（计算机应用技术专业论文）多相图像分割的变分水平集方法.pdf

摘要 图像分割是计算机视觉的一个重要研究课题，图像分割技术就是把图像分割 成具有相同的强度、纹理、颜色、运动等子区域，由于图像中物体自身的复杂性 以及所要识别多个不同目标的需求，传统的单水平集方法不能很好地解决这类分 割问题，而且对分割目标的分割局限于二维的场景中，因而需要对多相图像分割 进行研究，并将多相图像分割由二维拓展到三维。本文对多相变分水平集方法的 图像分割进行了深入的研究，主要包括以下几个方面：第一，系统地研究了曲线 演化、水平集方法、m u m f o r d s h a h 模型的基本理论及其在图像分割领域的应用。 第二，根据a b d o l - r e z am a n s o u r i 等提出的区域竞争策略，建立了统一的区域表达 模型，有效地避免了多个水平集函数区域划分时的重叠和漏分现象；在p a r a g i o s 提出的测地主动区域模型的基础上，对于分段常值图像，根据不同的图像区域分 布建立了不同的多相图像分割模型，分别用于分割噪声符合g a u s s 分布的m r i 图像 和r a y l e i g h 分布的u l t r a s o u n d 图像；第三，将该模型扩展，保留了m u m f o r d s h a h 模型中的数据光滑项，但是将数据光滑项的二次改为一次，这样在图像分割中能 够更好的保留边界；第四，将变分水平集方法的图像分割由二维拓展到三维，将 二维中的区域划分策略，区域分布模型应用到三维的图像分割中，对断层图像序 列三维分割过程也是对分割目标进行三维重建的过程。第五，编程实现了变分水 平集方法的多相图像分割，包括二维图像的分段常值和分段光滑的图像分割以及 三维的分段常值的图像分割，并将其应用于人工图像，遥感图像以及真实的医学 图像分割实验中。大量的实验结果表明，本文提出的图像分割模型充分利用图像 噪声的概率分布规律以及区域划分策略，都达到了图像分割的预期效果。最后， 针对实验中出现的问题与存在的缺陷，提出了该工作下一步的研究方向。 关键词：图像分割；水平集；多相；概率分布模型 a b s t r a c t i m a g es e g m e n t a t i o ni sa l li m p o r t a n tr e s e a r c ha s p e c ti nc o m p u t e rv i s i o n a n dt h eg o a l o fi ti st os e p a r a t ed i f f e r e n tr e g i o n so rd e t e c to b j e c t sb a s e do i lg r a y , t e x t u r e , c o l o r , o p t i ca n d s oo n a st h ec o m p l e x i t yo ft h eo b j e c ti t s e l fa n dt h er e q u i r e m e n t so fm u l t i - o b j e c t st od e t e c t i ni m a g e s ，t r a d i t i o n a lm e t h o do fs i n g l el e v e ls e ts e g m e n t a t i o nc a n n o ts a t i s f yt h es i t u a t i o n , a n di ti sm o s t l yl i m i t e di nt h e2 df i e l d s o ，w en e e dt od op r o f o u n dr e s e a r c hw o r kf o r m u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o na n de x t e n dt h el e v e ls e tm e t h o df r o m2 di n t o3 df i e l df o r h i g h e rr e q u i r e m e n t s s e v e r a la s p e c t sa r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e ra sf o l l o w s ：f i r s t l y , t h e b a s i ct h e o r yo nc u r v ee v o l u t i o n , l e v e ls e tm e t h o da n dm u m f o r d - s h a hm o d e la r o s y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e da n d l e i ra p p l i c a t i o ni ni m a g es e g m e n t a t i o nf i e l di sd i s c u s s e d s e c o n d l y , g e n e r a lr e g i o n sr e p r e s e n t a t i o nm o d e li sb r o u g h to u tb a s e do nt h er e g i o n c o m p e t i t i o ns t r a t e g yo f a b d o l - r e z am a n s o u r iw i t h o u to v e r l a p p i n ga n dv a c u u mp r o b l e m s f o rt h ep i e c e w i s ec o n s t a n tc a s e , d i f f e r e n tg e n e r a lm u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o nm o d e l s a r ee s t a b l i s h e db a s e do nt h ep a r a g i o s sg e o d e s i ca c t i v er e g i o nm o d e la n du s e di nd i f f e r e n t p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n , f o ri n s t a n c e , m r ii m a g ef i t s g a u s sp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n , u l t r a s o u n di m a g ef i t sr a y l e i g hp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n t h i r d l y , t h em o d e li se x t e n d e d i n t op i e c e w i s es m o o t hc a s e t h es m o o t hd a t at e r mi sk e p ti nt h em o d e la n dt h ep o w e ri s c h a n g e di n t oo n ep o w e ri n s t e a do ft o wp o w e r i ti sb e t t e rt ok e e pe d g ei nt h ep r o g r e s so f s e g m e n t a t i o n f o u r t h l y , t h ev a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o di se x t e n d e df r o m2 di n t o3 df i e l d a n dt h es a m er e g i o nc o m p e t es t r a t e g yi sa l s ou s e di nt h e3 di m a g es e g m e n t a t i o n a n d d i f f e r e n tm o d e l sa r ee s t a b l i s h e db a s e do nd i f f e r e n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nj u s tl i k et h e2 d m o d e l sa n dt h ep r o g r e s so fs e g m e n t a t i o ni sa l s ot h e p r o g r e s so f3 dr e c o n s t r u c t i o n f m 恤c r m o r e , a l lt h em o d e l sm e n t i o n e da b o v ea r ei m p l e m e n t e d , i n c l u d i n gp i e c e w i s e c o n s t a n t s m o o t hm u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o nf o r2 di m a g e sa n dt h ep i e c e w i s ec o f 坞觚 m u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o nf o r3 di m a g e s m a n ye x p e r i m e n t sd e n o t et h a tw eg e tt h e s a t i s f y i n gr e s u l t su s i n gt h ec o r r e s p o n d i n gi m a g es e g m e n t a t i o nm o d e l s l a s t l y , f u t u r e r e s e a r c hd i r e c t i o n sa r ep u tf o r w a r da c c o r d i n gt ot h ep r o b l e m sa n dl i m i t a t i o no c c u r r e d d u r i n gm y r e s e a r c hw o r k k e yw o r d s ：i m a g es e g m e n t a t i o n ；l e v e ls e t ；m u l t i p h a s e ；p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n m o d e l 青岛大学硕十学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名：孛午 日期心年石肋日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密日。 ( 请在以上方框内打“4 ) 论文作者签名： 矸 同期：7 班海媚移e l ， 导师签名： i 叩k日期：州年莎月，夕e l ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 第一章绪论 1 1 课题背景及其意义 第一章绪论 图像分割是图像处理中的关键技术之一。图像分割是将图像中把对用户感 兴趣的部分提取出来，根据图像的特征，如图像中的边缘、区域、噪声分布、 纹理分布，运动等，图像分割是进一步进行图像识别、分析和理解的基础。虽 然目前已研究出不少边缘提取、区域分割的方法，但还没有一种普遍适用于各 种图像的有效方法。因此，对图像分割的研究还在不断深入之中，是目前图像 处理中研究的热点之一。 图像分割作为一种重要的图像处理技术得到了广泛的研究和应用，它是计 算机图像识别与理解领域非常活跃的一个分支，是图像处理、图像分析和计算 机视觉等领域最重要的研究内容，也是计算机图像理解方法实现的基础。人们 在对图像的研究和应用中，往往仅对图像中的某些部分感兴趣，这些部分一般 对应于图像中具有特殊性质的区域。为了辨识和分析目标，首先需要将它们提 取出来，在此基础上才能对目标进行更深层次的处理，它是后续工作的基础。 图像分割就是指把图像分成符合不同分布的区域提取出感兴趣目标的过程。 一方面，它是目标表达的基础，对特征的测量有重要影响；另一方面，图像分 割及其基于分割的目标表达、特征提取和参数测量可以将原始图像信息转化为 更抽象、更紧凑的形式，使得更高层次的图像分析和理解成为可能。因此，图 像分割是图像分析和图像识别前期处理的一个重要步骤。图像分割在不同领域 中名称也不尽相同，目标检测等技术的核心实质上就是图像分割技术。 图像分割按照相数分为两相图像分割和多相图像分割，按照图像区域性质 看成分段常值图像和分段光滑图像，按照维数分为二维的图像分割和三维图像 分割。在这里，“相可以看作是灰度相同的区域，符合相同分布模型区域， 符合某种纹理特征或光流特征的区域。目前在两相以及分段常值的图像分割研 究中产生了大量方法，但只使用一个水平集函数以及对于某些图像只看作分段 常值模型进行分割，以及二维图像分割难以处理复杂的图像序列所反映的三维 立体信息等，于是迫切需要关于多相图像以及三维图像序列的分割研究。 青岛大学硕十学位论文 1 2 研究现状 图像分割的各种模型只是在某一类图像上适用，为了解决目前图像分割中 存在的诸多问题，在传统的图像分割算法和模型的基础上进行了诸多的改进， 以提高模型的通用性和分割的效果。 近年来，活动轮廓线模型口1 ( a c t i v ec o n t o u rm o d e l 。a c m ，或称为变形曲 线模型) 在图像分割中得到了广泛的研究和应用，该模型是定义在图像域的曲 线或曲面，它是在自身的内力以及图像数据的外力作用下移动的。在分割图像 时充分利用了感兴趣区域的位置、大小、形状等先验知识和图像自身固有的信 息，并以能量泛函的形式来反映这种先验知识，从而保证曲线在演化过程中能 够保持连续性和平滑性。另外，活动轮廓模型提供了一种交互式操作机制，便 于将专家的专业知识引入图像分析中，从而可以显著提高算法的鲁棒性。 活动轮廓线模型又分为参数活动轮廓线模型( p a r a m e t r i ca c m ，p a c m ) 和几 何活动轮廓线模型( g e o m e t r i ca c m ，g a c m ) 。 活动轮廓线模型由k a s s h3 提出，通过最小化能量函数来拟合变形模型和图 像数据。从动力学角度来研究曲线的演化过程，在由先验模型和图像数据构成 的能量泛函的驱动下，轮廓线逐渐变形，直到轮廓线抵达分割区域的边界。该 模型具有良好的交互性和直观的物理意义，但其致命的缺点是难以处理变拓扑 结构。而图像的结构一般较为复杂，需要活动轮廓线具备拓扑自适应能力，以 适应分割多个不同子区域的需要，活动轮廓线模型很难满足这种需求。尽管近 年来出现了可以自动处理变拓扑结构的活动轮廓线模型陆3 ，但其处理的过程非 常复杂。对活动轮廓线模型的改进主要包括外力形式的设计侧、拓扑结构自 适应性b 1 等工作。但未能从根本上消除其难以处理变拓扑结构的缺陷。 几何活动轮廓线模型( c u r v ee v o l u t i o nm o d e l ，又称曲线演化模型) ，是 一种非参数化的活动轮廓模型，以水平集方法为基础，可以自动处理变拓扑结 构的变化，是由m a ll a d i 阳1 、c a s e l l e s n 们等提出的。水平集方法( l e v e ls e t m e t h o d ) 1 的提出极大地推动了图像分割技术的发展。该方法的基本原理是， 将运动界面作为零水平集嵌入到高一维的水平集函数中，由闭超曲面的演化方 程可以得到水平集函数的演化方程，而嵌入的闭超曲面总是其零水平集，最终 只要确定零水平集即可确定移动界面演化的结果n 引。几何活动轮廓模型的一大 特点就是易于处理变拓扑结构，而水平集方法则以一种紧凑的方式表达了几何 活动轮廓线演化，并且提供了稳定的数值算法。在此后近二十年的发展中，针 2 第一章绪论 对两相及多相图像分割，几何活动轮廓线模型先后应用于单水平集方法与多水 平集方法。为了提高分割的稳健性，众多学者相继提出了基于边界边缘的几 何活动轮廓模型、基于区域的几何活动轮廓模型、基于先验形状知识的几何 活动轮廓模型、纹理图像的分割模型、运动图像的分割模型及由这些模型集成 化的图像分割模型。 早期的几何活动轮廓模型主要是用于两相图像分割，然后相继出现了基于 边界、基于区域、基于边界与区域的分割模型。变分方法和水平集结合成为多 模型成分集成和计算的有效工具。融合边界、区域、先验形状等多种模型成分 的集成化几何活动轮廓模型能有效提高经典方法在处理初始化、弱边界、对象 遮挡等方面的准确性、稳定性和计算效率。 传统的单水平集函数可以描述两相图像，而多个相通常要由多个水平集函 数来描述。多相分割始于1 9 9 6 年z h a o n 3 1 等关于多相运动的研究，该方法为用 以个水平集函数划分以个区域，为避免水平集函数划分区域的重叠和漏分现象， 还要附加相应约束条件，同时，为了保持水平集函数在数值计算过程中的符号 距离函数的特性，还须不断对水平集函数进行重新初始化，计算量大。还有一 部分人使用z h a o 提出的多水平集函数方案，但s a m s o n n 钔使用分段图像分类， p a r a g i o s n 5 1 使用基于测地线活动区域模型，b r o x n 引使用基于最小化b a y e s 误 差。 v e s e - c h a n n 对他们先前提出的梯度无关活动轮廓模型进行了推广，提出 了用一个水平集函数划分2 ”个区域。a n g e l i n i n 引将v e s e - c h a n 方法应用在分段 常值图像分割上。l i e n 们设计了一个基于简化m s 模型的分段常值水平集函数 图像分割和二进制水平集模型，而为了避免重叠和漏分现象，这两种方法都需 要设定约束条件。而c h u n g ，v e s e 乜们采用连续的水平集函数，其不同的水平线 对应着图像分割的轮廓线。 从国内来说，目前对多相图像分割方法的研究还比较少。上海交通大学的 李俊心门在其博士论文中就c - v 方法进行了描述和改进。杨莉瞳引、郑罡阳3 3 分别 对多目标分割提出了改进算法。李纯明等提出的将水平集的约束函数加入到能 量泛函中，有效地提高了计算效率。 总之，在两相及二维图像分割领域，以水平集方法为框架的几何活动轮廓 模型在多模型信息融合方面产生了许多成果，其相应成果在诸如基于数字人体 解剖、多运动对象识别跟踪等方面具有重要的理论意义和应用价值。但关于多 青岛人学硕士学位论文 相图像分割及三维图像分割的研究则刚刚开始，还有大量亟待解决的问题，这 包括边界、区域、多先验形状、纹理图像特征等多模型成分融合，多个水平集 函数的设计，区域划分方法，分割区域数量的自动确定，三维物体的分割，通 用简洁高效水平集函数的设计，全局最优解的确定，多运动对象的跟踪等。 1 3 论文的主要工作与章节安排 针对图像分割的特点和实际工作的需要，本文根据a b d o l - r e z am a n s o u r i 等提出的区域竞争方法以及p a r a g i o s n 5 1 提出的测地主动区域模型的基础上建 立了多相图像的分割模型，对与之相关的各种问题进行了研究和讨论，并在二 维图像分割的基础上拓展到三维的图像分割。 本文主要研究以下几个方面：概述了水平集方法的基本原理及其应用；介 绍了m u m f o r d - s h a h 模型的基本理论及其在医学图像分割方面的应用；在充分 研究和实现a b d o l - r e z am a n s o u r i 多相水平集方法的基础上，针对噪声符合不 同概率分布模型( 诸如m r i 图像符合g a u s s 分布，u l t r a s o u n d 图像符合 r a y l e i g h 分布) 的多相图像分割提出了新的区域竞争策略，建立了统一的区域 表达公式，由分段常值图像延伸到分段光滑图像的分割上，并把二维的图像分 割拓展到由图像序列建立起来的三维图像分割，最后通过实验证明了该区域分 布模型与多相图像分割模型的有效性。 本文的章节安排如下： 第一章概述了本课题的研究背景及其意义、基于图像分割方法的研究现 状，并介绍本论文的主要研究内容和创新之处。 第二章主要介绍了曲线演化理论和水平集方法的基本原理，探讨了其中两 个比较有代表性的数值方法：窄带法和快速行进法。 第三章首先介绍了m u m f o r d - s h a h 模型的基本原理，以及a b d o l - r e z a m a n s o u r i 在简化m u m f o r d - s h a h 模型的基础上建立的多相图像分割横型。然后 介绍在a b d o l r e z am a n s o u r i 区域划分的基础上，建立了统一的区域表达模型， 以及根据不同的区域分布建立统一的多相图像分割的能量模型。 第四章介绍了改进的分段光滑的多相图像分割，该方法结合了t v 方法图 像t v 流去噪保持边界的优点，在分割后灰度图的重建过程中更好的保持了图 像中物体的边界。 第五章在二维图像分割的基础上，把水平集方法拓展到三维，并应用到三 4 第一章绪论 维的多相图像分割上，特别在医学图像的多相分割上，对于提取各个不同组织 器官提供了有效的方法。 第六章总结了本论文的主要工作，并展望了下一步研究重点以及多相图像 分割算法的发展趋势。 青岛大学硕士学位论文 第二章曲线演化理论与水平集方法 曲线演化理论与水平集方法是紧密相连的。本章节首先介绍曲线演化的基 本理论，然后研究了水平集方法及其在图像分割中的应用。 2 1 曲线演化理论 曲线演化问题在数学研究领域中可以描述为：在二维欧氏空间r 2 中的一 条闭合曲线c 沿着其法线方向元以速度y 运动，结果形成以时间为变量的曲线 族c ( f ) 。描述曲线几何特征的重要参数既是曲线的单位法矢和曲率。所谓曲线 的演化实质上描述的是曲线参数的变化，在具体求解中以偏微分方程的形式来 表达，其表达方式包括显式和隐式两种表达方式心 显式表达方式是用曲线的参数变化来描述曲线的演化过程。在这里，曲线 的参数包括位置、弧长、几何形状等。不同的曲线参数对应着不同形式的偏微 分方程，比较常见的是用弧长s ( 如式2 一( 1 ) ) 和曲率k ( 如式2 一( 2 ) ) 描述的偏微 分方程比。 r， 轳f l y 。x s x 。y 咒= 一f i 型立哗 ( # + z ) 2 i a c ：矿( k ) 霄 m 、7 2 一( 1 ) 2 一( 2 ) 式中：霄为演化曲线的单位法向矢量，y ( k ) 为曲线演化的速度函数，f 为曲 线演化的时间。如图2 1 所示，箭头表示演化曲线的单位法向矢量贾，演化曲 线c ( f ) 上的各点沿着单位法向矢量演化。通过重新参数化后，演化曲线沿任 意方向的运动都可以用式2 一( 2 ) 表示出来。 6 第二章曲线演化理论与水平集方法 图2 1 曲线演化示意图 隐式表达方式通过隐式函数来描述曲线或者曲面的演化过程，不直接使用 参数来描述演化曲线。其描述演化曲线的方程具有如下形式： c = 沁y ) f 矽( 五j ，) = o 在式2 一( 3 ) 中，函数决定了在隐式表达方式下对演化曲线本身及演化过 程描述的复杂度。所谓的对于曲线演化过程的描述就是指在运动状态下始终保 持式2 一( 4 ) 的形式不变： 2 2 水平集方法 鬣c ( x , y y ：裂裂掣 2 叱， 【，t ) = b y ) i ( w ，r ) = 0 ) o s h e r ，s e t h i a n 儿2 5 3 最先提出了水平集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) ，用来 解决基于热力学方程下的火苗外形变化过程。水平集的思想中最重要的就是 h a m il t o n j a c o b i 方程，这是为了运动的隐式曲面基于时间的方程的数值求 解。该方法的基本原理是，将运动界面作为零水平集嵌入到高一维的水平集函 数中，通过一个更高维的函数来表达低维的曲线或曲面的演化过程。既将演化 的曲线或曲面表达为高一维空间当中的函数，只要确定零水平集位置，即可确 定运动界面演化的结果h 羽。目前，水平集方法已经成为研究闭合界面演化的一 种强有力的分析工具。 在二维的水平集方法中，演化曲线被隐式地表达为一个更高维函数，该高 7 青岛人学硕士学位论文 维函数称为水平集函数( l e v e ls e tf u n c t i o n ) ，其定义域为图像空间。这里的 水平集实际上就是由水平集函数值相等的点组成的集合，不断更新水平集函 数，就能得到隐含在水平集函数中的零水平集( 闭合曲线) 位置的目的，最终 只要确定零水平集( 舻= 0 ) 的集合) 即可确定运动界面演化的结果。从而，随 时间变化的水平集函数可以刻画其低一维空间中曲线或曲面( 零水平集) 的变 化。所以，即使闭合曲线的拓扑结构发生了变化( 如合并或分裂) ，水平集函数 仍能保持为一个有效的函数。 图2 2 以二维曲线演化为例( 同样适用于更高维) 形象地描绘出水平集函 数表达闭合曲线的实质，就是把n 维空间的问题拓展到n + l 维空间来求解。设 c ( f ) = c ( x , y ，t ) 表示在t 时n - 维闭合曲线( 零水平集位置) ，在引入水平集函 数( x ，y ) 后，c ( f ) 被隐式表示为三维空间上一簇具有相同函数值的曲线。 a d ， 工 ( a ) 二维零水平集( b ) 三维空间的水平集 图1 2 二维与三维空间中的水平集 在平面矽上定义函数在x ( x ，y ) 处的函数值为图像上的点x ( x ，y ) 到初始曲线 c ( o ) 的符号距离： ( z ，t = 0 ) = d 2 一( 5 ) 其中d 为点x 到初始曲线c ( o ) 的最短距离。若点x 在初始曲线c ( o ) 内部，则 矽( x ，f = o ) 0 ；若点x 在初始曲线c ( 0 ) 外部，则( j ，= o ) 0 ，互( c ) 0 f ( c ) 0 f , ( c 3 o ，e ( c ) 0 f ( c ) 0 互( c ) 0 ，互( c ) 0 ，( c ) 0 图3 1 简化的m - s 分割模型( c - v 模型) 示意图 e ( c ) o ，只( c ) 0 f ( c ) 0 式3 一( 3 ) 再加上长度与面积规整项，即可得到c v 方法。剐的能量泛函： f ( u l , u z , c ) = 丑j ：删c ，少) 一“。1 2 蛐+ 如d u t s i d e ( c ) i “( w ) 一“：1 2 蚴3 一( 4 ) - t - v l e n g t h ( c ) + a r e a ( c ) 式3 一( 4 ) 即为c v 方法中的简化的m u m f o r d s h a h 模型，其中参数 v ，o ， ，五 0 ，一般取= o ， = 如= 1 ，v 为可调分割尺度。 最小化式3 一( 4 ) 所表示的能量泛函，即可得到参数u 1u ：，即： 一i n ff ( c ，u l ，“2 ) l c i c 3 一( 5 ) 由于此模型综合利用了图像的全局信息，因此通过最优化能量泛函得到的 是全局最优的图像分割结果。 3 。3 基于简化m u m f o r d s h a h 模型的两相图像分割模型 c h a n v e s e 。蚓。竹1 在c v 方法中设计的速度函数是基于图像区域的，与图像 青岛大学硕士学位论文 梯度无关，可以同时适用于梯度有意义和无意义的目标检测。另外，由于该方 法的速度函数定义在所有水平集上，因此可以自动地检测出目标的内部空洞区 域。 图3 2 水平集函数的定义 如图3 2 所示，q 为图像区域，厂( f ) 为演化曲线，水平集函数通常定义为 如下形式： f ( f ，而y ) 0 i f ( x ，y ) i si n s i d eo f f ( t ) ( f ，工，y ) = 0i f ( x , y ) i so n f ( t ) 3 一( 6 ) lo ( t ，五少) s f z o ( 即内部区域不为o ) 时“。有意义，为轮廓线内象 素点的平均灰度值；当l ( 1 一日( 痧( x ，y ) ) ) d x d y o ( 即外部区域不为o ) 时l 2 有意 义，为轮廓线外象素点的平均灰度值。 令u 。和u ：保持不变，少为能量泛函3 一( 1 9 ) 的变量，可得如下偏微分方程： 第三章基于水平集方法的分段常值图像分割 皆一嚣训纠仍尚吵枇川叫) 2 + 枇炉】3 _ ( 2 0 ) l 痧( o ，z ，j ，) = 唣( 五y ) 从方程3 一( 1 9 ) 可以看出，图像函数u ( x ，y ) 以及“。，屹都定义在图像的全局 区域上，参数估计利用的是图像的全局信息，因此图像分割计算的都是全局信 息。 3 4 多水平集函数的区域竞争策略 图3 4 用三个水平集函数划分四个区域 一个水平集函数可以将区域唯一地划分为两个部分，一部分对应 日( 函) = 1 ，另一部分对应日( 痧) = 0 。但对于由多个水平集函数划分多个区域的 情况则比较复杂，当水平集函数出现冗余时，需要增加必要的约束条件。 c h a n - v e s e 提出了用刀个水平集函数划分2 “个区域的区域竞争策略，用最少的 水平集个数来划分更多的区域，同时避免了重叠和漏分现象。但该方法也有其 不利因素，对分割区域的表达比较复杂，对多目标的分割的水平集个数不容易 确定。h b d o l r e z am a n s o u r i 提出一种新的区域划分方法，采用几何的方式用 1 7 个水平集来划分刀+ 1 个区域，如图3 4 所示，用三个水平集函数划分四个区 域：石= 羁，石= 鬲n 马，石- - 一& n 夏n 忍，厄= 鬲n 石n 焉。依据此种划分方法，我们用 水平集函数归纳出用该种策略划分刀+ 1 个区域的通用区域表达。可定义一个水 平集函数，每个水平集函数表达一个区域，第刀+ 1 个区域可以看成背景。为避 免造成重叠和漏分，对每个区域，定义如下特征函数： 2 l 青岛人学硕士学位论文 从而有 石= 【l 一日( 嚷) 】h ( 嘎) ，日( 嚷) 量。 筋= 【1 一日( 或) 】【l 一日( 哆) 】日( 哆) 石：兀i - ! 1 一日( 哆) p ( 哆) j - - o 厄+ ，= 血 1 一日( 哆) 日( 嚷+ 。) ，日( 嚷+ 。) 兰i j = o 石= 1 0i f ( 五y ) 正r i m ( 哆) p ( 嘭) 扛f a 嘭 i 一兀i 1 一日( 哆) p ( 哆) 艿( 嘭) ，f = 鬈，( 函) 万( 嘭) l 兀 1 一h ( 哆) ( 函) = ，脚 l n 1 一日( 哆) p ( 哆) 3 一( 2 1 ) 3 一( 2 2 ) 3 一( 2 3 ) 3 一( 2 4 ) 要确保每个像素点仅落在唯一的一个区域上，上述特征函数必须满足 芝石：l 。以下简要证明上述方案满足该条件 第三章基于水平集方法的分段常值图像分割 石= 【1 一日( 嚷) 】日( 哆) + 【l 一日( 嚷) 】【l 一日( 嘭) 】日( 哆) + f # l + 兀w l - - i 1 一日( 哆) p ( 嚷) + 兀 1 一日( 哆) p ( 哦+ ，) - 1 一日( 嚷) 】何( 哆) + 【1 一日( 嚷) 】【l 一日( 嘭) 】日( 哆) + + 兀u - - | 1 一日( 哆) 日( 哦) + i - l , 一日( 哆) 【1 一日( 吃) 】 = 【l 日( 嚷) 】厅( 鸱) + 【1 一日( 或) 】【1 一日( 呜) 】h ( 哆) + 3 一( 2 5 ) + 兀 1 - h ( o i ) j = o = = 【1 一日( 嚷) 】日( 嘭) + 【1 一日( 哦) 】【1 一日( 呜) 】 = 【1 一日( 嚷) 】- 1 该区域表达的统一模型可以避免区域划分的重叠和漏分现象。 3 5 图像分割能量模型的通用表达 3 5 1 测地主动区域模型 p a r a g i o s 陋3 1 提出的图像分割的测地主动区域模型( g e o d e s i ca c t i v e r e g i o n s ) 包括经典的测地轮廓线模型( g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u r s ) 和基于 概率分布的区域模型两部分，后者基于最大后验概率p ( r l u ) 估计图像区域模型 参数。基于b a y e s 公式，该后验概率可表达为 p ( fi “) ：i p ( u if ) p ( 厂) 3 一( 2 6 ) p 【“j 在图像中最大后验概率估计的含义是计算给定图像的情况下估计其最大 分割厂。对于给定的图像“，p ( “) 是常值，从而可将对应极值问题转化为 p ( r i “) = p ( u i 厂) p ( 厂) 并可进一步将其转化为如下极小值问题 3 一( 2 7 ) 青岛大学硕士学位论文 一l o g p ( flu ) = 一l o g p ( uif ) - l o g p ( f ) 3 一( 2 8 ) 其右端第一部分表示在给定分割情况下的图像像素点的概率分布，第二项可看 作分割线或面的拓扑面积， 如p ( 厂) = 唧( 吖么m ( 厂) ) 或 p ( f ) = e x p ( - r w a r e a ( f ) ) 假设被分割的图像区域不相关，则p ( “l 厂) 可表达为： p ( u i 厂) = 兀p , ( u l c ) i = l 3 一( 2 9 ) 其中，p g ui 厂j ) 为q 中像素点的概率分布。当假设各个区域中的像素相互独立 时，该分布可写为 从而3 一( 2 9 ) 可写为 p ( ui f ) = 兀只( “( s ) ) j 哦 p ( ul - ) = n 兀b ( “( s ) ) i = lj e q 3 一( 3 0 ) 3 一( 3 1 ) 这样，上述最大后验概率估计问题即可转化为基于下列泛函的最小参数估计问 题 其中， 雷( 厂= 喜l 口，q r d x d y + 喜以g i f i 3 一( 3 2 ) q = 一l o g p i ，i = l ，2 ，m 3 一( 3 3 ) 对于参数化的图像区域模型，q = q ( ”，q ) ，其中，幺为第j 个区域模型的参 数。 第三章基于水平集方法的分段常值图像分割 3 5 2 曲线演化方程 为表达方便，以下将用口= 呜，哆，哦 表示水平集函数的集合， z - - x , ，筋，厄+ 。) 表示特征函数的集合，a - e , ，岛幺) 表示要估计的参数 集合，谚= 谚。，包：，艮) 表示第j 个区域的参数集合，q = q ( “f ，x 曰) 表示第j 个区域的图像模型。本文定义图像多相分割变分水平集方法的能量泛函如下 其中， e ( “，0 ，痧) = ( “，0 ，多) + e ( 痧) + 岛( “，驴) + 艮( 痧) 3 一( 3 4 ) 为基于区域的模型， 为面积最小约束项， 为基于边缘的模型， b ( “，只少) = 善n + l 呸l q f 石栅 e ( 痧) ：n + l 屈，石积 f = l 1 2 3 一( 3 5 ) 3 一( 3 6 ) 乜( “，痧) ：n + l 乃，g ( “) l v z ：l a x 3 一( 3 7 ) i = l 口 最( 函) = 譬莩l ( 嗍- 1 ) 2 心 3 一( 3 8 ) 为使水平集函数保持为符号距离函数的约束项，在此模型中，我们统- - j n 入符 号距离函数的约束项，这样在迭代的过程中无需再单独将水平集重新初始化为 符号距离函数，从而加快了曲线演化的速度。 由变分方法，可得到能量泛函取极小值的水平集函数的演化方程 青岛大学硕士学位论文 警叫嘭， 耖( g 晶一痧， 一：n 萎+ lq q 影“痧) 一莩屈影，( 少) ) 堆卜v 锅， 加 3 9 ， 鼽焉针加一南，等= 。 嘭( o ，x ) = 嘭o ( x ) o n8 q 伽q 为简化计算，参照 1 7 ，3 8 的分析，本文将体积最小约束及基于边缘的部 分简化为 e ( 函) = 窆屈，日( 哆) 拐 i = i 口 4 ( “，多) = 窆以，g ( ”) 万( 哆) i v 哆l 批 i - i 口 得到相应的曲面演化方程为 3 一( 4 0 ) 3 一( 4 1 ) 盟o t 川嘭，g 高) - ；| ；哟蹦卟0 廿蹦剐 i n ( o , o o ) x 3 娟2 ， 帮州一南， 等= 。一 嘭( o ，x ) = 嘭。( x ) 3 5 3 基于区域的参数估计模型 伽q 当图像的区域模型为参数模型时，水平集函数的演化和区域模型的参数估 第三章基于水平集方法的分段常值图像分割 计构成一个交替迭代的过程。 当图像噪声符合g a u s s 分布时， 有 有 q 乩压他q + 等虬q + 等 铲学佛管 当图像噪声符合r a y l e i g h 分布时， 只= 兰p 2 彳 o ： q = 2 l i l 呸乩“+ 珥u 2 砰= 糌 3 6 演化方程的半隐式差分迭代格式 为算法表达方便，3 一( 4 2 ) 式的第一个方程可写为如下的形式 3 一( 4 3 ) 3 一( 4 4 ) 3 一( 4 5 ) 3 一( 4 6 ) 3 一( 4 7 ) 3 一( 4 8 ) 釉巾( g 甜q h 剐 3 嘲9 ， 当取万( 卿= i v 驴l 时，3 一( 4 9 ) 式即为如下水平集方程 2 7 等 壶 青岛大学硕士学位论文 詈= 册+ q i v 痧l + 砂删 3 一( 5 0 ) 其恬v 隅卜率。 针对3 一( 4 9 ) 式，采用c h a n - v e s e n 提出的半隐式差分格式。设h 为空间步 长，出为时间步长，“，y j ) = ( i h ，j h ) ，1 f ，j = o ) = i nh ( o ) d x d y d z 5 一( 1 0 ) 式对应的测地面积 5 一( 9 ) 5 一( 1 0 ) 黝m ( 多= 0 ) = l g 万( 咖) l v 咖i 函舭 5 一( 11 ) 该模型的区域竞争方式仍然采用章节3 4 中提到的区域竞争策略。 5 2 多相水平集函数的能量模型 三维图像分割的能量模型与二维图像分割的能量模型相似，不同点在于积 分区域是体，而不再是面积积分，其能量模型为如下形式 e ( “，9 ，p ) = 乏q l q 石撕+ 善层- f 石蚴 + 喜以弘) l v x , l d x d y d z + 等喜舯帅2 批5 1 2 扫： ”1 口 一() 由变分方法，得到能量泛函取极小值的水平集函数的演化方程与3 一( 4 2 ) 式相同，在此我们同样加入了符号距离函数的约束项，这样可以加快曲面演化 的速度，而无需重新初始化符号距离函数。 5 一( 1 2 ) 式的曲面演化方程为 4 3 青岛人学硕士学位论文 詈叫嘭，m g 尚垮僦斛以 堆卜v c 剐 i n ( 0 , o o ) x o 而y l g s ( 函1 ) 州一剐等= 。 伽加 嘭( o ，x ，y ，z ) = 嚷( x ，y ，z ) 切口 5 一( 1 3 ) 同样，其区域模型的参数估计也可采用二维图像分割的参数估计形式，当 序列图像符合不同的区域分布时采用不同的区域分布模型，其分割效果与二维 的图像分割具有相同的效果，但分界面不再是曲线而是曲面，分割的结果不再 是闭合的曲线，而是闭合的曲面，由此性质，三维的图像分割可以用来进行三 维重建，其三维分割过程也是三维重建过程。 5 3 演化方程的半隐式差分迭代格式 为简化表达，可将5 一( 1 2 ) 式整理成与3 一( 4 9 ) 式相同的表达形式 - 抑i f = 咿，甜q m 一叫剐 5 川4 ， 参照c h a n 和v e s e “刀构造5 一( 1 4 ) 式的半隐式差分格式。设力为空间步长， a t 为时间步长， 则在三维图像空间中点的( f ，j f ，k ) 离散坐标为 ( ，乃，z k ) = ( i h ，j h ，砌) ，o f ，j f ，k - m ，在迭代过程中，水平集函数在点“，y j ，气) 第1 7 步的近似值为瞬3