（应用数学专业论文）基于逻辑算子的模糊粗糙集模型.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 粗糙集理论是p a w l a k 于1 9 8 2 年提出的一种处理不确定性知识的数学工 具，现在已发展成为人工智能的一个重妻研究方向，在数据挖掘( d a t a m i n i n g ) 与知识发现( 1 ( d d ) 中具有非常广泛的应用背景，并已获得许多成功的应用 p a w l a k 租糙集模型是建立在等价关系基础上的为推广租糙集理论的应 用范围，p a w l a k 粗糙集模型被推广为多种形式，包括模糊粗糙集模型、概率 粗糙集模型、变精度粗糙集模型以及一般二元关系下的租糙集模型等本文 研究基于逻辑算子的模糊粗糙集模型，具体做了如下研究工作： ( 1 ) 给出了两类基于逻辑算子的模糊粗糙集模型：利用连续三角模t 给 出论域中模糊集合的上近似算子的定义，再分别利用t 的剩余蕴涵算子西和t 的对偶余模妒给出了模糊集合的两类下近似算子的定义 ( 2 ) 讨论了这两类近似算子的基本性质，特别研究了特殊的模糊关系r 近似算子之间的联系 ( 3 ) 通过闭包与内部算子研究模糊粗糙集的拓扑性质，证明了在自反且t 传递的模糊关系r 下的近似空间中，上、下近似算子分别为一个模糊拓扑的 闭包，内部算子 关键词粗糙集；模糊粗糙集；模糊拓扑；近似算子：逻辑算子 西南交通大学硕士研究生学位论文第n 页 a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r yi sam a t h e m a t i c a lt o o lo fd e a l i n gw i t hu n c e r t a i n i n f o r m a t i o n ，a n dp a w l a kp u tf o r w a r dt h i st h e o r ya t1 9 8 2 a tp r e s e n t ， i th a sd e v e l o p e dt ob ea ni m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o no fa r t i f i c i a l i n t e l li g e n t ，i th a sv e r ye x t e n s i v el a t e n ta p p l y i n gb a c k g r o u n da tt h e f i e l do fd a t am i n i n g p a w l a kr o u g hs e t a se s t a b l i s h e da tt h eb a s eo fe q u i v a l e n tr e l a t i o n f o rg e n e r a l i z i n gt h ea p p l i c a t i o na r e ao fr o u g hs e tt h e o r y ，p a w l a kr o u g h s e tm o d e li sg e n e r a l i z e dt om a n ym o d e l si n c l u d e df u z z yr o u g hs e tm o d e l 、 p r o b a b i l i t yr o u g hs e tm o d e l 、a l t e r a b l ep r e c i s i o nr o u g hs e tm o d e la n d t h er o u g hs e tm o d e l u n d e rt h eg e n e r i cb i n a r yr e l a t i o ne t c i nt h i s p a p e r ，f u z z yr o u g hs e t sb a s e do nl o g i c a lo p e r a t o r sa r er e s e a r c h e d m a t e r i a lw o r ki sd o n ea sf o l l o w s ： f i r s t l y ，ag e n e r a lf o r m u l an o r mi sg i v e nf o rt h ea p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r so ff u z z ys e t su s i n gt h et r i a n g u l a rn o r ma n di t s c o n o m a n d a n o t h e rg e n e r a lf o r m u l an o r mi sg i v e nu s i n gat r i a n g u l a rn o r ma n da n i m p l i c a t o r 。b a s i cp r o p e r t i e so ff u z z yr o u g hs e t sa r ei n v e s t i g a t e d s e c o n d l y ，t h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nf u z z yr e l a t i o n sa n df u z z yr o u g h a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa r ee x a m i n e d f i n a l l y ，b a s e do nc l o s u r ea n di n t e r i o ro p e r a t o r s ，w ed i s c u s s e st h e t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ff u z z yr o u g hs e t s i naa p p r o x i m a t i o ns p a c e w h i c hi sb a s e do nar e f l e x i v ea n df t r a n s i t i v ef u z z yr e l a t i o n 。i ti s p r o v e dt h a tt h eu p p e ra n dl o w e ra p p r o x i m a t i o n so ff u z z ys e t sa r ec l o s u r e a n di n t e r i o ro p e r a t o r so f8f u z z yt o p o l o g yr e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：r o u g hs e t ：f u z z yr o u g hs e t ：f u z z yt o p o l o g y ：a p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r ；f u z z yr e l a t i o n ：l o g i c a lo p e r a t o r 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 。1 粗糙集理论概述 第1 章绪论 粗糙集理论是波兰数学家p a w l a k 【t 4 1 在1 9 8 2 年提出的，借鉴了逻辑学和 哲学中对不精确信息的各种定义，针对知识库，提出不精确范畴等概念，并 在此基础上形成了完整的理论体系相糙集理论该理论是一种刻画不完 整和不确定性信息的数学工具，能有效地分析不精确( i m p r e c i s e ) 、不一致 ( i n c o n s i s t e n t ) 、不完整( i n c o m p l e t e ) 等不完各的信息，还可以对数据进行 分析和推理，从中发现隐含的知识、揭示潜在的规律 由于最初关于粗糙集理论的研究文献大部分是波兰语的，因此当时没有 引起国际学术界的重视，研究地域也仅局限在东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起世界各国学者的注意近几年来，由于它在机器学习与知 识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面的广泛应用，研究逐渐趋热1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论的国际学术会议在波兰召开；1 9 9 5 年，a c m c o 皿n u n i z a t i o n 将其列为新浮现的计算机科学的研究课题这些都表明了粗 糙集理论及其应用研究有着广泛的发展前景 p a w l a k 最初提出的粗糙集模型是以等价关系为基础的，它将分类理解为 特定空间上的等价关系，而等价关系构成了对该空间的划分，将知识理解为 对数据的划分，每一被划分的集合称为概念其主要思想是利用已知的知识 库，将不精确或不确定的知识用己知的知识库中的知识来近似刻画在对于 粗糙集理论的研究中，为了使该理论能有更大的应用空间，研究者提出很多 推广的粗糙集模型，对p a w l a k 粗糙集模型推广的研究也一直是粗糙集理论研 究的主流方向，目前主要有两种方法：( 1 ) 公理化方法；( 2 ) 构造住方法 ( 1 ) 公理化又称代数方法方法或算子方法，这种方法不是以二元关系为 基本要素，它的基本要素是一对满足某些公瑾的元( 集合) 近似算子 三，日：2 u 一2 ”，即粗糙代数系统( 2 ”，一，n ，u ，日) 中近似算子是事先给定 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 的这种方法研究的明显优点是能够深刻的了解近似算子的代数结构，其缺 点是应用性不够强 ( 2 ) 构造性方法是对原始p a w l a k 粗糙集模型的一种推广，其主要思想是 从给定的近似空间出发去研究粗糙集和近似算子它是以论域上的二元关系 或布尔子代数作为基本要素的，然后导出粗糙集代数系统 ( 2 【r ，一，n ，u ，a p r ，a p r ) 这种方法所研究的问题往往来源于实际，所建立的模 型有很强的应用价值，其缺点是不易深刻了解近似算子的代数结构 在p a w l a k 粗糙集模型中有三个最基本的要素：一个论域v ，u 上的一个 二元等价关系r ( 或划分) ( 它们构成了近似空间) ，一个被近似描述的( 经典) 集合z ，也称为专家概念这样，推广的形式主要有三个方向，即从论域方 向、从关系方向( 包括近似空间) 和从被描述的概念方向 从论域方向推广的目前只有一种，就是把p a w l a k 粗糙集模型中的一 个论域推广到双论域的情形，当然这时的二元关系就变为两个论域笛卡几乘 积的一个子集 关系的推广：一种是将论域上的二元等价关系推广成为任意的二元关 系得到了一般关系下的粗糙集模型；另一种是将对象x 所在的等价类看成是x 的一个邻域，从丽推广导出了基于邻域算子的粗糙集模型【l ”，也有将由关系 导出的划分推广成为一般的布尔子代数的，以此出发去定义粗糙集和近似算 子蚓；更一般的是将普通关系推广成模糊关系或模糊划分而获得模糊粗糙集 模型“ 将集合和近似空间进行推广这一类的推广是与其他处理不确定、不 精确或模糊知识理论( 概率论、模糊数学、信息论、证据理论等) 结合起来进 行研究的 当知识库中的知识是由于随机原因或经统计得到时，即知识库中的知识 很可能是不确定的，很多学者提出了统计( 或概率) 粗糙集模型，变精度粗糙 集模型实质上也可以归入这类模型，寻求具有最小风险的b a y e s 决策问题也 可转化为这类模型这一类模型在数据分析的增量式机器学习中有重要作用 当知识库中的知识模块都是清晰的概念，而被描述的概念是一个模糊概 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 页 念时，人们建立了粗糙模糊集模型来解决此类问题的近似推理对于知识库 中的知识模块也是模糊概念时，可以借助模糊粗糙集模型进行研究】 信息系统的知识发现问题，本质上就是按照属性特征将对象进行分类的 问题面对复杂多样的庞大的数据库系统，如何迅速找出有重要意义的属性， 发现有应用价值的推理规则，这是个非常值得研究的问题目前，对这类 问题的研究主要集中在信息缺省的信息系统和信息不确定的信息系统的知识 约简和知识发现上 对于信息缺省的信息系统，对象一般无法归类，学者们通常采用数据预 处理的方法，填补缺省数据或者推算缺省数据但是，不通过信息预处理， 直接建立知识约简的方法，还是一个值得探索的问题 对于信息不确定的信息系统，也称为有噪声信息系统，通常采用的方法 是进行数据处理去掉噪声同样的，直接建立知识发现的方法，将是知识发 现的一种新思路 当然，对于信息系统的数据连续性问题，也是一个亟待解决的问题要 想通过信息系统得到分类知识，一般都要求属性值域有限遇到属性值域连 续的情况，一般是将其离散化，但这样会使大量信息丢失如果能直接建立 连续值下的知识发现方法，将会使知识发现更有实际价值。 此外，基于r o u g h 集理论的控制系统研究也是一个非常有前途的应用领 域，而r o u g h 集理论对神经网络和遗传算法的开发也很重要。如何将r o u g h 集理论、模糊集理论、证据理论和概率论等处理不确定性问题的理论用一个 统一的逻辑模型来解释也很值得研究 目前，r o u g h 集理论的研究有几个领域比较引人注目： 1 在继承原始r o u g h 集模型的基本数学性质前提下，研究如何扩展模型， 以更好地用于数据压缩和信息系统分析等 2 在特定代数结构上，如何引入上近似和下近似的概念，并研究其数学 性质 3 r o u g h 集理论与形式语言之间关系的研究等， 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 1 2 论文的研究背景 自从1 9 8 2 年p a w l a k 提出了粗糙集的概念以来，无论是在理论方面还是 在应用方面，关于粗糙集的研究都有很多出色的工作，文献p l ，3 2 ，3 3 ，5 7 研 究了粗糙集的代数结构，文献 3 4 1 研究了粗糙集的可测结构，2 0 0 1 年陈德刚， 张文修等在文献【5 1 】中研究了p a w l a k 粗糙集与拓扑空间的关系，从而使用拓 扑学的方法来研究租糙集的理论成为可能许多学者将粗糙集理论与模糊集 理论相结合，把经典的粗糙集推广到模糊环境之下 【9 ，l o , 1 1 ，1 3 ，2 5 ，2 3 ，2 8 , 4 8 他们工作大致分为三类：一类是将原始模糊数据转 化为清晰数据后，直接应用经典粗糙集知识约简的方法简化信息表；一些学 者从知识描述的角度出发，将描述粗糙集的一对上、下近似推广到模糊环境 下，提出了模糊粗糙集( f u z z yr o u g hs e t s ) 和粗糙模糊集( r o u 曲f u z z ys e t s ) 的概 念【1 3 ，2 5 ，4 8 】；还有许多学者将粗糙集的基础等价关系推广为模糊等价 关系或f 模糊等价关系，这些关系对论域有一个模糊划分或弱模糊划分，在 此推广的基础上，提出了各自模糊知识简化的方法2 8 1 1 9 9 2 年d u b o i s 和 p r a d e 提出了模糊租糙集模型，它是p a w l a k 粗糙集的推广2 0 0 2 年a n n a m a r i a ，r a d z i k o w s k a 汹1 提出了基于三角模与蕴涵算子的模糊粗糙集，在相似 关系下详细研究了它的性质，本文是其继续和深入本文具体研究了两类基 于逻辑算予的粗糙集模型：利用连续三角模t 给出了论域中模糊集合4 的上 近似算子的定义，再分别利用t 的剩余蕴涵算子妒和t 的对偶余模驴给出了模 糊集合爿的两类下近似算子的定义本文讨论了这两类近似算子的性质，特 别研究了特殊的模糊关系r 与近似算子之间的联系最后通过闭包与内部算 子研究模糊粗糙集的拓扑性质，证明了在自反且f 传递的模糊关系r 下的近 似空间中，上、下近似算子分别为一个模糊拓扑的闭包，内部算子 1 3 论文的组织 本文第二章介绍预备知识，具体介绍了经典粗糙集模型的基本知识，逻 辑算子以及模糊集的相关知识第三章是本文的核心内容，提出了两类基于 逻辑算子的粗糙集模型，讨论了它们的相关性质 西南交通大学硕士研究生学位论文 第5 页 第2 章预备知识 本章介绍标准粗糙集理论( p a w l a k 粗糙集模型) 的基本概念，作为后面 各章节的基础 2 1p a w l a k 粗糙集模型及知识约简 粗糙集理论是一种新的处理不确定性知识的数学工具其主要思想就是 在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规 则p a w l a k 的基于等价关系的粗糙集模型是粗糙集理论的基础，其它模型都 是在该模型的基础上进行推广得到的知识库中知识( 属性) 并不是同等重要 的，甚至其中某些知识是冗余的知识约简是在保持知识库分类能力不变的 条件下，删除其中不相关或不重要的知识，它是粗糙集理论应用的核心内容 之一，本节介绍p a w l a k 粗糙集模型相关的定义和知识约简的有关概念 2 1 1 知识与知识库 知识是对对象进行分类的能力，设所讨论的对象的集合为【，称【，为论 域若z u ，则称工为一概念( 形式概念) 若干概念构成的集合称为一个 知识以下仅讨论论域【，形成划分的知识，因此，一个知识就是【厂上的一个 等价关系称二元组k 一( u ，r ) 为一个知识库，其中u 为论域，r 是【，上的 若干等价关系构成的集合 对于知识库k 一，r ) ，若p r 且p _ g ，则n p 称为p 上的不可区分 关系，记为加d ( p ) ，即r i d ( p ) 一f l p 对于z 【，r e r ，i 己 x h 一 ) ，u i g ，y ) e r 为x 在r 之下的等价类商 集u r 一 k k l x e u 中元素称为r 初等概念u r 称为一个知识 对于- p c _ r ，显然有【x k ( ，) 一沙k ，商集u 跏d ( p ) 称为u 关于p 的基本知 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 识，也称为p 基本集，其中元素称为p 基本概念 设k 一，p ) ，k 。- ，q ) 是u 上的两个知识库，若加d ( 日- i n d ( q ) ，则 称p 比q 细，或q 比尸粗此时，每一个q 等价类是若干p 等价类之并若 新d ( p ) = i n d ( q ) ，则称必与k 等价，记为k i k 2 1 2p a w la k 粗糙集模型上、下近似的定义及相关性质 定义2 1 2 1n 4 1 设u 是一个集合，r 是【，上的一个等价关系，称( 【，r ) 为一p a w l a k 近似空间对于任意x u ，z 关于近似空间，r ) 的上、下近 似分别定义为； 墨晖) 一协l k k z ) ， r ( x ) - 仁l 扛k n x 一囝) 令彩表示空集，一z 表示u 中x 的补集下面是p a w l a k 粗糙集的一些 性质： ( 1 l ) 墨影) - u ，( 埘) r ( u ) 一u ； ( 2 l ) r ( o ) 一g ，( 2 h ) n ( o ) - 0 ； ( 3 l ) r ( x ) c _ x ，( 3 h ) x r ( 石) ； ( 4 l ) 星( xn y ) - r _ ( x ) n a ( y ) ，( 4 h ) i ( xu y ) 一页( z ) u 页( y ) ； ( 5 l ) 墨( r ( z ) ) 一基暖) ，( 5 h ) 页晤( x ) ) 一面( x ) ； ( 6 l ) 墨( 一x ) - - r ( x ) ，( 6 h ) 尺( 一工) 一一基暖) ； ( 7 l ) 石c y = r _ ( x ) _ c r _ i f ) ，( 7 田z y j 承x ) 页( y ) ； ( 8 l ) 区( r ( x ) ) 一墨( z ) ，( 8 h ) 瓦( 夏( z ) ) 一页( x ) ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 ( 9 l ) v k 【，r ，墨( k ) i k ，( 9 h ) v k e u r ，r ( k ) k ； ( 1 0 l ) 星( x u y ) 星( z ) u 星，( 1 0 h ) r ( x n 功s 尺( x ) n r f y ) 定义2 1 ，2 2 “1 称x 为r 可定义集，如果垦仁) - r 僻) ；否则称z 为r 不可定义集，或尺粗糙集 由上列性质可知，对于任意近似空间秽，r ) ，对于任意a u 有墨o ) ， r 似) 为r 可定义集：对任意x u ，卜k 也为r 可定义集 2 1 3 约简与相对约简的概念 设k 一( u ，r ) 是一知识库，尸r 称p e p 为p 中不必要的，若 白矗( d i n d 沪一o ) i 否则称p 为p 中必要的若任一p 尸是户中必要的， 则称p 为独立的，否则称p 为依赖的 定理2 1 3 1 忡1 若p 是独立的，q c _ p ，则q 是独立的 若q c _ p ，且q 是独立的，加d ( 力- i d ( q ) ，则称q 为p 的一个约简于 是。q p 为p 的约简当且仅当q 是满足f 蒯( p ) - i n d ( q ) 的极小集p 的所有 约简构成的集合记为r e d ( p ) p 中所有必要元素构成的集合记为c o r e ( p ) ，称 为p 的核 定理2 1 3 2 删c o r e ( p ) = n r e d ( p ) 由此定理，核这个概念有以下两个特点：首先，它可以作为所有约简的 计算基础因为核包含在所有约简中；其次，可解释为在知识约简时，它是 不能消去的知识特征集合 例设k 一( u ，r ) 是一知识库，其中u 一“1 1 f s8 ，r 一 足i l 主f s3 ) 满 足【厂r 一 怯，瓤，鼍) ， 砭，矗) ，) ，缸。，而) ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 u r 一 协，毛，砖) ，缸6 ) ，饥，一，黾 ) ， u e , 一 瓴，毛，纯 ，托，而，毛 ，缟， 于是【，砌 ) 一 戗，毛) ，也，硝，如) ，亿) ，纯) ，仁，”而 u 伽d ( 化，马) ) 一 “，毛) ，协，x t ，黾) ，如) ，仁。) ，玩) ) - u 砌( r ) ， t rl f n a ( & ，马) ) - u i n d ( & ，恐) ) 一u i n d ( r ) 故r e d ( r ) 一 墨，是 ， 墨，焉 ，c 口糟( r ) - 儡 在应用中，一个分类相对于另一个分类的关系十分重要，因此我们将介 绍知识的相对约简( r e l a t i v er e d u c t ) 和相对核( r e l a t i v ec o r e ) 的概念 首先定义一个分类相对于另一个分类的正域 令p 和q 为等价关系族，q 的p 正域记为p o s e ( q ) ，郎 p o s p 嗡。若憧醛 q 的p 正域是u 中所有根据分类u p 的信息可以准确地划分到关系q 的等价类中去的对象集合 令p 和q 为等价关系族，r p ，如果 p o s 村( 尸) ( 俐( q ) ) p d 苫州( p 怛 ( 涮( q ) ) ， 则称r 为p 中q 不必要的；否则r 为尸中q 必要的 为简单起见，我们也用p 咚( q ) 代替p d ( p ) 伽( q ) ) 如果p 中的每个r 都为q 必要的，则称p 为q 独立的( 或p 相对于q 独 立) 设s p ，s 为p 的q 约简当且仅当s 是p 的q 独立子族且 p o s ，( q ) = p o s e ( q ) p 的q 约简简称为相对约简 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 p 中所有q 必要的原始关系构成的集合称为p 的q 核，简称为相对核， 记h c o r e q ( p ) 定理2 1 3 3 婚1 c o r e o ( p ) - i 、r e d o ( p ) ，其中r e d o ( p ) 是所有p 的q 约简 构成的集合 定理2 1 3 4 i “1 设p q 是，上的等价关系族，贝o s c _ p 是尸的q 约简当 且仅当s 是p 的q 独立子集且对于任意x e u q wp ( z ) - ) 2 1 4 一般二元关系下的粗糙集模型上下近似的定义 设【厂是非空有限论域，对于任意x e u ，对应一个u 的子集，l o ) 称为x 的 一个邻域石的一个邻域可以包含善，也可以不包含工这样，珂：u e ( t r ) 是 一个算子，称为邻域算子对于z 【，记n ( x ) 。旦万o ) ，称n ( r ) 为集合x 的邻域 定义2 1 。4 1 设露：矿一p 秽 是一个邻域算子，称_ l l 是串彳亍的 ( s e r i a l ) ，若对任意x e u 存z c e y e u 使 寻y e n ( x ) ，即v x e u ， o ) - g 称 是逆串行的( i n v e r s es e r i a l ) ，若对于任意x e u 存在y e u 使得x 捍( y ) ，即 拈秽) t u 称n 是自反的，若对于任意x e u ，x e n ( x ) 称n 是对称的，若对 于任意x , y e u ，x e n ( y ) 蕴涵y 以0 ) 称露是传递的，若对于任意 x , y ，。【厂，y e n ( x ) ，z e n ( y ) 蕴涵z n ( 力称n 是欧几里得的( e u c l i d e a n ) ，若 对于任意z ，y ，z e u ，y e n ( x ) ，z ，l o ) 蕴涵z e n ( y ) 定义2 1 4 2 t 删设尺是u 上的二元关系，对于x ，y e u ，若x r y ，即 瓴y ) e r ，则称石是y 的前继( p r e d e c e s s o r ) ，y 是x 的后继( s u c c e s s o r ) ，记 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 冠0 ) - ( y e u l x r y ， 墨( 力- 口陋 ， r ，- ) ，u 陋 ) 收 一r p o r , ( x ) ， r ，。g ) 一d 【，k r yv h 一r ，( 砷u r ( 它们分别称为x 的后继邻域，前继邻域，下继邻域和上继邻域 定义2 1 4 3 t 删设u 是有限非空论域，r c _ u x u 为u 上一个任意的二 元关系，称4 一( u ，r ) 为广义近似空间对于任意z c _ u ，x 关于近似空间 4 - ( u ，r ) 的下近似翌乙x 和上迥掣印r 。x 分别定义为 a p _ 巴x - x 口恳忙) 石】， 玩z p 【，k o ) n x - 垂) 文献 4 8 研究了论域上的关系r 与粗糙集算子之间的联系，证明了 r 是自反的当且仅当对任意彳c u ，a p r a x _ _ _ c x ， 当旦仅当对任意x u ，x a p r 。x r 是对称的当且仅当对任意z u ，a p r 。a ! 匕rx x ， 当且仅当对任意z u ，z 翌印r 。x r 是传递的当且仅当对任意z ( 厂，a p _ 巴rx c a p ta p _ _ _ f r x ， 当且仅当对任意zgu，airaapraxc a p r x 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 2 2 逻辑算子 定义2 2 1 一个r 模是一个二元运算f ：f o , 1 x o ，1 】- - * o ，1 1 ，且满足 c a ，b ，c 【0 ，1 】， ( 1 ) 交换律：f 0 ，6 ) - t ( b ，4 ) ； ( 2 ) 结合律：t ( t ( a ，6 ) ，c ) - t ( a ，f c ) ) ； ( 3 ) 单增性：若as 6 则t ( a ，c ) - t ( b ，c ) ； ( 4 ) 有界性：f g 口) m a 若二元运算y ：【o ，1 】【0 ，1 】- - o , i ，满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 及( 4 ) ( 4 ) 有界性：r ( 0 ，4 ) - a 则称y 为z 余模，? 模及r 余模统称为三角模 例如t o ( a ，b ) = m 自a a ，吣，f ( 4 ，b ) - a b ，t a a ，b ) - 0 v ( 4 + b - 1 ) 都是r 模， 分别称为g o d e l t 模，g o g u e n t t ，及l u k a s i e w i c z t 。0 ，一av b ， 0 ，扫) 一口一a b ，扎0 ，b ) - 1 0 柏) 都是r 余模，分别称为g o d e lt 余模 g o g u e n tt 余模，l u k a s i e w i c z t 余模 若，分别为z 模及z 余模，且满足 妒0 ，y ) 一1 - t ( 1 - x ，i - y ) ， 则称舻- q t 是对偶的 若n ：【0 ，1 】一【0 ，1 】，满足：( 1 ) n 为单调递减的( 2 ) ( o ) 一i , n ( 1 ) 一0 ， 则称为非算子 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 若二元算子妒：【o ，1 】x 【o ，1 】一【o ，1 】，满足： 妒g 0 ) 一0 ，庐( o ，o ) 一多( q 1 ) - 妒g 1 ) - 1 ， 则称为一个蕴涵算子 称蕴涵算子妒为左单调的，如果，y ，z 【0 ，1 1 ，x 五y 时，有 妒( y ，z ) 蔓驴0 ，z ) ；称妒为右单调的，如果y x ，y ，z 6 o ，1 1 ，x s y 时，有 妒0 ，x ) 墨妒( z ，y ) ，着既是左单调的又是右单调的，则称其为单调的 设t ，y ，n 分别为丁模，丁余模及非算子，则 ( 1 ) 妒0 ，y ) 一r 0 v o ) ，) ，) 是蕴涵算子，称驴为由妒及诱导的s 一蕴涵 ( 2 ) 妒似y ) - s u p ( a e o ，1 】；t ， ) 力是蕴涵算子，称妒为由t 诱导的r 一 蕴涵，即剩余蕴涵 ( 3 ) 若t ，y 关于对偶，则驴( x ，y ) 一y ( ( 力，t ( x ，) ，) ) 是蕴涵算子，称妒为由 t , y ，n 诱导的q ：l 一蕴涵 性质2 2 1 例若f 为左连续的r 模算子，妒为f 诱导的剩余蕴涵算子，则 对饪意z ，y ，z i o ，1 】，“) 。，f y , ) 。f o ，1 】，为指标集，有 ( i ) 妒g x ) - 善： ( i t ) 妒o ，y ) - 1i f f 工墨y ； ( i i i ) f o ，o ，y ) ) s y ； ( i v ) 妒( y ，i n e r ) i n f i g 矿( 岁，玉) ； ( v ) 矿( s u p e f 鼍，y ) 一i n 日庐 ，y ) ； 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 3 页 ( v i ) 驴( i n f r a t ，y ) 乏s u p g r 妒o f ，) ，) ； ( v i i ) ( i n f 0 五，s u p 日y , ) z s u p 目瓴，并) ： ( v i i i ) t ( s u p 日薯，s u p 日五) - s u p 芷，f “，五) ； ( i x ) 庐( x ，妒( ) ，z ) ) = o i x ，y ) ，z ) ； ( x ) 妒 ( x ，) ，) ，y ) 2 z ； ( x i ) 妒( x ，f o o y ) ) y 2 3 模糊集和模糊关系 定义2 3 1 【2 1 1 论域u 上的一个模糊集合( f u z z ys e t ) a 是由u 上的一个隶 属函数 a ：u 一【0 ，1 1 来表示，其中4 ) ( 有时用心0 ) 表示) 表示元素“隶属于模糊集合爿的程度 一般地，一个模糊集合a 可以表示为 a - ，a ( “) ) ：“u ) 如果论域【，是有限集合或可数集合，那么可以表示为 a 一，a ) 如果论域【厂是无限不可数集合，那么可以表示为 a 2 f u a ( u ) 记u 上模糊集合全体为f 缈) 定义2 3 2 【2 ，1 设，4 ，口，) ，若对于觇【，有4 ) s b 以) ，则称4 含 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 4 页 于8 或曰包含a ，记作a b 若a _ c b 且口c a ，则称4 与口相等，记作a - b 空集0 表示隶属函数值恒为0 的模糊集合，u 表示隶属函数值恒为1 的模糊 集合记a u b 为模糊集a 与口的并，其隶属函数定义为： ( 爿u 嚣) 0 ) - a ( u ) v 暑 ) 一m a x a 0 ) ，b ) ， 记a n b 为模糊集合a 与口的交，其隶属函数定义为： 似n b ) ( u ) 一4 ) a 口0 ) - m m a 以) ，曰0 ) ， 记a c 或一彳为彳的补集，其隶属函数定义为 一4 ) - l - a ( - ) 记a b 为4 与口的差集，其隶属函数定义为 ( 爿一占) 0 ) 一弘n 卜口) 】0 ) - a ( u ) ( 1 一b 0 ) ) 模糊集合的运算满足下列性质： ( 1 ) 幂等律a u a - a ，a n a - a ( 2 ) 交换律a u b b u a ，a f i b - b o a ( 3 ) 结合律( a u b ) u c a u ( 8 u c ) ， o n b ) n c - a n c 8 n o ( 4 ) 吸收律( a u b ) n a - a ， 似n b ) u a - a ( 5 ) 分配律似u b ) n c 一0 n c ) u n c ) ， n b ) u c 一似u c ) n p u c ) ( 6 ) 两极律a u o a ，a n d 。g ， a u u u ，a n u a ( 7 ) 对合律口。) - a 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 ( 8 ) 对偶律( a u b ) 。- a 。a b 。， ( a n b ) 。- a u b 。 定义2 3 3 1 纠设u ，y 是两个论域，若r 是u x v 上的一个模糊子集，则称 r 为从【，到y 的一个模糊关系特别地，当u - y 时，称r 为u 上的一个模 糊关系 定义2 3 4 t 州设厂，y ，彤，是三个论域，月是从un v 的一个模糊关系，s 是从y 到形的一个模糊关系，则r 对s 的合成是从c 厂到的一个模糊关系，记为 尺o s ，其隶属函数定义为 ( r o s ) ( x ，z ) 一s u p r o ，) ，) a s ( y ，z ) l y n ，0 ，z ) u x w 定义2 0 5 圳设盯是论域，r 是矽上的模糊关系，其隶属函数为r 以芦) ， 称r 是串行的，若对任意x e u 有s u p r ( x ，y ) - 1 ；称r 是自反的，若对于任意 倒 的x e u 有r ，功- 1 ；称尺是对称的，若对于任意的茗，y e u 有 r 0 ，y ) - r ( y ，功；称尺是传递的，若r o r r ；称r 是等价的，若r 是自反、 对称和传递的模糊关系；称只是相似的，若r 是自反对称的模糊关系 若t 为r 模，r 是u 上模糊关系，称r 是t 欧几里德的，若对任意x ，y ，z e u 有t ( r q ，功，r ( z ，) ，) ) s r ( x ，y ) ；称r 为f 传递的，若t ( r o ，z ) ，r ( z ，) ，) ) s r ( x ，) ，) ； 称尺是t 等价模糊关系，若r 满足自反，对嚣，和t 传递 很显然对于模糊关系尺，若r 是自反的，则r 是串行的，但反之不成立； 若r 是对称且是t 欧几里德的，则r 一定是t 传递 设r 是论域u 上的模糊关系，对任意x e u ，记【z k 为x 的模糊等价类， 它是ua m 模糊集，其隶属函数为【x 】。( ) ，) - r ( x ，y ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 第3 章基于模糊逻辑蕴涵算子的模糊粗糙集 在p a w l a k 租糙集模型中的知识都是清晰的，即近似空间的集合都是经典 集合但是在实际问题中知识库的知识往往也是模糊的，文献 2 3 中提出了基 于三角模的的模糊粗糙集，并在模糨等价关系下，详细研究了其性质本章中， 我们在文献 2 3 的基础上，研究了特殊的模糊关系r 与近似算子之间的联系， 最后通过闭包与内部算子研究模糊租糙集的拓扑性质 3 ，1 基于模糊逻辑蕴涵算子的模糊粗糙集定义 设u 是非空有限集合，称为论域；尺是u 上的二元模糊关系，称二元组 ，r ) 为模糊近似空间 定义3 1 1 设( u ，r ) 为模糊近似空间，t 为连续r 模，驴为f 的剩余蕴涵 算子，对于任意ac _ c _ f ( u ) 及z 【，a 的上近似和下近似分别定义为 ( o ) 尺0 ) 0 ) - s u p t ( r ( x ，) 4 0 ，) ) ， 自u ( q ) 区一口) g ) 。珏妒僻o ) 4 0 ) ) 一般情况下，( o ) 和( q ) 中定义的上、下近似算子不能构成对偶 定义3 1 2 设缈，丑) 为模糊近似空间，为连续r 模，平为f 余模g t - 与t 是 对偶的，对于任意a f ( u ) 及x u ，a 的上近似定义如同定义3 1 1 ，a 的下 近似定义为 ( q 7 ) 0 x x ) 2 警妒( 1 求0 ) 4 0 ，) ) 注意到对任意的a e f 缈) 及x u ，有 r ( 一4 ) 0 ) 一s u p t ( r ，y ) ，1 一爿( ) ，) ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 = s u p ( 1 - 印( i - r ( x ，y ) ，彳( ) ，) ) ) 日 2 1 箔呻一r o ，) ，) ，爿( ) ，) ) = 1 口) o ) 一( 一岛) ) o ) ， 即星。( a x x ) 一一r 卜爿) ， 从而有万与满足对偶性 ( q ) 和( q7 ) 是4 的两种形式的下近似算子，一般情况下，这两种形式的下 近似算子不等价 3 2 模糊粗糙集的基本性质 定理3 2 1 对于近似空间，r ) ，对任意连续r 模f ，r 为u 上的任意模 糊关系，则对于任意4 ，口f ) ，有 i ) 邑t u ) 一星。) m u ， 万( o ) 。乃 i i ) 若a b ，则 似) 佃) ， 岛口) g p ) ， 耳) 百p ) i i i ) 0 n 占) 一口) n p ) ， 似n b ) 一似) n n _ 。p ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 i v ) u b ) j ) u ) ， 似u b ) d r _ 。u 蜀p ) ， 万n 占) 万“) n 寅 证明：对任意的五y e u 有， i ) 星( 【，) 。磐妒僻o ，y ) ，u ( ) ，) ) 。磐妒( r o ，) ，) ，1 ) 1 1 i u ； ) 。藉畎1 一r ，y ) ，u ( ) ，) ) 2 羹5 ( 1 一t ( r ( x ，) ，) 1 一u ( ) ，) 矜 = 1 - s u p t ( r ( x ，) ，) o ) i l u o ) ； 目 r ( o x o s u p t ( r ( x ，y ) ，o c y ) ) - s u p t ( r ( x ，y ) ，0 一o - 0 ( 0 闾卿 i i ) 若a 丑，根据剩余蕴涵算子具有右单调递增性，所以 岛口) o ) 。珏驴僻o ，) ，) ，彳( ) ，) ) 珏庐( r o ，) ，) ，b o r ) ) 。邑( 口) ( d ； ( a x x ) 一i 娈, k i - r ，) ，) ，a ( y ) ) 一i - s u p t ( r o ，y ) ，1 一a ( y ) ) ，一，巨r 。, ：1 - s u p t ( r ( x ，y ) ，1 - b ( _ ) ，) ) - 边q ) ( 1 一r o ，) ，) ，口( ) ，) ) 一基，( b x x ) y e 芏，一 万口) 0 ) 一s u p t ( r ( x ，y ) ，4 ) )s u p t ( r ( x ，y ) ，刀( ) ，) ) 一万( b x o 月y e u i i i ) 毋“n 曰) 。噶妒似o ，y ) ，( a n b x y ) ) 甾妒( r 仁，) ，) ，4 ( y ) 曰( y ) ) 。噶( 驴( r o ，) ，) ，4 ( _ ) ，) ) 驴( r ( z ，y ) ，b ( y ) ) ) 一i 箩( r ，) ，) ，a ( ) ，) ) ai 箩妒( r o ，) ，) ，b c y ) ) y叫y叫 一) o ) n p ) o ) ， 即“n b ) 一o ) n & p ) ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 岛( 爿n b ) ( x ) 。噶叩( 1 一月g ，) ，) ，( a n b x y ) ) 。磐牮a 一只o ，y ) ，爿( ) ，) b ) )