（基础数学专业论文）带有阻尼项的非线性微分方程的振动性.pdfVIP

中文摘要 中文摘要 带有阻尼项的菲线性微分方程在许多实际问题中有着广泛的应用，是微分方程领 域的一个重要研究方向 本文分为三章主要讨论了几类带有阻尼项的非线性微分方程的振动性 在第一章中，我们讨论一类二阶非线性泛函微分方程 ( r ( t ) 妒( z 0 ) ) 妒( z ( f ) ) ) + p ( f ) 妒( 一( t ) ) + f ( t ，z 0 ) ，z ( r 0 ) ) ，x 7 ( t ) ，p ( t ) ) ) ；0 ，t t o 解的振动性，其中t o o ； 丁c ( t o ，o o ) ，( 0 ，o o ) ) ，_ l i r nr ( ) = o o ；妒c ( r ，r ) ， 妒( “) = i f ”1 让，血为大于零的常数；p c ( t o ，o o ) ，r ) ；，c ( t o ，o o ) r 4 ，r ) 通过 广义r i c c a t i 变换，利用积分平均技术，并选择合适的辅助函数札v ( a ，b ) 和日缸， 我们分别得到方程的两种区间振动准则，推广了c a k m a k jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 4 ， 3 0 0 ：4 0 8 4 2 5 ，l iw a n - t o n g a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 4 ，1 5 5 ：4 5 1 4 6 8 1 和t i r y a k i ，b a s c i ，g u l e c c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o 璐，2 0 0 5 ， 5 0 ：1 4 8 7 - 1 4 9 8 等文献中的相关结论 在第二章中，我们讨论一类带有非线性阻尼项的二阶非线性微分方程 ( r ( ) 七1 ( $ ，茗) ) + v ( t ) k 2 ( z ，z ) z + q ( t ) f ( x ) = o ，t t o ， 其中t o 0 ，p ，g c ( t o ，) ，r ) ，r e 1 ( t o ，o o ) ，( 0 ，) ) ，c ( n ，r ) ，k 1 c 1 ( r 2 ，r ) 且k 2 c ( r 2 ，丑) r o g o v c h e n k o 和r o g o v c h e n k o 在【jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 3 ，2 7 9 ： 1 2 1 1 3 4 】中首先讨论了方程的振动性最近，t i r y k i 和z a f e r 在【m a t h e m a t i a la n d c o m p u t e rm o d e l l i n g ，2 0 0 4 ，3 9 ：1 9 2 0 8 】中，得到方程振动的一些条件在这些已 有结果中，都要求条件“鬻o ，成立，同时，要求伽和( i t ，口) 同号，从而限制 了定理的应用在本章中，通过构造广义r i c c a t i 变换，选择合适的函数h ( t ，s ) ，去 掉了已有文献中关于“纂0 ”的限制，我们分别得到了当p ( t ) 非负和变号时，方 程所有解振动的若干充分条件，推广和改进了文献r o g o v c h e n k o n o n l i n e a ra n a l y s i s ， 2 0 0 0 ，4 1 ：1 0 0 5 - 1 0 2 8 ，t i r y a k i ，az a f e r f m a t h e m a t i a la n dc o m p u t e rm o d e l l i n g ，2 0 0 4 ， 3 9 ：1 9 7 - 2 0 8 ，w o n g jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 1 ，2 5 8 ：2 4 4 - 2 5 7 和y a n gx i a o j i n g a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 3 ，1 3 6 ：5 4 9 5 5 7 1 等中的相关结论 在第三章中，我们研究一类带有阻尼项的三阶非线性时滞微分方程 ( 7 2 ( t ) ( r l ( t ) s ，7 ( ) ) ) + p ( ) o r ( y ( t ) ) 甜( t ) + q ( ) g ( f ( 仃( t ) ) ) = o ，t t o ，( ) 其中，t o o ；f 1 ，r 2 c 1 ( 【t o ，o 。) ，( 0 ，o 。) ) ；p ，口c ( t o ，c o ) ，【o ，0 0 ) ) ，且垡( ) 在任何 子区间内不恒为零；夕c ( r ，r ) 且9 ( v ) 知m 0 ，让o ；口c 1 ( 【c 0 ) ，r ) 且 带有阻尼项的非线性微分方程的振动性 0 o ( t ) t ，口坼) 0 ，j i m z ( t ) = o o ；o t c ( r ，( o ；o o ) ) 且满足 0 0i sac o n s t a n t ；p e ( t o ，o c ) ，r ) ；，c ( t o ，。) r 4 ，固b yu s - i n gg e n e r a lr i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ，i n t e g r a la v e r a g i n gt e c h n i q u e ，a n dt h ea p p r o p r i a t e f u n c t i o n s 口u ( a ，6 ) a n dh 皿，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o n o fa l ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n w h i c he x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fc a k m a k j m a t ha n a la p p l ，2 0 0 4 ，3 0 0 ：4 0 8 4 2 5 ，l iw a n - t o n g a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m - p u t a t i o n ，2 0 0 4 ，1 5 5 ：4 5 1 4 6 8 ) a n dt i r y a k i ，b a s e ；，g u l e c c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c s w i t ha p p l i c a t i o n s ，2 0 0 5 ，5 0 ：1 4 8 7 - 1 4 9 8 i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h eo s c i l l a t i o nc o n d i t i o n so fs o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( r ( t ) k lx ，z ) ) + p ( t ) 如( z ，z ) z 7 + q ( t ) f ( z ) = 0 ，t t o ， w h e r e 岛0 ，p ，垡c ( t 0 ，0 0 ) ，r ) ，r c 1 ( i t 0 ，。o ) ，( 0 ，o 。) ) ，c ( r ，r ) ，k t c 1 ( r 2 ，冗) a n dk 2 c ( 形，r ) t h eo s c i l l a t i o no fe q u a t i o nw a sf i r s ts t u d i e db yr o - g o v c h e n k oa n dr o g o v c h e n k o jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 3 ，2 7 9 ：1 2 1 1 3 4 r e c e n t l y , u n d e r s o m ea s s u m p t i o n s ，t i r y k ia n dz a f e rm a t h e m a t i a la n dc o m p u t e rm o d e l l i n g ，2 0 0 4 ， 3 9 ：1 9 7 - 2 0 8 e s t a b l i s h e ds o m eo s c i l l a t i o nc r i t e r i a ，i nt h e i rt h e o r e m s ，t h ec o n d i t i o n “百o h 0 ，o nt h ea u x i l i a r yf u n c t i o nh ( t ，s ) w a si m p o s e d m e a n w h i l et h ec o n d i t i o n r e q u i r e st h a tt 删a n dk 2 ( u ，移) h a v et h es a m es i g nw h i c hr e s t r i c tt h ea p p l i c a t i o n so ft h e t h e o r e m s i nt h i sc h a p t e r ，b yu s i n gg e n e r a lr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n da na p p r o p r i a t e f u n c t i o n h ( t ，8 ) ，w ee s t a b l i s hs o m e o s c i l l a t i o nc r i t e r i a o f t h e e q u a t i o n a s p ( t ) i s n o n n e g - a t i v eo ro fv a r y i n gs i g n ，r e s p e c t i v e l y o u rr e s u l t se x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so f r o g o v c h e n k o n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 0 ，4 1 ：1 0 0 5 1 0 2 8 ，t i r y a k i ，az a f e r m a t h e m a t i a l a n dc o m p u t e rm o d e l l i n g ，2 0 0 4 ，3 9 ：1 9 7 - 2 0 8 ，w o n g jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 1 ，2 5 8 ： 2 4 4 - 2 5 7 a n dy a n gx i a o j i n g a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 3 ，1 3 6 ：5 4 9 - 5 5 7 童塞里里堑竺童丝堡丝坌童堡塑堡垫丝 i nc h a p t e r3 ，t h eo s c i l l a t i o np r o p e r t ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so f t h i r do r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( r 2 ( ( r 1 ( ) 暑，( t ) ) ) + p ( 芒) a 0 ) ) 暑7 0 ) + g ( ) 9 函( 盯( f ) ) ) = o ，t t o ( ，) a r ec o n s i d e r e d ，w h e r et o 0 ，t 1 ，r 2 c 1 ( t o ，o o ) ，( 0 ，o 。) ) ，p ，g c ( t o ，o o ) ，【0 ，o o ) ) ，a n d q ( t ) 0o na n yr a yi t ，o o if o rs o m et t o ，g c ( r ，r ) a n d g ( u ) u m 0 ，饥o ； c 1 ( 【f o ，o o ) ，r ) 目m d o o ( t ) t ，仃( t ) 0 ，l i m t 。o o o ( t ) = 。，口c ( r ，( o ；。o ) ) ， a n dt h e r ee x i s tt w oc o n s t a n t se la n dcs u c ht h a t 0 g 口( 目) c 0 ，得到方程( 1 1 ) 振动的 一些新的充分条件，推广了文献【6 - 8 】中的相关结果 我们只考虑方程( 1 1 ) 在 t o ，0 0 ) 上的解z ( t ) 通常，方程( 1 1 ) 的癣z ( t ) 称为振 动的，如果它有任意大的零点；否则，称为非振动的称方程( 1 1 ) 是振动的，如果它 的所有解都振动 为方便起见，我们先列出本章所需条件和记号 ( i ) 存在口c ( t o ，o 。) ，月) ，使得对任意t t o ，z 0 ，t ，口，凹r ，有 丝掣婀 妒( z ) 7 ” ( i i ) 存在常数a ，c k 使对所有z 矗有0 0 ，7 - ( t ，对任意t t o ，存在 ( o ，b ) ci t , o 。) ，乱d ( a ，p c 1 ( o ，o o ) ，( 0 ，o 。) ) ，使得 z 6 郇m 铲丽巷 阳以卿，( 等一揣) o + 1 7 奶。，m a ， 则方程( 1 1 ) 是振动的 证明设x ( t ) 是方程( 1 1 ) 的最终正解，则存在t o t o ，使得对任意t t o ，有 x ( t ) 0 ，茹p ( t ) ) 0 由方程( l 1 ) 及条件( i i i ) 有， ( r ( t ) 砂( z ( t ) ) 妒( 。7 ( ) ) ) + p ( t ) 妒( z 7 ( t ) ) = 一， ，z ( t ) ，z ( 丁 ) ) ，z ( ) ，x ( r ( t ) ) ) 0 ，( r ( t ( t ) ) 妒( z 他) ) ) 7 0 又由假设有 巾( f ) ”) ) n 圳州以啪。箍跏沁) ) n 州归剑訾皆型艇札则 = 错朴肿m 羞叫砷蒜万删) r ( 州掣器掣 错) 一而p 丽( o刊非h 面淼片 ( 鬻一器) h 卵h 蕊躲蔗 从而可得 觯憾一+ ( 鬻一器) h 高蒜芦 两边同乘u 2 ( t ) 并从口到6 积分并注意到引理1 2 1 ，就有 z 6 嘞( f ) 郎 “阳州卅识( 籍一器) u c t ) - a u 2 ( t ，篆蒜u 警卜 f 雨群以讣以幻( 错一揣) o + 1 d 乇 与假设矛盾 当z ( t ) 为最终负解时，同样可推出矛盾，故方程( 1 1 ) 是振动的定理证毕 下面我们考虑方程的另一种振动准则 4 第一章一类二阶泛函微分方程的区间振动 审卯舭m s ) q 一毋加m s ) ( 州叩) ) n + p ( 1 。) + 志i ，6 咖( s ) g ( s ) - 薄啬加m s 脚，8 ) r 1 卜。，。 妒1 ( s ，a ) = ( 8 ，n ) 网+ 错日( s ，n ) i + 黜日( 耶) ( h ( s ，口) ) 景 撕，：型业雩揣掣型， 则方程( 1 1 ) 是振动的 证明假设o m 是方程f 1 1 1 的非振动解则存在蜀t o 使得对任意t t o 有 z ( o 令u ( t ) = 丛尘警掣，( 。，6 ) ，则类似定理1 2 1 的证明得到( 1 3 ) 式将( 1 3 ) 式两边同乘以h ( s ，t ) ，且对s 从t 到c 积分，t ( 口，c 】，由引理1 2 i 知有 厂。日( s ，t ) p ( 5 ) g ( 。) d 。 j t 一日( c ，t ) 叫( c ) 一，。淼i u ( s ) l 学d s + z 。m 叫) 归砑+ 错耶，幻1 + 葡i p ( s 。) ，ih ( s ，t ) m 驯山 + z 两巧南丽p ( 8 ) 巾) 。 ( i h i ( s 厕+ 错脚) f + 丽i p ( s ) f 脚) ) 时1 d s 类似地，在( 1 3 ) 两边同乘以h ( t ，s ) ，且对8 从c 到t 积分，t c ，6 ) ，有 r t h ( t ，s ) p ( s ) q ( s ) d s h ( t ，c ) u ( c ) + z 面巧南而而“s p o ) ( 1 7 ) ( j - h 2 ( 如) 厕+ 等跏) | + 鼎啪) ) 叶1 如 5 带有阻尼项的非线性微分方程的振动性 征【1 6 ) 【1 ，) 甲，分别令t - 口1 。，t 斗b 一，且两式相加得； 志z 卜0 ) p ( s ) 如) 一苦啬出) r ( s ) ( 州邮胪+ 1 d s + 百南z 6 s m 咖一若斋加m 州瑚叫蟋。，+ 百赢西上【日( 6 s ) p ( s ) g ( s ) 一南p ( s ) r ( s ) ( 锄( b ，s ) ) 卅1j 出o ， 与( 1 5 ) 式矛盾故方程( 1 1 ) 是振动的定理证毕 注1 2 1 若妒( z ( t ) ) = l ，p ( t ) = 0 ，则由定理1 2 3 可推出【8 中定理2 1 ；若 p ( t ) = 0 ，( t ，z ( ) ，z ( ，( t ) ) ，( 氏z ( r ( t ) ) ) = g ( t ) 氕z ( t ) ) 夕( ( t ) ) ，则由定理1 2 3 可推知 6 】中的定理3 1 定理1 2 4 假设条件( i i ) 一v ) 成立若p ( t ) 0 ，f ( t ) t ，对任意t t o ，存在 ( a ，b ) ci t , o 。) ，c ( b ，厶) ，口，p c 1 ( 【o ，0 0 ) ，( 0 ，o 。) ) ，使得 南肿嘶m 咖一簿黼卜 + 击z 协，s m s 顾s 卜鬻黼 d s 州， 其中 纵螂) ：型堡裂磐型型， 蜘) ：苎塑餮黔丛坦 则方程( 1 1 ) 是振动的 证明设x ( t ) 是方程( 1 1 ) 的最终正解，则存在而t o ，使得对任意t t o ，有 z ( t ) 0 ，z ( 7 ( t ) ) 0 与定理1 2 2 的证明一样，有 比m 躯叫心，+ ( 器一器) 卅口蒜蔗 将上式两边同乘以h ( s ，”，且对s 从t 到c 积分，t ( a ，c 】，有 ，c 丑( s ，) p ( s ) 9 ( s ) d s - h ( c ，t ) u ( c ) j + z 。m 叫，厕+ ( 等一器) 脚灿， 一然1，警卜 6 第一章一类二阶泛函微分方程的区间振动 z。耶，t)p(s)g(s)ds-h(c)+厂。簿黼djt 1-r 川1 9 ) 日( s ， ，t ) u ( c ) + 鼍瑞告裂等静s ( 1 9 ) j tv u1 ，o 、o ， 类似地，有 伽t，s)p(s)g(s)dsh(t，c)+z。雩鬻黼d1 s ( 。) 日( t ， ，c ) u ( c ) + = 写号兰等 笔瓮普兰孑i ；三一s ( 1 1 0 ) jc jcv 、，、。， 在( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 中，分别令t - + a + ，t - b 一，且两式相加得； 南z 。卜咖如卜鬻黼】d 8 + 南肿珊m 咖一鬻筹卜。， - 5 ( 1 8 ) 式矛盾，故方程( 1 1 ) 是振动的定理证毕 推论1 2 1 假设条件( i i ) - ( v ) 成立若p ( t ) = 0 ，r ( t ) t 对任意t t o ，存在 ( n ，b ) cm o o ) ，c ( a ，6 ) ，日，p c 1 ( 【t o ，o o ) ，( 0 ，) ) ，使得 h 二( c , 习a 上日( s ，口) p ( s ) 9 ( 8 ) 如+ 万盂习上日( 6 ，8 ) p ( 8 ) 9 ( 8 ) 如 击z 。坐絮等掣a s + 彘f 6 坐等器萨a s ， 则方程( 1 1 ) 是振动的 注1 2 2 若取c 1 = 岛= 1 ，则由推论1 2 1 可得 7 】中的定理2 1 推论1 2 2 假设条件( i i ) 一v ) 成立若p ( t ) = 0 ，7 - ( t ) t ，对任意t t o ，存在 ( a ，b ) c o o ) ，c ( 口，6 ) ，日，p c 1 ( ，) ，( 0 ，o 。) ) ，使得 可if m 小m s ，( 掣) _ 譬鬻黼卜 + 赤z 协，咖如，( 掣) 。一鬻黼 d s 。， 其中，七( 0 ，1 ) 是常数，凡( t ) = m i n t ，r ( ) ， 州。：业嗡掣， 7 带有阻尼项的非线性微分方程的振动性 撕，= 塑篙笋 则方程( 1 1 ) 是振动的 注1 2 3 若取c l = 岛= 1 ，丁( t ) = t ，则推论1 2 2 即可得【8 】中定理2 3 8 第二章一类带有非线性阻尼项的二阶非线性微分方程的振动 2 1引言 二阶常微分方程的振动性理沦，经过多年的发展，已比较成熟，有关这方面的知 识可参见 1 7 】但关于二阶非线性常微分方程的振动性还有不少问题需要进一步研 究近年来，关于带有阻尼项的非线性二阶常微分方程的研究，有一系列成果发表， 见【1 7 3 5 】例如，w o n g 3 3 】研究了方程 + p ( o x + 口( t ) ，( z ) = 0 ( 2 1 ) 在 2 8 ，3 4 】中，作者得到了如下方程的振动准则 p ( ) 一) 7 + p ( t ) + q ( t ) f ( x ) = 0 m u s t a f a 和r o g o v c h e n k o 2 5 得到了如下非线性方程的振动结果 p ( f ) 1 ；f ， ) z ) + p ( t ) x + q ( t ) f ( z ) = 0 本章我们考虑带有非线性阻尼项的二阶非线性微分方程 ( r ( t ) 七l ，z7 ) ) 十p ( t ) k 2 ( x ，z ) z + 9 0 ) ，( z ) = 0 ，t t o ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中t o 0 ，p ，g c ( i t o ，o 。) ，冗) ，r c 1 ( 【t o ，) ，( 0 ，o o ) ) ，c ( n ，冗) ，l c 1 ( r 2 ，r ) 且c ( m ，r ) 我们只考虑方程( 2 4 ) 在，) 上有定义的解z ( t ) 通常，方程( 2 4 ) 的解x ( t ) 称为振动的，如果它有任意大的零点；否则，称为非振动的称方程( 2 4 ) 是振动的， 如果它的所有解都振动 为了方便，先列出下面条件： ( a ) 对所有t t o ，有p ( t ) o ； ( b ) 存在k 1 0 ，对所有z r o ，有掣研； ( b 1 ) f c 1 ( 冠 r ) ，且存在鲍 0 ，对所有z r o ，有w f ( z ) 0 且 ，( z ) k 2 ； ( c ) 对所有t t o ，有q ( t ) 0 ，且对任何t 。t o ，在p 。，o o ) 上有q ( t ) o ； ( d ) 存在常数口1 0 ，对所有( ) 舻，有砰( “，口) a t v k l _ ( u ，移) ； ( e ) 存在常数口2 0 ，对所有( 乱，t ，) r 2 ，有u v k 2 ( u ，口) n 2 砰( ， ) ； ( e 1 ) 存在常数眈 0 ，对所有，移) r 2 ，有u v k 2 ( u ，钉) a ：u k l ( u ，t ) ； ( e 2 ) 存在常数0 1 2 0 ，对所有( 让，口) r 2 ，有可也( 乱，v ) = a 2 k , ( u ，口) 9 带有阻尼项的非线性微分方程的振动性 下面将利用辅助函数h ( t ，s ) 令d = 8 如) 称函数目c ( d ，尼p ) 属于集，若它在d o 上有连续偏导数筹，对所有t t o ， 有h ( t ，t ) = 0 ；且对所有( t ，8 ) d o ，有h ( t ，s ) 0 r o g o v c h e n k o 和r o g o v c h e n k o 2 7 最初讨论了方程( 2 4 ) 的振动性最近，分别 在假设( a ) 一e ) 和( b 1 ) ，( d ) ，( e 2 ) 下，t i r y k i 和z a f e r 3 1 】得到方程( 2 4 ) 振动的一些条 件，从而推广并改进了f 2 7 】中的结果在这些已有结果中，都要求条件祭0 成立， 同时，条件( e ) 要求伽与如( 锃，”) 同号，从而限制了定理的应用， 在本文中，我们分别在假设( a ) 一( d ) ，( e t ) 成立，或( a ) 一( e ) 成立，或( b 1 ) ，( d ) ，( e 2 ) 成立的情形下，得到方程( 2 4 ) 的振动准则在假设( a ) 一( e ) ，或( b ，) ，( d ) ，( e 2 ) 分别成 立的条件下，我们的结果推广并改进了文献【3 1 l 中的相关结果 对函数b ：冗- r ，记6 + ( t ) = m a x b ( t ) ，o ) 2 2一些引理 考虑一阶微分不等式 u 7 r ) 一( ) u 2 0 ) + p ( ) u ( z ) 一，y ( t ) ， 其中，d ，声，y c ( t o ，o o ) ，冗) ，且对所有t t o ，有a ( t ) 0 引理2 2 1 假设存在日，t 1 t o ，使得 h m s u p 赢r 卜咖一鬻 d s ：o 。， 其中，q c ( d o ，r ) ，且满足 一o h j ( _ t , 一s ) ：芦( s ) 日( t ，s ) + q ( ，s ) 、面丽 a s ”、”7 、”7 。、7 、。7 。 那么，不等式( 2 5 ) 在【t l ，o o ) 上没有连续解 证明假设不等式( 2 5 ) 在i t l ，o 。) 上有连续解u ( t ) ，则 7 ( 8 ) - - 0 , 2 ( s ) 一o ( s ) u 2 ( s ) 4 - 矽扣) 。( 8 ) ， s t 1 上面不等式两边同乘以h ( t ，s ) ，并对8 从t ( t t 1 ) 到t 积分，有 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) f 日( t 一7 ( s ) d s r 日( t ，s ) p ( s 如( s ) 一“，( s ) 一a ( s ) ( s ) ) d s = 即坩) 一r 加( s ) 以 s ) 归两酬曲 即，t ) 坩) + f 石q 2 ( 万t , s ) d s - ( 2 8 ) 1 0 第二章一类带有非线性阻尼项的二阶非线性微分方程的振动 莉ir 卜咖一帮卜m 圮 与( 2 6 ) 式矛盾引理2 2 1 证毕 引理2 2 2 假设存在h 皿，b l t 。( t o ，o 。) ，硒及t l t o 使得 l i m 攀$ u 莉1 上t 咖( s ) 一错 d s ，b ( t ”狲， ( 2 。) l i m s u p 志, i q 2 ( t , s ) d s t t l 有( 2 8 ) 式成立故结合( 2 9 ) 可得 咿i i 紫i s u i n s u 高f 卜s m 旷裂 d s 喁t 施咿) h p 南二卜，s ) 7 ( s ) 一掰j d s 巾) ，t 施 又从( 2 1 1 ) 可得到 t 1 + i m 。日【t ，以】j ( ，日( 。，s ) n ( 8 ) u 2 0 ) d s = o o ( 2 1 2 ) 另一方面，由( 2 8 ) 还可得 莉1 上t s ) d ( s ) 叫2 ( s ) + 她s ) 归丽( s ) d s 坩) 一高r 即，s ) 7 ( s ) d s 啦，一赤f 卜咖一掰 d s 独川埘 故 l i m i n f 百南z 。陬s ) ) 以s ) + q ( 和) 归丽) d s t t l 有( 2 8 ) 式成立故 吣) l i ：m 蝉i n 南，巾，一谢卜晰 结合( 2 1 7 ) 可得 l i m 。8 。u p 百杀可r 日( t ，s ) a ( s ) 2 ( s ) d s = o 。 1 2 第二章 一类带有非线性阻尼项的二阶非线性微分方程的振动 凼此，存在厅列t k ，n o o = 2 且，璺恐k2 0 0 便得 1f i n ，熙j 南j c 日( s ) 。( 5 ) u 2 ( 8 ) 幽2 o 。 ( 2 1 8 ) 另一方面，由( 2 8 ) 式知，对t t t l 有( 2 1 3 ) 式成立所以由( 2 1 6 ) 式有 l i m 。一s u 葡b z “ s ) a 以卅，s 研= 现( s i 呱坤，) 叫钔( 2 1 9 ) 类似于引理2 2 2 的证明，由( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式可得 u m s l l p 赤f ”掣a s o o ， 上式与( 2 1 0 ) 式矛盾7 1 理证毕 引理2 2 4 假设存在h ，b l t 。( 【t 0 ，o o ) ，r ) 及t l t o 使得( 2 1 6 ) 和( 2 1 1 ) 成立，且 - i m i n r 赢r 掣瞅o 。， 眨z 。， 其中q c ( d o ，r ) 且满足( 2 7 ) 式那么，不等式( 2 5 ) 在 t 1 ，o 。) 上没有连续解 证明假设不等式( 2 5 ) 在- ，o 。) 上有连续解u ( ) ，那么，与引理2 2 3 类似可得 ( 2 1 2 ) 式成立且 l i l 1 s l l p 丽1 上，t s ) n ( s ) u 2 ( s ) + 讹s ) 归丽( s ) 卜酬一 故 舰去z s ) 肛蕊d s - 鸣 ( 2 2 1 ) 且 1i。m。in二磊号；乏i嚣=一t-，|ooillti i n il i r asup生害嚣1(s)ds h ( t ( s ) d s 芒r 一= 一= 0 7 _ 二一= 。” e 日0 ，8 ) n ( s ) “2 ，s ) 口( s ) u 2 7 则当t 充分大时有 二颦t 型巫盟! 兰 h ( t ，8 ) 口( 3 ) 叫2 ( 8 ) d j 92 带有阻尼项的非线性微分方程的振动性 由c a u c h y s c h w a r z 不等式得 赤伽厕d 。 丛h ( t , t l 坠) f t t lh(型t,s)a(s)w2(s)da 赤f 帮峨 又由条件( 2 2 1 ) 知上式与( 2 2 0 ) 矛盾引理证毕 2 3主要结论 不节甲筏1 l j 分网柙佰彤，珂纪刀崔4 j 日可取可任 情形i p ( t ) 是非负的 首先，我们讨论方程( 2 4 ) 在条件( a ) 一c a ) 和( e ) 下的振动准则 定理2 3 1 设条件( a ) 一( d ) 和( e 1 ) 成立，且存在p c 1 ( 【，o o ) ，( 0 ，o 。) ) ，日h ， g c 1 ( ，o o ) ，尺) 及t l t o ，使得对t t l 有 n m s u p 赤肿邢，s ) 巾) 一掣魄s ) d s 一 ( 2 。z ) 其中 呻) 一( 一丢胁) d s ) ， ( 2 。s ) 仲) = 此) 呻) b + 弼船) 一酬蝴) - ( r 删1 ， 且q c ( d o ，r ) 满足 一里型：f 架一缨1h ( t ，。) + q ( t ，。) 归丽 (2|24)os p ( t )r ( t ) 。7 。7 1 1 、。7 、。7 则方程( 2 4 ) 是振动的 证明假设方程( 2 4 ) 有一个非振动解茁( t ) ，且对所有t 2 t t 有z ( ) 0 令 u ( t ) = p ( ) ”( t ) r ( t ) 掣+ 9 ( f ) ，f 。，。) ，( 2 2 5 ) 则 州= 哿) + 鬻) 删邮) p 塑端盟型- 口( t 避筹一坐超巡卅) 9 ( t ) ) j 一丽1 + ( 器一等) 邢) 叫班 1 4 第二章一类带有非线性阻尼项的二阶非线性微分方程的振动 记n ( ) = 瓦丽币1 雨，卢( t ) = 错一! 群那么，u ( t ) 是( 2 5 ) 在【如，。o ) 上的连续 解但由引理2 2 1 知( 2 5 ) 在【t 2 ，o 。) 上没有连续解矛盾定理证毕 类似地，由引理2 2 2 2 2 4 我们能得到下面的定理 定理2 3 2 设条件( a ) - ( d ) 和( e i ) 成立，且存在p c 1 ( ，o 。) ，( 0 ，o 。) ) ，h ， g c 1 ( p o ，o o ) ，冗) ，b 三l o c ( ( o ，o o ) ，r ) 及t l t o ，使得对t t 1 有 l i m s u p 高r 咖一丝唑幽毗s ) d s ，b ( 巩( 2 2 6 ) l i i n8 u p 百南r 加) 小) 巾) q 2 ( 和) d s b ( 丁，仁。9 ， h m s u p 高f 蒜黼拈o o ， 眨3 。， 其中v ( 0 ，7 ( ) 和q ( t ，s ) 如同定理2 3 1 则方程( 2 4 ) 是振动的 定理2 3 4 设条件( a ) - ( d ) 和( e 1 ) 成立，且存在p c 1 ( ，o 。) ，( 0 ，) ) ，he ， g c 1 ( o o ) ，r ) ，b l 。( ) ，r ) 及t l t o ，使得对t f t l ，o 。) 有( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 式成立且 1，t 1 钽挚顼南上p ( 8 ) 口( s ) r ( s ) q 2 ( ，s ) d s b ( 巩( 2 s 6 ) - t 鬻p 高f 揣呲州s ，b c 丁z n i n $ u p 杀巧f 础捌案揣署啾啪s 一 ( 2 ) 其中口( t ) ，饥( z ) 和q l ( t s ) 如同定理2 3 5 则方程( 2 4 ) 是振动的 定理2 3 8 设条件( a ) ( e ) 成立，且存在p e 1 ( 陋o ，o o ) ，( 0 ，o 。) ) ，日可，g c 1 ( 【如，o 。) ，冗) ，6 l t * ( 【t o ，) ，冗) 及t l t o ，使得对t 【t l ，) 有( 2 3 9 ) 和( 2 3 8 ) 式成立且 u m i n r 高r 端眦s b ( 孔a 。， l i i l ls u p 百南f 小) 如) 小) q 2 ( 如) d s b ( 死( 2 t 。) i 罂p 志f 端拈。， 协 1 8 第二章一类带有非线性阻尼项的二阶非线性微分方程的振动 其中t ，( ) ，讹( t ) 和q ( t ，8 ) 如同定理2 3 9 ，则方程( 2 4 ) 是振动的 定理2 3 1 2 设条件( b 1 ) ，( d ) ，( e 2 ) 成立，且存在p c 1 ( 【t o ，o o ) ，( 0 ，o o ) ) ，h ， 夕c 1 ( o o ) ，冗) ，b 厶d c ( 【o ，o o ) ，r ) 及t l t o ，使得对所有t t l ，o 。) 有( 2 4 9 ) 和 ( 2 4 8 ) 式成立，且 l i mi n f 万南f 小) 巾) 巾) q 2 ( 和) d s 0 不是必须的事实上，对日，我们只需要下面条件成立 ( h - ) 存在函攀a c 1 ( 瞳o ，簧) ，( o ，o o ) ) ，使得在d o 上有蔷( 日( t ，s ) a ( s ) ) 0 ( h 。) i n f 如( 1 妞掣筹器) 0 引理2 。4 1 假设h 且满足( h 1 ) 令h 厶o c ( 【幻，) ， o ，o 。) ) ，y 己1 0 c ( 【2 0 ，。o ) ，r ) ，且对t 1 t o 有 l i m s u p 赢r 即一巾) 叫s ) = o o 那么，对所有t t l 有 l i i n s u p 高f 【日( 如) ，y