（光学工程专业论文）基于光子晶体相似的二维声子晶体特性研究.pdf

哈尔滨丁程大学硕士学位论文近年来，对声波在周期性弹性复合介质中传播的研究越来越受到人们的关注，尤其是对声子禁带( 或称声波带隙) 特性，即处于声波带隙频率范围内的振动或声波被禁止在声子晶体中传播的研究更为活跃。这种具有弹性波带隙的周期性复合材料称为声子晶体。通过对声子晶体的研究不仅可以使我们发掘其潜在的广泛应用，例如声学滤波器、高精度的无振动环境以及新型声波换能器和声导纳等，而且还可以使我们更深入的理解物理学中声子的安德森局域化问题。本文，我们利用平面波展开法构建了二维声子晶体的理论计算模型，详细地研究了平面波展开法的理论和算法，并采用m a t l a b 高级编程语言对其进行了独特、有效的执行。利用平面波法我们探究了二维声子晶体能带结构特性，并分析了各种材料和结构参数对带隙的影响。利用平面波展丌法结合超原胞法详细地研究了声子晶体的缺陷态特性。研究结果表明：点缺陷可以把声波俘获在缺陷处，使其无法向外传播，相当于微腔：而线缺陷可以使处于禁带频率范围内的声波沿通道进行传播，形成所谓的声波导。在对两种基本缺陷研究的基础上，我们进一步构造了同质位错结，并分别研究了横向位错结和纵向位错结两种情况下的局域模。我们发现，横向位错效应与线缺陷相似，它可以使处于禁带频率范围内的声波沿位错通道进行传播，形成声波导；纵向位锗效应则类似于点缺陷，位错线两边三个最接近的“原子”形成腔，从而能够产生局域模。最后，我们研究了二维声子晶体异质结的界面态。我们构造了三种不同类型的异质结：s c s c 异质结、s c s s 异质结和r r t c 异质结。结果表明：前两种异质结中不存在界面态。必须将两个子晶格沿着界面横向拉开或者侧向滑移才能在带隙中产生传导模。另外，横向或侧向相对位移的大小将影响带隙的宽度和传导模的位置，因此，我们可以通过调节相对横向或侧向位移来人为的控制异质结中的传导模。但是，r r t c 异质结能够在不做任何品格移动的情况下就产生界面传导模，这个结果有别于其它声子晶体异质结的性质。产生界面传导模的原因可以归结为r r t c 异质结的结构特点，它在界面两边的子晶体具有不同类型的布拉菲格子，加大了界面处的畸变程度。关键词：声子晶体；平面波算法；带隙；缺陷态；异质结哈尔滨工程大学硕士学位论文a b s t r a c ti nr e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e ng r o w i n gi n t e r e s ti nt h ep r o p a g a t i o no fa c o u s t i c ( a c ) o re l a s t i c ( e l ) w a v e si np e r i o d i ce l a s t i cc o m p o s i t em a t e r i a l sk n o w na sp h o n o n i cc r y s t a l s ，w h i c hh a v ep h o n o n i cb a n dg a p s o fp a r t i c u l a ri n t e r e s ti st h ee x i s t e n c eo fb a n dg a p si nw h i c hs o u n da n dv i b r a t i o na r ea l lf o r b i d d e n t h em o t i v a t i o nf o rt h e s es t u d i e si st ob e t t e ru n d e r s t a n dt h ea n d e r s o nl o c a l i z a t i o no fs o u n da n dv i b r a t i o n si nc o m p o s i t em e d i a ，a sw e l la st h e i rn u m e r o u se n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ss u c ha se l a s t i c a c o u s t i cf i l t e r s v i b r a t i o n l e s se n v i r o n m e n t sf o rh i g h p r e c i s i o nm e c h a n i c a ls y s t e m so rt h ed e s i g no fn e wt r a n s d u c e r sa n ds o n a r 。i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ep l a n e w a v ee x p a n s i o nm e t h o d ( p w m li sd e v e l o p e df o rt h e2 dp h o n o n i cc r y s t a l s m o d e l i n ga n ds i m u l a t i o n t h et h e o r ya n da l g o r i t h mo fp w ma r es t u d i e di nd e t a i la n di m p l e m e n t e db ym a t l a bi nau n i q u ea n de f f i c i e n ta p p r o a c h p w mi su s e dt oo b t a i nt h eg a pi n f o r m a t i o no f2 dp h o n o n i cc r y s t a l s s e v e r a lm a t e r i a la n ds t r u c t u r a lp a r a m e t e r sa r es h o w nt oa f f e c tt h eb a n dg a p e f f e c t so fd e f e c t si np h o n o n i cc r y s t a l sa r es t u d i e di nd e t a i lb yu s i n gt h ep l a n e - w a v em e t h o dc o m b i n e dw i t ht h es u p e r c e l lt e c h n i q u e r e s u l t ss h o wt h a tp o i n td e f e c t sc a l lp i nt h es o u n dw a v e st ot h ed e f e c t t h e ns o u n dc a nn o te s c a p e ，a n df o r mr e s o n a t o r ，w h e r e a sl i n ed e f e c t sc a nm o l dt h ef l o wo fs o u n d w h i c hl i ei nt h eb a n d g a p ，a l o n gt h ec h a n n e la n df o r mt h es oc a l l e dw a v e g u i d e s b a s e do nt h es t u d i e so nt h et w ob a s i cd e f e c t s ，w eu l t e r i o r l yc o n s t r u c tt h eh o m o g e n e i t yd i s l o c a t i o ns t r u c t u r e s ，a n di n v e s t i g a t e dt r a n s v e r s ed i s l o c a t i o ns t r u c t u r e sa n dl o n g i t u d i n a ld i s l o c a t i o ns t r u c t u r e sr e s p e c t i v e l y w ef o u n dt h a tt r a n s v e r s ed i s l o c a t i o ns t r u c t u r e s ，a c t e da st h ei i n ed e f e c t ，c a nf o r mw a v e g u i d e st o o ；w h i l e ，l o n g i t u d i n a ld i s l o c a t i o ns t r u c t u r e sc a nf o r l p ac a v i t y l i k ev o i ds u r r o u n d e db yt h et h r e en e a r e s tc y l i n d e r sa r o u n dt h ei n t e r f a c e ，w h i c ha c t e dj u s ta st h ep o i n td e f e c t f i n a l l y w es t u d i e dt h eg u i d em o d e sf o r m e di 1 1t w o d i m e n s i o n a lp h o n o n i cc r y s t a lh e t e r o s t r u c t u r e s w ec o n s t r u c tt h r e ed i f f e r e n tt y p e so fh e t e r o s t r u c t u r e s ：s c s ch e t e r o s t r u c t u r e s c r ch e t e r o s t r u c t u r ea n dr r t ch e t e r o s t r u c t u r e r e s u l t ss h o wt h a tl o c a l i z e di n t e r f a c es t a t e sa r ea b s e n ti nt h ef o r m e rt w oh e t e r o s t r u c t u r e s t h e yc a nb ec r e a t e de i t h e rb yl a t e r a il a t t i c es l i p p i n go rb yi n c r e a s i n gt h ei n t e r f a c es e p a r a t i o n ；t h ea b s o l u t eg a pw i d t ha n dt h ep o s i t i o no fg u i d em o d e ss t r o n g l yd e p e n do nt h er e l a t i v e l yt r a n s v e r s ea n dl o n g i t u d i n a lg l i d i n gd i s p l a c e m e n t ，s ow ec a na r t i f i c i a l l yc e n t r e it h eg u i d em o d e sb ya d j u s t i n gt h er e l a t i v e l yt r a n s v e r s e哈尔滨工程大学硕士学位论文a n dl o n g i t u d i n a lg l i d i n gd i s p l a c e m e n to fl a t t i c e si nah e t e r o s t r u c t u r e b u tt h er r t ch e t e r o s t r u c t u r ec a np r o d u c eg u i d em o d e si nb a n d g a pw i t h o u ta n yr e l a t i v eg l i d i n go rt r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n t t h i sf e a t u r ei sq u i t ed i f f e r e n tf r o mo t h e rp h o n o n i cc r y s t a lh e t e r o s t r u c t u r e s t h er e a s o nc a nb ea s c r i b e dt ot h ep r o t o t y p ep h o n o n i cc r y s t a l sh a v ed i f f e r e n tl a t t i c e s w h i c ha u g m e n t st h ea b e r r a n c ea tt h ei n t e r f a c e k e y w o r d ：p h o n o n i cc r y s t a l ；p l a n e - w a v ea l g o r i t h m ；b a n d g a p s ；d e f e c ts t a t e s ；h e t e r o s t r u e t u r e哈尔滨工程大学学位论文原创性声明本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者( 签字) ：壑蒸日期：弘心年4 月斗日哈尔滨工程大学硕士学位论文1 1概述第1 章绪论半导体的原子势场呈周期性排列。电子在半导体中传播时，电子与原子周期势场相互作用使得半导体具有电子禁带，能够操控电子的流动。以硅晶体为代表的半导体带来了一次科学技术革命。随着晶体管、集成电路、大规模集成电路甚至超大规模集成电路的开发利用，半导体技术对人类文明的进步产生了深远的影响1 1 , 2 。十几年前，人们开始触及对结构功能材料光学特性的研究。理论和实验证明，如果结构功能材料中的介电常数在光波长尺度上周期性变化，光子与周期结构相互作用，会使得该材料具有类似半导体中电子禁带的能带结构，称之为光子禁带( 或称光子带隙) 。具有光子禁带的周期性电介质结构功能材料称为光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 4 - 6 。同样的概念推广到声波，即当周期性结构功能材料的周期尺度与声波或弹性波波长在一个数量级时，声波或者弹性波在该周期性弹性介质中传播也会形成能带结构，能带之间出现的带隙称为声予带隙( p h o n o n i cb a n d g a p ) ，相应的结构功能材料称为声子晶体( p h o n o n i cc r y s t a l s ) 。目前，声子晶体的研究引起了各国研究机构的高度关注【6 - 引l 。1 1 1声子晶体的概念和基本特性声子晶体的概念是从光子晶体的概念演绎而来的，两概念的相似之处在于都是模拟天然晶体原子排列方式，均具有某种周期拓展结构。所以，声予晶体( p c ) 就是具有弹性波禁带的周期性结构功能材料【6 1 。晶体中连续的物理相称作基体，不连续相称作散射体( 或分散物) 。它通过材料组分一一散射体弹性常数的周期性调制来实现声子带隙。根据散射体不同的周期排列形式，声子晶体可以分为一维声子晶体、二维声子晶体和三维声予晶体( 如图1 1 所示) ，相应的散射体形态依次是层状扳、柱体( 圆柱或者棱柱) 和球形( 方体) 等。哈尔滨l ：程大学硕士学位论文幽i 1 声子晶体示意图声子晶体的本质特征是它的声子禁带( 或称声波带隙) ，即处于声波带隙频率范围内的振动或声波被禁止在声子晶体中传播。声子禁带的产生和大小受到以下因素的影响：1 晶体的拓扑结构，即晶格结构；2 分散物的几何尺寸和填充系数；3 分散物与基体之间密度、声速及阻抗的比率。一般说来，声子晶体中各组分间的密度及声速之比越大，入射声波将被散射得越强烈，就越容易产生禁带【l 。声子晶体的另一个主要特征是声子的安德森局域化。声子禁带与安德森局域化密切相关，而且研究缺陷( 点缺陷、线缺陷和面缺陷1 处的局域模式非常重要。如利用点缺陷可以把声波俘获在某一个特定的位置，使其无法向外传播，这相当于微腔。往声予晶体中引入某种线缺陷( 如l 型线缺陷) ，可以使处于禁带频率范围内的声波沿该通道进行传播，即所谓声波导。因此，通过对声子晶体周期结构及其缺陷的设计，可以人为地调控声波的流动。1 1 2声子晶体、半导体及光子晶体的特征比较光波是一种横波，在光子晶体的每个组元中只有一个独立的参数即介电常数。而声波是由纵波和横波耦合的全矢量波，在声子晶体的每个组元中具有3 个独立的弹性参数，即质量密度p 、纵波波速c ，和2哈尔滨工程大学硕士学位论文横波波速c ，( 在流体介质中c ，= 0 ) ；因此，对声子晶体的研究具有更丰富的物理内涵。表1 1 给出了半导体、光子晶体和声子晶体的特征比较，容易看出三者具有惊人的相似之处，因此，半导体和光子晶体的一些研究方法对声子晶体的研究有一定的指导作用。表1 1 半导体、光子晶体和声子晶体的比较半导体光子晶体声了晶体结构周期性势场不同介电常数介质不同弹性常数介质的周期性分布的周期性分布研究埘象电子的输运行为，电磁波在晶体中的传播声波在晶体中的传播，费米子玻色子玻色了微分方程一呈甲z 中+ y ( r 净v2 e v - e ) =0 + 2 弦一“) 一z 卅e ( r ) a2 ev 审“+ p 甜2 “= 0= 臃a2 中a2 fc2a t2极化自旋fi横波：纵横波耦合：v d = o ( v e 0 、v “0 v “0特征电予禁带，缺陷态，光于禁带，在缺陷处能声子禁带，在缺陷处的表面态局域模式，表面态局域模式，表面态尺度原子尺寸电磁波( 光) 波长声波波长1 1 3 声子晶体禁带机理关于弹性波禁带形成的机理比较成熟的有两种，分别是布拉格散射机理和局域共振机理。1 布拉格散射机理布拉格散射是由固体物理学中关于晶体能带的理论中引出的，光子晶体即遵从布拉格散射机理。布拉格散射造成禁带的原因主要是：周期变化的材料特性与弹性波相互作用，使得某些频率的波在周期结构中没有对应的振动模式，也即不能传播，产生禁带。目前，大量研哈尔滨工程大学硕士学位论文究弹性波禁带形成的文献都着重讨论了布拉格散射机理1 7 。”4 a 布拉格散射形成的弹性波禁带对应的弹性波的波长一般与周期结构尺寸参数( 即晶格尺寸或晶格常数) 相当，这与光子晶体周期结构产生禁带的机理在概念上是一致的。因此，布拉格散射机理对声子晶体在低频( 尤其是在lk - z 以下) 的应用造成了一定的困难。2 局域共振机理沈平所领导的研究小组在研究用粘弹性软材料包覆后的铅球组成简单立方晶格结构埋在环氧树脂中形成的三维声子晶体时发现，该声子晶体禁带所对应的波长远远大予晶格的尺寸，突破了布拉格散射机理的限制，而且在散射体并非严格周期分布、甚至随机分布时，复合结构同样具有禁带，由此提出了弹性波禁带的局域共振机理i l ”。局域共振机理认为，在特定频率的弹性波激励下，单个散射体产生共振，并与入射波相互作用，使其不能继续传播。禁带的产生主要取决于各个单散射体本身的结构与弹性波的相互作用。因此，对于符合局部共振机理的声子晶体，禁带与单个散射体固有的振动特性密切相关，与散射体的周期性及晶格常数关系不大，这对于声子晶体在低频波段的应用开辟了广阔的道路。总之，布拉格散射机理强调周期结构对波的影响，如何设计其周期结构的晶格常数与材料组分的搭配是设计带隙的关键因索之一：局域共振机理则强调单个散射体的特殊结构对波的作用，如何设计单个散射体的共振结构与散射体在基体内的散布特性是问题的关键。1 1 4 声子晶体的制备声子晶体的制各还处于剐刚起步的阶段。目前，出于声子晶体还未进入实际应用领域，实验室中已制备出来的声子晶体大都是为了理论研究需要，样品的结构较简单，尺寸较大。这些声子晶体的制备通过手工，或者用诸如挤压铸造、机械加工制造、热压成型等传统的复合材料制备工艺。为了保证声子晶体严格的周期性结构，定位技术显得尤为重要。尤其是随着声子晶体应用领域和前景的不断扩展，结构复杂化，尺寸4哈尔滨1 ：程大学硕士学位论文小型化，传统的制备工艺将无法满足需要。为了有效发挥减振降噪的作用声子晶体常常是二维或三维结构的复合材料。用固态自由成型( s f f ) 制备技术，可以制备出内部结构复杂的声子晶体器件。这种方法通过激光净成型( l e n s ) 形成散射中心，散射单元将按照分层构造格式和几何结构呈现固有的周期性。利用激光净成型固态自由成型方法，已经制出了钛基体复合材料。这种方法可以获得尺寸从毫米级到几十个厘米级结构单元的精确空间分布。这种方法将有潜在的发展前途，促进从听觉到超声波频率范围多方向的声学和振动的隔离。因为固态自由成型技术不需要工具( 机器制造部件直接来自数控) ，包含特殊混合物和位置的材料的优化部件会发展得很快。可以预见，用于快速成型( r p ) 的固态自由成型设备将在声子晶体的制造中发挥重大作用。1 1 5 声子晶体的应用前景声子晶体的应用在很大程度上还处于展望阶段，但声子晶体具有的禁带特性、缺陷态特性使得它在减振、降噪、声学器件等方面有着潜在的广阔应用前景。在减振方面，对减少各种探测和定位器件振动的负面影响有重要意义，特别是在常规阻尼材料不能发挥效能的范围的应用尤为引人注意，如用于旋转设备的笨重底座的减振，角接触轴承的轴承套，声学成像系列背平面，飞机发动机底座，电子设备底盘等。与传统的隔声材料相比，声子晶体具有频率可设计、针对性强、尺寸小、效果好等优点。另外，利用声子晶体的禁带特性，还可以为高精密机械加工系统提供一定频率范围内的无振动加工环境，从而保证加工精度水平：也可以为某些精密仪器设备提供一定频率范围内的无振动工作环境，进而提高工作参数精度，提高可靠性，延长使用寿命。在降噪方面，利用声子晶体的禁带特性，有可能设计和制造出一种全新的降噪材料。这种材料既可以在噪声的传播途中隔离噪声，又可以在噪声源处控制噪声。根据局域共振机理，如果突破了声子晶体5哈尔滨工程大学硕士学位论文低频禁带的设计方法，声子晶体将在潜艇的消声瓦、声纳等方面有着广阔的应用前景。当声子晶体中存在某种缺陷时，会在周期性结构的禁带范围内产生所谓的缺陷态。根据声子晶体中存在缺陷时声波的局域特性，可以设计出新型的高效率、低能耗的声学滤波器，也可以设计出具有高聚焦特性、低能耗的声学透镜等。1 2 课题研究的背景和意义声子晶体是一种新型的声学功能材料，由于具有丰富的物理内涵及潜在的广阔应用前景而引起了各国研究机构的高度关注1 6 - 6 “。当前声子晶体的研究工作，还主要停留在理论研究的阶段对于声子晶体应用的研究还很少。但我们注意到，美国国防部高级研究计划局( d a r p a ) 在1 9 9 9 年对声子晶体的应用研究进行了大力资助，主要针对声滤波器、振动、噪音隔离以及声纳探测器件等研究领域。可以预见，随着声子晶体理论研究的同趋成熟，声子晶体的应用研究也将引起越柬越多的关注。当前，研究声子晶体的主要目的和意义有两点：丰富物理学。把各向异性介质中波的散射和局域现象在经典波中统一起来，表现为尽可能把光波段的一些性质在声波段复现出来。发掘工程应用。利用声子晶体的带隙特性，声予晶体将会在声滤波器、声波导、声变送器以及震动控制、噪声控制方面有着广泛的应用前景。目前，国内声子晶体的研究还处于起步阶段，无论在理论、制备还是应用方面都需要更加深入的探索。我们相信有许多有价值的东西等待着我们去探究。因此，我们将课题定位为从理论研究着手，研究声子晶体的特性。鉴于二维声子晶体在性能上优于一维声子晶体，同时比三维声子晶体更易于制备。所以我们主要是研究如何对二维声子晶体进行建模和模拟，从而探究其能带结构特性和缺陷态特性。目的是能够为模拟声子晶体能带结构和设计声学器件提供理论分析和数值模拟工具，以便发掘声子晶体的潜在应用。6哈尔滨工程人学硕士学位论文1 3国内外研究现状对弹性波在层状介质中传播特性的研究已有近7 0 年的历史，但声子晶体概念的提出及对声子晶体相关理论的研究却只有近1 0 年的历史。由于理论研究的困难以及其它因素，使得声子晶体研究的进展比较缓慢。1 9 9 2 年，m m s i g m a s 和e n e c o n o m o u s 首次在理论上证实球形散射体埋入某一基体材料中形成三维周期性点阵结构具有弹性波禁带特性 8 1 。1 9 9 3 年，m s k u s h w a h a 等人首次明确提出了声子晶体的概念，并对水银柱在铝合金基体中形成的复合介质采用平面波方法计算获得了在剪切极化方向上的弹性波禁带【”。1 9 9 5 年，r m a r t i n e z s a l a 等人在对西班牙马德里的一座2 0 0 多年前制作的雕塑“流动的旋律”进行声学特性研究时，首次从实验角度证实了弹性波禁带的存在【9 】。从此声子晶体的研究引起了极大关注。p u b 吐n so n 脚。帕# i cc w 啦a k 汕j a a l l r t l 玎- 卜 l ：f 一。i 一卜- p- 釜一 一r 、。；。“ t，a _ | 。：l e 一一￥v 卜0 矗卜一- - - 一图1 2 从1 9 8 8 年到2 0 0 4 年有关声子晶体的论文数量分布图目前，声子晶体的研究工作主要集中在声子晶体禁带的形成及相应的理论计算上【7 ，8 ，9 3 0 5 5 6 。此外，各国学者在声予晶体的缺陷态研究 3 1 - 4 5 , 5 8 , 5 9 】、实验研究方面也取得了较好的进展 9 , 1 4 , 2 3 , 3 6 , 5 4 】，应用探索7n，苦o*髫嚣jko毒eui，哈尔滨工程大学硕士学位论文方面刚刚起步 4 7 - 5 2 1 。图1 2 为从1 9 8 8 年到2 0 0 4 年有关声予晶体的论文数量分布图。1 3 1国外研究现状各国学者如美国的m m s i g a l a s 、法国的j 0 v a s s e u r 、西班牙的r m a r t i n e z s a l a 和m t o r r e s 以及墨西哥的m s k u s h w a h a 等都在声子晶体的带隙产生机理和缺陷态研究方面做了大量的工作，并取得了很大的进展。声子晶体带隙的研究方面。对声子晶体禁带机理的研究依赖于对弹性波禁带的计算，目前比较成熟的弹性波禁带计算方法有传递矩阵法 2 5 1 、平面波展开法1 10 , 1 1 , 14 - 2 0 , 6 1 1 、时域有限差分法【2 卜2 4 1 、多重散射法 2 6 - 2 8 等。在大约十年的发展过程中，先是在某一方向上获得声波禁带，然后通过大量材料措配的理论计算和实验验证，逐步获得完全禁带。如j o v s s e u r 等人，通过对由碳增强环氧树脂( 碳柱体在环氧树脂中)的带隙计算，获得了比较宽的完全禁带【5 5 】；在获得完全禁带的基础上，m s k u s h w a h a 等人采用与光予晶体相类似的方法，他们采用串联结构获得从2 七一1 1k h z 的超宽禁带【5 6 】。与类比光子晶体性质方面。除了在带隙特性的类比方面有所发展外，声子晶体在光波的其他一些重要性质的类比方面也获得很大发展。如f c e r v e r a 等人在二维声子晶体中实现了声波段的声学聚焦【4 ”，随后s u x i a y a n g 等人又实现了三维的声学聚焦 4 引。另外，s u x i a y a n g 等人根据电磁波、光波中所发现的隧道效应现象( t u n n e l i n g ) ，对碳化钨球和水组成的三维声予晶体进行理论与试验表明，声波也同样存在隧道效应悼“。局域态的研究方面。自从在强散射绝缘结构中发现a d e r s o n 局域现象后，经典波在无序介质中的局域现象便引起人们的广泛研究兴趣。光子晶体中的局域现象已经在三维无序介质中观察到，在声波范围内，弯曲波在透明合成树脂埋于薄钢片中也观察到局域现象。目前，人们正试图通过研究各种准周期结构、缺陷态以及随机结构的复合弹性介质，来揭示声子晶体的局域现象的本质。s i g a l a s 等人研究了二维铅8哈尔滨= 程大学硕士学位论文环氧树脂声子晶体中存在点缺陷时弹性波传播情况，该点缺陷通过改变某个铅柱的直径来获得，计算表明点缺陷对弹性波具有局域作用 5 8 1 。a k h e l i f 等人研究了弹性波在存在各种线缺陷的声子晶体中的传播情况，研究表明弹性波只能沿线缺陷传播 3 5 - 3 9 1 。y u k i h i r ot a n a k a等人研究了二维a 1 a s g a a s 声子晶体中的表面态情况，指出声波在声子晶体表面上具有声波局域现象 6 0 l 。声子晶体应用领域。a d i e z 等人通过在光纤中刻蚀声学光栅构成一维声子晶体实现了光纤的声光调制1 4 8 1 ；f c e r v e r a 等人采用弹性材料排列在空气中构成二维声子晶体实现了声学透镜的功能j ；c g o f f a u x等人研究了一种声子带隙结构适合应用于声绝缘隔离1 4 。1 3 2国内研究现状在国内声子晶体研究方面，香港科技大学的沈平，武汉大学的刘正猷及广东工业大学的吴福根在声子晶体研究领域取得了一定的进展；国防科技大学光子，声子晶体研究中心也正在从事声予晶体的研究。下面两篇发表在s c i e n c e 上的学术论文值得关注。南京大学陆延青等人利用旋转性生长条纹法通过晶体生长制备了一块由铌酸锂构成的周期为7 2 a n 的一维离子型声子晶体【1 3 】。如图1 3 所示，该晶体由一个自发极化头尾相连的具有周期性( 沿z 轴方向) 铁电畴结构的超晶格构成，图中的箭头代表自发极化的方向。该晶体中存在超晶格振动与电磁波的强烈耦合，且耦合方程与黄昆方程在形式上完全一致，这说明了超晶格与实际晶格在物理上的相似性。离子型声子晶体的研究开拓了微结构与材料物理研究的新领域，为开发新型微波和超声器件建立了理论基础。香港科技大学沈平所领导的研究小组研究的局域共振型声子晶体具有显著的声波带隙特性，晶体点阵常数比相应的禁带波长小两个数量级，而且通过改变结构单元的尺寸和几何形状可以获得有效负弹性常数i 陀】。用直径为1 c m 的铅球外面包覆一层硅橡胶作为结构单元，以简单立方点阵结构的形式分布于环氧树脂基体中，就得到三维局域共振型声子晶体。9哈尔滨工程大学硕士学位论文图1 3 离子型声子晶体示意图1 4 本论文的主要工作本文旨在研究如何对二维声子晶体进行建模和模拟，从而探究其特性。理论模拟工作是研究声子晶体带隙材料的最初步骤，并且也是最重要的步骤。目的是能够为研究声子晶体能带结构和设计声学器件提供理论分析和数值模拟工具，以便发掘声子晶体的潜在应用。本文的编排如下：第二章利用平面波展开法( p w m ) 构建了二维声子晶体能带结构计算的理论框架，详细地研究了平面波展开法的理论和算法，并采用m a t l a b 高级编程语言对其进行了有效的执行；第三章首先探讨了结构参数和物理参数对能带结构的影响，然后分别研究了二维正方格子、三角格子、蜂窝格子以及k a g o m e 格子的能带结构特性，并进行了详细的分析和比较；第四章研究了声子晶体的缺陷态，首先分析了声子晶体的两种基本缺陷：点缺陷和线缺陷，然后提出了一种新的晶格拓扑缺陷一一错位，构造了同质位错结，分别研究了横向位错结和纵向位错结的局域态；第五章研究了声子晶体异质结的界面传导模，分别考虑了两边晶体具有不同填充系数、不同形状散射子以及不同晶格结构的情况。1 0哈尔滨 ：程大学硕士学位论文第2 章平面波展开法2 1声子晶体能带结构的数值计算方法对声子晶体特性的研究依赖于对其能带结构的计算。目前比较成熟的研究声子晶体能带结构的计算方法有传递矩阵法、平面波展开法( p w m ) 、时域有限差分法( f d t d ) 、多重散射法等。其中以平面波展开法和f d t d 法最为常用。传递矩阵法 2 5 1该方法用于一维声子晶体( 层状介质) 的禁带计算非常简便。传递矩阵法从联系状态参数( 应力，质点速度等) 的基本方程人手，得出固体平板介质的传递矩阵，然后由周围介质与中间介质的界面特性得出边界条件，最终得到体系的解。由于传递矩阵一般较小，而且是解析解，因此相应的计算量较小。平面波展开法1 0 , 1 4 - 2 0 , 6 1 1 ( p w m )该方法可以用于二维、三维声子晶体的禁带计算。平面波方法通过将波动方程中的位移、弹性参数等物理量在倒格矢空问以平面波叠加的形式近似展开；将波动方程转化成一个本征方程，求解本征值便可得到本征频率与波矢之间的色散关系，即所谓的能带结构。平面波展开法在声子晶体禁带结构的计算方面得到了广泛的应用。它在计算固体固体、液体( 气体) 液体( 气体) 等体系的声子晶体时取得了相当的成功。采用平面波展开法进行声予晶体禁带计算时收敛较慢，而且无法精确计算固体液体体系的声子晶体，因此具有一定的局限性。时域有限差分法 2 1 - 2 4 1 ( f d t d )该方法具有广泛的适用性，可以用于二维、三维声子晶体的禁带计算。时域有限差分法是一种直接在时域把波动方程离散为差分方程进行求解的方法，是一种求解声子晶体禁带问题的数值方法。该方法可以模拟各种复杂的周期结构，对介质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性问题均可精确模拟。在计算声子晶体的瞬时非线性响应问题时，需注意其数值稳定性和收敛性。1 1哈尔滨工程大学硕士学位论文多重散射法 2 6 - 2 8 浚方法主要用于三维声子晶体禁带计算。多重散射法认为晶体的能带结构取决于各球之间的弹性m i e 散射，通过计算来自其它球的声波入射到单球表面的散射，就可求解特征频率方程，还可以计算散射体周期排列的有限层结构中弹性波的反射和透射系数。多重散射法引自电子能带结构计算中的k k r ( k o r r i n g a - - k o h n - - r o s k o k e r ) 理论，非常适合于计算特殊结构( 比如固体球分散于流体中) 的声子晶体。计算这种声子晶体的能带结构，通常的平面波法无法给出精确解。多重散射法计算复杂，使用比较困难。由于平面波展开法适用于大部分体系的声子晶体能带结构的计算，另外，如果在平面波法中引入超原胞概念，还可以方便地解决具有复式晶格或存在缺陷的声孑晶体的能带结构计算。因此，本文我们将采用平面波法对声子晶体的能带结构及缺陷态特性进行研究。2 2 二维声子晶体理论框架的建立2 2 1声波波动方程在不受外力作用条件下，二维双组分固相复合材料体系中的声波运动方程为蒯争毋阶斛乳针亿。、兰【( c ，。妒) 一2 c 。( - ) ) v - 矗】式中五仁，t 1 为与位置和时问相关的位移矢量，它的分量是露，( f - l ，2 ) 。p ( o ，p ) ，c 1 ，伊) 为各组分材料的密度和弹性常数。对于气相或液相体系，由于声波在气体或液体中传播时只有纵波( c 4 。仁) = o ) ，所以波动方程( 2 - 1 ) 可以表示为p p ) 豢= v 【c l ，p 弦列( 2 - 2 )1 2哈尔滨t 程大学硕士学位论文；：= ；= ：；：= ：= ：；= ；= = = = = = = ；= ；= ；= = = = = = = ；= = = = ；=引入声压场巾伊，f ) ，它与位移场舀p ，r ) 的关系为p 宴：一v m( 2 3 )p 萨一m。j 南 窘一v 嗡 v 中将o p ，f ) 表示为随时间正弦变化的谐波形式中p ，) ：e x p ( - i o ) t ) o ( f )将式( 2 - 5 ) 代入( 2 4 ) 就可将时间变量分离出去啪 ( 南 v 巾叫一咖仁，( 2 - 4 )( 2 - 5 )( 2 - 6 )可见，这是一个标准的本征值问题，o o = a o 。算符0 = c 。v 二v是一个线性算符，即如果m 。和巾：是方程的两个具有相同本征频率击的不同解，那么它们的线性组合椰，+ 肿：也是方程的解，其中口，为常数。2 2 2 周期结构的布洛赫定理布洛赫定理表明，在无限周期结构内的。伊) 一定是按晶格周期函数调幅的平面波，即可写成如下形式的函数：笛菇督p ，中。p ) = m 。扩+ 孟j、其中霞= ，k ：) 为二维布洛赫波矢，孟= j ，蟊+ j 2 a ：为任意的晶格矢量，“，为整数，蟊，玩为基矢量。显然c 。( i ) 和p 舻) 也都是位置矢量i 的周期函数，那么它们的倒数也将是位置矢量尹的周期函数，即哈尔滨l 崔大学坝士学位论又1一1 一c n p ) c t 旷+ 晨)f 2 8 1而2 硐可见巾。p ) 为与1 c 。p ) ，l p g ) 具有相同周期的函数，它们都可以在倒易空怕j 中展开成傅罩叶级数，这里统一用f 舻) 来表示上面的量f 扩) = e x p f )( 2 9 )其中0 = n 反+ n ：匠为晶格的倒格矢，啊，”：为整数，巨，瓦为倒易空间的基矢量。将式( 2 7 ) 、( 2 - 9 ) 代入式( 2 - 6 ) 可得v p 。商p v m p ，炒+ 矗) 7 =一缈c i - 吣如圭巾纠嘲p 。1 将算符v 移到求和算符的外面，并由v e 肌= 庙廊，可得v z p 。晦 面7 中p ，忙+ 商 7 f ( 霞+ o 。) =一彩c i 晦芦m 晦膨) _2 1 1 玑p 一1 p 面，m p 廖( 2 + 矗) 7 f ( 霞+ d ) =矗g 。( 2 - 1 2 )再将算符v 移到求和算符的里面。p ，) d 。1 p ；扣忙+ 巨辐：) 7 f 啤+ o ，) =- - q 0 9 d 2 。p ，h 鼬脚；卜( 2 _ 1 3 )。p ，) c 矗p 忙崛斯；卜m “qd令0 ，+ 每_ + 百，可得1 4p亩n、户晦。霜、户picf 厶萨q一哈尔滨一 程大学硕士学位论文i ( k + 0o 睁，p “婶一o ，夕k 掌“0 7j j =二阳o j 2 兰 ，b i 。睁g 沙砂陋一 ，p i l p ：一g ，k 睥+ d 卜6 6 一g 由v ( 厉) = v u 孑仁为常矢) ，可得西晦) d 一1 一色 。瞳+ 武k 暖+ o a 噼+ e )qd ，= 2 巾p 。p i l p 卜岔僻十剐7g jg ：一g ，( 2 - 15 )户一p g 。+ g ) 忙+ o 净p ) = 甜2 c ：p o 加忙。) ( 2 1 6 )g 。g 最后方程( 2 1 6 ) 可以变为标准特征方程爿中p ) = 国2 中p )g ( 2 1 7 )其中矩阵a = m n ，矩阵m 和分别定义为m = c i l | g gjgg。：p ：占一。妇+ g ) 噼+ 6 ) ( 2 - 1 8 )这是一个标准的特征值问题，可以采用数值解折的方法求解。对于每一个特定的波矢量露，本征值都给出了本征模式的频率。然而，我们不能采用无限多的平面波求解，假若我们取个平面波，那么对于每个霞点，我们将得到个离散的频率值。将这些频率值按照升序排列，并标注为1 级。那么一个能带是由第一简约不里渊区( i b z ) 中的所有霞点的具有同一级别的频率值组成的。根据布洛赫定理，由于倒易空间具有周期性，我们可以把波矢量霞限制在第一布里渊区。另外，利用第一布里渊区的对称性，我们可以只计算沿着i b z 边缘的那些霞点，至于i b z 内部霞点的频率值都将落在所得能带中。2 3 算法的执行算法执行的通常步骤是：确定所要研究的晶体结构，寻求傅立叶变换，获得特征矩阵一g g ，最终形成求解本征值问题。求解本征值问1 5哈尔滨工程大学硕士学位论文题本身是一个标准问题，其难点在于寻求不同结构( 不同的品格结构、散射子形状) 的傅立叶变换。为了能够处理更加复杂的结构，我们引入了超晶胞的概念。超晶胞是包含多个“原子”的基元，这里我们借用半导体物理中的概念将散射子称为“原子”。鉴于m a t l a b 是一种基于矩阵和数组的高级编程语言，非常适合于进行数值计算和模拟，我们采用它开发了算法的执行程序，该程序能够处理具有不同晶格结构及不同形状散射子的声子晶体能带结构的计算问题。下面我们将讨论有关算法执行的几个要点问题。2 3 1傅立叶变换系数f 陋) 的获取除非特殊声明，文中统一用f p ) 表示l c 1 p ) 和1 p p ) 。f p ) 是以所有晶格矢量豆为周期的函数，可以写为f g ) = f 。( 芦+ 豆)函数f 。仁+ 豆) 表示位于j i 处基元的物理参数。在倒易空f a j 展开为二维傅里叶级数，即f p ) = f p 垆一6傅皇叶展升糸数为d o ) = 去r 妒旷f p ) = 去；f f 。扩k 坷7 咖2c 代表积分在基元上进行。进行变量替换得d o ) = 去；矽e 一豆p 嘶协2由8 ，o _ r ：1 ，可得( 2 - 1 9 )周期函数f 扩) 可以r 2 2 0 )( 2 2 1 )( 2 - 2 2 )( 2 - 2 3 )哈尔滨t 程火学硕士学位论文4 0 ) = 等桫面= 去弦后w( 2 - z a )其中一。= 万a = 旧a ：i 为基元的面积。图2 1 基元的分解示意图摄照图2 1 将基7 c 进仃划分，式( 2 2 4 ) 口j 以改与为f p ) = 去乞。1 亩7 办2 + 去眵，店7 西2 一石1f ：e - ，- 咖2 ( z - z s )f p ) = 乞。+ 鹏一厶) b 坷7 卉2 ( 2 - 2 6 )口代表积分在“原子”上进行。可以看出，f p ) 分为两部分f p ) = f 哆= o ) + f 扫o )( 2 2 7 )其中4 。代表“原子”的面积，那么爿。a 。给出的恰恰是填充系数，。定义结构因子f p ) ：1 7嬲陋协哮p鸣釉批扣 wj wpp哈尔滨工程大学硕士学位论文f ) = f 1 a 7 西2( z - z 。)它仅仅与“原子”的几何形状有关，而与具体的排列无关。最终我们得到f p ) = 馁鼍群氟p ) 墓。其中f 临= o ) 代表声子晶体的平均密度或平均弹性参数：而f 临o ) 则反映了散射效应。值得指出的是，式( 2 - 3 0 ) 已经将“原子”形状，晶格结构的因素考虑在内了，因此，对于能够进行解析傅里叶变换的结构该式均可适用。对于不同的晶体结构，只需对填充系数，和结构因子f 旧) 作相应的改变即可。2 3 2几种常用“原子”