凸轮机构的模糊优化设计论文

淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 1 -页 共 53 页 - 1 - 目 录 1 引言 1 2 模糊优化的数学基础 3 2.1 模糊集合 3 2.2 隶属函数 8 2.3 模糊性的度量 9 2.4 模糊矩阵与模糊关系 11 2.5 模糊综合评判 16 3 凸轮机构的模糊优化设计 20 3.1 凸轮机构的应用和分类 20 3.2 凸轮机构的设计要求及其计算公式 22 3.3 凸轮机构模糊优化设计的数学模型 23 3.4 凸轮机构模糊约束的 隶属函数 的确定 24 3.5 凸轮机构模糊优化设计的求解 25 3.6 优化结果分析 48 结论 50 致谢 52 参考文献 53 毕业设计（论文）中文摘要 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 2 -页 共 53 页 - 2 - 凸轮机构的模糊优化设计 摘 要： 模糊优化设计包括建立数学模型和应用计算机优化程序求解这样两个方面的内容。如何从实际问题中抽象出正确的数学模型，是工程模糊优化设计的关键之一，也是工程设计人员进行模糊优化设计的首要任务。与常规优化设 计一样，目标函数、约束条件和设计变量是模糊优化设计数学模型的三要素。 而在各类机器中，为了实现各种复杂的运动要求，广泛应用着凸轮机构。近年来，国内外采用优化设计方法进行凸轮机构设计已取得较大的进展。但以往的工作均未考虑到凸轮机构中有些因素的模糊性，致使难以迅速获得诸方面皆满意的方案，考虑到约束条件的模糊性，本文建立了凸轮机构的模糊优化数学模型，并对一实例进行了模糊优化设计。 关键词： 凸轮机构 模糊 优化设计 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 3 -页 共 53 页 - 3 - 毕业设计（论文）外文摘要 Fuzzy optimal design on cam mechanisms Abstract: A fuzzy optimal designment including the establishment of the mathematical model and getting a correct answer based on computer optimal process. How getting a right mathematical model from the practical problem is one of the keys of the engineering fuzzy optimal designments,as well as the first task of the staffs when they are doing fuzzy optimal designments. As a conventional optimal designment, the objective function , constraint and optimization are the three factors of the mathematical model of a fuzzy optimal designment. In order to achieve lots of complex requirements of the campaign, people use cam mechanisms widely in all kinds of machines. People have made great progress in using the optimal design methods to design cam in recent years. But the work in the last years did not take some ambiguous factors of the cam into account, so it is difficult to get a program that can satisfy all aspects of the cam if you want to get it very quickly. Taking the fuzzy factors of the constraints into account, we established a fuzzy optimal mathematical model of the cam, and we made a fuzzy optimal design on an example of the cam. Keywords: cam ； yuzzy ； optimal design 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 4 -页 共 53 页 - 4 - 1 引言 近几年来 , 对摆动滚子从动件平面凸轮机构进行普通优化设计的较多 , 并能从众多满足设计要求的可行方案中 , 选出实现设计目标的最佳方案。但由 于设计中根据设计规范或经验确定的某些参数取值的不确定性 , 以及影响设计的某些因素如载荷性质、材质好坏又很难用确定的数值表示 , 这就导致了设计的模糊性。而普通优化设计均未对这些模糊因素进行分析 , 致使设计方案难以更好地符合客观实际 , 为此需建立模糊优化设计的数学模型。 1.1 本课题的研究意义 凸轮机构广泛用于各种自动机中。例如，自动包装机自动成形机自动装配机自动机床纺织机械农业机械印刷机械自动办公设备自动售货机陶瓷机械加工中心换刀机构高速压力机械自动送料机械食品机械物流机械电子机械自 动化仪表服装加工机械制革机械玻璃机械弹簧机械和汽车等。 凸轮机构之所以能够得到广泛的应用，是因为它具有传动 导向和控制等功能。当它作为传动机构时，可以产生复杂的运动规律；当它作为导向机构时，可使工作机械的动作端产生复杂的运动轨迹；当它作为控制机构时，可控制执行机构的工作循环。凸轮机构还具有以下优点：高速时平稳性好，重复精度高，运动特性良好，机构的构件少，体积小，刚性大，周期控制简单，运动特性良好，机构的构件少，体积小，刚性大，周期控制简单，可靠性好，寿命长。 1.2 本课题国内外研究现状、水平和发展趋 势 随着社会发展和科技进步，各种自动机正朝着高效率 高精度 自动化程度高 优良的性能价格比 寿命长 操作简单和维修方便等方向发展。为适应这种发展形式，满足自动机的要求，作为自动机核心部件的分度凸轮机构必须具有特性优良的凸轮曲线和高速 高精度性能。 由于计算机软件和数控技术的日益普及，凸轮 CAD/CAM 软件的问世，为高速高精度凸轮机构的设计 制造和检测提供了有利条件。 凸轮曲线特性优良与否直接影响凸轮机构的精度 效率和寿命。多年来，世界上许多凸轮专家创造了数十种特性优良的凸轮曲线。这些凸轮曲线完全能够满足各种 自动机的要求。其中，最常用的有修正正弦曲线 修正梯形曲线和修正等速曲线等。日本山梨大学牧野洋教授研发的三角函数通用凸轮曲线几乎包括全部凸轮曲线。西冈雅夫博士开发了代数式通用凸轮曲线。利用这些通用凸轮曲线，输入一定参数，就能得到满足工作特性要求的凸轮曲线，从而制造出满意的凸轮机构。 我国在凸轮机构研究方面历史悠久，理论较深，但在设计 制造和检测等应淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 5 -页 共 53 页 - 5 - 用技术方面，与美日德等工作发达国家比较，差距较大。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 6 -页 共 53 页 - 6 - 2 模糊优化的数学基础 1965 年， 美国控制论专家查德（ L. A. Zaden)。第一次提出了模糊集合的概念，标志着模糊学的诞生。 科学技术的发展，越来越突出这样的一种矛盾：科学的深化要求研究工作数学化、定量化；但是，科学的深化意味着对象的复杂化，复杂 化的东西又难于精确化。计算机科学更是复杂化与精确化矛盾的焦点。科技工作者在实践中感受到有一条不相容原理：当一个系统的复杂性增大时，我们呢使它精确化的能力将减小，在达到一定阀值以上时，复杂性与精确性将相互排斥。与复杂性紧紧相伴的，就是模糊性。 模糊数学的使命，就是解决上述矛盾，它是 研究和处理模糊现象的一种新的数学方法。 “模糊”与“数学”本是对立的词，查德把两者统一在一起，当然不是让数学放弃它的严格性去迁就模糊性，而是要把数学方法打到模糊现象的禁区中去。但是，他也不把“模糊”二字看成是纯粹消极的贬义词，他认为应让数学及计算机回过头来吸取人脑在对复杂现象进行识别和判决中的特点，形成一种新的更加灵活而简捷的处理手段与方法。 模糊数学把数学从二值逻辑的基础上转移到连续值逻辑上来，把绝对的“是” 、“非” 变为更加灵活的东西，在适当的限域上去相对的划分“是”与“非” 。 模糊数学试图解决的任务是：一、给各门学科，尤其是给那些数学的“禁区” 如人文科学（对一个有人的智力活动参与其内的系统进行研究的科学，如经济管理、人工智能、环境科学等等），提供新的语言和工具；二、使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别与判断，提高自动化水平。 尽管这门学科还很不成熟，然而在国内外却受到广大科技工作者的热切关注，发展迅速。 2.1 模糊集合 2.1.1 基本概念 集合论不仅是现代数学的基础，也是模糊数学的必备知识。为了与模糊集合相区别，我们把以往接触到的集合，如 A=(2,3,4,8)称为普通集合（其全集称为论域）。 对于模糊集合中的子集，是没有明确边界的，如“身高”这个集合，一个身高 1.75m的人既可属于也可不属于“高个”这一子集，由于没有明确的边界，我们将“高个”称为“身高”这一论域的一个“模糊子集”（或模糊集），它具有模糊性，通常用下面带波浪号的大写字母表示（本文以上面带波浪号的大写字母表淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 7 -页 共 53 页 - 7 - 示），如 A 、 B 等。 2.1.2 隶属度 为了表示某一元素与模糊子集的关系， Zadeh 提出了“隶属度”的概念 ，即：对论域的每一个元素iu在闭区间 1,0 中给它一个对应的数字指标，用以表明iu对于模糊集 A 的隶属程度，并用 iA uu或Aiu表示，称元素iu对 A 的隶属度，且满足 10 iA uu。显然， iA uu值愈大，表示iu对 A 的隶属程度愈高。当 iA uu=0时，表示iu肯定不属于 A ；当 iA uu =1时，表示iu肯定属于 A 。在这两种情况下，子集退化为普通集合。由此可见， Zadeh 引入模糊子集的基本思路是：把普通集合中的绝对隶属关系加以扩充，使元素对“集合”的隶属度由只能取 0 和 1 这两个值，推广到可以取单位区间 1,0 中的任意一个数值，从而实现定量地刻画模糊性事物，这里，模糊度是处理问题的关键。 2.1.3 表示方法 Zadeh 表示法 A =mAmAA xxx / 2211 =mi iAix1 / (xi U) 当论域 U 中的元素为无穷不可数时，可记为 A =U A xx /)( （ x U ） 式中，iAi x/ 论域 U中的元素 xi与其隶属度Ai之间的对应关系，不表示“分数” ； “ +”、“ ” 模糊子集在论域 U 上的整体，不表示“求和”； “ ” 各个元素与隶属度对应关系的一个总括，不表示“积分”。 向量表示法 A ),( 21 AmAA 序偶表示法 , 2211 mAmAA xxxA 例 如图， U 是给定的几个物体， 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 8 -页 共 53 页 - 8 - a,b,c,d,e , 对每一元素指定一个隶属程度 a 1, b 0.9, c 0.4, d 0.2, e 0. 按定义，便确定了 U 的一个模糊子集A ，它表示“圆块块”这一模糊概念，采用查德的 图 1 圆块儿 记法，写为 A=1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d, (1.3) 不要误把上式右端当作分式求和。分母放置元素，分子放置隶属程度，“”号并无求和之意，这样记法会带来某些方便。元素 e对 A 的隶属程度为 0,(1.3)不写它。 向量表示：（ 1, 0.9, 0.4, 0.2, 0） 续偶表示； .,0,2.0,4.0,9.0,154321 xxxxx 2.1.4 运算规则 设 A 、 B 、 C 、 D 为论域 U 上的模糊子集，则有如下运算规则 相等：若 A=B，则对一切 x U ,有 xuA= )( xuB 包含：若 BA ，则对一切 x U ，有 xuA xuB 余（补）集：若 A 与 B 互为余（补）集，则对一切 Ux ，有 xuA=1- xuB 并集：若 BAC ,则对一切 Ux ，有 )(),(m a x)( xuxuxuABc = )( xuxuBA 交集：若 D= BA ,对一切 Ux ，有 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 9 -页 共 53 页 - 9 - )(xuDmin )(),( xuxu BA = )( xuxu BA 其中， 和 分别表示“取大”和“取小”运算。除上述运算外，还有一些模糊集之间的代数运算也是常用的，这里介绍一些简单定义： (1) 代数积：记为 BA ，其隶属函数BAu规定为BAu=BAuu (2) 代数和（或上界和）：记为 BA ，其隶属函数BAu规定为BA= )1),()(m in ( xx BA (3) 绝对差：记为 BA ，其隶属函数BA 规定为BA =BA 上述规则中任意两个模糊集之间的运算都是在论域 U 中的每一个元素对这两个模糊集的隶属度间的运算。与普通集合一样，模糊集满足：幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律和对偶律，但一般互补律不成立，即 UAA ， AA ，这是模糊集和与普通集合的一个明显区别。 例 设 54321 , xxxxxU 8.0,1,6.0,2.0, 4321 xxxxA 542114.09.05.0 xxxxB 则根据上述运算规则有 54321104.08.0019.06.05.02.0 xxxxxBA =5432118.019.05.0 xxxxx 4214.06.02.0 xxxBA 542112.04.08.0 xxxxA 42132.054.01.0 xxxBA 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 10 -页 共 53 页 - 10 - 5432111117.0 xxxxxBA 2.1.5 水平截集 模糊集本身没有明确范围，因此只有设法将模糊集合转化为普通集合，才能应用通常的数学方法来处理，而水平截集则是在模糊集与普通集相互转化中起着重要桥梁作用的概念。 设给定论域 U 上 的模糊 自集 A ，对任意 1,0 ，称普通集合 UxxuxA A , 为 A 的 水平截集或称 水平集。 例432119.075.085.0 xxxxA ，现在要了解这 4 个掘进队哪个是“技术水平高”（ 90 分以上），哪个是“技术水平较高”（ 80 分以上），哪个是“技术水平一般”（ 70 分以上），于是： “技术水平高”的队组成的普通 集合为 439.0 ,xxA “技术水平较高”的队组成的普通集合为 4318.0 , xxxA “技术水平一般”的队组成的普通集合为 43217.0 , xxxxA 这里7.08.09.0 , AAA即是 7.0,8.0,9.0 时 A 的水平截集， 称为A的（置信）水平或阀值。 不难看出， A 是模糊子集，而A是普通集合，其直观意义是， x隶属函数达到或超过 的就算 x 是 A 元素。取一个模糊集 A 的 截集，实际上就是将其隶属函数按下式转换成特征函数， 如图 1 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 11 -页 共 53 页 - 11 - 图 1 A的特征函数 xuZxxA A, xuxuXAAxA ,0,1当当 水平截集具有三个性质： (1) BABA (2) BABA (3) 若 1 、 2 1,0 ，且 21 ，则211 AA 由 (3)可见，截集水平 越小，A越大，反之亦然。 当 1 时，得到最小的水平截集 1A ，称为 A 的核； 当 0 时，得到最大的水平截集，称为 A 的支集，记为： Supp A = 0, xuUxxA (U 为论域，称 1A SuppA 为 A 的边界。若 A 的核 1A 不是空集，则称 A 为正规模糊子集，否则称为非正规模糊子集。 从减小到 0(而未达到 0),A从核 1A 扩张为支集 SuppA ,因此普通子集族 10 A意味着是一个具有“弹性边界”可变的、运动的集合。这样就可把一个模糊集合论的问题转化为一系列普通集合论的问题来处理，这种解法称为水平截集法。 2.2 隶属函数 2.2.1 隶属函数的地位及概念 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 12 -页 共 53 页 - 12 - 在模糊数学中，隶属度是建立模糊集合论的基石，隶属函数是描述模糊性的关键。尽管统计学为隶属函数的确定提供了较简捷和较科学的方法，但它们的确定仍然是实际工作者感到棘手的问题。一个模糊集合在给定某种特性之后，就必须建立反映这种特性所具有的程度函数即隶属函数。 2.2.2 隶属函数的确定 模糊性的根源，在于客观事物的差异之间存在着中介过渡，存在着亦此亦彼的现象。但是，在亦此亦彼之中依然存在着差异，依然可以相互比较，在上一层次中是亦此亦彼的东西，在下一层次中可能又是非此即彼的。这些 便在客观上对隶属函数进行了某种限定，使得礼数函数不能主观任意地捏造，它们仍然具有一定的客观规律性。 当然，隶属函数的具体确定，确实包含着人脑的加工，其中包含某种心理过程。但是，归跟到底，心理活动也是物质性的。心理物理学的大量实验表明，人的各种感觉所反映出来的心理量与外界刺激的物理量之间保持着相当严格的定律（如伟伯定律、幂函数定律等），这些定律甚至在某些自然科学中扮演着基础的角色。下面介绍确定隶属函数的一般原则。 (1) 隶属函数的确定过程，本质上是客观的，但又容许一定的认为技巧，有时这种人为技巧对问题的解决 起决定作用。值得注意的是，人为技巧应该是合乎情理的，不能有悖于客观实际。 (2) 在某些场合隶属函数可以通过模糊统计试验加以确定。一般来说，这种方法多是较为有效的。 (3) 在某些场合，可以用概率统计的结果予以推理而确定其隶属函数。 (4) 在某些场合，可以用二元对比排序法确定隶属函数的大致形状，根据形状选用适当的隶属函数的模型。 (5) 在一定条件下，隶属函数可以作为推理的产物。 (6) 某些模糊集合的隶属函数可以经过模糊运算求得。 (7) 在模糊数学的许多应用领域中，隶属函数可以通过“学习”而不断完善。 实践效果是检验和调整隶属函数的依据。 (8) 隶属函数的确定也可以通过专家的经验来确定，目前在许多基于知识的专家系统中都是这样来确定隶属函数的。 2.3 模糊性的度量 2.3.1 模糊集合之间的距离 两个模糊集合间的相似程度可以用他们之间的距离来度量，一般用符号 d或 s 表示。 2.3.2 模糊度 一个模糊集合 A ，其模糊程度是可以定量描述的。 1972 年德国学者 De laca淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 13 -页 共 53 页 - 13 - 提出了用模糊度来刻划论域 U上的任意模糊集合 A 的 模糊程度的定量描述方法。模糊度 DA ,满足下列条件： (1) 当且仅当 A 为 U 上的经典集合时， AD 0； (2) 当且仅当 5.0 xu A时， AD 取最大值，即 AD ； (3) 若对任意 Ux ，有 xuA 5.0 xuB 或 xuA 5.0 xu B 则 AD BD (4) A 与其补集 A ，其模糊度相同 ADAD 这个定义给出了关于模糊度的 四条公理。定义中的条件 (1)说明经典集合是不模糊的。条件 (2)表明当 5.0 xu A时是最模糊的，因为在相反的情况下的隶属度也是 0.5，即 5.0 xuxu AA，因而对于这两种情况不知该怎样决策才好。条件 (3)表明隶属度越靠近 0.5 越模糊，反之离 0.5 越远越清晰。条件 (4)表明 A 与其补集 A 的模糊度是相同的，即 xuA与 xuA到 0.5 的距离相等。 2.3.3 贴近度 两个模糊集之间接近程度的一种度量。 贴近度的一种形式： xuxuBA BA )( 例 321 , xxxU 3217.04.08.0 xxxA 3215.06.06.0 xxxB 5.07.06.04.06.08.0 BA = 5.04.06.0 =0.6 xuxuBA BA )( BA ， BA 分别叫做 A 与 B 的内积与外积。称 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 14 -页 共 53 页 - 14 - BABABA 1, 或 BABABA 121, 为 A 与 B 的格贴近度。 2.3.4 隶属原则 设nAAA ,., 21是 U 中的 n个模糊子集，lx是 U 中的一个元素， 若有， )() ,. . . .,(),(m a x21 onoooi xAxAxAxA ， （） 则认为 xo相对隶属于iA， 这就是隶属原则。 例 25.00154.082.0 ，A 58.087.05.0 ，B 以隶属原则判定， 即（）式 Ax 3 Bx 4 2.4 模糊矩阵与模糊关系 2.4.1 模糊关系简介 数学上讲，一个确切的分类，要由一个等价关系来确定。对应地。一个模糊的分类，要由一个模糊的等价关系来确定。模糊关系在模糊数学中有着基本的理论意义。 2.4.2 模糊关系 设 U 是因素甲的状态集， V 是因素乙的状态集，若要同时考虑甲，乙两因素，则可能状态集是由 U 与 V 中任意搭配的元素对 (u,v)所构成，在数学上称它为 U 与 V 的笛卡尔乘 积集，记作 VvUuvuVU ,:, . VU 是 U、 V元素之间的一种无约束的搭配，如果对这种搭配施加某种限制，这种限制便体现了 U 与 V之间的某种特定的关系。因此，在数学上便把 U、 V元素之间的关系定义成为 U V 的一个子集，这是所熟知的事实，相应地有从 U到 V的一个模糊关系 R 。 所谓从 U 到 V 的一个模糊关系 R ,是指 VU 的一个模糊子集。隶属程度淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 15 -页 共 53 页 - 15 - vuR , 表示 u与 v具有关系 R 的程度。当 U=V， R 称为 U上的模糊二元关系。 例 U=(1.4,1.5,1.6,1.7,1.8), V=(40,50,60,70,80), VU 的模糊子集 R 其隶属 函数用矩阵表为18.02.0008.18.018.02.007.12.08.018.02.06.102.08.018.05.1002.08.014则 R 表示了身长（米）体重（公斤）对应关系。 2.4.3 模糊矩阵 当 U 与 V 都是有限集合时， R 可用一矩阵表现，这样的矩阵（元素是介于0,1 之间的实数），称为模糊矩阵，也记作 R 。 设 ijrR是 mn 维模糊矩阵， jkSS 是 rm 维模糊矩阵，令 jkijik Sri （ i=1, ,n,k=1, ,n） 易见 10 iki,则称 ikiT 为 R 对 S 的复合矩阵，记作 SRT 例如4.009.03.001.04.01.01.05.02.01R 8.02.03.01.017.09.04.0S 则9.07.04.04.09.04.0 SR 矩阵的复合运算非常类似于普通矩阵乘法，只是将“”改为“ ” ，将“ ” 改为“ ” 。 2.4.4 模糊聚类 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 16 -页 共 53 页 - 16 - 模糊等价关系 设 R 是 U 上的一个模糊关系，其对应的模糊矩阵 R nmijr ，若满足 (1) 自反性 1ijr (i=1,2, ,n) (2) 对称性 jiij rr (I,j=1,2, ,n) (3) 传递性 RRR 则称 mnijrR 是一个模糊等价矩阵，其关系是模糊等价关系。 由定义可见，自反性是矩阵的对角线上的元素全是，对称性是 R 为对称矩阵，而传递性不宜直接看出 ，需计算。一般情况下所建立的模糊关系只满足反身性和对称性条件，但可以证明这种模糊关系（ n 阶矩阵）满足下式 RRRRRR （ R n ） 其中， RR 是一个模糊等价关系，即模糊关系可通过计算改造成模糊等价关系。 模糊聚类分析 对事物按一定要求进行分类的数学方法叫聚类分析，它是研究分类的一种多元分析方法。在应用该方法时，关键是要把统计指标选择得合理，也就是统计指标应该有明确的实际意义，有 较强的分辨力和代表性。在选定了统计指标后，进行聚类分析，大致分两步。 第一步标定工作 设 U 是需要分类的对象的全体，先建立 U 上的模糊关系 R ，当 U 为有限集时， R 是一个矩阵，这一步称为标定。实际上，标定工作是标出衡量被分类对象间相似程度的统计量ijr(i， j=1， 2， ， n)，由此得出模糊关系 R 。设被分类的每一对象iu，由一组数据imii xxx ,., 21表示，则ijr的计算方法与公式如下： (1) 数量积法 mkjkikij jiMxxjir1,1当当 其中 M 为一适当选择的正数，且满足 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 17 -页 共 53 页 - 17 - M mk jkikxx1m ax (2) 绝对值指数法 mk jkik xxij er 2 (3) 主观评定法 请有经验的专家评分，一般可用百分制。将评得的总分除以 100 后，即得闭区间 1,0 的一个数。为避免主观片面，也可采用多人评分，再取平均值的方法来定出ijr。 第二步聚类 由上知， R 一般需改造成模糊等价关系。取 R 的乘幂 ,., 842 RRR 若在某一步有 nkk RRR 2 ，则 nR 便是一个模糊等价关系。 计算出 nR 后，选定适当的阀值 ,对 nR 进行截割。 根据聚类原则，即ix与jx在 水平上属同类，当 ijr时，ix与jx归为一类。由于所选的 值不同，便可对 U 进行动态聚类，得到聚类图，该方法称为模糊聚类传递包法。 例 以往对煤矿岩巷圈岩稳定性分类多采用工程类比法，该方法具有一定的主观性和片面性，为此采用模糊聚类法进行分类。通过对国外所采用过的几十个岩石分类指标的分析，选定“位移稳定时间、岩体声波速度、点荷载强度、岩块结构模糊”四个指标为分类指标，据此可大致确定出围岩稳定性类别。 已知某矿五条巷道 、的四个指标 值，试用模糊聚类传递包法对其的稳定性进行判定。 经实际标定，该五条巷道的模糊相似矩阵为 00.138.043.041.047.038.000.139.034.041.043.039.000.148.062.041.034.048.000.147.047.041.062.047.000.1R R 的自反性和对称性是显然的，但不满足传递性条件，故需进行改造。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 18 -页 共 53 页 - 18 - *2224 RRRRR ， *R 即为模糊等价关系。 选取 值对 *R 进行截割。当 =1 时，有 10000010000010000010000011R 这时 U 被分为 ，。 当 62.0 时，有 100000100000101000100010162.0R 这时 U被分为，。 同理， 48.0 时， U被分为，。 47.0 时， U被分为，。 41.0 时， U被分为，。 图 2 模糊聚类图 如果欲将其分为“稳定、中等稳定，不稳定三类” ，则可取 48.0 。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 19 -页 共 53 页 - 19 - 2.5 模糊综合评判 2.5.1 模糊综合评判的意义 在生产、科研和日常生活中，人们常常需要比较各种事物，评价其优劣好坏，以作相应的处理。例如，评价某新产品整机性能的好坏，评价某设计参数的合理程度等，以该进产品设计，提高产品质量。 由于同一事物具有多种属性，因此，在评价事物 时应兼顾各个方面。特别是在生产规划、管理调度等复杂系统中，作出任何一个决策时，都必须对多个相关的因素进行综合考虑，这便是所谓的综合评判问题。若这种评判涉及模糊因素，便是模糊综合评判问题。 2.5.2 一级模糊综合评判 模糊综合评判就是应用模糊变换原理对其考虑的事物所作的综合评判。它主要分为两步：第一步先按单个因素进行评判，第二步再按所有因素进行综合评判。 (1) 建立因素集 因素集是以影响评判对象的各种因素为元素组成的集合，通常用 U 表示，即 U=nuuu ,., 21 各元素iu代表各影响因素。这些因素通常都具有不同程度的模糊性。例如，在评判机械结构的安全系数时，其影响因素一般包括： 1u 设计水平 2u 制造水平 3u 材质好坏 4u 重要程度 5u 使用条件 6u 维修费用与灾害损失费用 上述各因素iu所组成的集合，便是评判安全系数的因素集 U=nuuu ,., 21。 (2) 建立备择集 (评判集 ) 备择集是以评判者对评判对象可能作出的各种总的评判结果为元素组成的集合，通常用 V 表示，即 V= mvvv ,., 21 各元素 iv 代表各种可能的总的评判结果。模糊综合评判的目的，就 是在综合考虑所有影响因素的基础上，从备择集中得到一最佳的评判结果。例如，在评判安全系数时，备择集中的元素 iv 即为可能选取的各种安全系数值，评判的结果便淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 20 -页 共 53 页 - 20 - 是从 V中得出一个最合理的安全系数。 (3) 单因素模糊评判 首先从因素集 U 中的单个因素出发进行评判，确定评判对象对备择集中各元素的隶属程度。设评判对象按因素集中第 i 个因素 iu进行评判时，对备择集中第 j 个元素jv隶属程度为ijr，则按第 i个因素iu评判的结果可用模糊集合表示为 mimiii vrvrvrR .2211 iR称为单因素评判集，可简单地表示为 imiii rrrR ,., 21 它是备择集 V上的一个模糊集合。将 n 个因素的评判集组成一个总的评判矩阵 nmnnmmn rrrrrrrrrRRRR21222211121121 R 称为单因素评判矩阵。 (4) 建立权重集 一般而言，各个因素的重要程度是不一样的。为了反映各因素的重要程度，对各个因素iu应赋予一相应的权数iw。由各权数所组成的集合 nwwwW , 21 称为因素权重集，简称为权重集。 (5) 模糊综合评判 从单因素评判矩阵 R 可以看出； R 的第 i行，反映了第 i个因素影响评判对象取各个备择元素的程度； R 的第 j 列，则反映了所有因素影响评判对象取第 j个备择元素的程度。因此，可用每列元素之和 ni ijr1 j=1,2, ,m 来反映所有因素的综合影响。但是这样做并未考虑个因素的重要程度。如在上式的各项作用以相应因素的权数 iW ，便能合理地反映所有因素的综合影响。淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 21 -页 共 53 页 - 21 - 因此，当权重集 W 和单因素评判矩阵 R 为已知时，便可作 模糊变换来进行综合评判 RWB = nmnnmmnrrrrrrrrrwww21222211121121 , = mbbb , 21 式中，“ ”表示某种合成运算； B 称为模糊综合评判集； mjbj ,2,1 称为模糊综合评判指标，简称为评判指标。jb的含义为综合考虑所有因素的影响时，评判对象对备择集中第 j个元素 的隶属度。 2.5.3 多级模糊综合评判 在复杂系统中，由于要考虑的因素很多，各因素之间往往还有层次之分，并且许多因素还具有比较强烈的模糊性，若用一级模糊综合评判模型，则难以比较系统中事物之间的优胜劣汰次序，得不出有意义的评判结果。此时，需用多级模糊综合评判。 当因素很多时，若用一级模糊综合评判模型，则必然会遇到这样一些问题，一是权数难以较为合理地分配，二是因重集中各权数都很小，会出现“泯没”大量单因素评判信息的情况。在实际应用中，如果遇到这种情形，可把因素集 U按某些属性分成几类，先对每一类（因素较少）作 综合评判，然后再对评判结果进行“类”之间的高层次的综合评判。 (1) 将因素分类 先根据因素集中因素间的关系将 U 分成 N 类，即 U=nuuu ,., 21 (2) 一级模糊综合评判 对每个 U=nuuu ,., 21的im个因素，按一级模糊综合评判模型进行综合 评判得 iii RWB i=1,2, ,N 式中， iW 为 iU 上的权重集，且 imiii wwwW , 21 ； iR 为对 U的单因素评判矩阵。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 22 -页 共 53 页 - 22 - (3) 二级模糊综合评判。 U的总的评价句矩阵 R 为 NBBBR 21=nn RWRWRW2211 根据各类因素的重要程度，赋予每个因素类似相应的权数，设为 nwwwW , 21 则总的评判结果为 如果因素集 U的元素非常多时，则仿照上述步骤还可进行三级甚至更多级的模糊综合评判。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 23 -页 共 53 页 - 23 - 3 凸轮机构的模糊优化设计 在各类机器中，为了实现各种复杂的运动要求，广泛应用着凸轮机构。近年来，国内外采用优化设计方法进行凸轮机构设计已取得较大的进展。但以往的工作均未考虑到凸轮机构中有些因素的模糊性，致使难以迅速获得诸方面皆满意的方案，考虑到约束条件的模糊性，下面建立了凸轮机构的模糊优化数学模型，并对一实例进行了模糊优 化设计。 3.1 凸轮机构的应用和分类 当从动件的位移、速度和加速度必须严格地按照预定规律变化，尤其当原动件作连续运动而从动件必须作间歇运动时，则以采用凸轮机构最为简便。 内燃机配气机构和自动机床上控制刀架运动的都为凸轮机构。故凸轮是一个具有曲线轮廓或凹槽的构件，它运动时，通过高副接触可以使从动件获得连续或不连续的任意预期往复运动。 凸轮机构一般由凸轮、从动件、机架三个构件组成。常用的凸轮机构可分类如下： 3.1.1 按凸轮的形状分 (1) 盘形凸轮 它是凸轮的最基本型式。这种凸轮是一 个绕固定轴线转动并具有变化矢径的盘形构件。 (2) 移动凸轮 当盘形凸轮的回转中心趋于无穷远时，凸轮相对机架作往复移动，这种凸轮称为移动凸轮。 (3) 圆柱凸轮 这种凸轮可认为是将移动凸轮卷成圆柱体而演化成的。 盘形凸轮和移动凸轮与从动件之间的相对运动为平面运动；而圆柱凸轮与从动件之间的相对运动为空间运动，所以前两者属于平面凸轮机构，后者属于空间凸轮机构。 3.1.2 按从动件的型式分 (1) 尖底从动件 尖底能与任意复杂的凸轮轮廓保持接触，从而使从动件实现任意运动。但因为尖底易于磨损，故只宜用于传 力不大的低速凸轮机构中。 (2) 滚子从动件 这种从动件耐磨损，可以承受教大的载荷，故应用最普遍。 (3) 平底从动件 这种从动件的底面与凸轮之间易于形成楫形油膜，故常用于高速凸轮机构之中。 以上三种从动件亦可按相对机架的运动形式分为作往复直线运动的直动从动件和作往复摆动运动的摆动从动件。 3.1.3 按凸轮与从动件维持高副接触的方式分 (1) 力锁合 利用从动件的重力、弹簧力或其他分力使从动件与凸轮保持接触。 (2) 几何锁合 依靠凸轮与从动件的特殊几何形状而始终维持接触。如凹槽凸轮，其凹槽两侧面间的距离等于滚子的直径，故能保证滚子与凸轮始终接触。显然，这种凸轮只能采用滚子从动件。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 24 -页 共 53 页 - 24 - 几何锁合的凸轮机构可以免除弹簧附加的阻力，从而减小驱动力和提高效率；它的缺点是机构外廓尺寸较大，设计也较复杂。 凸轮机构的优点是：只需设计适当的凸轮轮廓，便可使从动件得到任意的预期运动，而且结构简单、紧凑、设计方便，因此在自动机床、轻工机械、纺织机械、印刷机械、食品机械、包装机械和机电一体化产品中得到广泛应用。它的缺点是： 1)凸轮与从动件间为点或线接触，易磨损，只易用于传力不大的场合； 2）凸轮轮廓加工比较困难； 3）从动件的行程不能不能过大，否则会使凸轮变得笨重。 3.1.4 凸轮机构的压力角和自锁 偏置尖底直动从动件盘形凸轮机构在推程角的一个位置时，当不考虑摩擦时，凸轮 作用于从动件的驱动力 F 是沿法线方向传递的。此力可分解为沿从动件的运动方向的有用分力 F1 和使从动件紧压导路的有害分力 F2。驱动力 F 与有用分力 F1 之间的夹角 （或接触点法线与从动件上力作用点速度的方向所夹的锐角）称为凸轮机构在图示位置时的压力角。显然，压力角是衡量有用分力 F1和有害分力 F2 之比的重要参数。压力角 愈大，有 害分力 F2 愈大，由 F2 引起的导路中的摩擦阻力也愈大，故凸轮推动从动件所需的驱动力也就愈大。当 增大到某一数值时，因 F2 引起的摩擦阻力将会超过有用分力 F1，这时，无论凸轮给从动件的驱动力多大，都不能推动从动件，这种现象称为机构出现自锁。机构开始出现自锁的压力角 lim 称为极限压力角，它的数值与支承间的跨距，悬臂长度，接触面间的摩擦系数和润滑条件等有关。实践说明，当 增大到接近 lim时，即使尚未发生自锁，也会导致驱动力急剧增大，轮廓严重磨损、效率迅速降低。因此，实际设计中规定了压力角的许用值 。对摆动从动 件，通常取 =40- 50；对于直动件从动件通常取 =30 -38。滚子接触、润滑良好的支承有较好刚性时取数据的上限；否则取下限。 力锁合式凸轮机构，其从动件的回程是由弹簧等外力驱动的，而不是由凸轮驱动的，所以不会出现自锁。因此，力锁合式凸轮机构的回程压力角可以很大，其许用值可取 =70 - 80。 3.1.5 凸轮副的材料及其热处理 凸轮和从动件应具有足够的强度和耐磨性。一般应使从动件上与凸轮相接触部分的硬度略低于凸轮的硬度，因更换从动件比更换凸轮价廉而简便。 凸轮副常用材料及其热 处理，可根据载荷情况按下表选用。 凸轮材料及其热处理 材料类型 热 处 理 硬 度 接触疲劳强度极限 sHlim(MPa) 特 点 和 用 途 碳素钢 正火 HB150 190 2HB+70 低速、轻载凸轮或从动件 调质 HB220 250 2HB+70 综合性能较好，用于中低速、中载的凸轮或从动件 调质后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 中高速、中载、中等精度的凸轮或从动件 合金钢 调质 HB220 285 2HB+70 性能优于碳素钢调质，应用情况同碳素钢 调质后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 淬透性好，应用情况同碳素钢 氮化 HV550 750 1050 接触疲劳强度高，用于中高速、中载、高精度的凸轮或从动件 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 25 -页 共 53 页 - 25 - 3.2 凸轮机构的设计要求及其计算公式 3.2.1 设计要求 如图 5-13 所示偏置直动滚子从动件盘形凸轮机构，已知凸轮沿顺时针方向等角速度转动， n=100r/min，当凸轮转过升程角w=110 时，从动件按正弦加速度运 动规律运动，工作行程 h=40mm，从动件导路偏于凸轮回转中心的左方，确定凸轮的最小基圆半径br。 (1) 已知机构尺寸及有关参数 a=0.05m, c=0.015m , d=0.16m ,导路的摩擦系数 =0.1,凸轮轴半径 rs=0.01m,外载荷 Q=400N，弹簧刚度 K=5000N/m，从动件质量m=5kg，凸轮基圆半径与滚子半径之比 k=3.5, 凸轮与滚子弹性模 量 5101.2 E Mpa， 凸轮的许用接触应力 600MPa， 凸轮的角速度 w=10.472rad/s, w=110 =1.92rad， h=0.04m。 图 5-13 从动件的作用力 (2) 变量 y的上下界 0.02m,则 y 的上界为 y=d-a-s-b=0.16-0.05-0.04-0.02=0.05m 当从动件在下死点时，因凸轮基圆半径有 3106475.1 Tsb rrr,即 3101.45.3/01.075.1 bb rr ,故有 br 0.03m。假定偏距取最大值淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 26 -页 共 53 页 - 26 - e=-0.015m，则的 y 下界为 mery b 026.0015.003.0 2222 (3) 变量 e的上下界及 ， 根据机构尺寸，取 e =0,e = -0.015m，凸轮的许用最大压力角 30 ,凸轮的许用接触应力 600MPa。 3.2.2 凸轮机构的计算公式 按正弦加速度运动规律，计算从动件的位移 s，速度 s 和加速度 s 。 (1) 凸轮理论轮廓上任意点的曲率半径 uuc 2 (2) 从动件的作用力 smFKsQPs 其中， Q为外载荷， K为弹簧刚度，sF为弹簧的预紧力， m为从动件系统的质量。 (3) 凸轮轮廓的法向力。在不考虑滚子与凸轮轮廓之间的摩擦力的条件下，由从动件作用力的平衡方程组解得 s i n22c o s caba PaN 其中， 21,NN 为从动件导路的反作用力， N为凸轮的法向力， 为摩擦系数，a,b,c为凸轮机构尺寸（见图 5 13）。 (4) 凸轮轮廓的接触应力 vqE 418. 其中， q为凸轮轮廓单位宽度的载荷 (取 q=N/0.75rb)， E为凸轮与滚子的材料综合弹性模量，v为凸轮与滚子的综合曲率半径。 cbcbTTcTcTv k rkrrr rr 2 3.3 凸轮机构模糊优化设计的数学模型 根据设计要求，在满足正常运行条件下，确定凸轮的最小基 圆半径 br （也可以说凸轮用料最少），其模糊优化数学模型的建立如下： 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 27 -页 共 53 页 - 27 - 3.3.1 确定设计变量 由图 5-13可知，影响基圆半径的因素为其偏心距和滚子在下死点时 y 的数值。故设计变量 X=y,eT=x1,x2T 3.3.2 建立目标函数 由图 5-13可知，目标函数 minF(X)=(x12+x22)1/2 3.3.3 确定约束条件 考虑从完全许用到完全不许用的中介过渡过程，把凸轮的接触应力，凸轮的压力角，凸 轮的基圆半径等约束，视为设计空间中的模糊子集，约束条件如下： (1) 凸轮的接触应力强度约束 s i n22c o s75.0418.021cabarP a Ebv (2) 凸轮的压力角约束 1 wsy ewstg (3) 凸轮的最小基圆半径约束 bb rr 3.4 凸轮机构模糊约束的隶属函数的确定 3.4.1 凸轮的许用接触应力 因 600MPa，故下界 l =600MPa，上界 u = =1.2 600=720MPa。 图 5-14所示为其隶属函数图。隶属函数为 =720,0720600,1206001600,1 3.4.2 凸轮的许用最大压力角 因 =30 ,故下界 l =30 ,上界 u 1.2 30 =36 ,图 5-15为其隶属函数图。隶属函数为 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 28 -页 共 53 页 - 28 - 36,03630,630130,1 A 3.4.3 基圆的最小半径 br br =3.024 10-2m, 上界 ubr =3.024 10-2m, 下界 Lbr = br =0.8 3.024=2.419 10-2m。其隶属函数见图 5-16。隶属函数为 222210024.3,110024.310419.2,605.0419.210419.2,0bbbbbRrrrrrb 3.5 凸轮机构模糊优化设计的求解 求解模糊优化模型的基本途径，是把模糊优化问题转化为非模糊优化模型，再用普通优化方法求解。本文选用了最优水平截集法来实现这种转化，然后用复合形法进行求解。 水平值可理解为设防水平，表示对 约束条件的满足程度，不同的值可得到不同的优化结果。越小，意味着越不严格满足约束，结构安全性差，但对凸轮材料的投资就越小，反之，结构可靠，投资就越大。这就需要寻求一最优的，以保证安全可靠的前提下得到具有最佳经济效益的设计方案。考虑到影响凸轮结构的因素，本文采用二级模糊综合评判法得出最优水平值，并用它去确定约束条件中各模糊边界量， 从而将优化模型转化为普通优化模型 。 3.5.1 优化设计发展概况 优化设计是 20 世纪初发展起来的一门新科学。它是将最优化原则和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。利用这种新的设计方法，人们就可以从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现代设计的特点。 一项机械产品的设计，一般需要调查分析，方案拟订，技术设计，零件工作图绘制等环节。传统设计方法通常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算，经验类比或试验来确定初始设计方案。然后，根据初 试设计方案的设计参数进行淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 29 -页 共 53 页 - 29 - 强度，刚度，稳定性等性能分析计算，检查各性能是否满足设计指标要求。如果不完全满足性能指标的要求，设计人员将凭借经验或直观判断对参数进行修改。这样反复进行分析计算 性能检验 参数修改，直到性能完全满足设计指标的要求为止。整个传统设计的过程就是工人试凑和定性分析比较的过程，主要的工作是性能的重复分析。至于每次参数的修改，仅仅凭借经验或直观判断，并不是根据某种理论精确计算出来的。实践证明，按照传统设计方法作出的设计方案，大部分都有改进提高的余地，而不是最佳设计方案。 传统设计方 法只是被动地重复分析产品的性能，而不是主动地设计产品的参数。从这个意义上讲它没有真正体现“设计”的含义。其实“设计”一词本身就包含优化的概念。作为一项设计不仅要求方案可行 、合理，而且应该是某些指标达到最优的理想方案。设计中的优化思想在古代就有所体现。像这样简单的优化设计问题用古典的微分方法很容易求解，但对于一般的工程优化问题的求解，需要采用数学规划理论并借助于电子计算机才能完成。基于这一原因，“设计”中的优化的概念一直未能得以很好的体现。例如，我国宋代建筑师李戒在其著作营造法式一书中曾指出：圆木做成矩形 截面梁的高宽比应为三比二。这一结论和抗弯梁理论推得的结果十分接近。根据梁弯曲理论，最佳截面尺寸应使梁截面抗弯截面系数 W最大。设截面宽为 b，高为 h,则要求 W=bh2/6 max。若圆木直径为d，有 d2=b2+h2， W=b(d2-b2)/6,dW/db=(d2-3b2)/6=0。当 b=d/31/2 时， W 取极大值（ d2W/d2b=-b0），而 h=(2/3)1/2d，则有 21/2 1.414。这与 h/b=3/2=1.5 很相近。像这样简单的优化问题用古典的微分法很容易求解，但对于一般工程优化问题的求解，需要采用数学 规划理论并借助于电子计算机才能完成。基于这一原因，“设计”中优化的概念一直位能得以很好体现。直到 20 世纪 60 年代，电子计算机和计算机技术迅速发展，优化设计才有条件日益发展起来。 近 20 年来，随着电子计算机的应用，在机械设计领域内，已经可以用现代化的设计方法和手段进行设计，来满足对机械产品提出的要求。 现代化的设计工作已不再是过去那种凭借经验或直观判断来确定结构方案，也不是像过去“安全寿命可行设计”方法那样，即在满足所提出的要求的前提下，先确定结构方案，再根据安全寿命等准则，对该方案进行强度、 刚度等的分析、校合进行修改，以确定结构尺寸。而是借助电子计算机，应用一些精确度教高的力学的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并从大量的可行设计方案中寻找出一种最优的设计方案，从而实现用理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿命的可行性设计。 优化方法在机械设计中的应用，既可以使方案在规定的设计要求下达到某些优化的结果，又不必耗费过多的计算工作量。因此，产品结构、生产工艺等的优化已经成为市场竞争的一种手段。例如，据资料介绍，在 16h 内，进行 16000淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 30 -页 共 53 页 - 30 - 个可行性设计 的选择，从中选出一个成本最低、产量最大的方案，并给出必要的精确数据。而在这之前，求解这个问题，曾是一组工程师工作了一年，但仅做了三个设计方案，而他们的效率却没有一个可以和上述优化方案相比。又例如，美国贝尔 (Bell)飞机公司采用优化方法解决 450 个设计变量的大型结构优化问题。在对一个机翼进行质量设计中，减轻质量达 35%。波音（ Boeing）公司也有类似的情况，在 747 机身的设计中，收到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本的效果。武汉钢铁公司所引进的 1700 薄板扎机是德国 DMAG 公司提供的。该公司在对此产品进行 优化修改后，就多赢利几百万马克。 优化方法不仅用于产品机构的设计、工艺方案的选择，也用于运输路线的确定、商品流动量的调配、产品配方的配比等等。目前，优化方法在机械、石油、化工、电机、建筑、宇航、造船、轻工等部门都已得到广泛应用。 在第二次世界大战期间，由于军事上的需要产生了运筹学，提供了许多用古典微分法和变分法不能解决的最优化方法。 20 世纪 50 年代发展起来的数学规划理论形成了应用数学的一个分支为优化设计奠定了理论基础。 20 世纪 60 年代电子计算机和计算技术的发展为优化设计提供了强有力的手段，使工程技术 人员能够从大量烦琐的计算机工作中解放出来，把主要精力转到优化方案选择的方向上来。虽然近 20 多年来优化设计方法已在许多工业部门得到应用，到最优化技术成功地运用也机械设计还是在 20 世纪 60 年代后期开始的；虽然历史较短，但进展迅速。十多年来在机构综合 、机械零部件设计、专用机械设计和工艺设计方法都获得应用并取得一定成果。 机构运动参数的优化设计是机械优化设计中发展较早的领域，不仅研究了连杆机构、凸轮机构等再现函数和轨迹的优化设计问题，而且还提出了一些标准化程序。机构动力学优化设计方面也有很大进展，如惯性力的 最优平衡，主动件力矩的最小波动等的优化设计。机械零、部件的优化设计最近十几年也有很大的发展，主要是研究各种减速器的优化设计、减压轴承和滚动轴承的优化设计以及轴、弹簧、制动器等的结构参数优化。除此之外，在机床、锻压设备、压延设备、起重运输设备、汽车等的基本参数、基本工作机构和主体结构方面也进行了优化设计工作。 近年来，机械优化设计的应用愈来愈广，但还面临着许多问题需要解决。例如，机械产品设计中零、部件通用化、系列化和标准化，整机优化设计模型及方法的研究，机械优化设计中离散变量优化方法的研究，更为有效的 优化设计方法的发掘等一系列问题，都需做较大的努力才能适应机械工业的发展的需要。 近年来发展起来的计算机辅助设计 (CAD)，在引入优化设计方法后，使得在设计过程中能够不断选择设计参数并选出最优化设计方案，又可以加速设计速度，缩短设计周期。在科学技术发展要求机械产品更新周期日益缩短的今天，把 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 31 -页 共 53 页 - 31 - 优化设计方法与计算机辅助设计结合起来，使设计过程完全自动化，已成为设计的一个重要发展趋势。 机械优化设计包括建立优化设计问题的数学模型和选择适当的优化方法与程序两方面的内容。由于机械优化设计是应用数学方法寻 求机械设计的最优方案，所以首先要根据实际的机械设计问题建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际设计问题。在建立数学模型时，需要应用专业知识确定设计的限制条件和所追求的目标，确立各设计变量之间的相互关系等。机械优化设计问题的数学模型可以是解析式、试验数据或经验公式。虽然它们给出的形式不同，但都是反映设计变量之间的数量关系的。 数学模型一旦建立，机械优化设计问题就变成一个数学求解问题。应用数学规划方法的理论，根据数学模型的特点，可以选择适当的优化方法，进而可以选取或自行编制计算机程序，以计算机作为工具 求得最佳设计参数。 3.5.2 优化设计问题的数学模型 设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。这些基本参数可以是构件长度、截面尺寸、某些点的坐标值等几何量，也可以是重量、惯性矩、力或力矩等物理量，还可以是应力、变形、固有频率、效率等代表工作性能的导出量。但是，对某个具体的优化设计问题，并不是要求对所有的基本参数都用优化方法进行修改调整。例如，对某个机械结构进行优化设计，一些工艺、结构布置等方面的参数，或者某些工作性能的参数，可以根据已有的经验先取为定值。这样，对这个设计方案来 说，他们就成为设计常数。而除此之外的基本参数，则需要在优化设计工程中不断进行修改、调整，一直处于变化的状态，这些基本参数称做设计变量，又叫做优化参数。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量来表示 x=x1 x2 . xnT 称做设计变量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根据使用的方便任意选取。这些设计变量可以是一些结构尺寸参数，也可以是一些化学成分的含量或电路参数等。一旦规定了这样一种向量的组成，则其中任意一个特定的向量都可以说是 一个“设计”。由 n 个设计变量为坐标所组成的矢空间称做设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示，此点可看成是设计变量向量的端点（始点取在坐标原点），称做设计点。 约束条件 设计空间是所有设计方案的组合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的（例如面积取负值等）。如果一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行（或可接受）设计，反之则称为不可行（或不可接受）设计。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 32 -页 共 53 页 - 32 - 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称做约束条件，简称约束。在工程问题中，根据约束的性质可以把它们区分成性 能约束和侧面约束两大类。针对性能要求而提出的限制条件称做性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求，衍架某点变形不超过给定值。不是针对性能要求，只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称为侧面约束。例如，允许选择的尺寸范围，衍架的高在其上下限范围之间的要求就属于侧面约束。侧面约束也称做边界约束。 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型。等式约束h(x)=0 要求设计点在 n 维设计空间的约束曲面上。不等式约束 gj(x)0 (j=1,2,.,m) 要求设计点在设计空间中约束曲面 g(x)=0 的一侧（包括曲面本身）。所以，约束是对设计点在设计空间中活动范围所加的限制。凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称做可行域。如满足不等式约束 gj(x)0 (j=1,2,.,m) 的设计点活动范围，它是由 m个约束曲面 gj(x)=0 (j=1,2,.,m) 所形成的 n维子空间（包括边界）。满足两个或更多个 gj(x)=0 点的集合称做交集。在三维空间中两个约束的交集是一条空间曲线，三个约束的交集是一个点。在 n维空间中 r 个不同约束 的交集的维数是 n-r 的子空间。等式约束 h(x)=0 可看成是同时满足 h(x)0 和 h(x)0 两个不等式约束，代表 h(x) 0 曲面。 约束函数有的可以表示成显示形式，即反应设计变量之间明显的函数关系，这类约束称做显式约束。有的只能表示成隐式形式，需要通过有限元法或动力学计算求得，机构的运动误差要用数值积分来计算，这类约束称做隐式约束。 目标函数 在所有的可行设计中，有些设计比另一些要“好些”，如果确实是这样，则“较好”的设计比“较差”的设计必定具备某些更好的性质。倘若这种性质可以表示成设计变量 的一个可计算函数，则我们就可以考虑优化这个函数，以得到“更好”的设计。这个用来使设计得以优化的函数称做目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称做评价函数，记做 f(x)，用以强调它对设计变量的依赖性。目标函数可以是结构重量、体积、功耗、产量、成本或其它性能指标（如变形、应力等）和经济指标等。 建立目标函数是整个优化设计过程中比较重要的问题。当对某一设计性能有特定的要求，而这个要求又很难满足时，则若针对这一性能进行优化将会取得满意的效果。但在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标 ，这淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 33 -页 共 53 页 - 33 - 将是多目标函数问题。例如，设计一台机器，期望得到最低的造价和最少的维修费用。 目标函数是 n维变量的函数，它的函数图象只能在 n+1 维空间中描述出来。为了在 n 维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面，其数学表达式为 f(x)=c (c 为一系列常数），代表一族 n维超曲面。如在二维设计空间中 f(x1,x2)=c，代表x1-x2 设计平面上的一族曲线。 数学模型 优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学模型。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。 求设计变量向量 x=x1 x2 . xnT使 f(x) min 且满足约束条件 hk(x)=0 (k=1,2,.,l) gj(x)0(j=1,2,.,m) 利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足 gj(x)0(j=1,2,.,m)和 hk(x)=0(k=1,2,.,l)的设计点集合为 R，即 R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成 求 x 使 minf(x) (x R) 符号“ ”表示“从属于” 。 在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化 f(x) min 或目标函数极大化 f(x) max。由于求 f(x)的极大化与求 -f(x)的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。 优化问题可以从不 同的角度进行分类。例如，按其有无约束条件分成无约束优化问题和约束优化问题。也可以按照约束函数和目标函数是否同时为线性函数，分成线性规划问题和非线性规划问题。还可以按问题规模的大小进行分类，例如，设计变量和约束条件的个数都在 50 以上的属大型， 10 个以下的属小型，1050 属中型。随着电子计算机容量的增大和运算速度的提高，划分界限将会有所变动。 优化问题的几何解释 无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反应出来的，则无约束优化问题的极 小点即为等值面的中心。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 34 -页 共 53 页 - 34 - 约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。 3.5.3 普通优化设计的一般解法 求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出优化解。但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于直接用解析方法求解。另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量实验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解 ，并通过实验来验证，或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验（探索性的计算），并根据实验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解，这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。它不仅可用于求复杂函数的油画界，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题。因此，它是实际问题中常用的方法。不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。 在机械优化设计中，大致可以分为两类设计方法：优化准则法和数学规划法。 优化准则法 从一个初始设计 kx 出发（ k 不是指数，而是上角标， kx 是 )(kx 的简写），着眼于在每次迭代中应满足的优化条件，按着迭代公式（其中 kC 为一对角矩阵） kkk xCx 1 来得到一个改进的设计 kx ，而无需再考虑目标函数和约束条件的信息状态。 数学规划法 从一个初始设计 kx 出发，对结构进行分析， 但是按照如下迭代公式 kkk xxx 1 (22) 得到一个改进的设计 1kx 。 在这类方法中，许多算法是沿着某个搜索方向 kd 以适当步长ka的方式实现对 kx 的修改，以获得 kx 值的。此时式 (22)可写成 kkkk daxx 1 而它的搜索方向 kd 是由目标函数和约束条件的局部信息状态形成的。 数学规划法的核心一是建立搜索方向 kd ，二是计算最佳步长 ka 。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 35 -页 共 53 页 - 35 - 由于数值迭代是逐步逼近最优点而获得近似解的，所以要考虑优化问题解的收敛性及迭代过程的终止条件。 (1) 收敛性 指某种迭代程序产生的序列 ),1,0( kx k 收敛于 *1lim xx kk 点列收敛的 必要和充分条件是：对于任意指定的实数 0 ，都存在一个只与 有关而与 x 无关的自然数 N，使得当两自然数 Npm , 时，满足 pm xx 或 nipimi xx12)( 或nxx ipimi (2) 迭代终止准则 当新得到一个迭代点 1kx 后，我们就要检验这个店是否为最优点活着 最优点的近似点。检验的方法可因目标函数的性质及迭代方法的不同而不同。当迭代过程已接近最优点 *x 时，相邻两次迭代所得到的点 kx 和 1kx 已经十分接近，而且它们所对应的目标函数值 )( kxf 和 )( 1kxf 也很接近。根据收敛条件，可以确定迭代终止准则即停机准则。一般采用以下几种迭代终止准则： 当相邻两设计点 kx 和 1kx 之间的移动距离已达到充分小时，则可认为 1kx 是极小值点，此时可以终止迭代。若用向量模计算它的长度，则 kk xx 1 式中， 为一个事先给定的代表计算精度的足够小的正数。式 kk xx 1 又称为向量 kk xx 1 的模，它表示 n维空间中两点 kx 和 1kx 之间的距离。 当相邻两设计点 kx 和 1kx 的目标函数值已充分接近，即目标函数的下降量已达到充分小时 ,则可认为 1kx 是极小值点，此时可以终止迭代。即 )()( 1 kk xfxf 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 36 -页 共 53 页 - 36 - 或用其相对值 )( )()( 1 k kk xf xfxf 式中， 为 一个事先给定的足够小的正数。 当某次迭代点的目标函数梯度已达到充分小时，即 5)( kxf 此时可以终止迭代过程。这是由于函数极值点的必要条件是函数在这一点的梯度值的模为零。式中， 为一个事先给定的足够小的正数。 只要满足以上三点中之一，就可以认为目标函数值 )( 1kxf 已收敛于其极小值。也可以联合应用以上几式，进行综合判断。 必须指出，上述三个收敛准则都只是在一定程度上反映了迭代达到极小点的特点 ，但并不能保证所得到的极小点一定就是全局的最优点，特很可能仅仅是一个局部的极小点。因此我们有必要考察是否为全局最优点，通常可以同时取若干个相距较远的点作为出试点，分别进行迭代，考察它们最后迭代所得到的极小点是否趋于一致。若是一致的，则可认为目标函数是单峰的，所得到的极小点就是全局最优点，否则，则认为目标函数是多峰的。此时可从若干个不同的极小点中，选择其目标函数值最小的作为全局最优点。 3.5.4 一维搜索方法 当方向 kd 给定，求最佳步长ka就是一元函数 )()()( 1 kkkkk adaxfxf 的极值问题，它称作一维搜索。一维搜索是优化搜索方法的基础。 搜索区间的确定 通常我们采用进退法来确定搜索区间。一般用字母 a、 b 表示区间的左、右端点，即 a,b。这个区间首先应满足 )()()( * bfafaf k baa k * 就是说，要保持极小点 *ka在搜索区间内。 如图 1所示，先给定一个初始点 0a 以 图 1 搜索区间 及初始步长 a （注意这里的步长是用于确 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 37 -页 共 53 页 - 37 - 定搜索区间的，与我们通过一维搜索步长完全是两回事），计算函数值 )(0af和)( 0 aaf ，有 )()( 00 aafaf 则将初始步长 a 加大两倍，再计算函数值 )3(0 aaf ，若有 )3()( 00 aafaaf 则可确定搜索区间如下 3, 00 aabaa 否则，将步长再加倍，重复前述步骤，最终可以找到搜索区间的上限即右端点 b，其下限即左端点始终为0aa。 以上过程称为前进计算。 若计算，函数值 )(0af和)( 0 aaf ，其结果 如左图 图 2 所示，有 )()( 00 aafaf 可将步长加大两倍并改变符 图 2 搜索区间 号，计算 )2(0 aaf ，若有 )2()( 00 aafaf 则可确定搜索区间如下 ,2 00 aabaaa 否则，可将步长再加倍，继续前述步骤，最终可找到搜索区间的下限即左端点 a，其上限即右端点始终为 aab 0。 以上过程称为后退计算。 前进计算和后退计算合起来我们称为进退法。 一维搜索区间的试探方法 搜索区间确定后，我们就可以在这个区间里求最佳步长 *ka。其基本思想是这样的，我们一步一步地缩小搜索区间，并且保证每次缩小以后， *ka仍在此区淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 38 -页 共 53 页 - 38 - 间内，这样当这个区间缩小到足够小时，我们就可以将此区间的中点近似地作为所要求的最佳步长 *ka。 在实际计算中，最常用的一维搜索试探方 法是黄金分割法，又称作 0.618法。它是用于 a,b区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求“单谷”外不做其它要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适用面相当广。黄金分割法是在搜索区间 a,b内适当插入两点1a、2a，并计算其函数值。1a、2a将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短 ，每次缩短后的区间长度均为前次区间长度的 0.618 倍。然后再在保留下来的区间上做同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 黄金分割法要求插入点 1a 、 2a 的位置相对于区间 a,b两端点具有对称性，即 )(1 abba )(2 abaa 其中 为待定常数。 除对称要求外，黄金分割法还要求在 保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。具体步骤是这样的：在区间 00,ba内取两个黄金分割点，如图 3 所示 )(618.0 0001 abba )(618.0 0002 abaa 计算 )( 1af 和 )( 2af 的值并进行比较，若 图 3 黄金分割法 )()( 21 afaf 则说明要求的 *ka一定在 20,aa内，这时可去掉 02,ba一段，将 20,aa作为缩短后的新区间 ba, ， 20 , abaa 。在此新区间内保留有 1a 点，由于 )(618.0 0001 abba 新区间长度为 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 39 -页 共 53 页 - 39 - )(618.0)(00 abab 所以 )(618.00001 abba )(618.0)(382.00000 ababb )()(382.000 ababb )(382.000 aba 618.0/)(382.0 aba )(618.0 aba 因而， 1a 又是新区间 a,b内的一个黄金分割点，相当于前面 的 2a 。因此我们在进行第二次缩短区间时，只用计算一个新的黄金分割点及其函数值即可。这样就简化了计算。 反之，若 )()( 21 afaf 则说明要求的 *ka一定在 01,ba内，这时可去掉 10,aa一段，将 01,ba作为缩短后的新区间 ba, ，01 , bbaa 。此时，区间内保留有 2a 点，同样道理，我们可以说明 2a 仍是新区间内的一个黄金分割点 )(618.002 abba 因此不论我们去掉哪一段，在进行下一次计算时，都只要计算一个新的点就可以了。 如此反复进行下去，直到搜索区间缩小到足够小，满足不等式 001abb 时，我们即可取此区间的中点作为所要求的最佳步长的近似值 )(21* aba k 其中 为一个事先给定的足够小的正数。它代表了进行一维搜索是精度要求。 3.5.5 约束优化方法 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 40 -页 共 53 页 - 40 - 约束优化设计中的问题，大多数属于约束优化问题，其数学模型为 minf(x)=f nxxx , 21 s.t mjxxxgxgnjj ,2,10, 21 mkxxxhxhnkk ,2,10, 21 将解上式的方法称为约束优化方法。根据求解方式的不同，可分为直接解法，间接解法等。 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，它的基本思路是在 m 个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点 0x ，然后决定可行搜索方向 d，且以适当的步长 ，沿 d 方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点 1x ，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。每次迭代计算 均按以下基本迭代格式进行 kkkk dxx 1 （ k=1,2,.） 式中 k-步长； dk -可行搜索方向。 所谓可行搜索方向是指，当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。产生可行搜索方向的方法将由直接解法中的各种算法决定。 直接解法的原理简单，方法实用。其特点是： (1) 由于整个求解过程在可行域内进 行，因此，迭代计算不论何时终止，都可 获得一个比初试点好的设计点。 (2) 若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全域最优解。否则，因存在多个局部最优解，当选择的初始点不相同时，则能搜索到不同的局部最优解。为此，常在可行域内选择几个差别较大的初始点分别计算，以便从求得的多个局部最优解中选择更好的最优解。 (3) 要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。 间接解法有不同求解策略，其中一种解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标 函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。 间接解法的基本迭代过程是，首先将上式所示的约束优化问题转化成新的无淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 41 -页 共 53 页 - 41 - 约束目标函数 mjlk kjxhHxgGxfx1 1 2121)()(, 式中 21, x-转化后的新目标函数； mj jxgG1 1 ， lk kxhH1 2 -分别为约束函数 xgj ， xhk 经过加权处理后构成的某种形式的复合函数或泛函数； 21, -加权因子。 然后对 21 , x 进行无约束极小化计算。由于在新目标函数中包含了各种 约束，在求极值的过程中还将改变加权因子的大小。因此可以不断地调整设计点，使其逐渐逼近约束边界。从而间接地求得原约束问 题的最优解。 例 求约束优化问题 Minf(x)= 2121 2 xx s.t.h(x)= 022 21 xx 的最优解。 解：该问题的约束最优解 Tx 2.0,6.1* ， 8.0)( * xf 。 由几何解释知，约束最优点 *x 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。 用 间接解法求解时，可取 8.02 ，转化后的新目标函数为 228.012, 2122212 xxxxx 可以用解析法求 min 2, x ,即令 0 ，得到方程组 08.02211 xx 06.11222 xx 解此方程组，求得的无约束最优解为： Tx 2.0,6.1* ， 8.0, 2* x 。其结淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 42 -页 共 53 页 - 42 - 果和原约束最优解相同。 间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方法。其特点是： (1) 由于无约束优化方法的研究日趋成熟。已经研究出不少有效的无约束最佳优化方法和程序，使得间接解法有了可靠的基础。目前，这类算法的计算效率和数值计算的稳定性也都有较大的提高。 (2) 可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题 (3) 间接解法存在的主要问题是，选取加权因子教为困难。加权因子选取不当，不但影响收敛速度和计算精度，甚至会导致计 算失败。 随机方向法 随机方向法是一种原理简单的直接解法。它的基本思路是在可行域内选择一个初试点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向，记作0d从初始点 0x 出发，沿 d 方向以一定的步长进行搜索，得到新点 x，新点 x 应满足约束条件： mjxgj ,2,10 ，且 f(x)f( 0x ),至此完成一 次迭代。然后，将起始点移至 x,即令 xx 0 。重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。 随机方向法的优点是对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单，使用方便。由于可行搜索方向是从许多随机方向中选择的使目标函数下降最快的方向，加之步长还可以灵活变动，所以此算法的收敛速度比较快。若能取得一个教好的初始点，迭代次数可以大大减少。它是求解小型的机械优化设计问题的一种十分有效的算法。 随机方向法的计算步骤： (1) 选择一个可行的初始点 ox ； (2) 产生 k 个 n维随机单位向量 je (j=1,2,3, ,k)； (3) 取试验步长0 ，计算出 k 个随机点 jx (j=1,2,3, ,k)； (4) 在 k 个随机点中，找出满足条件的随机点 Lx ，产生可行搜索方向 0xxd L (5) 从初始点 0x 出发，沿可行搜索方向 d 以步长 进行迭代计算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标函数值不再下降的新点 x 。 (6) 若收敛条件 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 43 -页 共 53 页 - 43 - 00xxxfxf 得到满足，迭代终止。约束最优解为 xx * ， xfxf * 。否则，令 xx 0 。 例 求约束优化问题 minf(x)= 221 xx s.t. 0922211 xxxg 01212 xxxg 的最优解 解 用随机方向法程序，在计算机上运行，共迭代 13 次，求得约束最优解： Tx 0.3,0027.0* ， 3* xf 。 复合形法 复 合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法。它的基本思路是在可行域内构造一个具有 k 个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目标函数值最大的顶点（称最坏点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的复合形，复合形的形状没改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。 由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数及约束函数的性状又无特殊要求，因此该法的适应性较强，在机械优化设计中得到广泛应用。 初始复合的形成 复合形法是在可行域内直接搜索最 优点，因此，要求初试复合形在可行域内生成，即复合形的 k 个顶点必须都是可行点。 生成初始复合形的方法有以下几种： (1) 由设计者决定 k 个可行点，构成初始复合形。当设计变量较多或约束函数复杂时，由设计者决定 k 个可行点常常很困难。只有在设计变量少，约束函数简单的情况下，这种方法才被采用。 (2) 由设计者选定一个可行点，其余的 (k-1)个可行点用随机法产生。各顶点按下式计算 )( abrxjj (j=1， 2， ， k) 式中 jx-复合形中的第 j 个顶点； 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 44 -页 共 53 页 - 44 - a、 b-实际变量的下限和上限； jr-在 (0,1)区间内的伪随机数。 用上式计算得到的 (k-1)个随机点不一定都在可行域内，因此要设法将非可行点移到可行域内。通常采用的方法是，求出已经在可行域内的 L 个顶点的中心cx LjcjLx11 然后将非可行点向中心点移动 ，即 cLcL xxxx 11 5.0 若 1Lx 仍为不行点，则利用上式，使其继续向中心点移动。显然，重要中心点可行， 1Lx 点一定可以移动到可行域内。随机产生的 (k-1)个点经过这样的处理后，全部成为可行点，并构成初始复合形。 事实上，只要可行域为凸集，其中心点必为可行点，用上述方法可以成功地在可行域内构成初始复合形。如果可行域为非凸集，中心点不一定在可行域之内，则上述方法可能失败。此时可以通过改变设计变量 的上下限，重新产生各顶点。经过多次试算，有可能在可行域内生成初始复合形。 (3) 由计算机自动生成初始复合行的全部顶点。其方法是首先随机产生一个可行点，然后按第二种方法产生其余的 (k-1)个可行点。这种方法对设计者来说最为简单，但因初始复合形在可行域内的位置不能控制，可能会给以后的计算带来麻烦。 复合形法的搜索方法 在可行域内生成初始复合行后，将采用不同的搜索方法来改变其形状，使复合形逐步向约束最优点趋近。改变复合形形状的搜索方法主要有以下几种： (1) 反射 反射是改变复合形形状的一种主要策略 ,其计算 步骤为 : 计算复合形各顶点的目标函数值 ,并比较其大小 ,求出最好点 LX ,最坏点 HX 及次坏点GX,即 LX : LXf =min kjjxf ,.,2,1 HX : kjjH xfXf , . . . ,2,1m a x 计算除去最 坏点 ux 外的 (k-1)个顶点的中心 cx 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 45 -页 共 53 页 - 45 - kj jcxkx111 从统计的观点来看 ,一般情况下 ,最坏点Hx和中心点Gx的连线方向为目标函数下降的方向。为此，以cx点为中心，将最坏点Hx按一定比例进行反射，有希望找到一个比最坏 点Hx的目标函数值为小的新点Rx，Rx为反射点。其计算公式为 HCcR xxxx 176 式中 反射系数，一般取 3.1 。 反射点 Rx 与最 坏点 Hx ，中心点cx的相对位置如图 4 所示。 判别反射点 Rx 的位置： 若 Rx 为可行点，则比较 Rx 和 Hx 两点的目标函数值，如果 HR xfxf ，则 R x 取代 Hx ，构成新的复合形，完成一次 图 4 相对位置 迭代；如果 HR xfxf ，则将 缩小 0.7 倍，用式（ 6-17）重新计算新的反射点，若仍不可行，继续缩小 ，直至 HR xfxf 为止。 若 Rx 为非可行点，则将 缩小 0.7 倍，仍用式（ 6-17）计算反射点 Rx ，直至可行为止。然后重复以上步骤，即判别 Rxf 和 Hxf 的大小，一旦 HR xfxf ，就用 Rx 取代 Hx 完成依次迭代。 综上所述，反射成功的条件是： HR Rj xfxf mjxg ,2,10 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 46 -页 共 53 页 - 46 - (2) 扩张 当求得的 反射点Rx为可行点 ，且目 标函数 值下降较 多（例 如： cR xfxf ），则沿反射方向继续移动，即采用扩张的方法，可能找到更好的新点Ex，Ex称为扩张点。其计算公式为 cRRE xxxx 式中 -扩张系数，一般取 1 。 扩张点 Ex 与中心点Cx、反射点 Rx 的相对位置如图所示。 若扩张点 Ex 为可行点，且 )()( RE xfxf ,则称扩张成功，用 Ex 取代 Rx ，构成新的复合形。否则称扩张失败，放弃扩张，让用原反射点 Rx 取代 Hx ，构成新的复合形。 (3) 收缩 若在中心点Cx以外找不到好的反射点，还可以在Cx以内，即采用收缩的方法寻找较好的新点kx，kx称为收缩点。其计算公式为 )(HCHk xxxx 式中 收缩 系数，一般取 7.0 。 收缩点kx与最坏点 Hx 、中心点Cx的相对位置如图 5所示。 若 )()(Hk xfxf ，则称为收缩成功，用kx取代 Hx ，构成新的 复合形。 图 5 相对位置 (4) 压缩 若采用上述各种 方法均无效，还可以采取将复合形各顶点项最好点靠拢，即采用压缩的方法来改变复合形的形状。压缩后的各顶点的计算公式为 jLLj xxxx 5.0 Ljkj ；,. .,2,1 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 47 -页 共 53 页 - 47 - 压缩后的复合形各项点的相对位置如图 6所示。 然后，在对压缩后的复合型采用反射、扩张或收缩等方法，继续改变复合形的形状。 除此之外，还可以 图 6 复合形的压缩变形 采用旋转等方法来改变复合形形状。应当指出的事，采用改变复合形形状的方法越多，程序设计越复杂，有可能降低计算 效率可靠性。因此，程序设计时，应针对具体情况，采用某些有效的方法。 复合形法的计算步骤 基本的复合形法（只含反射）的计算步骤为： (1) 选择复合形的顶点数 k，一般取 nkn 21 ，在可行域内构成具有 k 个顶点的初始复合形。 (2) 计算复合形各顶点的目标函数值，比较其大小，找出最好点 Lx 、最坏点 Hx及次坏点Gx。 (3) 计算除去最坏点 Hx 以外的 (k-1)个顶点的中心Cx。判别Cx是否可行，若Cx颗星点，则转步骤 (4)；若Cx为非可行点，则重新确定设计变量的下限和上限制，即令 Lx ， cxb 然后转步骤 (1)，重新构造初始复合形。 (4) 按式（ 6-17）计算反射 点 Rx ，必要时，改变反射系数 a 的值，直至反射成功，既满足式（ 6-18）。然后以 Rx 取代 Hx ，构成新的复合形。 (5) 若收敛条件 211211 kjLj xfxfk 得到满足，计算终止。约束最优解为 : Lxx * , Lxfxf * 。否则，转步骤 (2)。 淮海工学院二七届本科毕业设计（论文） 第 - 48 -页 共 53 页 - 48 - 3.5.6