（电磁场与微波技术专业论文）用矢量棱边元素法模拟三维感应测井响应.pdf

浙江大学硕士学位论文摘要 摘要 感应测井是利用交流电的互感原理来测量地层电导率的测井方法。自感应测 井发明以来，钻井基本上均为直井或近似直井，传统的感应测井响应计算方法因 此一直使用直井模型。然而，随着石油勘探技术的发展，直井正逐步被大斜度井、 水平井所替代。因此，感应仪器在斜井、水平井中的全三维响应的计算，成为测 井工作者关注的热点问题。 本文对斜井，水平井中感应测井仪器的响应进行了研究，提出采用四面体矢 量棱边元素方法来模拟三维复杂环境中的感应测井响应，解决了传统节点有限元 表示矢量电磁场时可能遇到的伪解问题，解决了节点有限元素法中场切向分量不 连续的矛盾。通过在柱坐标系下进行网格剖分，有效地模拟感应测井装置在水平 成层非轴对称介质中的响应。在模拟中，把总场分离成背景场和二次场，来有效 减少剖分单元数和未知量数。 有限元素法离散得到的大型方程组的求解一直是制约有限元应用的一个瓶 颈，也是当代数值计算领域研究的一个热点。而矢量有限元素法离散得到的是一 严重病态的复数线性方程组，其高效求解更是一个巨大的挑战。线性方程组的求 解可用直接法和迭代法两种，传统的直接法由于需要占用太大的内存而无法使 用，迭代法则因矩阵的恶劣性质而无法迭代收敛。本文研究了传统求解方法的不 足，开发了前线解法和多重前线解法来解决传统直接法的内存不足问题，采用以 代数多重网格作为预处理算子的b i c g s t a b ( st a b ili z e db i c o n j u g a t e g r a d i e n t ) 法进行求解，极大的改善了迭代的收敛性。 本文的绪论部分介绍了本文研究的背景、意义和创新点。在第二章和第三章 讲述了感应测井和有限元素法的基本原理。在此基础之上，在第四章对四面体棱 边元的应用进行了详细的阐述，推导了四面体棱边元基函数，刚度矩阵的表示形 式，给出了四面体棱边元的实现算法。对有限元离散得到的线性方程组的求解方 法进行研究，详细讨论了代数多重网格预处理算法的实现。之后，给出了四面体 棱边元素法在感应测井领域中的应用实例，包括普通感应测井，以及当下广泛应 用的阵列感应，随钻感应等。最后，给出了本论文的总结和展望。 浙江大学硕士学位论文 摘要 本文所研究的算法在实际应用中取得了良好的效果，可用于各类感应仪器响 应曲线的仿真，具有很好的应用价值和前景。 关键词感应测井，矢量有限元，代数多重网格，稳定双共轭梯度迭代 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i n d u c t i o nl o g g i n glso n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s is t i v it yl o g g i n g m e t h o dw h i c hu s e st h ee l e c t r o m a g n e ti ci n d u c ti o np ri n c i p i et om e a s u r et h e r e s is t i v i t yo ff o r m a t i o n s i n c et h ei n v e n ti o no fi n d u c t i o nw e l1l o g g i n g ， t h ev e r t i c a io rs i m il a rt ov e r t i c a ld r i11i n gt e c h n o l o g yw a sw ii d l yu s e d ， a n dt h ew e l1l o g g i n gr e s p o n s ec a l c u l a ti o np r o c e d u r ei su s u a ll yb a s e do n t h ev e t t i c a lw e l lm o d e ls h o w e v e r ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h e 0 i l e x p l o r a t i o nt e c h n o l o g y ，t h ev e t t i c a lw e l lsh a v eb e e ng r a d u a l l yr e p l a c e d b yd e v i a t e do rh o r i z o n t a lw e l ls t h e r e f o r e ，t h ec a l c u l a t i o no fw e l l l o g g i n gr e s p o n s ei nf u l lt h r e e d i m e n s i o nd e v i a t e do rh o r i z o n t a lw e l l s b e c o m e sah o tis s u ef o rl o g g i n gw o r k e r s i nt h isp a p e r ，t h er e s p o n s eo fi n d u c t i o nw e l11 0 9 9 i n gi nd e v i a t e da n d h o r i z o n t a lw e l lsh a v eb e e ns t u d i e d t h et e tr a h e d r a le l e m e n tsb a s e dv e c t o r f i n it ee l e m e n tm e t h o d ( v f e m ) i su s e dt oc o m p u t ee l e c t r o m a g n e ti cf i e l d s i n3 - di n h o m o g e n e o u sm e d i aw i t ha r b i t r a r yd is t r i b u t i o no fc o n d u c t i v i t y b e c a u s eo ft h ec y l i n d r i c a ls y m m e t r yo ft h ew e l ll o g g i n gs y s t e m ，a c y l i n d r i c a lg r i disu s e df o rt h es i m u l a t i o n t h et o t a lf i e l di ss e p a r a t e d i n t ot h eb a c k g r o u n da n dt h es e c o n d a r yf i e l d s ，w h i c hr e d u c et h em e s hsi z e a n di m p r o v et h es i m u l a t i o na c c u r a c ye f f e c t i r e l y t h ed i f f i c u i ti ns o l v i n gt h el a r g e s e a l ee q u a t i o t i sd is c r e t eb yf i n i t e e l e m e n tm e t h o disab o t t l e n e c ko ft h el a r g es e a l ea p p l i c a t i o no ff i n i t e e l e m e n ti ne n g i n e e rf i e l d ，a n dt h ed e v e i o p m e n to fa ne f f e c ti v es o l v e rh a v e a l w a y sb e e nah o tt o p i ci nn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nf i e l d f u r t h e r m o r e ，t h e e q u a ti o n sd is e r e t eb yt h ev e c t o rf i n it ee l e m e n tm e t h o da r ec o m p l e xo n e s i ni11c o n d i ti o n f i n d i n gt h e i rs o l u ti o nis ah u g ec h a ll e n g e d i r e c t m e t h o da n dit e r a ti v em e t h o da r et w ow a y st os o l v i n g1i n e a re q u a ti o n s t h e 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t r a d i t i o n a ld i r e c tm e t h o dc a nf i n dt h ea c c u r a t es o l u t i o nb u ti tc o s tt o o m u c hc o m p u t er e s o u r c e ，t h ei t e r a t i r em e t h o dis s i m p l ea n dc o s t1 i t t l e c o m p u t e rr e s o u r c e ，b u ti tu s u a l l yh a sab a di t e r a t i r ec o n v e r g e n c er a t e d u et ot h eb a dp r o p e r t yo ft h ec o e f f i c l e n tm a t r i x i nt h is p a p e r ，w e d e v e l o p e daf r o n ts o l v e ta n dam u ltif r o n ts 0 1 v e rt oo v e r c o m et h e s h o r t c o m i n g so ft r a d iti o n a ld i r e c tm e t h o d ，o nt h eo t h e rh a n d ，w ec o m b i n e t h ei t e r a t i r es t a b i l i z e db i c o n j u g a t e g r a d i e n t ( b i c g s t a b ) t e c h n i q u ew i t h aa l g e b r a i cm u l t i g r i d ( a m g ) p r e c o n d i t i o n i n ga i g o r i t h mt os o l v et h el a r g e s e a l ec o m p l e xii n e a rs y st e m ，w h i c hi m p r o v et h ec o n v e r g e n c er a t e e f f i c i e n t 1 y t h ei n t r o d u c t i o ns e c t i o no ft h isa r t i c l ed e s c r i b e st h eb a c k g r o u n d ， s i g n i f i c a n c ea n di n n o v a t i o np o i n t so ft h i ss t u d y i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r 3 ，w ed e s c r i b et h eb a s i cp r i n c i p l e so fi n d u c t i o nl o g g i n ga n df i n i t e e l e m e n tm e t h o d i nc h a p t e r4 ，ad e t a i le x p o s i t i o no ft h ea p p l i c a t i o no ft e t r a h e d r a l e d g ee l e m e n tw a sg i v e n ，i n c l u d i n gt h ed e v i a t i o no ft h et e t r a h e d r a le d g e e l e m e n tb a s isf u n c t i o n s ，t h ec o m p u t e ro ft h es t i f fm a t t i x ，a n dt h e a l g o r it h mt oi m p l e m e n tt h et e t r a h e d r a le d g ee l e m e n tp r o c e d u r e a f t e rt h e n ， w es t u d i e dt h em e t h o d st os o l v et h e1 i n e a rs y s t e m sd is c r e t eb yt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d b o t ht h ed ir e c tm e t h o ds u c ha sf r o n t a ls o l v e r ，m u l t i f r o n t a ls o l v e ra n dt h ei t e r a t i r em e t h o d s ：a l g e b r a i cm u l t i - g r i dp r e c o n d iti o n e db i c g s t a bs o l v e ra r ed is c u s s e d i nc h a p t e r5 ，c a s e sf o rt h eu s eo ft e t r a h e d r a1e d g ee l e m e n ta r eg i v e n ， i n c l u d i n gt h ea p p l i c a t i o no ft h ed e v e l o p e da l g o r i t h mt ot h es i m u l a t i o n o fn o r m a l 一i n d u c t i o nw e l il o g g i n gt o o ls ，a sw e l la st h ei m m e d i a t ew i d e l y u s e da r r a yi n d u c t i o na n dl w d ( 1 0 9 9 i n gw h i l ed r i l l i n g ) w e l ll o g g i n gt o o ls f i n a ll y ，s u m m a r i z a ti o na n de x p e c t a ti o no ft h isp a p e risg i v e n t h ev f e m iss u c c e s s f u l l ya p p l i e dt os i m u l a t et h er e s i s t i v i t yr e s p o n s e so fd e v i a t e d 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a n dh o t i z o n t a lw e l1 si ni n h o m o g e n e o u sf o r m a ti o n n u m e r i c a lr e s u ltss h o w t h ee f f i c i e n c yo ft h ed e v e l o p e dm e t h o di n3 - di n d u c t i o nw e l1 l o g g i n g p r o b l e m s t h er e s u l t so ft h isr e s e a r c hh a v eg o o dp r o s p e c t si nw e l1l o n g i n g a p p l i c a ti o i l s k e y w o r d s i n d u c ti o nw e l1 l o g g i n g ，v e c t o rf i n it ee l e m e n t ，a l g e b r a i c m u iti g ri d ，b i c g s t a b v 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝姿盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：珲砂瓦 签字日期：p 年3 月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿叁堂 有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝姿盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 嘻专记 签字日期：f 口年岁月6 日 导师签名：张申良 签字日期： fo 年 ) 月6 日 浙江大学硕士学位论文致谢 致谢 在本硕士学位论文完成之际，我首先要感谢我的导师张中庆教授，感谢他在 我研究生求学过程中给予的关怀，指导和帮助。张老师知识广博、治学严谨，其 诲人不倦的学术作风和孜孜不倦的科学精神为我们学生树立了极佳的榜样。 研究生阶段，本学院的李凯、杜阳、王浩刚等各位老师在本人的专业课学习 和科研工作中给予了热情的关怀和无私的帮助，在此对各位老师表示衷心的感 谢。 感谢我的师兄邵汀汀、陈亮对我学习和科研工作上的指导和帮助。感谢我的 同学张雪、付文华、陆科杰、苏勤亮等一直以来对我的帮助。 感谢杭州迅美科技有限公司给我项目开发的机会，感谢公司所有同事在我项 目开发过程中给予的帮助。 最后，感谢我的父母和亲人，感谢他们一直以来对我的关怀和支持。 浙江大学硕士学位论文绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 在地球物理测井中，电法测井是获得地层信息的主要手段。而感应测井 又是电法测井的最基本的方法，随着油田开发进入后期，地下情况的日益复杂要 求电法测井不仅能够提供储层的电性特征，还要提供更多的地质信息，因此，感 应测井方法就越来越引起人们的重视。 石油工业自1 9 世纪诞生以来，钻井基本上均为直井或近似直井，测井资料 的分析与解释因此一直使用直井模型然而，随着我国主要产油区已进入开采的 中后期，处于高含水和特高含水期，单一的垂直井开采已难以满足我国持续高速 发展的经济对石油资源的大量需求。为了提高单井石油的产量和提高油气资源勘 探开发的综合经济效益，2 0 世纪8 0 年代以后，大斜度井、水平井钻井技术迅速 发展，成为油气勘探开发最重要的手段之一。 传统的感应测井正演方法根据井眼垂直地层的情形而设计，计算区域具有相 对于井轴的旋转对称性。这在将原本的三维问题简化为二维或一维问题前提下， 体现出很高的效率和精度，但对斜井和水平井等三维非均匀模型却无能为力。因 此，研究感应测井仪器在斜井以及水平井环境下的响应，以为斜井、水平井资料 的解释提供基本工具，成为急需解决的问题。 研究开发一套有效算法，快速、精确地获得任意复杂三维介质中的感应测 井响应，为斜井，水平井测井数据解释提供基本的研究工具，能有效提高油气资 源勘探开发的效益，具有广阔的市场前景和潜在的经济效益。另外，作为科学数 值计算领域中的难点和热点，对大规模三维正演问题快速算法的研究同时具有深 远的学术意义。 1 2 国内外研究现状 在过去的二十年中，感应测井领域开发了大量的数值方法用来计算感应测井 响应，如有限元素法( f e m ) 住1 混合法( n m m ) b 1 ，快速傅里叶一汉克尔变换算法h 1 等。这些方法基于井轴线垂直于地层层面，计算区域相对于井轴旋转对称。这在 浙江大学硕士学位论文绪论 将原本的三维问题简化为二维或一维问题前提下，体现出很高的效率和精度，但 对图1 1 所示的斜井和水平井等三维非均匀模型却无能为力。对于该类问题通常 采用有限差分法( f d m ) d 1 和有限元素法3 。有限差分法概念简单，易于用程序实 现。但是，在对复杂几何形状和非均匀介质进行仿真时，有限元素法具有更高的 精度。然而，当用传统的插值节点数值获得的节点基单元表示矢量电场或磁场时， 会遇到一些问题，比如由于未强加散度条件而引起非物理解或者伪解的出现；其 次，在材料界面边界条件的施加以及导体的处理上，也会产生诸多不便n 1 。 ( a ) 斜井 ( b ) 水平井 图1 1 三维感应测井模型 另一方面，当用有限元处理三维感应问题时，由于求解区域很大，而且场量变化 剧烈，需要精细的网格才能准确描述区域内场的电磁特性，这就导致经有限元离 散得到的线性方程组必然是大规模甚至超大规模的。对于该类方程组，通常采用 基于k r y l o v 子空间迭代的一类方法，如共轭梯度法，双共轭梯度法等，同时采 浙江大学硕士学位论文绪论 用预处理技术来加速迭代收敛协1 。然而，传统的预处理迭代方法在处理三维感应 问题的时候，其效果并不好。其原因包括：1 ) ，传统的预处理迭代算法多为实 系数矩阵设计，在处理复系数矩阵的时候，收敛特性明显变差，为复系数方程 组设计特定的算法成为必需 9 , i o o2 ) ，当处理斜井和水平井的时候，随着倾角的 增大，系数矩阵趋向于成为严重病态的矩阵，该类矩阵极难收敛1 3 ) ，传统的 预处理迭代算法的迭代次数与网格系数相关，随着问题规模的扩大迭代次数迅速 增加n2 1 3 1 ，当未知量个数超过10 + - 10 7 的时候，将变得无法忍受。4 ) ，高对比度 地层也会使系数矩阵性质恶化，造成迭代无法收敛。因此，该类大规模复系数线 性方程组的高效求解便成了迫切需要解决的问题。 1 3 主要工作和贡献 本文研究开发了一套快速、有效的三维感应测井响应计算方法。其主要研究 内容和创新点包括以下几个方面： ( 1 ) 理论基础 斜井、水平井中感应测井响应属于三维非均匀介质中的电磁波传播问题。本 文采用矢量有限元素法来分析计算感应仪器在任意复杂地层下的响应特性。直接 从非均匀介质中电场满足的矢量波动方程出发，将总场分为背景场和二次场部 分，推导出背景场和二次场所满足的矢量波动方程。背景场是当全部空间被均匀 介质填充时的电场，其解可由解析公式计算得到，二次场部分则用有限元方法求 解。将总场分解为背景场和二次场的处理方法已被成功应用于各类势函数的求解 中n4 1 ，并被证明可以有效的降低有限元对网格的要求，只需稍稀疏的网格便可得 到满意的求解精度。本课题将该思想引入到电场矢量的计算中，并严格推导二次 场满足的矢量波动方程形式，为后续工作打下基础。 ( 2 ) 四面体矢量有限元分析 矢量有限元素法 3 能够直接离散旋度和散度算符而不产生伪解，通过将待求 场矢量沿单元棱边的切向定义，保证了共有一条相邻棱边的单元的场的切向分量 相同，解决了连续性问题。矢量有限元分析包括区域离散、插值函数的选择、方 程组的建立等内容。有限元方法首先是将我们所需求解的空间进行空间离散，离 浙江大学硕士学位论文绪论 散为一个个互不重叠的小单元，我们习惯称为元素，离散过程我们也可以称为网 格划分。由于四面体元素比较适合用来离散复杂的几何结构，所以我们这里使用 的是四面体元素来划分我们所需求解的空间。由于感应测井系统的径向对称性， 我们采用基于圆柱坐标系的四面体网格剖分，使之更好地模拟线圈、井眼及侵入 带。采用非均匀网格结构，综合考虑线圈、仪器、侵入带及地层的位置，使网格 剖分可以精准地对模型进行拟合。采用一阶矢量四面体插值函数，将矢量波动方 程转化为其所对应的弱积形式。对单位阵的计算方法进行推导，得出单位阵的计 算公式。选取合适的棱边编号规则，组装整体矩阵。 ( 3 ) 前线解法和多重前线算法的开发 经三维矢量有限元离散得到的线性方程组的规模是非常巨大的，其未知量在 数十万到数百万之间。而传统的直接法在求解如此规模的方程组的时候，便会遇 到内存不足的问题。为此，我们将传统的前线解法t 15 1 进行改造，用来求解矢量 有限元的大型稀疏矩阵方程。前线解法不形成总系数矩阵，采取边安装边消元的 方式，内存中只存有前线内相关单元的分块矩阵。通过对棱边的合理编号，减少 前线长度，减少了内存的使用量，加快了求解速度。前线法中与前线不相关的数 据都可存入硬盘，待逆序回代求解的时候再从硬盘中读回，这就使得用直接法求 解任意大规模矩阵成为了可能。 ( 3 ) 代数多重网格预处理算子的构造 传统的预处理迭代算法的收敛特性与有限元网格的网格参数相关，随着问题 规模的扩大，数值结果收敛的速度是极度缓慢的。多重网格技术由于拥有与网格 参数无关的远小于1 的收敛因子，成为了处理大规模病态方程组的理想选择。本 课题对基于矢量棱边元的代数多重网格方法进行了研究，推导四面体矢量代数多 重网格的构造方法。同时，采用适合于复系数矩阵的稳定双共轭梯度算法作为外 层迭代算子，以进一步提高算法的收敛特性。 总体来说，本文对感应测井的理论基础进行了深入研究，利用矢量有限元法 编写了三维感应测井数值模拟仿真程序，对地层结构对仪器响应结果的影响进行 了探讨，为石油勘探后续资料解释工作打下了坚实的基础。在功能上程序能模拟 任意复杂地形结构的感应测井响应，任意复杂地形结构指可根据实际情况设置井 4 浙江大学硕士学位论文 绪论 眼、侵入带、目的层、围岩地层等的位置和电阻率，可以设置不同的倾斜角度等。 同时，程序可以用来模拟不同的感应类测井仪器的响应，仪器可以具有不同的长 度、半径、材质等。除了应用环境的广泛性，本文开发的算法在性能上比传统方 法有了显著提升，使得大规模有限元数值模拟在实际石油勘探中的应用成为了可 能。具有极大的实际应用价值。另外，本文对四面体矢量棱边元以及大规模线性 方程组的高效求解方面所做的工作都具有极大的学术价值。 5 浙江大学硕士学位论文感应测井原理 第二章感应测井原理 感应测井是利用交流电的互感原理来测量地层电导率的测井方法。将相隔一 定距离的发射线圈和接收线圈缠绕在同一个绝缘芯棒上，并给发射线圈通以交变 电流，发射线圈的交流电流必然在井周围地层中感应出涡流。这个涡流又会建立 二次电磁场，该二次电磁场便会在接收线圈中产生感应电动势。这个电动势叫做 二次场感应电动势，其强度与涡流的强度有关，即与地层的电导率有关。根据接 收线圈的电压，就可以量度出地层的电阻率。 2 1 感应测井基本原理 图2 1 感应测井示意图 图2 2 感应测井原理 6 浙江大学硕士学位论文感虑测井原理 感应测井的基本原理n4 1 酣如图2 1 所示。其中，1 是震荡器，输出等幅，稳 频的正弦交流电，2 是发射线圈。把地层看作是无数个以井轴为中心的圆环，在 发射线圈所造成的交变电磁场的作用下，这些圆环中会产生交变的感应电流，我 们称这个感应电流为涡流。涡流又会形成二次交变电磁场，在二次交变电磁场的 作用下，接收线圈4 中会产生感应电动势，称作二次感应电动势。 为了求得该二次感应电动势的大小，我们需要首先计算涡流的大小。如图 2 2 所示，令井轴是柱坐标系的z 轴，发射线圈r 和接受线圈尺之间的距离是l ， 称为线圈距。坐标原点d 在发射线圈和接收线圈的中点处。考虑介质具有对z 轴 的旋转对称性，我们可以把地层看作由许多截面积为幽的单元环所组成。其中 d a = d r d z ，和z 是单元环在柱坐标系下的坐标值。 假设线圈尺寸足够小，这样的线圈就可以等效看作为磁偶极子，其偶距为： m = n r s o l ( 2 1 ) 式中：r t t 是发射线圈的匝数，s o 是线圈的面积，s = 翮2 ，其中口是线圈的 半径；，是线圈中的电流密度，= 厶，f o 为交变电流的角频率。 m 的方向是井轴的方向。磁场强度在空间任意一点的矢径方向的分量是： 一2 筹= 警 式中：所为单元环到发射线圈的距离。9 是矢径方向( 连接探测点与发射 线圈的矢量) 与m 方向的夹角。以r 为球心，作一通过单元环的球面。球面上 的面积元是d s = 2 z r p ；s i n o d o ，所以通过单元环的磁通是 = 旺以钌= f 以2 砺s i n o d 0 ：掣s i n 2 0 0 q _ 三p t 7 浙江大学硕士学位论文 感应测井原理 式中，吼是单元环矢径与井轴的夹角。因为s i n e o = 二，得到 既 ：蟛， 2 屏 根据电磁感应原理，单元环上的电动势是 单元环的电导： y ：一i 吐如：- i a ) p n _ r s o r 2 ， 2 屏 ，1 c r d r d z u = 一 2 z c r 其中， 盯是单元环的电导率。可以得到涡流的大小为： 以，：g 矿一- i c 驴 m r s 。hi 盯幽出 ( 2 7 ) 4 刀群 该涡流在空间形成二次电磁场。同样，假设接收线圈的尺度足够小，则根据 b l o t s a v a r t 定理，单元环上的一小段电流d 在接收线圈处形成的磁场强度是 棚，：一1 一d i d l 4 死p ： ( 2 8 ) 是接收线圈到单元环的距离。d h 7 在通过z 轴和p r 的平面之上，且垂直 于p r 。当d l 沿单元环移动时，d h 与z 轴的夹角不变。由此可以得出整个单 元环所形成的磁场的z 分量为： 棚7 = 刍c o s 删= 去 亿9 ， 8 浙江大学硕士学位论文 感应测井原理 由此可以得到接收线圈的磁通量为： 掣叫h z n r s q = 絮d i ， 式中，r 和瓯分别是接收线圈的匝数和面积，接收线圈的面积和发射线圈 的面积相同。这样，便可以得到在接收线圈中产生的二次感应电动势为； 分别记： d v r = - i w t u n 订l e s 。r 2 肚一篇磐争去仃砒 尼三一w 2 p 2 n t n r s ；i 4 耳l 三r 3 g 一2 丽3 3 ( 2 1 2 ) 我们把后称为仪器常数，g 为d o li 几何因子。这两个参数在感应测井中有重 要的意义，其作用将在下文中具体描述。 考虑所有单元环的贡献，得到地层中涡流所形成的二次感应电动势为： = 尼g 砒 二次感应电动势也被称为有用信号，与之相对应的在接收线圈中，还存有无 用信号，即发射线圈和接收线圈间的直接耦合电动势。在接收线圈处，一次磁场 的大小为： 其相应的磁通量为： t = 丽n r s o i 9 浙江大学硕士学位论文 感应测井原理 ：= h ：n n s o = 百, u n r n r s ；， 由此可以得到，一次感应电动势的大小为： k = 一脚= 一百i c o p r t r n l f l z o ， 因为一次感应电动势v 不包含与地层相关的信息，所以被称为无用信号。 然而，这个无用信号在接收线圈所有信号中所占的比重非常大，所以必须想办法 对其进行压制，以得到我们所需要的信息。由于双线圈系结构无法有效的降低无 用信号所占比例，且其探测特性也不是很好，所以，其主要具有理论上的研究意 义。在工程中，常采用多线圈系的结构，通过对多个接收线圈的匝数和位置的综 合设计，使得接收线圈系的无用信号相互抵消，使它们之和接近于o ，这样便 有效的抑制了无用信号对探测结果的影响。这就是在感应测井仪器设计过程中广 泛采用的直耦对消原理。其具体原理推导与双线圈系结构相仿，在此不再赘述。 2 2 视电导率和几何因子 感应测井的目的是求得地层的导电特性，以为测井解释提供依据。上一节， 我们讲述了感应测井的基本原理，给出了计算接收线圈电压的方法。本节，我们 将讨论如何由接收线圈电动势获取我们所需的地层电导率，并简要介绍感应测井 的几何因子理论。 定义有用信号与仪器常数之比为视电导率： 吒兰监k ( 2 1 8 ) 根据式( 2 1 4 ) 有： 吒= ee g o d r & 1 0 ( 2 1 9 ) 浙江大学硕士学位论文感应测井原理 其中，g 已在公式( 2 13 ) 中给出，g 被称为微分几何因子n 17 1 ，因其首先被 d o ll 提出，所以又叫o o l1 微分几何因子。几何因子代表了在均匀无限介质空间 中，任意一点上截面积为一个单位的单元环对总信号的相对供献，即代表了其对 视电导率的贡献。因此几何因子决定了测井仪器的探测特性，通过研究几何因子 的特性，便可根据需要设计出满足特定需求的测井仪器。 几何因子满足如下的9 3 一化条件： g c r d r d z = 1 由该性质我们可以知道，当地层介质均匀的时候，便有 g n 2a 在以上计算接收线圈响应的过程中，我们只考虑了一次场和二次场的作用， 并且认为每一个单元环都是相互独立而没有影响的。而实际的情况并非如此。因 此，几何因子理论只是一种忽略了趋肤效应( 电磁场在导电介质中传播时的衰减 和传播的有限速度) 影响的近似方法。感应测井的几何因子理论最早由d o l l 在 1 9 4 9 年提出，该理论虽然只在零频率或无限大地层的极限情况下才严格正确， 但其确是以后感应测井理论发展的基础，具有非常重大的意义d o l l 几何因子 具有简单，明了的特点，可以很方便的对地层的电特性进行定性分析。但是，当 用它来定量计算电导率的时候，却会产生较大的误差。 为了改善d o ll 几何因子带来的误差，达斯特赫夫特n 钉等人对均匀介质下电 磁波的传播特性进行了研究，并于1 9 6 2 年给出了均质条件下感应测井响应的准 确解。但该理论只能在均质条件下求解，且该理论比较复杂，且需考虑多种因素， 所以也无法很好解决实际问题。 1 9 6 8 年田子立n 力等人提出趋肤效应几何因子理论，它取几何因子概念， 但在计算单元环信号时又考虑了涡流间的相互作用，因而大大提高了所得结果的 精度，使得几何因子概念得到更广泛的应用。 浙江大学硕士学位论文感应测井原理 感应测井几何因子理论是各种感应测井仪器设计和测井资料处理的理论基 础，在感应测井领域具有重要的应用价值，由于本文的研究重点在于感应测井响 应的数值模拟，而几何因子理论多用在测井资料解释等后处理阶段，所以本文只 对其进行了简单介绍，而不详细展开叙述，感兴趣的读者可以参阅相关的测井书 籍。 随着感应测井理论的发展，各种新型的感应测井仪器也被研制出来。通过对 几何因子特性的研究，人们开发了诸如阵列感应测井仪，随钻感应测井仪等先进 的测井仪器。通过精心设计线圈系结构以便得到人们所需要的探测特性。而这样 的探测特性是双线圈系测井仪所无法实现的。所以，有必要对复合线圈系的特性 做一简单的介绍，并给出复合线圈系仪器常数和视电导率的计算方法。 复合线圈系由串联在一起的多个发射线圈和串联在一起的多个接收线圈所 组成。分别用符号瓦，五巧和r 置如代表。他们的匝数分别为哆。，啊r 7 t ，和 7 r 。，珥r r r m 。其中，我们约定瓦和r 分别为发射和接收线圈中匝数最大的一个， 它们被称为主发射线圈和主接收线圈。 由于接收线圈串联在一起，总的信号为每个线圈对贡献的信号之和，则有： ，m k = ，k = o 式中，t 代表第个发射线圈在第后个接收线圈中产生的有用信号。由上 一节的知识我们可以直接得到： 式中，仪器常数 y 畸k = k j k o 口j k =一c02ju矿2nrjn吩s20i ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 浙江大学硕士学位论文感应测井原理 线圈对弦所测得的视电导率 其中， a 痒= f f i g , k c r d r d z 将。的表达式代入，得 驴警素 ，m = k 。 定义复合线圈系的仪器常数为 ，m k 三 j , k = 0 ( 2 2 7 ) 将接收线圈的有用信号除以仪器常数，便得到了复合线圈系的视电导率： =ooe g 。r d r d z 式中，g 代表复合线圈系的微分几何因子。 一j 笛i , mn i 7 ) g l r k g j k 铲鬻 j , k = o 等l j 七 ( 2 3 0 ) 一堡 垒骅篮等磊 浙江大学硕士学位论文 感应测井原理 从上式可以看出，复合线圈系的微分几何因子只跟线圈系的位置和匝数相 关，只要我们合理的调整线圈系结构，便可获得所需的探测特性。这就为我们的 仪器开发设计，以及测井资料处理奠定了基础。 1 4 浙江大学硕士学位论文有限元素法模拟电法测井响应 第三章有限元素法模拟电法测井响应 有限元素法( f e m ) 是5 0 年代中期发展起来的一种数值模拟方法，它最先应 用于飞机设计，之后得到不断发展并在结构分析中得到广泛应用。上个世纪7 0 年代，有限元被移植到电子工程领域，并被用于电磁问题的计算中。 有限元素法的基础是变分原理和加权余量法，其要旨就是将计算区域离散为 有限个互不重叠的单元，然后将微分方程中的变量改写为每个单元节点值的插值 函数表示的形式，通过变分原理，原先的偏微分方程求解问题被等价为泛函求极 值问题。最终，得到以节点为未知量的线性方程组，通过对方程组进行求解，便 可得到原微分方程的近似解。 本章，首先对有限元素法的基本原理进行介绍，然后通过一个计算感应测井 响应的实例来讲述有限元方法的基本步骤。最后，再讨论一下常规的节点有限元 的不足。 3 1 有限元方法简介 有限元素法 1 是近似求解数理边值问题的一种技术。所谓的边值问题是指区 域q 内的控制微分方程以及包围区域q 的边界r 上的边界条件。微分方程可表示 为： 上= f 式中，l 是微分算符，是未知量，厂是激励源。边界条件常用的有狄利 克雷边界条件和诺曼边界条件。复杂一些的有阻抗和辐射边界条件。边值问题的 求解有两种方法，一种为解析法，另一种为数值方法。解析法可以得到准确的解， 但其只有在极少数情况下才能得到问题的解析解，实际的工程应用问题往往是无 法得到解析解的。因此，数值方法便成为了解决实际工程问题的主要方法。其中 用的最多的有里兹方法和伽辽金方法。 浙江大学硕士学位论文有限元素法模拟电法测井响应 里兹方法是一种变分方法，它将边值问题用泛函表示，泛函的极小值对应于 给定边界条件下的控制微分方程。通过泛函求极值，便可得到微分方程的解。为 了说明里兹方法的求解过程，我们首先引入内积的概念。内积用一对尖括号表 示： = p ，+ q 式中，星号表示复共轭。式( 3 1 ) 中的算符是自伴的，如果有： 如果有 三三 ；三吕 ( 3 2 ) 则称三是正定的。可以证明如果式( 3 1 ) 中的算符既是白伴又是正定的， 那么( 3 1 ) 式的解可以等价于求下式泛函对面的极小值， f ( 面) = 互1 一三1 一三 式中，面叫做试探函数，假定试探函数西可以近似展开为： 西= 巳_ = c ) 7 1 ，) = 1 ，) r c ) ( 3 6 ) 式中，v 和c ，分别是定义在全域上的展开函数及其展开系数。大括号 ) 表 示列向量，丁表示向量转置。将( 3 6 ) 式代入( 3 5 ) 可以得到： f = 扣7 l 呲r d n 旷 c ) fl v f d n ( 3 7 ) 1 6 浙江大学硕士学位论文有限元素法模拟电法测井响应 将上式对c 求偏导数，并令其得零， 誓= 扣m 煳哗) + 胁一地一l v 阎 = 丢喜巳慨+ _ l v , d f 2 - l v q = 0 其中汪1 ，2 ，3 ，n ，将其写成矩阵方程： 其中， s 】 c ) = 6 ) 岛= 互1 ( v 啊也三v ，) d f 2 6 f = l v , f d n 对方程( 3 9 ) 进行求解，便可得到方程( 3 1 ) 的解。 另一种典型的方法是伽辽金方法，它用残函数加权方法，通过求残数在q 内 的最小值来得到的最佳近似。用面代替式( 3 1 ) 中的可得残数： ，= 三一厂 令，的残数加权积分e 最小，即： r = w 耐q = w 西一f ) d f 2 = 0 ( 3 1 3 ) 式中，嵋为加权函数。与里兹方法一样，按( 3 6 ) 将面展开，带入式( 3 13 ) 。 最后，两种方法可以得到同样的方程。 1 7 浙江大学硕士学位论文有限元素法模拟电法测井响应 3 2 有限元方法基本步骤 里兹方法和伽辽金方法的关键在于找出一个能近似表示问题真实解的试探 函数，试探函数是定义在全域上的一组基函数，它必须能够近似表示真实解，也 必须满足适当的边界条件，因此，找到这样的试探函数并不容易。有限元素法将 求解区域划分为有限个互不重叠的单元，在每一个单元中，未知函数用带有未知 系数的简单插值函数来表示，由于单元足够小，单元中的插值函数就可以变得十 分简单。由此可见，用有限元素法求解边值问题需要以下几个基本步骤： 区域离散 插值函数的选择 方程组的建立 方程组的求解 下面，我们以一个二维感应测井求解的例子来详细介绍一个完整的有限元求 解过程n4 1 。在进行有限元求解之前，首先给出描述感应测井中电磁场所满足的偏 微分方程。由于本章的重点在于讲述有限元的基本原理和步骤，为了简单起见， 这里只讨论垂直井的情况，这样井中的电磁场便有了旋转对称型，原本的三维场 求解问题，可转化为简单的二维问题，这里以二维问题为例，三维的斜井和水平 井将在下一章做具体的阐述。在这种情况下，电磁场可以用矢势表示，在柱坐标 系中，矢势 式中u 。为方向的单位矢量。 矢势满足如下控制微分方程： 式中y 2 为传播系数 a = a ( r ，z ) u d _0【71_0(臆)+可02aoro r + y 2 a = 一脚， ，02 浙江大学硕士学位论文有限元素法模拟电法测井响应