（信号与信息处理专业论文）光学小波变换中的小波滤波器研究.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 i 摘要 图像压缩在多媒体信息的存储与传输中起着至关重要的作用， 而将小波变换 应用于图像数据压缩较之傅立叶变换有很大的优势。 越来越多的研究者专注于小 波理论及其在图像压缩应用中的研究，提出了更新更好的理论。 通过在空域中使用投影系统或在频域中进行空间滤波的方法， 小波变换得以 在光学中实现。用光学方法实现小波变换具有并行性和高速实时性的特点，用光 学小波变换法实现图像数据压缩，会大大地提高对图像数据的压缩速度，这在需 要传输大量图像数据的领域有很大的应用前景。 本文系统地阐述了光学信息处理和小波变换的基本理论和发展趋势， 分析了 光学信息处理的优势所在；推导了课题中使用的 4f 系统的可用带宽，得出了本 课题的小波滤波器组的实际尺寸； 并对用光学系统实现小波变换时对小波函数的 要求进行了分析， 包括图像压缩对小波最基本的要求， 以及光学实现的特殊要求； 还介绍了小波变换光学实现对精度的要求。 最后对课题作一展望，对仍需做的工作做一总结。 关键词：小波变换，光学信息处理，4f 系统，图像压缩，小波滤波器 重庆大学硕士学位论文英文摘要 ii abstract image compression has been a very crucial role in the multimedia information technique, the wavelet transform has proven to be a valuable tool in image compression application during the last decade. more and more researchers have been attracted to study the new theory related to wavelet and its application in image compression. optical wavelet transform performs wavelet transform in optical way through spatial filter in frequency domain or projection in spatial domain. it features characteristics of parallelism and real- time. applying optical wavelet transform into image compression field will improve the speed of compressing image data, which is vital in some application fields that need transmit abundant image data. in this paper, the fundamental theory and trend of the development of optical information processing and wavelet transform are introduced. the advantages of optical information processing are analyzed. the valid range and frequency plane of our optical 4f system has been deduced and it is regarded as the size of our film of wavelete filters. the requirement of the wavelet was studied when wavelet transform is implemented in optical way, including the basic need of image data compression and the special need of optical element. then the accuracy needed by optical wavelet filter in image compression system is introduced, which provides the theory basis and measure of the system. at last, the expectation of our task and next work was provided. keywords: wavelet transform, optical information processing, 4f system, image data compression，wavelet filter 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 1绪论绪论 1.1 问题的提出 小波分析是近年来数学家和工程师们关注的一个新的数学、 工程分析工具， 它是继傅立叶分析之后纯数学和应用数学完美结合的又一光辉典范，享有“数 学显微镜”的美称。它为信号处理提供了一个时域和频域上的局域化窗口，并 且这个窗口的宽度和位置是自适应变化的，这与实际信号中低频成分复杂、高 频成分简单的特性十分吻合，因此小波分析被广泛地应用于需要对信号进行局 域化处理的场合。同时，在小波变换的基础上，小波级数和多尺度分析又提供 了一个分解重构信号的新形式，它不同于以往的傅立叶级数等均匀分解频域的 方法，而是利用了小波窗口的自适应性，对信号频域进行了非均匀的划分，使 工程师们可以有选择的对感兴趣部分进行突出的研究和处理。这一良好特性也 被应用到了图像处理领域中，数学家利用二维张量法构造了二维的小波函数， 将其用于图像信号的分解重构中。但美中不足的是，小波变换需要庞大的计算 量，对计算设备和计算时间要求很高，所以目前图像处理的小波变换还主要是 针对静态图像处理，动态图像处理的小波应用还需要快速算法以及运算设备的 改进进步才能在将来得以实现。 另一方面，科学家和工程师们也试图寻找电子器件实现之外的途径来完成 小波变换的处理，信息光学的发展为他们指明了一条可行的道路。在信息光学 领域中，有比较典型的 4f 系统可以实现图像的小波变换。由于这一方法是利用 光的传播来实现小波变换，所以它具有高速、多通道并行处理的良好特性，恰 好弥补了小波变换计算量大的缺点。因此，用光学系统实现信号的小波变换成 为研究者们十分关注的一个方向。本文所从属的课题就是利用 4f 系统实现图像 的光学小波变换来对图像信号进行分解、编码、重构的一个例子。 但光学系统目前存在的问题是光学器件对小波的选择有一些特殊的要求， 并且由于在光的传播、光学器件的加工工艺两方面都有许多误差产生，所以其 可处理的信号精度还比较低。而后者是限制光学小波变换发展的主要障碍，也 是本课题的研究重点和希望能解决的问题。在这些问题中，光学滤波薄膜的加 工精度限制了小波滤波器系数的精度，因此解决的方法是选择低精度系数的小 波滤波器或者将小波滤波器系数量化到光学滤波薄膜的可加工精度范围内，由 于其他条件的限制，目前还无法找到系数精度比较低的小波滤波器，所以只能 采用后一种方法。因此，研究小波函数经过量化后是否还能很好的分解重构图 像就成为必要。本论文就是针对这一问题做的研究。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 2 1.2 国内外发展现状 1.2.1 小波分析及其用于图像压缩的发展现状 从上个世纪初小波技术诞生以来，随着泛函数学理论、图像图形学、信号 处理理论等相关学科的发展，小波已经越来越多、越来越深入地应用到了图像 处理中，特别是在图像的检测和分析中已经有了很广泛的应用。而在图像压缩 领域，基于小波变换的图像子带编码方法则是方兴未艾，正处于迅速发展的时 期。 小波变换从数学发展上看，其起源可以追溯到上世纪初。泛函数学理论在 上世纪初期已经提出并证明了函数空间、空间中的基和空间中的函数的分解重 构关系，数学家们对框架基、对偶基、正交基进行了详细的研究，并已经构造 出了一系列的基函数。1910 年 haar 提出了最早的小波规范正交基，但当时并 未定义小波的标准概念。 小波变换和空间的小波基的实质性研究是在 1984 年由 法国科学家 j.morlet 等在进行地震数据分析工作时开创起来的。 1987 年 combesh 和 grossmann 等构造了围绕小波概念的数学框架。meyer 所著的书中证明了这一点，并表明了其小波概念与早期算子理论的关系。多分 辨率分析方法在图像编码中的一个重要应用是由 p.burt 和 a.adelson 开发的金 字塔算法，这种方法与子带编码以及小波具有紧密的联系是向小波概念迈出的 重要一步。在 morlet, meyer, grossmann, daubechies 和 mallat 等人的努力下 小波变换得到了系统的发展1,2,3,4,5,6,7。 mallet 用多分辨分析的概念来定义小波，daubechies 于 1988 年构造了紧 支撑正交小波1,2，并发明了“multiplier2”紧支撑离散小波变换理论，获得了 二进尺度变换小波序列的平滑和多项式表达的条件。daubechies 的工作建立了 数字信号处理和函数分析之间的紧密联系，h.l.resnikoff 认为 daubechies 的 论文是 20 世纪后半叶最主要的数学贡献，具有巨大的理论和应用意义。mallet 于 1989 年建立了离散小波变换与 daubechies 的标准正交基之间的联系，结合 范函空间中的多分辨分析的方法与小波窗的自适应优点，构成了多尺度小波分 析，mallat 为此还提出了离散小波变换的 mallat 算法7，可以用迭代的形式层 层分解和逼近原信号，使数字图像的滤波器处理成为可能。在这个基础上，信 号处理研究者相应地提出了子带编码技术和其他一些小波变换的快速算法。 chui等将其推广为有限冲激响应(fir)和无限冲激响应(iir)互为对偶的非正交 滤波器库形式，构造了最小支撑的线性相位的样条小波族9。小波理论的另一 重大发展是 wickcrhauser，coifmau 提出的小波包概念10，对信号频带的划分 突破了小波分析等 q 划分的局限性，不仅对低通分量作分解，而且以对高通分 量作分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段，对信号的分析更灵活方便，但要解 重庆大学硕士学位论文1 绪论 3 决的问题是最优基的选择和信号的自适应最优表示。 子带编码技术是一种高质量、高压缩比的图像编码方法 11,12。其基本依据 是：图像信号可以划分为不同的频域段,人眼对不同频域段的敏感程度不同。例 如图像信号的主要能量集中在低频区域,它反映图像的平均亮度,而细节、边缘 信息则集中在高频区域。 子带编码的基本思想是利用一滤波器组,通过重复卷积 的方法,经取样将输入信号分解为高频分量和低频分量,然后分别对高频和低频 分量进行量化和编码。 解码时,高频分量和低频分量经过插值和共轭滤波器而合 成原信号。进行子带编码的一个关键问题,是如何设计共轭滤波器组,除去混迭 量，而这一问题，正是用正交或者双正交小波解决的。 数学家们则对框架小波、双正交小波、正交小波作了详尽的研究，cohen 和 daubechies 等学者从数学上构造了紧支撑并有一定正则性的对称双正交小 波，vetterli 和 herley 从理想重构的滤波器组理论出发，构造了对称的双正交小 波8，使得图像信号小波压缩的一系列问题得到了基本解决，工程师们已经可 以在计算机等数字设备上实现一定的图像小波压缩了。 比如 2000 年 3 月由 jpeg 专家组提出的 jpeg2000 标准，这一标准，主要就 是为了在使用小波变换为主的解析编码方式的基础上，提供崭新的图像编码系 统。jpeg2000 标准采用小波变换为主的多解析编码方式，它支持有损和无损两 种小波图像压缩，主要是针对静态图像信号的压缩处理。具有高压缩比、支持 渐进传输和“感兴趣区域”处理等优点。jpeg 2000 的应用领域一为传统 jpeg 的市场，像印表机、扫描器、数码相机等，一为新兴应用领域，像网路传输、 无线通讯、医疗影像等。但由于图像小波压缩的高计算量问题，小波压缩目前 还主要是运用在静态图像上，对动态图像的实时处理还是小波压缩技术有待研 究的领域，这有赖于高速计算设备的研制和快速算法的研究改进，或者是寻找 除了电子设备以外的处理方法来实现。 1.2.2 小波变换用于图像压缩的优缺点 小波窗口具有良好的自适应性，空间小波基具有分解空间的完备性，所以 将小波用于图像处理特别是图像压缩时有一些独特的优点： 1、小波具有时频域上的自适应性，可以灵活地对时频窗大小、位置进行选 择，是良好的时频局域窗函数。在图像处理应用中，支持对希望的特定区域进 行特别的压缩处理。可以指定图像上任意区域的压缩质量，还可以指定哪个部 份先进行解压处理，这可以使图像处理更灵活。 2、函数的正则性决定了信号经小波变换后高低频分量间的能量分配关系， 即选择一定正则性的小波函数来做小波变换，可以使低频分量的能量尽量大而 高频分量的能量尽量小，这可以提高信号压缩的压缩比。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 4 3、结合多尺度分析的思想，在满足分解重构条件情况下，对信号作小波分 解可以自由选择分解的级数和具体的分解方案，这将给图像信息的压缩和传输 带来很大的灵活性。 4、 基于小波变换的图像压缩是将图像按粗糙子图像加细节子图像的方法来 分解和重构，因此在图像信号的传输和显示过程中，图像不再是以往的逐行传 输显示，而是整幅图像由粗略到精细的渐进传输和显示，从而节约、充分利用 有限的传输带宽。 小波变换用于图像压缩也有其缺点，主要在于计算量很大、对计算设备和 时间的要求很高13，这也正是本课题选择用光学方法实现小波变换的最主要原 因。 1.2.3 光学小波变换的发展现状 光学小波变换是建立在光学信息处理和小波变换理论上的一种应用，光学 信息处理是近年来发展起来的一门新兴学科，1948 年全息技术的发明，1955 年 光学传递函数概念的建立，以及 1960 年新型的强相干光源激光的诞生，是 近代光学发展史上的三件大事，也是光学信息处理的基础，而透镜的傅立叶变 换效应则构成光学信息处理的理论框架。 光学信息处理是指用光学方法实现对输入信息的各种变换或处理。光学信 息处理根据使用光源的时间和空间相干性分为相干光学信息处理、非相干光学 信息处理和白光信息处理。 目前常用的光学信息处理大多是相干光学处理系统， 它的处理能力灵活性、多样性等都比非相干光学处理优越，后面讲到的 4f 系统 就是相干光处理系统。 与电子信息系统相比，光学信息处理系统的最大优势是其高速度、并行性 及互连性14，恰好可以弥补电学方法实现小波变换时遇到的问题。因此，光学 信息处理以其在图像等信息处理方面的独特优势，成为信息处理领域最重要的 发展方向之一。 光学小波变换正是在光学信息处理的基础上发展起来的。最早的光学小波 变换方法的提出是在1990年e.freysz等人把光学小波变换应用于分形维数聚类 体分析的试验结构中，他们把不同尺度的墨西哥帽状小波的频谱记录在一系列 不同半径的透明圆环上，然后顺次放在 4f 系统的频谱面上，在输出面上就得到 了分形维数聚类体的多尺度分析，这是最早用光学相关器实现小波变换的研究 15,16。 1991 年 zhang 和 li 把 gabor 变换应用于传递信号分析的实验光路。用声 光调制器作为输入设备， 用 crt 和液晶光阀作为 gabor 窗以及小波变换的产生 和显示器件，及 ccd 和计算机等构成一个一维信号小波变换实时处理系统17。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 5 1992 年， hirliman 和 morhange 把小波变换应用于短光脉冲的特性分析中， 他们分析了超短光脉冲在时间域中和频率域中的特性来研究非线性光学效应 18。 szu 等人，sheng 等人以及 mcaulay 等人分别针对用柱面镜等元件构成的 一维信号的小波变换实验，获得不同频率信号的多分辨率分析结果。yang 等在 空间域构成 haar 小波变换的实验结构， 其中的小波函数的缩放是经过对小波滤 波器沿光轴的平移来实现的，并指出了用阵列点光源照明时可以进行离散的小 波变换，若用分布光源则可以获得连续的小波变换19。 在此基础上，1993 年，sheng 等提出了光学小波变换应用于平移不变的模 式识别的研究，通过适当选取小波匹配滤波器的参数来获得模式的边沿增强， 并把这些小波变换因子作匹配相关操作来进行平移不变的模式识别，与通常方 法相比，这种方法具有改善了的分辨能力和较好的信噪比20。freeman 等人利 用匹配相关器构建的光学小波变换系统实现对方向性条纹进行图像分割的研 究，并取得了较好的效果。该系统采用一个全息光学元件作为分束器实现四个 通道的光学小波变换。此外，d.mendlovic21,22,23等人系统地提出了二维光学小 波变换的实现方法，并且提出使用了 dammann 光栅实现图像的多重影像，和 多通道匹配滤波器从而可以实现 45 个通道的小波变换， 为光学小波变换应用 于图像处理奠定了坚实的理论基础。随后在国内也形成了一股研究光学小波变 换的热潮，从 1994 年金国藩院士及其学生在光电子激光上发表了一系列 关于光学小波变换的文章之后24,25,26，华家宁、赵维义、聂守平等学者分别对 之进行了理论实验分析27.28,29。可以说 19921996 年是光学小波的主要发展时 期，由于光学小波变换的机理和方法几乎被穷举，纯粹针对如何利用光学硬件 实现小波变换的研究开始降温，而以色列的科学家 d.mendlovic 小组仍在进行 着小波变换光学实现的研究，并且提出了光学分数小波变换和光学连续小波变 换等新思路。 1 1. .2 2. .4 4 光学小波变换的优缺点和应用光学小波变换的优缺点和应用 光学小波变换是基于小波变换的基本理论利用光学技术与方法对信号与图 像所作的小波变换处理。光学小波变换的研究与其应用是紧密相联的。小波变 换的时间频率（或空间空间频率）联合表示以及小波函数本身的局域性， 使得它的应用领域十分广泛。光学小波变换在诸多方面上存在电学方法实现小 波变换所不具有的优势： 1、光波传播的本身包含了傅立叶变换的特征； 2、并行处理的机制，利用光学系统实现高度并行的小波变换处理，特别是 对图像数据的处理在当前乃至将来仍具有较大的潜力和使用价值； 重庆大学硕士学位论文1 绪论 6 3、非正交小波变换的快速实现，目前软件实现的快速算法仅限于正交小 波，而非正交小波变换特性则对图像处理非常有益，这样就可以用光学 方法快速实现。 这些优点正是用电学方法实现小波变换用于图像处理时希望能有却又受到 实际限制所不具备的优点，因此用光学小波变换来做图像处理已经成为上世纪 九十年代以来光学信息处理领域中的一个前沿研究课题，具有十分广泛的应用 领域。光学小波变换的实现方法及其在模式识别和纹理分割上已经取得可一定 的成果，而在图像数据压缩方面的很少，主要是由于在用光学方法实现图像数 据压缩时，必须使光学滤波器满足图像数据压缩的条件，即图像数据的复原问 题。在众多的参考文献中除了文献30提到了图像压缩的部分知识，31介绍 了光学小波变换实现图像压缩重构以及前面提到的 d.mendlovic 研究小组的几 篇文献外，没有更多的报道。因此本文所从属的课题所研究的内容在学术和工 程应用上都可以说是十分尖端的，具有良好的前景。 1.3 本文所从属课题的简介及本文研究问题在其中的位置 本文所从属的课题是“高分辨率图像数据压缩的光学实现” ，基本思想是用 光学系统实现一幅图像的多尺度小波分解，再选择合适的编码和重构方法重构 图像信号。下面是对该方法的简单介绍。 一般电学方法处理图像信号的小波分解过程如下图 1.1 所示: 图 1.1 电学方法处理图像信号分解的流程图 fig 1.1 flow chart of image signal analysis processed by electrical manner 这个过程一般都是离散数字化实现的，但即使这样，图像的小波分解仍然 有很大的计算量，所以研究者们希望能利用光学的快速并行的优势来改进该过 程，提出了如图 1.2 的光学流程方法。 图 1.2 光学处理图像小波流程图 fig 1.2 flow chart of image signal processed by optical wavelet manner 由图中可以看出，光学系统中有分光系统，滤波器也是阵列的形式，这是 重庆大学硕士学位论文1 绪论 7 利用了光学处理的并行性，可以同时实现多通道的处理，可以大大提高速度。 此处值得一提的是， 并行处理可以有多种不同的形式， 比如可以用分光系统 （比 如光栅）把图像信号分成多路分别处理，也可以用全息技术在同一个通道中实 现多个滤波器来实现多通道并行处理，所以这里的分光系统并不是必需的。 光学处理方法与电子处理方法的不同之处主要在于光学系统是一个连续系 统，因此该过程是一个连续小波变换的过程，所以我们需要的是连续的小波函 数而不是离散的小波滤波器系数，这也是本课题一个很特殊的地方。由于目前 已有的小波都是小波滤波器系数，所以求取连续的小波函数也是课题中需要解 决的一个问题。 在信息光学中，研究者们已经构建出了经典的光学小波变换试验平台：4f 系统32 ，33，如图 1.3 所示: 图 1.3 典型的 4f 系统 fig 1.3atypical 4f system 其中 s 是点光源，本课题中用单色激光光源来实现； 0 l 是准直透镜，s 光 源发出的球面光经其透射后成为平行光束； 1 p 平面是物平面，放置试验用的图 像胶片； 1 l 是傅立叶正变换透镜，实现图像信号的傅立叶变换过程，在 2 p 平面 上是图像信号经傅立叶变换得到的频谱，同时在 2 p 平面上放置所选择的小波滤 波器片，滤波器片上是小波函数的频谱，这样就在 2 p 平面上实现了二者的频谱 相乘，从而得到图像变换的频域形式的小波变化； 2 l 是傅立叶逆变换透镜，将 2 p 平面上得到的图像小波变换的频域形式进行傅立叶逆变换，在 3 p 平面上得到 图像的小波变换空域形式； 再经 ccd 采样后得到其电信号， 可作下一步的编码 或者传输处理。 显然，光学系统与我们常用的电学系统有许多不同之处，比如首先从系统 上说，光学系统就是一个连续系统，这与我们通常用来实现小波变换的电子系 统是数字系统有很大区别， 因此怎样选择小波函数来适应这个光学设备的要求； 选定小波函数后又怎样在光学系统中具体实现，这都是本文必须考虑的问题。 同时，在课题中，如果小波滤波器用全息滤波片或者胶片实现，那么由于二者 的加工工艺水平目前还较有限，故不能很精确地实现小波函数本身，必须将小 波函数的系数量化到加工精度的限制范围内才能实现，而这种量化是否会影响 重庆大学硕士学位论文1 绪论 8 小波函数分解重构图像的质量，这也是本文要考查的问题。 由于目前还没有良好的实际光学系统试验平台和相关的信息光学仿真软 件，本文考查这个问题的基本思想和方法是通过计算机仿真程序分别用未量化 的小波函数和量化的小波函数对图像进行一级小波分解重构， 比较二者的结果， 以判断量化是否会对小波变换的效果有明显的影响。 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 9 2小波分析及其在图像压缩中的应用小波分析及其在图像压缩中的应用 2.1 引言 小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性能，并可形成图像的多尺 度表示，且具有方向性，适合对图像进行有效的压缩编码，因而成为图像压缩 编码的主要技术及近几年来图像编码理论研究的热点。小波可以有几个自由度 的选择灵活性，使得如何选择小波基及小波基的优化成为各种不同应用中的关 键因素。本章回顾了采用小波变换进行图像压缩编码研究时，所遇到的一些基 本概念和问题，从图像压缩编码应用的角度对不同的小波基的特性及小波基的 选择优化问题进行了深入研究和讨论。 下面将简略介绍一些小波理论的基本概念及其在图像压缩中的应用方法。 2.2 小波变换理论基础 2.2.1 小波分析理论的产生 与其他信号（或者说函数）分析理论一样，小波分析理论也是以将信号进 行分量分解，从而实现对信号不同部分进行不同处理为目的的一种分析方法。 它是在经典的傅立叶分析基础上发展起来的，它既可以用于分析确定信号，也 适用于分析随机信号。它的优点在于为很多自然信号提供了一种自适应的分解 形式，使其广泛应用于滤波、压缩和模式识别等领域。 通常我们都在时域和频域上考察一个信号，二者通过经典的傅立叶变换相 互转换，信号( )f t的标准傅立叶变换定义为： ( )( ) j t fef t dt ，（2.1） 其逆变换形式是： 1 ( )( ) 2 j t f tfed 。（2.2） 它可以看成是将信号( )f t分解成以 j t e 为分量，以( )f为该分量的权系数的所 有分量的和。将信号以此方式分解后，就可以分别对不同频率分量做不同的处 理，以达到不同的信号处理的目的。 傅立叶分析将信号的时域和频域很好的联系了起来，是经典的分析方法， 但它有一些不足之处，这主要体现在傅立叶变换的积分区间是整个时域或者整 个频域，因此它不能很好的适应某些需要局域化信号处理的场合。具体说，由 式(2.1)和(2.2)中可以看出， 要想知道( )f t的任一个频率分量 0 的权重 0 ()f， 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 10 都必须知道整个( )f t的信息；反过来说，( )f t上任一处 0 t 的变换都会影响整个 ( )f。在这样的情况下，如果我们只想研究信号的时域或频域某个小区域上的 情况，却也必须计算整个域上的信号信息，就显得很不划算了。 针对傅立叶变换的这一不足，研究者们提出了加窗傅立叶变换作为改进， 即在傅立叶变换中加一个窗口函数( )g t以实现局域化，其定义为： (, )( ) () jt f gef t g tdt （2.3） 其中是位移因子，用来控制窗口的位置，以实现将需要的信号局域部分提取 出来的目的。这里值得一提的是，窗口函数( )g t并不一定是时域窗，也可以是 频域上的窗，甚至可以是时频域上同时为窗的函数，这可以根据具体研究目的 来选择，但从理论上说，严格紧支撑的时频同时为窗的函数是不存在的，时频 局域化是不可兼得的，所以所谓的时频窗都是工程上可以接受的近似。 虽然加窗傅立叶变化在一定程度上解决了局域化分析信号的问题，但是由 于传统的窗函数都是固定大小的窗口，与现实信号低频成分复杂，高频成分稀 疏的实际情况不是很吻合，所以用这种窗变换研究信号的局域部分仍然不是很 方便。因此工程师和研究者们都希望能有一种窗可以适应这种低频复杂、高频 稀疏的情况，在这种愿望下，并结合工程上可以接受的近似时频窗概念，小波 分析产生了。 一个信号( )f t的小波变换定义成： 1 2 ( , )( ) () f tb wa baf tdt a ， 由于我们使用的小波函数一般都是实数，所以上式也可以写成更简单的形式： 1 2 ( , )( ) () f tb wa baf tdt a 。（2.4） 其中，( ) t是小波母函数，a 和b分别是尺度因子和时域位移因子，a 一般都只 取正数，这样一个小波函数通常可以写成： , 1 ( )() a b tb t aa ，（2.5） 而( )f t的小波逆变换定义成： 2 1 ( )( , ) () f tb dadb f xwa b caa 。（2.6） 其中c称为小波常数，式（2.6）成立的条件是c小于无穷大于零，具体表达 成： 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 11 2 ( ) cd 。 这个条件被称为允许性条件，它限制了小波函数是一个快速衰减的振荡，这也 是小波名称的来历， 我们把所有满足这个条件的函数成为允许性小波的母函数， 再按照式（2.6）处理就可以得到任意尺度的小波函数。之所以把它称为“允许 小波”是因为在研究者确定这个定义前，还有一些被用于信号检测的小波函数 并不满足这个条件， 主要因为那些应用并不需要恢复信号， 所以不必有式(2.6)， 也就不存在允许性条件的限制了。比如著名的 molet 小波就是一个不满足允许 性条件的小波函数，因为 molet 只是将其用于地震信号的检测分析，而并不需 要它能重构信号。 2.2.2 小波函数的窗口特性 小波分析是针对信号的局域化处理而产生的，所以小波函数必然具有良好 的时频局域化性质，也就是说小波函数必然具有窗函数的性质，幸运的是前面 提到的小波的允许性条件实际上是一个比窗函数条件强的条件，也就是说我们 的允许性小波函数肯定是窗口函数2,9,34，而小波函数比一般的窗函数更加优越 的一点就在于其自适应且时频同时具有局域化的特性。这里仍然要再次强调的 是， 从数学的角度严格的讲是不存在同时在时频域上都严格紧支撑的窗函数的， 但从工程近似的角度讲，我们还是可以接受小波函数为时频同时局域化的窗函 数。而且在长期的研究和实际应用中，这一近似的可行性也得到了经验的验证。 在这个基础上，我们定义一个小波函数( ) t的时域窗口中心为t，半径宽度为 t 9： 2 2 2 1 ( ) ( ) tttdt t , 1 2 2 2 1 ()( ) ( ) t tttdt t 。 其频域窗的中心和半径 具有相同的定义形式，只要把上面式子中的t 和 ( ) t换成相应的和( )就能得到。 这样， 当我们选定一个小波母函数( ) t的 时候，就已经选定了它的时频窗口中心和半径宽度。 下面我们再来考察加上了尺度因子 a 和位移因子b后的情况。根据定义式 （2.5）,显然可以知道相应的时窗中心和半径变为： ,a b tatb ， , ,t a bt a 。(2.7) 再根据傅立叶变化的性质，可以知道其频窗中心和半径变为： 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 12 ,a b a ， , ,a b a 。(2.8) 这里值得注意的是，频窗中心和宽度都没有受到b的影响，这是因为时域上的 位移只会在频域上带来一个相位的位移，而不会影响频谱。而 a 的改变却决定 了时频窗的位置和大小。这说明对于一个小波函数，其尺度因子 a 是相对主要 的控制因子，因此我们可以通过对 a 的控制来得到想要的小波频域窗口。 根据式（2.7）和（2.8）我们可以看出，当我们改变 a 的取值时，时频窗 口的位置和大小也会相应改变。当 a 变大的时候，频窗位置会向低频移动，宽 度会减小，其对应的时窗宽度则变大，时窗位置可由b再进行调整；反过来， 当 a 变小的时候频窗位置会向高频移动，宽度会变大，而对应的时窗宽度会变 小，位置仍然可以再用b来调整。这种变化即符合信号时频宽度互为倒数的关 系，又符合实际信号低频成分复杂需要细分，高频成分稀疏可以粗分的特点， 具有良好的自适应性，这正是小波窗最大的优点，也是它之所以成为优良的信 号分析工具的最主要原因。下图是这一自适应性的示意图: 图 2.1 小波窗的时频特性 fig 2.1 characteristic of the window of wavelet 如果需要的话，我们还可以注意到，当选定一个小波母函数后，上面图中所示 的窗口的“面积” （这里窗的面积并不是真正存在于函数或者信号中，只是我们 考察其窗口性质的一个抽象指标）是固定的，无论因子 a 和 b 怎样变化，其面 积始终都是小波母函数的窗面积：4 t 。 2.2.3 小波级数 同傅立叶变换一样， 小波变换的逆变换过程也可以看成是把信号( )f t分解成 以 , ( ) a b t为分量，以( , ) f wa b为该分量的权系数的所有分量的和。如果取遍所有 的a和b的值，就可以得到( )f t的所有分量值，相加就能重构( )f t。但在工程上， 要取遍a所有的连续值是不现实的（在我们的课题中，b可以在光学器件上实现连 续的取值），因此我们仍然希望能像傅立叶级数一样，能有离散化的分解方式， 也就是所谓的小波级数。在这一节中就将介绍这种离散的分解方法。 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 13 首先我们定义离散小波如下： 2 ,000 ( )() j j j k taatb k , j kz， 如果取 00 2,1ab 则得到二进小波： 2 , ( )2(2) j j j k ttk ，, j kz，(2.9) 用这样的二进小波对信号做分解，可得到信号的小波级数形式如式（2.10）所 示，这个形式正是泛函分析理论中的投影分解的形式。 , ( ), j kj k f xf 。(2.10) 这样就解决了小波分解时尺度因子和位移因子要连续取值的问题，虽然本课题 中光学系统可以实现位移因子的连续取值积分，但尺度因子的连续取值是不能 实现的，所以这个问题的解决对本课题同样十分重要。 2.2.4 小波基 从泛函分析的理论上说 34,35，离散后的小波能否用于重构信号取决于它是否 能构成信号所在的空间的框架。如果选择适当的 0 a 和 0 b ，可以使 , j k 构成空间 的基用于分解空间基中的信号，目前取二进小波是被广泛接受的一种经验的取 法。 数学家已经证明， 能构成可以分解重构空间的基的小波函数至少应该满足框 架条件 2,9,34,35,36： 2 22 , ( )( ),( )( ) j k a f tf ttb f t ， ,a br且0ab 。 其中( )f t是空间中的函数，也可以直接认为是现实中的信号，因为此处我们所研 究的空间是 2( ) l r 空间。这个条件从小波的频窗分解整个频域空间的角度来理解 更容易，下图是示意图： 图2.2 频域空间的分解 fig 2.2 resolution of frequency space 如图中所示，这个条件可以保证离散后的窗口能覆盖整个频域空间，从信号处理 的角度讲就是所有的窗口加起来能构成一个全通滤波器， 这样频域上的任意信号 总能无损的通过这个系统。 其中信号经每个窗口滤波器滤波得到的分量反映到数 学上就是函数在该窗口所展成的子空间中的投影，也就是分解后的分量。 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 14 但同时我们也看到， 由于这个条件只能保证全通， 并没有涉及到分解的效率， 所以完全有可能出现图中所示的情况，即可能有一些重复的窗口，这会使信号经 这组滤波器分解后得到的分量之间有复杂的冗余， 虽然理论上说总可以找到办法 消去冗余完全重构信号，但毕竟这不是高效率的办法。 如果我们在上面框架条件的基础上再加上一个约束条件，要求 , j k 不仅满 足框架条件，还是一组线性无关的基，那么我们就得到了一组性能更优良的空间 基，这在泛函分析理论中被称为riesz基，也叫无条件基，其分解频域空间的示 意图如图2.3所示。可以看出，虽然各个滤波器之间仍然有一些冗余，但是已经 没有了重复的情况，这是由线性无关的条件带来的。用这样一组滤波器去分解信 号，可以保证信号不会丢失信息，同时又大大降低了重构时的难度。 图2.3 riesz基分解频域空间 fig 2.3analysis of frequency space by riesz basis 这时如果我们再加强约束条件， 在 riesz 基的基础上再要求 , j k 之间是正交 的，即： ,. , j km nj mk n ， 则称此时的这种小波基为正交小波基。其完整的约束条件是 , j k 应满足对 2( ) l r 空间中的任意函数( )f t，总有： 2 22 , , j k a ffb f ，其中1ab,且 , 1 j k 。 正交基是框架基中最理想的情况，它继承了框架基的完备性，而且各基元 张成的子空间相互正交，它是一种最简洁的基，不仅在数量上最简，并且在相 互关系上也是最简的。从频域上看，它就相当于一组相互正交的滤波器组，共 同构成频域空间的全通滤波器，同时相互间又没有重叠，用它对信号做分解得 到的分量间是没有冗余的，图 2.4 是其正交分解空间的示意图。 图 2.4 正交基分解频域空间 fig 2.4analysis of frequency space by orthogonal basis 由上面三种基的定义不难看出这三种基是一个从属的关系，随着约束条件 的加强， , j k 从框架基过渡到 riesz 基和正交基，图 2.5 表示了各母小波函数 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 15 之间的关系，图中用的判定条件是用频域形式给出的。 可以看出，从数学的角度说，从框架基开始小波基就具有完备性了，从理 论上说就已经可以用它来分解重构空间中的任意函数，只是由于基元间可能存 在的冗余关系使工程应用变得困难；而 riesz 基从基元的数量上说已经是最简 的了，但它各基元间还有一些冗余；正交基则在基元的数量和相互关系上都达 到了最简，它有最少数量的基元，并且相互间还正交，是最理想的基组。这里 值得一提的是从 riesz 基和正交基只有冗余上的区别，而在数量上是相同的， 已经证明对任一组 riesz 基，必可以通过某种消冗余的算法得到一组正交基， 而且其中 riesz 基的基元和正交基的基元是通过这种正交算法一一对应的。比 如著名的 gramschmidt 规范正交化算法就是常用的方法 37。 图 2.5 三种小波的关系 fig 2.5 relationship between the three kinds of wavelet 2.2.5 多尺度分析(mra) 结合图2.4正交小波基分解频域空间和式（2.9）中二进小波的思想，我们可 以将一般信号所在的频域空间做如下的分解： 图2.6二进小波分解频域空间 fig 2.6analysis of frequency space by dyadic wavelet 如图所示， 这种分解方法利用了小波窗口的自适应性和正交基无冗余分解的 优点，能很好的适应现实信号的频域特性，是一种很方便的信号分解方法，在一 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 16 些不需要重构信号的应用中有广泛的用途。 其中横坐标上窗口的位置和宽度只是 抽象的数学坐标， 只表示各个窗的相对位置和大小， 并不表示真实的频域坐标点。 而在一些需要重构信号的场合，这种分解方法还存在一个严重的问题，就是 我们无法取遍所有的窗口，特别是向低频方向取窗的时候，根据式（2.9） ，只有 我们将 j 取到正无穷大时，才能取到所有的低频频带，而对一个实际信号来说， 低频分量总是其重要的组成部分，是不可舍去的。但在现实工程应用中，显然我 们不可能将 j 取到正无穷大，这就势必造成信号重构时会有很大的误差，这使 得单纯用二进小波窗来分解信号只能停留在理论的阶段上。这里笔者想说的是， 在现在业内的一些文献中，有的研究者用上述分解方法，只取了几个小波窗口来 重构信号仍然得到了较好的效果，但那是由于他们所选择的试验图像信号本身 （或对图像做过预处理）的频谱就恰好集中在那几个频段上，所以决不足以作为 一般情况下的参考例子。 为了解决这一问题，工程师们结合泛函空间的理论，引入了尺度函数作为小 波函数的补充，弥补了这一缺陷，构建了完整的多尺度分解空间，下面将介绍这 一最终使小波变换的优良特性真正得以应用的方法。 为更严格的说明这一理论， 下面的介绍将从数学的角度介绍多尺度分析的原 理。又为了方便说明和读者理解，我们用正交的多尺度分析做例子来介绍。 正交多分辨分析是一种基于尺度伸缩的正交分解空间的方法，从分解层次 需求上说它有很好的灵活性（特别是由它发展出的小波包分解） ，而且工程师们 已经提供了便于计算的 mallat 算法，十分适合实际中的计算机信号处理，是现 今被广泛使用的一种信号分解方法。 首先我们定义一个多分辨分析 , , jj k v， 其中 j v是多分辨分析的一组框套 子空间（注意这里空间指的是函数空间） ， , , j k kz是 j v的正交基， . j k 是母 函数经 j 尺度伸缩、k 平移生成的基函数： 2 . 2(2) j j j k tk 。 上面式子中的 . j k 被称为尺度函数， 在构成空间的基的问题上， 它与小波函数有 异曲同工之妙，而这些 j v空间描述了一系列顺序逼近的空间： 21012 vvvvv。 每一个都具有分辨率 j 2 。对每一个 j ， lj, 张成的空间 j w表示 j v在 1j v中的补 空间，即满足： jjj wvv 1 这里，符号表示直接和。换句话说，每个元素 1j v可以用唯一的方式写成元 素 j w与元素 j v的和。然而空间 j w不必是唯一的，可以用不同的方式得到 j v在 重庆大学硕士学位论文2 小波分析及其在图像压缩中的应用 17 1j v中的补。系数 lj f , ,描述了函数f由 1 2 j 分辨率逼近到更粗糙的 j 2 分辨 率逼近时所丢失的信息。 因为 10 vv，存在一个序列)( 2 zlhk，使得尺度函数满足双尺度差 分方程： k k kxhx)2()(， 类似地，对小波有： k k kxgx)2()(。 而( ) j x正是 j w的空间基。 可以这样理解多尺度分析： j 决定了 , j k 的尺度， 也就是 j v空间的基元尺度， 即 j v空间的分辨率（或者说是 j v空间刻画函数的精细程度） ，这就是多分辨分 析名称的由来。 我们取第 j 个尺度下的 j v空间研究，其基元的尺度由 j 决定， j 平移 k 并 展成整个 j v，用图 2.7 左图简单示意如下： ， 图 2.7 j v空间的分解 fig 2.7anslysis of j v-space 这里的方格表示基元的最小尺度，也就是 j v空间中能刻画的函