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浓纤维悬浮流的流体特性研究 摘要 本论文阐述了纤维悬浮流的应用意义、研究历史与研究现状，对 低雷诺数下广泛应用的细长体理论的基本原理及其应用进行了详细 介绍。 本文将两根纤维数值模拟的模型，扩展到多根。以细长理论为基 础，结合分子动力学中与碰撞相关的知识，建立了处理多根纤维碰撞 的理论模型。并根据s t o k e s 流的特性，同时效仿s u n d a r a r a j a k u m a r 和 k o c h 的模型，对理论模型进行了简化。并用简化模型对二维简单剪 切流作用下的浓纤维悬浮流进行了数值模拟。分析了悬浮流在剪切作 用下，微观结构的变化，并从微观结构计算得到了其宏观特性。最后 讨论了纤维的浓度和长径比等因素对悬浮流微观和宏观性质的影响。 本文首次在数值模拟中同时考虑纤维间的水动力相互作用( 远、 近程) 和纤维间的直接机械接触作用。并且在处理纤维间的碰撞时， 引入了分子动力学模拟中的e v e n t d r i v e n 、n e i g h b o rl i s t 以及c e l l m e t h o d 等思想，提出了适用于大量刚性圆柱型粒子( 纤维) 碰撞的 模型，提高了计算的效率。 关键词：浓相，纤维悬浮流，剪切，s t o k e s 流，水动力，碰撞，细长体理论。 浙江大学硕士学位论文 r e s e a r c ho nt h ef l u i d p r o p e r t i e so f c o n c e n t r a t e df i b e r s u s p e n s i o n s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ea p p l i c a t i o na n dr e s e a r c hh i s t o r yo ff i b e r s u s p e n s i o n s a r er e v i e w e d 。邪w e l l 硒i t sr e c e n tr e s e a r c hp r o c e s s t h et h e s i sa l s o e x p a t i a t e su p o nt h es l e n d e r - b o d yt h e o r yw h i c hi sw i d e l yu s e du n d e rl o w r e y n o l d sn u m b c rc o n d i t i o n s b a s e do nt h es l e n d e r - b o d yt h e o r ya n dt h er e l e v a n t c o n c e p to f m o l e c u l ed y n a m i c ss i m u l a t i o n ，t h en u m e r i c a lm o d e l w h i c hw a su s e dt o s i m u l a t et h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt w oc o n t a c tf i b e r si se x t e n d e dt os y s t e m s o fl a r g ea m o u n to fr o d - l i k ef i b e r s an e wt h e o r e t i c a lm o d e lo f c o n c e n t r a t e df i b e rs u s p e n s i o n si n v o l v i n gb o t hh y d r o d y n a m i ca n dc o n t a c t f o r c e si sp r e s e n t e d u p o nt h es i m p l i f i c a t i o no ft h i sm o d e lu n d e rs t o k e s f l o wc o n d i t i o n s ，w es i m u l a t en u m e r i c a l l yt h e2 dc o n c e n t r a t e df i b e r s u s p e n s i o n si ns i m p l es h e a rf l o w , a n dd e r i v et h es t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e s o ft h o s es u s p e n s i o n s ，s u c c e s s f u l l y f i n a l l y ，t h ei n f l u e n c eo fs h e a rr a t ea n d t h en u m b e rd e n s i t ya n da s p e c tr a t i oo f t h ef i b e r sa r ed i s c u s s e d i nt h i ss i m u l a t i o n ，i ti st h ef i r s tt i m et ot a k eb o t ho f t h eh y d r o d y n a m i c i n t e r a c t i o na n df i b e r - f i b e rc o l l i s i o ni n t oc o n s i d e r a t i o n a ne v e n t - d r i v e n ( c o l l i s i o n d r i v e n ) a l g o r i t h mf o rr o d - l i k ep a r t i c l es y s t e mi sp r o p o s e dt o e x p e d i a t et h ec a l c u l a t i o no fc o l l i s i o n s k e yw o r d s ：c o n c e n t r a t e d ，f i b e rs u s p e n s i o n , s h e a rf l o w ，s t o k e sf l o w , h y d r o d y n a m i c ，c o l l i s i o n ，s l e n d e r - b o d yt h e o r y 4 浙江大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 纤维悬浮流是指固态的纤维包含在液体或气体中而形成的混合物，具有广阔 的工程背景。在化工、纺织、复合材料、医药机械、造纸、环保等领域都有广泛 的应用，并扮演着重要的角色。例如，短纤维复合材料的成型和加工与纤维悬浮 流的动力学特性密切相关，加工过程中由流动引起的纤维取向分布决定了成品的 质量；在注塑过程中，铸件的强度将决定于纤维的最终取向排列；在环境保护方 面，纤维悬浮流的性质将有助于了解污染物的扩散、沉积、分布等对环境的影响； 医学方面，研究纤维在肺中的运动，可以更好地了解相关职业病的发病原因及加 强相应的保护措施；在气流纺纱中，纤维输送的均匀性、涡流的稳定性、纤维进 入纺纱管的速度与涡流速度的相互匹配程度对于纱线的匀度、捻度、张力等品质 至关重要，等等。为了更大地发挥纤维的作用，需要研究纤维悬浮流的运动特征 以及纤维的运动和取向，这样才有可能提供最佳的条件，设计和控制生产进程， 使成品的属性朝着期望的方向发展 在流动中，纤维的存在及运动影响了流体的性质，而纤维在流体的作用下， 纤维也在不断的运动和翻转，从而构成了一个非常复杂的动力系统。在理论方面， 涉及到多相流、非牛顿流体力学、统计力学、湍流、多体动力学等理论研究中的 诸多难点。该领域还有大量的问题尚待解决。因此，纤维悬浮流的研究具有重要 的学术和工程意义。 1 2 纤维悬浮流研究的基本理论和方法 1 2 1 纤维悬浮流的描述 纤维悬浮流的性质主要由纤维的长径比，纤维的浓度，纤维在流场中的分布 情况，以及纤维的取向分布有关。纤维的长径比，= l d ，其中l 是纤维长度， d 为直径。 浙江大学硕士学位论文 纤维的浓度主要由纤维数密度n 和纤维体积分数矿两个参数描述。n 是单位 体积悬浮流中的纤维个数。是单位体积悬浮流中所有纤维粒子所占的体积，对 圆柱状粒子悬浮流，妒= ( 三d 2 工如根据这两个参数我们可以对悬浮流进行分类： a ) 当， l 时，为稀悬浮流。相应 0 三) 2 。它表示在以纤维长度为边长 的立方体中纤维数少于i 。 b ) 当i ， l d ，即1 詹 ，亦即d l n l 2 d 1 时，称为半稀悬浮流。 它表示在上述立方体中，纤维数多于l ；而在包含纤维的任一以纤维长度 为边长的平面内，纤维数少于1 。相应的( d 三) 2 i 时，悬浮流处于半浓或浓相状态。它表示在包含纤维 的任一以纤维长度为边长的平面内，纤维数大于1 。一般情况下纤维之间 会存在碰撞现象。相应的 ( d l ) 可见浓或稀悬浮流的分类时，不能单根据n 或值的大小来判断，还必须考 虑纤维的长径比。比如长径比较大时，半稀悬浮流的定义范围要宽些。 对纤维取向的描述主要有方向矢量、分布函数以及方向张量等几种方法。对 于单根纤维的取向，可以用方向矢量很方便的描述： p = s i n o c o s ，s i n o s i n 矿，c o s o 7 其中，口和分别为球坐标中纤维方向矢量与z 轴和x 轴的夹角。 为了描述大量粒子的分布状态，可以引入方向分布函数的概念。函数 妒晚，户，f ) 被定义为：时刻f 、位置露处，在方向p 上存在粒子的概率。这样，在d 芦 范围内，存在粒子的数目就可以简单地写为伊晓，户，f 舻。根据分布函数的定义以 及实际的物理意义，它必须满足归一化条件即各个方向上的积分和为1 ，即 f 伊伉，只r 弦= 朋。伊p ，妒) s 加6 h 彬口= 1 分布函数能完全而明确地描述纤维的方向状态，但它实际应用起来很麻烦， 因此，可以引入另一种简明易用的量：方向张量。 方向张量是这样定义的：以方向矢量户的分量组成偶数阶的张量，如只只， 6 浙江大学硕士学位论文 只只只等，在各个方向下积分它们与分布函数的乘积，得到的结果即为一系列 的偶数阶方向张量，如： 二阶方向张量： 嘞= f 只妒p 归 四阶方向张量： 口彬= f 只只毋缈p 舻 这里之所以没有提及奇数阶的方向张量，是因为分布函数是偶函数，奇数阶 的张量积分结果为零。 1 2 2 基本理论和假设 i ) 细长体理论 2 0 世纪7 0 年代初，b a t c h e l o r ( b a t c h e l o r , 1 9 7 0 ，1 9 7 1 ，1 9 7 2 ) 1 1 1 2 3 ，c o x ( c o x , 1 9 7 1 ) 4 5 等在定常s t o k e s 流和不计粒子布朗运动的前提下，利用渐进匹配和多 级展开的方法，发展了细长体理论( s l e n d e rb o d yt h e o r y ) ，并用该理论来计算细长 体在流场中所受的粘性力和力矩以及计算纤维远距离的相互影响。细长理论减少 了计算量，为建立纤维悬浮流的本构方程打下了基础。 但是细长体理论也有自身的局限性：首先，细长体理论采用纤维无限长的假 设。尽管后来作了修正，可以用于有限长的细长体，但细长体的端部效应始终无 法给出较好的近似，特别是柱状粒子的端部效应比椭球形的粒子更大。其次，极 低r e n o y l d 数的假设。该假设使得细长体理论不适用于纤维尾流影响较大以及流 体惯性影响不能忽略的情况。再次，难以准确描述纤维间的影响。当两根纤维靠 得很近时，细长体理论可以通过润滑力的引入，使纤维的受力情况趋于合理，但 周围的流场结构就难以较好地描述了 2 ) 纤维悬浮流的本构方程 纤维对流体的影响体现在悬浮流的本构关系上： ， o = 一p l + 2 u e + o ， ( 1 1 ) n 式中右边第一、二项是牛顿流体流动的应力，第三项体现纤维的影响。在此 基础上，纤维悬浮流的研究，大致分为两个方向： 7 浙扛大学硕士学位论文 1 ) 纤维悬浮液视为一种单一的连续介质，进一步引入统计力学的理论，研究 纤维悬浮流的流变特性，不再关心单根纤维的运动情况，主要着眼于流场中纤维 的取向分布，等效粘度等悬浮液的宏观性质。 2 ) 对纤维和其周围的牛顿流体牛顿分别进行计算，研究纤维运动情况、在流 场中的分布、纤维间的相对位置及相互影响、纤维各自对流场的影响等纤维悬浮 液的微观结构。 3 ) 纤维悬浮流的连续介质理论 在纤维悬浮流连续介质理论中，除了细长体理论的假设外，一般还假设纤维 是刚性的，在流场中均匀分布。引入方向分布函数妒( r ，p ，t ) ，其意义为在t 时刻、 空间坐标r 处，纤维取向为p 的概率，并且有： l ( r , p ，t ) d p = l ( 1 2 ) l c a l & h i n c h ( 1 9 7 1 ) 6 指出，若不考虑布朗运动，v ( r ，p ，t ) 满足f o k k e r - p l a n c k 方程： 詈删 ( 1 3 ) 而方程( 1 1 ) 中的求和形式的附加应力张量改写为： ( 仃一) 2 古莓。，2 f ( r ，p ，r ) d p ( 1 4 ) 纤维悬浮流连续介质的假设之一是认为纤维在流场中是均匀分布的，但实际 上在有些流场中这个假设并不总是成立，特别是在大尺度拟序结构控制的流场 中。在一定的条件下，原本在流场中均匀分布的纤维将由于拟序结构的作用而变 得分布不均。 浙江大学硕士学位论文 1 3 纤维悬浮流研究的研究综述 1 3 1 纤维动力学 1 3 1 1j e f f e r y 轨道 对非球形粒子的研究开始于1 9 2 2 年，j e f f e r y 7 研究了无限线性剪切流场中 单个扁长椭球粒子的运动，他得出粒子取向变化公式为： p = s 2 p + 而r 2 - 1 ( 卜刀) e p ( 1 5 ) 其中e = l ( v u + v u ) 为变形率张量，q = 三( v 一v 甜) 为涡量张量。对( 1 5 ) 式关于时间积分，将发现粒子端点的轨迹是一系列封闭周期轨道中的一条。这就 是j e f f e r y 轨道。 在笛卡儿坐标系中让x 、y 和z 分别取速度方向、速度梯度方向以及剪切流 的涡量方向，设口为纤维方向矢量跟z 轴的夹角，是纤维在碍平面的投影跟y 轴的夹角( 如图1 1 a ) 。在这样的坐标系统下，j e f f e r y 轨道由下面方程描述： c ：三t a n 口( cc o $ 2 妒+ s i n 2 妒) t a n = 匕t a n ( 2 n r t + 后) 这里j 为相位角，为剪切率。是纤维的有效长径比，对长径比为，的圆 柱状纤维，* 0 7 r 。纤维的转动周期t = 2 万( + l r , ) y 随长径比的增加而增 加，因为纤维将有很长时间沿流动方向。轨道常数c 则为某独立纤维所运行的 特有周期轨道( 如图1 1 b ) 。当c = 0 时，表示纤维指向剪切流的涡量方向；当纤 维在速度及其梯度组成的平面( x - y 平面) 内转动时，c = 。为了应用方便， 我们用g = c ( c + 1 ) 代替c 来描述j e f f e r y 轨道，易见g 的取值范围为【o ，l 】。 当纤维指向剪切流的涡量方向时g = o ；当纤维在速度及其梯度组成的平面( x - y 平面) 内转动时，g = 1 。 浙江大学硕士学位论文 ，秘_ 柚 图1 i ( a ) 简单剪切流中描述纤维的坐标系( b ) j e f f e r y 轨道及轨道常数( = 1 0 ) j e f f e r y 轨道的存在表明没有粒子间相互作用的非布朗粒子悬浮流中粒子的 运动完全由它们的初始取向决定。对细长纤维( ， 1 ) ，转动周期大约o ( z 。，) ， 因为沿流动方向时所受的力矩很小，为0 ( 砖2 工) 阶，所以纤维的大部分时间将 沿流动方向。这样，纤维将在0 ( 1 ，) 这小部分周期里快速滑过在速度梯度方向投 影为0 ( i ) 那样的取向位置。如果纤维没有沿任何特定方向排列的倾向，悬浮流粘 度将取0 ( 朋) 。然而不发生相互作用的纤维将有沿平均流方向的强烈倾向，因 此它们对应力的贡献只有o m l 2 d ) 。 1 3 1 2 布朗运动的影响 纤维尺度很小以至布朗运动影响显著时，布朗力就不能忽略。体现布朗运动 影响的参数为p 6 c l c t 数： l 8 删：( e ：e ) 2 pe = 二三二= 二 3 七r 七为b o l t z m a n n 常数，t 为温度。当p e 数很小时，布朗运动影响明显，纤维的取 向接近随机分布，纤维悬浮液呈各向同性。布朗运动的影响是不可逆的，计算时， 布朗力作为一个随机力弓l x ( f a n , xj ，1 9 9 9 ) 8 ： 1 0 浙江大学硕士学位论文 q 表示相互影响系数，是随机w i e n e r 过程。 1 3 1 3 非定常流场的影响 当纤维粒子在非定常流场中运动时，作用在纤维上的力除了粘性的s t o k 舔 力以外，还有记忆纤维加速运动过程的b a s s e t 力和附加质量力。这些使得纤维 在流体中的运动变得极其复杂。在解析求解这些力的时候，经常用到f o u r i e r 变 换。在f o u r i e r 频域上，纤维所受的力表示为： f * b + 矾+ k + 南l 击( b b ) 一bi 十l lq 刀i a 是振荡频率，b 、b 、分别是s t o k e s 阻力、b a s s e t 力和附加质量力。方程 的右边前三项分别反映了这三个力对粒子运动的影响，而复杂的第四项则反映了 粒子的振荡对运动的影响，特别是当粒子的振荡频率较高时，其影响更为明显。 对纤维这种细长体来说，f 可分解成平行和垂直于纤维轴线的两个方向：f ，和 f 上y o u n g r e n & a e r i v o s ( 1 9 7 5 ) 9 ，l o e w e n b e r g ( 1 9 9 3 ) 1 0 通过实测和计算，给出 了纤维所受以上四种力的表达形式和它们随长径比变化的曲线。 1 3 2 稀纤维悬浮流的研究 早期的理论研究局限于稀( ，“1 ) 或半稀( ， l ，n l 2 d 1 ) 悬浮流， 而且都只考虑纤维之间通过溶剂流体的水动力学相互影响，而忽略纤维间的直接 相互作用。此时纤维间的机械接触并不明显，因而这种忽略影响不大，得到的结 果也大多能跟实验很好地吻合。 理论方面，b a t e h e l o r 1 发展了细长理论，并对稀相纤维呈同一方向排列的悬 浮流进行了研究。为了减少复杂性，b a t c h e l o r 采用晶格模型，即假设由纤维造 成的扰动随空间衰减，以此模拟了纤维的运动，得到了稀纤维悬浮流的本构方程 为： 浙江大学硕士学位论文 盯= 2 e + u z ：e ( 1 6 ) 其中是溶剂流体本身的粘度，e 是施加在溶剂流体上的应变率张量。，为单位 张量，p 是纤维粒子的方向矢量。作为牛顿流体，上面的关系式是线性的。但是 线性系数一是以一个各向异性的四阶张量形式给出的。b a t c h e l o r 得到了稀相纤 维悬浮流中，纤维间只存在水动力学相互作用情况下，的表达式： 纷2 黼【 - i l l 】 ( 1 7 ) 其中船表示由于纤维粒子的存在而引起的附加粘度。尖括号“o ，表示计算量 在纤维取向分部上的统计平均。对于稀纤维悬浮流，b a t c h e l o r 得到的加的表 达式为： 脚= 石翘胪厂( f ) ( 1 8 ) 慵2 i 石膨胪_ ，【f ) l 8 ) 其中，占：1 l n ( 2 r ) 。函数p ) 用来表示有限长径比的影响，表达式为： m ) = 譬警+ 1 6 5 孵 ( 1 9 ) m a c k a p l o w 和s b a q f e h 11 将b a t c h e l o r 的理论扩展到包含两纤维相互作用的 情况，得到。的表达示为： 愉2 i 1 万n f f l z 占f ( 占) + o 1 5 1 5 材占3 】 ( 1 1 0 ) s h a q f c h 和f r e d r i c k s o n 1 2 用d i a g r a m m a t i cr e n o r m a l i z a t i o n 的方法，把纤维间 所有的相互作用考虑在内，得到半稀悬浮流中平均格林函数的表达式，并由此推 导半稀悬浮流的本构方程，发现( 1 6 ) 式和( 1 7 ) 依然成立，但纤维7 1 起的附 加粘度。的表达式变为： 册= 3 ( 1 0 g ( 1 # ) _ + l o 丝g l o l g ( 1 # ) + a ( # ) ) ( 1 1 1 ) 这里是纤维的体积分数，对纤维呈平行排列的纤维悬浮流，4 ( ) = o 1 5 95 对各向同性均匀分布的纤维悬浮流彳 ) = - o 6 6 3 。 数值模拟方面，m a c k a p l o w 和s h a q f e h 1 3 通过沿每根纤维解分布力的耦合 浙江大学硕士学位论文 积分方程，数值模拟了纤维悬浮流的应力。c l a y e s 和b r a d y 对扁长椭球体悬浮流 应力的模拟考虑了润滑相互作用和远程水动力学相互作用。这些数值模拟提供了 一定范围内翘和，的应力结果。 1 3 3 浓纤维悬浮流的研究 早期，对于纤维悬浮流的理论研究，主要局限在稀相或半稀相，只考虑纤维 间的水动力相互作用，上面提到的理论或数值模拟结果通常能跟实验较好地吻 合。因为，在这种只有水动力学相互影响的情况下，悬浮流的剪切粘度因为纤维 存在的增加非常小，可以忽略不计，纤维将遵循上面提到的j e f f e r y 轨道规则。 而只有当纤维的取向在速度梯度方向有不可忽略的分量时，它们才对粘性耗散有 重要贡献。当浓度很高或流体为非线性 h a r l e ne ta 1 】以至非水动力学相互作用( 如 物理接触) 发生时，实验结果与纯水动力学理论之间的矛盾才显示出来。 f o l g e r 等用一个扩散项来代表纤维间的相互作用，提出了唯象模型，用该模 型计算了均匀流场中纤维取向分布函数的演变。d i n h ( 1 9 8 4 ) 1 4 也发展了一个模 型来描述非各向同性的半浓悬浮流，在其模型中，悬浮流的应力通过粒子的相互 作用来确定，而粒子的相互作用由b a t c h e l o r 非稀悬浮流中的晶格模型给出，说 明纤维的存在所导致的流体内的附加应力，依赖于粒子分布函数的四阶矩。 对浓相纤维悬浮流的研究，目前还是主要采用数值模拟和实验研究的手段。 s t m d a r a r a j a k u m a r 和k o c h ( 1 9 9 7 ) 1 5 对浓纤维悬浮流进行了数值模拟，他们的模 型主要考虑了纤维之间的直接接触相互作用( 碰撞) ，同时乎略了纤维的惯性和 体积以及纤维间的水动力学作用。结果表明，有效粘度的增加不仅是由于纤维接 触时的直接应力传递，还在于纤维因碰撞而滑动的现象更加频繁。纤维间的机械 相互作用通过改变纤维的取向分布以及在聚集纤维簇之间传递应力等机制将大 大增加悬浮流的有效应力。 p c t d c h ，k o c h 和c o h e n ( 2 0 0 0 ) 1 6 对浓悬浮流在高剪切率下的实验研究证实 了实际应力比仅考虑水动力相互作用的结果要大得多的预测。但是纤维相互滑动 的频率和纤维方向的扩散比数值模拟预测的要小得多。 p e t r i c h 等认为这是因为纤维的相互滑动会被纤维的排斥体积所抑制，而 s u n d a r a r a j a k u m a r 和k o c h 在对细纤维的数值模拟中没有考虑这一点。一般在雷 浙江大学硕士学位论文 诺数小到可忽略的流体中，润滑力将阻止光滑粒子的接触。但s u n d a r a r a j a k u m a r 和k o c h 的结果表明，当粒子是长条形时，如纤维，这些力的效果并不明显。最 p c t r i c h 和k o e h ( 1 9 9 8 ) 1 7 提供了低雷诺数下纤维粒子间机械接触的实验结果。 1 3 4 流变特性的研究 纤维悬浮流有复杂的流变特性，哪怕是稀相情况也是如此，例如，当纤维的 体积分数小于1 时，也会比无纤维时的流体增加o ( 1 ) 量级的应力。当纤维悬浮 流为浓相时，流体具有较强的非牛顿流性质，体现在有效粘度和应力张量这两个 重要的宏观物理量的改变。目前有关这方面的结论大多数由实验得到或由经验公 式来描述，使用范围比较窄，还有不少情况无法描述。 研究悬浮流流变特性最早的是e i n s t e i n ，他对零r c 数下刚性圆球粒子悬浮 流粘度进行了修正，后来在改变粒子浓度、流场条件、粒子尺寸、粒子形状情况 下，研究了悬浮流的粘度特性，这些研究工作核心是在粒子运动和相互作用的基 础上，发展悬浮流的本构理论。在e i n s t e r n 的工作之后，b a t c h e l o r 等( 1 9 7 2 ) 2 】 通过考虑粒子的相互作用，研究了粒子浓度对悬浮流粘度的高阶影响。j e f f e r y 研究了均匀流场中有限长径比椭球粒子的运动，这些结果后来由b r o e r s m a 、 c o x 3 ，4 】、t i l l e t t 和b a t e h e l o r 1 等发展成细长体理论，给出了s t o k e s 流中细长粒 子的运动模式。 纤维悬浮流流变特性的理论研究大多数都建立在b a t c h e l o r 的晶格模型之 上，用这个模型时，需要选择一个特定的晶格尺寸，这是使用这个模型的难点。 另一方面，要由实验得到悬浮流中流变特性的详细情况也是困难的，因为无法在 实验中改变纤维的取向分布，也不能同时测量应力张量的所有分量。 m a e l m p l o w 等( 1 9 9 8 ) 1 3 应用其以前发展的模式( m a e k a p l o w e t a l 1 9 9 6 ) 1 l 】， 在零r e 数下，数值模拟了刚性非布朗运动的纤维粒子的体积平均应力张量，他 由细长体理论所发展的一系列积分方程来描述纤维间的相互作用，说明在n 3 1 时，纤维间的相互作用对体积平均的应力张量影响可以忽略，在行f 3 为o ( 1 ) 的量 级时，不管纤维长径比或纤维体积分数是多少，纤维间的作用会提高悬浮流的应 力。当悬浮流为半浓时，纤维扰动所导致的无量纲纤维间距只是悬浮流体积分数 1 4 浙江大学硕士学位论文 的函数，这一结论对于里排列分布的纤维和呈各向同性分布的纤维是近似相同 的，尽管后者纤维间的作用比前者强。 1 3 5 纤维问相互作用的研究 纤维间的相互做用对悬浮流的微观结构乃至宏观结构有重要影响。在稀相悬 浮流理论中，纤维远程水动力相互作用的长度范围是2 l ，当n 1 3 1 时，纤维的 相互作用可以忽略。随着纤维浓度的增加，非水动力学相互作用的影响越来越大。 所谓非水动力学相互作用主要就是纤维与纤维接触后的机械相互作用( 包括摩擦 力和粘附力等) ，这种相互作用会极大地增加悬浮液的有效应力，引起纤维悬浮 流的许多非线性流变特性。 s i l a n d e r s s o n 和a r a s m u s o n ( 1 9 9 7 ) 1 8 研究了纸浆和人造纤维在空气或水 中的摩擦特性。他们发现表观摩擦系数在法向力小时较大，这与经典摩擦公式矛 盾，于是提出了两种形式的对经典摩擦定理f = 的修正： f = d ，“对纯弹性纤维n = 2 3 ，纯塑性纤维n = l f = 焉n + f o届是与法向力无关的附加粘性力 实验测得摩擦系数在干摩擦情况为0 4 。0 6 ，湿摩擦时范围是0 6 0 8 。e 在 干摩擦情况大约是0 0 1 r a n ，在湿摩擦时的范围是o 0 2 0 0 6 m n 。在测量摩擦力的 实验中，s r a n d e r s s o n 和a m a s m u s o n 还观察到了纤维之间的粘滑现象。“粘滑” 是界于静摩擦和动摩擦的中间状态，要出现“粘滑”运动，有三个必要条件：粗糙 表面、与速度有关的摩擦力以及动静摩擦状态的转变。 m o h e n dc h a o u c h e 和d o n a l dl k o c k ( 2 0 0 0 ) 1 9 实验测出了两刚性纤维问存 在粘性吸引力，并且该力与溶剂流体粘度无关而对流体的化学性质很敏感，与纤 维长度无关而随直径的增加而增大。 p e t r i c h 和k o c h ( 1 9 9 8 ) 【1 7 实验观察了低雷诺数下两根纤维从相互接触、 彼此滑动到相互分离的全过程，用摄象机记录下了运动纤维的位移和倾角随时问 的变化情况。 张志超，林建忠等根据p e t r i c h 和k o c h 实验观察到的结果，对两纤维直接接 浙江大学硕士学位论文 触相互作用进行了数值模拟。在他们的数学模型中，增加了一个与速度相关的附 加阻力，并对这个附加阻力进行了详细阐述。在模拟中，改变纤维的初始状态、 长径比和比重以及流场的粘度等各种参数，得到了这些因素对两纤维相互作用过 程的影响。最后，经过综合分析各参数的影响，得到了一个能概括半长度l 、半 径r 、溶剂流体粘度d 和纤维比重p 这四个参数对纤维直接相互作用过程影响的 。：0 7 2 8 组厶鼽2 旁 1 4 本论文工作与创新点 综上所述，对纤维悬浮流的研究已经从最开始的稀相悬浮流理论发展到了对 半浓或浓纤维悬浮流的研究。而浓相纤维悬浮流中纤维粒子之间的直接相互作用 对悬浮流将产生很大影响，因此弄清该种相互作用的一些本质特征以构建合理有 效的浓悬浮流模型，成为当前纤维悬浮流研究领域的热点之一。 本论文将张志超对两根纤维数值模拟的模型扩展到多根，提出了在水动力与 纤维间的机械接触力同时存在情况下的三维纤维运动的理论模型，并根据s t o k e s 流的特性，同时借鉴s u n c l a r a r a j a k u m a r 和k o c h 的模型，对该理论模型进行了简 化。并用简化模型对二维情况的浓纤维悬浮流进行了数值模拟。从悬浮流的微观 结构得到了其宏观特性。并讨论了流场的剪切率，纤维的浓度和长径比等因素对 悬浮流微观和宏观性质的影响。 本文的创新点在于： l 、首次在数值模拟中同时考虑纤维间的远、近程水动力相互作用，以及 纤维间的直接机械接触作用。 2 在处理纤维问的碰撞时，引入了e v e n t - d r i v e n 的相关模型以及分子动 力学中的n e i g h b o rl i s t 以及c e l lm e t h o d 等思想，提出了适用于纤维等 圆柱型粒子碰撞的e v e n t - d r i v e n 模型，提高了处理碰撞的效率。 2 1 细长体理论 第二章基本理论和方法 “细长体理论”最先是由b u r g e r s ( 1 9 3 8 ) 提出，但是此后很多年都没再引起人 们的注意直到1 9 6 0 年，b r o e r s m a ( 1 9 6 0 a , b ) 才对b u r g e r s 提出的基本理论形式做 了些小改动，此后该理论一步步得到完善f r u c k1 9 6 4 ，1 9 7 0 ；t a y l o r1 9 6 9 ：c o x 1 9 7 0 a , b ；t i l l 酣1 9 7 0 。但所有这些人的工作都只考虑了圆形截面的情况，而实际 应用中的细长体可以是任意截面形状的。于是b a t e h e l o r 1 在1 9 7 1 年把细长体理 论的应用扩大到任意形状的截面，这便形成了迄今为止仍在广泛应用的细长体理 论。下面详细介绍它的基本理论及应用。 2 1 1 理论基础 b a t e h e l o r 1 在1 9 7 0 年提出了直细长体理论，其基本思想是：细长体对流体 的扰动运动可用点力奇点的适当线分布所引起的流动来近似表示。所谓直细长 体，指的是当其厚度与长度之比趋于零时，收缩为一直线的物体。如图5 5 所示， 取而( 或记作x ) 轴沿物体长度方向，物体位于一， - x l 之间，其横截面可为任 意形状，物面由r = 民( 矿，力给出，这里r = ；2 + x 3 2 ，= y ，恐；z 。对于细 长体，有r 1 “1 图2 1 直细长体理论示意图 浙江大学硕士学位论文 在一个没有其他运动来源的无限流场中，当有一个点力f 作用在原点时，在 忽略惯性力的情况下，将产生诱导速度场： 这里是流体粘度。相应的涡量场为： 一毛荽 ( 2 1 ) 可见速度和涡量都随矧啼而快速递减。于是在一， z ，上的点力密度分布 f ( 0 在无界流体中产生的扰动速度为为： 嘶卜壶f ，【燕+ 篱卜包2 ) 这里螽= 善，参= 磊= o 。在所取的坐标系中，物面无滑移条件要求在r = 民( 以x ) 上满足 为了满足无滑移条件，在物体表面的流体最终速度d ( z ) + ( d ( x ) ) 应该为零。 其中，o c x ) 为外流场在无穷远处未受扰动的速度，6 ) 为s t o k e s 点力奇点在物 体表面处的诱导速度。代表s t o k e s 点力奇点线密度的未知函数f ( 善) 必须适当选 择以使得其诱导的扰动速度u r 圳与未扰动速度u r x j 在物体表面各点恰好相等。 b u r g e r s ( 1 9 3 9 ) 对圆截面细长体把f ( 掌) 写成一个低阶多项式，选取系数使边界条 件满足得最好；b r o e r s m a ( 1 9 6 0 a , b ) 通过增加多项式的阶数完善了这种方法。 通常，只通过线性分布s t o k e s 点力奇点不可能使物体表面所有点都精确满足 无滑移条件。即使在轴对称的情况下，通常也需要增加s t o k e s 小力偶或更高阶的 奇点。但我们也看到，当物体足够细时，无须显示引入其他高阶奇点就能获得某 阶近似的s t o k e s 点力分布。并且许多我们感兴趣的流场参数( 如物体维持特定运 动而施加给流体的总力矢或力矩) 可以只通过s t o k e s 点力分布而得到。 、1ifl，塑开 + 俩哺 互姊 2 1 2 斯托克斯力一阶近似解 ( 2 2 ) 式表示的积分方程在u = ( ，p = r ，的边界条件下无法直接求解 b a t c h e l o r 证明了，若取f ( d = 常数，所得到的d r x j 可以在一级近似范围内满足 上述条件他们取f 为r 慨x ) 的某一特征量，对于细长体f 2 1 “l ，( 2 2 ) 式 的积分可按下列公式进行计算令： k 高嚣= f 篙芬忙叫国 m 崦詈捌。g 与譬， 旺。， e 2 ，z * o ，* j 一2 ，l 其中，：的误差为r 2 ，2 阶，而的误差为，阶。在做以上近似时，假 定x 不靠近细长体两端。b a t c h e l o r 定义了一个特征小量； 占= ( 1 0 9 2 l g ) q 当斯托克斯力线密度为常数时，在满足r ，“1 的点，由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 式可 嘶，m 去舱。g 蜉卜用咆巧+ 等c ( 2 4 ， 其中j 是横向平面上的矢量，上式中右边起决定作用的是含l 占的项，于是： i ) a 去谚+ 以f + | f i ) 可见取均布斯托克斯力线密度为如下值： e = 2 r e u u i ，e = 2 卿仉， o = 2 ，或3 ) ( 2 5 ) 1 9 浙江大学硕士学位论文 则正好对应物体在流场中以( u ，u 2 ，u 3 ) 平动，此时物体施加在流体上的力为： ，f c x = 最旁世等“+ 鲁巧：+ 鲁4 ，+ 。c 占) ) c 2 这里彤可任意选定，只要与物体宽度相当。选择不同的f 只影响上式中的误差 项。可以看到对横向运动的阻力是纵向运动阻力的2 + d p ) 倍。 对m 随x 线性变化的情形我们可以类似的解决。先看下面的积分式： ，= ；f ，南z 5 7 if ，；兰耄；j ；筹c 玎= 。，l ，2 ， 在_ r l “1 的情况下： _ 2 1 0 9 争g 掣一z ， 以* 2 x l ，zz o ，以* ，一( 2 x 1 ) ， 其中，以的误差为，2 1 2 阶，而一的误差为r l 阶。于是当斯托克斯力分布 1 巧( f ) 7 8 掣一知嘭， e = 0 ，巧= 0 ， ( 2 7 ) 时，在满足r l “1 的位置上有： 嘶卜”喝+ g 哮一兰 ，晓s ， 可见( 2 8 ) 所表示的斯托克丝力分布正好是任意截面形状细长体浸在纯拉伸( 拉 伸率为巳- 且沿杆向) 流场中的结果。在此我们感兴趣的是e 的一阶积分力矩， 其加负号的形式被b a t c h e l o “1 9 7 0 ) 叫做细长体的小应力： 一f ，孝正( 掌) d 善= j ；：警；斋r t + 。( 占) ) ( 2 9 ) 浙江大学硕士学位论文 类似地，对斯托克斯力分布： e = 0 ， e ( d 8 雒l = 寺 | q 毛f 占 ( f ，= 2 ，3 ) ( 2 1 0 ) 诱导速度大约是横截面内的一个矢量，在满足r l l “1 的区域为： 呕咖叩十哮t + 等 晓 可以看出( 2 11 ) 所示的斯托克丝力分布代表的是任意截面形状细长体在无限静 止的流场中绕其中点以角速度( o ，q ：，q ，) 转动的情况。并且物体作用在流体上的 i ! ，t ，手c ( f ) d 善= j ；l ；各 + 。( 占) ) ( 2 - 2 ) 综上所述，式( 2 5 ) 、( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 分别代表了细长体在流体中平动、 静止在纯拉伸流体中以及在流体中转动这三种简单情况下的斯托克斯力线密度 分布。而式( 2 6 ) 、( 2 9 ) 和( 2 1 2 ) 正是我们感兴趣的物体对流场的作用力 公式。这些公式不受截面形状、截面大小以及截面形状沿长度方向变化规律等的 2 1 3 高阶近似解 上一节我们得到了细长体在流场中平移或转动时将施加给流场的作用力，其 反作用力，即流场施加给物体的力。然而上节的公式都是在满足i r 大到使占远 小于l 这个前提条件之下得到的。由，彭= 1 0 “时，占= ( 0 6 9 + 2 3 0 n ) 。可知n 必 须远大于l 才行。而实际应用中纤维的长径比一般为3 0 1 0 0 ，对应的占为 0 2 4 5 - 0 1 9 ，可见并不是很小，所以一阶精度远远不够，我们必须寻求更高阶近 似解。 从上一节我们看到，当斯托克斯力分布为常数或是工的线性函数时，其诱导 速度的一阶近似解在满足r i “l 的点上随x 的变化关系刚好一样。这种特性对 2 1 浙扛大学硕士学位论文 另外形式的平滑函数只( 功同样存在。我们来看( 2 2 ) 式中的第一个积分式： f ，蔫。f ( x ) ，+ 黼善，( 2 1 3 ) 其中的，在r ，“l 的情况下，近似为2 l 。g 2 u 2 一z ：) ；，研。t 饥k ( 1 9 6 4 ) 研究了上 式中最后那个积分式后，认为删去分母中的r 2 产生的误差为i f i f r 2l 。9 7 r 量级 只要，( 石) 及其一阶微分有限并且分段连续，则，( x ) 的任意阶微分都不会大于 l l f ( r o j ，因此在r ， 1 时我们可以写成： f f 尚州睁g 掣 + f 笮绺泣 其误差至少跟任何r ，的某正数次方一样小，从而比( 1 0 9 2 ，r ) 一的任何次方要小。 对( 2 2 ) 式中的后一个积分式，同样有： i 篙8 晶i f 赢一翘繁2 1 5 ) 其中的最大近似误差为嘲手l 。9 7 r 阶。于是，诱导速度可以写成： 孵，* 去雌。g 掣卜喃畔e 6 ， + 壶c “瞥手， 它可以近似至l j ( 1 0 9 2 i r ) 1 的任意次方。 ( 2 1 6 ) 式与边界条件：d ( 孟) = 【，( 孑) ，( ，= 民( 妒，工) ) 一起就构成了求解近似到 任意阶g 的f ( 功的基础。占的一阶项即为( 2 4 ) 式所示，以此为起点迭代进行， 浙江大学硕士学位论文 可以依次决定其他各阶f 的系数。 例如对某个只有纵向运动的圆截面细长体，设匙和r 分别是位置x 和x f f i o 处的截面半径，在纵向其表面的无滑移条件为： 4 弼嘲c 功睁g 蟛 + f f 背蟛 如果已知未受扰动速度为如下形式：u 。( 并) p ( n = o 或者1 ) 则可直接解出斯托克斯力线密度为： 胁z 棚h + 一一i 崦掣卜m ( 2 肿， 然而这种直接求解方法对非圊截面或者横向运动情况不适用，因为无法找到 满足整个表面无滑移条件的斯托克斯力线密度，b ) 。这点我们改变一下方程写法 就可看出： “班= 去h “删。g 等譬乃崛) q = 卜蟛卜驴粥十如啪f ，竿绺一 ( 2 1 9 ) 足定义为g 处截面周长除以幼，r f r ( ，功g g g , ( x )r 无关，但( 2 1 8 ) 式右边项跟r 有关。如果是非圆截面，( 2 1 8 ) 式右边项会随方位角庐的变化而变化， 不可能找到能够消除这种变化的斯托克斯力线分布，力。要解