（计算机应用技术专业论文）超混沌的生成及其在图像加密中的应用研究.pdf

摘要 1 9 7 9 年，r 6 s s l e r 报道了第一个超混沌系统，自此，国内外学者对超混沌的 研究兴趣显著提高。相对于简单的混沌，由于超混沌行为具有更强的随机性和不 可预测性，使其在信息安全和保密通信等领域都具有更好的应用前景；因此超混 沌已成为国内外热门研究课题之一。为扩大超混沌的应用领域，有目的地产生简 单的超混沌系统已成为项具有挑战性的关键课题。但是，到目前为止仍然没有 理论上成熟的超混沌生成方法，因而，研究超混沌的生成方法具有重大意义。 本文从理论的角度出发，提出了一种超混沌的生成方法，给出了基于该方法 产生超混沌系统的实例。该方法首先推导出一种新的连续系统l y a p u n o v 指数估 计；其次，采用具有平移不变性的耦合函数耦合两个相同系统，并对耦合系统实 施可逆线性变换，再根据可逆线性变换的性质导出该耦合系统l y a p u n o v 指数的 特点；再次，基于文中所提出的l y a p u n o v 指数估计方法，导出耦合系统通往超 混沌的条件，即推出了超混沌生成的方法；最后，基于该生成方法构造了几个超 混沌系统的实例，结果显示该方法具有可行性且易于计算。 针对超混沌的应用研究，本文提出了一种基于超混沌系统同步的图像置乱加 密算法。该算法基于超混沌同步，通过对超混沌序列进行升序重排获得位置的置 乱序列，从而实现对图像的置乱加密。实验结果表明：该算法加密效果好，相当 于对图像进行随机置乱：加密系统具有很强的抗干扰性，特别是对算法改进之后， 它的抗干扰性得到显著提高；密码具有很强的敏感性和随机性，它对统计分析具 有很强的抵抗力，能充分保障图像信息安全。 关键字：混沌系统：超混沌系统；l y a p u n o v 指数；耦合；同步：图像加密 a b s t r a c t i n19 7 9 ，r 6 s s l e rr e p o r t e dt h ef i r s th y p e r c h a o t i cs y s t e m s i n c et h e n ，t h es c h o l a r s a th o m ea n da b r o a dh a v ep a i dm o r ea n dm o r ei n t e r e s t so nh y p e r c h a o s c o m p a r e dw i t h t h es i m p l ec h a o t i cs y s t e m s ，d u et oi t ss t r o n g e rr a n d o m n e s sa n dh i g h e ru n p r e d i c t a b i l i t y ， i ti sf o u n dt ob eg r e a t e rp o t e n t i a lu s e f u lf o ri n f o r m a t i o ns e c u r i t ya n ds e c u r e c o m m u n i c a t i o n n o w ，i th a sb e c o m eav e r yh o ti s s u ea l lo v e rt h ew o r l d c l e a r l y , i n o r d e rt oe x p a n da r e a so fh y p e r c h a o t i ca p p l i c a t i o n ，i tw i l lb eah o ti s s u eh o wt o g e n e r a t ep u r p o s e f u l l yar e l a t i v e l ys i m p l eh y p e r c h a o t i cs y s t e m h o w e v e r ，t h e r ei ss t i l l n ot h e o r e t i c a l l ym a t u r em e t h o dt og e n e r a t eh y p e r c h a o t i cs y s t e m su n t i ln o w t h u s ，t h e r e s e a r c ho nm e t h o d so f h y p e r c h a o t i cg e n e r a t i o nh a sg r e a ts i g n i f i c a n c e f r o mt h et h e o r e t i c a lp o i n to fv i e w ，t h i sp a p e rf i r s t l yp r o p o s e sam e t h o do f h y p e r c h a o t i cg e n e r a t i o n ，a n dg i v e se x a m p l e so nh o w t op r o d u c eh y p e r c h a o sb a s e do n t h i sm e t h o d i no r d e rt od e d u c et h em e t h o do fh y p e r c h a o t i cg e n e r a t i o n ，t h i sp a p e r f i r s t l yd e d u c e san o v e lm e t h o do fe s t i m a t i n gl y a p u n o ve x p o n e n t so fc o n t i n u o u s s y s t e m s e c o n d l y ，i ta d o p t st h ec o u p l i n gf u n c t i o nw i t ht r a n s l a t i o n a li n v a r i a n c et o c o u p l et w oi d e n t i c a ls y s t e m s ，a n dm a k e si n v e r t i b l el i n e a rt r a n s f o r m a t i o no nc o u p l e s y s t e m ，t h e nt r i e st of i n do u tt h ec h a r a c t e r i s t i c so fl y a p u n o ve x p o n e n t so f t h ec o u p l e s y s t e ma c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yo fi n v e r t i b l el i n e a rt r a n s f o r m a t i o n t h i r d l y , w i t ht h e m e t h o do fe s t i m a t i n gt h el y a p u n o ve x p o n e n t ，w h i c hi sp r o p o s e di n t h i sp a p e r ，w e d e d u c et h ec o n d i t i o nw h i c hc h a n g e st h ec o u p l i n gs y s t e mi n t oh y p e r c h a o s f i n a l l y ， b a s e do nt h i sm e t h o do fh y p e r c h a o t i cg e n e r a t i o n ，w ec o n s t r u c ts e v e r a le x a m p l e so f h y p e r c h a o t i cs y s t e m s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o do fh y p e r c h a o t i cg e n e r a t i o ni s f e a s i b l e ，a n de a s yt oc a l c u l a t e i nt h i sp a p e r ，a ni m a g es c r a m b l i n ge n c r y p t i o na l g o r i t h mb a s e do nh y p e r c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n i s p r o p o s e d ，a n da c c o r d i n gt oa s c e n d i n go r d e r , t h i sa l g o r i t h m r e a r r a n g e sh y p e r c h a o t i cs e q u e n c et o o b t a i nt h er e p l a c e m e n ts e q u e n c eo fi m a g e l o c a t i o na n dr e a l i z e si m a g es c r a m b l i n ge n c r y p t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ee f f e c to f t h i se n c r y p t i o na l g o r i t h mi s e q u i v a l e n t t or a n d o m i m a g es c r a m b l i n g ，i t s a n t i i n t e r f e r e n c ei s v e r ys t r o n g ，a n de s p e c i a l l ya f t e ri m p r o v i n gt h ea l g o r i t h m ，i t s a n t i i n t e r f e r e n c ei ss i g n i f i c a n t l yb o o s t e d i t sp a s s w o r d ，w h i c hi sp r o c u r e db yt h i s e n c r y p t i o ns y s t e m ，i sv e r ys e n s i t i v ea n ds t r o n g l yr a n d o m s oi t c a l lc o m m e n d a b l y r e s i s ts t a t i s t i c a l a n a l y s i st o o l s ，a n da d e q u a t e l yp r o t e c ts e c u r i t yo f t h ei m a g e i n f o n n a t i o n i i k e yw o r d s ：c h a o t i cs y s t e m ；h y p e r c h a o t i cs y s t e m ；l y a p u n o ve x p o n e n t s ； c o u p l i n g ；s y n c h r o n i z a t i o n ；i m a g ee n c r y p t i o n 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年 月日 导师签名： 签字日期：年月 日 超混沌的生成及其在图像加密中的应用研究 第1 章绪论 本章首先介绍了本文研究背景和研究意义，阐述了目前国内外对混沌和超混 沌理论的研究现状，指出了混沌和超混沌研究的研究意义；最后，列举了本文主 要研究内容，并说明了全文的结构安排。 1 1研究背景 混沌又称浑沌，人们通常用它来描述混乱、杂乱无章的状态，在这个意义上 它与无序的概念有相同之处。现代科学所讲的混沌，其基本含义可以概括为：聚 散有法，周行而不殆，回复而不闭。意思是说混沌轨道的运动完全受规律支配， 但相空间中轨道运动不会中止，在有限空间中永远运动着，不相交也不闭合。混 沌运动表面上看起来无规律、不可预测的现象是无序的，产生了类随机性，也称 内在随机性，实际上有它自己的规律。理论上混沌是系统从有序突然变为无序状 态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机 制的研讨。它是非线性系统普遍存在的现象，最突出的特性是轨道对初始条件具 有敏感依赖性质( 混沌行为的特点是指数发散) ，形象地说就是一个小的偏离就 会导致实质完全不同的结果，即系统会放大最初的微小变化i l j 。 1 9 2 7 年，范德坡( v a nd e rp 0 1 ) 曾把非线性振荡器分频实验中观察到的混沌误 认为噪声，看作次要的现象。这次误判使人们对混沌的认识推后4 0 来年。 1 9 6 3 年，气象学家洛伦茨( l o r e n z ) 借助于每秒1 7 次运算能力的计算机，首次从 确定的方程( 后被称为洛伦茨方程) 中计算模拟出非周期现象，从而提出用逐步 延伸方法从事长期天气预报是不可能的观点。1 9 7 2 年1 2 月2 9 日，l o r e n z 在美 国科学发展学会第1 3 9 次会议上发表了题为蝴蝶效应的论文，提出一个貌似 荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个陆龙卷， 并由此提出了天气的不可准确预报性。直到现在，这一论断仍为人津津乐道，更 重要的是，它激发了人们对混沌研究的浓厚兴趣。 1 9 7 5 年，正在美国马里兰大学攻读博士学位的华人李天岩和他的导师j y o r k e 在动力学研究中率先引入“混沌”( c h a o s ) - - 词，为这一新兴的研究领域确 立了一个中心概念，为各学科研究混沌树起一面统一的旗帜。 1 9 7 6 年，法国天文学家埃农m h e n o n 通过对l o r e n z 方程进行简化，得到了 h e n o n 二维映射( 一个离散动力系统) 。他用计算机模拟了这个模型，发现奇异 吸引子，证实这简单的平面映射，也能像l o r e n z 方程那样产生复杂的混沌运动。 1 9 8 3 年，美籍华裔科学家蔡少棠发明蔡氏电路。他是迄今为止在非线性电 硕士学位论文 路中产生复杂动力学行为的最有效而简单的混沌振荡电路之。通过对蔡氏电路 参数的改变，可产生从倍周期分岔、单涡卷、周期3 到双涡卷等十分丰富的混沌 现象，从而使人们能从电路的角度较为方便地对混沌的机理与特性进行研究，同 时，蔡氏电路在电子混沌领域内占也有相当重要的地位。 上世纪9 0 年代，o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 在理论上提出混沌是可以控制的【2 】， p e c o r a 和c a r r o 在理论和实验中发现混沌系统是可以同步的【3 】。正是这些人的惊 人的发现改变了人们对混沌的认识，弓l 发了人们从传统认识、分析混沌到控制【4 】、 利用混沌的转变，从此，混沌应用研究成为了国内外学者的热门研究课题之一。 从7 0 年代初起，有关混沌的研究成果不断涌现，不同领域的混沌研究相互 渗透，国内外出现了很多学者开始转向混沌的研究，出现了郝柏林、茹勒r u e l l e 、 费根鲍姆f e i g e n b a u m 、斯梅尔s m a l e 、埃农h e n o n 、若斯勒r 6 s s l e r 、梅m a y 、 逻辑斯谛l o g i s t i c 、陈关荣【5 】等一大批优秀混沌专家学者，他们对混沌学的发展 做出了很大的贡献。 混沌学的研究有两个重大突破【6 1 ：第一个重大突破，发生在以保守系统为研 究对象的天体力学领域，k a m 定理被公认为创建混沌学理论的历史性标记。第 二个重大突破，发生在遍布于现实世界的耗散系统。做出杰出贡献的学者是美国 气象学家e n l o r e n z 。19 6 2 年，b s a l t z m a n 通过简化流体对流模型得到了一个 完全确定的三阶常微分方程组。当时，l o r e n z 把它作为大气对流模型，用计算机 做数值计算，观察这个系统的演化行为。在计算观察中，确实看到了这个确定性 系统的有规则行为、同时也发现了同一系统在某些条件下可出现非周期的无规则 行为，这是与当时气象界的权威观点相矛盾的，但却与l o r e n z 的经验和直觉相 符合，这就是有趣的“蝴蝶效应”。通过长期反复的数值实验和理论思考，l o r e n z 以巨大的勇气向传统理论提出了挑战，揭示了计算机模拟结果的真实意义，在耗 散系统中首先发现了混沌运动。l o r e n z 揭示了一系列混沌运动的基本特征，如确 定性、非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等，他还在混沌 研究中发现了第一个奇异吸引子( l o r e n z 吸引子) ，他为混沌研究提供了一个重 要模型，并最先在计算机上采用数值计算方法进行具体研究，为以后的混沌研究 开辟了道路。 人们从希望消除或减弱混沌到产生或强化混沌，即混沌化即；从关于混沌的 理论研究【7 1 ，逐渐转向混沌的应用研究悼，9 j 。伴随计算机等技术的快速发展，混沌 学己发展成为一门具有影响深远并且发展迅速的前沿科学，混沌的研究具有非常 重要意义。混沌运动的奇异性( 例如：具有随机性、非周期、连续宽带频谱、似 噪声的特性) 使得它在保密通信和信息安全、非线性预测等领域有着重要的应用 价值 i o , 1 1 】。 1 9 7 9 年，r 0 s s l e r 报道了第一个超混沌系纠1 2 】，自此，人们对超混沌系统的 研究兴趣不断增加【1 3 , 1 4 。在连续自治系统中，能够出现混沌的非线性常微分方程 2 超混沌的生成及其确：图像加密中的应用研究 的最低维数为三维，而包含超混沌吸引子的相空间维数至少是4 维，且引起系统 不稳定的项的数量至少为两个，其中至少一个含有非线性项【l 引。超混沌系统具有 两个或两个以卜的正l y a p u n o v 指数，相轨在更多方向上分离，因而其混沌行为 更为复杂。由此看来，超混沌系统不管是结构动力学行为上还是在代数都要比混 沌系统复杂得多，相比简单混沌，复杂的超混沌信号可以提高保密通信的保密性， 具有更好的应用前景1 1 5 】。近年来，国内外很多学者转向了结构更为复杂，动力行 为更复杂的超混沌系统理论和应用研究l l 州引。 1 2 研究意义 近年来，计算机走进了大部分家庭，网络技术也得到了充分的发展，人们享 受网络带来的方便，越来越多的信息是通过网络来传输，信息交换非常频繁，这 些信息不仅包括文本，而且还包括声音、数字图像和多媒体等。然而，信息的安 全也受到了信息入侵者的威胁，他们截取，篡改，转发信息等方式来破坏信息的 安全性。信息的安全与保密显得越来越重要。特别是数字图像，它比声音、文字 等蕴涵更多的信息量，被广泛用于人们的生活，然而应用得越广泛，它的安全性 就越重要。因此，数字图像的信息安全已经成为国际上研究的热门课题1 2 引。 混沌遵循确定性动力学机制的随机行为，有着自身的复杂性与奇异性，如： 时间序列具有非周期和类随机的特性、轨道的不可预测性、对初始状态及结构参 数的极端敏感性等一系列优良特性，这些基本特性和密码学存在着天然的关系， 与密码学的许多要求相吻合【冽。人们可以寄希望于通过混沌系统来产生密码，这 种密码具备了随机性。上世纪9 0 年代o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 发现混沌可以控制、 p e c o r a 和c a r r o 发现混沌可以同步，这些人开创性的工作，引发了人们从传统的 认识、分析混沌到控制、利用混沌的转变，使混沌的应用展现美好前景，大大地 推动了混沌应用研究的快速发展。混沌同步使混沌具备了应用于密码学的条件， 因此将混沌应用于图像加密技术，引起了广泛关注1 2 5 , 2 6 。基于混沌的图像加密就 是利用混沌信号的类随机性对有用信息进行加密。其原理是利用具有逼近于高斯 白噪声统计特性的混沌信号在对有用的图像信息进行混沌掩盖( 混沌化) ，形成 混沌掩盖信号，在接收端则利用同步后的混沌信号进行去掩盖( 控制) ，从而恢 复出有用信息。 国内外的混沌密码研究者对混沌序列抱有很大期型孙3 0 l ，但是目前已经证 实了用低维的简单混沌系统加密的信息并不安全1 3 1 1 。而超混沌系统行为更为复 杂，能够提高混沌的随机性和不可预测性，因而具有更好的保密性和其它通信性 能，它在保密通信和信息安全领域应具有更大的应用潜力。显然，在利用超混沌 的领域，有目的地产生超混沌也就成为一个关键问题。近年来，超混沌的产生方 面也有一些研究成果，但是，到目前为止还没有得到理论上成熟的超混沌生成方 法，因此这方面的研究工作非常具有挑战性，有待进行深入研究。 3 硕上学位论文 基于以上原因，本文在已知系统( 如l o r e n z 系统) 的基础上，通过采用具有 平移不变性的耦合函数来耦合两个相同的系统，从理论上导出了这种耦合系统到 超混沌的条件，即得到了超混沌的生成方法；同时，针对超混沌的应用，给出了 基于超混沌系统同步的图像置乱加密算法，该算法基于超混沌同步，通过对超混 沌序列进行升序重排获得图像位置的置乱序列，从而实现对图像的置乱加密。这 些内容将在第3 章到第5 章中做详细介绍。 1 3 本文主要内容 近年来，对超混沌生成的研究已有一些成果，例如利用线性或非线性状态反 馈控制器，使其控制混沌系统到超混沌；利用参数扰动方法控制混沌系统到超混 沌【l 引。但是，到目前为止仍然没有理论上成熟的超混沌生成方法，因而，研究超 混沌的生成方法具有重大意义。 本文首先对国内外混沌和超混沌研究现状进行了深入的归纳，然后讲解了混 沌基本理论知识，这对进行超混沌生研究具有指导意义。在此基础上，文中展开 了对超混沌的研究，从理论的角度出发，提出了一种超混沌的生成方法，给出了 基于该方法产生超混沌系统的实例。该方法首先推导出一种新型的连续系统 l y a p u n o v 指数估计；其次，采用具有平移不变性的耦合函数耦合两个相同系统， 并对耦合系统实施可逆线性变换，再根据可逆线性变换的性质导出该耦合系统 l y a p u n o v 指数的特点；再次，基于文中所提出的l y a p u n o v 指数估计方法，导出 耦合系统通往超混沌的条件，即推出了超混沌生成的方法；最后，采用具有平移 不变性的线性耦合函数g ( x ，】，) = c ( r x ) 耦合经典混沌系统，基于该生成方法 使耦合系统达到超混沌，结果验证该方法具有可行性且易于计算。 针对超混沌的应用研究，本文提出了一种基于超混沌系统同步的图像置乱加 密算法，该算法基于超混沌同步，通过对超混沌序列进行升序重排获得位置的置 乱序列，从而实现对图像的置乱加密。实验结果表明：该算法加密效果好，相当 于对图像进行随机置乱；加密系统具有很强的抗干扰性，特别是对算法改进之后， 它的抗干扰性得到显著提高；密码具有很强的敏感性和随机性，它对统计分析具 有较强的抵抗力，能充分保障图像信息安全。 本文的主要工作如下： 【l 】推导出一种新的连续系统的l y a p u n o v 指数的估计方法； 2 】 导出了耦合混沌系统到超混沌的条件，即得到了一种超混沌生成的方法； 3 】 提出基于超混沌同步的图像加密算法。 1 4 本文组织结构安排 第l 章：绪论。介绍了本文的研究现状，研究意义及其本文的主要内容，并 说明了本文的结构安排。 4 超混沌的生成及其在图像加密中的应用研究 第2 章：混沌理论。主要介绍了混沌的主要特点、判断方法和混沌p c 同步。 第3 章：连续系统l y a p u n o v 指数的新的估计方法。介绍了动力系统的重要 参数l y a p u n o v 指数的定义，导出了系统l y a p u n o v 指数的新型的估计方法，同时 给出了实例来验证该方法。 第4 章：超混沌生成方法及其超混沌牛成实例。利用第3 章的l y a p u n o v 指 数估计方法，介绍了如何通过控制耦合函数使得耦合系统的多个以上l y a p u n o v 指数大于零，从而使耦合系统达到超混沌，即介绍了耦合系统通往超混沌的方法。 最后，给出了耦合经典混沌系统到超混沌的实例。 第5 章：基于超混沌同步的图像置乱加密。提出了基于超混沌同步的图像置 乱加密算法，给出了该加密系统的加密解密过程示意图，具体描述了加密解密算 法，利用m a t l a b 实现了该算法和相似度分析，并对该算法进行了评价。 第6 章：总结。对全文工作做了总结。 5 硕士学位论文 第2 章混沌理论 混沌学已经成为- - f q 具有深远影响并且发展迅速的前沿科学。混沌是决定性 与随机性，同步与非同步，有序与无序的统一体。它的研究具有非常重要理论意义 和实际价值，涉及到领域特别广泛。 本章主要对混沌理论做简单介绍，分别介绍了混沌描述方法、混沌的特点、 混沌运动的判定方法及其混沌同步的概念。这些理论知识是后面章节的理论基 础。 2 1混沌描述 混沌系统具有轨道对初始条件的高度敏感性和它的类随机特性，初始条件微 小偏差都将导致很短的时间后，轨道彼此分离。混沌系统可以用非线性的微分方 程和差分方程来描述，差分方程描述的系统称离散动力系统，微分方程描述的系 统称连续动力系统，文中讨论连续动力系统。下面给出描述连续系统的微分方程 形式【3 2 】： 去川扔f ) 艇c r ” ( 2 - 1 ) x ( ，o ) = 工。 其中厂：r ”一r ”是关于x 分段连续向量函数，若方程右边的函数中不显含， 则称此系统为自治系统，否则称非自治系统。这里我们主要考虑自治系统。此类 系统( 2 1 ) 虽然形式简单，但它具有极其丰富的运动行为3 3 1 ，文中研究具有复杂 的超混沌运动行为的系统。 下面以l o r e n z 系统为例介绍混沌，l o r e n z 系统是一个用三维非线性常微分 方程描述的自治系统- 妾：口( y - x ) = 口 l d t 。 咖 功 。 d z ， 西 。 ( 2 2 ) 当参数满足a = 1 0 ，b = 8 3 ，c = 2 8 时，存在一个混沌吸引子。下面给出该系统的 相同和时距图【1 1 。 6 超混沌的，上成及其在图像加密中的应用研究 图2 - lt 从0 到1 5 的系统轨线分离图 a 23 h # 恤z 女自# 蛳 一 ， ：， j ji i ： t j ： ， m， ， j i _ i j 卞1 丌 罔2 - 2t 从0 到2 3 的系统轨线分离圈 x 一 图2 - 3 系统( x 力方向的相图 堡主芏堡堡皇 n d h i 惝肪自 m 1 r i t i i 下；一； 图2 4 系统在x 方向的时距图 如图2 - l 、图2 - 2 所示，系统只要初始值有微小的差别，随着时间的推移， 最终导致轨道分道扬镰，互不相关；如图2 - 3 、图2 _ 4 所示系统的行为不是周期 的也不是拟周期的，而是看似“随机”的，系统的行为是由确定的非线性微分方 程组所决定的，称具有这种特征的系统为混沌系统。 教学上，混沌的定义有很多种。例如，正的拓扑熵定义拓扑混沌：有限长的 转动区间定义转动混沌等等。这些定义都有严格的数学理论和实际的计算方法。 不过，要把某个数学模型或实验现象明白无误地纳入某种混沌定义并不容易。因 而- 一般地，我们可这样刻画混沌：若所处理的动力学过程是确定的，不包含 任何外加的随机因素；单个轨道表现出像是随机的对初值细微变化极为敏感的行 为，同时一些整体性的经长时间平均或对大量轨道平均所得到的特征量又对初值 变化并不敏感；加之上述状态又是经过动力学行为和一系列突变而达到的。那么， 所研究的现象极有可能是混沌。 2 2 混沌的主要特点 混沌行为是自然界的普遍现象，但有很复杂，它具有以下特征1 1 月 1 对初始条件的敏感性：该特性与微分方程解对初始条件的连续依赖性相 悖。只要初始值有微小的差别。随着时间的推移，最终导致轨道问分道扬镳，互 不相关。我们形象地称这该特性为嘲蝶效应”。 2 随机性：混沌系统的行为不是周期的也不是拟周期的，该行为看似随 机的，长期行为不可预测，而实际上它是由有某个确定的非线性微分( 差分1 方程 所决定，是确定性系统中的一种貌似随机的运动。系统处于混沌状态是由系统内 部动力学随机性产生的不规则行为，与外部因素无关。 3 正的l ，a p i 啪v 指数：混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏 感。两个极靠近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，l y a p t m o v 0iwi“lil_辜芎_lq 超混沌的! l 成及其存图像加密中的应用研究 指数就是定量描述这现象的量。l y a p u n o v 指数e ，扣1 , 2 ，胛，一般巨与初 值无关，e ， 0 代表不稳定、发散性因素，在 l y a p u n o v 指数为正的方向上，轨道迅速分离，对初值敏感。最大的l y a p u n o v 指 数e 。 o 对应系统有混沌轨道。当系统中至 少一个l y a p u n o v 指数大于零时，系统处于混沌状态。而当系统具有两个或两个 以上的正l y a p u n o v 指数时，我们说系统处于超混沌状态，此时相轨在更多方向 上分离，因而其混沌行为更为复杂。 4 分数维： 混沌系统的l y a p u n o v 维数总是分数。 5 有界性：混沌系统的轨道在被称之为混沌吸引子的有界区域内运动， 且轨道运动不会中止，在有限空间中永远运动着，不相交也不闭合。 2 3 混沌运动的判定方法 由于混沌的复杂性，对混沌运动的研究应同时采用多种方法进行，包括理论 分析与数值实验。 常用的混沌判定方法i l ，6 】： 1 正的l y a p u n o v 指数：当系统所有l y a p u n o v 指数小于零时，系统处于非 混沌状态，当系统至少有一个l y a p u n o v 指数大于零，此时系统处于混沌状态， 而系统的两个或两个以上的l y a p u n o v 指数大于零时，系统处于超混沌状态。 2 p o i n c a r e 截面：它是相空间的某个截面，相轨线每通过截面一次，就在 该截面留下一个点。这样可以把n 维空间中的流简化为一个n 1 维映射，并保存 原系统的许多性质。对混沌系统，这些点之间具有分形结构，不能填满整个截面。 3 直接观察法：观察是否存在蝴蝶效应是典型的直接观察法，比较混沌系 统的时间序列，单个轨道表现出像是随机的，同时系统的两个很相近的初值，在 较短时间之后的演化结果会有很大的差异，这种系统极有可能是混沌系统。 2 4 混沌p c 同步 2 4 1p c 同步法 p e c o r a 和c a r o l 在1 9 9 0 年提出了混沌是可以同步。混沌p c 同步法的基本思 想是用一个混沌系统的输出作为驱动信号去驱动另一个混沌系统来实现这两个 混沌系统的同步。两个系统是单向耦合的，第一个系统决定第二个系统的行为， 而第一个系统的行为则不受第二个系统的影响【7 1 。 设混沌系统为n 维动力系统，它的运动行为由下列方程决定： d - x = ( x ) ，x r ”， 9 硕士学位论文 此系统可分解为两个子系统：， 石d u = j l ( 则) 瓦d v = 五( ) 称此分解方法为p c 分解法，上式中x = ( ：) ， ( 2 3 ) “r ”，1 ，r ，m + ，= 胛，此混沌 系统称为驱动系统，其中u 为驱动子系统， ，为响应子系统。利用u 作为驱动信 号，复制另一个与响应子系统完全一样的系统作为响应系统，： ，工t 竺= 厶( ，) ( 2 - 4 ) d t 若系统( 2 3 ) 与( 2 4 ) 具有相同的初始条件，显然，他们之间一定保持同步。 当两个系统从不同的初始条件值出发时，如果响应系统是渐进稳定的，也就是说， 若e ( t ) = i lv ( t ) - v ( f ) i i ，l i r a e ( t ) = 0 ，那么不管响应系统的轨道从何处出发，它总足 收敛于同一条轨道上，这条轨道与驱动系统响应分量的轨道是一致的，这时可以 说驱动系统响应子系统与响应系统达到了稳定的同步状态。这种情况下，两系统 虽然均处于混沌状态，但删去暂态过程后两系统的状态变化是一样的，并且只需 要约数秒钟时间就可实现同步化，相空间就是一条直线。因此，混沌同步的速度 和效果均较好。 在第五章，我们将p c 同步的思想用到了超混沌系统，实现了超混沌的同步。 2 4 2l o r e n z 系统e c 同步 下面以l o r e n z 系统为例，将l o r e n z 系统作为驱动系统，利用p c 分解法对 l o r e n z 系统分解i7 j 害- 口( y 叫 掣：c x 一滋一y t z - t ) ) 、二= 一滋一y d l 。 堕：删一拓 坊 。 若其中参数满足a = 1 0 ，b = 8 3 ，c = 2 8 时，存在一个混沌吸引子。利用p c 分解 法对l o r e n z 系统分解：x 作为驱动子系统，y , z 作为响应子系统，用x 去驱动另 外一个与y ，z 完全相同的系统 爹一一一 ( 2 - 6 ) 鲁硼砌- 此系统为响应系统。记e 2 = m - y ，e 3 = z l z ，即e = ( p 2 ，e 3 ) 是响应系统的同步 误差。得 1 0 超混沌的生成及其存图像加密中的应用研究 言2 喇，- - e z 鲁一：山p ， 考虑l y a p u n o v i 函数 ，( f ) ：去( p ：2 + p ，2 ) 则有 a v ( t ) ：p ，d d 4 e _ - _ _ l + 已c l e _ _ _ l 3 d lm。d l = e 2 ( 一x e 3 一e 2 ) + e 3 ( x e 2 一b e 3 ) = 叩2 2 b e 3 2 0 v b o ) 由上可知，响应系统是渐进稳定( i lp ( f ) | l 一0 ，当t 一一时候) ，即不管初始 条件是多少，轨道将演变到同一条轨道( o l y ) 一0 ，( z - - z ) 一0 ，t - - - ) 一) ，即响 应系统同步( 如图2 5 所示) 。 3 2 i if 1i 。一 - 1 l - 2 i - 3 8 - 4 651 0 at 图2 - 5 a ，b 分别为t 与y l - y , z l z 的系统同步图 塑圭芏丝堕兰 图2 缶响应系统的相图 从r 述的图2 - 5 与图2 - 6 可以看出，响应系统是混沌的，即使初始条件随机 生成，响应系统也能在瞬间之后达到同步。混沌同步的提出之后，给了混沌更大 的研究空间，国内外很多学者转向混沌的应用研究。 惦柏西坫仲暑 超混沌的，j i 成及其存图像加密中的应用研究 第3 章连续系统l y a p u n o v 指数的新的估计方法 混沌运动的突出特点是运动行为对初始条件极其敏感。两个差别很小的初值 所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离。系统l y a p u n o v 指数就是定量地描 述这一现象的量 3 2 3 4 】。l y a p u n o v ，指数e ，= 1 , 2 ，行，l e , ，一般与初值有关， e 0 代表不稳定、发散性凶素，在l y a p u n o v 指数为正的方向上，轨道迅速分离，对初值非常敏感。l y a p u n o v 指数是动力系 统中的一个非常重要的参数，l y a p u n o v 指数可用来刻画系统的稳定性： 1 、周期轨：系统存在一个零l y a p u n o v 指数和其它负指数； 2 、周期轨：系统存在两个零l y a p u n o v 指数和其它负指数； 3 、对于混沌轨：系统存在一个正l y a p u n o v 指数，一个零指数和其它负指数； 4 、对于超混沌轨：系统存在两个正l y a p u n o v 指数，一个零指数和其它负指 数。 本章中在连续系统的l y a p u n o v 指数的定义基础上，结合代数知识，推导出 一种新的连续系统l y a p u n o v 指数的估计方法( 见本章定理) ，并给出了应用实例， 结果验证该l y a p u n o v 指数估计方法具有可行性且易于计算。 3 1 l y a p u n o v 指数的定义 下面先给出一个连续非自治动力系统及其系统l y a p u n o v 指数的定义【3 2 】： 鲁叫弱吐艇q cr ” ： ( 3 1 ) x ( t o ) = x o 其中f ：r ”jr ”是关于x 分段连续向量函数，用六( x ) 标记系统在x 处的j a c c o b i 矩阵。 设j ( f ) 是系统( 3 - 1 ) 的解，在解s ( f ) 处变分方程： i d x = 正( j ( f ) 扛 。(3-2) 设用伊p ) 把替换( 3 - 2 ) 中的x ( f ) 仍然成立，且满足烈t o ) = e ，即满足 鲁= 加) 伊( 3 - 3 ) 认f o ) = e 称烈，) 是变分方程( 3 - 2 ) 的基解矩阵。其中e 是单位矩阵，5 ( ，) 是系统( 3 1 ) 的解。 硕士学位论文 下面是l y a p u n o v 指数的定义： 定义在系统( 3 1 ) 中，设甜。( f ) ，f = 1 , 2 ， 是基解矩阵矿( f ) 的特征值，且满足 i u l ( f ) i i u 2 ( f ) i k ( f ) l ，那么系统( 3 - 1 ) 在而处的第f 个l y a p u n o v 指数定义为： 三e ：l i m s u p 业剑， f ：l ，2 ，l 7 - ” f 由定义，易知系统( 3 1 ) l y a p u n o v 指数之间存在如下关系： 三巨三易上e 3 2l y a p u n o v 指数的估计 系统( 3 - 1 ) 变分方程中的j a c c o b i 矩阵六( s ( f ) ) 是一个只和f 有关的向量函数， 因此，变分方程是变系数的线性微分方程组。由l y a p u n o v 指数的定义，系统( 3 1 ) 的l y a p u n o v 指数是由变分方程系统( 3 2 ) 的基解矩阵的特征值来定义的，即它和 基解矩阵有关。因此，下面首先，介绍关于变系数线性微分方程组的解的性质( 见 引理1 ) 和基解矩阵的性质( 见引理2 ) ；再次，导出了关于变系数线性微分方程组 的基解矩阵特征值的性质( 见引理4 ) ；最后，利用圆盘定理( 见引理5 ) ，得到系 统( 3 - 1 ) 的l y a p u n o v 指数的估计方法( 见定理) 。 下面”i i 都表示二范数，也就是说，若木是向量x = ( ，x 2 ，吒) ，则 0 x l l = 五2 + 恐2 + + 而2，若事是矩阵a = ( ，屹，) ，v f 是a 的列向量 i = 1 ，2 ，n ，则l la | i = | lv ii | 2 + | | v 2j 1 2 + + i ik1 1 2 。 引理l 变系数线性微分方程组 宰= 加) 删q ”cr dt ” ( 3 4 )5 一哇j x ( f o ) = x o 其中f ：r ”一r ”是关于z 分段连续向量函数，则关于上式的解x ( f ) 有下列不等式 成立 f 。) 1 1e x p ( i ：( f ) a o - l l x ( f ) z ( f 。) 1 1e x p ( i ，oa ( f 砧) ( 其中口( 吐( f ) 分别是彳( f ) = 去( ( ，) + f7 ( f ) ) 的最大和最小特征值) 证明： 在冬= f ( t ) x 的两端左乘，得到 圭掣“儿冷 ( a ) 将上式两端转置，得到 1 4 超混沌的生成及其备! 图像加密中的应用研究 三掣几小 ( b ) ( a ) + ( b ) 得到 掣( 们m 飞m 由题设知口( 绣( f ) 分别是彳( f ) = 三( ( f ) + 厂7 ( 嘞的最大和最小特征值， 彳( f ) = 三( 厂( f ) + 厂，( f ) ) 是对称阵，因此，由代数知识易得下列不等式： 2 f l ( t ) 1 1 x i z - 簟2 嘶) f i 圳z a f t i ix ( t 。) 1 1e x p ( j ：。 f l ( f 冲) f i 石( t o ) 1 1e x p ( j ： oo t ( t ) d t ) 引理2 变系数线性微分方程面d x = 厂( f ) x ，x q ”c 尺”的基解矩阵矽( f ) 应满足下 列不等式 ，l e x p ( 【( f ) 出) ) o 矽( f ) l i 刀e x p ( 【口( f ) 巩