（基础数学专业论文）Λ可约的heegaard分解.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 研究3 流形的重要方法之一就是沿著3 流形中的某种曲面对3 流形送行切割，从而 得到某种意又下“简单刀一些的3 流形。很多时候，我们从“简单 的3 流形的拓扑性 质和几何结构以及恢复原3 流形的粘合映射便可以了解原3 流形的一些拓扑性质和几 何结构。根据曲面类型的不同，对3 流形切割所得到的个简单块也不同。如果选取的是 3 流形中的本质曲面，对应的就是3 流形的连通和分解；如果选取的是3 流形中的本质 圆片，对应的就是3 流形的边界连通和分解；如果选取的是3 流形中的不可压缩曲面， 对应的就是3 流形的谱序列分解；如果选取的是3 流形中的本质环面，对应的就是3 流形的j s j 分解；如果进取的是3 流形中的h e e g a a r d 曲面，对应的就是3 流形的h e e g a a r d 分解。3 流形中的以上这些分解已经有比较系统和成熟的理论，这些理论在3 流形拓扑 的研究中友挥了重要的作用。 受h e e g a a r d 分解的连通和分解的启发，本文研究h e e g a a r d 分解沿着其中的本质扩 展平环的分解。我们引入了h e e g a a r d 分解的 可约的概念。若带边3 流形m 中有相对 于其h e e g a a r e t 分解y u 。形的本质扩展平坏，则称矿u 。形是以一可约妁的。对于以一可 约的h e e g a a r a 分解y u 。形，依据其本质扩展平坏么是不分离或是分离的，我们可以对 v u sw 进行i 型 一分解mj mu 鸩，或i i 型分解矿u s 形哼ku 禺形u v ：u 岛。 进一步，我们定义了h e e g a a r a 分解的 一和，证明了h e e g a a r d 分解的 一和素分解的有 限存在性定理。此外，我们还一般地讨论了两个3 流形的平环和，并得到平环和的一些 性质。这些结果是已有结果一定程度上的推广，对于了解3 流形及其h e e g a a e d 分解的 性质和结构有一定的积极作用，对于进一步深入的研究有一定的启发。 关键词：3 一流形；h e e g a a r d 分解；a 一可约的h e e g a a r d 分解；a 一和分解；不可压 缩曲面 s u b d i v i s i o n so fw e a k l yr e d u c i b l eh e e g a a r ds p l i t t i n g s o to r l e n t a b l ec l o s e dj - m a n l t o l d s ， ，11 a b s t r a c t o n eo ft h ei m p o r t a n tm e t h o d st os t u d y3 - m a n i f o l d si st oc u t3 - m a i l i f o l d si n t os i m p l e p i e c e sa l o n gs o m ek i n d so fs u r f a c e si nt h e3 - m a n i f o l d s u s u a l l yw ek n o wt h et o p l o g i c a l p r o p e r t i e sa n dg e o m e t r i cs t r u c t u r e so f3 - m a n i f o l d sf r o mt h a to ft h es i m p l ep i e c e sa n dt h e p r o p e r t yo ft h ea t t a c h i n gm a p sv i aw h i c ht h eo r i g i n a lm a n i f o l d sa r er e c o v e r e d t h es i m p l e p i e c e sv a r i e da c c o r d i n gt ot h ec h o s e nc u t t i n gs u r f a c e s w h e nt h ec h o s e ns u r f a c e sa r ee s s e n t i a l 2 - s p h e r e s ，w eh a v et h ec o n n e c t e ds u m so f3 - m a n i f o l d s ；w h e nt h ec h o s e ns u r f a c e sa r ee s s e n t i a l d i s k s ，w eh a v et h eb o u n d a r yc o n n e c t e ds u l l l s o f3 - m a n i f o l d s ；w h e nt h es u r f a c e sa r e i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e s ，w eh a v et h eh i e r a r c h i e so f3 - m a n i f o l d s ；w h e nt h ec h o s e ns u r e f a c e sa r e e s s e n t i a lt o r i ，w eh a v et h ej s jd e c o m p o s i t i o n so f3 - m a n i f o l d s ；w h e nt h ec h o s e ns u r f a c e sa r e h e e g a r r ds u r f a c e s ，w eh a v eh e e g a a r ds p l i t t i n g s t h et h e o r yo fd e c o m p o s i t i o n sa n ds p l i t t i n g s m e n s i o n e da b o v eh a v eb e e nw e l ld e v e l o p e d ，a n dp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h es t u d yo f 3 - m 獭l dt o p o l o g y i n s p i r e db yt h ec o n n e c t e d 双1 n 塔o fh e e g a a r ds p l i t t i n g s ，w em a i n l ys t u d y t h ed e c o m p o s i t i o n s o fh e e g a a r ds p l i t t i n g sa l o n ge s s e n t i a ls p a n n i n ga n n u l i f i r s t , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f a - r e d u c i b l eh e e g a a r ds p h t t i n g s ah e e g a a r ds p l i t t i n gv u swi sa r e d u c i b l ei ft h e r ee x i s t s a ne s s e n t i a ls p a n n i n ga n n u l u s w es h o ws u c hah c c g a a r ds p l i t t i n gc a nb eb r o k e nu pi n t oan e w o n eo rt w on e wo n e s , a sm mu 鸩o r v u sw 匕ku 西u u 品，v i aa a - d e c o m p o s i t i o no ft y p eio ri i ，a c c o r d i n gt ot h ee s s e n t i a la n n u l u si sn o n - s e p a r a t i n go rn o t m o r e o v e r , w ed e f i n et h e a s u l no fh e e g a a r ds p l i t t i n g s ，a n ds h o wt h ee x i s t e n c ea n df i n i t e n e s s t h e o r e mo ft h ep r i m ea s u md e c o m p o s i t i o n so fh e e g a a r ds p l i t t i n g s w ea l s od i s c u s st h e a u n n u l u ss u n lo f t w o3 - m a n i f o l d s ，a n dg e ts o m ep r o r 七m i e so f t h ea n n u l u ss u l io f t w 0 3 - m a n i f o l d s t h er e s u l t sw eg o ta r es o m eg e n e r a l i z a t i o mo fs o m ek n o w nr 嘲l t , a n di ti sh e l p f u li n u n d e r s t a n d i n gt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sa n dg e o m e t r i cs t r u c t u r e so f3 - m a n i f o l d sa sw e l la s h e e g a a r ds p l i t t i n g s k e yw o r d s ：3 - m a n i f o l d ；h e e g o o r ds p l i t t i n g ；a r e d u c i b l eh e e g a a r d s p l i t t i n g ；a s u md e c o m p o s i t i o n ；i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 学位论文题目： ! 二雪丝坌垒应竺z 竺丛坌垒王 作者签名： 整豳日期：互4 年2 - 月二日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 二鱼丝塑竺篡竺! 茎! 蟹 作者签名： 黎幽a日期：掣年z _ 月j 日 导师签名： 垦鸶量垫!日期：幽年- 王月出日 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 1 1三维流形的发展史回顾与研究现状 拓扑学是几何学的一个支。我们今天所称的“拓扑一词是由英文“t o p o l o g y 音 译而来的，这一词起源于希腊文，原意是地势学。按照k l e i n 的看法，几何学是研究空 间在交换群下保持不变的性质，而拓扑学恰恰是研究空间在拓扑交换群下不变性质的学 问。这和欧氏几何是研究则体交换群下不变性质形成了对比，由于拓扑交换群比刚体交 换群广泛的多，因此欧氏几何学中的一些重要概念与不变量都不复存在，像角度、长度、 面积、体积等。因为这些在欧氏几何中的不变量在拓扑交换下都是可变的，这就使得拓 扑学的研究方法同欧氏几何学方法有着显著的区别。 从拓扑学的历史发展来看，1 9 世纪是萌芽时期，这时候仅有一些孤立、零星的研究， 使它成为一门独立学科的则座归功于1 9 世妃末、2 0 世纪初的法国大数学家p o i n c a r 6 的 工作。他引入了剖分、基本群、同调群这样一些基本概念来研究流形，并提出了p o i n c a r 6 猜想，极大推功了组合拓扑和代效拓扑的友展。在接下来的1 0 0 多年中，拓扑学迅猛发 展，从研究方法上分，形成了点集拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学等分支，并与其它 数学学科相互影晌、相互渗透，共同推动着数学的发展与进步。 拓扑学研究的基本对象是流形，流形是欧氏空间的一种自然推广，并且有维数的区 别。按照维数粗略的可以分为高维和低维，不同维数的流形研究手段差别比较大。以三 维和四维流形为研究对象的低推拓扑学最早可以追溯到p o i n c a r 6 那个时期，但只在近几 十年才有了飞速发展，原因在于代数拓扑和微分拓扑里面一些有效的概念在低维流形里 面失效了，于是数学家不得不另辟蹊径，并使其获得了迅速的发展。 三维流形是低维拓扑里面一个重要分支，也有着一百多年的历史。但它登上致学的 中心舞台则归功2 0 世纪7 0 年代提出纲领性看法的t h u r s t o n ，从那时开始三维流形理论 成为数学中发展最迅猛的生长点之一。此外，由于我们生活的世界是一个三维空间，我 仍熟悉的几何对象也是三维或三维以下，因此三维流形是拓扑学研究对象中最具有几何 直观性的，也相对比较简单。但是对于相对简单的对象，数学家往往提出更高的要求， 而且由于它的余维数较低，高维流形研究中很多行之有效的方法往往失效，因此三维流 形的研究也很困碓，所使用的方法与获得的结果也有别于其它拓扑学分支。 三维流形理论研究的中心同题是分类问题( 这往往也是其他拓扑分支乃至数学分支 研究的中心问题) ，形象的说是要找到三维流形的一张“图表，图表中的流形彼此互 不拓扑等价，并且任给一个三维流形，我们能通过一些方法来说明它必与“图表”中的 一可约的h e e g a a r d 分解 某个流形拓扑等价。这张“表 在二维流形中已经找到，在四维以上征明不存在，在三 维情形坯还没有确切答案。这就使得三维流形的分类问题显得尤为神秘和重要。 要解决分类问题，很自然的，我们首先要对三维流形的内部结构进行深入地研究。 一个经典的结果是上个世纪5 0 年代，美国数学家m o i s e 和b i n g 证明的三维流形的一个 定理【i 捌：每个维数3 的流形上有唯一的分片线性结构。也就是说，每个三维流形可剖 分，并且一个流形的任意两个剖分都有公共重分。从m o i s e 和b i n g 的定理出发，很容 易知道如下事实：每一个闭的三维流形均有h e e g a a r d 分解。也就是说每个连通的闭的 可定向的三维流形都可以沿着某个曲面切成两个同亏格柄体的并( 称此曲面为流形的 h e e g a a r d 曲面) 。这一事实使得我们可以将一个复杂的流形分解成相对简单块，从而可 以通过研究相对简单块的性质获得原来流形的信息。 众所周知，在二维流形的研究中，曲线发挥了重要的作用，同样在三维流形的研究 中，曲面也发挥了重要作用。除了我们上面提到的h e e g a a r d 曲面，还有一类特别重要 的曲面，那就是不可压缩曲面，从代数上看，不可压缩曲面就是含入映射诱导基本群同 态为单的那些曲面，它可以看作是从流形中的可压缩曲面通过尽可能多地“压缩而获 得的，即沿着流形中的可压缩曲面的本质圆片切割曲面而获得的一些尽可能简单的曲 面。不可压缩曲面有着非常良好的拓扑性质，在某种程度上，它能够反映流形的一些内 在的信息。 1 8 9 8 年，丹麦数学家h e e g a a r d 在文 3 】中注意到每个连通可定向的闭3 一流形都可以 表示为两个同亏格的柄体沿着其边界的并，这就是后来众所周知的3 流形的h e e g a a r d 分解。后来人们知道这种结构可以一般化到连通可定向的带边3 流形上，即每个连通可 走向的带边3 流形可以表示为两个压缩体沿着正边界的并，这就是连通可定向的带边 3 流形的h e e g a a r d 分解。这两种情形的分解曲面均称为流形的h e e g a a r d 曲面。3 流形m 的一个h e e g a a r d 分解通常用矿u f 形表示，也可以用( m ，f ) 表示，其中f 是对应的 h e e g a a r d 曲面，它把m 分成两个压缩体矿，形。也称f 的亏格为该分解的亏格。 任意3 流形都有h e e g a a r d 分解，但一个h e e g a a r d 分解本身到底能多大程度决定它 所确定的3 流形的拓扑性质和几何结构却是一个十分复杂的问题。 利用曲面来研究三维流形是相当有效的一种方法，而通过这种方法获得的最早的结 果之一就是著名的h a k e n 引理，是在1 9 6 8 年由h a k e n 给出的【4 j 。该定理实际指出了流 形可约和h e e g a a r d 分解可约有对应的关系，是h e e g a a r d 分解中的最早也是最重要的主 要定理之一。从h a k e n 引理出发，得到很多流形的重要性质与结果。比如利用这个定理 我们很容易证明流形的h e e g a a r d 亏格在连通和操作下是可加的。同时这个定理的成功 大连理工大学硕士学位论文 应用也激发着人们去研究曲面与曲面之间的相互关系，以此探索三维流形。另一个著名 例子就是w a l d h a u s e n 【5 l 也是在那一时期证明了s 3 的任何亏格的h e e g a a r d 分解都是唯一 的。 随着时间推移和对三维流形研究的不断深入，许多人对h e e g a a r d 分解提出了新的 看法并作了不同的推广。c a s s o n - g o r d o n ，s c h a r l e m a n n 等人将h e e g a a r d 分解从闭曲面情 形推广到了带边情形。c 嬲s o n g o r d o n 【6 】在1 9 8 7 年引入了h e e g a a r d 分解弱可约的概念， 并证明了著名的c a s s o n - g o r d o n 定理。和可约概念比起来，它看起来不是很自然，但是 最终证明非常有效，是现在三维流形h e e g a a r d 分解研究中一个最重要的概念。 s c h a r f e m a n n 和t h o m p s o n 刀提出n i i l lp o s i t i o n 的概念它将弱可约的概念实用化，从而 大大推动了三维流形的研究。 在2 0 0 1 年，j o h nh e m p l e 在文献【8 l 中从曲线复形的角度将三维流形的h e e g a a r d 图表 看成是一个曲面上曲线复形的一对单纯形，将分解看成由等价的图标产生h e e g a a r d 的 一对子复形，从而将流形的拓扑性质和这些子复形的几何性质联系了起来。 1 2 课题的来源与意义 早在1 9 2 9 年，k n e s e r 1 4 】就证明了每个紧致的三维流形都可以分解成有限个称为素 的三维流形的连通和。1 9 6 2 年，m i l n o r i t 1 5 证明了这样的分解还是唯一的。k n e s e r - m i l n o r 的结论就是著名的素分解定理：每个紧致的三维流形都可以分解成有限个素三维流形的 连通和，在不计顺序的意义下，这种分解是唯一的。这也是我们现在处理三维流形的第 一步，即将三维流形分解成一些不可约的简单块。 用3 流形中的本质环面来切割3 流形，对应的就是j s j 分解的理论。j s j 分解有时 也称为t o r u s 分解或t o m l 分解。它是进一步对由素分解得到的素流形进行分解，因此可 以看作是素分解方法的一个自然的延伸。虽然环面是除了2 嘎r 面以外最简单的可定向闭 曲面，但它的复杂性却远远超过了2 球面。 用3 流形中的带边曲面来切割3 流形，最简单的情形就是本质圆片，这对应的就是 3 流形的边界连通和分解。这跟前面两种情况相比要简单许多。我们现在考虑的3 一流形 通常均假定不能再用本质圆片进行切割。 带边曲面中比圆片稍微复杂一点的就是环面，即圆柱筒。受以上理论和方法的启发， 我们尝试用3 流形中的本质换面来切割3 流形。从这些方面开展研究工作对于深入了解 3 流形和h e e g a a r d 分解的拓扑性质和几何结构还是很有益处的。 - 可约的h e e g a a r d 分解 1 3 论文的主要工作和文章结构 本文是作者在攻读硕士学位期间主要工作的总结，我们主要是研究3 流形( 连同它 的一个h e e g a a r d 分解) 沿着其中的本质扩展平环进行所谓的a 一分解，得到一些关于 3 流形和h e e g a a r d 分解的一些性质和结构。我们还一般地讨论了两个3 流形的平环和， 并得到平环和的一些性质。 所讨论的主要内容和具体结构如下： 第l 章简单介绍了三维流形组合拓扑学的发展概况以后，重点介绍了3 流形的的历 史、研究现状，以及h e e g a a r d 分解的一些知识。 第2 章介绍了3 流形、3 流形的h e e g a a r d 分解的常用的基本概念和基本定理，为后 面的章节中的研究工作做了准备。 第3 章给出我们论文的主要定理，并给出详细的证明。 大连理工大学硕士学位论文 2 三维流形的预备知识 如果没有特别说明，论文中提到的流形都是可定向的，且所有的子流形都是真嵌入 的并处于一般位置。论文中没有详细说明的概念或结论都是经典的，读者可以参阅文献 【9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 】。 2 1 3 一流形的基本理论 本节主要介绍的是3 流形拓扑中的一些基本的概念，同时也规定了一些通用符号。 定义2 1 设m 为一个h a u d o r f f 空间。如果m 中每点都有一个领域同胚于r ”， 则称m 为一个刀维流形( 刀流形，刀为m 的维数，记为d i m m = 所。如果m 中每一点 都有一个领域同胚于掣，或者同胚于匙，则称m 为一个刀维带边流形。记m 的所有邻 域同胚于趟的子集为o m ，称o m 为m 的边界。易知a m 是一个流形，且o o m = g 。 如果m 是紧致无边的流形，则称m 是一个闭流形。 特别地，连通的1 流形称为曲线，2 流形称为曲面。 我们先列出曲面连通和的定义。 定义2 2 设x 、】，是两个紧致曲面，x 与】，的连通和是由下面的步骤构造出的紧 致曲面：分别从x 和】，的内部去掉一个小的开圆片，再沿这两个切口通过一个圆周至圆 周的同胚把这两个曲面粘在一起就得到了x 和】，的连通和，记为x # y 。 x 和】，的连通和如图2 1 所示。 图2 1 下面介绍一下2 流形的分类定理，这些理论在r i e m a n n 时期已经完成。 定义2 1 紧曲面分类定理( r i e m a n n1 9 世纪) ( 1 ) 任何可定向的紧致闭曲面同胚于2 球面与刀个环面的连通和( 行0 ) 。 ( 2 ) 任何不可定向的紧致闭曲面同胚于2 球面与刀个射影平面的连通和( 以1 ) 。 定义2 2 ( m o r s e & b i n g1 9 5 0 s ) 。每个维数3 的流形有唯一的微分( 或分片线 形，即p l ) 结构。 定义2 3 设m 是一个刀流形，若s c m 中每一点均有一个领域u 使得( u ，u n s ) ( 咒或微分) 同胚于标准对( 尺”，r ”) ( 肌刀) ，则称s 是m 上的一个m 维子流形。 若厂是从到m 的子流形厂( ) 的一个同胚，则称f ：n 专m 是一个嵌入。 正如曲线在研究曲面过程中发挥重要作用一样，了解3 流形中的曲线、曲面对于了 解3 流形本身是十分重要的。 定义2 4 假定m 是一个3 流形。 ( 1 ) 设s ，s 2 是m 中的两个( 嵌入) 曲面。若它们的相交局部如图2 2 ( 左) 所 示，则称s 和最在m 中处于一般位置( 或横截相交) 。 ( 2 ) 设s 是m 中的一个曲面，c 是m 中的一条简单闭曲线( 即圆周在m 中的一 个嵌入像) 。若它们的相交局部如图2 2 ( 右) 所示，则称s 和c 在m 中处于一般位置 ( 或横截相交) 。 ( 3 ) 设s 是m 中的一个( 嵌入) 曲面，若舔c a m ，i n t ( s ) c i n t ( m ) ，则称s 是m 的 一个真嵌入的曲面。 图2 2 定义2 5 设m 是一个3 流形，若h ：m x 0 ，l 】专m x 0 ，1 】是一个同胚，并且对每 个f 0 ，1 】，h ( x ，) = q o ) ：肘岭m 均为同胚，则称日为从风到墨的合痕( 或同痕) 。 大连理工大学硕士学位论文 对于m 中的曲面最和s ，如果存在合痕日使得凰= i d a , ，q ( s ) = s ，则称s o p h s , 是合痕 的。 由微分拓扑的理论可知，3 流形中的任意两个曲面或一个曲面和一条曲线均可以通 过流形的一个合痕移动使之处于一般位置。 由微分拓扑的理论还可以知道3 流形的子流形有着简单的邻域：如果c 是可定向 3 流形m 中一要简单闭曲线，则在m 和c 有一个领域同胚于一个实心环体s 1 d 2 ( 称 之为管状邻域) ，其中d 2 是一个圆片；若s 是可定向3 流形m 中的一个可定向曲面， 则c 在m 中有一个邻域同胚于s x 卜1 ，s l 】，此时称s 在m 中是双侧的。 以下用表示r 。中的单位球体，与矽同胚的流形称为刀圆片，也记作d ”。特别 地，d ”称为是一个实心球与a 矽“同胚的流形称为忍球面，记作。易见s 3 是r 3 的一 点紧致化。 通过粘贴柄来构造新流形的一种重要主法。在三维的情形，有0 柄，1 柄，2 柄和 3 柄之分。 设m 是一个带边的3 流形，对m 作如下操作可以得到新的3 流形： ( 1 ) 设d 、是m 边界上两个不交的圆片。设h ：d u d 一专a ( i 2 ，) 是一个嵌入， 使得h ( d ) = 1 2 0 ) ，h ( d 。) = 1 2 1 。称m = mu ( ，2 ，) 是由m 往上粘一个1 一环柄而得 的流形，如图2 3 ( a ) 所示。 ( 2 ) 设彳是m 边界上的一个平环( 拓扑等价于s 1x i ) ，h ：a a ( z 2 ，) 是一个嵌 入，使得h ( a ) = ( a z 2 ) ，。令m = mu ( 1 2x i ) ，称m 是由m 往上粘一个2 - 环柄而得 的流形，如图2 3 ( b ) 所示。 ， ( 3 ) 设m 的某一个边界分支s 为2 球面，d 3 为一个实心球，h ：s 专0 1 ) 3 是一个同 胚。令m = m u 。d 3 ，称m 是由往m 中填充一个实心球而得的流形，通俗说就是把m 的2 球面分支堵上，如图2 3 ( c ) 所示。得到的流形m 和h 的选择无关。在这个意义下， 我们考虑的流形一般都没有2 球面边界分支。一般地，也称一个实心球为o 柄。 酉 ( b )( c ) 图2 3 a - 可约的h e e g a m d 分解 定义2 6 如果一条真嵌入在曲面s 中的简单弧y 在s 上平行于边界上一简单弧， 则称，为s 上的平凡弧，否则称之为s 上的本质弧。如果s 上的一条简单闭曲线口界定s 上一个圆片，则称口为s 上的平凡曲线，否则，称口为s 上的一条本质曲线。 下面我们介绍柄体、压缩体的概念。 定义2 73 流形日称为亏格为刀的柄体，如果日中存在由聆个互不相交的真嵌入 的圆片组成的集合a = 口，皿，见 ，使得沿厶切开日以后得到一个实心球，称4 为柄 体日的一个定义圆片集，如图2 4 所示。 图2 4 定义2 8 设s 是一个连通的闭曲面，形是通过s x l 上的一面s x 0 ) 锄i 上粘上 一些2 环柄，再将所得的流形的所有2 球面分支用实心球堵上后得到的流形，则称矽为 一个压缩体。a + w = s 1 ) 称为是形的正边界。a w = o w a + w 称为是形的负边界 ( a 形可以是不连通的) 。如果aw = f 2 j ，则矿为一个柄体；如果w = 兰a w x i ，称 形是平凡的。 定义2 9 设形是一个连通的压缩体，d 是矽是互不相交的本质圆片组成的集合， 满足( d ，扣) c ( 形，a + 矿) ，且沿d 切形形后所得的流形同胚于 户一形i ， 若t 矿f 2 j i 若干3 实 - - j 球，若o _ w a 则称d 是形的一个完全圆片系统。 注记2 1压缩体可以通过另一种对偶的主法构造出来。设，是闭曲面，可以是 不连通的，但没有2 球分支。在f x i 的一个边界分支f x 1 ) 上粘一些1 环柄，就得到 了一个压缩体形，其中f x o ) = a 一形，a + w = o w - 0 一形是形的正边界。 下面介绍可约流形和素流形的概念。 定义2 1 0 设m 是一个3 流形，s 是m 中的一个2 球面。若s 不在m 是界定一个 实心球，则称s 是m 中本质球面。若m 中没有本质2 球面，则称m 是不可约的；否则， 称m 是可约的。 大连理工大学硕士学位论文 由定义可知，m 是不可约的当且仅当每个2 球面界定一个实心球。由s c h u o f i l e s 定理可知，足3 、s 3 、d 3 都是不可约的。 有了不可约流形的概念，我们就可以考虑把一个复杂流形分解成简单的不可约块， 通过把握每个不可约块的性质来把握流形的整体性质，下面介绿连通和概念。 定义2 1 1设m 是一个3 流形，m 中有一个2 球面s 分离m 为两个3 流形m ， 2 。令m ( 或鸠) 为沿l ( 或2 ) 的边鄹填充一个实心球所得的流形，则称m 是m 和鸩 的连通和，记作m = m i # m 2 。 显然，对任意3 流形m ，m 撑s 3 = m 。于是有下面的定义。 定义2 1 2 称3 流形m 是素的，如果m = m 1 # m 2 蕴含m = s 3 或m ：= s 3 。 不可约流形和素流形有如下的关系： 定理2 3 不可约3 流形是素的；反之，一个闭的可定向的素3 流形或者不可约， 或者同胚于s 2 s 1 。 素3 流形在3 流形的连通和分解中起着重要作用，从下面著名的3 流形连通和素分 解定理可以看了。3 流形连通和素分解定理的存在性由k n e s e r 1 4 在1 9 2 9 年证明，唯一 性由m i l n o r 1 5 j 在1 9 6 2 年证明。 定理2 4 设m 是一个连通可定向的闭3 流形。则m 有分解m = m l 群鸠群眠， 其中每个m ，都是素的，并且在次序重排和同胚的意义下，这个分解是唯一的。 下面是3 流形边界连通和的定义。 定义2 1 3 设m 、鸠是两个紧致的连通的带边3 流表，分别从m 、鸠的边界 上各取一个小的开圆片，再将这两个圆片的边界粘起来，得到的3 流形就是m 与鸠的 边界连通和，如图2 5 所示，记为m 撑。鸠。 图2 5 以- 可约的h e e g a a r d 分解 3 流形还有j s j 分解( 参见 1 6 1 7 ，1 8 】) ，也称为t o r u s 分解，它的主要内容是：在 合痕的意义下，每个闭的不可约3 流形中都存在一个唯一的最小不可压缩环面组，使得 沿这个环面组切开流形后得到的分支或者是s e i f e r t 流形，或者是a t o r o i d a l 流形。其中， s e i f e r t 流形是具有余亏格2 叶状结构的3 流形，早在二十世纪三十年代被德国数学家 s e i f e r t 提出，是被研究得最多的一类流形。a t o r o i d a l 流形是其中没有本质环面嵌入的3 流形。由于j s j 分解处理的是不可约的3 流形，所以它可以看作是3 流形的素分解的延 伸。 不可压缩曲面是研究3 流形常用到的一种曲面。它的作用类似于曲面上的简单闭曲 线，即沿着按适当方式选取的不可压缩曲面来切开流形可以使流形变得“简单些。 定义2 1 4 设m 为一个3 流形，曲面f 真嵌入m 或fco m 。若f 为下列情形之 一： ( 1 ) f 是m 中的一个非本质2 球面；或 ( 2 ) 在m 中存在一个圆片d ，使得d n f = o d ，并且o d 在，上不界定圆片，则 称，在m 中是不可压缩的，此时称( 2 ) 中的d 为f 在m 中的压缩圆片；否则，称，在m 中是不可压缩的。 特别地，如果o m 在m 中是不可压缩的，则称m 是a 不可约的，否则称m 是a 可约 的。t 3 m 在m 中的压缩圆片称为是m 的a 约化圆片。 设曲面f 在3 流形肘中是可压缩的，d 是f 在m 中的一个压缩圆片。令 d x 一l ，l 】是d 在m 中的一个增厚，使得( d x 卜1 ，1 】) n f = ( o d ) x - 1 ，1 】，且d = d x 0 ) 。记 互= ( f 一( t 3 d ) x 一1 ，1 ) o d x 一1 ，l ，称互为在m 中沿着圆片d 作2 一手术压缩f 所得的曲 面，如图2 6 所示。 图2 6 一般说来，压缩一个曲面所得的曲面( 或其中的每个分支) 的复杂度变小。 下面是不可压缩曲面的存在性定理，见文献 9 ，1 0 。 大连理工大学硕士学位论文 定理2 5 设m 是一个紧致可定向3 流形，假设m 满足下列条件之一： ( 1 ) m 有非2 球面的边界分支；或 ( 2 ) i - , ( m ) 无限，则m 中存在双侧的非分离的不可压缩曲面。 下面的边界不可压缩曲面也是常用到的概念。 定义2 1 5 真嵌入于3 流形m 中的一个曲面f 是a 可压缩的( 边界可压缩的) ， 如果f 满足下列情形之一： ( 1 ) f 是一个圆片，且，与o m 上一圆片平行； ( 2 ) f 不是圆片，且存在圆片dcm ，使得d nf = a 如上的一段弧， d n a m = 卢是o m 上的一段弧，且仅n 卢= a a = 筇，口u f l = o d ，口或者不分离f ，或者 将，分为两部分，且任一部分的闭包都不是圆片，如图2 7 所示。 图2 7 圆片f 或o m 上的圆片平行指的是f 的边界在跏上界定一个圆片，两个圆片并起 来是一个三维实心球的边界。 设m 是一个3 流形，s 是m 中一个闭曲面，分离m 为肘，m 。，设f 是膨中的一个 曲面，与s 处于一般位置，记为f = ，n 肘7 。假设f 7 在m 中是边界可压缩的，d 是f 的 一个边界压缩圆片。在m 中沿d 合痕移动f 得到曲面巧，如图2 8 所示，称e 是f 在膨 中沿酢一似型合痕所得的曲面。 图2 8 对于柄体中的不可压缩曲面和边界不可压缩曲面，我们有以下结果： 定理2 6 【1 0 设f 是正则嵌入在柄体日中的双侧曲面， ( 1 ) 如果f 在日中不可压缩，则，是一个本质圆片或一个平环； ( 2 ) 如果f 在日中不可压缩且边界不可压缩，则f 是一个本质圆片。 说到3 流形中的曲面，人们首先就会想到不可压缩曲面。不可压缩曲面是研究3 - 流形最常用的一种曲面。它的作用类似于曲面上的本质曲线，即沿着按适当方式选取的 不可压缩曲面来切开流形可以使流形变得“简单些。 定义2 1 6 设m 为一个3 流形，曲面f 真嵌入于m 。如果曲面f 在m 中是分离的 且脚中分出子3 流形n 兰f x o ，1 】满肋= f x 0 ，我们称曲面f 在m 中是边界平行 的，本文也称这里的f x 0 ，1 】是，的，丛。如果曲面尸在肘中是不可压缩的且不是边界平 行的，则我们称曲面f 在m 中是本质的。 我们现在已经知道，本质曲面在3 流形理论中扮演着重要的角色。关于3 流形与本 质曲面有很多重要的结论，详见文献 9 ，l o 】。 有了不可压缩曲面的概念，我们就可以引入一类重要的流形：h a k e n 流形、h a k e n 流形是由德国数学家h a k g t l 的名字来命名的，h a k e n 也是第一个发现不可压缩曲面重要 性的数学家。通过他和w a l d h a u s e n 等人的工作，h a k e n 流形是被理解最好的一类3 - 流 形。关于h a k e n 流形的具体结果，我们将在下面做一下简单地介绍。 定义2 1 7设f 是m 中一个真嵌入的曲面( 可以不连通) 。若有嵌入 h ：f x - 1 ，1 卜争m ，且有h ( x ，0 ) = 五v x f 和( f x - 1 ，1 】) na m = h ( a f x - 1 ，l 】) ，则称，在m 中是双侧( t w o - s i d e d ) 的。 定义2 1 8 如果一个紧的不可约的可定向3 流形包含一个双侧的不可压缩的曲面， 则称此3 流形是一个h a k e n 流形；否则称为非h a k e n 流形。 由h a k e n 流形的定义可知，可约的3 流形都是n o n - h a k e n 流形，而可约的3 流形中 有本质的2 球面是不可压缩的，所以只有不可约的n o n - h a k e n 流形中才没有不可压缩的 曲面。s 3 就是这样的流形。 关于不可压缩曲面和h a k e n 流形的更多结果，可参见 1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 等。 2 23 一流形的h e e g a a r d 分解的性质和结构 把一个3 流形分解成一些“简单块 有若干种不同的方法。前面我们介绍的素分解 是基本的一种。这一节所要介绍的是另外一种分解方式，即h e e g a a r d 分解。h e e g a a r d 分解是这些方法中较早受到人们关注的，而且通过h e e g a a r d 分解研究流形也取得了很 多好的结果，文献【1 3 】就是关于h e e g a a r d 分解综述的文章。 大连理工大学硕士学位论文 从本节起，以后涉及的流形均为紧致、可定向的三维流形。首先介绍闭三维流形的 h e e g a a r d 分解。 定义2 1 9 设m 为闭的、可定向的、连通的3 流形，f 是m 是一个嵌入的分离曲 面，它将m 分成两个柄体y ，形，满足o v = o w = f ，且y u fw = m ，则矿u f 形称为 m 的一个h e e g a a r d 分解，记为( m ；v ，w ) 或( m ，f ) ，其中f 称为h e e g a a r d 曲面或 分解曲面。 命题2 1 设m ( 扛1 ，2 ) 是亏格为的柄体，则m 同胚于鸠当且仅当啊= n 2 ；而 且m ，必具有相同的定向性。 定理2 7 每个闭的、可定向的、连通的3 流形均有h e e g a a r d 分解。 定义2 2 0m 的所有h e e g a a r d 分解中具有最小亏格的h e e g a a r d 分解的亏格称为 m 的h e e g a a r d 亏格，或m 的亏格，记作g ( m ) 。 下面我们介绍带边3 流形的h e e g a a r d 解。 定义2 2 1设m 有三元组( m ；b ，b ) ，其中曰u 为3 流形m 边界的不交并。 若存在压缩体形、形，使得m = wu fw ，a + w = a + w 7 = f ，a w = b ，a w = b ， 则称( w ，w ) 是m 的h e e g a a r d 分解，称f 为m 的一个h e e g a a r d 曲面。此h e e g a a r d 分 解也可以表示为( m ；f ) 。 定理2 8 对任何三元组( m ；b ，b 7 ) ，若曰u 没有2 球面分支，则m 总有h e e g a a r d 分解。 压缩体是拓扑相对简单的一类带边3 流形。下面介绍几个压缩体的众所周知的常用 性质。 命题2 2( 1 ) 压缩体的负边界是不可压缩的； ( 2 ) 压缩体是不可约的； ( 3 ) 压缩体中没有闭的本质曲面； ( 4 ) 压缩体中不可压缩且边界不可压缩的真嵌入曲面只有本质圆片和两个边界分 支分别在压缩体的正负边界上的本质平环： ( 5 ) 设形是一个连通、非平凡的压缩体，彳是形中的两两不交的本质平环组成的 集合。则在矿中存在本质圆片d 使得d n a = a ； ( 6 ) 设形是一个压缩体，f 是真嵌于形中的不可压缩曲面。则沿f 切开m 所得 流形的任何分支都是压缩体。 在h e e g a a r d 分解定义的基础上，我们引入h e e g a a r d 分解上的一些结构。 a - 可约的h e e g a a r d 分解 定义2 2 2对( 形，形7 ) 是3 流m 的一个h e e g a a r d 分解。如果存在本质圆片 ( d ，o d ) c ( w ，f ) ，( d ，0 1 ) ) c ( 形，f ) ，使得o d = 0 1 ) ，则称h e e g a a r d 分解( 形，形) 是可约的，否则称为不可约的。 下面的h a k e n 引理是文 4 】中的主要结果，在3 流形理论中有着广泛而深入地应用。 定理2 9 ( h a k e n sl e m m a ) 。设( m ；，) 是闭的可定向的3 - 流形m 的h e e g a a r d 分解。如果m 包含本质的2 球面，那么在m 里有一个本质的2 球面s ，使得s n f 是 一条简单