（基础数学专业论文）拓扑线性空间中不连续线性算子的研究.pdf

中文摘要 本文在拓扑线性空间中讨论了不连续线性泛函与不连续线性算子问 题。从空间本身所具有的瓦公理、a 1 公理、h a m e l 维数、子空间、有界 性等不同的方面，较为全面地论述了其存在的充分性与必要性及其二者 之间的关系，文中不乏创新之研究。 关键词：拓扑线性空间、邻域基、线性流形、弱拓扑 黑龙江大学联七学位论文 i 宣冀釜i i i i 黛葺i i 墨黼薯兰宣宣搿i i i i i i i i i i 嵩黼i i i 宣黼i 葺i i i 黼i i i 宣篇篇宣i i i 嗣i i i 掌i a b s t r a c t t h i st h e s i sh a sd i s c u s s e dt h ei s s u e so fl i n e a rn o n c o n t i n u o u sf u n c t i o n a l s a n dl i n e a rn o n - c o n t i n u o u so p e r a t o r so nt o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e s f r o mt h e p e r s p e c t i v e so ft oa x i o m 、a 1a x i o m 、h a m e ld i m e n s i o n 、s u b s p a c e 、 b o u n d e d n e s sc h a r a c t e r i s t i co f s p a c ei t s e l f , t h e t h e s i s c o m p a r a t i v e l y c o m p r e h e n s i v e l ye l u c i d a t e st h es u f f i c i e n c ya n dn e c e s s i t yo ft h ee x i s t e n c eo f l i n e a rn o n - c o n t i n u o u sf u n c t i o n a l sa n dl i n e a rn o n - c o n t i n u o u so p e r a t o r s , 黯 w e l la st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w o t h e r ea r en ol a c ko fi n n o v a t i v e r e s e a r c hi nt h et h e s i s k c y w o r d s ：t o p o l o g i c a l l i n e a rs p a c e n e i g h b o r h o o db a s i s l i n e a rm a n i f o l d w e a kt o p o l o g y l l 第t 章绪论 第 章绪论 拓扑线性空间理论是现代数学的重要基础之一。它在经舆分析、 b a n a c h 窒闷理论，穰微分方程、广义遵数论等方聪帮有广泛羚疲雳。 1 1 一些定义 本文中的k 均指复数域，0 均掺缀羚线性空闯憋零元。 定义1 域k 上的线性空间e 称为拓矜线性空闻，是措其嶷有与空 间线性结构相和谐的拓扑；也即：在此拓扑下，代数运算：x + y ，xx 均 分秘莛( x ，y ) 及( x 。x ) 豹二元连续溪数( 勺麓y e e ，a e k ) 注1 ：上面定义中必于连续的条件也可以叙述为：( 1 ) v x , y e ， 及x + y 熬锈邻壤致。，3 x , y 戆邻域瓯，q ，镬套：瓯+ 移，c 玩+ ，e ( 2 ) v a e k ，x e e ，及3 x 的任邻域u 。，孙 0 及x 的邻域玑， 使当k 一五 鑫时，存弘以c u 。 注2 ：拓扑线性空问的拓扑可以局部化。即擀：拓扑线性空间的拓 扑可以用0 点的邻域( 溅邻域基) 完全确定。 定义2 。域x 土瓣线性窒霹嚣中戆襄a 称洚是啜浚的，蹩摇： v x e e ，曩6 。 0 ，使当s 氏 e k ) 时，均有? t x e a 。e 中的集b 称 为均衡的，蹙指当吲s l ( a e k ) 时，均有o b c b 。 定义3 。设e 为拓扑线性空闻，a ，b c e ，称a 被b 吸收，是指： 黑龙江大学硕士学位论文 j 氏 0 ，使当川sd 。时，有2 a c b 。e 中的集m 称为有界的，是指m 被0 元的一切邻域吸收。 定义4 拓扑线性空间e 到e 1 内的线性算子t 称为是有界的，是指 t 将e 内的任意有界集映象为e l 内的有界集。特别地，当e 1 = k ( 数域) 时，则称其为有界线性泛函。 定义5 线性空间e 内的子集h 称为e 的h a m e l 基是指：h 为e 内的线性无关集，且有s p a n 忸 一e 。 注：设协。陋爿 是e 中的一个h a m e l 基，则对每个工e ，必存在 有限个k 。，h 叫使x 1 亿， k 。 定义6 设e 是线性空间，形如x 。+ m 的子集( 其中x o ，m 是 e 的线性子空间) 称为e 中的线性流形。 1 2 有关引理 引理1 1 1 5 1从一个拓扑线性空间e 到另一个拓扑线性空间e l 内的 线性算子，其在e 上连续的充要条件是其在e 的某一点连续。 引理2 1 1 6 1如f 是拓扑线性空间e 上的线性泛函，f 0 ( 零泛函) 。 那么，在e 上连续的充要条件是其满足以下任一假设： ( 1 ) ( ，) = 仁i ，o ) ：o ，z e j 是一个闭集： ( 2 ) 存在0 的一个邻域u ，使厂在u 的值厂( u ) 是有界的。 引理3 1 1 6 l设m 为拓扑线性空间e 内的非空有界集，那么， v 矗。 c k ，仁。) c 肼，如有巳一0 ，则有8 n r 一口。一o o ) 。反之，如 2 第i 章绪论 v 备。 c m ，有三并。一a ( n 一* ) ，则m 必为有界集。 n 3 本章小结 拓扑线性空间的定义通常有两种，本文采用较宽泛的一种。拓扑线 性空阔器蠢代数结穗又骞拓脊结梅，掰黻它继承了二者翡一蹙瞧震，又 有其特点。赋范空间、距离线性空间、赋口一范窳问、局部凸空间等均 藩予它。 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章拓扑线性空间中的不连续线性泛函 其亦可看作是拓扑线性空问e 到拓扑线性空间k ( 数域k 取欧几里 得拓扑) 中的不连续线性算子，十分常见和重要。 2 1 几个定义 定义1 设e 是拓扑空间，如果对e 中的任意两个不同的点，必至 少有一点的一个邻域不包含第二点，称e 满足t 0 公理。 定义2 。如对拓扑空间e 中每一点，均存在其一可数的邻域基u ， 则称e 满足第一可数公理，记为a l 公理。 定义3 。设e 是域k 上的线性空间，p 是e 上的一个实值函数，满 足 ( 1 ) p ( x + y ) p ( x ) + p ( y )( x ，y e e ) ( 2 ) p ( 口x ) = l a i p ( x ) ( x e e ，口k ) 称p 是e 上的一个拟 范数。 定义4 。设( e ，t ) 是拓扑线性空间，其上的所有连续线性泛函全 体记为e + ，则e 上的e + 一拓扑( 即使所有f e + 连续的e 上的最弱拓扑) 称为e 上的弱拓扑，记为甜( e ，e + ) 。集合 u = 铡，f o ) i cs ，1 s fs ”，e e ，n e n ，s ，0 j 构成弱拓扑下的口点的邻域基。 2 2 主要结果 定理1 【1 6 l若e 是一个无穷维的拓扑线性空间，并且满足a 1 公理。 4 则e 上必存在着处处不连续的线性泛函。 证明由于e 满足a l 公理，故其存在0 点的一可数邻域基 v i , , e n ，并且不蓊浚。c v ( v n e l y ) 。馥努，凌珏隽e 孛h a r e e l 基，并取元列慨) c h 。 这攒，r 撵，邻域以是蔽竣戆。送嚣存在数g 。0 ，爱褥。h 。砭， 此即有： 害。一0 ，( n 0 0 )( 4 ) 定义泛函，0 如下：当x 。磊舅 一+ 荟叩。矗时其中 ”嚣、参。扭掘战令删= 薹鲁 显然，0 为e 上的线性泛函。但由上( 4 ) 式，殷 l ( x + 。瓠) 。磊秘) + 磊( s 。鬼) = ，。+ 万一0 一m ) ，v x 联e 放翔嘉在e 上娃娃不连续。 定理2 f 1 6 l任意拓扑线性空间e ，若其不满慰t o 公理，则必存在着 处处不连续的线性泛函。 证暖 盘箕不满蹩公理，褥滋秘 不是闭集。实际上，瓣静 是阕 集，a b ，则a b 0 ，故3 u 。“( 0 的邻域族) ，使o c a b + u o ，也 瑟矗圣a 十玎。，矛嚣，氆帮每 * 秘。遴建，必存在元a 孝，霞蕊。 对于v u “，j 均衡邻域w c u ，故v h ，三“，因为 砚= n t r l u n a 研，知a 三矿，即n a w cu ，得知 n a 一8 秘一* ) 。 显然可以得到e 的一个h a m e l 錾h ，使a 爿，从而可定义泛函f o ， 菇下： 当工= 静+ 妻叩，k 时( 其中九，爿仁 ，l t z ) ，令，0 0 ) = 掌，显然，0 夯为e 上豹线整泛遗。经对予魄g 露，帮寿x 螺a z ，及 ，0 0 + ，l n ) = a ( x ) + 弹一 ( 珂一0 0 ) 此露厶农e 上处处均不连续。 引瑗1 f 1 5 1设x 慰线性空间，m c x ，e c x 。则m 是极大真子空 间当虽仪肖存在，x t ( x 上的线性泛函全体) ，f 一0 使得m 是，的零 空阔( ，) 。 证明设，x t ，f 芦0 ，m n ( d ，显然( ，) 是x 的予空间。 若3 m ，且e # m ，鄹烈艏并且f ( z o ) 一0 ，j 龟对魄x ，令 烨一怒则倚) _ o ，_ ) ，膨，从而删+ 器即 x ；s p a n x o ，m 。但s e ，m c e ，y - ：是x c e ，m 极大a 反之，设m 是极大真子空阍，则蠢。x 尉，盖，s p a n x 。，j j i f 。 对于戡搿，必有并一饿。+ y ，y 材，并且魏褒达式为惟一的。否刘 另有工，a + y ，则冀。旦尉，矛盾。现在对于算= 似。+ y ，令 8 - - c 1 6 第2 章拓扑线空间中的小连续线性泛函 ( x ) 一口，贝0 ，0 ，f e x 并- j l n ( f ) = m 。 定理3 证明在满足瓦公理的拓扑线性空间上，任意有限维拓扑线 性子空间e 均是闭的，且e 上不存在非连续的线性泛函。 证明设e 为n 维的，协i 1 1 s f 五弹) 是e 的h a m e l 基，则e 中的每 一元x 可唯一地表示为z 目, 善a i h i ，作n 维欧氏空间f 和e 间的一一对 应 r ： - ，a z ，) _ z 。善也 显然t 为k n 到e 上的代数同构算子( 即一一线性满算子) 。 下面证明t 是连续的。事实上，对e 中零点0 的任一开邻域u ，必 存在着0 的n 个开邻域v 1 ，v 2 ，v n ，使 v 1 + v 2 + + v n cu 由于对每一个j l l ，从v i 的吸收性知，存在反，0 ，使当t 哦时， 就有舳；k ( 1 s i s ，1 ) 。由此，当令6 。；m i l l 如；1 1 s f 主n ) 时，对任意元 口= ( 口。d ：口) k “当l l a l f t6 0 时，则有 丁 ) 。善吒_ k + k + + k c u 此即证得t 为k n 到e 上的连续线性算子。下面证明r 1 是连续的。从而 t 是n 维欧氏空间和e 间的拓扑同构。进而得到有限维的满足t 0 公理的 子空间e 均为闭的。 现证t - i 的连续性，用归纳法：设e 的维数为1 ，协。 是e 的基，于 7 是丁o ) = a h l 。t 1 是e 上的线性泛函。其零空间为如 ，根据e 的分离性， 是鬻熬，由第1 章萼| 理2 可魏r 1 是连续静，帮n = 1 时缮谖。设维数 n = t 时命蹶成立。如果n = l + 1 ，r 1 ：x ；口；h i 一瓴，口m ) 。由于e 上 的每个极大线性子空闯必是t 维的，由归纳假定：它同构于t 维欧氏空间， 是原空间中的闭集。由引理1 可知e 上的线性泛函其零空间怒极大线性 子空阕，所戳是阙静，蔽越，e 土瓣线性泛函必连续。特别楚，线性泛 函 五：鼻一a lg 一1 , 2 ，t + 1 ) 是涟续的 注意嚣r 4 积) 一( 轰( 磅，是缸) ，五。掰浚r 1 楚连续豹。 最后，若e 上存狂非连续的线性泛函，则其零空间是非闭的，零空 闻显然怒e 的有限维的线性子空间照满足r 公理，犀然与上述结论矛盾， 命题褥谖。 引理2 设e 是拓扑线性空间，a c e 是个含0 的均衡开凸集，则 a 豹m i n k o w s k i 泛函鳓是e 上豹一个连续羧蔻数。 证明a 是含0 的开集，故a 为吸收的，a 为均衡吸收的凸集，则 易证心怒一个拟范数。下证段还是e 上的连续拟范数。 首先，对于z 簋，h a ( x ) 。 ，。 ；z 一 如果f 对。囊) 及s t ，由于a 是吸收的，8 “及a 是凸的，予是 ；x ：三兰并； 兰z + 卧l ) o a ，即s 以 sststs 4 这样口。0 ) 是左端点为蜘0 ) 的半直线。 8 其次，欲证仁k 。o ) t 1 一a 。设h o ) t 1 ，由上可知存在数 口：。0 ) a 。1 ，使三x e a 。因a 是凸集，则x ：a ( 三x ) + ( 1 一a 妒爿， 从而有仁k o ) i c a 。另一方面，i 曼x e a ，因a 为开集，由数乘的 连续性，必存在) 0 ，使当陋一i ts 时，) , x e a 。取a = 1 + 寺e ，1 ，则 饿e a ，故有一o ) s ! t 1 ，即z 扛k 。o ) c 1 ，, 0 k 而 a c 仁k 。 ) c 1 。 最后，对于v x 爿，由上可知h o ) 0 ，e a 亦是口的一 个开邻域，并且若y e a ，则y ；战0 彳) ，因此 从而有 肛( y ) = p ( 既) 一州 ) ( + ) i 以o ) 一心( 刮c ，砂4 故p 。 ) 在p 点连续，现证p 。 ) 在任意点c e 连续。令v = 工。+ 刮， 若y y ，则) ，一凸4 ，则由( 4 ) 式有心( y 一) s ，从而 口j ( y ) 一 o ) = ，( y z o 。+ 工o ) 一肛o o ) s 肛一并o ) 显然为e l 的拓扑线性子空闻，由设d i m t ( e ) o 。，可取其一 h a m e l 基：恤l ，h 2 ，丸) 。 对同数域上的n 维空间k n ，作r ( e ) 到心的线性算子妒 妒( 善q 岛) 2 ，) ，v q k ( 1 ) 恩然妒为r 啦) 到k n 上的代数同构映象。 下面我们来证明于。1 怒连续的。事实上，对r ( ) 中零点岛的任一开 邻域u “，必存在峨的n 个开邻域k ”，曙“，咿，使 k 哪+ 曙+ 。+ 吖1 c u o 第3 章拓扑线空瓣中的线性不连续冀子 由于对每一个矗。，从k 1 的吸收性知：存在d 。，0 ，使当h c6 。时，就 有, x h 。1 l 兰 s 嚣) 。出此，当令屯- r a i n 5 ，| l f s 乔 对，辩任意元 口= ( 8 ，搿：，a 。) e k “，当l 陋i i ：d 。时，则有 妒- 1 缸) 一三氆冬铲十掣”呻垆c u 棚 l 越 此即证得妒“为k n n t 僻) 上的连续线性算子。 令鼬妒t t 。瑙a 为e n k 4 上煞线蛙算子，魁由f ；掌。a 粒连续 性假设及上妒4 是连续的结果可知a 是连续的。 注意到 a 0 ) = q l ) ，a ：扛) ，镌0 弦k 6 ，v x e e 其中，每个4 ( 1 s fs ，1 ) 必为e 上的线性泛函。敞由拓扑的熬本知识可 麓：a , o 赋f s ，| ) 逡是迄续羚。交1 2 葶| 淫2 爨，黠每个童：缘存在e 中学 的一个邻域以，使得 在以的值一。( 阢) 是有界的( 1 墨t 主胛) 。取 u ；门犹 则知u 为e 中的口点的一个邻域，a ( u ) 为臌“中的有界集。又由 ? ( 矽) = 驴名秽) ，由京遴2 的逆否氽邋船：擎4 为连续线性算予粼妒。亦 为k n 至i j t ( e ) 上的有界线性算子，得到r ( u ) 是t ( e ) 中的有界集，又因 誓) 中戆舜集等予f 簿) 与e l 中熬簿一个牙集豹交集，琢p at ( u ) 也是 e 1 中的有界集。 定理5 若e 是无穷维的赋卢一范空间，则e 上必存在一处处不连 续的自同构算子( 即e 到e 上的1 1 线性满射算子) 证明设h 是e 的一个h a m e l 基，因e 是无穷维的，因而可选出 一列元 j 1 c h ，并且由于e 是赋卢一范的，还可设l 陋。胪。1 0 ) 作泛函，o 如下：当工一薹邑以+ 妻仇k 时( 其中：k h 1 1 ) ，1 s t z ) ， 令 ，0 。) 2 荟n 显然，0 为e 上定义的线性泛函，但由 x + 忑1 峨一j o m ) ，e 因为d + 击k 小叫去h 印一1 ；4 n 以 、，n 咒0 ：砖) ，i 肛。r ：( ) 一一o ( n o o ) 而 、n、以 l ( x + 了1 。) ：f o ( x ) + ，0 ( 。) ：，o o ) 坩 一。o ，v x e e 、n、，nv n 因此，o 在e 上处处不连续。 由于赋卢一范空间满足磊公理，故可取到一元一0 ，使有 l ( x 。) = 0 ，否则若不存在这样的，则易证，o 是e 上的连续线性泛函， 与前面矛盾。并作e 上的算子 t ：丁( z ) = x 一，0 ( x ) x o ；帆e 第3 章拓扑线空间中的线性小连续算子 显然，t 是线性的；并且，由于当r ( x ) = 口时，有工= a ( x ) x 。，注意到x 。 取法，有 ，o o ) = ，o 【，0 沁。 = ，0 0 ) ，o o 。) ；0 进而有算一a ( x ) x 。一0 ，即t 是单射。 此外，砂e e ，有 r y + a ( y ) x 。】 一【y + ，o ( y 扛。】一f o i y + ，。0 r 扛。k 。= y ，即t 为满射。 从而t 是e 上的一个自同构算子，由于，0 在e 上处处不连续与t 的构造，知t 为处处不连续的。 定理6 设e 与e 1 均为拓扑线性空间，r 有d i m e 。c0 0 ，则存在着 e 到e 。内的不连续线性算子t 的充要条件是：e 上存在不闭的线性子空 间。 证明充分性：由2 2 定理7 知e 上存在不连续的线性泛函，又由 3 2 定理1 ，必存在e 到e l 内的不连续线性算子。 必要性：由d i m e l 0 ，使得工s 矿，选取r ，使得r o + r ) + b 卜 1 ， 则当陋一a lcr 及y - x e r v 时， 肛y 一“= ( 卢一a ) y + a ( y z ) ，y e x + ，矿c ( s + r ) v 工( 属y 一础) isl ( 声- a ) l ( y ) l + l a f t ( y x ) l s ，0 + r ) + a l r r , ( t = 1 ，2 ，n ) 即缈一o x e v ，所以数乘运算是连续的，因此陋，r ) 为拓扑线性空间。 由t 的定义知，每一个，是连续的，即( e ，t ) 不存在非连续的线 性泛函。 取e 的一个h a m e l 基，h 一协。恤 。并且在线性空间e 上重新定 义范数如下，ej 当其唯一表达式x2 善k 时 ( 其中n e k ，h 日；1 墨f n , n ) ，我们令一懋卜 i 易见，e 在上述下构成一赋范空间。 设拓扑线性空间e 。一口，卜i b 。那么，首先由d i m e = d i m e l ，可知e 到 e t 存在一个代数同构映象a 。 下面将证明，上述算子a 即为所求的线性而不连续的算子。 事实上，反之，如a 是连续算子，那么，对v s ，0 ，必| ( e ，t ) 中零 元口的某一开邻域u ，使有爿( u ) c 铡m cs ，z e ， 。 注意到上面t 的构造，对上述0 点开邻域u ，必存在有限个e 上的 非零线性泛函，l ，2 ， ，以及数域k 中的相应有限个0 点的开邻域 g l ，g 2 ，- - q ，使得 n 。1 ( g ，) c u 进而还知n n m 一和) 。事实上，由e 是无穷维的假设，则可设 h = 协。b 为e 的h a m e l 基，_ 显然d i m e = 一m ，由此相应可作e 上的线性泛函族：f ；帆b 一 ，使有 黑龙江大学硕士学位论文 f o ，当a a 时 克嵇a ) 2 1 当睇t ；a 时， ￥岔，盯“ 易验证f 为e 淘的一线性蠢关集，掰戮d i m e ；* 。霰翔上式 n n ( l ) f f i e ，翻凌2 2 节弓| 理5 知w + ，均有厂为，1 ，2 ，的线 t - i 性组合，与f 是无穷维酌矛詹。 敬n ( 五) ，并筏一疗，那么，注意蓟上述每个泛函豹线性假 t - i 设，剡有 也即各 六) 嚣o 识，￥8 e k ，t 尝毛2 ，摊 冁g n ) c u ，v a e k f - l 于是，从翦嘲u 的取法，褥出 爿( 删。) 矧m cs ，x e e 。 v a e k( m ) 最后，注意到一一，a 为代数网构，因此显然可知“g 。) 一嚷，又由e l 为赋范空问当然亦有i 陋o 。) 】l 一0 。这样( 4 ) 式不可能成立，矛盾，故 命题得证。 3 。3 零章夺结 本章的一些定理论述丁不遗续线锻泛丞与不连续线性嚣子t 蛉关 系，t 非有界性及开邻域的t 映象是否存界与刁i 连续线性算子t 的关系， 和不连续葡构算子闯题。定理7 甜文献f 2 6 】添翮了条件，使之完善，定理 8 匏方法实鼹具体。 结论 结论 全文较为全面的论证了拓线性空间中的不连续线性算子( 泛函) 问 题。除2 2 节的引理1 、5 定理1 、2 、7 和3 2 节的定理1 、2 、3 为直接 引自参考文献之外，其它定理、引理、推论的部分或全部证明均为本人 完成的，其中不乏创新之处。自感对这一问题的探讨较为深刻，对拓扑 线性空间具有了一定的认识，一年来，辛勤努力作论文为自己上了实践 的一课。 黑龙江大学硕士学位论文 致谢 三年的时光飞逝而过，学使论文也得以付梓。在即将结束这段珍贵 静学习生涯之际，我心中充满感激和留意之情。 感谢导9 嚼刘绍武教授对本文工l 乍的具体掇导秘悉心帮助。刘老f 季严 谨的科研作风，深厚的科研功底和忘我的工作态度对我是永远的鞭策。 感谢数学科学院酶曹蓬光、任洪藩、王路群、张法勇、郝攀霞、蒋 鲲等诸多老师。是他们传授了我知识秘方法。感谢同蜜好友在学习、生 活中的关心和帮助，是他们使我在黑龙江大学度过了一段充满温馨和快 乐豹美好时光。 农此，我谨囱艨有绘予我关炻积帮助懿菇糅、阏学秘鼹友致以谖挚 的谢意! 参考文献 参考文献 1 、熊金城，点集拓扑讲义，高等教育出版社，2 0 0 2 2 、林金坤，拓扑学基础，科学出版社，1 9 9 8 3 、尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1 9 9 7 4 、葛显良，应用泛函分析，浙江大学出版社，1 9 9 6 5 、刘炳初，泛函分析，科学出版社，1 9 9 8 6 、张恭庆，泛函分析讲义( 上、下) ，北京大学出版社，1 9 9 0 7 、定光桂，巴拿赫空问引论，科学出版社，1 9 8 4 8 、定光桂，泛函分析选讲，南开大学出版社，1 9 9 2 9 、夏道行，泛函分析第二教程，高等教育出版社，1 9 8 6 1 0 、r u d i nw f u n c t i o n a la n a l y s i s ，m c g r a w h i l ，1 9 7 3 1 1 、w i l a n s k ia m o d e mm e t h o d si nt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，1 9 7 8 1 2 、s c h a e f e r ，h t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s s p r i n g e r - v e r l a g 1 9 8 0 1 3 、k o t h eg t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e si i is p r i n g e r - v e r l a g 1 9 8 3 1 4 、寿纪麟，分析拓扑引论，西安交通大学出版社，1 9 8 8 1 5 、刘培德，拓扑线性空问基础，武汉大学出版社，2 0 0 2 1 6 、定光桂，拓扑线性空间选讲，广西教育出版社，1 9 8 7 1 7 、夏道行，线性拓扑空间引论，上海科技出版社，1 9 8 6 1 8 、张剑尘，拓扑线性空间中的紧集，自然杂志，2 0 0 2 ，2 4 ( 6 ) ： 3 6 7 3 6 8 1 9 、金振东，定光桂，关于弱算子拓扑空间，南开大学学报，1 9 9 3 4 ( 】2 ) ：6 3 7 2 黑龙扛大学硕士学位论文 2 0 、傅小红，拓扑线性空间中不连续线性泛函的存在问题，南开大 学学报，2 0 0 2 ，3 5 ( 1 ) ：1 2 7 1 2 8 2 1 、张兆宁，拓扑线性空间上连续线性泛函的延拓，中国民航学院 学报，1 9 9 5 ，1 3 ( 4 ) ：9 0 9 3 2 2 、常志文，局部有界拓扑线性空间的一个局部凸条件，北华大学 学报，2 0 0 3 ，4 ( 6 ) ：4 7 6 4 7 7 2 3 、邵惠伯，不可分离的拓扑线性空间的完备化，河北大学学报， 1 9 9 6 ，1 6 ( 1 ) ：7 5 7 7 2 4