（基础数学专业论文）亚纯函数唯一性的若干结果.pdf

墅：里：旦i ! ! 型苎! 塑! 璺塑! 垦塑型塑q ! ! ! ! 型! 鱼! 竺苎! 型尘生翌竺皇堡墅生兰垒坐型竺翌一” 中文摘要 众所周知，亚纯函数唯一性问题一直是复分析中的一个很重要的研究课题 国内外每年都有大量的研究论文涉及亚纯函数唯一性的问题本论文是利用复分 析中值分布论的有关知识研究了亚纯函数唯一性的问题，得到了系列的结果，改 进和推广了不少相关的已知结果， 本文得到的主要结果如下 ( 1 )设f ( z ) 和g ( z ) 是两个非常数整函数，n27 是一个正整数，a 是一 个非零有限复数如果，“( z ) ( ，( 。) 一1 ) f 7 ( z ) 与扩( z ) ( 9 ( z ) 一1 ) 9 7z ) 分担ac m ，则 f ( z ) 59 ( z ) ( 2 ) 设p ( z ) 和q ( z ) 分别是n l 和n 2 次互素的多项式，f ( z ) 和g ( z ) 是两个 非常数超越亚纯函数，n m a x 1 1 ，2 n l + 4 n 2 + 3 是一个正整数如果f n ( 2 ) ，z ) 与9 “( z ) g z ) 分担p ( z ) q ( 2 ) c m ，l qf ( z ) = 。l 曰( z ) e o o ) g ( z ) = c 2 q 一1 ( 2 ) e 一。) ，其 中c ，c 2 是两个非零常数，q ( z ) 是一个有理函数，并且血( z ) 是一个多项式满足 ( c - c z ) 1 ( 错+ o t i ( = ) ) 2 三一( 鞘) 2 ；或者，( z ) ；幻( z ) ，其中p + 1 = 1 ( 3 ) 设f ( z ) 是一个非常数整函数，女是一个正整数，o 女( 0 ) a k h ，a 2 ，a 1 都是有限复数，l k ( z ) = a k f ( ) ( 2 ) + a k l ，( 1 j ( z ) + + o l ，7 ( 2 ) 如果f ( z ) 与l ( z ) 分担1i m ，并且n ( r ，专) = s ( r ，) ，则与等导；c ，其中c 为非零常数 ( 4 ) 设，( ：) 和9 ( z ) 是两个非多项式亚纯函数，n ( 6 ) ，是两个正整 数，并且s i = z l z “= 1 ) ，& = n ：b c ) ，其中a ，b ，c 是三个互异的非零常数满足 0 2 b c ，b 2 a c ，c 2 a b 如果e ( s l ，f ) = e ( s l ，9 ) ，刀( s 2 ，( ) ) = e ( 岛9 ( k ) ) ，并且 e ( o 。，) = e ( 。，9 ) ，则f ( z ) 59 ( z ) ( 5 ) ，设，( z ) 是一个非常数整函数，a ( z ) 是一个亚纯函数满足t ( r ，n ) = s ( r ，) 并且a ( z ) 一( z ) ，如果f ( z ) = 口( z ) 辛，( ：) = 。( z ) 并且，z ) = n f z ) 号 ，“( z ) = o ( z ) ，则f ( z ) ；，7 ( z ) 或者，( 。) = a ( z ) 十cj ( n ( z ) 一n ( z ) ) e 。d z ，其中c 是一个 非零常数 ( 6 ) 设n 3 ，女是两个正整数，s 1 = 0 ，= z ：z n - - z n - 11 = o ) ，并且 ，( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数亚纯函数如果e ( 。，) = e ( o o ，9 ) ，并且e ( & ，( 2 ) ) = e ( & ，g ) ( i = l ，2 ) ，则，( z ) 59 ( 2 ) ( 。) ( 7 ) 设n 3 是一个正整数，岛= 0 ) ，函= = ：扩一扩一1 = o ) ，并 且，( z ) 和9 ( z ) 是两个极点重数2 的亚纯函数如果e ( 。o ，) = e ( o o ，9 ) 并且 e ( s ，) = e ( & ，g ) ( i = 1 ，2 ) ，则f ( z ) 59 0 ) ( 8 ) 设，( z ) 和9 ( 2 ) 是两个非常数亚纯函数，n 3 是一个正整数，并 且s 1 = o ，警) ，岛= d i 一- - z “一一1 = o 如果f ( s ，) = e ( 最，9 ) ，g = l ，2 ) ， e 1 ( o 。，) = e 1 ( o o ，9 ) 并且占( ，) ，6 ( o 。，g ) 互1 ，则，( 石) 三g ( z ) ( 9 ) 设，( 。) 和9 ( 2 ) 是两个非常数亚纯函数，满足 6 ( 0 ，) + 6 ( 0 ，9 ) + d ( o 。，) + 6 ( o 。，g ) = 3 岛( 0 ，) + 如( 0 ，9 ) + 3 2 ( o o ，) + 5 2 ( 0 0 ，9 ) = 3 如果e ( 1 ，) = e ( i ，9 ) ，则( z ) ，9 ( z ) 必定具有下列5 种情形之一： ( a ) 6 ( 0 ，) = 6 ( o 。，) = i ，6 ( 0 ，9 ) + 6 ( 。，9 ) = 1 ，6 ( n ，g ) = 0 ，其中n 是一个复数 并且o ( 1 ，0 ，o 。) ； ( b ) 6 ( o ，g ) = 6 ( 。，g ) = 1 ，d ( o ，) + d ( ，) = l ，d ( 口，) = 0 ，其中口是一个复数 并且d ( 1 ，0 ，o 。) ； ( c ) j ( 0 ，) + 6 ( 。o ，) 1 ，6 ( 0 ，9 ) + d ( 。c ，g ) 1 ，并且6 ( n ，) = 6 ( o ，g ) = 0 ，其中a 是一个复数并且n ( 0 ，) ； ( d ) ，( z ) i ( 1 一n ) 9 ( z ) + o ，其中a 是一个常数并且n ( 1 ) 特别，当o = 0 时， 有，( z ) i9 ( z ) ； ( e ) ( ，( z ) 一n ) ( g ( z ) 一b ) e ( 1 一口) ( 1 一b ) ，其中o ( 1 ) ，6 ( 1 ) 是两个常数 关键词整函数；亚纯函数；微分多项式； 重数；分担值 丝：旦：旦! 苎苎型鲤墅婴垦塑些! 堡塑! 些! 塑苎! 型些! 坚! ! 里墼! ! ! ! 堑竺! 一一“ a b s t r a c t i ti sw e l l k n o w nt h a tt h ep r o b l e mo n u n i c i t yo fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n si sav e r y i m p o r t a n tp r o b l e m i nc o m p l e xa n a l y s i s t h e r ea r ean u m b e ro f p a p e r s d e m i n g w i t ht h i s p r o b l e me a c hy e a r i nt h i st h e s i s ，w es t u d i e dt h eu n i q u n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s a n dp r o v e ds e v e r a ln e wt h e o r e m sw h i c ha r et h ei m p r o v e m e n t sa n dg e n e r a l i z a t i o n so f s o m ek n o w nr e s u l t so nt h i st o p i c a n ds o m eo ft h e s er e s u l t sa x et h eb e s tp o s s i b l ei n s o m es e n s e t h em a i nr e s l l i t so ft h i st h e s i sa r ea sf o f l o w s ( 1 ) l e tf ( z ) a n dg ( z ) b et w on o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n s ：l e tn 7b e 口 p o s i t i v ei n t e g e r ；a n dl e t8b ean o n z e r of i n i t ec o m p l e xn u m b e r 盯，“( ：) ( ，( z ) 一i ) f ( z ) a n d g “( z ) ( 9 ( z ) 一1 ) ，( 2 ) s h a r eac m ，t h e nf ( z ) g ( z ) ( 2 ) l e tp ( z ) a n dq ( z ) b et w oc o p r i m ep o l y n o m i a l s d e g r e en la n dn 2r e s p e e t i v e l y ；l e tf ( z ) a n dg ( z ) b et w on o n c o n s t a n tt r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；a n d l e tn2 n z a x 1 1 ，2 n l + 4 n 2 + 3 口p o s i t i v ei n t e g e r 可，“( z ) ，( 。) a n d9 a ( z ) g ，( z ) s h a r e p i z ) q z ) c m t h e ne i t h e r ，( z ) = c 1 q ( z ) 矿，9 ( 2 ) = e 2 q - 1 ( 。) e ”( “，w h e r ee l ，。2 n ”t w oc o n s t a n t s ，a n dq ( z ) i snr a t i o n a lf u n c t i o n ，a n dq ( z ) i sap o l y n o m i a ls a t i s f y i n g ( e l c 2 ) 1 ( 貉+ q ，( 。) ) 2 ；一( 糍) 2 m ) ；t g ( z ) 如r nc 。n s a n tt 批ht h a ( 3 ) l e tf ( z ) b ea ne n t i r ef l a n c t i o nw h i c hi sn o tc o n s t a n t ；l e t b eap o s i t i v e i n t e g e r , o 女( 0 ) a k “，a 2 ，a lb e f i n i t ec o m p l e xn u m b e r s ；a n d l e t l a ( z ) = a k ，( 。】( z ) + o 女一i ，佧一1 ( = ) + - + a l l ( ：) i f f ( z ) a n d l 女( 。) s h a r ev a l u e l 皿ta n d n ( r , 击) = s ( r ，) ， t h e n l k ( z ) 一1 j ( z ) 一1 一。 ，d r8 0 m ec o n s t a n tc c 0 ( 4 ) 三e t ，( 。) a n d9 ( z ) b et w on o n p o l y n o m i a lm e r o m o r p h i c 知n e t i o n s ：n ( 6 ) ， 嚣kb et w op o s i t i v ei n t e g e r s ；a n dl e ts l = z i z ”= l ，5 b = o ，6 ，c ) ，w h e r eo ，b ，ca r e n o n z e r of i n i t ed i s t i n c tc o n s t a n t ss a t i s f y i n g0 2 b c ，b 2 a c ，c 2 a b f e ( s 1 ，) = e ( s x ，g ) ，e ( s 2 ，( ) ) = e ( s 2 ，g ( ) ) ，a n de ( o 。，) = e ( o c ，9 ) ，t h e n ，( z ) 主g ( z ) 。 ( 5 ) l e tf ( z ) b ea l ln o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o na n d l e ta ( z ) b e m e r o m o r p h i c f u n c t i o ns a t i s f y i n gt 口) = s ( r ，f ) a n d n ( z ) n ( 2 ) 盯f ( z ) = n ( z ) 辛，7 ( z ) = o ( z ) a n d ，7 ( 。) = n ( z ) = f u ( = ) = o ( 2 ) ，t h e n ，( z ) e ，0 ) o r ，( z ) = o ( z ) + c f ( a ( z ) 一 a t ( z ) ) e 2 如，w h e r eci snn o n z e r oc o n s t a n t ( 6 ) - l e tn 3 ，kb et w op o s i t i v ei n t e g e r s ，岛= 1 0 a n d 疡= f z ：2 “一 扩一1 = o ) ia n dl e t ，( z ) a n 4g ( 。) b et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s f e ( 。，) = e ( o 。，鳓，e ( 最，( ) ) = 日( & ，孽( ) ) f o ri = l ，2 ，t h e n ，( 七) ( z ) 兰9 ( 女) f 孑) l v 空! 兰! 型垫曼型苎型! 坚翌竺竺型望! ! 堡型壁 ( 7 ) l e t n 3b ea p o s i t i v ei n t e g e r , s = 0 ) a n d 岛= z ：z n z “一1 1 = o ) i a n dl e tf ( z ) a n d9 ( z ) b et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i c 且n c t i o n sw h o s ep o l e sa t e 吖 m u l t i p l i c i t i e sa tl e a s t2 玎e ( 0 0 ，) = e ( 0 0 ，9 ) a n de ( s ，) = e ( s ，9 ) 1 0 ri = 1 ，2 ， t h e n ，( z ) 59 ( z ) ( 8 ) l e tf ( z ) a n d9 ( z ) b et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，n 3 8p o s i t i v ei n t e g e r ，a n ds x = o ，4 ) ，岛= z l z “一扩一l = o ) 巧e ( & ，) = e ( & ，g ) ，( i = 1 ，2 ) ，e l ( b 0 ，) = e x ( 0 0 ，9 ) a n d6 ( o o ，) ，6 ( 。，9 ) ，t h e ny ( z ) i g ( z ) ( 9 ) l e tf ( z ) a n dg ( z ) b en o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i c 知n c t i o n ss a t i s f y i n g 5 ( 0 ，) + 5 ( o ，g ) + 6 ( 。，) + d ( 。，g ) = 3 5 2 ( 0 ，) + 5 2 ( 0 ，9 ) + d 2 ( ，) + 6 2 ( 0 0 ，9 ) = 3 玎e ( i ，| 1 = e ( 1 ，9 1 ，t h e no n eo ft h e 。l l o w i n 9c a s e sm u s to c c u r ： r 叫5 ( 0 ，) = 5 ( 0 0 ，) = 1 ，6 ( 0 ，9 ) + 6 ( 。9 ) = l ，6 ( a ，g ) = 0 ，y o ra n yc o m p l e x n u m b e r o ( 1 ，0 ，。) i r 砂5 ( 0 ，9 ) = 5 ( 0 0 ，g ) = 1 ，5 ( 0 ，) + 5 ( 0 0 ，) = 1 ，6 ( a ，) = 0 ，d ra n yc o m p l e x n u m b e r o ( 1 ，0 ，) i r 一5 ( 0 ，) + 6 ( ，) l ，6 ( 0 ，9 ) + 6 ( ，9 ) 1 ，a n d5 ( a ，) = 6 ( n ，9 ) = 0 ，如ra n y c o m p l e xn u m b e ra ( 0 ，o 。) i r 圳f ( z ) i ( 1 一a ) g ( z ) + a ，w h e r eo ( 1 ) i sac o n s t a n t i np a r t i c u l a r , 矿a = 0 t h e nf ( z ) i 9 ( 。) i j ( f ( z ) 一o ) ( g ( z ) 一b ) ；( 1 一。) ( 1 6 ) ，w h e r eo ( 1 ) ，b ( 1 ) a r et w oc o n s t a n t s k e y w o r d s e n t i r ef u n c t i o n m e r o m o r p h i cf l m c t i o n ，d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ， m u l t i p l i c i t y ，s h a r i n gv a l u e 果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明 1 、坚持以。求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：乒b 秀，乞 日 期：( 趋! 垒。 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阕：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定 作者签名：垂垂全 日期：趁2 垒 丝：里- 里塑笪型坐! ! 塑! ! 竺! 塑坐塑墅坐! ! 竺型! 塑苎曼! 翌坐些型塑! i 致谢 我由衷地感谢我的导师陈怀惠教授和方明亮教授，感谢他们 这四年来在学习上的关心和指导，没有他们的栽培就没有我今天 的收获。他们严谨的治学态度和诲人不倦的精神给我留下了深刻 的印象并使我终身受益。 我也很感谢徐焱博士、副教授在学术上的关心和帮助。 我还要感谢院系领导、姚奕老师、孙茂华老师等在各个方面 的殷切关怀和帮助；感谢院资料室、复印室老师提供的便利；同时 我要感谢与我同窗学习的师兄和师妹们，他们给予了我很多帮助 和鼓励 最后，我要感谢所有关心和帮助我的朋友和亲人，感谢他们 对我学习上的支持和鼓励。 仇惠玲 墅：2 ：2 堕竺! 兰堑塑! 兰竺! 墨要! 坐旦! 生! 坚! ! g ! 塑! 壁型型! 竺竺唑堡旦里型竺曼一一”1 1 1 概述 亚纯函数唯一性的若干结果 详细的中文擒要 这篇学位论文由五个部分构成首先给出了论文中薪需的预备知识即值分布论和亚 纯函数唯一性的有关知识；并且简述了我们所做的主要工作主要成果分成四部分，各 部分分别介绍了问题的背景、主要结果，引理及主要结果的证明 在第一章中，我们介绍了一些基础概念，并且给出了一些常用结果 在第二章中，我们研究了某种微分多项式具有一个公共值或有理函数的亚纯函数唯 一性对于这类问题c c y a n g 、方明亮等人证明了如下定理： 定理2 1 ( f a n g a n d h o n g 【i x )设f ( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数整函数，n 1 1 是一个正整数a 是一个非零有限复数如果，”( z ) ( ，( z ) - 1 ) f z ) 与扩( z ) ( 9 ( z ) 一1 ) 9 7 ( 。) 分担c m ，则f ( z ) 暑g ( o ) 定理2 2 ( y 蛐g m a d h u a 【4 0 )设f ( z ) 和9 ( z ) 是两个非常敷亚纯函敷，n 1 1 是一个正整敷如果，“( 。) ，扛) 与g n ( ：) 9 7 ( z ) 分担1c m ，则f ( z ) = c l e 。，g ( z ) = c 2 e 一“， 其中c ，( 3 1 ，c 2 是三个非零常敷满足( c i c 2 ) “+ 1 c 2 三一l ；或者，0 ) 兰幻( 2 ) ，其中亡n + l = 1 定理2 3 ( f a n ga n dq i u 1 2 】)设f ( z ) 和g ( z ) 是两个非常数亚纯( 整) 函数， n l l ( n 6 ) 是一个正整数如果f n ( z ) ，( 。) 与扩( z ) 9 ( 。) 分担：c m ，则f ( z ) = c 1 e c ： g ( z ) = c 2 e 一。，其中c ，c l ，c 2 是三个非零常数满足4 ( 。l c 2 ) n 4 - 1 c 2 = 一l ；或者，( z ) i 幻( 。) ， 其中p + l = 1 定理2 4 ( b 面c k 【4 】)设，( z ) 是一个非常敷整函敷，如果f ( z ) 与，( z ) 分担1 c m ，并- e - ( 争) = s ( r ，) ，则错；等三c ，其中c 为非零常数 我们在第二章中改进和推广了上述定理，证明了如下结果： 定理2 5 设f ( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数整函数，n 7 是一个正整数，a 是 一个非零有限复数如果p ( z ) ( ，( z ) 一1 ) f ( 2 ) 与g n ( 。) ( 9 ( z ) 一1 ) g ，( ：) 分担8c m ，则 f ( z ) 兰9 ( z ) 定理2 6 设f ( z ) 和g ( z ) 是两个非常敷超越整函数，p ( z ) 是一个”1 次多项式， n m a x 6 ，n 1 ) 是一个正兰数如果p ( z ) ，7 ( 2 ) 与g n ( z ) ( z ) 分担p ( z ) c m ，则，( z ) = c l e 。jp ( 。) 出，g ( z ) = c 2 e 一。j “2 ) 出，其中c l ，c 2 和c 是三个常教满足( c l c 2 ) ”+ 1 c 2 = 一i ；或 者，( z ) = t g ( ；) ，其中t 时1 = 1 定理2 7 设f ( z ) 和g ( z ) 是两个非常敷超越亚纯函敷p ( 2 ) 是一个n 1 次 多项式， n2 m a x ( 1 l ，2 2 1 + 2 是一个正整敷，如果p ( ：) ，( z ) 与9 n ( z ) 矿( z ) 分担 p ( 。) c m ，则f ( z ) = c l e e jp 【。) “，g ( z ) = c 2 e - c jp 【。) 。，其中c 1 ，c 2 和c 是三个常数满足 ( c l c 2 ) “+ 1 c 2 = 一l ；或者，( 。) 兰破z ) ，其中f “+ i = 1 v 儿l 垡! 旦! i ! ! ! 曼! ! ! 墅旦墨型! ! 巴苎! 型型堡翌! 堡 定理2 8设v ( z ) 和( 2 ) 分别是n i 和n 2 次互素的多项式，( z ) 和9 ( z ) 是两个 非常数超越亚纯函数，n m “ 1 1 ，2 n l + 4 n 2 + 3 ) 是一个正整数如果，“( z ) ，7z ) 与g n ( z ) 9 ，扛) 分担p ( z ) 口( z ) c m ，则f ( z ) = c 1 q ( z ) e 。( 引，g ( z ) = c 2 q 一1 ) e a ( 引， 其中c 1 ，c 2 是两个非零常数，q ( = ) 是一个有理函数。并且口( z ) 是一个多项式满足 ( c ，c 2 ) n + ，( 爱碧+ 。( z ) ) 2 兰一( 糍) 2 ；或者，( ：) = - - t g ( z ) ，其中n + ，= 1 定理2 9 设，( z ) 是一个非常数整函数，k 是一个正整数，( o ) ，o t 一1 ，一，a 2 ，a l 都是有限复数，l k ( z ) = a h ( ) ( 名) + a k 一1 ，佧一1 ) ( 名) + + a l l 7 ( z ) 如果，( 。) 与l k ( z ) 分担1i m ，并且( _ 争) = s ( n ，) ，则系齿等三c ，其中c 为非零常数 在第三章中，我们研究1 亚纯函数以及它们的导数分担有限桌或小函数的唯一性问 题对于这个问题，方明亮。常建明，m u e s t 和j a n k 等首先证得7 下面的结果： 定理3 1 ( p a n g 【9 j )设，忙) 和g ( z ) 是两个非常数整函数，n ( 5 ) 和女是两 个正整数，并且s 1 = z 扭”= 1 ) ，岛= 和，b ，c ，英中o ，b ，c 是三个互异的非零常数满 足n 2 b c ，b 2 n c ，c 2 a b 如果e ( s 1 ，) = e ( s 1 ，g ) ，e ( 岛，( ) ) = e ( s j ，9 ( k ) ) ，并且 目( 。，) = e ( 。o ，9 】，别( z ) ig ( z ) 定理3 2 ( m u e sa n ds t e i n m e t z a 1 1 ) 设。和b 是两个互异的有限常数，( z ) 是一个非常数整函数， i o 果( z ) = 口甘，( z ) = 并且f ( z ) = b 甘，7 ( 2 ) = b ，剐 f ( z ) ；，( 。) 定理3 3 ( j a n k ，m n e sa n dv o l k m a n n 2 s )设( z ) 是一个非常数整函数， o 是一个非零常数，如果，( 2 ) = 口营，【z ) = a 并且，( z ) = o 辛，“z ) = a ，刚 ( z ) ；，弘) 常建明把定理3 2 中的常数。换成7 ( z ) 的小函数o ( z ) ，仍然得到j 相同的结论： 定理3 4 ( c h a n ga n df a n g 【5 】)设f ( z ) 是一个非常数整函数，。( z ) 是一 个( z ) 的小( 亚熊) 函敷满足8 ( z ) o ( z ) 如果( z ) = 口( z ) 锌f r ( 。) = 8 ( z ) 并且 ，( 2 ) = a ( z ) 辛，”( z ) = d ( z ) ，则，( 。) i ，( z ) 我们在第三章中改进了定理3 1 和定理3 4 ，证明了下面的结果： 定理3 5 设( z ) 和g ( z ) 是两个非多项式亚纯函数，n ( 6 ) ，女是两个正整 敷，并且s l = p k “= 1 ) ，岛= 。，b ，c ) ，其中a ，b ，c 是三个互异的非零常数满足 d ? b c ，b 2 c ，c 2 a b 如果e ( 最，) = e ( s 1 ，9 ) ，e ( s 2 ，( ) = e ( s 2 ，9 ( 女) ，并且 e ( o 。，) = e ( 。o ，9 ) ，则f ( z ) 兰9 0 ) 定理3 6 设，( z ) 和g ( z ) 是两个非多项式亚纯函数，n ( 芝6 ) ， 是两个正整 数，并且s x = z l z “= 1 ) ，= 口，b ，c ) ，其中a ，b ，c 是三个互异的非零常敷如果 e ( s l ，) = e ( 舅，9 ) ，e ( 岛，( ) ) = 曰( 岛，g ( ) ) ，并且e ( o o ，) = e ( o o ，9 ) ，则下列情形之 一必定要出现： ( i ) ，( z ) 59 ( z ) ； ( 2 ) ，2 巧g i ，j = l ，2 ，3 ，w h e r e t l ，t 2 ，埘= ( o ，b ，c ) ，a n d 坪= t j t k ，i j 茸 i ，j ，f ( 1 ，2 ，3 ) 墅：2 ：堕竺! ! ! ! 塑! 兰! 璺! 垦坚! ! 塑鲤堡! 型! ! g ! ! ! ! 壁竖丝竺里巴坚丝竺墨! ! ! 坠! 竺1 x ( 3 ) ，( z ) = e ”h 。，9 ( z ) = t e 一”。一。，其中m ，d ，t 是三个非零常数满足t “= l ，并 且( 一1 ) 。t m 2 = 一= b c 或者( - 1 ) t m 2 = 6 2 = n c 或者( 一1 ) t m 妣= c 2 = a b 定理3 7设f ( z ) 和g ( z ) 是两个非多项式亚纯函数，n ( 6 ) ，是两个正 整数，s l = ( z l z “= 1 ) ，岛= 。，6 ，其中a ，b 是两个互异的非零有限常数如果 e ( s l ，) = e ( s 1 ，g ) ，e ( ，f ( k ) ) = e ( s 2 ，g ( k ) ) 并且e ( 。c ，) = e ( ，9 ) ，则下列情形之 一必定要出现： ( 1 ) i ( z ) ig ( = ) ； ( 2 ) i ( z ) e g ( z ) ； ( 3 ) ，( z ) = e “抖4 ，g ( z ) = 把一“”4 ，其中m ，d ，t 是三个非零常数满足t “= l ， f 一1 1 打n 2 女；0 2 并且d = 一b ： ( 4 ) ，( z ) = e ”“4 ，g ( z ) = t e 一“。其中m ，d ，t 是三个常数满足t “= 1 ，并且 f 1 1 k t m 2 女= n b 定理3 8 设，( 。) 和9 ( z ) 是两个非多项式亚纯函敷，礼( 6 ) 和k 是两个正整 数 s 1 = z l z “= l ，s 2 = 忙) ，英中口是一个非零有限常数如果e ( 吼，) = 层( s ，们， e ( s 2 ，( ) ) = e ( s 2 9 ( 。) ) 并且e ( o 。，f ) = e ( o c ，9 ) ，则下，i j 情形之一必定要出现： ( 1 ) f ( z ) 兰9 ( ；) ； ( 2 ) ，( z ) = e “。+ 4 ，g ( z ) = t e 一“。一。，其中m ，d t 是三个常数满足矿= 1 ，并且 f 一1 1 t m 2 k = n 2 定理3 9 设n 3 ，k 是两个正整数，s l = o ，& = 。：z “一扩_ 。一1 = 0 ) 并且f ( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数亚纯函数如果e ( 。，) = e ( 。，9 ) ，并且e ( s ，( ) ) = e ( s i ，9 ( ) ) “= 1 2 ) ，则，( 。) ( ：) 59 ( 。) ( z ) 此外，我们还得到7 ： 定理3 i 0 设i ( z ) 是一个非常数整函数，o ( z ) 是一个亚纯函数满足? ( r ，。) = s ( r ，) 并且。( z ) o ( z ) 如果f ( z ) = a ( z ) 辛，7 ( z ) = n ( = ) 并且，( z ) = a ( z ) 辛 ，”( z ) = o ( 。) ，则，( z ) 三，( z ) 或者7 ( z ) = 0 0 ) + c ，( d 驻y 。a t 0 ) ) e 。d z ，其中c 是一个非 零常数 在第四章中，我们研究1 分担两个有艰案的亚纯函数唯一性在1 9 7 7 年，g r o s s 提 出j 下面一个问题： 问题4 l ( g r o s s 【z 8 1 )是否存在两个( 甚至一 有f 集合& 矗= 1 ，2 ) ，使得对任 何两个非常敷整函敷，和g ，只要满足e ( 最，) = f ( & ，g ) 0 = 1 ，2 ) ，就有，( z ) 三g ( 名) ? 仪洪勋首先证明7 这两个有限集的存在性，碍到了下面的结论； 定理4 2 ( y i 【4 5 】) 设n 5 是一个正整数，s l = c ) ，岛= 2 ：扩= 1 ，满足 c 2 “1 ，并且，0 ) 和g ( ：) 是两个非常数整函数，如果e ( 最，) = e ( 是，g ) “= 1 ，2 ) ，则 ，( ：) 三9 ( z ) 方明亮和徐万松，仪洪勋都证明了：如果两个有限桌s t ，岛中的元素都不超过两个 x 垒! ! 型! ! ! 坚些型! 竖! ! 竺型坐! 翌! 塑 一一一 由e ( 最，) = e ( s i ，g ) ( i = 1 ，2 ) 是不能推出，0 ) - - - - - 9 ( z ) 与此同时他们给出了使得两个 整函数恒等的最小两个有限集，他们证明的结果如下： 定理4 3 ( h n 昏x u i s )设n 3 是一个正整数。s 1 = 0 ) ，s 2 = z ： 扩一z ”1 1 = o ) ，( z ) 和g 扛) 是任意两个非常数整函数如果e ( s l ，f ) = e ( s ，9 ) ( i = 1 ，2 ) ，则，( z ) 5g ( z ) 上面两个定理中所讨论的函敷都是整函数如果把整函敷换成更一般的亚纯函数， 其结果是否成立呢? 我们在第四章中证明j ，对于包含所有整函数在内的某些亚纯函数 来说，定理4 3 的结论也是成立的 定理4 4设n 3 是一个正整数，s l = o ) ，= z ：扩一扩一1 = o ) ， 并且，( z ) 和9 ( z ) 是两个极点重数都2 的亚纯函数，如果e ( o o ，) = e ( o o ，9 ) 并且 e ( & ，) = e ( s i ，g ) ( i = 1 ，2 ) ，则f ( z ) 5 9 仁) 此外，对于具有相同草租点的亚纯函数，我们还证明j 下面的结论 定理4 5设，( = ) 和9 ( z ) 是两个非常数亚纯函数，n 3 是一个正整数，并 且s 1 = 0 ，里 ) ，s ；= z l z “一。”一1 1 = o 如果e ( s i ，) = e ( s i ，9 ) ，( i = 1 ，2 ) ， e l ( o c ，) = e l ( o c 9 ) 并且6 ( 。，) ，d ( 。，9 ) ，则，( z ) 兰9 ( z ) 定理4 6设y ( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数亚纯函数，n 3 是一个正整数，并且 s l = o ，1 ，- 1 ，岛= z i ；扩一由扩一1 = o ) 如果e ( s ，) = e ( s ，9 ) ，0 = 1 ，2 ) ， e l ( 。o ，) = e i ( 0 0 ，9 ) ，则，( = ) 5 9 ( z ) ， 在第五章中，我们研完j 具有亏值的亚纯函数唯一性关于这个问题，仪洪勋和徐 万松等给出7 如下一些结论： 定理5 1 ( y i 4 3 】)设，( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数亚纯函数，满足： 6 ( 。，) = 6 ( ，9 ) = l ，d ( 0 ，) + 6 ( 0 ，g ) l 如果e ( 1 ，) = e ( 1 ，9 ) ，则，( z ) 9 扛) 三1 或者，扛) 三9 乜) 仪洪勋在文中还说明7 上面定理不等式中的“1 ”是最好的徐万松等推广j 仪洪 勋的结论，给出7 下面的定理： 定理5 2 ( x u ，f a n g 【s 6 )设，( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数亚纯函数，满足： 6 ( 0 ，) + 6 ( o ，g ) + 6 ( 。，) + d ( o 。，g ) 3 如果e ( 1 ，) = e 0 ，9 ) ，e ( o o ，) = e ( 。，g ) ，刖，( z ) 9 ( z ) e1 或者f ( z ) 59 ( z ) 徐万松等在文中同样说明了上面定理不等式中的“3 ”是最好的也就是说，若将 上面定理中的不等号换成7 等号，定理5 2 的结论是不成立的于是就产生一个问题t 若 定理5 2 中的不等号换成j 等号其结论将是如何? 我们在第五章中讨论了这个问题，证明7 下面的结果： 定理5 3设，( z ) 和g ( z ) 是两个非常数亚纯函数，满足： 生：望：旦塑型鲤堕墅! 墨竺! 地塑坐塑地! 竺! 苎! 堕! 垒竺! ! i 生垄墅! 塑! x i 或者 d ( o ，f ) + a ( o ，g ) + 6 ( o 。，f ) + d ( 。，g ) = 3 如( o ，) + 5 2 ( 0 ，9 ) + 5 2 ( 0 0 ，) + 5 2 ( o o ，9 ) = 3 如果e ( 1 ，f ) = e o ，9 ) ，则f ( z ) ，9 ( z ) 必定具有下列5 种情形之一： ( a ) 6 ( o ，) = 6 ( o 。，) = 1 ，d ( o ，g ) + d ( 。，9 ) = 1 ，d ( d ，g ) = 0 ，英中a 是一个复数并 且o ( 1 ，0 ，o 。) ： ( b ) d ( 0 ，g ) = d ( o o ，9 ) = l ，5 ( 0 ，f ) + d ( 。，) = 1 ，d ( 口，f ) = 0 ，其中a 是一个复数并 且o ( 1 0 ，。c ) ( c ) 巧( 0 ，) + 5 ( o c ，) 1 ，6 ( 0 ，g ) + 占( ，9 ) l ，并且a ( a ，f ) = 6 ( o ，g ) = 0 ，其中a 是一个复数并且o ( 0 ，。c ) ： ( d ) ，( z ) - - ( 1 f ( z ) 5g ( z ) 莫中。是一个常数并且( 1 ) 特别，当a = 0 时，有 b ) e ( 1 一。) ( 1 6 ) ，其中n ( 1 ) ，b ( 1 ) 是两个常数 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e rw ew i l lg i v es o l v ep r e l i m i n a r i e sf o rt h et h e s i s ，s u c ha s n o t a t i o n s d e f i n i t i o n sa n ds o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t so fv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r ya n d s e v e r a lf u n d a m e n t a lu n i q u e n e s st h e o r e m sf o rm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s w ea s s u i n et h a tt h er e a d e ri sf a m i l i a rw i t ht h eb a s i c c o n c e p t so fv a l u ed i s t r i b u t i o n t h e o r ya n d w er e f e rt h er e a d e r st ot h eb o o kw r i t t e nb y l y a n g 4 1 o r t h eb o o kw r i t t e b yw k h a y m a n 【2 2 f o rt h ei n f o r m a t i o nw h i c ha r en o tg i v e nh e r e t h e g e n e r a lt e r i s w i l ib ee x p l a i n e db r i e f l y 1 1s o m eb a s i cc o n c e p t so nv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y t h ed i s t r i