（电路与系统专业论文）干涉式电压互感器传感头中的电场分析与设计.pdfVIP

摘要 摘要 随着近年来电力设备的电压等级日益提高，全光纤光学电压互感器已 经成为电力系统研究的热点之一，干涉式电压互感器属于其中的一种。本 文主要研究用于测量1 1 0k v 以上高电压的干涉式电压互感器传感头的内部 电场，在此基础上设计优化传感头的结构。 本课题研究的高电压互感器是利用石英晶体的逆压电效应，通过测量 双模光纤的相位差变化来测得电压的，其传感头内部主要包括金属电极、 双模光纤、石英晶体和绝缘气体，石英晶体通过金属电极加于被测高电压 下，椭圆芯双模光纤以不变的张力和确定的间距缠绕于石英晶体上，绝缘 气体是空气或者是它和六氟化硫的混合气，传感头最高可以承受4 8 0k v 的 高压，保证测试的正常进行。 本文首先简要论述了这种应用于电力系统高电压测量的全光纤光学电 压互感器，然后对研究其传感头电场分布的方法和如何在计算机上实现运 算进行了讨论，从数学理论基础、计算精度以及通用性上综合分析了矩量 法、有限差分法、时域有限差分法和有限元法等几种主要数值计算方法的 特点，选择运用有限元法针对本课题实际情况建立数学模型并在计算机上 实现计算。 最后本文借助有限元分析软件a n s y s ，结合不均匀电场中的气隙击穿 理论对该种互感器的传感头部分进行了设计并对其电场分布进行了分析， 得出传感头内部的电场分布情况，对电极的形状、材料和整个传感头的尺 寸等作出了优化选择，保证了它的绝缘性。 关键词光学电压互感器；电场分布；a n s y s ：有限元：绝缘 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t a sp o w e rf a c i l i t i e sa r eb e i n gd e v e l o p e dt o w a r dh i g h e rv o l t a g e s ，a i l - f i b e r o p t i c a lv o l t a g et r a n s d u c e rh a sb e c o m eo n eo f t h ef o c u si ne l e c t r i cp o w e rs y s t e m ， t h ei n t e r f e r e n t i a lv o l t a g et r a n s d u c e ri nt h i sp a p e ri sas o r to fi t i nt h i sp a p e r , t h e e l e c t r i c - f i e l dd i s t r u i b u t i o no f t h es e n s o ri nt h i st r a n s d u c e ri sr e s e a r c h e d ，a n dt h e s t r u c t u r eo f t h es e n s o ri sd e s i g n e da n do p t i m i z e db a s e do ni t n l ev o l t a g et r a n s d u c e ri nt h i sp a p e ri sb a s e do nt h ec o n v e r s ep i e z o e l e c t r i c e f f e c to fq u a r t z ，i tc a nm e a s u r et h ev o l t a g et h r o u g ht h ec h a n g e so fd i f f e r e n t i a l p h a s ew h i c hi nt h ed u a l - m o d ef i b e r t h e r ea r em e t a l l i ce l e c t r o d e s ，d u a l m o d e f i b e r s q u a r t za n dg a si nt h es e n s o ro ft h i st r a n s d u c e ln eq u a r t zi sp l a c e d b e t w e e nt h em e t a l l i ce l e c t r o d e s t h ee l l i p t i c a l c o r ed u a l m o d ef i b e ri sw o u n d o n t ot h ec i r c u m f e r e n t i a ls u r f a c eo ft h eq u a r t z t h eg a si sa i ro rm i x e dw i t l la i r a n ds l 1 h es e n s o rc a nb e a r4 8 0k vh i 曲v o l t a g ea n de n s u r et h en o r m a l m e a s u r e i nt h i sp a p e r , t h es t r u c t u r ea n df u n d a m e n t a lp r i n c i p l eo ft h ea l l f i b e ro p t i c l v o l t a g e t r a n s d u c e ra r e f i r s t l yd i s c u s s e ds u m m a r i l y t h e nt h em e t h o do f a n a l y z i n gt h ee l e c t r i c f i e l do ft h es e n s o ra n dc a l c u l a t i n go nc o m p u t e ra l e d i s c u s s e d ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so fs o m em e t h o d sa r ed i s c u s s e di nt h e i rr e l i a b l e f o u n d a t i o no fm a t h m a t i e sa n dp r e c i s i o n t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sc h o o s e d i nt h i sp a p e rt ob u i l dt h em a t h m a f i c sm o d e f i n a l l y , t h es e n s o rs t r u c t u r ei sd e s i g n e da n di t se l e c t r i cf i e l di sa n a l y s e db y u s i n gt h es o f t w a r ea n s y sa n dt h et h e o r yo ft h ea s y m m e t r ye l e c t r i cf i e l d 1 1 1 e e l e c t r i cf i e l d sd i s t r i b u t i o nc h a r t so f t h es e n s o r8 1 ep l o t t h eb e t t e rm a t e d a la n d s h a p eo ft h ee l e c t r o d ea r ec h o o s e d t h ei n s u l a t i n gp r o b l e m so ft h es e n s o ra r e e n s u r e d a b s t r a c t k e y w o r d so p t i c f i b e rv o l t a g et r a n s d u c e r ；d i s t r i b u t i o no fe l e c t r i cf i e l d ； a n s y s ；f i n i t ee l e m e n t ；i n s u l a t i o n i i i 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文干涉式电压互感器传感头 中的电场分析与设计，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期 间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承 担。 作者签字互勺乏 日期：2 0 0 6 年j 2 月阳 燕山大学硕士学位论文使用授权书 干涉式电压互感器传感头中的电场分析与设计系本人在燕山大学 攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归 燕山大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。 本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权 燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的 全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密留。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：王勺乏 日期：形年f 2 ，月z 日 导师繇芈冬乙 嗍衙碉知 第1 章绪论 1 1 课题的研究背景 第1 章绪论 电压的精确测量对于电力系统中为数众多的高灵敏度、价格昂贵的设 备来说极为重要。目前在电力系统中广泛应用的是传统的电压互感器。传 统的电压互感器分为电磁感应式和电容式两种。其中，电磁感应式电压互 感器( v t - v o l t a g et r a n s f o r m e r ) 是在较低电压下常用的一种电压互感器，它与 普通变压器不同的是容量很小。电压等级越高，电磁式电压互感器的绝缘 越困难，造价就越高。现在的电力系统高电压中通常采用电容式电压互感 器( c v t - c a p a c i t a n c ev o l t a g et r a n s f o r m e r ) ，它由两部分组成，电容分压器部 分和电磁部分，电磁部分也是一台变压器，只是一侧电压是经过电容分压 后的较低电压。和电磁式电压互感器比较，电容式电压互感器具有绝缘强 度高、不会与系统发生铁磁谐振、高电压下价格较低以及可兼作耦合电容 器用于载波通信【lj 等优点。但是，c v t 暂态响应较差，电容与非线性补偿 电感、变压器电感串联，互感器本身有发生铁磁谐振的可能，威胁设备安 全可靠的运行。传统电压互感器均用油绝缘，有燃烧和爆炸的危险，并且 输出都无法和计算机直接相连，容量有限，频带较窄等问题。这些都是它 们的固有缺陷，无法根本消除，基于此，有必要研究新型的电压互感器， 光学电压互感器应运而生。 光学电压互感器( o p f i c a lv o l t a g et r a n s d u c e r ，简称o v n 是近年发展起 来的一种新型电压测量设备。o v t 利用光纤完成信号的传输，利用晶体特 定的物理效应敏感电压。它不但克服了电磁感应式电压互感器的缺点，还 具有非常宽的频带，同光纤传输网联网可以实现系统的遥测和遥控，易满 足小型化、智能化、多功能的要求，而且，光学电压互感器还可以测量直 流电压，直流电压的测量在冶炼和直流电力系统中是必须的【2 卅。 光学电压互感器有传统电压互感器无法比拟的优点，符合电力系统测 燕山大学工学硕士学位论文 量设备的数字化和自动化发展的要求，有广阔的发展空间，随着材料科学， 加工工艺的发展，高稳定性，高精度的光学互感器必将会广泛运用到电力 系统中【5 1 。在全光纤电压互感器中，传感头的设计非常重要，它是互感器 的前端，它的性能影响全局。本文主要设计传感头的结构并分析其电场分 布，在电场分布的基础上改进它的绝缘性能。 1 2 国内外的研究现状 目前国内外对电压互感器普遍研究的方法大致分两种i 】，一种是对传 统电容互感器进一步的优化；另一种是放弃分压器，利用晶体的光学效应 进行测量，它主要包括：其一，利用晶体的p o e k e l s 效应：其二，利用晶体 的压电效应。 1 2 1电容式电压互感器 电容式电压互感( c v n 在国外已有4 0 多年的发展历史 9 - l l l ，在 7 2 5 8 0 0k v 电力系统中得到广泛应用。国产c v t 从1 9 6 4 年在西安电力电容 器厂诞生以来，已积累了3 0 多年的制造和运行经验，现己进入成熟期。电 力部门广大用户普遍认为：国产c v t 己达到或超过电磁式电压互感器的各 项性能指标，同时还具有绝缘强度高，不会与系统发生铁磁振荡、高电压 下价格较低以及可以兼做电容器用于载波通信等优点。所以“九五”以来 国产c v t 得到了广泛应用，产品电压范围覆盖3 5 5 0 0k v 。 电容式电压互感器由电容分压器和电磁单元( 电磁式电压互感器) 构 成，电容分压器由若干只电容器串联组成的，接于高压线与地之间，其误 差取决于分压器内部阻抗的电压降，随电源频率和环境温度的变化而变化。 在1 1 0 - 2 2 0k v ，c v t 用量己占绝对优势，不仅在新站优先选用，在老站改 造中往往用c v t 代替v t ，3 0 0 5 5 0k v 等级无一例外的选用c v t 。尽管如此， 由于c v t 暂态响应较差，电容与非线性补偿电感、变压器电感串联，互感 器本身有发生铁磁谐振的可能，威胁设备安全可靠的运行，所以开发新型 光纤电压互感器成为一种趋势。 第1 章绪论 1 2 2 光学电压互感器 目前国内外研制的光学电压互感器多是基于p o c k e l s 效应的块状光学 电压互感器，从结构上主要分为有分压和无分压两种类型。有分压型电压 互感器一般是采用电容分压器将高电压分成较低的电压再加在电光晶体 上。例如华中理工大学设计的在广东新会市某变电站挂网运行的1 1 0k v 光 学电压互感器，以及东京电力公司和东芝公司联合开发的用于保护和控制 的适用光学电流和电压互感器属于这种结构。使用电容分压器分压，可以 使一个较低的合适的电压加在电光晶体上，降低作用在电光晶体上的电压， 有利于提高传感器的温度稳定性，但是电容器的长期运行引进了额外的测 量误差。无分压型电压互感器是指高电压直接加在电光晶体上，例如华中 理工大学研制了1 1 0k v 无分压型光纤电压传感器，采用s e 做绝缘气体， 高电压就是直接加在b g o 晶体上，国外的这种传感器研究例如丹麦电力研 究学会学者l a r s ，hc h r i s t e n s e n 也介绍了用于1 3 2 1 5 0k v 系统的基于 p o c k e l s 效应的光学电压互感器【1 2 4 1 ，采用b g o 晶体，无电容分压，没有分 压器，提高了测量的精度，同时适当的高电压可以提高传感器的灵敏度。 由于高电压直接加在晶体上，必须防止晶体被击穿，同时传感头的绝缘要 求更高。 基于p o c k e l s 效应的光学电压互感器中电压的调制方式有两种：横向调 制和纵向调制，见图1 1 。图1 - 1 ( a ) 为横向调制型，图1 1 ( b ) 为纵向调制型。 ( 1 ) 横向调制横向调制这种方式就是外加电场方向和通光方向互相 垂直，横向调制是目前光学电压互感器中应用较多的一种结构形式，它经 常用在有分压器的光学电压互感器中。在该互感器中，调节电极间的距离 以降低电场强度的大小实现对高电压的测量，这时也可以不需要分压器， 高低压电极之间用绝缘材料连接起来。电光晶体处在电场中，受该电场作 用。 横向调制结构简单，造价低，但是电极间的距离受温度的影响而变化， 引起电场强度的改变，从而影响互感器的稳定性；外电场和极间电场分布 对互感器也有影响，因此应该采取措施加以克服1 1 5 , 1 6 】。 燕山大学工学硕士学位论文 ( 2 ) 纵向调制纵向调制就是通光方向与外加电场方向一致，沿两级问 的电场积分与路径无关，即圪j = f e d l 与路径无关，所以这种结构的半 波电压与晶体的外观尺寸无关，外电场的干扰和极间电场分布的不均匀都 不会对电压测量造成影响，传感头的设计相对就比较容易。设计中应注意 内部晶体绝缘和传感头内外绝缘。 信号源 光源 。蝻昔抄 起偏器 电极 检偏器 ( a ) 横向调制型 ( a ) t r a n s v e r s e 光电 探测器 光电 探测器 ( b ) 纵向调制型 ( b ) l o n g t i t u d e 图1 - 1 基于p o c k e t s 效应的o v t f i g 1 - 1o v t s b a s e do l lp o c k e t se f f e c t 集成光学o v t 也是以p o c k e t s 效应为基础的，它是利用平面光无源调制 器件进行光波调制，由于电极之间间隙小而不能承受高电压就是它的缺点。 除了基于p o c k e l s 效应的块状光学电压互感器，另一种研究的比较多的 就是全光纤电压互感器，在该种互感器中，对电压的测量、信号的传输以 及检测都要用到光纤，不需要自聚焦透镜、起( 检) 偏器、波片、电光晶体 4 第1 章绪论 等光学元件，因而制作工艺大大简化。对于本课题所研究的全光纤型o v t ， 传感光纤中两种模式间的相位差与电场强度的线积分成正比，即与被测电 压成正比，受邻相电压的影响很小。例如，如果要同时测量三相电压，可 以把三个o v t 放到同一个套管内。由于石英晶体具有良好的性能，如绝缘 强度高，介电常数小，以及压电系数和介电常数受温度的影响很小等，使 系统的抗干扰能力大大增强。全光纤型o v t 体积小，重量轻，结构简单， 能被集成在g i s 等高压设备中【“1 9 】，便于利用成熟的数字信号处理和通信 技术。由于它具有以上诸多优点，所以具有很好的发展前景。 1 3 新型的全光纤电压互感器 本课题研究的干涉式电压互感器就是一种新型的全光纤电压互感器， 涉及诸多学科，如晶体物理学、激光原理、光纤光学以及光纤传感技术等。 图1 2 为新型全光纤电压互感器的原理图，石英晶体通过金属电极加于被测 高电压下，将椭圆芯双模光纤以不变的张力和确定的间距缠绕于石英晶体， 从而调制光纤中两个模式( l r ，模式和只；”模式) 间的相位差f 2 0 2 h 。这种光 纤电压互感器利用白光干涉技术，由一前一后两个干涉仪串联构成，分别 为非平衡干涉仪( 光程差大于光源的相干长度) 和补偿干涉仪( 补偿非平衡 干涉仪产生的光程差1 。当低相干光源发出的光经过一个非平衡干涉仪时， 而该干涉仪与另一补偿干涉仪相连接，那么光源可见度函数零光程差的位 置可以唯一确定。系统中光源采用多模激光二极管，非平衡干涉仪对应于 传感干涉仪，补偿干涉仪对应于接收干涉仪，使用两段椭圆芯双模光纤， 第一段缠绕于石英晶体，组成传感干涉仪，第二段缠绕于压电陶瓷，组成 接收干涉仪。还用到两段椭圆芯单模光纤，作为传光光纤，分别介于光源 和传感干涉仪之间以及传感干涉仪和接收干涉仪之间。采用椭圆芯单模光 纤作为传光光纤，一方面由于其纤芯几何形状的特殊性可以保证光波信号 的传输基本不受环境温度或光纤形变等的影响，另一方面有利于单模光纤 和双模光纤之间的能量耦合，提高系统的分辨率。利用主动零差相位跟踪 法测量相位调制量 2 2 2 3 】，该光纤电压互感器中含有一个相位跟踪器，利用 燕山大学工学硕士学位论文 正交控制电路实时产生与被测高压成比例的反馈电压控制接收干涉仪，同 时将其作为光纤电压互感器的输出信号。 图中左侧石英晶体和电极组成的部分就是传感头部分，高电压直接加 在电极和石英晶体上，传感头内部空间首先考虑用干燥的空气做介质，要 保证高电压能全部加在石英晶体上，这就要求当高电压加上之后，石英晶 体、金属电极、空气都不被击穿，因此就要研究其内部的电场分布情况。 高压端 低压端 y 图 图1 - 2 新型光纤电压互感器的原理图 f i g 1 - 2t h es c h e m a t i cd i a g r a mo f o p t i c f i b e r p o t e n t i a lt r a n s f o r m e r 综上所述，这种干涉式电压互感器与传统电压互感器相比有以下特点： ( 1 ) 被测高电压和测量地电极设备之间的电流用光学系统隔离； ( 2 ) 光波测量信号采用光纤传输，基本上不受互感器设备本身及其他设 备产生的电磁噪声的影响： ( 3 ) 与传统电压互感器不同，其绝缘系统的成本基本上不随电压等级的 提高而增加，因此在电压等级高于1 0 0k v 时能带来经济上的好处； ( 4 1 光纤的使用可大大减轻电压互感器的重量； ( 5 ) 和传统电压互感器相比，具有更宽的测量带宽； ( 6 ) 可以设计成输出稳定可靠的数字信号，以便于和电子计算机等数字 设备连接【2 4 】。 6 第l 章绪论 1 4 课题的主要内容和结构安排 本文一开始研究了传感头电场分析可以使用的各种数值分析方法，在 电磁场理论的基础上比较各种数值分析方法并最后选择有限元方法建立了 数学模型，然后通过有限元软件对传感头内部结构的电场分布进行了计算， 画出各种情况下的电场分布图，结合高压绝缘理论，对传感头内部结构中 的电极的材料、大小、形状，石英晶体的表面处理、绝缘气体的选择等方 面做出了优化选择。 本文的结构安排如下： 第1 章为绪论，介绍了几种常见电压互感器的研究现状及本课题的工作 重点；第2 章讨论了传感头电场分析的理论基础以及各种数值分析方法；第 3 章用有限元方法建立了传感头内部电场分析的数学模型；第4 章通过电场 分析并根据问题的实际情况结合高压绝缘理论对传感头内部结构进行了分 析和优化处理。 7 燕山大学工学硕士学位论文 第2 章传感头电场分析的理论基础 2 1引言 本文主要研究干涉式电压互感器传感头中电场分布情况，根据分析结 果设计传感头的最佳结构。在利用计算机分析电场分布规律时主要采用计 算电磁学理论及其数值分析方法，本章就是研究和讨论适用本文电场分析 用的计算理论和方法，为电场分析方法提供理论基础。 2 2 基本理论 2 2 1 麦克斯韦方程组 在1 9 世纪中叶，麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了适用于所 有宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克斯韦方程组。它是电磁场理论的 基础【2 5 1 ，也是工程电磁场数值分析的出发点。 麦克斯韦方程组包括微分和积分两种形式，微分形式的麦克斯韦方程 组为： 法拉第电磁感应定律： v x e 一詈( 2 - 1 ) 麦克斯韦一安培定律： v x h ：j + 娑( 2 - 2 ) o t 高斯电通定律： v d = p( 2 - 3 ) 高斯磁通定律： 第2 章传感头电场分析的理论基础 vb=0(2-4) 电荷守恒定律： v 扛一考( 2 - 5 ) 式中，e 为电场强度，v m ；d 为电通量密度，c m 日为磁场强度，从n ； 口为磁通量密度，t ；，为电流密度，a m 2 ：p 为电荷密度，c m 3 。 上面5 个方程中包含两个旋度方程：式( 2 1 ) 、式( 2 2 ) 和3 个散度方程： 式( 2 3 ) 、式( 2 - 4 ) 和式( 2 - 5 ) 。 2 2 2 麦克斯韦方程组各方程之间的关系 上面提到的麦克斯韦方程组的5 个方程中，只有3 个方程是独立的，另 外两个相关方程可以从独立方程中导出。其中两个旋度方程肯定是独立方 程，另外一个独立方程可以在散度方程式( 2 - 3 ) 和式( 2 - 5 ) 中任选一个，方程 式( 2 4 ) 只能作为相关方程。 ( 1 ) 方程式( 2 1 ) 与式( 2 - 4 ) 的关系对方程式( 2 1 ) 两边取散度，有： v ( v e ) = - v - 百o b ( 2 - 6 ) 根据矢量恒等式，可知式( 2 6 ) 左侧恒等于零： v 掣：0( 2 7 ) 西 、 设在场域内b 关于时间和场点二阶混合偏导数连续，则式( 2 - 7 ) 可以化为： 昙v b = 0( 2 8 ) 钟 、7 即： v b = c ( 2 9 ) c 是与时间无关的常数。同理，v 曰也是与时间无关的常数，只要在初始 时刻t = 0 取c = 0 ，则在t 0 以后的任意时刻恒有： v b = 0 f 2 1 0 ) 由此，可以看出方程式( 2 - 1 ) 与式( 2 - 4 ) 是相关的，由方程式( 2 1 ) 可以推 9 燕山大学工学硕七学位论文 导出式( 2 4 ) 。 ( 2 ) 方程式( 2 2 ) 、式( 2 3 ) 与式( 2 5 ) 之间的关系对方程式( 2 - 2 ) 两边取 散度，有： 口( v 日) = v j + 昙口d = 0 ( 2 - 1 1 ) 显然，如果仅仅利用方程式( 2 2 ) 不能同时导出方程式( 2 - 3 ) 和式( 2 - 5 ) 。这时， 要么将方程式( 2 3 ) 设为独立方程，联合方程式( 2 1 1 ) 推导出方程式( 2 - 5 ) ；要 么将方程式( 2 - 5 ) 设定为独立方程，联合方程式( 2 - 1 1 ) 推导出力程式( 2 - 3 ) 。 将方程式( 2 3 ) 代入式( 2 1 1 ) ，有： 口n 考= 0 ( 2 - 1 2 ) 将方程式( 2 - 5 ) 代入式( 2 1 1 ) ，有： 昙( v d p ) = 0 ( 2 1 3 ) 西、 、7 即： vdd=c(2-14) 这里，c 为与时间无关的常数，那么只要在初始时刻f = 0 取c = 0 ，则在t 0 以后的任意时刻恒有： v d = p( 2 - 1 5 ) 2 2 3 本构关系 场量e 、d 、丑、日之间的关系，由媒质的特性决定。对于线性介质， 本构关系为： d = e e ( 2 1 6 ) b = 肚r( 2 1 7 ) j = t r e ( 2 - 1 8 ) 式中：为介质的介电常数，f m ；为介质的磁导率，h m ；仃为介质 的电导率，s m 。 还需要说明的是，对于各向同性介质，、“和仃是标量；对于各项 1 0 第2 章传感头电场分析的理论基础 异性介质，它们是张量。 如果希望得到电磁场问题的惟一解，除了上述方程外，还需要配备定 解条件：对于瞬变场，需要配备边界条件和初始条件：对于静态场、稳态 场、时谐场，只需配备边界条件。 2 2 4 方程求解的边界条件 电磁场问题求解中，有各种各样的边界条件，但归结起来可概括为三 种：狄利克莱( d i r i c h l e t ) 边界条件、诺依曼( n e w m a n ) 边界条件以及它们的 组合【2 6 1 。 狄利克莱边界条件可表示为： 训r = g 【r j( 2 1 9 ) 式中r 为狄利克莱边界，g ( r ) 是位置的函数，可以为常数和零。当为零时 称此狄利克莱边界为齐次边界条件，如平行板电容器的一个极板电势可假 定为零，而另一个假定为常数，为零的边界即为齐次边界条件。 诺依曼边界条件可表示为： 譬1 ，+ 加) 9 5 1 ，= 州( 2 - 2 0 ) u l 式中r 为诺依曼边界；n 为边界r 的外法线矢量；厂( r ) 和矗( r ) 为一般函数， 可为常数和零，当为零时为齐次诺依曼条件。 实际上电磁场微分方程的求解中，只有在边界条件和初始条件的限制 时，电磁场才有确定解。鉴于此，通常称求解此类问题为边值问题和初值 问题，本文将在后面结合有限元方法和软件详细说明。 2 3 计算电磁学的应用 用计算机来进行电磁场的分析就是计算电磁学所研究的内容。 2 3 1 计算电磁学的基础 现代科学研究的基本模式是“科学实验、理论分析、高性能计算”三 燕山大学工学硕士学位论文 位一体。在国际高技术竞争日益激烈的今天，高性能计算技术已经成为体 现一个国家经济、科学和国防实力的重要标志，成为解决挑战性课题的一 个根本途径 2 7 , 2 8 。 高性能计算技术由硬件和软件两个部分组成。 在硬件方面：以计算技术开发领先的美国为例，为了保持其在世界上 的领先地位。它早在1 9 9 1 年就由国会通过了高性能计算和通信( h p c c ) 计 划，而后，美国国家科学基金会、能源部、国防部、教育部、卫生部、航 空航天管理局、国家安全局、环境保护局、海洋大气管理局陆续参与了这 一计划，追求更快的运算速度、更大容量的内存是高性能计算机努力追求 的方向，随着单处理机的速度越来越趋近物理极限，高性能计算机必须走 大规模并行处理之路，大规模并行处理的突破口是并行计算机模型。此外， 基于一些新材料、新工艺的新型计算机，如光互连技术、超导体计算机、 量了计算机和分子计算机等的研究也在持续升温。 在软件方面，其核心是算法，这是计算机的灵魂。对于一个给定的计 算机系统而育，其解决问题的能力和工作效率是由算法来决定的。目前计 算机所做的信息处理大致分为一般问题和难解问题。对于一般问题，人们 可以找到有效算法使计算机在能够为人接受的时间和空间内解决这些问 题；对于难解问题，人们就很难找到快速有效算法。当问题规模增大时汁 算机的计算量有可能呈指数型地成百倍、成千倍增长，最终在时间和空间 上超出计算机的实际计算能力。几十年来，计算机理论学者和算法专家一 直在致力于寻找针对一般问题的实时高性能算法和针对大规模难解问题的 快速算法。 科学与工程计算的高速进步，是2 0 世纪后半叶最重要的科技进步。随 着计算机和计算方法的飞速发展，高性能科学与工程计算计算取得了口新 月异的进步几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列的 计算性学科分支，如计算物理学、计算化学学、计算生物学、计算地质学、 计算气象学和计算材料科学等，而计算数学则是它们的联系纽带和基础。 这使得计算数学这个古老的数学科目成为现代数学中一个生机盎然的分 支，并发展成为一门新的学科科学与工程计算。 第2 章传感头电场分析的理论基础 利用高性能计算机，可以对新研究的对象进行数值模拟和动态显示， 获得由实验很难得到甚至根本得不到的科学结果。在许多情况下，由于理 论模型十分复杂甚至难以建定理论模型，或者实验费用昂贵甚至不能进行 实验，计算就成为解决这些问题的惟一或主要手段。 2 3 2 运用计算电磁学的必要性 在高性能计算技术发展的同时，在电磁场与微波技术学科中，以电磁 场理论为基础，以高性能的计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方 法，诞生了一门解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学计算电磁 学( c o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ) ，它是- - f q 新兴的边缘交叉科学。 电磁场理论的早期发展和无线电通信、雷达的发展是分不开的，它主 要应用在军事领域【2 9 】。现在，电磁场理论的应用已经遍及地学、生命科学 和医学、材料科学和信息科学等几乎所有的技术科学领域。计算电磁学的 研究内容涉及面很广，它渗透到电磁学的各个领域，与电磁场工程、电磁 场理论互相联系、互相依赖。对电磁场工程而言，计算电磁学是要解决实 际电磁场工程中越来越复杂的电磁场问题的建模与仿真、优化设计等问题； 而电磁场工程也为之提供实验结果，以验证其计算结果的正确性。对电磁 场理论而言，计算电磁学研究可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运 算的方法、手段和计算结果；而电磁场理论的研究也为计算电磁学研究提 供了电磁规律、数学方程，进而验证其计算结果。计算电磁学对电磁场理 论发展的影响决不仅仅是提供一个计算工具，而是使整个电磁场理论的发 展发生了革命性的变化。毫不夸张地说，近二三十年来，电磁场理论的发 展，无一不是与计算电磁学的发展相联系的。目前，计算电磁学已成为对 复杂体系的电磁规律、电磁性质进行研究的重要手段，为电磁场理论研究 开辟了新的途径，极大地推动了电磁场工程的发展。 2 3 3 计算电磁学的特点及误差 计算电磁学研究的第一步是对电磁问题进行分析，抓住主要因素，忽 略各种次要因素，建立起相应的电磁、数学模型。这与电磁场理论的做法 燕山大学工学硕士学位论文 极为相似。在电磁、数学模型确定之后，就要选择算法并使之在计算机上 实现。 对确定的数学模型，可以采用数值或非数值计算来求解。这是计算数 学讨沦的主要内容，也是计算电磁学的基础。由于现代程序存贮式通用数 字电子计算机的内在特点，它实质上只能做比加法略微多一些的运算和操 作，而实际问题的复杂数学模型往往是以微分或积分方程等形式表示。表 面上，计算机所提供的处理能力与所要求解问题的差距是相当大的。缩小 差距的途径就是算法。算法可以简单地认为是在解决具体问题时计算机所 能执行的步骤。算法将一个复杂问题化为简单的，简单的再化为基本的， 基本的再化为计算机能够执行的运算。算法选取的好坏是影响到能否计算 出结果、精度的高低或计算量大小的关键。以快速傅里叶变换( f f t ) 为例， 假设离散化后待处理的点数为，普通傅里叶变换算法需o ( n 2 ) 次操作， 快速傅里叶变换则需o ( n l o g ，) 次操作。当= 1 0 6 时，后者比前者要快 5 1 0 4 倍。一般来说，算法分析是计算机科学和计算数学的研究范畴，计 算电磁学工作者只要应用它们即可。但是，如果计算电磁学工作者自己提 出一个新算法，就仍有必要进行算法分析。 其次是算法的误差。一般来说，所有数值计算方法都存在误差。其来 源有以下四个方面2 7 也9 】： ( 1 ) 模型误差将实际问题归结为数学问题分析时，总是要忽略掉一些 主观上认为是次要的因素，加上这样或那样的各种限制。实质上这种理想 化的“数学模型”，是对客观电磁现象的近似描述，这种近似描述本身就 隐含着误差。这就是模型误差。 ( 2 ) 观测误差数学模型中常常包含着一些通过实验测量得到的物理 参数，如介电常数、导电率、电磁耦合系数等等。这些实验测量参数不可 避免地带有误差，这种误差称为观测误差。 ( 3 ) 方法误差在求解过程中，往往由于数学模型相当复杂而不能获得 它的精确解；或者有些运算只能用极限过程来定义，而计算机只能进行有 限次运算，这必然引入误差。这种误差是因为采用这样的数值求解算法而 使运算结果与模型的准确解产生误差，因而也称方法误差或截断误差。例 1 4 第2 章传感头电场分析的理论基础 如无穷级数只能截取有限项计算，存在截断误差。 ( 4 ) 舍入误差由于计算机的有限字长而带来的误差称为舍人误差，也 称为计算误差，在计算机上进行很多次运算以后，其舍入误差的积累也是 相当惊人的。 上述四方面所产生的误差在进行任何一项计算中都必须考虑，然后根 据实际精度要求选择和设计出好的计算方法。 最后，还需考虑计算的收敛性和稳定性问题。 对算法、误差、收敛性及稳定性的研究属于计算数学的基本内容。计 算电磁学在吸收计算数学研究成果的基础上，采用具有自身学科特色的研 究方法。它在研究上的主要特点表现在： ( 1 ) 计算电磁学与计算数学的区别计算电磁学工作者在选用计算方 法时更多的考虑是在算法和计算结果的物理意义上，而计算数学工作者更 感兴趣的是算法的逼近阶、计算精度、收敛性及稳定性等问题。这是由于 计算电磁学是以要解决的电磁问题为出发点和归宿点，因而对算法的评价 和偏爱程度就与计算数学并不总是一致。计算电磁学有时采用较简单可靠、 物理意义清楚的算法，对复杂物理问题作各种近似。例如，对非线性问题 用一系列线性化的问题去逼近；对非均匀介质用一批小的均匀介质的组合 去逼近；对不规则几何形体用一批规则几何形体的组合去逼近等等。 ( 2 ) 计算电磁学的任务计算电磁学的任务是寻求电磁规律、解决电磁 问题，因而它有时利用某些直观的电磁现象，加上逻辑推理、判断和实验， 采用自身特有的方法，可以不拘泥于数学上经严格证明而得到的计算方法。 ( 3 ) 计算电磁学的要求计算电磁学工作者在使用计算机分析整理大 量计算数据的基础上，还需得出物理结论，这些结论最好是以某种解析形 式的近似解来表达，这样才有利于电磁规律和理论的进一步推广使用。 2 4 计算电磁学的主要数值方法 电磁场计算方法的分类多种多样，按数学模型可以分为微分方程法、 积分方程法和变分方程法等；按解域可以分为频域法( 空间一频率域) 和时域 燕山大学工学硕士学位论文 法( 空间时间域) ：按近似性则可分为解析法、半解析法、渐近法和数值法 等，这里按最后一种分法进行讨论。 用解析法解决电磁场问题就是求得由麦克斯韦方程组导出的各种数学 方程封闭形式的数学解答 3 03 1 】，这是长期以来人们所追求的一种解决问题 的理想方法，由麦克斯韦方程组导出的数学方程有偏微分方程、积分方程 和变分方程等，能求得精确解的主要是偏微分方程，只有极个别的积分方 程才能求得解析解，而变分方程则主要用于求近似解( 除非将其转换成等价 的偏微分方程) ；渐进法并不严格地直接求解麦克斯韦方程，而采用物理上 的近似方法。 所谓数值法是指直接将待求解的数学方程进行离散化处理，将无限维 的连续问题化为有限维的离散问题，将解析方程的求解问题化为代数方程 的计算问题的一类方法，在这类方法中，应尽量保持数学上的严谨性，少 作物理上的近似，以保证当离散精度无限提高时所得数值解也可无限地趋 于精确解，从这个意义上讲，数值法既是一种近似方法，又留有提高计算 精度的无限空间，解析法所求得的往往只是方程的经典解，数值法则突破 了这一限制，能够求得方程的广义解( 仍然是近似的) 。数值法从原理上讲 没有局限性，是一种普遍适用的方法，只是计算机的存储空间和计算速度 限制其应用范围。这里采用数值法进行课题的研究。 由于需要解决的电磁场问题极具多样性和复杂性，因此发展了多种数 值计算方法，其中很多方法主要针对某一类特殊问题，不具有普遍性，计 算电磁学主要研究的是以大容量高速计算机为工具、具有一定普遍意义的 电磁场数值方法。 2 4 1 有限差分法 有限差分法是出现最早、发展最成熟的一种基于微分方程的数值方法， 早在2 0 世纪5 0 年代就以方法简单、概念清晰等特点被广泛用于各种电磁场 问题的数值分析，尤其是有限差分法对连续方程离散化处理的思想，成为 后来各种数值方法的发展基础p 。 有限差分法的基本原理是：用离散的代数形式的有限差分方程近似代 1 6 第2 章传感头电场分析的理论基础 替连续性的微分方程，在代数方程中将空间各点待求量的值与其邻近点的 值联系起来。这种方法的解题步骤大致可归纳为： ( 1 ) 将解域划分为若干网格，用节点上待求量的离散值近似代替其连续 分布； ( 2 ) 用节点上待求函数的差分表达式代替微分表达式，将待求的微分方 程转化为有限差分方程； ( 3 ) 结合给定的边界条件或初始条件求解差分方程。 传统的有限差分法主要适用于求解标量问题，在电磁场领域多用于求 解静态问题。为了直接求解矢量电磁场问题，k s y e e 设汁了新的空间网格， 同时求解电磁场的所有分量。虽然这也属于差分方法，但与传统的有限差 分法有很大差别。 2 4 2 时域有限差分法 早在1 9 6 6 年，k s y e e 在其著名的论文n u m e r i c a ls o l u t i o no fi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n gm a x w e l l se q u a t i o n si ni s o t r o p i cm e d i a 中，用后来被称为y e e 氏网格的空间离散方式将依赖于时间变量的麦克斯 韦旋度方程转化为差分格式，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的 时域响应【3 3 1 。这就是后来被称为时域有限差分法的一种新的电磁场的时域 计算方法。 简而言之，时域有限差分法就是直接离散时域麦克斯韦方程偏微分表 达形式的离散化方法。 2 4 3矩量法 矩量法是内域积分形式的加权余量法的总称根据加权方法的不同， 又可分为点配法、最小二乘法和伽辽金( g a l e r k i n ) 法等。 矩量法的基本原理剐3 4 】：先选定基函数对未知函数进行近似展开，代 入算子方程，再选取适当的权函数，使在加权平均的意义下方程的余量等 于零，由此将连续的算子方程转换为代数方程。原则上，矩量法可用于求 解微分方程和积分方程，但用于微分方程时所得到的代数方程组的系数矩 1 7 燕山大学工学硕士学位论文 阵往往是病态的，故在电磁场问题中主要用于求解积分方程。 矩量法最早被r i c h m a n d 和h a r r i n g t o n 用于求解电磁场问题，而后在 h a r r i n g t o n 的著作中得到了系统的论述，从此成为求解电磁场问题数值解的 主要方法，并成功地应用于天线问题和电磁散射问题等。 矩量法的应用主要受到以下几方面的限制：首先，必须针对所要求解 的问题导出相应的积分方程：其次，在此基础上还要选择、构造全域或分 域上满足边界条件的基函数。这两方面对有些问题是相当困难的。由于需 要求解满阵的线性代数方程组，当未知量的个数为时，矩量法所需的计 算量为o ( n 2 ) ；当用直接分解法和迭代法求解时，所需的计算量分别为 o ( n 3 ) 和o ( n 2 ) 。这种计算复杂度限制了矩量法对n 很大的问题的应用， 例如电大目标散射问题的计算。 为此，在传统矩量法的基础上采取了各种技术，使其计算复杂度可降 至o ( n 。) ( a 2 ) ，通常称为快速算法。在各种快速算法中，快速多极子方 法( f a s t - m u l t i p o l em e t h o d ，简称f m m ) 发展得最为成熟。该方法在2 0 世纪8 0 年 代被提出，开始用于拉普拉斯方程的求解，9 0 年代初开始用于电磁场散射 问题的计算。快速多极子方法仍以矩量法为基础，将离散单元划分成苦干 组，在同组各单元间和邻组各单元间，元素的作用仍通过传统的矩量法进 行计算，而不相邻组间元素的作用则采用多极子方法计算，即先根据柱面 波或球面波的加法定理聚合为各组中心的一个多极子，再近似地将这个多 极子变换为一组平面波求和，其中又利用加法定理将组中心之间的作用量 解聚到每个单元。这样的处理减少了计算复杂度。 另外，在快速多极子方法的基础上，又发展了更为成熟的多层快速多 极子算法( m u l t i 1 a y e rf a s