（基础数学专业论文）复正定矩阵的bergstrom型不等式.pdf

中文摘要 摘要：1 9 7 3 年，j o h n s o n 在其博士论文中研究了方阵爿的么+ 么是正定阵时 的某些不等式，在此后的研究中称a + a 是正定阵的这类实方阵a 为亚正定阵，它 的作用不仅在理论上而且在应用上( 如投入产出的矩阵理论、现代经济管理等) 日益显示出来，研究它很有必要。 对于亚正定矩阵，屠伯埙做了详细的研究，给出了不少行列式估计的不等式， 其中给出了一个亚正定矩阵与一个j 下定矩阵的和以及一个亚正定矩阵与k 一局部完 全对称矩阵的和的b e r g s t r o m 型不等式。 对于复正定矩阵，梁景伟、李俊杰等对其基本性质、特征值、标准形式进行 了较为详细的讨论，并得到一些复正定矩阵与其h e r m i t e 分量和反h e r m i t e 分量的 行列式问的若干不等式。 本文在已有复正定矩阵的理论基础上，主要研究了与复正定矩阵s c h u r 补相关 的b e r g s t r o m 型不等式，得到了两个主要定理( 1 ) 复正定矩阵与正定h e r m i t e 矩 阵的s c h u r 补与其各自的s c h u r 补的和的行列式不等式；( 2 ) 两个复正定矩阵的和 的s c h u r 补与它们各自s c h u r 补的行列式不等式，以及几个推论。 本文得到的主要结论有： 定理8a c “，z 2 ，a 是复正定矩阵，且口cn ，则 ( a + a + ) 肛a o t + a o g 定理9 设彳，b c 职”a 、b 均为复正定矩阵，口cn ，s 1 i , z i ，则 i d e t ( a + b ) 1 5 d e t ( a + b ) ( 0 0 1 3 - - - i d e t n ( a ) i d e t 日( 彳( 训 + l d e t n ( w ) 1 5 l d e t 日( 召( 口) ) 推论4 在定理9 的条件下，有 i d e t ( d 彳+ 缈b ) i i d e t ( d 彳+ 彩召) ( 口) i l d i 俨hi d e t 日( 彳) l i d e t 月( 彳( 口) ) l + w 巾li d e t n ( , ) l i d e t h ( 占( a ) ) i 推论5 在定理9 的条件下，有 l d e t ( a + b ) d e t h ( a ) il + l d e t 日( b ( 口) ) l i d e t 日( 彳( 口) ) 口 + l d e t h ( b ) i il + l d e t 日( 么( 口) ) i l d e t 日( b ( 口) ) 口 推论6 定理设彳= 陵缈肚噔纠皆为，z + 以阶h e e l i t e 蹴其中 4 l 和骂。为m 阶方正，若a o ，b o ，4 i 0 ，局。 o ，s 1 h 则 i 彳+ 曰| 4 ：1 5 - i h ( a ) 1 5 i h ( 4 ：) f + i h ( b ) 1 5 | 日( 垦：) f 定理1 0 设彳，b c “”，以2 ，彳是正定复矩阵，b 0 , , 贝l j ac - n , - r i 口i = m ，则以 下不等式成立 l d e te ( a + b ) ( 彳+ 曰) 。 1 2 7 ” l d e t ( a a 。) i 纠”+ l d e t ( b b 。) 1 2 7 所 推论7 设a ，b c n x n ，以2 ，a 是正定复矩阵，b o ，则对v a 2 历，有 l d e t ( 么+ 曰) ( 么+ 曰) 口 1 4 i d e t ( a a 。) 1 4 + i d e t ( b b 口) r 推论8 设彳，b c n x f i ，”2 ，彳是正定复矩阵，b 0 ，则有 i d e t ( 彳+ b ) ( a + 曰) 口 l v “ 2 1l a e t ( a a 。l j n + l a e t ( b b 。) l v n 关键词：复正定矩阵；正定h e r m i t e 矩阵；s c h u r 补；行列式不等式 分类号：0 1 5 1 2 1 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i n19 7 3 ，t h en o t i o no fu n n e c e s s a r ys y m m e t r i ep o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i xw a sf i r s tg i v e nb yc r j o h n s o ni np a p e r , a n ds o m ei n e q u a l i t i e sf o ri tw e r e o b t a i n e di np a p e r ；i t sn o to n l yu s e f u l i nt h e o r i e sb u ta l s oi na p p l i c a t i o n s ( s u c h 嬲 i n p u t o u t p u tm a t r i c xt h e o r y , m o r d e ne c o n o m i cm a n a g e m e n t ，e t c ) s o ，i t sn e c e s s a r yt o r e s e a r c hi t i nl9 9 0 ，t h en o t i o no fm e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xw a sg i v e nb yp r o f e s s o r t u b o x u n ( 彳+ a i ss y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ) ，a n dc o m p a r a t i v e l ys y s t e m a t i c t h e o r i e sf o ri tw e r ee s t a b l i s h e di np a p e r s ，i nw i t c h ，h eg a v es o m eb e r g s t r o mt y p e i n e q u a l i t i e sf o rm e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xa n dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x f o rc o m p l e xp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s ，l i a n gj i n g w e ia n dl ij u n j i eg a v eam o r e d i s c u s s i o nf o rt h ep r o p r i e t y , e i g e n v a l u ea n dn o r m a lf o r m ，a n dt h e ym a d ear e s e a c ho f t h ei n e q u a l i t i e so fc o m p l e xp o s i t i v em a t r i x ，i t sd e f i n i eh e r m i t e i a na n di t sd e f i n i t i n v e r s eh e m i t e i a n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ei n e q u a l i t i e sa b o u tt h ec o m p l e xd e f i n i tm a t r i xa n di t ss c h u r c o m p l i m e n t ，s u c ha s ，i n q u a l i t yb e t w e e nt h es c h u rc o m p l e m e n to ft h es u mo fp o s i t i v e d e f i n i t eh e r m i t e i a nm a t r i xa n dt h es u mo ft h es c h u rc o m p l e m e n t so fp o s i t i v ed e i n i e h e r m i t e i a n t h em a i nc o n c l u s i o n so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r e 嬲f o l l o w ： t h e r e m8 l e t a c q x b ，靠2 ，a p 。，a n d ，口c ，t h e n i a + a 1 仅sa o c + a ? 仅 t h e r e r n9l e ta ，b c 雕”，a 、ba r ec o m p l e xd e f i n i t em a t r i x ，口cn ，s 1 i 口i ， t h e nt h ei n q u a l i t y l d e t ( a + b ) 1 5 | d e t ( 彳+ 召) ) f - i d e t h ( a ) 1 5 i d e t h ( a ( 口) ) 1 5 + l d e t n ( b ) 1 5 l d e t 日( 曰( 口) ) h o l d s p r o p o s i t i o n4 i nt h ec o n d i t i o no ft h et h e r e m9 , t h e r ea r ei n q u a l i t y i d e t ( v a + c o b ) l i d e t ( o a + c o b ) ( c c ) l - i d l 冲i i d e t h ( a ) l l d e t h ( a ( 口) ) l + 川 - 1 8 1i d e t h ( b ) l i d e t h ( b ( a ) ) i h o l d s p r o p o s i t i o n5 i nt h ec o n d i t i o no ft h et h e r e m9 , t h e r ea r ei n q u a l i t y i d e t ( a + b ) l d e t h ( a ) 1 1 + l d e t h ( b ( 口) ) l l d e t 日( 么( 口) ) 口 + i d e t h ( b ) l l l + l d e t h ( 么( 训i i d e t 日( 曰( 叫口 h o l d s p r o p o s i t i o n6 s e 彳= 匕缈拈。色b n 他b 1 2 ) w i t ho r d e ro fm + 刀，w h e r e4 la n d & i a r es q u a r em a t r i c e sw i t h a o ，b o ，a i i o ，骂l o ，s 1 t 口l t h e n t h ei n q u a l i t y v b et h eh e r m i t em a t i c e s o r d e ro f m ，i f l 彳+ 曰l 如f - i - ( a ) l l - ( 4 ：) r + i 何( b ) i ( 垦：) f h o l d s t h e r e r n1 0l e ta ，b c 脚，拧2 ，ai sa c o m p e xp o s i t i v em a t r i x ，a n db 0 ， 口cn ，p i = m ，t h e nt h ei n q u a l i t y l d e t ( a + b ) ( a + 召) 。矿 i d e t ( a a 口) l 珈+ l d e t ( b b 。) 1 2 加 h o l d s p r o p o s i t i o n 7 l e t a ，b ”，刀2 ，ai sac o m p e xp o s i t i v em a t r i x ，a n d b 0 ，f o rv 口2 朋，t h ei n q u a l i t y i d e t ( a + b ) ( a + b ) 。 l 口 i d e t ( a a 。) l 口+ l d e t ( b b 口) i 口 h o l d s p r o p o s i t i o n8 l e ta ，b ”，n 2 ，ai sac o m p e xp o s i t i v em a t r i x ，a n db 0 ， t h ei n q u a l i t y l d e t ( a + b ) ( a + b ) 口 | v “ 2 。1i d e t ( a a 口) 1 1 加+ i d e t ( b b 口) i v ” h o l d s k e y w o r d s c o m p l e xp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s ；d e f i n i eh e r m i t em a t r i c e s ；s h u t c o m p l e m e n t ；i n q u a l t i t yo fd e t e r m i n a n t c l a s s n o ：0 15 1 2 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：多衫旋次签字日期：别目移年2 月g 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：鸟苁欢 签字日期：钏万年i 3 月7g 日 日侣哥堋 眵心 年 力噌 - 孙 一 签 期 师 日 导 字 签 致谢 本论文的工作是在我的导师李思泽教授的悉心指导下完成的，李思泽教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年多 来李思泽老师对我的关心和指导。 李思泽教授悉心指导我们完成了本专业的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向李思泽老师表示衷心的谢意。 李思泽教授、江中豪教授和吴发恩教授对于我的科研工作和论文都提出了许 多的宝贵意见，在此表示衷心的感谢。 在撰写论文期间，王艳凤、段春蕾等同学对我论文的研究工作给予了热情帮 助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 1 引言 本文在复正定矩阵基本理论的基础上，研究了复正定矩阵的不等式，主要工作 是研究两个复正定矩阵的s c h u r 补和其各自s c h u r 补的行列式不等式，以及复正定 矩阵的h c r m i t e 分量的s c h u r 补的b e r g s t r o m 型不等式。 作为数学的一个重要分支，矩阵理论作为一个基本工具在数学的许多领域如 基础数学，概率统计，应用数学上都有很大应用。 矩阵的出现可以追溯到1 8 世纪，见于著作是1 9 世纪。1 8 5 5 年凯勒研究线性 变换不变量时，系统地提出了矩阵的概念及运算法则。随后在生产和应用中，发 展成一门科学理论矩阵论。 矩阵论的出现，极大地促进了代数及其他学科的发展。作为数学的一门重要 分支，矩阵理论不仅是学习其它经典数学的基础，更作为一门理论有丰富的内容。 我们知道，在实数理论中，存在许多不等式，如著名的h o l d 公式和m i n k o w s k i 公式。矩阵j 下定性的研究以及对矩阵不等式的研究是令人感兴趣的问题，这方面 有许多重要结果【1 3 1 。在历史上，正定矩阵最先出现在二次型与h e r m i t e 型的研究 中，它的常规定义只限于是对称矩阵或h e r m i t e 矩阵使用，在几何学、物理学以及 概率论、统计学等学科中得到了重要应用。随着数学的发展及相关学科的发展， 实对称阵与正定( 实对称) 阵的多方面应用促使人们将非对称阵加以”对称化”，以解 决与原矩阵相关的问题。1 9 3 6 年，k o j i m o t o p o b 用正定阵乘以原矩阵，使其乘积 对称，从而解决了概率论中的一些问题。其实这种方法早已为s t e n z e l 所采用 3 】， 他更一般地以非( 奇) 异实对称阵乘原矩阵，使之成为对称阵。这种“乘积对称 化的方法，在2 0 世纪五十年代到七十年代间，曾为不少作者作为解决某些问题 的“流行”方法 4 】。这种方法且已在建筑力学中找到它的应用。与之对照，“加法 对称化”，即将原方阵与其转置阵相加，使之成为对称阵，以研究与原矩阵相关的 各种问题。主要著作有屠伯埙的 5 】 6 】。 对于非对称实矩阵即亚正定矩阵，屠伯埙做了详细的研究 5 】【6 】，并给出了不少 行列式估计的的不等式，其中有讨论到一个亚正定矩阵与一个正定矩阵的和以及 一个亚正定矩阵与k 局不完全矩阵的和的b c r g s t r o m 型不等式。文【7 】【8 】 9 】对 6 】的 结果做了进一步推广。 对于非h e r m i t e 矩阵的复矩阵即复正定矩阵，梁景伟、李俊杰等对其基本性质、 特征值、标准形式进行了较为详细的讨论，并得到一些复正定矩阵与其h e r m i t c 分 量和反h e r m i t e 分量的行列式间的若干不等式 1 0 ，1 l 】。随着研究的深入，人们不断 提出新研究课题，如矩阵s c h u r 补( 将方阵a 分块为当4 。可逆时，称方阵 a 2 ，。= 4 ，一4 。么0 a ，为4 。在a 中的s c h u r 补矩阵，简称s c h u r 补，也常记为 鸽，= ( a a 1 。) 。对于正定h e r m i t e 矩阵s c h u r 补的行列式性质，于江明，谢清明在 文献 1 2 】中由以下结果 定理l - 3 设么，b 是n 阶正定厄米特矩阵，4 ，e 分别是其非奇异主子阵，那么 l ( 么+ b ) ( a l i + 蜀1 ) i i a 4 l i + i b b , l i 本文的一个目的是，在已有复正定矩阵的基础理论上，通过证明了复正定矩阵的 一个偏序不等式，推广了 1 2 中的上述定理，研究了复j 下定矩阵和的s c h u r 补与其 各自s c h u r 补的和的行列式不等式，以及复正定矩阵和的s c h u r 补与其各自h e r m i t e 分量的s c h u r 补之间的b e r g s t r o m 型不等式和几个推论。 到目前为止，数学工作者对亚正定矩阵和复正定矩阵的了研究取得了丰富的 成果，基本上已经形成理论体系，我们称之为亚正定矩阵理论和复正定矩阵理论， 这些理论的产生无疑对矩阵论的发展乃至相关学科的发展都是大有裨益的。 2 2 复正定矩阵理论的基本结果 研究矩阵的正定性，无论对于理论还是应用都有重要价值。对于h e r m i t e 矩阵 的正定性的研讨，已经取得了很丰富的成果，并应用到许多方面 1 3 1 ，对于一般复 矩阵的研究工作在我的9 0 年代慢慢展开。1 9 8 5 年，h o r n ，r a 和j o h n s o n ，c r 在他们合著的( ( m a t r i xa n a l y s i s ) ) 【1 3 1 的“正定矩阵 一章中，对于正定度矩阵给 出了如下定义：a c ，若对任意的0 x c 雕1 ，都有r e ( x a x ) 0 f x = 尹l ，则彳 称作复j 下定矩阵。但是对如上定义的复j 下定矩阵没有作进一步的论证与研究。文 【1 0 ，1 1 】建立了复正定矩阵理论，本文在此基础上研究了复正定矩阵的行列式理论， 得到一些新结果。 2 1 预备知识 在以下讨论中的矩阵均指复矩阵，记，l 阶复矩阵a 的特征值为五( 彳) ；a 的全 体特征值的集合为仃( 彳) ，彳表示彳的共轭转置( 彳= 矛) ，h 表示彳的行列式， 而恻i 表示彳的行列式的模；a 0 表示么是正定h e r m i t e 矩阵；a 耳表示彳为复 正定矩阵；c 舭“表示全体m x n 阶复矩阵的集合。 设n = 1 ，2 ，3 ，刀 ，口c n ，c ；口，为非空指标集，用彳( 口，) 表示a 的去掉 口所在行和所在列的子阵，川表示口的基数，彳( 口，口) 简记为彳( 口) 。 定义1 1 1 3 j设a c n x h ，若对任意0 x c 蒯，皆存 r e ( x 厶) 0 ，( 1 ) 则称彳为复正定矩阵，记作a f 。 记彳= 日+ s ，日= ( 么+ + 彳) 2 ，s = a - a ) 2 ，称日为a 的h e r m i t e 分量，称s 为 彳的反h e r r n i t e 分量。 定义2 设a c x ”，口c n ，口= n 一口，称 彳( 口) = 口= 彳( 口7 ) 一彳( 口7 ，口) 彳( 口) 1 么( 口，口7 )( 2 ) 为么关于么( 口) 的s c h u r 补，且彳( 口) = 口的阶是川，其中，彳( 口) 非奇异( 注： 在a o r 中，本文中若没有特别说明，都假定口非空，且么( 口) 非奇异，不再一一说 明) 。 2 2 复正定矩阵理论的基本理论 在文 1 0 】【1 1 】中主要建立了关于复正定矩阵的重要结论，本文有针对性地罗列 如下，并选择性地给出相关证明。 定理l 设彳c ，则彳耳的充分必要条件是对任意的o 工c n x l 有下式 成立，x 胁 0 。 3 证明 a = h + s = 日+ f ( 一岱) ，f = ( 一1 ) 归，而一i s = ( a 一a ) i 2 是h e r m i t e 矩阵， 于是对任意o j 一n x l ，工+ a x = x + h x + i x ( - i s ) x 的实部为石。h x ，虚部为x ( 一硌) x ，故 x 墩 0 ，当且仅当r e ( x a x l 0 ，a f 。 引理l 【l l l 对任一矩阵彳c 脚，均有a ：日+ 淡，其中h ：f 彳+ 彳1 2 ，k = ( 彳一彳) 2 f ，日，k 为h e n n i t e 矩阵，且满足此条件的分解是唯一的，若么为正规 矩阵，即朋= a + a ，则k h = h k 。 证明显然，h 。= h ； 由k ：f 彳一a + ) h i ，得 k ( 彳“) 2 叮 由此可知，足也为h e r m i t e 矩阵。 因为 = ( 彳一彳) ( _ 2 f ) = ( 么一彳+ 2 i = k h = h ，k = k 所以 a a = ( h + ) ( 日一k ) = h h 一i h k 。+ 派+ g g = h 2 + i ( k h h k ) + k 2 a + a = ( h 一k ) w + k ) = 日+ h + i h + k i k h + k k = h 2 + f ( 删一脚) + k 2 若州= a a ，则 即 得证。 k h h k = h k k h k h = h k 。 引理2 【1 0 la f 的充分必要条件是a 的h e r m i t e 分量是正定h e r m i t e 矩阵。 证明因为对任意向量0 x c “，都有 r e x a x ) = r e x * h x + i x k x = x h x 即 r e l x * a x ) 0 当且仅当x * h x 0 由定理1 可知，引理2 成立。 引理2 说明了复正定矩阵是h e r m i t e 正定矩阵的一种推广。 引理3 【1 0 】若彳耳，则j 耳，a ，片 证明 因a 耳，由定理1 知：对任意的0 x c n x l ，工+ h x 0 。 又因为对任一矩阵a c “”，均有a = h + s 对于j ，可以分解成才= h 一+ s 一，并且对任意的0 x c n x l ，x + h x 0 ，有 ( 尹厩) = 工h x 0 ，所以对任意的孑，( i f z x ) 0 ，由定理l 可证，才是复正定矩 阵。 同理，对于彳7 ，可以分解成a r = h7 + s7 ，对任意的0 x 一n x l ，墩 0 ， 并且有( ，h r 工町1 = x h x 0 ，所以对任意x ”，都有f ，h7 x 町) 0 ，由定理l 可证， 彳r 也是复正定矩阵。 4 引理4 l l o i设a ，b 为复正定矩阵，则a + b 为复正定矩阵；若k 为正实数，则始 是复正定矩阵。 证明已知彳，口f ，对任意的0 工e c 州，有x * a x o ，j 【+ b x o 成立。又因为 x f 彳+ 曰) 工：x a x + x 。b x 0 ，所以对任意0 x c 删，( a + b ) x 0 ，由定理1 可证么+ b 也是复正定矩阵； 同理，若k 为正实数，a 芹，对任意的0 x , ec 删1 ，有x * a x o 成立，对于 k a c ，有x + ( k a ) x = 后f 工a x l 0 ，由定理1 可知k a 也是复正定矩阵。 引理5 【。o l设p 为可逆矩阵，a 芹，则尸彳p f 。 证明 由么= 日+ s ，日= ( 彳+ 彳) 2 ，s = a - a ) 2 ，得 矿a p = p * h p + 矿s p ， 并且p 脚是正定h e r m i t e 矩阵，而p 印仍为反h e r m i t e 矩阵，故由定理1 及引理 2 知则p a p e 芹。 弓 理6 1 1 0 1 复正定矩阵的任一主子阵也是复正定矩阵。 证明设 卜 爿= 卜 ，吩石 口娩 如 - 气如争， 则由a = + s 得 彳( | ；曩i ：) = 叱鬈弘( ：誓扯呦 因正定h e 肌i t e 矩阵日的主子阵仍为正定h e r m i t e 矩阵以及反h e r m i t e 矩阵s 之任 一主子阵仍为反h e r m i t e ，故由引理1 知， 彳f 毛吃kl ，1 后刀 l 之 t 是复正定矩阵。 引理7 【l i 】设a = h + i k c “”，五( 日) ，a ( 彳) 分别表示日，a 的特征根，则 m i n g ( h ) r e 五( 彳) m a ) 【 五( 日) 证明参见【1 4 】 定理2 若a 耳，则r e 五( a ) 0 ，i = 1 ，2 ，l 。 证明设允( 4 ) 为a 的任一特征值，孝= y + i z ，其中i = ( 一1 ) v 2 ，善为对应于名( 彳) 的特征向量，则彳孝= 五( 彳) 孝，于是 孝彳孝= 五( 彳) 孝f 对上式取宰运算，有 孝+ a 善= a ( 彳) 善+ 善 5 将两式相加得 孝a + a ) 孝= a ( 彳) + 万( 么) 矽孝 即 考1 h 毒= r e 2 ( a ) f 1 专 将f = y + 历代入上式，有 ( y 一z * ) n ( y + i z ) - - r e 旯( 么) ( y 一拓( y + i z ) 又因y ，z r 删1 ，所以y = y ，z = z ，上式化简完为 y * h y + z 厶巴= r e 五( 么) ( y y + z z ) 由h c r m i t e 矩阵的特征值的极值性质有 m i n 2 ( h ) y y y + h y ， m i n 2 ( h ) z z z h z ， 将上两式相加则得 m i n 2 ( h ) ( y y + z z ) y 缈+ z 勉= r e 名( 彳) ( j ，y + z z ) 由于h 为正定h e r m i t e 矩阵，其特征值均为正，从而m i n 2 ( h ) 0 ，又y + f z 0 ， 有j ，。y + z z 0 ，故上式两端同时除以y * y + z z ，便有r e 2 ( a ) r a i n 2 ( h ) 0 ，证 毕。 引理8 【1 1 1 设么耳，则么可逆，_ ra 一1 芹，同时 彳一= ( 日+ 脚。1 k ) 一f ( k + 肷q 日) 一 证明( 1 ) 因为当a 耳时，由定理2 可知a 的所有特征值的实部均为正数， 故么的特征值均不为零，因而彳可逆。 由于 ( + ( ) ) 2 = ( ) ( ( 彳“) 2 ) 因为( 彳+ 彳) 2 乓耳，g a 一1 可逆，由引理5 m 知 ( ) + ( ( 彳+ 么) 2 ) 芹， 所以矩阵么_ 1 的h 咄l i t e 分量( 彳- 1 + ( 彳_ ) ) 2 是正定h e n l l i t e 矩阵，从而由引理2 知a 。1 芹。 证明( 2 ) 由引理7 ，可知1 1 1 i n 力( 日) r c 2 ( a ) ，又由a 是复正定矩阵，并且 彳= 日+ ，可知日 0 ，从而m i n 五( 日) 0 ，即有r e 允( 彳) 0 所以a 的每一个 特征根都不为零，即彳。1 存在。我们有 ( + ( ) + ) 2 = ( + 彳) ( ) 2 = 日( ) + = ( 彳h 彳) _ = ( ( h - i k ) h 卅( 日+ ) ) = ( 日+ 删。1 k ) 一 同理可得 ( a - l - ( a 。1 ) ) 2 i = ( 肛彳) ( ) 2 f = 玎1 k ( ) = 一a 竹1 彳) 。1 6 = 一( ( 日一i r ) r 卅( 日+ 迸) ) - 1 = 一( k + 脚。1 ) - 1 即 么= ( 日+ 脚一k ) 1 一i ( k + h k h 。) 叫 因为h o ，所以h - 1 0 同时k h k = k h - 1 k o 从而( h + k h - 1 k ) 0 ，于 是f 日+ g n 1 k ) - 1 o 即a 。1 是复正定矩阵。 定理3 【1 0 t 设a c 脚，则a 耳的充分必要条件为存在可逆阵p ec 脯”，使得 p * a p = d i a g ( 1 + 岛f ，1 + b 2 i ，1 + b k i ，l ，l ，1 ) 其中岛o ( j = 1 ，2 ，k ) 为实数，扛( 一1 ) v 2 。 证明：必要性设a = h + s 是复正定矩阵，则日为正定h e r m i t e 矩阵，因此 有n 阶可逆矩阵q ，使得o h q = l ( n 阶单位矩阵) 。由于sa n 阶反h e r m i t e 矩 阵，因而q 跑也是反h e r m i t e 矩阵，所以有n 阶酉矩阵u ，使得 u q s q u = d i a g ( 包f ，b 2 i ，b k i ，0 ，o ，7 ，o ) 其中6 ，o ( ，= 1 ，2 ，k ) 为实数，f = ( - 1 ) v 2 ，r a n k s = k ，同时u q 。h q u = 厶 记p = ，尸显然可逆，于是 p 。么p = p + 胛+ 尸。s p = d i a g ( 1 + b l i ，1 + f ，l + b k f ，l ，l ，1 ) ， 其中b j o o = 1 ，2 ，k ) 为实数，i = ( 一1 ) v 2 充分性设有n 阶可逆矩阵p ，使得本定理结论成立，则对任意x c 雕1 有 x * a x = ( p - 1 x ) + ( 尸胛) ( ，1 工) 记y = p - 1 x ，贝i j 有 x a x = y ( p a e ) y = y * d i a g ( 1 + b , i ，1 + 吃f ，1 + 钆f ，1 ，1 ，1 ，) y = y y + y d i a g ( 6 l i ，b 2 i ，b k i ，0 ，0 ，o ) y = y + y + i y d i a g ( 6 l ，b 2 ，b t ，0 ，0 ，o ) y 易知对任意的yec ，乘积y d i a g ( 6 。，b 2 ，b k ，o ，0 ，o ) y 都为实数，故 r e a x ) = y y 对任意0 z c 州，y = p 1 j ，由于尸叫可逆而有j ，0 ，因而对任意 0 xec “1 ，必有r e ( x + a x ) = y y 0 ，所以由定义知么芹证毕。 引理9 【1 5 l 设a c “”，a 是复正定矩阵，b 0 ，则有可逆矩阵p c 胁”，使 p 1bp=e n ，p a p = o 7 成立其中e 是单位矩阵，a k 彤，七= 1 ，2 ，r e 冬 0 j f = 1 ，2 ，s ，r + 2 s = 力。 证明：由b 0 ，故有可逆矩阵q c “”使q b q = e ； 再由s c h u r 定理，存在酉矩阵u c 删”，使 u ( q 彳q ) u = 由引理5 和引理2 知，a i 0 ，r e 乃 0 o 引理1 0 【，司设q ，如，是正实数，又设。 o ，( 2 5 l ，6 2 ，包) o ，口1 n ，则 ( f i = 1 1 i ( q + 岛) 口2 ( r i = 1 1 1q ) 口+ ( r i = 1 1 1 岛) 口( 4 ) 等号成立当且仅当口= 1 ，l 且( 口。，口：，吒) 与( 2 5 l ，岛，吃) 成比例 引理1 2 ( 脚砌第二不等式) 设( 口。，如，) o ，( 岛，6 2 ，玩) o ，则 i ：i 口，兀岛 l + 兀q 兀0 ( 5 ) 定理4 【1 5 1 设么召c 棚，l 2 ，么是刀阶复正定矩阵，b 0 ，则 d e t ( a + 曰) i i d e ta i + d e t b ( 6 ) 证明：由引理9 知存可逆矩阵p c ，使( 3 ) 式成立，故有 i d e tp p 1 2 d e ta + b 1 2 = l d e tp a p + p 。8 1 2 ：陋( 1 帆) n ( 1 + 乃) i ：n ( - + 口：+ 2 口。) n ( - + 2 + 2r e 以) 卉( + 口：) 血( 1 + i 乃1 2 ) ：( t + 口? ) nl + 口k 2 ) n ( + 川2 ) 由h i j l d e r 第二不等式知 ( ，+ 口；) n ( ，+ 口：) n ( - + 1 名斤) ( 1 + a ，2 ) 1 。2 i ，( 口；) n ( h1 2 ) 七= 2 j = l 膏譬z 2 1 8 l + 2 ( 蚶) + n ( 口：) n ( 蚶)、 7 = l ，= i 、 7 + 疆( 引骢1 ( 蚶) 七= i= l 、7 = i d o t ( p 尸) 1 2 i d e t ( a + 曰) | 2 = 陋( p 尸) 1 2 ( 1 d e t b t + i d e t a i ) 2 因此有 i d e t ( 尸尸) 1 2i d e t 彳+ 曰1 2 = j d o t ( p 尸) 1 2 ( i d e tb l + i d e ta i ) 2 约去l d e t ( p 尸) 1 2 ，并开方即得( 6 ) 式成立。 定理5 【1 5 设么，曰c 脚，n 2 ，彳是复j 下定矩阵，b 0 ，则 i i a + b 0 i i 彳0 证明：由0 0 可g f | + 1 ，从而 i i p p l i i i ( a + b ) l l = l 衫g + e ri i i i gi i l 孑gi i i gi i + i i gi i f 孑g i i i g i i = l i 孑1 1 = i 尸么p l = p p i i i a i i ， 约去炉p | i ，f l 、7 ，x - “3 _ 。 定理6 f 1 5 】设彳，曰c ，刀22 ，4 是复正定矩阵，曰 0 ，则 l d e t ( a + b ) 1 2 加 i d e t ( 彳) 1 2 加+ l d e t ( b ) 1 2 加( 8 ) 证明 由a 是复正定矩阵，b 0 ，根据引理9 知存在可逆矩阵p e c 嗍，1 5 吏( 6 ) 式成立，于是 i d e t ( p 尸) 1 2 加| d e t ( 彳+ 曰) 1 2 玎= l d e t ( 尸彳p + 尸曰p ) 1 2 玎 9 ，n 川 、， 2 七 口 ，i一， ，n + 2 l 口+ = = i n ( 1 + q ) 兀( 1 + 乃) i ik 。1 j 2 i l ，、l n ：fn ( 1 + 吒) 2n ( 乃) 2l = ( r i k = l ( 州呦) 密( t wm e 乃) j序l (n(-埘)垂(1+|乃12)lk= l，1 由h 6 1 d e r 第二不等式 ，、i ，“ d e t p p 跏i a e t ( ) l 珈 l 密( ；) 密( w ) j 1 + n 口乡立l 乃r = i d e tp 曰p | 2 ”+ i d e t 尸+ 彳尸1 2 ” = d e t p * p 硝”( i d e tb i 纠”+ d e ta 纠”) 约去i d e tp p r 即得( 8 ) 式。 由定理6 即引理1 0 可得如下推论 推论1 设a ，b c 棚，以2 ，a 是正定复矩阵，b o ，则v 口 ，有 l d e ta + 艿l 口 l d e t 么i 口+ l d e t 曰i 口 ( 9 ) 证明：由口2 咒，2 n a 1 ，根据定理6 和引理1 0 可得 d e ta + b i 口= = ( i d o t ，4 + b 1 2 ”) ”口7 2 ( i d o ta 1 2 ”+ i d e tb 1 2 ”) ”口7 2 ：( ( i d o ta i 。2 7 h a + ( 1 d e t 曰i 口) 2 7 月口) ”。7 2 ( i d e t 彳眄+ ( i d o t b i 。) 1 = l d o t a i 口+ l d e t b l 口 即得( 9 ) 式成立。 推论2 设a ，b c “”，a 是正定复矩阵，b 0 ，则有 i d e t ( a + b ) v ” 2 1 ( i d e t 么f 7 ”+ i d e t b l l 7 ”) 0 0 ) 证明令4 = ( ：兰) ，蜀= ( 言e 0 ) ，则矩阵4 是2 玎阶复正定矩阵和e 。，从 而由定理6 可以得到 l d e t ( a 。+ b ) 1 2 胆”= ( 2 ”i d e t ( a + 召) i ) 纠2 ”= 2 i d e t ( a + b ) i v ” l d e ta lp + l d e tb 。p 1 0 = l d e ta i v 4 + l d e t b i v 从而( 1 0 ) 成立。 定理7 【1 0 设彳c 棚，若a ：日+ s 是复正定矩阵，则当，l 2 时， l i a h - i h l + l l s n ( i i ) 证明 由于彳= 日+ s 芹，故由定理3 知，有n 阶可逆矩阵g ，使得 a = g d i a g ( 1 + t ) i i ，l + b 2 i ，00 1 l + b f l ，1 ，l ，1 ) g ， h = g g ， s = g + d i a g ( b l i ，b 2 i ，o 么f ，o o ，o ) g ， 其中6 ，o ( 歹= l ，2 ，k ) 为实数。 设s 是可逆矩阵，则七= 以，i i s h = i i g i l 21 6 i 6 2 钆l ，x l h i 0 ，而有i h i = i i g i l 2 ， i i a l l 2 = l i g l l 4 ( 1 + 6 f ) ( 1 +