，berman 4 5 、baruch 6 等人的工作奠定了这一领域的基础。根据修正的对 象，有限元模型修正大体可以分为直接的矩阵型修正和间接的参数型修正， 根据修正量的类型和修正特点，从矩阵型修正中演化出元素型修正方法和子 矩阵修正方法。 矩阵型修正方法中发展较早的是以lagrange乘子法为基础的直接矩阵修 正方法。此方法通常假定结构系统中的质量矩阵、刚度矩阵、实测模态矩阵 三者中有一项是不变参数（reference basis） ，然后修正其余两项。一般以正交 性条件或运动方程为约束，通过矩阵范数最小化对系统矩阵直接修改，不考 虑模型中具体物理参数的作用，修正过程中要求质量矩阵和刚度矩阵具有对 称性，因此这类直接以系统矩阵为修正对象的方法称为矩阵型修正，或者最 优矩阵修正 7 10 。由正交性条件修正质量矩阵归结为求下列条件极值问题5: 11 22 min(), maaa jmmmm = s. t. tt mm mi, mm.= 其中m是待求的修正质量矩阵，i是单位阵， a m是有限元质量矩阵， m 是 测量模态矩阵。用lagrange乘子法求解条件极值 m j，可得到修正的质量矩阵 m。 在获得修正质量矩阵m后，利用特征方程可进一步修正刚度矩阵k，即 南京航空航天大学博士学位论文 3 求下列条件极值问题: 11 22 min kaaa jm(kk )m, = 2 s. t. mmm km, = t kk .= 其中 a k是有限元刚度矩阵， m 是实测低阶频率所构成的对角矩阵。用 lagrange乘子法求解条件极值 k j，可得到修正的刚度矩阵。 wei 11 把两个误差函数综合起来， 统一考虑质量矩阵和刚度矩阵的对称性 条件、正交性条件以及动力学方程，同时修正质量矩阵和刚度矩阵，得到如 下的条件极值问题: 1111 2222 22 min()(), aaaaaa jmmmmmkkm =+ 2 s. t. mmm km, = t mm mi,= t kk ,= t mm .= 利用lagrange乘子法求解上述条件极值问题就得到修正的系统矩阵。 与逐次修 正质量矩阵和刚度矩阵的方法相比，由于同时考虑了动力学方程和正交性条 件，因此其结果要好于前者。 一般来说，用lagrange乘子法处理带约束优化问题，一方面不能保证问题 解的存在性与唯一性，另一方面也无法证明所得的解确实是最优解，并且对 得到的修正质量矩阵与刚度矩阵也不能保证是对称半正定矩阵。 基于thoren 12与ross13 的方法，caesar 14、link, weiland和barragan15、 陈 16等发展了混合矩阵型修正方法。对于大型结构而言，实测的固有频率和 模态个数m远小于有限元模型的自由度数n， 混合矩阵型修正方法就是运用实 测模态与有限元高阶模态修正质量与刚度矩阵，其修正公式为： 11 22 1111 tt mnmn tt mimiaiai mimiaiai ii mii m miai m,k, =+=+ =+=+ (1.1) 其中() () mimiaiai ,分别是第i阶测量模态数据与分析模态数据。用上式计 算矩阵m ,k要知道有限元高阶模态数据，而通常的数值方法难以精确地求得 分析模型的高阶模态数据。借助于模态正交性条件，式(1.1)的第二项可以通 过下式得到： 结构动力模型修正的若干问题研究 4 11 22 1111 tt nmnm tt aiaiaiai aiaiaaiaia i mii mi aiai m,k. =+=+= = 此方法要求测量模态向量与分析模态向量必须均为n维向量。 结构矩阵反映了结构的物理连接，例如刚度矩阵的每个元素表示一个自 由度上的作用力在另一自由度处产生位移的关系，值为零时表明两个自由度 不相关。由于结构在运动过程中不应产生额外连结，因此其零元素在修正后 也应保持为零值。矩阵型修正方法所得的模型其动力学分析结果与相应的试 验结果符合得很好，但不能保证原系统矩阵的稀疏性与正定性。不能保证原 系统矩阵的稀疏性意味着引入了原系统中可能不存在的连接关系，即修正后 的模型与原系统的拓扑关系不一致；不能保证正定性，意味着系统可能发生 实际上并不存在的刚体运动，并存在违背动能非负的可能性。对两个同阶矩 阵()(), ijij aabb=. () ijij a ba b=表示矩阵a与b的hadamard积。为了保持 模型的结构与实际结构拓扑性质之间的一致性，kabe 17提出了如下的修正方 法：假定质量矩阵准确，即 a mm=，用() ij =表示元素因子矩阵， 其中 10 00 aij ij aij ,k ,k = = ，修正刚度矩阵定义为求解如下条件极值问题: min, a jkk= () 2 s. t. mmm km, = t kk .= 上式中第一个约束条件是动力学约束，第二个约束条件是对称性约束。目标 函数公式表明了模型修正使得相应修正矩阵的非零元素的改变量最小。利用 拉格朗日乘子法求解该极值问题可得到修正的刚度矩阵。此方法虽能保证修 正矩阵的稀疏性，但计算量大，仅适合小规模问题的计算。随后，kammer 18 运用投影矩阵方法得到了计算效果较好，并且在大多数情况下与kabe方法一 致的修正方法。smith和beattie 19发展了保持刚度矩阵结构连接性的拟牛顿 方法，张景绘和natke 20 、向锦武，周传荣和张阿舟 21、zhang，zerva 和 zhang 22 等均把元素连通性作为约束条件，对系统矩阵中非零元素进行修正， 保持了系统矩阵的稀疏性和带状性。这类矩阵型修正方法也叫做元素型修正 方法。元素型修正方法由于考虑的是少量元素，因此该方法更具有针对性和 灵活性。若对元素型修正方法进行细分 1，其类型目前主要有三种：最优元素 南京航空航天大学博士学位论文 5 型法 23 24 ，排列方程法(aea-arranging equation approach) 25 和元素因子辨识 法 17,22。 子矩阵修正方法的基本观点是：结构有限元模型的质量矩阵和刚度矩阵 可以用所有s个子结构的相应矩阵之和表示 （极端情况下对应一个单元矩阵） ， 如果把修正后的系统矩阵用子结构矩阵的加权和形式表示，这些加权系数称 为修正因子，那么在修正过程中子结构本身的特性不受任何影响，变化的只 是各个修正因子，它们反映了子结构对整个结构矩阵贡献的大小 14,26 29 。由 于修正因子是修正参数，因此子矩阵修正方法保留了有限元矩阵原有的连通 性、带状性和稀疏性。把修正矩阵表示为： 1111 ssss iiaiiiai iiii mma m ,kkbk = = , (1.2) 其中 ai m和 ai k是第i个子结构的有限元矩阵，它们经过了扩阶和坐标变换。 i a 和 i b是各个子结构矩阵的修正因子。如果 i a和 i b约等于1，那么第i个子结构不 存在建模误差；若 i a和 i b远远大于1或远远小于1，则表明第i个子结构有建模 误差。 因此子矩阵修正方法具有误差定位功能， 而 i a和 i b可以看作定位指示器。 关于子矩阵修正方法的实现， 文27把模态参数作为修正因子的函数进行泰勒 展开建立线性方程组进行求解。文28首先定位建模误差，然后用优化迭代法 求解误差向量范数关于修正因子改变量的极小化问题。文14, 29研究了刚度 矩阵与质量矩阵的修正，直接把式(1.2)代入正交性条件中，获得最小二乘解。 与矩阵型修正方法不同的另一类方法是参数型修正方法。工程师建模时， 最原始的数据是设计参数。若能以设计参数作为修正对象将更受工程师们的 欢迎，因为它的结果易于解释，便于在模型优化过程中引入设计准则，也便 于应用于优化设计。参数型修正法是通过调整模型物理参数如弹性模量、截 面积、附加质量等使分析模型与试验数据有良好的相关性。发展应用最广的 首推逆特征灵敏度矩阵方法（inverse eigensensitivity matrix method） ，该方法 应用特征值与特征向量偏导数，以构成特征灵敏度矩阵。最早由collins30等 人在1974年将其运用于分析模型的修正；chen和garba31提出的矩阵摄动法， 也是以此方法为基础；piranda, lallement和cogan32在1991年将此方法作了一 些修正，以校正有限元模型的参数。关于特征值与特征向量偏导数的计算， fox和kapoor33利用正交性条件，通过对模型特征方程求导，首次推导了线性 结构特征值和特征向量关于设计参数的一阶灵敏度计算公式： 结构动力模型修正的若干问题研究 6 , t i iii jjj km = 1 , n i ijll l j = = 其中 , 1 , 2 t lii jj ijl il t ii j km il m il = = j 为模型第j个设计参数， i 为模型第i阶特征值。随后，rogers34, garg35 对fox的工作作了进一步的完善与发展，导出了计算一般系统特征值与特征 向量偏导数的公式。rudisill36导出了适用于一般矩阵的特征值与特征向量的 偏导数。鉴于fox等所给出的关于特征向量一阶灵敏度公式比较繁琐， nelson37、lim和junkins38、ojalvo39、sutter和camarda40等分别从差分和 数值计算的角度简化了特征向量的一阶灵敏度计算公式。此后陆续有人提出 改进的计算方法41-45，提供了从特征灵敏度分析的角度进行模型修正的方法。 以特征灵敏度为基础的研究， 还有farhat和hemez46二人所提出的element by element法。此外，modak, kundra和nakra47还通过计算机仿真模型对逆特 征灵敏度矩阵修正法与频响函数修正法作了一个比较研究。参数型修正方法 的物理意义明确， 具有以下优点：1) 隐含地保留了初始fem模型的有关公式 （如形函数不变）及元素连通性；2) 模型修正的结果可用设计误差或模型假 设误差来解释；3) 修正后的模型仍保存为有限元模型的数据形式，不需要额 外加以解释，可直接用于设计灵敏度分析。 由于基于特征灵敏度分析的修正方法需要测量模型的固有频率和振型， 当模型相邻模态非常接近时，这种方法往往会遇到测量上的困难。为克服此 困难，有些学者直接利用实测频响函数（frequency response function, frf）来 进行模型修正，从而得到频响函数修正方法48-51。其优点是克服了模态法需 要振型一一对应的缺点，而且修正计算可以在很宽的频率范围内进行。 矩阵型修正方法理论上对于各种结构具有较好的适应性，优点是修正后 的模型能给出与测试数据比较一致的结果，计算效率高；缺点是物理意义不 南京航空航天大学博士学位论文 7 明确，丢失物理意义的缺陷使它无法与实际结构相关联。参数型修正方法物 理意义明确，保留了元素连通性，并且模型修正的结果可用设计参数或建模 假设中的误差表示出来，但灵敏度矩阵计算量大，且不能修正初始模型未考 虑的物理效应，故修正性能受到一定影响。 在模型修正的相关理论和技术研究方面，张景绘 20 等证明了在物理空间 的修正与模态空间的修正结果的一致性。为了处理模态的不完备性问题，基 于模态振型的正交性条件，张德文52等提出了实用完备模态空间理论。 为了考虑实验误差的影响，文30, 53, 54引入了bayes估算，文55用极大 似然估计导出了bayes估算方法，并对这种估算方法的有效性和鲁棒性进行了 讨论。文21, 56将矩阵型修正和参数型修正结合起来，用误差矩阵定位，用 参数法修改，建立了矩阵型修正和参数型修正之间的联系。在误差定位方面 主要有四类方法：误差矩阵法21,57,58，能量法28,59,60，动力残差法51,54和灵敏 度法32,61。误差矩阵法和能量法可以指出建模误差的位置，动力残差法和灵 敏度法则指出哪些参数存在着误差。 无论矩阵型修正还是参数型修正，上述的修正方法几乎都要求实测模态 的自由度数与原分析模型的自由度数一致。对于大型结构而言，测点数、实 测的固有频率和模态数均远小于有限元模型的自由度数，即使在测得的同一 阶模态矢量中，数据也远不是完整的。最初的方法是将振型中未测量自由度 的数据用原分析模态中相对应的数据来代替，这样做必须要保证原模型与实 际模型相差不大，否则会导致很大的误差。 解决此问题有两种方法，第一种方法是缩减原分析模型的自由度数（称 为模型缩聚）或设法扩充实测振型的自由度数（称为模型扩展） 。所有的模型 缩聚法都是近似法，并且缩聚的对象是原分析模型。典型的有guyan62的静力 缩聚法、ocallahan63的改进缩聚系统法（improved reduced system, irs） 、 kammer64的精确模态缩聚法（exact modal reduction, emr） 、张德文65的改进 guyan递推缩聚法和等效模态缩聚扩展法（system equivalent reduction expansion process, serep） 66等。 guyan法的思想是将位移矢量分为主坐标 （保 留）和副坐标（舍弃）两部分，通过忽略副坐标上惯性力及根据缩聚前后系 统动、势能不变的原则对模型质量矩阵和刚度矩阵进行缩聚。guyan法本质上 是一种静态缩聚，当所选择的副坐标上惯性力较大时，guyan法的精度就会降 低。irs法考虑了副坐标上的惯性力，并将guyan法的结果作为一阶近似代入 结构动力模型修正的若干问题研究 8 特征方程中，得到了精度较高的结果。改进guyan递推缩聚法采纳了irs法的 思想，将改进的guyan缩聚结果代入特征方程得到一阶缩聚解，然后将此结果 再代入特征方程得到二阶缩聚结果等等，如此反复，可得到任意阶缩聚结果。 事实证明这种方法精度较高。emr法与serep法相似，基本思想是将位移用 原模型的n阶模态来线性表示，并将模态矩阵划分为对应于主、副坐标的两个 子矩阵，对主坐标子矩阵求广义逆消去副坐标位移，从而得到缩聚模型。由 于这些方法存在模态截取误差，因而只能保证在小于最高截取模态频率范围 内缩聚结果的精度。 与模型缩聚法所不同的是，模态扩展的对象是实测的各阶模态。由于阻 尼的存在（一般为非比例阻尼） ，实测的模态实际上是复模态，而当前大多数 模型修正法是基于实模态理论的，所以在扩阶前一般要进行实测模态的预处 理，即从复模态中提取主模态。此外，在模态扩阶完成后，还要进行相关性 分析，如模态匹配，即判断一个测量模态与哪一个分析模态属于同一阶振型 的问题，可采用模态置信度准则 1。另外，还有模态正交性分析等等。模态扩 展主要是通过插值技术来实现的， 代表性的方法有berman5和farhat46等的迭 代插值法以及最优拟合法67等。 另一种克服测量数据不完整的方法是minas和inman68,69、zimmerman和 widengren70等发展的特征结构配置技术(eigenstructure assignment technique)。 这是利用现代系统控制反馈理论发展的一种新方法。此方法借用经典自动 控制的闭环反馈控制技术，把局部修改看作反馈回路来研究它对原系统的影 响。在特征结构配置方法中，n维带有反馈控制结构动力模型可表示为： 0 , aa mwc wk wb u+= 5） 计算矩阵 1 2 w % 的奇异值分解式（3.9） ； 6） 若条件（3.10）与（3.11）满足时，则继续；否则，则停止； 7） 据式（3.13）计算矩阵 0 c； 8） 据式（3.16）计算矩阵c. 例 3.1例 3.1 考虑一个4自由度集中质量系统106 结构动力模型修正的若干问题研究 44 图 3.1 四自由度集中质量系统模型 其中质量矩阵 （单位为kg） 、 刚度矩阵 （单位为n/m） 、 阻尼矩阵 （单位为n s/m） 分别为： diag 510105 a m =， 2100 1210 0121 0011 a k = ， 0.02 -0.0100 -0.01 0.02 -0.010 0-0.01 0.02 -0.01 00-0.01 0.01 a c = 。 将阻尼矩阵摄动20后系统的模态参数作为试验模态参数的基准值，选取矩 阵及相应的模态矩阵为： diag -0.0029 + 0.6959-0.0029 - 0.6959-0.0021 + 0.5922-0.0021 - 0.5922i,i,i,i=， 0 0075 0 89970 00750 89970 3998 0 00100 39980 0010 0 00320 37890 0032 0 37890 0986 0 00030 09860 0003 0 0015 0 17720 00150 17720 54840 00140 5484 0 0014 . - .i. .i- . - .i- . .i - . .i- . - .i- . - .i- . .i . - .i. .i. .i. - .i + + = + 0 00100 12470 0010 0 12470 7278 0 00190 72780 0019- . .i- . - .i- . - .i- . .i + 取 a wm=，由算法3.1可算得 0.0238-0.01260.00010.0003 -0.01260.0225-0.01170.0008 0.0001-0.01170.0237-0.0123 0.00030.0008-0.01230.0115 c = 。 容易验证修正的阻尼矩阵c为对称半正定阵。若记 c i 为修正系统的特征值， 再记() () 2 res iiiaiai ,mck=+，则可算得 表 3.1 修正模型的特征值与测量特征值的误差 11 | c 22 | c 33 | c 44 | c 3.7199e-016 3.7199e-0167.4360e-0167.4360e-016 南京航空航天大学博士学位论文 45 表 3.2 测量模态数据与修正系统融合情况 () 11 res, () 22 res,() 33 res,() 44 res, 3.0704e-015 3.0704e-0157.4275e-0157.4275e-015 由此可知：以 aa m , c, k为系数矩阵的系统具有特征对()1 2 3 4 ii , i, , , .= 此 例也表明本节提供的方法比文106的迭代方法更为简洁直观。 3.3 阻尼矩阵与刚度矩阵的辨识 3.3 阻尼矩阵与刚度矩阵的辨识 在式 (3.2) 中若 a m非奇异，则系统一般具有2n个特征值与特征向量。一 个有意义的问题是：在假定质量矩阵 a m精确且0 a m 的情况下，给定多少数 目的测量特征信息，就能唯一地确定有限元模型的阻尼矩阵与刚度矩阵。注 意到阻尼矩阵与刚度矩阵均为对称矩阵，其变量总数为()1nn+，要得到唯 一解，需要的线性无关的条件个数也应该为()1nn+. 另一方面，1n+个特征 对共有() 2 1n+个条件，因为特征对必须满足特征方程，因而1n+个特征对提 供了()1nn+个条件， 据